Módulo Motivação, Enquadramento e Objectivos.

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1 Módulo TÓPICOS Moivação, Enquadrano Objcivos. Explos d Aplicação.. Moivação, Enquadrano Objcivos. Na cadira d Maáica Aplicada às Tlcounicaçõs é aprsnado u conjuno d concios da ára cinífica da aáica d uiliação xplícia idiaa nas cadiras da spcialidad. É uio iporan qu o aluno s failiari co a linguag doin as écnicas associadas aos concios aqui aprsnados, para qu possa assisir co aproviano às cadiras da spcialidad dos 3 4 ssrs, noadan: Elcroagniso; Sinais Sisas; Propagação Radiação; Sisas Elcrónicos A/D ; Fundanos d Tlcounicaçõs. Acrsc a sas divrsas ouras nos ssrs posriors, qur da licnciaura qur do srado, d qu as supra ciadas cadiras são a rai. Na squência dos concios aprsnados na cadira d Anális Maáica, qu s spra qu o aluno nha b prsn, noadan os qu são associados às Séris ao Cálculo Difrncial Ingral R, vai aqui sr fio o sudo d Equaçõs Difrncias d Funçõs d Variávl Coplxa. E parallo, o aluno dvrá assisir à cadira d Anális Maáica, dado sr aí aprsnados, coordnadan co sa cadira, no âbio do sudo do Cálculo Difrncial n Ingral R, divrsos concios uiliados a quando do sudo d quaçõs difrncias d funçõs d variávl coplxa. Após r frqunado co aproviano sa cadira, o aluno dvrá sar apo a rconhcr rsolvr analiican as quaçõs difrnciais ordinárias ais couns, noadan d a ord linars d ord n d coficins consans, rconhcr os ipos d quaçõs às drivadas parciais conhcr as soluçõs das ais couns, doinar os conhcinos básicos d funçõs d variávl coplxa, qu lh pria voluir no sudo d sinais sisas gral,, noadan, a curo prao, prossguir os sudos no doínio das Transforadas d Fourir, Laplac Z. Prof. José Aaral MAT M

2 M A T E M Á T I C A A P L I C A D A T U R M A L T D. Explos d Aplicação. Mosra-s aqui alguns xplos d aplicação das quaçõs difrnciais das funçõs d variávl coplxa na ára da Engnharia das Tlcounicaçõs Elcrónica. Todos ls srão objco d sudo nas cadiras a spcialidad. A linguag uiliada é ncssarian abrviada siplificada... Anális d Sinais. Qualqur sinal conínuo, x (), priódico d frquência angular ω π T, pod sr rprsnado coplan aravés d ua Séri d Fourir, qu a fora: k jkω x( ) C k, sndo os coficins da séri, C k, quanidads coplxas dadas por: C k T T x( ) jkω Por xplo, s para rprsnar o sinal qu s osra na figura M. uiliássos apnas coficins, não u núro infinio coo a séri xig para qu a rprsnação sja xaca, obríaos o sinal qu s osra na figura M.: x ( ) jkω k C k Faros nsa cadira ua rvisão dos núros coplxos alargaros a anális ao sudo d funçõs d variávl coplxa, cálculo difrncial ingral no doínio coplxo c.. U bo doínio dss concios é ssncial, xplician, nas cadiras d Anális d Sinais Fundanos d Tlcounicaçõs... Anális d Sisas Discros U sisa discro, coo o qu s osra squaican na figura M.3, é dscrio pla quação às difrnças: d [ n] y[ n ].5y[ n ] x[ n] y, é faciln sudado s rcorrros ao concio d Transforada Z. Dfin-s a Transforada Z d u sinal causal x [ n] coo Figura M Figura M. x [ n] y [ n].5 Figura M y [ n ] y[ n ] Prof. José Aaral MAT M

3 M A T E M Á T I C A A P L I C A D A T U R M A L T D jω X ( ) n [ ] x n, qu r é ua quanidad coplxa. Co bas na quação às difrnças qu caracria o sisa no concio d Transforada Z, podos drinar ua caracrísica dos sisa dsignada por função d ransfrência. Ns caso: H ( ) n.5 Co bas na função d ransfrência podos drinar o odo coo o sisa rspond no po a sinais colocados na sua nrada. Por xplo, s colocássos na nrada do sisa u só ipulso, o sisa rspondria co n [ ] ( n ).5, n > h n, chaada a rsposa ipulsiva dos sisa, qu s osra na figura M.4 Ainda co bas na função d ransfrência, podos drinar o odo coo o sisa rspond na frquência a sinais colocados na sua nrada, calculando a chaada rsposa frquência do sisa: H( Ω) jω.5 jω Apliud n (sapls) Figura M Figura M.5 A figura M.5 osra o ódulo da rsposa frquência. A parir dla podos concluir qu o sisa pod sr classificado coo u filro passa-baixo. Mais ua v, coo s pod vr plas xprssõs acia, a capacidad d anipulação d quanidads coplxas é ssncial para u bo doínio dos concios aprsnados ns xplo, qu são xplorados dalhadan nas cadiras d Anális d Sinais Procssano Digial d Sinal..3. Anális d Sisas Conínuos O sudo d u sisa conínuo é siilar ao d u sisa discro. E v d ua quação às difrnças o sisa conínuo é dscrio por ua quação difrncial v d uiliaros à Transforada Z, rcorros, quando possívl, iso é, quando a quação difrncial é do ipo adquado, à sua siilar no doínio conínuo, a Transforada d Laplac: s X( s) x( ) d, qu s σ jω é ua quanidad coplxa. v() R i() L Tos assi, ais ua v, a ncssidad d doinar a anipulação analíica d quanidads coplxas. Para alé disso aparc aqui,, coo vros, nos xplos sguins, a ncssidad d doinar os concios Figura M.6 Prof. José Aaral MAT M

4 M A T E M Á T I C A A P L I C A D A T U R M A L T D associados à oria das quaçõs difrnciais. A priira par dsa cadira srá ddicado aos sudo dss a. A figura M.6 osra o squa d u xplo concro d u sisa conínuo: u circuio RL. A quação difrncial qu dscrv o sisa é di( ) Ri ( ) L v( ) d O circuio foi analisado d fora ad-hoc na cadira d Anális d Circuios. E Maáica Aplicada vaos vr coo nconrar as soluçõs d vários ipos d quaçõs difrnciais d odo a ganhar auonoia rlaivan à anális d sisas conínuos d aior coplxidad, coo os qu surgirão, por xplo, nas cadiras d Sisas Elcrónicos A/D Conrolo..4. Propagação d Ondas Elcroagnéicas No final do século 9, Maxwll sablcu as lis grais qu rg o coporano do capo lcroagnéico qualqur io sisa. D H J B E D ρ B O síbolo corrspond a u oprador difrncial, dsignado por nabla, qu ua fora concra dpndn do sisa d coordnadas qu s sá a rabalhar. Por xplo, coordnada carsianas os x x y y Os síbolos lê-s, rspcivan, roacional d divrgência d. As quaçõs d Maxwll são não quaçõs difrnciais às drivadas parciais. Vros nsa cadira coo classificar anipular s ipo d quaçõs (os concios d cálculo difrncial R n srão aprsnados Anális Maáica ). Dpndndo do ipo d io sisa anális, as quaçõs d Maxwll podrão conduir a problas d rsolução d quaçõs difrnciais co aior ou nor grau d coplxidad. Vjaos alguns xplos Linhas d Transissão Es é u dos xplos d nor grau d coplxidad. Após alguns considrando sobr as caracrísicas dos ios (ariais) a opologia do sisa (a fora da linha) podríaos, a parir das quaçõs d Maxwll, chgar às quaçõs difrnciais parciais qu, nua aproxiação d a ord, drina o coporano da nsão da corrn ao longo da linha: V I RI L I GV C V E ainda, cndo ais alguns considrandos, chgar à quação difrncial ordinária qu drina o coporano da nção ao longo da linha (sgundo ): Prof. José Aaral MAT M

5 M A T E M Á T I C A A P L I C A D A T U R M A L T D d V γ V d, qu γ é ua caracrísica da linha chaada consan d propagação do odo principal : γ ( R jwl)( G jwc), qu dpnd dos chaados parâros disribuídos da linha ( R,L,G C ), associados ao odo coo a linha d ransissão dissipa arana nrgia. A quação difrncial a qu chgáos coo solução gral V γ K K γ Podos inrprar sa solução coo corrspondndo à soa duas ondas: ua onda incidn, K, qu prcorr alinha no V i ( ay K -ay ) snido do grador para a carga; ua onda rflcida, K V, V i ay (K) V i qu prcorr alinha no snido da carga para o grador. As V i ( ay -K -ay ) consans K K pod sr V i calculadas s for conhcidas as I (-K) V caracrísicas do grador da i V i K -ay K V i carga, chaadas as condiçõs fronira, qu nos pri, liinando as consans, chgar a ua solução paricular. A figura M.7 osra a volução da nsão ao longo da linha. Fibras Ópicas λ/ y θ λ/4 y θ Figura M.7 y θ Es é u dos xplos d aior grau d coplxidad. A parir das quaçõs d Maxwll podos dduir as quaçõs difrncias qu rg o coporano dos capos longiudinais na fibra (ns sisa não s pod rcorrr ao concio d nsão corrn), as chaadas quaçõs d Hlol: E d Esas quaçõs difrnciais ê coo solução gral E H H ( kd k ) H ( k k ) E A R( r) Φ( ϕ) B R( r) Φ( ϕ) qu, por subsiuição nas quaçõs d Hlhol, sndo R Φ indpndns, iplica as quaçõs difrnciais qu é u iniro posiivo. Φ Φ ϕ r R R r ( k r r jk jk d k ) r Prof. José Aaral MAT M

6 M A T E M Á T I C A A P L I C A D A T U R M A L T D A a quação difrncial adi ua solução da fora Φ( ϕ) Es é u ipo d quaçõs cujo odo d rsolução abordaros nsa cadira. A a quação é ua quação d Bssl, ndo ua solução gral, no núclo, ua função d Bssl d a spéci jϕ R( r) J ( k r),, na bainha, ua solução gral na fora d funçõs d Bssl odificadas d a a spéci R( r) K ( k r) Es é u ipo d quaçõs difrnciais, co apnas soluçõs nuéricas conhcidas, cuja rsolução já ranscnd coplan o âbio dsa cadira. Dss considrando podríaos chgar às soluçõs grais para os capos. Por xplo, para a coponn longiudinal do capo lécrico ríaos, no núclo, na bainha E E J A J K A K u u ( k r) ( k a) ( k r) ( k a) b b Agora sria ainda ncssário ipor as condiçõs fronira para s alcançar a solução paricular d propagação nua fibra ópica. Muias ouras siuaçõs do âbio da propagação guiada ou spaço livr srão aprsnadas nas cadiras d Elcroagniso Propagação Radiação. U bo doínio dos concios aáicos qu lhs são associados é ssncial para u bo aproviano nssas cadiras. u b jϕ jϕ jk jk Espra-s qu aravés dos xplos acia os alunos nha ficado snsibiliados para a iporância fundanal do doínio dos concios associados à oria das quaçõs difrnciais funçõs d variávl coplxa, s o qual a progrssão no curso aravés das cadiras qu dls fa uso xplício srá xran pnoso, s não d odo ipossívl. Prof. José Aaral MAT M