Secção 8. Equações diferenciais não lineares.

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1 Scção 8. Equaçõs difrnciais não linars. (Farlow: Sc. 8. a 8.3) Esa scção srá ddicada às EDOs não linars, as quais são gralmn d rsolução analíica difícil ou msmo impossívl. Não vamos porano nar rsolvê-las como fizmos com as quaçõs linars nas scçõs anriors, mas apnas procurar obr informação qualiaiva sobr o comporamno da solução na proimidad do chamado pono (ou ponos) d quilíbrio. Para al, rmos primiro qu sudar como as soluçõs d sismas d EDOs linars s comporam na proimidad do pono d quilíbrio. Vrmos dpois como sa informação nos srá úil. Vamos comçar por considrar um caso simpls: apnas uma EDO linar d primira ordm: d. Esa quação é dsignada d auónoma, pois o lado dirio não é função plícia da variávl indpndn, mas apnas d. Chamamos pono d quilíbrio da quação ao pono para o qual a primira driva d m ordm a s anula, ou sja, no pono d quilíbrio, não varia com. Ns caso: d. Assim, o pono d quilíbrio corrspond a -. Mas o qu é qu iso significa ralmn? Como é qu o pono d quilíbrio afca o comporamno da solução da EDO? Vamos rsolvr a quação difrncial para nar rspondr a sa qusão. d ln C C. Considrmos a condição inicial () -, ou sja, para, nconra-s prcisamn no pono d quilíbrio: () C C. Ou sja, a solução paricular corrspondn a sa condição inicial é:. Em rmos gráficos ríamos: Página da Scção 8

2 Ou sja, é consan ao longo do mpo! S a solução parir do pono d quilíbrio, la prmanc nss pono. Iso faz snido, sm dúvida. Mas, s parirmos d ouro pono, qu não o d quilíbrio? Vamos não considrar oura condição inicial: (). Graficamn: C C (). - A solução aproima-s assimpoicamn do pono d quilíbrio ao longo do mpo. Ralmn, da solução paricular obida vmos qu:. Mas srá qu s comporamno é gral, ou sja, srá qu as soluçõs pariculars d qualqur quação s aproimam smpr do pono d quilíbrio? Vjamos oura quação difrncial, ligiramn difrn da anrior: d. O pono d quilíbrio é novamn é novamn -. A solução gral da EDO é: C. Considrmos novamn a condição inicial () -: () C C.. - Página da Scção 8

3 Mais uma vz, s s nconrar no pono d quilíbrio no início, manr-s-á nss pono ao longo do mpo. E s ()? C C (). A rprsnação gráfica daria: O comporamno é agora basan difrn do anrior: afasa-s cada vz mais do pono d quilíbrio! D faco, da solução obida m-s qu:. Tnmos oura condição inicial: () -3: C C () 3 3. A nova rprsnação gráfica rá s aspco: Mais uma vz, a solução afasa-s do pono d quilíbrio:. Enão, nm smpr a solução d uma EDO nd para o pono d quilíbrio à mdida qu o mpo dcorr Vamos sismaizar sa anális do significado implicaçõs do concio d pono d quilíbrio, gnralizando-a para sismas d quaçõs difrnciais Página 3 da Scção 8

4 linars d primira ordm. Considrarmos o caso simpls m qu o sisma m apnas duas quaçõs. Classificação d ponos d quilíbrio d sismas linars no plano d fass Considrmos um sisma linar homogéno, d coficins consans, d duas quaçõs difrnciais na forma maricial: Pono d quilíbrio d A. O pono d quilíbrio do sisma é o pono (, ) para o qual as drivadas s anulam, ou sja: d d a a a a É fácil d vr qu para qualqur sisma linar homogéno o pono d quilíbrio é dado por (, ) (,). O nosso objcivo é sudar como as soluçõs pariculars do sisma s comporam na vizinhança do pono d quilíbrio (,). Srá qu as soluçõs, ao longo do mpo, convrgm para o pono d quilíbrio ou srá qu s afasam dl? E qual o su aspco gráfico? Vimos na Scção 7 qu a solução gral d um sisma homogéno d duas quaçõs diofrnciais d primira ordm pod sr scria como: λ () () λ v c v c, Plano d fass rajcórias m qu λ λ são os valors próprios da mariz d coficins v () v () são os vcors próprios associados a cada valor próprio. É com bas nsa prssão qu vamos sudar o comporamno da solução,, na proimidad do pono d quilíbrio (,). Ess sudo srá fcuado d forma qualiaiva rcorrndo a uma rprsnação gráfica dnominada plano d fass: não rprsnamos indpndnmn m função do mpo, mas sim m função d : Página 4 da Scção 8

5 (,) O pono d quilíbrio (,) corrspond à origm das coordnadas do plano d fass. O prcurso raçado por ao longo do mpo no plano d fass é dnominado rajcória. Vamos não considrar vários casos, corrspondns aos difrns ipos d valors próprios qu podm ocorrr: I. Valors próprios rais, disinos d sinal igual a) l < l < A solução gral é dada por: c λ () () λ v c v Vjamos primiro o qu sucd na siuação limi m qu : uma vz qu ambas as ponnciais êm pons ngaivos, ambas as parclas ndrão para zro, ou sja:. Assim, ficamos já a sabr qu odas as soluçõs s aproimam do pono d quilíbrio à mdida qu o mpo aumna. Mas como s fcua, no plano d fass, ssa aproimação? Para mpo lvados, a parcla d qu nd mais rapidamn para zro λ srá c v parcla m (), uma vz qu λ > λ. Ou sja, para mpos suficinmn lvados, a () v podrá sr dsprzada apnas a parcla m c λ () v. () v conribui para : Vmos não qu as soluçõs, no plano d fass, s dvrão aproimar do pono (,) sguindo (assimpoicamn) a dircção do vcor v ()! No caso adicional m qu as condiçõs iniciais do problma implicarm qu c, rá smpr a dircção d v () : λ () c c v. Apnas uma solução paricular não obdc a s comporamno assimpóico: aqula para a qual c. Nss caso: Página 5 da Scção 8

6 λ () c c v, ou sja, a solução aproima-s d (,) ao longo da dircção do vcor v (). As rajcórias são squmaizadas no plano d fass abaio, assumindo dois vcors próprios arbirários, v () v () : Nó impróprio Cada uma das rajcórias rprsnadas corrspond a uma solução paricular do sisma (ou sja, provêm d uma condição inicial disina). As sas colocadas sobr cada rajcória indicam o snido da sua volução à mdida qu aumna. Vmos qu odas as rajcórias (cpo duas, para o caso m qu c ) sgum uma msma dircção assimpóica na vizinhança do pono d quilíbrio. Nsa siuação, o pono d quilíbrio é não dsignado d nó impróprio. b) < l < l Agora sucd o oposo do caso anrior: quando,, ou sja, para mpos lvados, as rajcórias afasam-s cada vz mais do pono d quilíbrio. As rajcórias nconram-s na vizinhança do pono d quilíbrio apnas quando. É fácil concluir qu o raçado das rajcórias no plano d fass é idênico ao anrior, apnas Os mplos d planos d fass aqui aprsnados são adapados do capíulo 8 do Farlow. Ao dizrmos qu prndmos indicar qu ndm para ou, d foram qu as rajcórias s afasam do pono d quilíbrio, prcorrndo um drminado quadran no plano d fass. Página 6 da Scção 8

7 com a difrnça d qu o su snido é invrido (as sas aponam para fora, nquano qu anriormn aponavam para o cnro). Todas as rajcórias s afasam do pono d quilíbrio à mdida qu o mpo avança. II. Valors próprios rais, disinos d sinal difrn l < < l c λ () () λ v c v Qual é agora o comporamno das rajcórias? Vjamos as siuaçõs limi, ou sja, quando : c c λ () v λ () v Ou sja, quando as rajcórias afasam-s do cnro do plano d fass sguindo a dircção d v () (o vcor próprio associado ao valor próprio posiivo). Quando as rajcórias afasam-s do cnro do plano d fass sguindo a dircção d v () (o vcor próprio associado ao valor próprio ngaivo) Parc qu m nnhuma circunsância as rajcórias s aproimam do pono d quilíbrio (,)... Não é bm assim: s c, c λ () v logo quando. Da forma smlhan, s c, c λ () v não quando. O sguin plano d fass squmaiza as conclusõs obidas: Pono d sla Página 7 da Scção 8

8 O pono d quilíbrio é agora dsignado d pono d sla. III. Valors próprios iguais a) Eism dois vcors próprios linarmn indpndns S concguirmos nconrar dois vcors próprios linarmn indpndns associados ao valor próprio único, λ, não a solução gral é dada por: () () ( cv cv ) c () () ( c v c ) λ () λ () λ v c v v é um vcor cuja dircção dpnd das consans c c ( ou sja, das condiçõs iniciais do problma). As rajcórias vão assim, ao longo do mpo, sguir a () () dircção dss vcor, ou sja, srão rcas com a dircção d ( cv cv ).. O snido das rajcórias dpndrá do sinal d λ. S l < : ou sja, as rajcórias aproimam-s do pono d quilíbrio à mdida qu aumna. Eis o plano d fass corrspondn: Nó próprio Esa dsignação é usada pois, m planos d fass ridimnsionais, as rajcórias lmbra m a curvaura da sla d um cavalo. Página 8 da Scção 8

9 Uma vz qu cada rajcória sgu uma dircção disina na vizinhança do pono d quilíbrio, s é dsignado d nó próprio. S l >, o plano d fass ria o msmo aspco, cpo qu as rajcórias voluiriam no snido oposo (aponam para fora). b) Não ism dois vcors próprios linarmn indpndns Ns caso rmos d rcorrr a um vcor próprio gnralizado por forma a consruir a solução gral: λ ( u v) ( c v c u c v) λ λ c v c Assumindo l <, rmos nas siuaçõs limi: λ cv Para mpos lvados, as rajcórias aproimam-s do pono d quilíbrio sguindo a dircção do vcor v. Para, as rajcórias afasam-s do pono d quilíbrio. Eis o squma do plano d fass corrspondn:. Nó impróprio O pono d quilíbrio é um nó impróprio, al como scdia num caso anrior m qu as rajcórias assumiam uma msma dircção assimpóica na sua vizinhança. Página 9 da Scção 8

10 S l >, o snido das rajcórias sria o invrso. IV. Valors próprios complos conjugados Ns caso, λ α ± iβ, v a ± ib, a solução gral srá dada por: c α α α [ cos( β) a sin( β) b] c [ sin( β) a cos( β) b] {[ c cos( β) c sin( β) ] a [ c sin( β ) c cos( β) ] b} Tsmos agora qu considrar dois casos disinos: a) Os valors próprios êm par ral nula, a A solução é não simplsmn: [ c β ) c sin( β) ] a [ c sin( β) c cos( ]b cos( β ), Uma vz qu os vcors a b são muliplicados por coficins qu assumm valors priódicos no mpo, não ib qualqur comporamno spcífico quando ou. Podrá havr momnos m qu a solução s afasa d (,), para dpois s volar a aproimar, sndo s comporamno rpido infiniamn. O plano d fass rá assim um aspco smlhan ao rprsnado abaio: Cnro O pono d quilíbrio é agora dsignado d cnro, uma vz qu as rajcórias orbiam coninuamn m su rdor. b) Os valors próprios êm par ral não nula, a A solução gral é dada por: Página da Scção 8

11 {[ c β) c sin( β) ] a [ c sin( β) c cos( ) ] b} α cos( β. S a <, é fácil d vr qu: As rajcórias orbiam ainda m orno d (,), no nano, aproimam-s cada vz mais à mdida qu o mpo aumna, formando uma spiral. Eis o plano d fass corrspondn: Foco O pono d quilíbrio é dnominado foco. S a >, o snido das rajcórias sria o oposo. Ponos d quilíbrio sávis, assimpoica mn sávis insávis Classificação da sabilidad dos ponos d quilíbrio Um pono d quilíbrio é sávl s, para qualqur condição inicial na sua vizinhança, a rajcória da solução corrspondn prmancr próima dss pono. Para além disso, um pono d quilíbrio é assimpoicamn sávl s for sávl a rajcória s aproimar do pono quando. Um pono d quilíbrio qu não sja sávl é chamado insávl. Um cnro é um mplo d um pono d quilíbrio sávl, mas não assimpoicamn sávl. Um foco ou um nó próprio ou nó impróprio m qu as rajcórias ndam para o pono d quilíbrio quando, são mplos d ponos d quilíbrio assimpoicamn sávis. Página da Scção 8

12 Página da Scção 8 Vamos vr um mplo d classificação da sabilidad do pono d quilíbrio d um sisma linar. Considrmos o sisma: ' 3 ' A mariz d coficins do sisma é: 3 A Os valors próprios vcors próprios associados são: 4,, () () v v λ λ A solução gral do sisma é assim: 4 c c. Tmos uma siuação m qu os valors próprios são rais, disino do msmo sinal (ngaivo). D acordo com a anális qu fcuamos anriormn, as rajcórias aproimam-s do pono d quilíbrio sguindo a dircção assimpóica dfinida plo vcor próprio v () : c. Nas siuaçõs pariculars (diadas plas condiçõs inciais do problma) m qu c ou c, as rajcórias são rcilínas: 4 c c c c Emplo

13 O pono d quilíbrio do sisma é assim um nó impróprio sávl. Tmos a sguir uma rprsnação rigorosa ** d algumas das rajcórias. O su snido (não indicado nsa figura) apona para o cnro do plano d fass. v () v () (,) Eis ouro mplo. Emplo Considrmos o sisma: ' 4 5 ' A mariz d coficins do sisma é: 4 A 5 Os valors próprios são agora complos conjugados: ** Efcuada rcorrndo ao MS Ecl. Página 3 da Scção 8

14 λ ± i, v 3 i A solução gral do sisma é: cos sin 3sin cos c c cos sin. Tmos assim um foco sávl. Eis a rprsnação rigorosa d algumas das rajcórias no plano d fass: (,) Trminado s sudo inroduório rlaivo ao comporamno das rajcórias d sismas linars d primira ordm, vamos não iniciar a anális das quaçõs difrnciais não linars. Página 4 da Scção 8

15 Equaçõs difrnciais não linars Considrmos o sguin sisma d duas EDOs não linars d primira ordm: d P (, ) d Q (, ) Sisma auónomo Um sisma ds ipo, m qu as funçõs P Q não dpndm pliciamn da variávl indpndn, é chamado um sisma auónomo. Um pono d quilíbrio do sisma é um pono (, ) para o qual s anulam: P(, Q(, ) ) Ponos qu não são ponos d quilíbrio são chamados ponos rgulars. O sisma acima pod não sr rsolúvl analiicamn. Podrmos, no nano, nar analisar não o comporamno d m função d, mas simplsmn o comporamno d m função d, ou sja, as rajcórias qu os ponos (,) dscrvm ao longo do mpo no plano d fass. Como podmos obr ssas rajcórias? Vamos considrar dois casos possívis: ) Cálculo das rajcórias d um sisma auónomo Considrmos o sisma auónomo: d P (, ) d Q (, ) Dividindo a sgunda quação pla primira, obmos: d d ' Q(, ). ' P(, ) S consguirmos rsolvr sa quação difrncial, obmos m função d, ou sja, a quação gral das rajcórias no plano d fass. Emplo Considrmos o sisma: Página 5 da Scção 8

16 d d ( ) As rajcórias podm sr obidas rsolvndo: D ond s obém: d d ( ) C( ).. Uma rprsnação rigorosa d algumas dsas rajcórias é aprsnada na figura sguin. (,) ) Cálculo das rajcórias d uma EDO auónoma d sgunda ordm A sguin quação não linar d sgunda ordm: d d P (, ) Página 6 da Scção 8

17 é dsignada como auónoma pois P não é função d. Ela pod sr ransformada num d sisma auónomo fazndo : d d P (, ) E, al como anriormn, as rajcórias (,) podrão sr obidas s consguirmos rsolvr a quação difrncial: d P(, ). d Esas rajcórias dar-nos-ão assim informação sobr a forma como (ou sja, ) varia com. Emplo Considrmos a EDO não linar d sgunda ordm: d. Fazndo d : d d As rajcórias srão obidas da solução d: d. d Ou sja: C ± ln( ). Eis algumas das rajcórias: Página 7 da Scção 8

18 É claro qu nm smpr srá possívl obr uma prssão analíica para as rajcórias d um sisma não linar, ou sja, podrmos não consguir rsolvr a quação d difrncial f(, ) d. Nsss casos, rmos qu rcorrr à écnica d linarização, d forma a obr um sisma linar cujas rajcórias rão um comporamno smlhan na proimidad do pono d quilíbrio. Linarização d um sisma não linar m orno do pono d quilíbrio Quando não consguimos obr uma quação analíica para as rajcórias d um problma não linar, rsa-nos rcorrr à linarização. Considrmos um sisma não linar auónomo, cujo pono d quilíbrio é (,): d d P(, ) Q(, ) A linarização m orno do pono d quilíbrio é basada na pansão m séri d Talor d P(,) d Q(,) m orno do pono (,) : Rcord qu P(,) Q(,). Página 8 da Scção 8

19 d d P P(,) Q Q(,) (,) (,) P Q (,) (,) R P R P (, ) Q Q (, ) (,) (,) P Q (,) (,) R P (,) R Q (,) são rmos dsprzávis dsd qu (,) sja suficinmn próimo d (,). Ou, mais rigorosamn, R P (,) R Q (,) saisfazm a condição: Sisma linar associado lim (, ) (,) R (, ) P lim (, ) (,) (, ) RQ. Ou sja, s sivrmos apnas inrssados m analisar o qu s passa na proimidad do pono d quilíbrio, não o nosso sisma não linar pod sr subsiuído plo chamado sisma linar associado, dado por: d d P Q (,) (,) P Q (,) (,) Es sisma é homogéno, logo nós sabmos como obr as suas rajcórias m orno d (,). No nano, é imporan salinar qu a solução gral do sisma associado não é a msma qu a solução gral do sisma não linar original! Eis apnas uma smlhança qualiaiva no comporamno d ambas as soluçõs na vizinhança do pono d quilíbrio. Por ouras palavras, o comporamno das rajcórias do sisma linar associado vai-nos dar informação qualiaiva sobr o comporamno das rajcórias do sisma não linar. Eis a sguir uma dscrição d como a naurza dos valors próprios (λ λ ) da mariz d coficins do sisma linar associado s rlaciona com a classificação do pono d quilíbrio do sisma não linar original. S λ λ não são rais iguais ou não são imaginários puros, não as rajcórias do sisma linar associado na proimidad d (,) são do msmo ipo êm a msma sabilidad qu as do sisma não linar. S λ λ são rais iguais, não (,) é um nó ou um foco do sisma não linar. S λ λ <, o pono d quilíbrio é assimpoicamn sávl. S λ λ >, o pono d quilíbrio é insávl. Página 9 da Scção 8

20 S λ λ são imaginários puros, não (,) é um cnro ou um foco do sisma não linar a sua sabilidad é indrminada (pod sr sávl, assimpoicamn sávl ou insávl). A abla sguin sumariza sas considraçõs: l, l Sisma linar associado Sisma não linar λ > λ > nó impróprio insávl nó impróprio insávl λ < λ < nó impróprio sávl nó impróprio sávl λ < < λ pono d sla insávl pono d sla insávl λ λ > λ λ < nó próprio ou impróprio insávl nó próprio ou impróprio assimpoicamn sávl α > foco insávl foco insávl nó próprio ou impróprio ou foco insávl nó próprio ou impróprio ou foco assimpoicamn sávl λ α iβ λ α - iβ α < foco assimpoicamn sávl α cnro sávl foco assimpoicamn sávl cnro ou foco d sabilidad indrminada Ans d concluir sa discussão, mos ainda qu considrar a hipós d o sisma não linar possuir um pono, ou ponos, d quilíbrio difrns d (,). Nss caso, srá ncssário fcuar uma mudança d variávl d forma a prmiir aplicar a linarização como dscrio anriormn. Suponhamos qu o sisma auónomo d d P(, ) Q(, ) m como pono d quilíbrio o pono (, ) (,). Aplicando a mudança d variávl: u v o sisma rsulan: Página da Scção 8

21 Página da Scção 8 ), ( ), ( ), ( ), ( v u Q dv v u P du v u Q dv v u P du rá como pono d quilíbrio o pono (,). Vjamos um mplo. Considrmos o sguin sisma não linar:.5 ' ' Quais os ponos d quilíbrio? 4.5 ' ' Ou sja, o sisma m dois ponos d quilíbrio: (,) (4,). Comcmos pla anális do pono (,). Linarizando m orno dss pono: ( ) Q Q d P P d (,) (,) (,) (,) O sisma linar associado é assim: d d A mariz dos coficins é: A a qual m valors próprios: λ i λ -i. Assim, (,) é um foco do sisma linar associado um cnro ou um foco do sisma não linar original. Nada podmos dizr quano à sua sabilidad. Emplo

22 Analismos agora o pono d quilíbrio (4,). Primiro, mos qu fazr uma mudança d variávl, d forma a obr um novo sisma, cujo pono d quilíbrio sja (,): u 4 u 4 v v O sisma fica: u' v v' ( u 4).5( u 4) u u 4 Es novo sisma m como pono d quilíbrio o pono (,). Linarizando obmos : u' v v' u A mariz dos coficins é agora: A a qual m valors próprios rais disinos: λ - λ, logo o pono d quilíbrio (4,) é um pono d sla insávl. (,) (4,) Página da Scção 8

23 A figura anrior rprsna as rajcórias do sisma não linar original raçadas rigorosamn (uma vz qu sas podm sr obidas analiicamn dmonsr). É noório qu o comporamno na vizinhança d (,) (4,) é d faco caracrísico d, rspcivamn, um cnro um pono d sla. Página 3 da Scção 8

24 Sumário da Scção 8 Classificação d ponos d quilíbrio d sismas linars no plano d fass I. Valors próprios rais, disinos d sinal igual II. Valors próprios rais, disinos d sinal difrn III. Valors próprios iguais a. Eism dois vcors próprios linarmn indpndn b. Não ism dois vcors próprios linarmn indpndns IV. Valors próprios complos conjugados a. Os valors próprios êm par ral nula, α b. Os valors próprios êm par ral não nula, α Classificação da sabilidad dos ponos d quilíbrio Equaçõs difrnciais não linars ) Cálculo das rajcórias d um sisma auónomo ) Cálculo das rajcórias d uma EDO auónoma d sgunda ordm Linarização d um sisma não linar m orno do pono d quilíbrio Página 4 da Scção 8