Funções Trigonométricas

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Funções Trigonométricas"

Transcrição

1 Funçõs Trigonométricas META: Introduzir as principais funçõs trigonométricas: sno, cossno tangnt. AULA 7 OBJETIVOS: Dfinir as funçõs sno, cossno tangnt. Mostrar algumas idntidads trigonométricas. Calcular os valors das funçõs sno, cossno tangnt para alguns ângulos. PRÉ-REQUISITOS O aluno para acompanhar sta aula, é ncssário qu tnha comprndido todos os casos d smlhança d triângulos as propridads d ângulos inscritos m um círculo.

2 Funçõs Trigonométricas 7.1 Introdução Olá caro aluno, spro qu stja curtindo a litura. Nsta aula irmos iniciar nosso studo da funçõs trigonométricas. O studo dstas funçõs d suas aplicaçõs é dnominado trigonomtria. A trigonomtria iniciou-s como studo das aplicaçõs, a problmas práticos, das rlaçõs ntr os lados d um triângulo. Algumas funçõs ram historicamnt comuns, mas agora são raramnt usadas, como a corda, qu m notação atual é dada por crdθ =2sin(θ/2). Hoj as funçõs trigonométricas mais conhcidas são as funçõs sno, cossno tangnt. D fato, as funçõs sno cossno são as funçõs principais, visto qu todas as outras podm sr colocadas m trmos dstas. Nsta aula vrmos como utilizar smlhança d triângulo para dfinir as funçõs trigonométricas, bm como provrar algumas d suas principais propridads. Vrmos também como calcular alguns valors dstas funçõs tomando triângulo rtângulos particulars. 7.2 Funçõs Trigonométricas Considr um smicírculo d cntro P diâmtro AB. Tom um ponto C do smicírculo faça α = C ˆPB. Sja D um ponto d AB tal qu CD sja prpndicular a AB. Dfinição 7.1. a) Chama-s sno do ângulo α, dnotamos por sn α, ao quocint sn α = CD PC. b) Chama-s d cossno do ângulo α, dnotamos por cos α, ao quocint cos α = PD s 0 α 90 PC ou cos α = PD PC s 90 α

3 Gomtria Euclidiana Plana c) Chama-s d tangnt do ângulo α, dnotamos por tan α ao quocint tan α = sn α cos α. AULA 7 Figura 7.1: Obsrvação: D acordo com as dfiniçõs acima podmos dduzir os sguints valors sn 0 =0, sn 90 =1, sn 180 =0, cos 0 =1, cos 90 =0, cos 180 = 1 tan 0 = tan 180 =0. Além disso, a tangnt não stá dfinida para α =90. Proposição O sno cossno indpndm do smi-círculo utilizado para dfiní-los. Dmonstração D fato, s tmos dois smi-círculos como na figura abaixo tomamos C C tais qu C ˆPD = C ˆP D = α, ntão os triângulos PDC P D C, rtângulos m D D, rspctivamnt, são smlhants (Por quê?). Assim, Portanto, C P CP = C D CD = P D PD. sn α = CD CP = C D C P cos α = PD PC = P D P C. 135

4 Funçõs Trigonométricas Figura 7.2: Torma 7.1. Para todo ângulo α tmos sn α 2 +cosα 2 =1. Dmonstração S α =0, , o rsultado é imdiato, plo qu vimos antriormnt. Nos outros casos, considr a figura 7.2. Assim, ( ) 2 ( ) 2 PD CD sn 2 α +cos 2 α = + = PD2 + CD 2 PC PC PC 2 = PC 2 PC 2. Nsta trcira igualdad usamos o Torma d Pitágoras. Logo, sn 2 α +cos 2 α = Fórmulas d Rdução Os próximos rsultados irão nos prmir calcular os valors d alguns ângulos a partir d outros. Torma 7.2. S α é um ângulo agudo, ntão a) sn (90 α) =cosα b) cos(90 α) =sn α c) tan(90 α) = 1 tan α 136

5 Gomtria Euclidiana Plana AULA 7 Figura 7.3: Dmonstração Considr a figura abaixo. Como os triângulos PFE PDC são rtos m F D, a soma dos ângulos agudos d um triângulo rtângulo é 90, sgu qu PFE CDP são congrunts. Em particular, PD PE = PC PE = DC PF. Logo, sn (90 α) = EF PE = PD PC =cosα, cos(90 α) = PF PE = DC PC = sn α, tan(90 α) = sn (90 α) cos(90 α) = cos α sn α = 1 tan α. Torma 7.3. Para todo α tmos a) sn (180 α) =sn α b) cos(180 α) = cos α Dmonstração Para α =0, 90 ou 180, sgu dirtamnt. Considr a figura abaixo. Como ants, mostramos qu PDC = 137

6 Funçõs Trigonométricas Figura 7.4: PFE, o qu implica qu sn (180 α) = EF PE = CD PC = sn α cos(180 α) = PF PE = PD = cos α. PC Como α 90, ntão α ou 180 α é agudo o outro obtuso. Isto implica qu cos α cos(180 α) têm sinais contrários. Exrcício 7.1. Mostr qu s ABC é um triângulo rtângulo m C, ntão BC = ABsn Â, AC = AB cos  BC = AC tan Â. Proposição a) sn 45 = 1 2, cos 45 = 1 2 tan 45 =1 b) sn 30 = 1 2, cos 30 = Dmonstração 3 2 tan 30 = 1 3. a) Sja ABC um triângulo rtângulo m Ĉ com AC = BC. Então  = ˆB =45, já qu a soma dos ângulos intrnos d um triângulo é 180. O Torma d Pitágoras implica qu AB 2 = AC 2 + BC 2 =2AC 2 138

7 Gomtria Euclidiana Plana AULA 7 Figura 7.5: assim, AC = AB 2. Logo, sn 45 = cos 45 = CB AB = AB/ 2 AB = 1. 2 A tangnt é obtida pla simpls divisão dos valors do sno cossno. b) Sja ABC um triângulo quilátro. Considr D o ponto médio d AC. Daí, D ˆBC =30, plo Torma d Pitágoras CD = BC 2. Portanto, sn 30 = CD BC = BC/2 BC = 1 2, cos 30 = 1 (sn 30 ) 2 = tan 30 = =

8 Funçõs Trigonométricas Usando o Torma 7.28 as fórmulas d rdução, podmos calcular os valors do sno cossno dos ângulos 60, 120, Dixamos como xrcício. 7.4 Li dos Cossnos Torma 7.4. Sja ABC um triângulo. Então AB 2 = AC 2 + BC 2 2AC BC cos Ĉ. Dmonstração S Ĉ =90, ntão não tmos nada a fazr, já qu cos 90 =0, nst caso, a fórmula rduz-s ao Torma d Pitágoras. Suponha qu Ĉ 90. Sja D o pé da prpndicular da altura do vértic A. Como Ĉ 90, ntão C D. S D = B, ntão ˆB =90. Nst caso cos Ĉ = BC AC AC 2 = AB 2 + BC 2, o qu implica qu AB 2 = AC 2 BC 2 = AC 2 + BC 2 2BC 2 = AC 2 + BC 2 2BC AC cos Ĉ, qu é o rsultado dsjado. Suponha agora qu D B C. Nst caso, ADB ADC são triângulos rtângulos m ˆD. Plo Torma d Pitágoras, AB 2 = AD 2 + DB 2 140

9 Gomtria Euclidiana Plana AC 2 = AD 2 + DC 2. AULA 7 Subtraindo, obtmos AB 2 AC 2 = DB 2 DC 2 qu é quivalnt a AB 2 = AC 2 + DB 2 DC 2. (7.5) Tmos três casos a considrar. Caso 1: B C D. Figura 7.6: Nst caso, BD = BC + CD. Assim, da quação (7.5), obtmos AB 2 = AC 2 +(BC + CD) 2 DC 2 Além disso, = AC 2 + BC 2 + CD 2 +2BC CD CD 2 = AC 2 + BC 2 +2BC CD. CD cos AĈD = AC cos AĈB = cos(180 AĈB)= cos AĈD. Logo, AB 2 = AC 2 + BC 2 +2BC AC cos Ĉ. 141

10 Funçõs Trigonométricas Figura 7.7: Caso 2: B D C. Nst caso, BC = BD + DC cos Ĉ = DC AC. Assim, a quação (7.5) implica qu AB 2 = AC 2 +(BC DC) 2 DC 2 Caso 3: C B D. = AC 2 + BC 2 + DC 2 2BC DC DC 2 = AC 2 + BC 2 2BC DC = AC 2 + BC 2 2AC BC cos Ĉ. Nst último caso, tmos qu CD = CB + BD CD = AC cos Ĉ dond, da quação (7.5) sgu qu AB 2 = AC 2 +(CD BC) 2 DC 2 = AC 2 + CD 2 + BC 2 2CD BC DC 2 = AC 2 + BC 2 2BC CD = AC 2 + BC 2 2ACBC cos Ĉ. 142

11 Gomtria Euclidiana Plana AULA 7 Figura 7.8: Portanto, fica dmonstrada a Li dos Cossnos. 7.5 Li dos Snos Torma 7.5. Sja ABC um triângulo. Então sn  sn ˆB = BC AC = sn Ĉ AB = 1 2R, ond R é o raio do círculo circunscrito no triângulo ABC. Dmonstração Considr o círuclo d cntro P raio R qu circunscrv o triângulo. Sja D um ponto do círculo tal qu BD é um diâmtro. Tmos dois casos, A C stão no msmo lado d BD ou m lados opostos. S A C stão m lados opostos d BD, ntão BÂC = B ˆDC, por srm ângulos inscritos no círculo qu subntnd o msmo arco. S A C stão no msmo lado d BD, ntão ABDC é um quadrilátro inscrito no círuclo. Então, pla Proposição 6.24, tmos CÂB + C ˆDB = 180. Em ambos os casos, sn BÂC = sn B ˆDC. Como BCD é rtângulo m C, já qu stá inscrito m um smi-círculo, sgu qu sn  = sn BÂC = sn B ˆDC = DC BD = DC 2R. 143

12 Funçõs Trigonométricas Figura 7.9: Da msma forma, mostramos qu sn ˆB = AC 2R Disto sgu o rsultado. DC sn Ĉ = 2R. Torma 7.6. Sjam α β ângulos agudos. Então a) cos(α + β) =cosαcos β sn αsn β b) sn (α + β) =sn α cos β +cosαsn β. Dmonstração a) Considr um ângulo d mdida α+β vértic P. Trac uma smi-rta S PH qu divid o ângulo m dois ângulos d mdidas α β. Trac uma prpndicular a S PH qu intrcpta os lados do ângulo α + β m A B. Sjam PH = h, PB = b, PA = a, BH = n AH = m. Pla Li dos Cossnos tmos qu (m + n) 2 = a 2 + b 2 2ab cos(α + β), (7.6) 144

13 Gomtria Euclidiana Plana AULA 7 Figura 7.10: m 2 = a 2 + h 2 2ah cos α (7.7) n 2 = b 2 + h 2 2bh cos β. (7.8) Além disso, cos α = h a cos β = h b. Portanto, h 2 = ab cos α cos β ah cos α = bh cos β = ab cos α cos β. Logo, d (7.7) (7.8) obtmos m 2 = a 2 ab cos α cos β (7.9) n 2 = b 2 ab cos α cos β. (7.10) 145

14 Funçõs Trigonométricas Além disso, sn α = m a sn β = n b qu junto com (7.9) (7.10), implica m (m + n) 2 = m 2 + n 2 +2mn = a 2 ab cos α cos β + b 2 ab cos α cos β +2absn αsn β = a 2 + b 2 2ab cos α cos β +2absn αsn β. Comparando com (7.6) obtmos qu cos(α + β) =cosαcos β sn αsn β. b) Nas condiçõs do ítm a), obtmos qu  =90 α. Isto implica qu, plo Torma 7.2, sn  = sn (90 α) =cosα. (7.11) Pla Li dos Snos, tmos sn (α + β) m + n o qu implica m = sn  b sn α m = sn  h, sn (α + β) = m b sn  + n sn  (7.12) b sn  = h sn α. (7.13) m Substituindo (7.13) no primiro trmo do sgundo mmbro d (7.12) (7.11) no sgundo trmo do sgundo mmbro d (7.13), obtmos sn (α + β) = h b sn α + n b cos α. (7.14) Porém, sn β = n b cos β = h b, qu substituindo m (7.14), obtmos sn (α + β) =sn α cos β +cosαsn β. 146

15 Gomtria Euclidiana Plana AULA 7 Corolário 7.1. S α>β,ntão a) cos(α β) =cosα cos β + sn αsn β. b) sn (α = β) =sn α cos β cos αsn β. Dmonstração No torma antrior, faça α + β = a α = b. Rsolva o sistma cos a =cosb cos(a b) sn b sn (a b), sn a = sn b cos(a b)+cosb sn (a b) para ncontrar cos(a b) sn(a b). 147

16 Funçõs Trigonométricas RESUMO Nsta aula nós vimos como dfinir as funçõs trigonométricas como utilizar smlhança d triângulos para mostrar qu las stão bm dfinidas. Mostramos algumas fórmulas d rdução, as Lis dos Cossnos a Li dos Snos, idntidads trigonmétricas muito útil nas aplicaçõs. Além disso, também calculamos alguns valors das funçõs trigonométricas, por xmplo, para os ângulos 30, PRÓXIMA AULA Na próxima aula irmos dfinir a noção d ára mostrar como calcular a ára d algumas figuras gométricas. ATIVIDADES 1. Em um triângulo ABC, m qu todos os ângulos são agudos, a altura do vértic C forma com os lados CA CB, rspctivamnt, ângulos α β. Sja D o pé da altura do vértic C. Calcul AD, BD, AC CD sabndo qu AD =1, qu α =30 β = Quando o sol stá 30 acima do horizont, qual o comprimnto da sombra projtada por um difício d 50 mtros? 3. Um barco stá ancorado no mio d um lago. Uma longa strada rtilína acompanha part d sua margm. Dois amigos m passio turístico obsrvam o barco d um ponto na strada anotam qu a rta daqul ponto ao barco forma um ângulo d 45 com a strada. Após viajarm 5 km ls 148

17 Gomtria Euclidiana Plana param anotam qu agora podm vr o barco sgundo um ângulo d 30 com a strada. Com sta informação calcul a distância do barco à strada. AULA 7 4. Um parqu d divrsõs dsja construir um scorrgador gigant cujo ponto d partida fiqu a 20m d altura. As normas d sgurança xigm qu o ângulo do scorrgador com a horizontal sja d, no máximo, 45. Qual srá o comprimnto mínimo do scorrgador? 5. Achar o comprimnto da corda d um círculo d 20cm d raio subtndida por um ângulo cntral d Do topo d um farol, 40m acima do nívl do mar, o faroliro vê um navio sgundo um ângulo (d dprssão) d 15. Qual a distância do navio ao farol? 7. Mostr qu o prímtro d um polígono rgular inscrito m um círculo d raio R é p n =2Rnsn ( ) 180 n. 8. Num triângulo ABC tm-s AC =23, Â =20 Ĉ = 140. Dtrmin a altura do vértic B. 9. O qu é maior: (a) sn 55 ou cos 55? (b) sn 40 ou cos 40? (c) tan 15 ou cot 15? 10. As funçõs scant, coscant cotangnt d um ângulo α são dfinidas por sc α =1/ cos α, csc α =1/sn α cot α = 1/ tan α. Para qualqur ângulo α difrnt d zro 180 mostr qu: (a) sn α csc α + cos α sc α =1. (b) tan α +cotα = sc α csc α. (c) sc α = sn α(cot α +tanα). 149

18 Funçõs Trigonométricas (d) sc 2 α csc 2 α =tan 2 α cot 2 α. cos α () 1 sn α = 1+sn α cos α. (f) sn 4 α cos 4 α =2sn 2 α Calcul cos 105, cos 15 sn Mostr qu s α β são ângulos agudos ntão tan α +tanβ (a) tan(α + β) = 1 tan α tan β cot α cot β 1 (b) cot(α + β) = cot α +cotβ. 13. Em um triângulo ABC, m qu todos os ângulos são agudos, a altura do vértic C forma com os lados CA CB rspctivamnt ângulos α β. Sja D o pé da altura do vértic C. Calcul AD, BD, AC CB sabndo qu AD = Mostr qu cos θ 1+cosθ 2 = Mostr qu tan θ 2 = 1 cos θ sn θ. LEITURA COMPLEMENTAR 1. BARBOSA, J. L. M., Gomtria Euclidiana Plana. SBM. 2. EUCLIDES, Os Elmntos. Unsp. Tradução: Irinu Bicudo. 3. GREENBERG, M. J., Euclidan and Non-Euclidan Gomtris: Dvlopmnt and History. Third Edition. W. H. Frman. 4. POGORELOV, A. V., Gomtria Elmntal. MIR. 5. MOISE, E. E., Elmntary Gomtry from an Advancd Standpoint. Third dition. Addison-Wsly. 150

Derivada Escola Naval

Derivada Escola Naval Drivada Escola Naval EN A drivada f () da função f () = l og é: l n (B) 0 l n (E) / l n EN S tm-s qu: f () = s s 0 s < < 0 s < I - f () só não é drivávl para =, = 0 = II - f () só não é contínua para =

Leia mais

E X A M E ª FASE, V E R S Ã O 1 P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O

E X A M E ª FASE, V E R S Ã O 1 P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O Prparar o Eam 05 Matmática A E X A M E 0.ª FASE, V E R S Ã O P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O. Tm-s qu P A P A P A GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 0, 0, 0,. Assim: P B A PB A 0,8 0,8 PB A 0,8 0,

Leia mais

3. Geometria Analítica Plana

3. Geometria Analítica Plana MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSITICA APOSTILA DE GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA PROF VINICIUS 3 Gomtria Analítica Plana 31 Vtors no plano Intuitivamnt,

Leia mais

Adriano Pedreira Cattai

Adriano Pedreira Cattai Adriano Pdrira Cattai apcattai@ahoocombr Univrsidad Fdral da Bahia UFBA, MAT A01, 006 3 Suprfíci Cilíndrica 31 Introdução Dfinição d Suprfíci Podmos obtr suprfícis não somnt por mio d uma quação do tipo

Leia mais

META Introduzir e explorar o conceito de congruência de segmentos e de triângulos.

META Introduzir e explorar o conceito de congruência de segmentos e de triângulos. META Introduzir e explorar o conceito de congruência de segmentos e de triângulos. AULA 3 OBJETIVOS Identificar segmentos e ângulos congruentes. Identificar os casos de congruência de triângulos. Usar

Leia mais

/ :;7 1 6 < =>6? < 7 A 7 B 5 = CED? = DE:F= 6 < 5 G? DIHJ? KLD M 7FD? :>? A 6? D P

/ :;7 1 6 < =>6? < 7 A 7 B 5 = CED? = DE:F= 6 < 5 G? DIHJ? KLD M 7FD? :>? A 6? D P 26 a Aula 20065 AMIV 26 Exponncial d matrizs smlhants Proposição 26 S A SJS ntão Dmonstração Tmos A SJS A % SJS SJS SJ % S ond A, S J são matrizs n n ", (com dt S 0), # S $ S, dond ; A & SJ % S SJS SJ

Leia mais

Enunciados equivalentes

Enunciados equivalentes Lógica para Ciência da Computação I Lógica Matmática Txto 6 Enunciados quivalnts Sumário 1 Equivalência d nunciados 2 1.1 Obsrvaçõs................................ 5 1.2 Exrcícios rsolvidos...........................

Leia mais

Resolução da Prova 1 de Física Teórica Turma C2 de Engenharia Civil Período

Resolução da Prova 1 de Física Teórica Turma C2 de Engenharia Civil Período Rsolução da Prova d Física Tórica Turma C2 d Engnharia Civil Príodo 2005. Problma : Qustõs Dados do problma: m = 500 kg ; v i = 4; 0 m=s ;! a = 5! g d = 2 m. Trabalho ralizado por uma força constant: W

Leia mais

Hewlett-Packard MATRIZES. Aulas 01 a 06. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Hewlett-Packard MATRIZES. Aulas 01 a 06. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Hwltt-Packard MTRIZES ulas 0 a 06 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz no 06 Sumário MTRIZES NOÇÃO DE MTRIZ REPRESENTÇÃO DE UM MTRIZ E SEUS ELEMENTOS EXERCÍCIO FUNDMENTL MTRIZES ESPECIIS IGULDDE

Leia mais

INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA CAMPUS JEQUIÉ LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA ALUNO:

INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA CAMPUS JEQUIÉ LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA ALUNO: INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA CAMPUS JEQUIÉ LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA ALUNO: LISTA Ciclo trigonométrico, rdução d arcos, quaçõs trigonométricas - (UFJF MG) Escrvndo os númros rais x, y, w, z y, x,

Leia mais

Prova Escrita de Matemática A 12. o Ano de Escolaridade Prova 635/Versões 1 e 2

Prova Escrita de Matemática A 12. o Ano de Escolaridade Prova 635/Versões 1 e 2 Eam Nacional d 0 (. a fas) Prova Escrita d Matmática. o no d Escolaridad Prova 3/Vrsõs GRUPO I Itns Vrsão Vrsão. (C) (). () (C) 3. () (C). (D) (). (C) (). () () 7. () (D) 8. (C) (D) Justificaçõs:. P( )

Leia mais

Arcos e ângulos Adote π=3,14 quando necessário.

Arcos e ângulos Adote π=3,14 quando necessário. Prof. Liana Turmas: 1C17/27/37 Sgundo trimstr Ângulos Complmntars Suplmntars 1. Qual é o ângulo qu xcd o su suplmnto m 66? 2. Dtrmin um ângulo sabndo qu o su suplmnto xcd o próprio ângulo m 70. 3. Qual

Leia mais

Função do 2 o Grau. Uma aplicação f der emr

Função do 2 o Grau. Uma aplicação f der emr UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA. Dfinição Uma aplicação f

Leia mais

PERFIL DE SAÍDA DOS ESTUDANTES DA 5ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL, COMPONENTE CURRICULAR MATEMÁTICA

PERFIL DE SAÍDA DOS ESTUDANTES DA 5ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL, COMPONENTE CURRICULAR MATEMÁTICA PERFIL DE SAÍDA DOS ESTUDANTES DA 5ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL, COMPONENTE CURRICULAR MATEMÁTICA CONTEÚDOS EIXO TEMÁTICO COMPETÊNCIAS Sistma d Numração - Litura scrita sistma d numração indo-arábico

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 2. < arg z < π}.

ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 2. < arg z < π}. Instituto Suprior Técnico Dpartamnto d Matmática Scção d Álgbra Anális ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR LOGARITMOS E INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES COMPLEXAS Logaritmos () Para cada um dos sguints conjuntos

Leia mais

66 (5,99%) 103 (9,35%) Análise Combinatória 35 (3,18%)

66 (5,99%) 103 (9,35%) Análise Combinatória 35 (3,18%) Distribuição das 0 Qustõs do I T A 9 (8,6%) 66 (,99%) Equaçõs Irracionais 09 (0,8%) Equaçõs Exponnciais (,09%) Conjuntos 9 (,6%) Binômio d Nwton (,9%) 0 (9,%) Anális Combinatória (,8%) Go. Analítica Funçõs

Leia mais

ˆ y. Calcule x e y. B P C 14. Na figura, o quadrilátero ABCD está circunscrito na circunferência de centro O. Sendo

ˆ y. Calcule x e y. B P C 14. Na figura, o quadrilátero ABCD está circunscrito na circunferência de centro O. Sendo LIST 02 XRÍIOS GOTRI PLN PROF. ROGRINHO 1º nsino édio (Tangência ângulos na circunf. quadrilátros pontos notávis do torma d Tals smlhança d a) Nom: n turma 08. No rtângulo da figura ao lado tm-s qu: ˆ

Leia mais

III Integrais Múltiplos

III Integrais Múltiplos INTITUTO POLITÉCNICO DE TOMA Escola uprior d Tcnologia d Tomar Ára Intrdpartamntal d Matmática Anális Matmática II III Intgrais Múltiplos. Calcul o valor dos sguints intgrais: a) d d ; (ol. /) b) d d ;

Leia mais

Aula 10 Triângulo Retângulo

Aula 10 Triângulo Retângulo Aula 10 Triângulo Retângulo Projeção ortogonal Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se projeção ortogonal desse ponto sobre essa reta o pé da perpendicular traçada do ponto à reta. Na figura,

Leia mais

O Círculo AULA. META: Estudar propriedades básicas do círculo.

O Círculo AULA. META: Estudar propriedades básicas do círculo. META: Estudar propriedades básicas do círculo. AULA 6 OBJETIVOS: Estudar retas tangentes a um círculo. Estudar ângulo inscritos no círculo. Identificar polígonos inscritíveis e circunscritíveis num círculo.

Leia mais

FILTROS. Assim, para a frequência de corte ω c temos que quando g=1/2 ( )= 1 2 ( ) = 1 2 ( ) e quando = 1 2

FILTROS. Assim, para a frequência de corte ω c temos que quando g=1/2 ( )= 1 2 ( ) = 1 2 ( ) e quando = 1 2 FILTROS Como tmos visto, quando tmos lmntos rativos nos circuitos, as tnsõs sobr os lmntos d um circuitos m CA são dpndnts da frquência. Est comportamnto m circuitos montados como divisors d tnsão prmit

Leia mais

Aula 7 Complementos. Exercício 1: Em um plano, por um ponto, existe e é única a reta perpendicular

Aula 7 Complementos. Exercício 1: Em um plano, por um ponto, existe e é única a reta perpendicular MODULO 1 - AULA 7 Aula 7 Complementos Apresentamos esta aula em forma de Exercícios Resolvidos, mas são resultados importantes que foram omitidos na primeira aula que tratou de Conceitos Básicos. Exercício

Leia mais

Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. Lei dos Cossenos e Lei dos Senos. 9 o ano E.F.

Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. Lei dos Cossenos e Lei dos Senos. 9 o ano E.F. Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. Lei dos Cossenos e Lei dos Senos. 9 o ano E.F. Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Polígonos Regulares. Leis dos

Leia mais

1 - RECORDANDO 2 - INTERSEÇÃO ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA. Exercício Resolvido 1: Frente III. na última equação, tem-se:

1 - RECORDANDO 2 - INTERSEÇÃO ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA. Exercício Resolvido 1: Frente III. na última equação, tem-se: Matmática Frnt III CAPÍTULO 23 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA 1 - RECORDANDO Na aula passada, nós vimos as quaçõs da circunfrência, tanto com cntro na origm ( ) como a sua quação gral (

Leia mais

RESUMO de LIMITES X CONTINUIDADE. , tivermos que f(x) arbitr

RESUMO de LIMITES X CONTINUIDADE. , tivermos que f(x) arbitr RESUMO d LIMITES X CONTINUIDADE I. Limits finitos no ponto 1. Noção d Limit Finito num ponto Sjam f uma função x o IR. Dizmos qu f tm it (finito) no ponto x o (m símbolo: f(x) = l IR) quando x convn x

Leia mais

Memorize as integrais imediatas e veja como usar a técnica de substituição.

Memorize as integrais imediatas e veja como usar a técnica de substituição. Blém, d maio d 0 aro aluno, om início das intgrais spro qu vocês não troqum as rgras com as da drivada principalmnt d sno d sno. Isso tnho dito assim qu comçamos a studar drivada, lmbra? Mmoriz as intgrais

Leia mais

a) 1. b) 0. c) xnw. d) q (Espm 2014) Se a matriz 7. (Pucrs 2014) Dadas as matrizes A = [ 1 2 3] a) 18 b) 21 c) 32 d) 126 e) 720 Se a matriz M=

a) 1. b) 0. c) xnw. d) q (Espm 2014) Se a matriz 7. (Pucrs 2014) Dadas as matrizes A = [ 1 2 3] a) 18 b) 21 c) 32 d) 126 e) 720 Se a matriz M= Dtrminant. (Upg 4) Considrando as matrizs abaixo, sndo dt A = 5, dtb= dtc=, assinal o qu for orrto. x z x y x A =,B= 4 5 x+ z y C= ) x+ y+ z= 4 ) A C= 4) B C= 4 8) y = x 6) 6 4 A+ B= 6 5 T. (Uds 4) S A

Leia mais

Álgebra. Matrizes. . Dê o. 14) Dada a matriz: A =.

Álgebra. Matrizes.  . Dê o. 14) Dada a matriz: A =. Matrizs ) Dada a matriz A = Dê o su tipo os lmntos a, a a ) Escrva a matriz A, do tipo x, ond a ij = i + j ) Escrva a matriz A x, ond a ij = i +j ) Escrva a matriz A = (a ij ) x, ond a ij = i + j ) Escrva

Leia mais

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Trigonometria no Triângulo Retângulo Trigonometria no Triângulo Retângulo Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina:

Leia mais

TRIGONOMETRIA. AO VIVO MATEMÁTICA Professor Haroldo Filho 02 de fevereiro, AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO ÂNGULO AGUDO OA OA OA OA OA OA

TRIGONOMETRIA. AO VIVO MATEMÁTICA Professor Haroldo Filho 02 de fevereiro, AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO ÂNGULO AGUDO OA OA OA OA OA OA TRIGONOMETRIA 1. AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO ÂNGULO AGUDO Considere um ângulo agudo = AÔB, e tracemos a partir dos pontos A, A 1, A etc. da semirreta AO, perpendiculares à semirreta OB. AB A1B1 AB OAB

Leia mais

ONDAS ELETROMAGNÉTICAS EM MEIOS CONDUTORES

ONDAS ELETROMAGNÉTICAS EM MEIOS CONDUTORES LTROMAGNTISMO II 3 ONDAS LTROMAGNÉTICAS M MIOS CONDUTORS A quação d onda dduida no capítulo antrior é para mios sm prdas ( = ). Vamos agora ncontrar a quação da onda m um mio qu aprsnta condutividad não

Leia mais

O teorema da função inversa para funções de várias variáveis reais a valores vetoriais

O teorema da função inversa para funções de várias variáveis reais a valores vetoriais Matmática O torma da função invrsa para funçõs d várias variávis rais a valors vtoriais Vivian Rodrigus Lal Psquisadora Prof Dr David Pirs Dias Orintador Rsumo Est artigo tm como objtivo aprsntar o Torma

Leia mais

2ª série LISTA: Ensino Médio. Aluno(a): Questão 01 - (FUVEST SP)

2ª série LISTA: Ensino Médio. Aluno(a): Questão 01 - (FUVEST SP) Matmática Profssor: Marclo Honório LISTA: 04 2ª séri Ensino Médio Turma: A ( ) / B ( ) Aluno(a): Sgmnto tmático: GEOMETRIA ESPACIAL DIA: MÊS: 05 206 Pirâmids Cilindros Qustão 0 - (FUVEST SP) Três das arstas

Leia mais

OBJETIVOS: Definir área de figuras geométricas. Calcular a área de figuras geométricas básicas, triângulos e paralelogramos.

OBJETIVOS: Definir área de figuras geométricas. Calcular a área de figuras geométricas básicas, triângulos e paralelogramos. META: Definir e calcular área de figuras geométricas. AULA 8 OBJETIVOS: Definir área de figuras geométricas. Calcular a área de figuras geométricas básicas, triângulos e paralelogramos. PRÉ-REQUISITOS

Leia mais

Semelhança de triângulos

Semelhança de triângulos Semelhança de triângulos As três proposições a seguir estabelecem as condições suficientes usuais para que dois triângulos sejam semelhantes. Por tal razão, as mesmas são conhecidas como os casos de

Leia mais

O Axioma das Paralelas

O Axioma das Paralelas META: Estudar o Axioma das Paralelas e suas consequências. AULA 5 OBJETIVOS: Introduzir o Axioma das Paralelas; Estudar a soma dos ângulos de um triângulo. PRÉ-REQUISITOS Congruência e o Teorema do Ângulo

Leia mais

UFJF ICE Departamento de Matemática Cálculo I Terceira Avaliação 03/12/2011 FILA A Aluno (a): Matrícula: Turma: x é: 4

UFJF ICE Departamento de Matemática Cálculo I Terceira Avaliação 03/12/2011 FILA A Aluno (a): Matrícula: Turma: x é: 4 UFJF ICE Dpartamnto d Matmática Cálculo I Trcira Avaliação 0/1/011 FILA A Aluno (a): Matrícula: Turma: Instruçõs Grais: 1- A prova pod sr fita a lápis, cto o quadro d rspostas das qustõs d múltipla scolha,

Leia mais

Seja f uma função r.v.r. de domínio D e seja a R um ponto de acumulação de

Seja f uma função r.v.r. de domínio D e seja a R um ponto de acumulação de p-p8 : Continuidad d funçõs rais d variávl ral. Lr atntamnt. Dominar os concitos. Fazr rcícios. Função contínua, prolongávl por continuidad, dscontínua. Classificação d dscontinuidads. Continuidad num

Leia mais

Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Semelhanças entre Figuras e Poĺıgonos. 8 o ano/9 a série E.F.

Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Semelhanças entre Figuras e Poĺıgonos. 8 o ano/9 a série E.F. Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales Semelhanças entre Figuras e Poĺıgonos. 8 o ano/9 a série E.F. Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales Semelhanças entre Figuras e Polígonos. 1

Leia mais

Fun»c~oesexponenciaiselogar ³tmicas. Uma revis~ao e o n umero e

Fun»c~oesexponenciaiselogar ³tmicas. Uma revis~ao e o n umero e Aula 9 Fun»c~osponnciaislogar ³tmicas. Uma rvis~ao o n umro Nsta aula farmos uma pquna rvis~ao das fun»c~os f() =a g() =log a, sndo a uma constant ral, a>0 a 6=. Farmos ainda uma aprsnta»c~ao do n umro,

Leia mais

Módulo Quadriláteros. Relação de Euler para Quadriláteros. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Módulo Quadriláteros. Relação de Euler para Quadriláteros. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Módulo Quadriláteros Relação de Euler para Quadriláteros 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Quadriláteros Relação de Euler para Quadriláteros 2 Exercícios de Fixação Exercício 5. Seja

Leia mais

Teorema de Ceva AULA. META: O Teorema de Ceva e algumas aplicações. OBJETIVOS: Enunciar e demonstrar o Teorema de Ceva; Aplicar o Teorema de Ceva.

Teorema de Ceva AULA. META: O Teorema de Ceva e algumas aplicações. OBJETIVOS: Enunciar e demonstrar o Teorema de Ceva; Aplicar o Teorema de Ceva. META: O Teorema de Ceva e algumas aplicações. OBJETIVOS: Enunciar e demonstrar o Teorema de Ceva; Aplicar o Teorema de Ceva. PRÉ-REQUISITOS O aluno deverá ter compreendido as aulas anteriores. .1 Introdução

Leia mais

APLICAÇÕES DO PEQUENO TEOREMA DE FERMAT

APLICAÇÕES DO PEQUENO TEOREMA DE FERMAT Encontro d Ensino Psquisa Extnsão Prsidnt Prudnt 20 a 23 d outubro 2014 1 APLICAÇÕES DO PEQUENO TEOREMA DE FERMAT APPLICATIONS OF THE FERMAT'S LITTLE THEOREM Vanssa d Fritas Travllo 1 ; Luana Batriz Cardoso¹;

Leia mais

Representação de Números no Computador e Erros

Representação de Números no Computador e Erros Rprsntação d Númros no Computador Erros Anális Numérica Patrícia Ribiro Artur igul Cruz Escola Suprior d Tcnologia Instituto Politécnico d Stúbal 2015/2016 1 1 vrsão 23 d Fvriro d 2017 Contúdo 1 Introdução...................................

Leia mais

Os pentágonos regulares ABCDE e EF GHI da figura abaixo estão em posição tal que as retas CD e GH são perpendiculares.

Os pentágonos regulares ABCDE e EF GHI da figura abaixo estão em posição tal que as retas CD e GH são perpendiculares. GABARITO MA1 Geometria I - Avaliação - 01/ Questão 1. (pontuação: ) Os pentágonos regulares ABCDE e EF GHI da figura abaixo estão em posição tal que as retas CD e GH são perpendiculares. Calcule a medida

Leia mais

Lista 3. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante.

Lista 3. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante. MA13 Exercícios das Unidades 4 e 5 2014 Lista 3 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante. 1) Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Prove que os pontos médios

Leia mais

EXPRESSÕES LÓGICAS. 9.1 Lógica proposicional AULA 9

EXPRESSÕES LÓGICAS. 9.1 Lógica proposicional AULA 9 AULA 9 EXPRESSÕES LÓGICAS 9.1 Lógica proposicional Lógica é o studo do raciocínio 1. Em particular, utilizamos lógica quando dsjamos dtrminar s um dado raciocínio stá corrto. Nsta disciplina, introduzimos

Leia mais

Geometria sem o Postulado das Paralelas

Geometria sem o Postulado das Paralelas AULA Geometria sem o Postulado das Paralelas META: Introduzir o Teorema do Ângulo Externo e suas consequências. OBJETIVOS: Ao final da aula o aluno deverá compreender como 1. aplicar o Teorema do Ângulo

Leia mais

A energia cinética de um corpo de massa m, que se desloca com velocidade de módulo v num dado referencial, é:

A energia cinética de um corpo de massa m, que se desloca com velocidade de módulo v num dado referencial, é: nrgia no MHS Para studar a nrgia mcânica do oscilador harmônico vamos tomar, como xmplo, o sistma corpo-mola. A nrgia cinética do sistma stá no corpo d massa m. A mola não tm nrgia cinética porqu é uma

Leia mais

Teorema do ângulo externo e sua consequencias

Teorema do ângulo externo e sua consequencias Teorema do ângulo externo e sua consequencias Definição. Os ângulos internos de um triângulo são os ângulos formados pelos lados do triângulo. Um ângulo suplementar a um ângulo interno do triângulo é denominado

Leia mais

NOME: ANO: 3º Nº: PROFESSOR(A):

NOME: ANO: 3º Nº: PROFESSOR(A): NOME: ANO: º Nº: PROFESSOR(A): Ana Luiza Ozores DATA: Algumas definições Triângulos: REVISÃO Lista 06 Triângulos e Quadriláteros Classificação quanto aos lados: Escaleno (todos os lados diferentes), Isósceles

Leia mais

Módulo II Resistores e Circuitos

Módulo II Resistores e Circuitos Módulo Claudia gina Campos d Carvalho Módulo sistors Circuitos sistência Elétrica () sistors: sistor é o condutor qu transforma nrgia létrica m calor. Como o rsistor é um condutor d létrons, xistm aquls

Leia mais

Resolução. Admitindo x = x. I) Ax = b

Resolução. Admitindo x = x. I) Ax = b Considr uma população d igual númro d homns mulhrs, m qu sjam daltônicos % dos homns 0,% das mulhrs. Indiqu a probabilidad d qu sja mulhr uma pssoa daltônica slcionada ao acaso nssa população. a) b) c)

Leia mais

SISTEMA DE PONTO FLUTUANTE

SISTEMA DE PONTO FLUTUANTE Lógica Matmática Computacional - Sistma d Ponto Flutuant SISTEM DE PONTO FLUTUNTE s máquinas utilizam a sguint normalização para rprsntação dos númros: 1d dn * B ± 0d L ond 0 di (B 1), para i = 1,,, n,

Leia mais

Em cada ciclo, o sistema retorna ao estado inicial: U = 0. Então, quantidade de energia W, cedida, por trabalho, à vizinhança, pode ser escrita:

Em cada ciclo, o sistema retorna ao estado inicial: U = 0. Então, quantidade de energia W, cedida, por trabalho, à vizinhança, pode ser escrita: Máquinas Térmicas Para qu um dado sistma raliz um procsso cíclico no qual rtira crta quantidad d nrgia, por calor, d um rsrvatório térmico cd, por trabalho, outra quantidad d nrgia à vizinhança, são ncssários

Leia mais

Gabarito - Colégio Naval 2015/2016 Matemática Prova Amarela

Gabarito - Colégio Naval 2015/2016 Matemática Prova Amarela Gabarito - Colégio Naval 05/06 Profssors: Carlos Eduardo (Cadu) André Flip Bruno Pdra Rafal Sabino Gilbrto Gil QUESTÃO Dada a inquação, podmos rscrvê-la, a partir do Torma d Bolzano, concluímos: 5 0 0

Leia mais

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III 0 Dois círculos de centros A e B são tangentes exteriormente e tangenciam interiormente um círculo de centro C. Se AB = cm, AC = 7 cm e BC = 3 cm, então o raio

Leia mais

ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA. Determinação dos parâmetros

ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA. Determinação dos parâmetros ANÁLISE IMENSIONAL E SEMELHANÇA trminação dos parâmtros Procdimnto: d Buckingham 1. Listar todas as grandzas nvolvidas.. Escolhr o conjunto d grandzas fundamntais (básicas), x.: M, L, t, T. 3. Exprssar

Leia mais

Campo elétrico. Antes de estudar o capítulo PARTE I

Campo elétrico. Antes de estudar o capítulo PARTE I PART I Unidad A 2 Capítulo Sçõs: 21 Concito d 22 d cargas puntiforms 2 uniform Ants d studar o capítulo Vja nsta tabla os tmas principais do capítulo marqu um X na coluna qu mlhor traduz o qu você pnsa

Leia mais

Matemática: Lista de exercícios 2º Ano do Ensino Médio Período: 1º Bimestre

Matemática: Lista de exercícios 2º Ano do Ensino Médio Período: 1º Bimestre Matmática: Lista d xrcícios 2º Ano do Ensino Médio Príodo: 1º Bimstr Qustão 1. Três amigos saíram juntos para comr no sábado no domingo. As tablas a sguir rsumm quantas garrafas d rfrigrant cada um consumiu

Leia mais

- Função Exponencial - MATEMÁTICA

- Função Exponencial - MATEMÁTICA Postado m 9 / 07 / - Função Eponncial - Aluno(a): TURMA: FUNÇÃO EXPONENCIAL. Como surgiu a função ponncial? a n a n, a R n N Hoj, a idia d s scrvr. ² ou.. ³ nos parc óbvia, mas a utilização d númros indo

Leia mais

Módulo Elementos Básicos de Geometria Plana - Parte 2. Congruência de Triângulos e Aplicações. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Módulo Elementos Básicos de Geometria Plana - Parte 2. Congruência de Triângulos e Aplicações. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Módulo Elementos Básicos de Geometria Plana - Parte 2 Congruência de Triângulos e Aplicações. 8 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Elementos Básicos de Geometria Plana - Parte 2. Congruência

Leia mais

, ou seja, 8, e 0 são os valores de x tais que x e, Página 120

, ou seja, 8, e 0 são os valores de x tais que x e, Página 120 Prparar o Eam 0 07 Matmática A Página 0. Como g é uma função contínua stritamnt crscnt no su domínio. Logo, o su contradomínio é g, g, ou sja, 8,, porqu: 8 g 8 g 8 8. D : 0, f Rsposta: C Cálculo Auiliar:

Leia mais

r = (x 2 + y 2 ) 1 2 θ = arctan y x

r = (x 2 + y 2 ) 1 2 θ = arctan y x Sção 0: Equação d Laplac m coordnadas polars Laplaciano m coordnadas polars. Sja u = ux, y uma função d duas variávis. Dpndndo da rgião m qu a função stja dfinida, pod sr mais fácil trabalhar com coordnadas

Leia mais

Desse modo, podemos dizer que as forças que atuam sobre a partícula que forma o pêndulo simples são P 1, P 2 e T.

Desse modo, podemos dizer que as forças que atuam sobre a partícula que forma o pêndulo simples são P 1, P 2 e T. Pêndulo Simpls Um corpo suspnso por um fio, afastado da posição d quilíbrio sobr a linha vrtical qu passa plo ponto d suspnsão, abandonado, oscila. O corpo o fio formam o objto qu chamamos d pêndulo. Vamos

Leia mais

Matemática Aplicada Geoprocessamento/Professor: Lourenço Gonçalves LISTA-1 (03/04/2009)

Matemática Aplicada Geoprocessamento/Professor: Lourenço Gonçalves LISTA-1 (03/04/2009) Matmática Aplicada Goprocssamnto/Profssor: Lournço Gonçalvs LISTA-1 (3/4/29) Exrcício-1 Considr as figuras abaixo rsponda o qu s pd. a) Qual a razão ntr as dimnsõs dos sus comprimntos? b) S o carro grand

Leia mais

Órion MEDICINA MATEMÁTICA. (Kairo) NOME: Lista 05 Jundiaí e Maracanã. Nessas condições, α β é igual a. 13π 02. rad 10. 9π 04. rad 10. 7π 05.

Órion MEDICINA MATEMÁTICA. (Kairo) NOME: Lista 05 Jundiaí e Maracanã. Nessas condições, α β é igual a. 13π 02. rad 10. 9π 04. rad 10. 7π 05. Órion MEDICINA MATEMÁTICA (Kairo) NOME: Lista Jundiaí Maracanã ) Na figura a sguir, stão rprsntados o ciclo trigonométrico um triângulo isóscls OAB. Qual das prssõs abaio corrspond à ára do triângulo OAB

Leia mais

1. Área do triângulo

1. Área do triângulo UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Geometria Plana II Prof.:

Leia mais

CURSO de ENGENHARIA (MECÂNICA) VOLTA REDONDA - Gabarito

CURSO de ENGENHARIA (MECÂNICA) VOLTA REDONDA - Gabarito UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TRANSFERÊNCIA o smstr ltivo d 8 o smstr ltivo d 9 CURSO d ENGENHARIA MECÂNICA VOLTA REDONDA - Gabarito INSTRUÇÕES AO CANDIDATO Vriiqu s st cadrno contém: PROVA DE CONHECIMENTOS

Leia mais

COLÉGIO OBJETIVO JÚNIOR

COLÉGIO OBJETIVO JÚNIOR COLÉGIO OBJETIVO JÚNIOR NOME: N. o : DATA: / /01 FOLHETO DE MATEMÁTICA (V.C. E R.V.) 6. o ANO Est folhto é um rotiro d studo para você rcuprar o contúdo trabalhado m 01. Como l vai srvir d bas para você

Leia mais

Prof. Antonio Carlos Santos. Aula 9: Transistor como amplificador

Prof. Antonio Carlos Santos. Aula 9: Transistor como amplificador IF-UFRJ lmntos d ltrônica Analógica Prof. Antonio Carlos Santos Mstrado Profissional m nsino d Física Aula 9: Transistor como amplificador st matrial foi basado m liros manuais xistnts na litratura (id

Leia mais

Calor Específico. Q t

Calor Específico. Q t Calor Espcífico O cocint da quantidad d nrgia () forncida por calor a um corpo plo corrspondnt acréscimo d tmpratura ( t) é chamado capacidad térmica dst corpo: C t Para caractrizar não o corpo, mas a

Leia mais

1) Determine o domínio das funções abaixo e represente-o graficamente: 1 1

1) Determine o domínio das funções abaixo e represente-o graficamente: 1 1 ) Dtrmin dmíni das funçõs abai rprsnt- graficamnt: z + z 4.ln( ) z ln z z arccs( ) f) z g) z ln + h) z ( ) ) Dtrmin dmíni, trac as curvas d nívl sbc gráfic das funçõs: f (, ) 9 + 4 f (, ) 6 f (, ) 6 f

Leia mais

A lei dos co-senos. Utilizando as razões trigonométricas nos triângulos. b = = 48. b = 4 cos B = 4 8 = 1 2 Þ B = 60º

A lei dos co-senos. Utilizando as razões trigonométricas nos triângulos. b = = 48. b = 4 cos B = 4 8 = 1 2 Þ B = 60º A UA UL LA A lei dos co-senos Introdução Utilizando as razões trigonométricas nos triângulos retângulos, podemos resolver vários problemas envolvendo ângulos e lados. Esse tipo de problema é conhecido

Leia mais

A lei dos co-senos. Utilizando as razões trigonométricas nos triângulos

A lei dos co-senos. Utilizando as razões trigonométricas nos triângulos A UA UL LA A lei dos co-senos Introdução Utilizando as razões trigonométricas nos triângulos retângulos, podemos resolver vários problemas envolvendo ângulos e lados. Esse tipo de problema é conhecido

Leia mais

Trigonometria. Reforço de Matemática Básica - Professor: Marcio Sabino - 1 Semestre 2015

Trigonometria. Reforço de Matemática Básica - Professor: Marcio Sabino - 1 Semestre 2015 Trigonometria Reforço de Matemática ásica - Professor: Marcio Sabino - 1 Semestre 015 1. Trigonometria O nome Trigonometria vem do grego trigo-non triângulo + metron medida. Esta é um ramo da matemática

Leia mais

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo Retângulo

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo Retângulo Matemática Básica II - Trigonometria Nota 0 - Trigonometria no Triângulo Retângulo Márcio Nascimento da Silva Universidade Estadual Vale do Acaraú - UVA Curso de Licenciatura em Matemática marcio@matematicauva.org

Leia mais

POTÊNCIAS EM SISTEMAS TRIFÁSICOS

POTÊNCIAS EM SISTEMAS TRIFÁSICOS Tmática ircuitos Eléctricos apítulo istmas Trifásicos POTÊNA EM TEMA TRÁO NTRODÇÃO Nsta scção studam-s as potências m jogo nos sistmas trifásicos tanto para o caso d cargas dsquilibradas como d cargas

Leia mais

log 2, qual o valor aproximado de 0, 70

log 2, qual o valor aproximado de 0, 70 UNIERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ GABARITO DE FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA PROA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR // CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERAÇÕES: Prova

Leia mais

Lista de Exercícios sobre relações métricas na circunferência, comprimento da circunferência e razões trigonométricas.

Lista de Exercícios sobre relações métricas na circunferência, comprimento da circunferência e razões trigonométricas. Lista de Exercícios sobre relações métricas na circunferência, comprimento da circunferência e razões trigonométricas. 1) Determine o valor de x nas seguintes figuras: 2) Determine o valor de x nas seguintes

Leia mais

Matemática: Trigonometria Vestibulares UNICAMP

Matemática: Trigonometria Vestibulares UNICAMP Matemática: Trigonometria Vestibulares 015-011 - UNICAMP 1. (Unicamp 015) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio R e ângulo central θ. a) Para θ

Leia mais

AVF - MA Gabarito

AVF - MA Gabarito MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL AVF - MA13-016.1 - Gabarito Questão 01 [,00 pts ] Em um triângulo ABC de perímetro 9, o lado BC mede 3 e a distância entre os pés das bissetrizes interna

Leia mais

FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL

FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Hwltt-Packard FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Aulas 01 a 05 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Ano: 2016 Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO 2 PRODUTO CARTESIANO 2 Númro d lmntos d 2 Rprsntaçõs

Leia mais

Módulo Quadriláteros. Relação de Euler para Quadrilátero. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Módulo Quadriláteros. Relação de Euler para Quadrilátero. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Módulo Quadriláteros Relação de Euler para Quadrilátero 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Quadriláteros Relação de Euler para Quadriláteros Exercícios de Fixação Exercício 6. No triângulo

Leia mais

x = 4 2sen30 0 = 4 2(1/2) = 2 2 e y = 4 2 cos 30 0 = 4 2( 3/2) = 2 6.

x = 4 2sen30 0 = 4 2(1/2) = 2 2 e y = 4 2 cos 30 0 = 4 2( 3/2) = 2 6. CURSO DE PRÉ CÁLCULO ONLINE - PET MATEMÁTICA / UFMG LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Exercício 1 Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo. Solução: No triângulo retângulo ABD, temos que AD mede

Leia mais

NOTA SOBRE INDETERMINAÇÕES

NOTA SOBRE INDETERMINAÇÕES NOTA SOBRE INDETERMINAÇÕES HÉLIO BERNARDO LOPES Rsumo. Em domínios divrsos da Matmática, como por igual nas suas aplicaçõs, surgm com alguma frquência indtrminaçõs, d tipos divrsos, no cálculo d its, sja

Leia mais

ATIVIDADES RECUPERAÇÃO PARALELA

ATIVIDADES RECUPERAÇÃO PARALELA ATIVIDADES RECUPERAÇÃO PARALELA Nom: Nº Ano: 6ºD Data: / /0 Bimstr: Profssor: Dnis Rocha Disciplina: Matmática Orintaçõs para studo:. Rvisar os contúdos trabalhados no bimstr.. Rfazr os xrcícios do cadrno

Leia mais

Exercícios Extras-Relações Métricas no Triângulo Retângulo-Lei dos Cossenos e Senos- 1 s anos-2015

Exercícios Extras-Relações Métricas no Triângulo Retângulo-Lei dos Cossenos e Senos- 1 s anos-2015 Exercícios Extras-Relações Métricas no Triângulo Retângulo-Lei dos Cossenos e Senos- 1 s anos-015 1. (Ufsj 013) Um triângulo isósceles inscrito em um círculo de raio igual a 8 cm possui um lado que mede

Leia mais

TRIGONOMETRIA 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

TRIGONOMETRIA 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TRIGONOMETRIA 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Uma escada está apoiada em um muro de 2 m de altura, formando um ângulo de 45º. Forma-se, portanto, um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comprimento da escada?

Leia mais

Aula 11 Polígonos Regulares

Aula 11 Polígonos Regulares MODULO 1 - AULA 11 Aula 11 Polígonos Regulares Na Aula 3, em que apresentamos os polígonos convexos, vimos que um polígono regular é um polígono convexo tal que: a) todos os lados são congruentes entre

Leia mais

Módulo III Capacitores

Módulo III Capacitores laudia gina ampos d arvalho Módulo apacitors apacitors: Dnomina-s condnsador ou capacitor ao conjunto d condutors dilétricos arrumados d tal manira qu s consiga armaznar a máxima quantidad d cargas létricas.

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALCÁCER DO SAL. 11º Ano. MATEMÁTICA Exercícios de Exames e Testes Intermédios. Ano Letivo de 2012/2013

ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALCÁCER DO SAL. 11º Ano. MATEMÁTICA Exercícios de Exames e Testes Intermédios. Ano Letivo de 2012/2013 ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALCÁCER DO SAL MATEMÁTICA Exrcícios d Exams Tsts Intrmédios 11º Ano Ano Ltivo d 2012/2013 Trigonomtria 1 Na figura stá rprsntado o quadrado é a amplitud m radianos do ângulo Mostr

Leia mais

ANÁLISE CUSTO - VOLUME - RESULTADOS

ANÁLISE CUSTO - VOLUME - RESULTADOS ANÁLISE CUSTO - VOLUME - RESULTADOS 1 Introdução ao tma Exist todo o intrss na abordagm dst tma, pois prmit a rsolução d um conjunto d situaçõs qu s aprsntam rgularmnt na vida das organizaçõs. Estas qustõs

Leia mais

Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3

Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3 01 Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b a) a = 3, b, b R b) a = 3 e b = 1 c) a = 3 e b 1 d) a 3 1 0 y = 3x + 1 m = 3 A equação que apresenta uma reta com o mesmo coeficiente angular

Leia mais

10. EXERCÍCIOS (ITA-1969 a ITA-2001)

10. EXERCÍCIOS (ITA-1969 a ITA-2001) . EXERCÍCIOS (ITA-969 a ITA-) - (ITA - 969) Sjam f() = + g() = duas funçõs rais d variávl ral. Então (gof)(y ) é igual a: a) y y + b) (y ) + c) y + y d) y y + ) y - (ITA -97) Sjam A um conjunto finito

Leia mais

Exercícios de Aprofundamento Mat Geom Espacial

Exercícios de Aprofundamento Mat Geom Espacial 1. (Fuvest 015) No cubo ABCDEFGH, representado na figura abaixo, cada aresta tem medida 1. Seja M um ponto na semirreta de origem A que passa por E. Denote por θ o ângulo BMH e por x a medida do segmento

Leia mais

P (x i ) = f(x i ), f(x) p(x) < δ.

P (x i ) = f(x i ), f(x) p(x) < δ. Capítulo 4 Intrpolação Nst capítulo studarmos métodos qu prmitm ncontrar um valor aproximado para uma função f calculada m um ponto x do intrvalo I, através do conhcimnto d uma colção d pars ordnados (pontos)

Leia mais

Módulo de Áreas de Figuras Planas. Áreas de Figuras Planas: Mais alguns Resultados. Nono Ano

Módulo de Áreas de Figuras Planas. Áreas de Figuras Planas: Mais alguns Resultados. Nono Ano Módulo de Áreas de Figuras Planas Áreas de Figuras Planas: Mais alguns Resultados Nono Ano Áreas de Figuras Planas: Mais alguns Resultados 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. No desenho abaixo, as

Leia mais

CM127 - Lista 3. Axioma da Paralelas e Quadriláteros Notáveis. 1. Faça todos os exercícios dados em aula.

CM127 - Lista 3. Axioma da Paralelas e Quadriláteros Notáveis. 1. Faça todos os exercícios dados em aula. CM127 - Lista 3 Axioma da Paralelas e Quadriláteros Notáveis 1. Faça todos os exercícios dados em aula. 2. Determine as medidas x e y dos ângulos dos triângulos nos itens abaixo 3. Dizemos que um triângulo

Leia mais

Estatística II. Aula 8. Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

Estatística II. Aula 8. Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc. Estatística II Aula 8 Pro. Patricia Maria Bortolon, D. Sc. Tsts Qui Quadrado Objtivos da Aula 8 Nsta aula, você aprndrá: Como quando utilizar o tst qui-quadrado para tablas d contingência Como utilizar

Leia mais