3 Funções de crescimento

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1 3 Funçõs d crscino slcção d funçõs para a odlação do crscino produção d árvors povoanos, gnrican dsignadas por funçõs d crscino, é ua fas ssncial na laboração d odlos d produção. Podos nconrar dois ipos d funçõs d crscino, corrspondns a duas aiuds ou filosofias aparnn conradiórias: as funçõs d crscino píricas (odlos píricos) as funçõs d crscino analíicas ou funcionais (odlos funcionais ou d bas biológica). Os odlos funcionais são drivados dircan a parir d proposiçõs lógicas sobr as rlaçõs nr variávis, nquano qu nos odlos píricos s sablc apnas a rlação nr a vaviávl dpndn variávis indpndns d acordo co u fórula aáica - p.. linar, parabóica - puran arificial. S u odlo aáico d crscino for basado proposiçõs lógicas sobr a bioia do crscino, não as siaivas dos parâros obidos co bas nos dados pod sr inrpradas d acordo co a forulação do odlo, priindo avançar no conhcino das rlaçõs funcionais - causa/fio - nr variávis. s funçõs a uilizar na odlação do crscino biológico, qur sja d naurza pírica ou dduzidas a parir d princípios biológicos, dv aprsnar ua fora qu sja d acordo co os princípios do crscino biológico: i) a curva é liiada pla produção zro no início ( ou, consoan a variávl qusão oa valors aiors qu ou ais ard) por ua produção áxia finia aingida idad avançada (xisência d assípoa); ii) a axa rlaiva d crscino (variação da variávl x por unidad d po d x) aprsna u áxio na fas inicial, após o qual é dcrscn; na aior par dos casos, o áxio ocorr suficinn cdo para podros uilizar funçõs dcrscns na sua odlação; iii) o dcliv da curva auna co produçõs crscns na fas inicial dcrsc na fas final ( u pono d inflxão). 3.

2 3. Funçõs d crscino píricas Coo funçõs d crscino píricas ê sido uilizadas divrsas funçõs, graln sob fora ingral. abla 3. caracriza as funçõs qu ais vulgarn ê sido rfridas publicaçõs sobr o assuno (Grosnbaugh, 965; Prodan, 968; Olivira, 984). Nhua dsas funçõs obdc a odos os princípios d crscino biológico; as rsriçõs posas aos parâros corrspond às foras ais adquadas à odlação do crscino. s funçõs d Frs, Hossfld Korsun aprsna xros (áxio ou ínio d acordo co os sinais dos coficins), d odo qu considraos d inrss os casos qu ocorr u áxio para > (inrssa ns caso o º rao da curva) aquls qu ocorr u ínio para <. 3. Funçõs d crscino d bas biológica s funçõs d crscino d bas biológica obê-s graln sob fora difrncial a parir do sablcino d ua hipós sobr as axas d crscino absolua ou rlaiva, obndo-s a xprssão para a produção por ingração. Consgu-s ds odo aribuir significados prcisos aos parâros dsas funçõs. Divrsos auors (p..turnbull, 963; Grosnbaugh, 965; Pinaar, 965; Mosr, 967; Causon Vnus, 98; Olivira, 984; Toé, 989) s ê dbruçado sobr a anális das funçõs d crscino analíicas o significado dos rspcivos parâros. Na abla 3. aprsna-s suarian as principais caracrísicas d alguas funçõs d crscino co aior inrss para os odlos d produção. Nsa abla o parâro rprsna a assípoa suprior da produção, o parâro sá rlacionado co o dcliv da curva (axa d crscino) o parâro c rflc a dinsão inicial do organiso ou população; s úlio parâro c u liiado significado biológico, corrspondndo à consan d ingração na ingração da fora difrncial da função d crscino. 3.

3 Tabla 3.. lguas funçõs píricas uilizadas na odlação do crscino florsal uor ou dsignação Fora ingral Exprssão aáica Fora difrncial Hipérbol (produção) Siaríica Logaríica + + Logaríica ( + ) Exponncial Frs Hossfld Korsun (parábola aríica) d d d d d d d d 3.3 Caracrísicas Rsriçõs nos Valor na Pono d inflxão ssípoa (crscino) parâros orig < ; Não ; < ; > ; Não ; > ; Não ;, > ; < ; Não ;, < ; Não ; d, > ; < ; Não ; d + d + ( ), < ; + Não ; d > + d + > ; < d > ; > d d 3 > + d d Tabla 3.. Funçõs d crscino d bas biológica > ; > > ; < > ; > ; ; ; ; ; ( + ) > ; < ; z - z + z + ± ; Não ; ± ; ; ;

4 uor ou dsignação Schuachr Johnson- Schuachr + a Lundqvis-Korf Fora ingral (produção) Exprssão aáica d Monoolcular ( c ) Logísica Parl-Rd Fora difrncial (crscino) Rsriçõs nos parâros d > d d d d d d d d ( + a) + ( ) ( + c ) ( ) + c ( 3 a + a + a ) ( ) f 3 d d > > ; n > Valor na orig ; ; a ; > ; ( c) Caracrísicas Pono d inflxão ; a ; + ; n + ssípoa ; ; ; Não ; > ; + c ; a,a3 > ; + c c > ; c ; inflc para Goprz c d ln > c ; c d c > ; ; Richards ( c ) > ; d c d ; ( c) McDill-ais d a a> ; d > > a a x ; ; ; ; ; 3.4

5 Vjaos sguida as hipóss qu cada ua das funçõs aprsnadas s basia. 3.. Função d Schuachr gnralizaçõs No crscino florsal, a função d Schuachr (939) rprsna a priira naiva d dfinir ua função a parir d prssuposos lógicos. O odlo proposo por Schuachr para uso gnralizado, basia-s na hipós d qu a axa rlaiva d crscino crsc linarn co o invrso do quadrado do po (ou sja, dcrsc d fora não linar co o po): d d d d Na fora ingral obé-s y sndo o parâro / a assípoa, ond (, ) são os valors iniciais. O parâro sá invrsan rlacionado co a axa d crscino, coo s pod vr na figura 3.. função d Johnson-Schuachr (Grosnbaugh, 965) é ua gnralização da função anrior qu inclui os casos qu o valor inicial da produção não é nulo. O parâro adicional a rprsna o faco d, para, já r sido aingida a dinsão -/a. Esa função não, porano, grand aplicação na odlação do crscino d árvors povoanos. função d Lundqvis (Sag, 963) corrspond a oura gnralização da função d Schuachr co as sguins foras difrnciais: d d (+ ) d d fora ingral qu lh corrspond é: 3.5

6 função d Korf (Olivira, 984) corrspond a ua rpararização da função d Lundqvis: n r n r n figura 3. ilusra o fio qu os difrns parâros (assípoa, n) ê na fora da função d Lundqvis. Coo s pod vr, para igual valor dos rsans parâros, o parâro varia invrsan coa rapidz d crscino, passando-s o invrso co o parâro n. Convé noar, conudo, qu a influência dos 3 parâros s conjuga. Na figura 3.-C pod vr-s, por xplo, qu é possívl obr u crscino ais rápido co u nor valor d n, dsd qu s sja cobinado co u aior valor d assípoa. localização do pono d inflxão da curva é indpndn do valor da assípoa, as dpnd dos valors cobinados d n, sndo crscn co. O fio d n é variávl dpnd grandn do valor d. figura 3. xplifica o fio cobinado dos dois parâros d fora na idad a qu ocorr o pono d inflxão. O valor da curva d crscino quando ocorr o pono d inflxão não dpnd, conudo, do valor do parâro, as si dos valors da assípoa do parâro n (figura 3.3), ocorrndo para aiors valors da variávl quano aior é o valor d n quano aior é a assípoa. 3.. Função onoolcular di-s qu a axa absolua d crscino é proporcional à difrnça nr a dinsão áxia (assípoa) a dinsão acual: 3.6

7 - assípoa variávl B - variávl ida d ida d C - n variávl D - assípoa n variávl ida d ida d Figura 3. Efio dos divrsos parâros da função d Lundqvis-Korf na fora das curvas d crscino. d d ( ) Na fora ingral v c, co c 3.7

8 variávl n variávl ida d a qu ocorr o p.i ida d a qu ocorr o p.i va lor do pa râ ro va lor do pa râ ro n n. n.5 n.5 5 Figura 3. Efio dos parâros n da função d Lundqvis-Korf na localização do pono d inflxão. variávl n variávl qua ndo ocorr o p.i qua ndo ocorr o p.i va lor do pa râ ro va lor do pa râ ro n n. n.5 n Figura 3.3 Efio dos parâros n da função d Lundqvis-Korf no valor da variávl quando ocorr o pono d inflxão. 3.8

9 3..3 Funçõs ísica ísica gnralizada função ísica basia-s na hipós d qu a axa rlaiva d crscino é a rsulan do poncial bióico rduzido d acordo co o aanho da população ou do organiso n (rsisência abinal): d d ( n ) axa rlaiva d crscino é, porano, ua função linar dcrscn co a dinsão. Na fora ingral v + c co c n 3..4 Função d Goprz Esa função, lii da função d Richards quando, pod dduzir-s dircan a parir da sguin quação difrncial: d d ( ) Esa quação adi ua axa rlaiva d crscino invrsan proporcional ao ario da proporção da dinsão rlação ao valor assipóico. Na fora ingral c, co c ( ) 3.9

10 3..5 Função d Richards Richards (959) dduziu a sua função por gnralização da função dsnvolvida por Von Bralanffy para o crscino anial (Pinaar Turnbull, 973). Esa função odla a axa absolua d crscino bioassa (ou volu) coo a difrnça nr ua axa anabólica (aboliso consruivo), proporcional à ára foossinican aciva (xprssa aravés d ua rlação aloérica co a bioassa) ua axa caabólica (aboliso dsruivo), proporcional à bioassa. ssi, ros: axa anabólica axa caabólica axa poncial d crscino axa d crscino c Sc (c ) c c 3 c - c 3 c 4 (c - c 3 ), ond S é a ára foossinican aciva; é a bioassa (ou volu); é a consan aloérica da rlação nr S ; c, c, c, c 3 são coficins d proporcionalidad; c 4 é u coficin d ficácia. Obé-s assi a sguin fora difrncial para a função d Richards: d η d γ Por ingração uilizando a condição inicial y( ), obé-s a fora ingral da função d Richards: c, d parâros, c, qu: c ( )γ γ η γ (assípoa). 3.

11 Na vrsão original d Von Bralanffy o xpon ra fixo igual a /3. Convé salinar qu as funçõs onoolcular, ísica Goprz são abé casos pariculars da função d Richards co valors do parâro rspcivan iguais a,,. s figuras 3.4 ilusra o fio dos rês parâros da função d Richards na fora da curva d crscino, nquano qu as figuras s rfr, rspcivan, ao su fio na localização do pono d inflxão no valor da variávl quando o pono d inflxão ocorr. - assípoa variávl B - variávl idad idad C - variávl D - assípoa variávl idad idad Figura 3.4 Efio dos divrsos parâros da função d Richards na fora das curvas d crscino. 3.

12 variávl variávl idad a qu ocorr o p.i idad a qu ocorr o p.i valor do parâro valor do parâro Figura 3.5 Efio dos parâros da função d Richards na localização do pono d inflxão. variávl variávl quando ocorr o p.i quando ocorr o p.i valor do parâro valor do parâro Figura 3.6 Efio dos parâros da função d Richards no valor da variávl quando ocorr o pono d inflxão. 3.

13 Coo s pod vr na figura 3.4, valors d supriors corrspond a axas d crscino supriors, nquano qu, plo conrário, a nors valors d corrspond axas d crscino supriors. Coo sria óbvio, a assipoa sá abé posiivan rlacionada co aiors produçõs. cobinação do fio dos difrns parâros pod, conudo, ascarar o fio d cada parâro individualn, coo s pod vr na figura 3.4 D. Causon Vnus (98) aprsna u sudo basan dalhado sobr a aplicação da função d Richards na odlação do crscino d planas. figura 3.5 osra qu o pono d inflxão ocorr ano ais cdo quano aior é o valor d nor o valor d. o so po, o valor da variávl quando ocorr o pono d inflxão é ano ais lvado quano aior é o valor da assipoa, bora sja invrsan corrlacionado co o valor d Função d McDill-ais função d McDill-ais foi dsnvolvida por ss auors 99 d odo a garanir a copaibilidad das dinsõs abé as propridads biológicas das curvas d crscino. s variávis considradas para a função d crscino as corrspondns dinsõs fora: Variávl d/d Dinsão LT - T L L ond L indica u coprino T u po é a assípoa da variávl. plicando a oria da anális dinsional a sas variávis (McDill ais, 99) garanindo, ao so po, qu a axa d crscino alura nd para quando nd para a assípoa, obé-s a sguin função d crscino: d d Nsa quação, é u parâro rlacionado co a vlocidad do crscino. É ua função d crscino slhan à função d Richards, as nos parâros, porano, o qu pod sr ua vanag no ajusano aos dados. 3.3

14 solução da quação difrncial corrspondn à função d crscino origina a sguin função d produção: y ond (, ) é a condição inicial. E odlos d crscino d árvors dv vrificar-s as condiçõs: > > > É fácfil vrificar qu, nsas condiçõs, a alura nd para zro quando a idad nd para zro qu é a assípoa da função. lé disso, a função aprsna u pono d inflxão qu ocorr quando: a ssi, a curva u único pono d inflxão qu ocorr para u valor posiivo d quando a é suprior a. Quando a é nor ou igual a, a curva é côncava no º quadran. 3.3 Faílias d curvas d crscino E odas as funçõs d crscino aprsnadas considrou-s a dinsão do indivíduo ou população função apnas do po, o qu liia a sua aplicabilidad aos odlos d produção. D faco, ua função d crscino ajusa-s graln b ao conjuno d dados d ua sa parcla prann, Por xplo, a figura 3.7 rprsna o ajusano da função d Lundqvis aos dados da volução da ára basal da alura doinan d ua parcla prann d ucalipo na zona cnro lioral. 3.4

15 5. 5. Á ra basal ( ha - ) lu ra d o inan Idad (ano s) Idad (ano s) Figura 3.7 jusano da função d Lundqvis aos dados da volução ára basal alura doinan d ua parcla prann d ucalipo na zona cnro lioral. No dsnvolvino d u odlo d produção, conudo, o objcivo é odlar, não os dados d ua parcla, as u conjuno d dados d várias parclas pranns, al coo s procura xplificar na figura 3.8 qu rprsna os gráficos da volução ára basal alura doinan d u conjuno d parclas pranns da zona cnro d Porugal. Figura 3.8 Dados da volução ára basal alura doinan d u conjuno d parclas pranns d ucalipo na zona cnro. 3.5

16 E odlação uiliza-s dois éodos para odlar, siulânan, o crscino d u conjuno d parclas pranns: xprssão dos parâros das funçõs d crscino coo função d variávis do povoano uilização d funçõs d crscino foruladas coo quaçõs às difrnças 3.3. Exprssão dos parâros das funçõs d crscino coo função d variávis do povoano lguns auors ê nado ulrapassar o probla da odlação conjuna d dados provnins d divrsos povoanos xprssando os coficins das funçõs d crscino função d variávis do povoano. Es procsso foi sugrido por Schuachr para a inrodução da influência d ouras variávis no su odlo, coo sja a class d qualidad a dnsidad. Para a fora aríica da função d Schuachr ln a, co a ln Podos considrar, por xplo, o parâro a coo função linar da class d qualidad, obndo: ln + CQ. Ouro xplo ípico ds odo d procdr são as curvas d class d qualidad obidas plo éodo da rgrssão linar úlipla co siação a priori da class d qualidad (vr capíulo 5). Os odlo GLOBUS, EUSOP (Toé al., 995) GLOBULUS (Toé al.,, ) são basados nu conjuno d funçõs d crscino, alguas das quais foruladas coo quaçõs às difrnças, sndo os parâros d odas las xprssos funçõs d algua(s) variávl(s) do povoano: índic d qualidad da sação, dnsidad do 3.6

17 povoano, idad, roação, c. Coo xplo, considr-s a função d inicialização da ára basal do odlo GLOBULUS: G g g (g + g) g g + (gq + gqr ro) g (gn + gnr ro) Npl Iq + gr ro g gq Iq g g + gq. Iq g gn + gnr ro + ( gr + Qr ( Iq) ) ro ond: G i é a ára basal no insan i ; N i é a dnsidad no insan i ; Npl é a dnsidad à planação; Iq é o índic d qualidad da sação, ro é a variávl indicariz d alhadia ( no alo-fus nas alhadias); gq, ng, ngq, ngr, ngn, ngnr, g, gq, gqr, gr; gn gnr são parâros. U odo basan usual para incorporar nas funçõs d crscino ouras variávis alé do po sido o rcurso à rgrssão úlipla (Hun, 98) passando-s porano a uilizar odlos píricos. U xplo ípico são alguas quaçõs para o acréscio diâro da árvor individual (Harrison al., 986); Walsh, 986) Forulação d funçõs d crscino coo quaçõs às difrnças U ouro éodo para rsolvr a odlação conjuna do crscino d vários povoanos é rcorrr a funçõs d crscino foruladas coo quaçõs às difrnças. xprssão d ua função d crscino coo ua quação às difrnças basia-s na prissa d qu é possívl odlar o crscino co bas nua faília d curvas corrspondn às curvas originadas por ssa função d crscino co odos os parâros couns xcpo u, o chaado parâro livr. Explificando co a função d Lundqvis, os a sguin xprssão para a função d crscino: y 3.7

18 parir da função d crscino nos insans obé-s, rspcivan: y y y y Igualando agora as duas xprssõs obidas para, v: y ( ) y y y, xprssão qu corrspond à quação d Lundqvis co a assípoa coo parâro livr, graln dsignada por Lundqvis-. faília d curvas é dfinida, para sa quação às difrnças, plos parâros n. Ua dição ralizada nua parcla, ou sja, u par (,y ), pri calcular a assípoa d acordo co y Ua dição é porano a condição inicial, a qual xprssa a fora d ua função da faília d curvas dfinida pla quação às difrnças. Do so odo s pod obr, para cada função d crscino, anas forulaçõs coo quaçõs às difrnças quanos os parâros dssa função d crscino. s figuras 3. rprsna faílias d curvas corrspondns à função d Lundqvis-Korf forulada coo quaçõs às difrnças: co a assípoa livr (3.-) co o parâro livr (3.-B) co o parâro n livr (3.-C) Por su lado, as figuras 3.4 rprsna faílias d curvas corrspondns à função d Richards forulada coo quaçõs às difrnças: co a assípoa livr (3.4-) 3.8

19 co o parâro livr (3.4-B) co o parâro livr (3.4-C) função d McDill-ais sá auoáican scria coo ua quação às difrnças, basando considrar (, ) coo condição inicial. s ablas osra as divrsas funçõs d crscino píricas d bas biológica nas suas difrns forulaçõs coo quaçõs às difrnças. No-s qu os parâros das funçõs d crscino pod sr xprssos função d variávis da sação ou do povoano, al coo já rfrido para as corrspondns funçõs scrias na sua fora ingral. U xplo é a função d projcção ára basal do odlo GLOBULUS: G N ng + ng N ng ng g + G g g gq Iq ng ng ng + ngq. ngn + ngnr ro ( Iq) + ( ngr + nqr ( Iq) ) ro ond: G i é a ára basal no insan i ; N i é a dnsidad no insan i ; Iq é o índic d qualidad da sação, ro é a variávl indicariz d alhadia ( no alo-fus nas alhadias); gq, ng, ngq, ngr, ngn ngnr são parâros Forulação d funçõs d crscino coo quaçõs às difrnças indpndns da idad Há casos qu a variávl idad é d dificil drinação (por xplo quando a spéci não fora anéis d crscino anuais b disinos, ouros so qu sa variávl não faz snido (povoanos irrgulars). Nss casos o crscino das árvors povoanos coninua a sguir a fora d ua função d crscino, no nano não é possívl uilizar as xprssõs aáicas qu os vindo a aprsnar. Toé al. (6) osrara qu é possívl obr forulaçõs das funçõs d crscino nas quais a idad não sá xplícia, uilizando ua odoia slhan à uilizada para ddudzir 3.9

20 3. as forulaçõs às difrnças. Uilizando, coo xplo, a função d Lundqvis, coços por rsolvr a função, calculada na idad i, ord a sa idad: i i i ln i xprssão para i pod sr subsiuída na função d crscino, calculada no pono i +a, ond a é o inrvalo d projcção: i i a ln a i a a i É sa a forulação da função d Lundqvis coo ua quação às difrnças indpndn da idad (Lundqvis-). xprssão parc coplxa as, alvz dvido ao su significado biológico, é uio fácil obr convrgência quando ajusa a dados rais. No-s qu a função não é raln indpndn da idad, apnas a idad não sá xplícia na xprssão. Uilizando u procdino slhan, pod obr-s a forulação da função d Richards coo quação às difrnças indpndn da idad (Richards-): i a - a i + Para obr ua faília d curvas co s ipo d quaçõs, plo nos u dos parâros qu sr xprsso função d caracrísicas da sação (solo /ou clia ou índic d qualidad da sação), podndo ainda incluir caracrísicas do povoano. É iporan salinar qu as quaçõs às difrnças indpndns da idad são invarians para o inrval d projcção s só s as xprssõs dos parâros não conivr variávis qu dpnda da idad dos povoanos. Caso sa condição não s vrifiqu, as projcçõs dpndrão, obvian, do inrval d projcção. Esa condição abé s vrifica co as quaçõs às difrnças qu vios no pono anrior.

21 No-s qu o rcurso a forulaçõs d funçõs d crscino coo quaçõs às difrnças indpndns da idad fornc ua odoia para siar o índic d qualidad da sação dsd qu sja disponívl duas diçõs d ua sa parcla. Suponhaos, coo xplo, qu s vrificou qu o parâro da função Richards- sá forn rlacionado co o índic d qualidad da sação. Co duas dicos, às idads i ( i ) i+a ( i+a ), é possívl drinar o valor d : [] a i ln i+ a O próprio parâro pod sr uilizado coo índic d qualidad da sação ou, alrnaivan, pod sr xprsso co ua função do índic d qualidad da sação (S). S sa função for linar (a+b S), não o S pod sr faciln obido, ua vz drinado o valor d. 3.4 Exrcícios 3.4. jusano da função d Lundvis-Korf aos dados d ua parcla prann Uiliz o EXCEL para ajusar a função d Lundqvis-Korf aos dados qu s nconra no fichiro Dados 3.3..xls. Coc por fazr u ajusano naivas dpois rcorra ao SOLVER nális da fora da função d Lundqvis-Korf para difrns valors dos parâros Uiliz o EXCEL para fazr os gráficos da função d Lundqvis-Korf para: a) Iguais valors dos parâros n, assípoa variávl Sugsão: 4,7,; 3; n.5 3.

22 3. Tabla 3.3. Funçõs d crscino píricas scrias sob a foraa d quaçõs às difrnças. s difrns foras d ua sa função são indxadas plo parâro livr. Função Exprssão aáica Frs- Frs- Frs- Hossfld- + + Hossfld- + + Hossfld- + + Korsun- Korsun- Korsun-

23 3.3 Tabla 3.4. Funçõs d crscino d bas biológica scrias sob a foraa d quaçõs às difrnças. s difrns foras d ua sa função são indxadas plo parâro livr. Função Exprssão aáica Lundqvis- (Schuachr- para n) Lundqvis- (Schuachr- para n) Richards- (Monoolcular- para ) Richards- (Monoolcular- para ) Richards- McDill-ais y a) Iguais valors d assípoa parâro n, variávl Sugsão: 7;,3,5; n.5 b) Iguais valors d assípoa parâro, n variávl Sugsão: 7; 3; n.,.5,.9 c) Co bas nos dados da alura doinan da parcla prann do xrcício.5. dsignada 3x3 Iq6 n nconrar valors para, n qu lv a ua curva co u coporano slhan ao da parcla qusão. Esablça u

24 parallo nr aquilo qu fz o ajusano da função d Lundqvis aos dados da parcla co bas oria da rgrssão nális da fora da função d Richards para difrns valors dos parâros Uiliz o EXCEL para fazr os gráficos da função d Richards para: a) Iguais valors dos parâros, assípoa variávl Sugsão: 4,7,;.5;. b) Iguais valors d assípoa parâro, variávl Sugsão: 7;.3,.5,.7;. c) Iguais valors d assípoa parâro, variávl Sugsão: 7;.5; -.,., nális da fora da função d McDill-ais para difrns valors dos parâros Uiliz o EXCEL para fazr os gráficos da função d McDill-ais para: a) Iguais valors do parâro, assípoa variávl Sugsão: 4,7,;.5 b) Iguais valors d assípoa, a variávl Sugsão: 7;.3,.5,.7 No qu para rsolvr as alínas a) b) prcisa d inicializar a função co ua valor d para u préfixado. Uiliz 5 para. Consgu jusificar porqu é qu a função d McDill-ais ncssia d sr inicializada? Ddução das xprssõs da função d crscino d Lundqvis-Korf coo quação às difrnças a) Dduza as rês forulaçõs da função d Lundqvis-Korf coo quação às difrnças 3.4

25 b) Dduza ainda a forulação da função d Lundqvis-Korf coo quação às difrnças indpndn da idad Ddução das xprssõs da função d crscino d Richards coo quação às difrnças a) Dduza as rês forulaçõs da função d Richards coo quação às difrnças b) Dduza ainda a forulação da função d Richards coo quação às difrnças indpndn da idad 3.5