Apontamentos de Análise de Sinais

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1 LICENCIUR EM ENGENHRI DE SISEMS DE ELECOMUNICÇÕES E ELECRÓNIC ponamnos d nális d Sinais Módulo Prof. José maral Vrsão. -- Scção d Comunicaçõs Procssamno d Sinal ISEL-CEDE, Gabin C da@isl.p

2 Índic OBJECIVOS.... SÉRIE DE FOURIER... SÉRIE DE FOURIER DE SINIS CONÍNUOS PERIÓDICOS... EXEMPLO.... EXEMPLO..... RNSFORMD DE FOURIER. RNSFORMD DE FOURIER DE SINIS CONÍNUOS NÃO PERIÓDICOS... EXEMPLO.... RNSFORMD DE FOURIER DE SINIS CONÍNUOS PERIÓDICOS... EXEMPLO.... EXERCÍCIO MLB... MLB... EXEMPLO... EXEMPLO... EXEMPLO... EXEMPLO... 7 EXEMPLO... 7 EXEMPLO... 8 EXEMPLO EXEMPLO EXERCÍCIO... EXEMPLO... EXEMPLO... EXEMPLO... MLB... EXEMPLO... EXEMPLO... EXEMPLO... PÊNDICE : SÉRIE DE FOURIER DE SINIS CONÍNUOS PERIÓDICOS... PÊNDICE : RNSFORMD DE FOURIER DE SINIS CONÍNUOS NÃO PERIÓDICOS...9 PÊNDICE : EXEMPLOS DE CÁLCULO DE F DE SINIS CONÍNUOS NÃO PERIÓDICOS.. EXEMPLO... EXEMPLO... EXEMPLO... EXEMPLO... EXEMPLO... EXEMPLO... EXEMPLO EXEMPLO PÊNDICE : RNSFORMD DE FOURIER DE SINIS CONÍNUOS PERIÓDICOS...9 FICH DE VLIÇÃO M... GRUPO C... EXERCÍCIO... GRUPO... EXERCÍCIO... SÉRIE RIGONOMÉRIC DE FOURIER SF... SÉRIE EXPONENCIL DE FOURIER SF

3 N Á L I S E D E S I N I S Módulo Espcro d sinais conínuos ÓPICOS Séri d Fourir d sinais conínuos priódicos ransformada d Fourir d sinais conínuos não priódicos ransformada d Fourir d sinais conínuos priódicos Espcro d um sinal conínuo Espcro d ampliud Espcro d fas Na squência da analogia nr vcors sinais sablcida no Módulo, é analisada a possibilidad d rprsnação d um sinal arbirário por um conuno d funçõs d bas orogonais, dsnvolvndo-s o concio para o caso paricular da rprsnação d sinais conínuos com bas m ponnciais complas. Inroduz-s assim a nális d Fourir d sinais conínuos priódicos não priódicos, aprsnando-s o concio d spcro d um sinal conínuo. No pêndic é dduzida a Séri d Fourir d sinais conínuos priódicos, sndo aprsnado o concio d spcro d um sinal. No pêndic é dduzida a ransformada d Fourir d sinais conínuos não priódicos, sndo o concio sndido aos sinais conínuos priódicos no pêndic. Os concios rlvans são aprsnados m dsaqu no início do Módulo, sguindo-s um conuno d rcícios d aplicação, m qu s dá ênfas spcial à uilização do Malab. Fris-s por mplo a opção pla aprsnação d mplos d cálculo d F sm rcurso ao Malab m apêndic. raa-s d uma ára qu ig um capacidad d manipulação analíica domínio do cálculo ingral não rivial, cua dificuldad é convninmn suprada plo rcurso à biblioca simbólica do Malab. Chama-s à anção para o faco d, raando-s da anális d sinais conínuos, s r opado pla uilização da biblioca simbólica m drimno da anális numérica. No Módulo 8, nomadamn após o dsnvolvimno do concio d amosragm d sinais conínuos, aprsnar-s-ão as écnicas numéricas alrnaivas a dvida anális comparaiva. Obcivos No fim ds módulo o aluno dvrá :. Comprndr o concio d spcro d um sinal.. Sabr calcular a SF d sinais conínuos priódicos.. Sabr calcular a F d sinais conínuos não priódicos.. Sabr calcular a F d sinais conínuos priódicos.

4 N Á L I S E D E S I N I S. Séri d Fourir Qualqur sinal conínuo, priódico d príodo, pod sr rprsnado complamn aravés d uma Séri d Fourir SF C, sndo os coficins da séri Séri d Fourir d sinais conínuos priódicos,, < < I C d,.. mos não uma nova manira d rprsnar um sinal priódico conínuo. Para além da sua rprsnação como uma função conínua do mpo,, o sinal pod sr rprsnado pla sua SF... C Ora sa função pod sr inrprada como uma função discra da frquência angular, f, qu assum valors apnas para, ±, ±, ±,K c., valors sss corrspondns aos coficins da séri. Esa rprsnação é dsignada por spcro do sinal. o rprsnar um sinal priódico conínuo aravés da sua SF, samos a dcompor o sinal nas suas várias componns d frquência Figura M. É imdiao, a parir da sua dfinição, -. C d., qu C rprsna o valor médio do sinal, ou sa, por ouras palavras, C corrspond à componn dc do sinal. Podmos rprsnar o spcro do sinal graficamn, raçando uma séri quispaçada ± d riscas vricais, siuadas m alura proporcional ao módulo do coficin C corrspondn. Como os coficins C são, m princípio, complos, o qu significa Figura M. Prof. José maral M - Vrsão. --

5 N Á L I S E D E S I N I S qu para além da ampliud módulo, êm ambém uma fas argumno, a spcificação gráfica d um sinal priódico conínuo aravés do su spcro rqur qu s racm dois gráficos, um spcro d ampliud, m qu s rprsna o módulo dos coficins C um spcro d fas, m qu s rprsna o argumno dos coficins C. Dado qu C d C d os coficins C C são complos conugados no caso m qu os sinais sam rais, plo qu o spcro d ampliud d um sinal coninuo priódico ral é uma função par da frquência o spcro d fas é uma função impar, ou sa C C arg C arg C. { } { } Figura M. Emplo. figura M. mosra o sinal sn,com, o su spcro d ampliud. No qu da rlação d Eulr sn.... é possívl rconhcr qu sn pod sr scrio na forma d um somaório da forma C, sndo imdiao rconhcr qu odos os coficins são nulos com cpção d C. ; C. É s faco qu sá raduzido na figura M.: o spcro d ampliud mosra uma risca vrical proporcional ao módulo d cada um dos coficins, sndo no caso odos nulos com Figura M. Prof. José maral M - Vrsão. --

6 N Á L I S E D E S I N I S cpção dos coficins posicionados m ±, qu êm módulo.. ± Emplo. s figuras M. a M. mosram a volução no mpo, duran um príodo, d sinais conínuos priódicos com príodo fundamnal idênico ao do sinal do mplo anrior, assim como os rspcivos spcros d ampliud. No o surgimno d coficins com valor significaivo à mdida qu o comporamno do sinal do mpo s afasa da volução sinusoidal. No qu o faco d odos os sinais rm a msma frquência fundamnal sá claramn raduzido na isência d duas riscas d maior ampliud m. Podmos rconsruir os sinais com bas nos coficins calculados C s figuras M. a M.8 mosram o rsulado dssa rconsrução. No como no º caso a rconsrução é aca, dado qu os coficins não uilizados são nulos, no sgundo caso a rconsrução é muio aproimada dados qu os coficins não uilizados são d valor dsprzávl, mas no úlimo caso, plo faco d não s considrarm as componns d ala frquência do spcro, o sinal é muio dficinmn rconsruído, dada a isência d zonas do sinal m qu há uma muio rápida mudança d comporamno Figura M Figura M Figura M Figura M.8 Prof. José maral M - Vrsão. --

7 N Á L I S E D E S I N I S. ransformada d Fourir ransformada d Fourir d sinais conínuos não priódicos. ransformada d Fourir F d um sinal conínuo não priódico,, ambém dsignada por ransformada dirca d Fourir, é rprsnada por X, sndo dada por rlação X d X d é dsignada por ransformada invrsa d Fourir d X. O par d quaçõs é dsignado como par d ransformadas d Fourir Nm odos os sinais êm F. Não sndo aqui rlvan o sablcimno das condiçõs d isência, diga-s qu sá gnricamn dpndn da possibilidad do cálculo da rlação ingral qu a dfin. Salin-s o faco d qu a F d um sinal conínuo não priódico,, é um sinal conínuo da frquência X. F do sinal X é dsignada por função d dnsidad spcral, sndo comum dsigná-la apnas por spcro do sinal. X é, m princípio, um sinal complo, plo qu a sua spcificação gráfica rqur qu s racm dois gráficos, um spcro d ampliud, m qu s rprsna o módulo d X um spcro d fas, m qu s rprsna o argumno d X. No qu a rconsrução m odo o su domínio d um sinal conínuo não priódico rqur a uilização d ponnciais complas d odos os valors d frquência. Emplo. figura M.9 mosra as F das vrsõs d nrgia dos sinais aprsnados nas figuras M. a M., iso é, sinais qu êm o msmo comporamno dos sinais priódicos aí aprsnados, mas apnas num inrvalo d mpo corrspondn a um príodo, sndo nulos fora dss inrvalo Figura M.9 Prof. José maral M - Vrsão. --

8 N Á L I S E D E S I N I S F d um sinal conínuo priódico,, d príodo, é consiuída por impulsos d Dirac localizados nas frquências múliplas da frquência fundamnal, d ára igual aos coficins da SF do sinal ransformada d Fourir d sinais conínuos priódicos C δ δ C f f X.... com C d lrnaivamn a F pod sr obida das amosras da F d um sinal d nrgia corrspondn a um príodo do sinal X X δ w X f δ f f ou sa C X Emplo. figura M. mosra os gráficos da F dos sinais conínuos priódicos considrados nos mplos.., consiuída por impulsos d Dirac localizados nas frquências múliplas da frquência fundamnal, a qu s sobrpôs a F das vrsõs d nrgia d cada um dos sinais, visas no mplo., ficando assim clara a rlação X X δ w m qualqur dos casos mplificados. comparação com as figuras M. a M. sclarc a rlação C. X No qu um sinal conínuo priódico m uma rprsnação naural na frquência aravés d um sinal discro corrspondn aos coficins da sua SF. F dss msmo sinal é um sinal conínuo dscrio plo somaório d impulsos d Dirac siuados nos múliplos da frquência fundamnal do sinal. difrnça é mramn formal, sndo qu, nauralmn, a informação spcral conida numa oura Figura M. dscrição são acamn a msma. No nano, o raamno d sinais conínuos, priódicos ou não, aravés da msma frramna formal, F, vais prmiir qu s dduzam rlaçõs rmamn imporans nos próimos módulos, nomadamn no qu diz rspio aos concios rlacionados com a amosragm d sinais conínuos. Prof. José maral M - Vrsão. --

9 N Á L I S E D E S I N I S Ercício. Considr o sinal dsignado por rm d pulsos rcangulars, dscrio analiicamn por < caso conrário, com I, cua volução mporal s mosra na figura M. para uma ampliud duy cycl 8. a Drmin a prssão da SF qu rprsna o sinal. b Rprsn o spcro d ampliud fas do sinal para um duy cycl Figura M. c Comn as alraçõs vrificadas no spcro do sinal quando s alra a componn dc do rm d pulsos rcangulars. d Comn as alraçõs vrificadas no spcro do sinal quando s procd a um dslocamno no mpo do rm d pulsos rcangulars. Comn as alraçõs vrificadas no spcro do sinal quando s diminui o duy cycl do rm d pulsos rcangulars, manndo consan o príodo fundamnal do sinal. f dmia agora qu a duração d cada pulso s maném consan qu o duy cycl diminui m rsulado do aumno do príodo do sinal. Comn as alraçõs vrificadas no spcro do sinal. g Esboc os sinais rsulans da rconsrução do rm d pulsos rcangulars a parir d um númro finio d coficins da SF. a SF do sinal é dada pla prssão C m qu os coficins C são dados por C d Fazndo, rsula C o d d sn sn Prof. José maral M - 7 Vrsão. --

10 N Á L I S E D E S I N I S C sn sn sinc plo qu sinc b Para um duy cycl rsula Figura M. sinc s figuras M. M. mosram o spcro d ampliud, como s viu rprsnado aravés d uma risca vrical proporcional ao módulo d cada um dos coficins C posicionada, para mais fácil inrpração, m função d, assim como o spcro d fas, com uma risca vrical proporcional ao argumno d cada um dos coficins C, posicionada m função d Para convniência d rprsnação fz-s Figura M. c Quando s alra a componn dc do rm d impulsos, por mplo adicionando a consan B ao sinal, y B, rsula para os coficins C B B B d sn d d o d Como o ingral o d s anula cpo para, rsula C sn B s figuras M. a M.7 mosram o sinal y. rspcivos spcros para Figura M. Prof. José maral M - 8 Vrsão. --

11 N Á L I S E D E S I N I S. Podmos concluir qu a alração do valor médio do sinal apnas afca o coficin C. conclusão não s aplica apnas ao sinal m anális podndo sr dduzida d modo mais gral para qualqur ipo d sinal. alração do valor médio d um sinal afca o coficin C da rprsnação m SF dss sinal, diando inalrados os rsans coficins.. -. d Quando s procd a um dslocamno no mpo do rm d impulsos, y, rsula para os coficins Figura M. C o d logo -. C sn Figura M. Como s vê, os coficins C êm o msmo módulo mas a sua fas é alrada proporcionalmn a. No qu a alração é priódica dada a priodicidad da função n. s figuras M.8 a M. mosram o sinal y rspcivos spcros para. - Sndo os coficins C dados pla prssão C sinc Figura M.7 é vidn qu a diminuição do duy cycl do rm d impulsos m duas consquências:. ampliud do spcro diminui, dado qu os coficins são muliplicados por.. dnsidad d riscas m cada lobo da sinc qu nvolv o spcro aumna, dado qu, como é vidn do argumno da função sinc, as riscas são quispaçadas d figura M. mosra comparaivamn as alraçõs sofridas plo spcro d um rm d Figura M.8 Prof. José maral M - 9 Vrsão. --

12 N Á L I S E D E S I N I S pulsos rcangulars m rsulado da diminuição do duy cycl, rspcivamn para, 8. f Sndo os coficins C dados pla prssão C sinc é vidn qu quando a duração d cada pulso s maném consan o duy cycl diminui m rsulado do aumno do príodo do sinal, s rgisam duas alraçõs no spcro: Figura M.9. ampliud do spcro diminui, dado qu os coficins são muliplicados por.. dnsidad, na frquência, d riscas do spcro aumna, dado qu as riscas são quispaçadas d. figura M. mosra comparaivamn as - alraçõs sofridas plo spcro d um rm d - pulsos rcangulars m rsulado da diminuição do duy cycl, rspcivamn para, 8, m rsulado do aumno do Figura M. príodo fundamnal, com. Para ornar mais claro qu m rsulado da diminuição da frquência fundamnal, f, as riscas do spcro do sinal s rgisam para frquências cada vz mais próimas umas das ouras múliplas d f, a rprsnação foi fia sobr um io d abcissas m qu s rprsna a frquência. S fizéssmos crscr o príodo indfinidamn, no limi, com a ndr para infinio, ríamos apnas um pulso rcangular, as riscas do spcro sariam infinisimamn próimas, ndndo o spcro discro para um spcro conínuo na frquência. g rconsrução do sinal a parir d um númro finio d coficins da séri ponncial d Fourir n n C conduz a uma aproimação do sinal original, qu srá ano mais corrca quano maior for o númro d coficins. Sndo - C sinc, com, por mplo, 8, rsula para os coficins C sinc. C sinc C sinc 8 8. Prof. José maral M - Vrsão. --

13 N Á L I S E D E S I N I S Figura M. C sinc.9 c. 8 8 Sndo n n C n, rsula para o sinal rconsruído com um númro crscn d coficins. pnas com C C. Prof. José maral M - Vrsão. --

14 N Á L I S E D E S I N I S Com C, C C C C..97 cos C. Com C, C, C, C C C C..97 cos C Figura M. C.9 cos C c. No qu as prssõs scrias sob a forma d uma séri d co-snos corrspondm à sri rigonomérica d Fourir. Ns caso paricular a C C C b C C plo qu a cos sn b a C C cos. Prof. José maral M - Vrsão. --

15 N Á L I S E D E S I N I S Figura M. figura M. mplifica o sinal rconsruído uilizando um númro finio d pars d coficins, d cima par baio da squrda para a diria, C C mais,,,,, pars d coficins. Prof. José maral M - Vrsão. --

16 N Á L I S E D E S I N I S Malab. Rsolva a alína a b do Ercício. rcorrndo ao Malab. ndndo à dfinição dos coficins da SF.8. C d.. mos para o sinal m causa C d Rcorrndo à biblioca d cálculo simbólico, mos Figura M. syms au bsym'p-***pi/*'; C/*in*b,,-au/,au/; CsimplifyC pryc C au pi sin pi, qu podmos rscrvr na forma d uma sinc C sn sn sinc b Já qu sabmos qu os coficins C são dados pla prssão acima, podmos abandonar o cálculo simbólico rcorrr ao cálculo numérico, conornando assim o inconvnin d r d calcular sn lim ssim, considrando, mos C sinc, plo qu podmos fazr simplsmn -:; Cgsinc/ figur;sm,cg,'filld';grid on para obr o gráfico rlaivo aos primiros pars d coficins, como s mosra na figura M.. No qu, não sndo conhcido, não é possívl dispor os coficins m função da frquência. Sabndo qu cada um dos coficins is para um múliplo da frquência fundamnal, ou sa ± ± ± K, podmos considrar qu ao io horizonal da figura M. corrspond uma scala da frquência normalizada f f, inrprar convninmn o posicionamno das riscas na frquência.. No qu, porqu no caso m anális os coficins são rais, foi possívl dscrvr o spcro do sinal rcorrndo ao raçado d apnas um gráfico. No caso mais gral srá ncssário raçar o spcro d ampliud o spcro d fas. Prof. José maral M - Vrsão. --

17 N Á L I S E D E S I N I S Malab. Rcorra ao Malab para calcular as F d sinais conínuos não priódicos dduzidas analiicamn no pêndic. Emplo Calcul a F do sinal conínuo pulso rcangular cnrado, d ampliud duração Π Rprsn o sinal rspcivo spcro. dmia Rcorrndo à biblioca d cálculo simbólico. syms au sym'*havisidau/-havisid-au/'; Xsimplifyfourir X **sin/*au*w/w pryx mos não sin/ au w w X sn sinc Podmos agora rprsnar o sinal rspcivo spcro ;au-; gsubs; glinspac--,-,; gsubsg,,g; figur; plog,g,'linwidh',; grid on; ais[ ]; Rdfinindo o obco X para viar o lvanamno da indrminação na origm, mos Xsym'*au*sincau*w//pi'; XgsubsX; wglinspac-.,., XgsubsXg,w,wg; figur; plowg,xg,'linwidh',;grid on; ais[ ]; figura M. mosra o sinal rspcivo spcro. No qu o raçado dos gráficos implica a rdfinição da função d Havisid d modo a qu Havisid sa igual a. No ainda qu, na maior par dos casos, é mais práico fazr o raçado dos gráficos rcorrndo ao cálculo numérico a parir da prssõs obidas para as F aravés do cálculo simbólico Figura M. Prof. José maral M - Vrsão. --

18 N Á L I S E D E S I N I S Dado o carácr rpiivo do código dsinado a obr os gráficos dos sinais m anális, por qu s ulga qu os mplos visos aé aqui são suficinmn gnéricos, passar-s-á a pliciar o rfrido código apnas quando s ulgar qu inroduz algo d novo. Emplo Calcul a F do impulso d Dirac d ára δ Rcorrndo à biblioca d cálculo simbólico syms w sym'*dirac'; Xsimplifyfourir X mos não X O raçado dos gráficos é imdiao, Por mplo, para. podmos fazr gsubs,,.; g-:-:; gsubsg,,g; figur; plog,g,'linwidh',; grid on; ais[- -. ]; hold on; smgfindg>,gg>,'^',' filld'; hold off; figuras M. mosra o sinal impulso d Dirac, δ, com., rspciva F X. Emplo Calcul a F invrsa d um impulso d Dirac na frquência, d ára, X δ Rcorrndo à biblioca d cálculo simbólico Figura M syms w Xsym'*pi**Diracw'; simplifyifourirx mos não figura M.7 mosra o sinal consan no mpo rspciva F X δ Figura M.7 Prof. José maral M - Vrsão. --

19 N Á L I S E D E S I N I S Emplo Calcul a F do sinal a u, a >..8 Rcorrndo à biblioca d cálculo simbólico syms a w sym'p-absa* *Havisid'; Xsimplifyfourir,,w X /absai*w mos não X, a > a No qu dsa vz a ransformada obida é uma função compla. O spcro d ampliud é dado por. X a o spcro d fas é dado por arg a { X } arcan parir dsas prssõs podmos raçar facilmn os rspcivos gráficos a.;gsubsx; wg-pi:.:pi; gsubsg,w,wg; figur; plowg,absg,'linwidh',; grid on; ais[-pi pi.]; figur; plowg,anglg,'linwidh',; grid on; ais[-pi pi -pi/ pi/]; Figura M.8 a figura M.8 mosra o sinal u, com a., corrspondns spcros d ampliud fas. Emplo Calcul a F do sinal. a u u, a > Rcorrndo à biblioca d cálculo simbólico syms a w sym'p- absa**havisid- pabsa**havisid-'; Xsimplfourir,,w pryx a Figura M.9 Prof. José maral M - 7 Vrsão. --

20 N Á L I S E D E S I N I S X mos não i w a w.. X a figura M.9 mosra o sinal a a u u, com a., a figura M. o corrspondn spcro d ampliud fas. No qu ransformada é uma função imaginária pura, o módulo é uma função par o argumno é uma função impar. Emplo Calcul a F do sinal sign < ndo m anção qu sign u, rcorrndo à biblioca d cálculo simbólico syms w sym'*havisid-'; Xsimplifyfourir,,w X -*i/w mos não X figura M. mosra o sinal sign, a figura M. o corrspondn spcro d ampliud fas. No qu ransformada é uma função imaginária pura, o módulo é uma função par o argumno é uma função impar Figura M Figura M Figura M. Prof. José maral M - 8 Vrsão. --

21 N Á L I S E D E S I N I S Emplo 7 Calcul a F do sinal scalão uniário u, <, Rcorrndo à biblioca d cálculo simbólico syms w sym'havisid'; Xfourir,,w X pi*diracw-i/w mos não X δ figura M. mosra o sinal u, a figura M. o corrspondn spcro d ampliud fas. Emplo 8 Calcul a F do sinal pulso riangular cnrado Λ Rcorrndo à biblioca d cálculo simbólico syms w au sym'*/au*havisid au-havisid- */au*havisid- Havisid-au'; Xsimplifyfourir,,w; pryx X cosau w au w mos não cos X sinc figura M. mosra o spcro do sinal para Figura M Figura M Figura M. Prof. José maral M - 9 Vrsão. --

22 N Á L I S E D E S I N I S Ercício. Emplo Calcul a F d um rm d pulsos rcangulars Π Considrmos o pulso rcangular,, corrspondn ao rm d pulsos rcangulars no,. sua F é dada, comos vimos, por príodo [ ] X sinc ssim sndo, podmos d imdiao dizr qu a F do rm d pulso rcangulars é X X δ sinc δ, o qu corrspond a um rm d impulsos d Dirac, posicionados nos múliplos da frquência fundamnal do sinal, modulados pla F do sinal d nrgia coincidn com um príodo do sinal. Emplo Calcul a F d um rm d impulsos d Dirac. δ Considrmos o impulso d Dirac,, corrspondn ao rm d impulso d Dirac no,. Como vimos, a F d um impulso d Dirac é uma consan príodo [ ] X ssim sndo, podmos d imdiao dizr qu a F do rm d impulsos é X X δ δ F d um rm d impulsos no mpo d príodo ára é um rm d impulsos na frquência d príodo ára. Emplo Calcul a F dos sinais cos sn Prof. José maral M - Vrsão. --

23 N Á L I S E D E S I N I S Prof. José maral M - Vrsão. -- Considrmos o sinal d nrgia,, corrspondn ao sinal cos no inrvalo [ ],. Os coficins da SF do sinal são cos d d d d d C o o Dada a priodicidad da ponncial compla, os ingrais anulam-s cpo para. Nss caso mos d C, d C odos os rsans coficins são nulos. ssim sndo, a F rsula [ ] cos f f f f C F δ δ δ δ δ Para o sinal sn, mos, ignorando algumas passagns na ddução, smlhan à anrior sn d d C rsulando agora C, C sndo os rsans coficins nulos. ssim sndo, a F rsula [ ] sn f f f f C F o δ δ δ δ δ

24 N Á L I S E D E S I N I S Malab. Rcorra ao Malab para calcular as F d sinais conínuos priódicos dduzidas analiicamn no Ercício.. Emplo Calcul a F d um rm d pulsos rcangulars Π O rcurso à biblioca d cálculo simbólico para o cálculo da F d sinais conínuos priódicos spcificados por somaórios, conduz na maioria dos casos a prssõs analíicas cssiva complas dsncssariamn complicadas d analisar. Para o mplo m causa podríamos fazr syms au w sym'*havisidau/*-havisid-au/*'; psymsum,,-inf,inf; Xsimplifyfourirp,,w X sum-i**p/*i*au***w-p/*i*-au***w/w, -inf.. inf, procdndo d sguida à simplificação da prssão. É um rabalho absoluamn dsncssário. Uma vz qu sabmos qu a F do sinal é do ipo X δ X, m qu X é a F do sinal d nrgia corrspondn a um príodo, basa fazr Π syms au w sym'*havisidau/-havisid-au/'; Xsimplifyfourir,,w X **sin/*w*au/w, para ficar-mos a conhcr X sinc, d ond rsula d imdiao sinc δ X ambém a qusão da rprsnação gráfica dv sr abordada d modo pragmáico. prssão acima raduz um rm d impulso d Dirac ambém dsignado por pn d Dirac s na frquência δ Prof. José maral M - Vrsão. --

25 N Á L I S E D E S I N I S, siuados nos múliplos da frquência fundamnal, cua ára é modulada proporcionalmn à F da vrsão d nrgia do sinal 8 X X Podmos não fazr, sinc sinc ;;8;au/8;w*pi/; w-*w:w/:*w; Xgabs*pi/**au*sincau*w //pi; figur;plow,xg,'r';hold on w-*w:w:*w; Xgabs*pi/**au*sincau*w/ /pi; smwfindxg>*ps,xgxg>* ps,'^','filld'; hold off grid on;ais[-*w *w ]; figura M. mosra um rm d pulsos rcangulars d ampliud duy cycl 8 rspcivo módulo da F. Emplo Calcul a F d um rm d impulsos d Dirac Figura M. δ ndo m anção os comnários fios no mplo anrior syms w sym'*dirac'; Xsimplifyfourir,,w X Logo, é imdiao qu X X δ Emplo s F dos sinais cos δ sn, são imdiaas syms w w Xfourirsym'cosw*',,w X pi*diracw-wpi*diracww Xfourirsym'sinw*',,w X -i*pi*diracw-wi*pi*diracww Prof. José maral M - Vrsão. --

26 N Á L I S E D E S I N I S pêndic : Séri d Fourir d sinais conínuos priódicos Séri rigonomérica d Fourir SF Como ficou dmonsrado m Módulo Dmo, os sinais sn n sn m, com n m iniros, são orogonais m qualqur inrvalo [, ]. Pod sr dmonsrado d modo muio smlhan qu os sinais cos n cos m, com n m I, disinos nr si, são ambém orogonais m qualqur inrvalo [, ]. Pod ainda sr dmonsrado qu o conuno consiuído simulanamn por odos os sinais sn n cos n, com n I, forma um conuno orogonal complo, { y }, num inrvalo [, ], m qu, por convniência d noação, fizmos, podndo qualqur sinal arbirário m rmos dsss sinais bas sr rprsnado no inrvalo [ ] n a y,, sndo qu, d modo a minimizar o rro quadráico médio, os coficins a são dados por a y d y y d ndndo a qu sn d sn sn sn sn sn, com. ndndo a qu cos d sn sn sn sn sn, com. ndndo ainda a qu, disinguindo os coficins das funçõs co-sno dos coficins das funçõs sno, passando a dsignar ss úlimos por b, Prof. José maral M - Vrsão. --

27 N Á L I S E D E S I N I S Prof. José maral M - Vrsão. -- cos cos cos d d d a, com, sn sn sn d d d b, com. ndndo finalmn a qu cos cos d d d d d a, podmos não dizr qu qualqur sinal arbirário pod sr rprsnado num inrvalo [ ], m rmos dos sinais sn cos, sn cos b a a, chamada rprsnação d m Séri rigonomérica d Fourir SF, sndo os coficins d a cos d a sn d b ndndo às rlaçõs grais nr as funçõs sno co-sno às prssõs dos coficins, podmos, alrnaivamn, scrvr a SF do sinal no inrvalo [ ], na forma θ α cos n com b a α a b arcan θ.

28 N Á L I S E D E S I N I S Séri Eponncial d Fourir SF Considr-s um coficin C al qu C C a ; C a b a, a C C Subsiuindo os coficins a b na prssão da SF rsula a C C, b C C C C C C cos sn C cos C sn cos C C C Obmos uma nova rprsnação da SF do sinal, ou sa no inrvalo [ ], sn Sndo C C a b cos d sn d cos d sn d d confirmando-s a hipós C a d Esa úlima rprsnação da SF rcb uma dsignação própria, sndo conhcida por Séri Eponncial d Fourir SF, podndo sr dduzida, d modo alrnaivo ao qu foi fio, omando como funçõs orogonais d bas o conuno { w }. Na vrdad é fácil dmonsrar qu o conuno d sinais { }, com, ±, ±, K, é orogonal num inrvalo [ ]., Como vimos, para qu dois sinais, complos, y y, sam orogonais no inrvalo [, ] o su produo inrno dv sr nulo y y d Rsula não Prof. José maral M - Vrsão. --

29 N Á L I S E D E S I N I S Prof. José maral M - 7 Vrsão. -- [ ] [ ] [ ] m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n d d Com n m iniros m n, plo qu o ingral s anula para m n, como quríamos dmonsrar. Para m n mos d d m n Pod dmonsrar-s qu o conuno d sinais { }, com K,,, ± ±, para além d sr orogonal num inrvalo [ ], m n m n d y y m n m n, é ainda um conuno complo, plo qu qualqur sinal arbirário pod sr rprsnado no inrvalo [ ], m rmos dsss sinais bas C n, sndo qu, d modo a minimizar o rro quadráico médio, os coficins C são dados por d d d d y y d y C,al como ínhamos dduzido anriormn. Como s viu, a séri rigonomérica a séri ponncial d Fourir podm sr nndidas como duas rprsnaçõs da msma séri sndo os coficins rlacionados por

30 N Á L I S E D E S I N I S a C C a a b C C C a b C C Dado qu s raa d duas rprsnaçõs da msma séri, é dsncssário rfrir consanmn a rprsnação m séri rigonomérica m séri ponncial. Por sr mais úil nos concios aprsnados nas scçõs qu s sgum, passarmos a uilizar prfrncialmn a séri ponncial, dsignando-a simplsmn por Séri d Fourir SF. Embora qualqur sinal arbirário, aravés duma SF, fora dss inrvalo o sinal pod assumir qualqur valor. Os coficins da séri são calculados d modo a minimizar o rro quadráico médio da rprsnação dnro do inrvalo, não isindo fora do inrvalo qualqur garania d smlhança nr o sinal a sua séri. No nano, s o sinal for priódico d príodo a rprsnação do sinal, sndo válida no inrvalo rfrn a um príodo, é válida m odo o su domínio, andndo à própria dfinição d sinal priódico à priodicidad inrn aos sinais d bas qu são a sr uilizados possa sr rprsnado num inrvalo [ ] Podmos não dizr qu qualqur sinal conínuo rprsnado complamn aravés duma SF, priódico d príodo o, pod sr C,, < < I, com C o d, Prof. José maral M - 8 Vrsão. --

31 N Á L I S E D E S I N I S Sa um qualqur sinal, considrmos um novo sinal rsulan da rpição priódica, d príodo, do sinal original, sndo suficinmn grand para qu não haa sobrposição do sinal, al como s ilusra na figura M.7. S fizrmos crscr o príodo indfinidamn, no limi, com a ndr para infinio, os dois sinais srão idênicos pêndic : ransformada d Fourir d sinais conínuos não priódicos... lim Qualqur dos dois sinais pod sr rprsnado por uma SF, a difrnça, como sabmos, consis no faco d qu nquano a SF qu rprsna o fazr m odo o su domínio, dado qu s raa d um sinal priódico, a SF qu rprsna apnas o fazr num inrvalo finio. Considrmos não a SF qu rprsna Figura M.7, com C C d -. o o Figura M.8 Esa séri rprsna igualmn,. S fizrmos crscr o príodo indfinidamn, a séri rprsnará o sinal num inrvalo sucssivamn maior,, no limi, os dois sinais srão idênicos, a séri rprsnará o sinal m odo o su domínio. Comcmos por considrar algumas mudanças d noação. Sa, plicimos o faco dos coficins da séri srm funçõs da frquência fundamnal C C, façamos C C. Rsula não qu a SF do sinal pod sr scria na forma com C C, mas apnas no inrvalo [ ] C d Prof. José maral M - 9 Vrsão. --

32 N Á L I S E D E S I N I S quação C rprsna uma soma d componns discras d frquência. Inrprmos a prssão graficamn, rcorrndo à figura M.9. Ignormos o faco d C sr uma grandza compla, o qu não alra o fundamnal do qu s prnd clarificar, rprsnmo-la, como s foss uma grandza ral, m função da frquência. raa-s d uma quanidad qu is para valors discros da 8 7 C n n o... o... o o n- n n n Figura M.9 frquência, com cada uma das componns d frquência sparada d, ± ±, ±,K. Enão a quanidad, C pod sr inrprada como a ára d um rcângulo d bas alura m, sndo C, cnrado C corrspondn ao somaório das áras d odos os rcângulos, ou sa, aproimadamn, como s sboça na figura M.9, à ára sob a curva nvolvn rprsnada a racado. aproimação srá ano maior quano mnor for, ou sa, srá ano maior quano maior for o príodo. No limi, com a ndr para infinio, as riscas do spcro sarão infinisimamn próimas, ndndo o spcro discro para um spcro conínuo na frquência,, com o incrmno infinisimal a podr sr rprsnada por d, o somaório corrspondn ao cálculo da ára sob a curva a dar lugar vrdadiramn a um ingral C C Podmos não dizr qu no limi, quando nd para infinio, o sinal pod sr rprsnado complamn, m odo o su domínio, m função d ponnciais complas d odos os valors d frquência com C d d C d Podmos não dizr qu um sinal conínuo não priódico m um spcro conínuo. C é dsignado por função d dnsidad spcral. Por convniência d noação passarmos a dsignar a função d dnsidad spcral do sinal por X. Prof. José maral M - Vrsão. --

33 N Á L I S E D E S I N I S O par d quaçõs X d X d é conhcido como par d ransformadas d Fourir, rspcivamn a ransformada dirca d Fourir d a ransformada invrsa d Fourir d X, usando-s ambém as noaçõs [ ] [ ] X F F [ X ] F [ X ] F Sndo d df, alrnaivamn, as dfiniçõs rsulam d imdiao F [ ] F f X f d [ X f ] f X f df Prof. José maral M - Vrsão. --

34 N Á L I S E D E S I N I S Prof. José maral M - Vrsão. -- pêndic : Emplos d cálculo d F d sinais conínuos não priódicos Emplo Calcul a F do pulso rcangular cnrado. Π Por dfinição sinc sinc f sn f d d X w w w w w w w No qu é uma função ral par. Nauralmn qu a ransformada invrsa do sinal sinc X dvrá sr o pulso rcangular cua ransformada dirca lh du origm. Ou sa [ ] Π F X F sinc não sndo ncssário procdr ao cálculo plício sgundo a dfinição. No qu, sndo a ransformada invrsa por dfinição [ ] d d X X F sinc o conhcimno a priori do rsulado [ ] Π X F nos prmi afirmar qu

35 N Á L I S E D E S I N I S Prof. José maral M - Vrsão. -- Π d sinc plo qu ficamos a conhcr o rsulado do ingral Π d sinc qu podrá sr úil m fuuros dsnvolvimnos analíicos. Passando a usar uma sa bidirccional para significar a aplicação da F dirca invrsa, ou sa, scrvndo o par X X F F rsumidamn na forma X Para o mplo qu mos vindo a analisar mos não o par d Fourir Π sinc Emplo Calcul a F do impulso d Dirac d ára δ Por dfinição δ d d X Como sabmos δ δ δ d não d d X δ δ Concluímos assim qu a F do impulso d Dirac coném odas as componns d frquência com a msma ampliud, ou sa, m uma dnsidad spcral uniform m odo o spcro d frquências.

36 N Á L I S E D E S I N I S Nauralmn qu a ransformada invrsa do sinal ransformada dirca lh du origm F [ X ] δ priori o rsulado da ransformada invrsa F [ X ] ficamos a sabr qu δ X d d X dvrá sr o impulso d Dirac cua. Ou sa, dado qu conhcmos a δ d qu podrá sr rmamn úil m dsnvolvimnos analíicos fuuros. Para o mplo qu mos vindo a analisar mos não o par d Fourir δ Emplo Calcul a F invrsa do impulso d Dirac na frquência, d ára, Por dfinição X δ F [ X ] X δ w d d À smlhança da alína anrior, sndo δ δ δ d rsula F [ X ] δ d δ d Nauralmn qu a ransformada dirca do sinal dvrá sr o impulso d Dirac na frquência cua ransformada invrsa lh du origm. Ou sa, dvrá sr F [ ] d δ o qu nos prmi a obnção da rlação δ d Prof. José maral M - Vrsão. --

37 N Á L I S E D E S I N I S No qu sa rlação pod s obida da rlação obida na alína anrior δ d, andndo a qu δ δ. Podmos sinizar o rsulado scrvndo δ u ± uv dv Volando à qusão principal dsa alína, concluímos qu a F d uma consan é uma componn d frquência m. O rsulado ra spcávl s pnsarmos qu uma consan no mpo pod sr inrprado como um sinal dc. Para o mplo qu mos vindo a analisar mos não o par d Fourir δ Emplo Calcul a F do sinal Por dfinição a u, a > F [ ] a a a a d d d a Para o mplo qu mos vindo a analisar mos não o par d Fourir a u, a > a Emplo Calcul a F do sinal. Por dfinição a u u, a > X a f d a a u u a u d f d a u d Prof. José maral M - Vrsão. --

38 N Á L I S E D E S I N I S X a d a a a a a a mos não o par d Fourir a d a u a u a, a > Emplo Calcul a F do sinal Por dfinição sign <. X d sign d d d s dificuldads na rsolução do primiro ingral lvam-nos a procurar calcular a ransformada d ouro modo. Obsrv as figuras M. M. m qu s mosra o sinal rfrido no Emplo para valors d a sucssivamn mais próimos d zro. No qu no limi, com a, a ponncial nd para sign. lim a a a u u sign Calculando a F d ambos os mmbros da quação rsula Figura M Figura M. F lim a lim F a a a u u F [ sign ] a a [ u u ] X lim a a X f logo Prof. José maral M - Vrsão. --

39 N Á L I S E D E S I N I S Prof. José maral M - 7 Vrsão. -- X mos não o par d Fourir sign Emplo 7 Calcul a F do sinal scalão uniário <,, u O cálculo da ransformada a parir da dfinição inroduz um grau d dificuldad qu podmos conornar. ransformada pod sr mais facilmn calculada s ivrmos m anção qu o sinal u pod sr dfinida a parir do sinal sign. Sndo sign u rsula [ ] δ F u F sign mos não o par d Fourir δ u Emplo 8 Calcul a F do sinal pulso riangular cnrado Λ Por dfinição d F Λ d d d d X, fazndo u logo du d no primiro ingral

40 N Á L I S E D E S I N I S Prof. José maral M - 8 Vrsão. -- d du u d du u d d X u u, fazndo agora u cos d d d d X f ingrando por pars u u cos sn v v [ ] [ ] cos sn sn sn f P u v P uv uv P, rsula sn sn cos cos cos sn f f f X sinc sinc f X mos não o par d Fourir Λ sinc

41 N Á L I S E D E S I N I S pêndic : ransformada d Fourir d sinais conínuos priódicos Vimos m pêndic como podmos rprsnar um sinal conínuo priódico aravés da SF m pêndic como podmos rprsnar um sinal conínuo não priódico aravés da F. Vamos agora vr como podmos sndr o concio d ransformada d Fourir a sinais conínuos priódicos. Considrmos um qualqur sinal conínuo, priódico d príodo o. Como sabmos, s pod sr rprsnado complamn aravés d uma SF C Calculando a ransformada d Fourir d ambos os mmbros F Dado qu variávl [ ] F C C d n C d C não é uma função d, uma vz qu rsula da ingração no domínio dsa C o d o o, mos F [ ] C d d C C δ Concluímos assim qu a F pod rprsnar qur um sinal conínuo priódico qur um não priódico. F d um sinal conínuo, é consiuída por impulsos, priódico d príodo d Dirac localizados nas frquências múliplas da frquência fundamnal f, d ára igual aos coficins da SF do sinal com C δ δ C f f X C d Prof. José maral M - 9 Vrsão. --

42 N Á L I S E D E S I N I S Sa um sinal d nrgia corrspondn a um príodo d um sinal p príodo,, priódico d p,, < > Os coficins da séri d Fourir d p são C X p d d Concluímos assim qu a F d um sinal conínuo, priódico d príodo, pod sr obida das amosras da curva nvolvn do su spcro, nvolvn sa corrspondn à F d um sinal d nrgia corrspondn a um príodo do sinal ou sa X X δ X X δ δ X f f f Prof. José maral M - Vrsão. --

43 N Á L I S E D E S I N I S Ficha d valiação M N: Nom: urma: Daa limi d nrga -- ficha dv sr colocada, aé à daa limi, no rcipin apropriado isn uno ao Gabin C CEDE Grupo C Ercício Drmin a prssão das F dos sguins sinais a a b u, a > c cos u a d u, a > cos f Grupo Ercício Considr um rm d pulsos riangulars dscrio analiicamn por Λ, I a Rprsn o sinal para, 8. b Drmin a prssão dos coficins da SF do sinal, C, calculando pliciamn C d, c Vrifiqu a rlação nr a prssão dos C calculada na alína anrior a F, X,do sinal d nrgia,, corrspondn a um príodo d. pag. M-9 d Rprsn o spcro d ampliud do sinal. dmia,, 8. Drmin a prssão da F do sinal. f Rprsn o módulo da F do sinal admia. Prof. José maral M - Vrsão. --