CAPÍTULO V OSCILAÇÕES E ONDAS

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1 APÍTULO V OSILAÇÕES E ONDAS 5.1. INTRODUÇÃO Est capítulo aprsnta alguns concitos fundamntais d dois fnómnos físicos qu são muito corrnts no nosso quotidiano: as oscilaçõs as ondas. As oscilaçõs ocorrm quando um sistma físico é afastado ligiramnt da sua posição d quilíbrio stávl. omo xmplos d osciladors podmos rfrir o movimnto para cima para baixo d um barco âncorado no alto-mar, o pêndulo d um rlógio antigo d pard, uma massa suspnsa na xtrmidad d uma mola 1, um circuito léctrico constituido por uma bobina um condnsador o movimnto das partículas carrgadas d um plasma 3 m torno da suas posiçõs d quilíbrio. omo vrmos na scção sguint, as oscilaçõs são caractrizadas por um movimnto sinusoidal, mais ou mnos amortcido, d uma grandza caractrística do oscilador (por xmplo, o ângulo do pêndulo com a dircção vrtical ou o dslocamnto m rlação à posição d quilíbrio da massa do sistma massa-mola ou a corrnt léctrica qu prcorr um circuito L (Figura 5.1)) As ondas corrspondm a oscilaçõs no tmpo qu são gradas num dado ponto (missor) qu s propagam no spaço, d modo a transmitirm informação sob a forma d nrgia momnto, sm contudo transportarm matéria. Est facto significa qu s um obsrvador analisar uma onda num ponto do spaço vê uma oscilação no tmpo; s sta 1 Vulgarmnt dsignado por sistma massa-mola. O chamado circuito L. 3 Um plasma é um mio ionizado, quas nutro, com comportamnto colctivo. 1

2 anális for ralizada num instant d tmpo 4, o obsrvador vê uma oscilação no spaço. omo xmplo d ondas, podmos rfrir as ondas sonoras, as ondas lctromagnéticas o movimnto da água d um grand lago originado plo lançamnto d uma pdra para o su intrior. Figura 5.1 Rprsntação squmática d um pêndulo (à squrda), d um sistma massa-mola (ao cntro) d um circuito L (à dirita) Problma 5.1 Um pquno pdaço d madira stá a flutuar na água calma d um grand lago. Diga, justificando, o qu acontc ao pdaço d madira quando uma pdra cai na vrtical no lago. 5.. OSILAÇÕES Oscilador harmónico simpls Um oscilador harmónico simpls é um sistma físico cujo comportamnto dinâmico é rgido por uma quação difrncial 5 d a ordm 6 do tipo d s( + ω s( = (5.1) m qu s( é uma grandza caractrística do sistma ω é a frquência ângular d oscilação. Esta quação difrncial admit uma solução do tipo s( = S M cos (ω t + α) (5.) m qu S M α são duas constants d intgração 7 cujos valors são calculados a partir das condiçõs iniciais 8. A grandza Φ( = ωt + α (5.3) 4 Através, por xmplo, d uma fotografia. 5 Equação qu contém plo mnos uma drivada. 6 Equação difrncial m qu a drivada d ordm suprior é d sgunda ordm. 7 Para rsolvrmos uma quação difrncial d a ordm é prciso fctuar duas intgraçõs. Em cada uma dstas opraçõs é introduzida uma contant (dado qu a drivada d uma constant é zro), plo qu a solução dsta quação contém duas constants d intgração. 8 As condiçõs iniciais corrspondm às condiçõs a qu o sistma tm d obdcr quando, na origm do tmpo, é afastado da sua posição d quilíbrio.

3 é dsignada por fas no instant t. A anális das quaçõs (5.) (5.3) prmit concluir qu S M α corrspondm, rspctivamnt, à amplitud 9 da oscilação à dsfazagm na origm do tmpo. Problma 5. - Vrifiqu qu a função (5.) é uma solução da quação (5.1). Rsolução: Para rsolvrmos st problma vamos comçar por calcular a primira a sgunda drivadas da função (5.) m ordm ao tmpo ds = S ω sn( ω t + α ) M (5.4) d s = S ω cos( ω t + α ) M (5.5) Substituindo (5.5) (5.) m (5.1) obtmos uma idntidad S M ω cos ( ω t + α ) + ω S M cos ( ω t + α ) = o qu significa qu a função (5.) é solução da quação (5.1). Problma 5.3. a) Vrifiqu qu as funçõs s ( = S M sn( ω t + β ) (5.6) j( ω t+ϕ ) s ( = S M (5.7) também são soluçõs da quação (5.1). b) Expliqu, do ponto d vista matmático, a razão porqu as funçõs (5.), (5.6) (5.7) são soluçõs da quação (5.1). c) O qu distingu, do ponto d vista físico, as funçõs (5.) (5.6)? Problma 5.4 onsidr um sistma massa-mola cujo dslocamnto m rlação a posição d quilíbrio é dada por x ( = (1. mtros) cos ( t / + π /6) a) alcul a amplitud, a frquência ângular o príodo do movimnto (Solução: A=1. m, ω o =.5 rad/s, T=1.6 s) b) Dtrmin a localização da massa m t=1 s (Solução: x(t=1 s) =.64 m) Problma onsidr o circuito rprsntado na Figura 5.. Figura 5. ircuito L a) Vrifiqu qu st circuito é um oscilador harmónico simpls. 9 Valor máximo. 3

4 b) Dtrmin as funçõs v (, i( v L (, admitindo qu no instant m qu s fcha o intrruptor i()= v ()=1 V. Rsolução a) A aplicação da Li das Malhas a st circuito conduz à quação v ( + v L ( = (5.8) m qu 1 v ( = i( (5.9) di( v ( = L (5.1) L Drivando (5.9) m ordm ao tmpo obtmos dv ( c 1 = i ( (5.11) c plo qu dv ( c i( = (5.1) Substituindo (5.8) obtmos d v ( v ( + L c = (5.13) c qu é uma quação difrncial do tipo da quação (5.1), com b) A quação (5.13) admit uma solução do tipo qu, atndndo a (5.1) (5.1). prmit obtr: ω 1 = L (5.14) v ( = V M cos( ω t + α ) (5.15) As condiçõs frontiras são i ( = V M ω sn( ω t + α ) (5.16) v L ( = LV M ω cos( ω t + α ) = V M cos( ω t + α ) v (5.17) () = 1V M cosα (5.18) i( ) = = V M ω snα (5.19) Esta última igualdad implica qu sn α = 4

5 ou sja Substituindo st rsultado m (5.18) obtmos α = (5.) V M = 1 V (5.1) Em rsumo, atndndo a qu ω = = 1 rads (5.) L podmos scrvr qu: v ( = 1 cos (1 c 6 (5.3) 6 i( =.1 sn (1 (5.4) príodo 6 v L ( = 1 cos (1 (5.5) Vamos agora calcular o priodo (T) a frquência (f) das oscilaçõs. A dfinição d aplicada à função (5.) prmit scrvr qu ou sja 1 dond concluimos qu A dfinição d frquência prmit concluir qu s ( t + T ) = s( (5.6) cos( ω ( t + T ) + α) = cos( ω t + α) (5.7) ω ( t + T ) + α = ω t + α + π T = π / ω (5.8) f = 1 / T (5.9) f = ω / π (5.3) Esta xprssão mostra qu a frquência das oscilaçõs apnas dpnd das caractrísticas do oscilador 11, sndo indpndnt da amplitud das oscilaçõs. Est facto 1 Uma vz qu a função cosno tm um príodo d π. 11 Por xmplo, no caso do circuito L dos valors da capacidad do condnsador da inductância da bobina (vr quação (5.14)). 5

6 significa qu, quando carrgamos numa tcla d um piano, a frquência da nota mitida é smpr a msma, indpndntmnt da força com qu tocamos na tcla. Problma 5.6 Dtrmin o príodo a frquência das oscilaçõs do circuito L rprsntado na Figura 5.. (Solução: f = khz, T = 6.8 µs) 5... Oscilador harmónico amortcido Os osciladors dscritos na scção antrior corrspondm a situaçõs idais já qu a nrgia total do sistma, consquntmnt, a amplitud das oscilaçõs prmancm constants no tmpo 1. ontudo, a ralidad é difrnt. D facto, dvido ao atrito, há smpr dissipação d nrgia sob a forma d calor, plo qu a nrgia total do oscilador, consquntmnt, a amplitud das oscilaçõs diminum no tmpo 13. omo vrmos mais à frnt, a forma como a amplitud das oscilaçõs dcrsc dpnd da intnsidad da força d atrito. Problma 5.7 a) Vrifiqu qu a nrgia total do circuito L rprsntado na Figura 5.. é constant no tmpo. b) Intrprt o funcionamnto dst oscilador m trmos nrgéticos Rsolução: a) omo já sabmos do capítulo II, o condnsador a bobina armaznam, rspctivamnt, nrgia léctrica nrgia magnética dadas por W = v / (5.31) W m = L i / (5.3) Substituindo (5.3) (5.4) nstas quaçõs obtmos W 1 = v ( = 1 1 cos (1 6 = cos (1 Jouls (5.33) W m 1 = L i ( 1 3 = 1 1 sn 6 = 5 1 sn 6 (1 6 (1 Jouls (5.34) plo qu a nrgia total do sistma é dada por 1 Por xmplo, a soma da nrgia cinética da nrgia potncial do pêndulo a soma da nrgia léctrica da nrgia magnética do circuito L são constants no tmpo. 13 O atrito é dvido ao ar no pêndulo no sistma massa-mola à rsistência léctrica do fio da bobina no caso do circuito L. 6

7 W = W + W m 6 = cos ( sn 6 (1 (5.35) 6 = 5 1 Jouls já qu 6 6 cos (1 + sn (1 = 1 A xprssão (5.35) mostra qu a nrgia total do circuito L é constant no tmpo. b) A Figura 5.3 rprsnta as variaçõs no tmpo da nrgia léctrica armaznada no condnsador da nrgia magnética armaznada na bobina. Figura 5.3 Variação das nrgias léctrica magnética armaznadas num circuito L. A anális dsta figura prmit concluir qu, do ponto d vista nrgético, o circuito L rprsnta uma oscilação no tmpo das nrgias léctrica magnética, d tal forma qu a nrgia total prmanc constant. D facto, quando a nrgia léctrica armaznada no condnsador é máxima a nrgia magnética armaznada na bobina é nula;, vic-vrsa, quando W m é máxima, W é nula. Ou sja, a oscilação do circuito L corrspond a uma troca d nrgia ntr o condnsador a bobina. Um oscilador harmónico amortcido é um sistma físico cujo comportamnto dinâmico é dscrito por uma quação difrncial do tipo d s( ds( + β + ω s( = (5.36) cujo sgundo trmo é dvido à força d atrito. 7

8 Esta quação admit uma solução da forma s t s t s( = A 1 + A (5.37) 1 m qu s 1 s são soluçõs da chamada quação caractrística. Esta quação obtm-s a partir da quação difrncial (5.36) substituindo a drivada d ordm n por s n : s + β s + ω = (5.38) Esta quação do o grau admit as sguints soluçõs s = β + j ω β (5.39) 1 s = β j ω β (5.4) S o amortcimnto for fraco, isto é, s β«ω, a quação caractrística tm duas soluçõs complxas conjugadas a quacao (5.37) pod sr scrita na forma βt s ( = S cos( ωt + α) (5.41) qu rprsnta oscilaçõs com amplitud dcrscnt no tmpo, com um príodo dado por T = π / ω (5.4) m qu ω = ω β (5.43) rprsnta a frquência ângular, amortcida, das oscilaçõs. A quantidad τ = 1 / β (5.44) é dsignada por tmpo d dcaímnto rprsnta o tmpo ao fim do qual a amplitud das oscilaçõs diminuiu d um factor 1/ 14. Est é o chamado rgim oscilatório amortcido (Figura 5.4). 14 Quanto mnor for o tmpo d dcaímnto mais amortcido é o movimnto oscilatório. 8

9 Figura 5.4 Rgim oscilatório amortcido Quando o amortcimnto aumnta, o tmpo d dcaímnto a frquência ângular das oscilaçõs diminum. Quando β=ω ating-s uma situação crítica m qu ω = (T= ) m qu a quação caractrística tm duas raízs rais iguais. Est é o chamado rgim d amortcimnto crítico (Figura 5.5). Quando β>ω as raízs da quação caractrística são rais difrnts o sistma rgrssa à situação d quilíbrio sm qualqur oscilação. Est é o chamado rgim d sobr-amortcimnto (Figura 5.5). Amortcimnto crítico Sobr-amortcimnto Figura 5.5 Rgims d amortcimnto crítico d sobr-amortcimnto Problma 5.8 onsidr o circuito rprsntado na Figura 5.6 Figura 5.6 ircuito RL 9

10 a) Vrifiqu qu st sistma é um oscilador harmónico amortcido. b) lassifiqu o rgim do oscilador. c) Dtrmin o tmpo d dcaímnto a frquência das oscilaçõs. d) alcul o valor da rsistência qu conduz à situação d amortcimnto crítico. Rsolução a) A aplicação da Li das Malhas ao circuito conduz a sguint quação qu, após algumas opraçõs matmáticas, podmos scrvr na forma di( 1 Ri ( + L + i( = (5.45) m qu d i di + β + ω i = R β = (5.46) L b) omo = 1 ω 15 L (5.47) stamos prant um rgim oscilatório amortcido. ω 6 rad / s = 1 β= c) Γ = = ω = β d) A situação d amortcimnto crítico obtida quando: R = L ω ο = x 1-3 x1 6 = kω 5.3. ONDAS Introdução omo vrmos nas scçõs sguints, uma onda é um fnómno qu corrspond à matrializacao física d uma função matmática qu é solução d uma quação d onda. D ntr os vários tipos d ondas assumm importância spcial as ondas lctromagnéticas as ondas mcânicas qu srão studadas m pormnor nos capítulos VI VII. As ondas lctromagnéticas comprndm, por xmplo, à luz do Sol dos lasrs, às ondas d rádio d tlvisão, às micro-ondas dos aparlhos usados na prparação d alimntos das comunicaçõs móvis via satélit os raios-x usados na mdicina nos 15 Est valor é xactamnt igual à frquência angular d oscilação do circuito L. 1

11 aroportos para a dtcção d mtais. omo xmplos das ondas mcânicas podmos rfrir as ondas acústicas as vibraçõs d uma corda d uma mola. onvém rfrir, dsd já, qu xist uma difrnça fundamntal ntr stas duas spécis d ondas. As ondas mcânicas ncssitam d um mio matrial para s propagarm nquanto as ondas lctromagnéticas até s propagam no vácuo 16. As rstants scçõs dst capítulo aprsntam aspctos grais qu são comuns a todos os tipos d ondas Equação d onda Uma onda é um fnómno físico qu é dscrito por uma quação difrncial do tipo s( x, 1 s( x, 17,18 = = (5.48) x v t qu admit uma solução particular 19, da forma s(x, = SM cos (ωt kx + α) (5.49) m qu SM é a amplitud, ω é a frquência ângular, k é o númro d onda α é a dsfasagm na origm do spaço do tmpo. Admitindo qu s( x, = X ( x) Γ( (5.5) como s x d X = Γ dx (5.51) s t = X d Γ (5.5) 16 Existm autors qu dsignam as ondas mcânicas por ondas matriais dado qu a sua gração prssupõ a xistência d um mio matrial ond a onda s propaga. 17 Esta quação rprsnta uma onda qu s propaga no sntido positivo do ixo dos Xs. 18 O símbolo rprsnta a chamada drivada parcial. A função s dpnd d duas variávis (x, plo qu s s podmos calcular as suas drivadas m ordm a x a t. A drivada m ordm a uma variávl x t dtrmina-s admitindo qu a outra variávl é constant. 19 Vrmos na scção sguint a forma da solução gral da quação d onda. Esta solução, mbora particular, muito important plas razõs qu já foram xplicadas antriormnt. 11

12 sta quação difrncial pod sr scrita na forma d X Γ dx 1 v d Γ X dcomposta nas sguints duas quaçõs difrnciais = (5.53) d X dx + k X = (5.54) d τ + ω Γ = (5.55) do tipo da quação do oscilador harmónico simpls, intrligadas pla sguint rlação ω = k v (5.56) a qu chamamos rlação d disprsão. Est facto significa qu uma onda pod sr vista como o rsultado d duas oscilaçõs, uma no tmpo a outra no spaço, ligadas ntr si pla rlação d disprsão. A oscilação no spaço é caractrizada por um priodo spacial qu s dsigna por comprimnto d onda λ = π / k (5.57) Função d onda Vamos, agora, stablcr a forma das soluçõs grais da quação d onda. Para isso, vamos admitir qu uma onda transvrsal s propaga, com vlocidad v, no sntido positivo do ixo dos Xs (Figura 5.7). Figura 5.7 Propagação d uma onda com vlocidad v 1

13 Num rfrncial (x* y*) qu s mov com vlocidad v, a amplitud da onda apnas dpnd d x* y*=f (x*) (5.58) Mas, como y=y* (5.59) x=x*+vt (5.6) tmos qu y=f (x-v (5.61) ou sja, qualqur função dst tipo, qu dsignamos por função d onda, é uma solução da quação d onda. Problma 5.9 Vrifiqu qu uma função do tipo y=f(x-v é uma solução da quação d onda. Problma 5.1 Diga m qu condiçõs uma solução do tipo y=y m sn(ωt-kv) é uma função d onda. Problma 5.11 Dtrmin a xprssão da função d onda corrspondnt a propagação da onda no sndo ngativo do ixo dos Xs Ondas transvrsais ondas longitudinais Nas ondas transvrsais a informção stá contida no plano prpndicular à dircção d propagação da onda. As ondas lctromagnéticas as vibraçõs d uma mola rprsntadas na Figura 5.8 são xmplos d ondas transvrsais. Figura 5.8 Ondas transvrsais d uma mola Nas ondas longitudinais a informação xist na própria dircção d propagação da onda. As ondas acústicas as vibraçõs d uma mola rprsntadas na Figura 5.9 são xmplos d ondas longitudinais. 13

14 Figura 5.9 Ondas longitudinais d uma mola Vlocidad d propagação d uma onda A vlocidad d propagação d uma onda num mio dpnd d algumas propridads do mio. Por xmplo, a vlocidad das ondas lctromagnéticas dpnd d propridads léctricas magnéticas do mio 1 v = (5.6) εµ m qu ε é a contant diléctrica µ é a prmabilidad magnética do mio. Problma 5.1 Dtrmin a vlocidad d propagação d ondas lctromagnéticas num mio com µ=µ ο ε=1.1ε ο A vlocidad das ondas mcânicas dpnd, m gral, d uma propridad lástica d uma propridad inrcial do mio Vlocidad d fas vlocidad d grupo onsidrmos uma onda dscrita pla sguint quação s(x, = S M cos (ωt-kx) (5.63) Tal como nos osciladors, a função φ = ωt-kx (5.64) dsigna-s por fas. A vlocidad d fas (v f ) a vlocidad a qu um obsrvador s tm d dslocar para vr a fas da onda constant. A condição φ = onstant (5.65) implica qu ω k dx = (5.66) plo qu 1 Vr scção

15 v f = dx / = ω / k (5.67) Nos mios disprsivos a vlocidad d fas dpnd da frquência. Em crtos mios, a vlocidad d fas pod sr maior qu a vlocidad da luz no vácuo. Est facto não viola a Toria da Rlatividad, uma vz qu a vlocidad d fas é um concito matmático, qu não stá associado à transmissão d informação. A vlocidad d grupo é dfinida pla xprssão v g = ω (5.68) k Esta vlocidad coincid, na maioria dos mios, com a vlocidad d transmissão d nrgia, sndo, por isso, mnor qu a vlocidad da luz no vácuo. Problma 5.13 onsidr um mio dscrito pla sguint rlação d disprsão ω = ω + k (5.69) m qu ω é uma constant 1 é a vlocidad d propagação das ondas lctromagnéticas no vácuo. a) Vrifiqu qu st mio é disprsivo b) alcul a vlocidad d grupo. Rsolução a) para vrmos s o mio é disprsivo, vamos comçar por calcular a vlocidad d fas v f ω = = k 1 = 1 ω ω ω ω ω (5.7) concluímos qu o mio é disprsivo porqu a vlocidad d fas dpnd da frquência ângular da onda. b) Para calcularmos a vlocidad d grupo vamos difrnciar a quação (5.69) ω dω = k dk plo qu v g = dω k = = dk ω v f = 1 ω ω (5.71) 15

16 Diagrama d disprsão Um diagrama d disprsão é uma rprsntação gráfica da rlação d disprsão. Num diagrama d disprsão xistm duas classs d frquências particularmnt importants: as frquências d cort as frquências d rssonância. Estas frquências corrspondm, rspctivamnt, às situaçõs m qu o númro d onda é nulo (frquência d cort) infinito (frquência d rssonância). Suponhamos qu uma onda s propaga num mio, cujas propridads variam ao longo d uma dada dircção. Quando a onda ating uma rgião m qu s vrificam as condiçõs d cort, a onda é rflctida a informação nla contida passa a propagar-s no sntido do missor. Ou sja, o mio comporta-s como um splho. Esta propridad é muito usada m Física Exprimntal (no dsnvolvimnto d técnicas d diagnóstico dos mios físicos) m Tlcomunicaçõs (por xmplo, na propagação das chamadas ondas curtas). Quando a onda ating uma rgião m qu s vrificam as condiçõs d rssonância, a onda é absorvida plo mio. Esta propridad é muito usada m Física Exprimntal para procdrmos ao aqucimnto d um mio. Problma 5.14 onsidr o mio dscrito pla rlação d disprsão (5.69). a) Dtrmin a frquência d cort b) Vrifiqu qu o v f > v g < c) Trac o diagrama d disprsão Rsolução: a) omo 1 k = ω ω a condição k= acontc quando ω=ω. Para ω>ω há propagação da onda porqu k é ral. Para ω<ω não há propagação da onda porqu k é imaginário puro. b) A vlocidad d fas é maior qu porqu rsulta do quocint d por um númro mnor do qu 1 (vr quação (5.7)). A vlocidad d grupo é mnor qu porqu rsulta do produto d por um númro mnor qu 1 (vr quação 5.71)). Figura Diagrama d disprsão da rlação d disprsão 16

17 Ondas planas ondas sféricas hama-s suprfíci d onda ao lugar gométrico dos pontos do spaço m qu a onda tm a msma fas, num dado instant d tmpo. Na vizinhança d uma font d ondas lctromagnéticas as suprfícis d onda são sfras concêntricas com a font (ondas sféricas) (Figura 5.11). À mdida qu nos afastamos da font, os raios das sfras vão aumntando, nas zonas muito afastadas da font, as suprfícis d onda são planos (ondas planas) (Figura 5.11). Estas ondas são muito importants porqu: (i) São soluçõs das quaçõs d onda; (ii) As outras ondas podm sr dcompostas num somatório d ondas planas. Figura 5.11 Suprfícis d onda d ondas lctromagnéticas qu s propagam a partir d um missor Princípio da Sobrposição O Princípio da Sobrposição diz qu, quando duas ou mais ondas s combinam, a onda rsultant é a soma algébrica das ondas individuais. onsidrmos duas ondas, da msma frquência amplitud, qu s propagam no sntido positivo do ixo dos Xs. y 1 =y sn (ωt - kx) (5.7) y =y sn (ωt kx+ θ) (5.73) O fito global, isto é a soma das duas ondas, é y 1 +y =y [sn (ωt kx) + sn (ωt kx +θ)] (5.74) omo podmos scrvr qu sn a + sn b = cos [(a-b)/] sn [(a+b)/] (5.75) y(x, = y1(x, + y(x, = y cos θ/ sn (ωt kx - θ/) (5.76) 17

18 Figura 5.1 Propagação d duas ondas da msma frquência sgundo o sntido positivo do ixo dos Xs Problma 5.15 Duas ondas, da msma frquência amplitud, propagam-s no sntido positivo do ixo dos Xs. a) Qual é a amplitud da onda rsultant s a difrnça d fas for π/ a amplitud d cada onda 4 cm? (Solução: 5.66 cm) b) Dtrmin a difrnça d fas das duas ondas qu conduz a uma amplitud da onda rsultant igual a 4 cm. (Solução: 1 ou 4) onsidrmos, agora, dois casos particulars: As duas ondas stão m fas (Figura 5.13). Nst caso, a amplitud duplica, ou sja há uma intrfrência construtiva. ONDA ONDA RESULTANTE ONDA 1 Figura 5.13 Sobrposição d duas ondas qu s propagam m fas no sntido positivo do ixo dos Xs As duas ondas stão m oposição d fas (Figura 5.14). Nst caso, as ondas anulam-s, ou sja tmos uma intrfrência dstrutiva. 18

19 ONDA ONDA RESULTANTE ONDA 1 Figura 5.14 Sobrposição d duas ondas qu s propagam m oposição d fas no sntido positivo do ixo dos Xs Onda stacionária onsidrmos, agora, qu as duas ondas s propagam m sntidos opostos do ixo dos Xs. y 1 (x, = y sn (ωt kx) (5.77) y (x, = y sn (ωt + kx + θ) (5.78) plo qu y (x, = y 1 +y = y cos (kx+θ/) sn (ωt+θ/) (5.79) Esta xprssão traduz uma onda stacionária na qual não há uma vrdadira propagação porqu nos pontos m qu cos (kx + θ/) = (5.8) não há vibração Grupo d ondas Suponhamos qu as duas ondas s propagam no msmo sntido do ixo dos Xs, mas qu possum frquências muito próximas y 1 (x, = y sn (ω 1 t - k 1 x) (5.81) y (x, = y sn (ω t k x) (5.8) A soma das duas ondas conduz a: y(x,=ycos[(ω ω t-(k-k1)x]/sn [(ω+ω t-(k+k1)x]/ (5.83) Fazndo k 1 +k =k ω1+ω=ω k -k 1 = k ω ω1= ω 19

20 vm qu y(x,=y cos ( ωt kx) sn (ωt-kx) ou sja, uma onda com um comprimnto d onda quas igual ao das duas ondas, mas com a amplitud modulada. A sta strutura chama-s grupo d ondas. orrspond a uma onda d frquência f qu s propaga com vlocidad v= ω/k organizada m grupos, rsultants d uma modulação, qu s propagam com a chamada vlocidad d grupo vg= ω/ k Figura 5.15 Propagação d duas ondas com frquências muito próximas Já rfrimos antriormnt qu as ondas monocromáticas não transmitm informação. Esta propaga-s através d grupos d onda. A frquência d um missor d rádio ou d tlvisão corrspond à frquência da portadora, a qual, por si só, não transmit informação. A informação (o som /ou as imagns) adicionada a portadora através da modulação da sua amplitud (amplitud modulada (AM)) ou da sua frquência (frquência modulada (FM)).