Apontamentos de Análise de Sinais

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1 LICENCIATURA EM ENGENHARIA DE SISTEMAS DE TELECOMUNICAÇÕES E ELECTRÓNICA Aponamnos d Anális d Sinais Módlo 6 Prof. José Amaral Vrsão. -- Scção d Comnicaçõs Procssamno d Sinal ISEL-CEDET, Gabin C da@isl.p

2 Índic OBJECTIVOS.... PROPRIEDADES DA... DUALIDADE... EEMPLO.... SIMETRIA... EEMPLO.... SOBREPOSIÇÃO... TRANSLAÇÃO NO TEMPO... EEMPLO.... ESCALAMENTO NO TEMPO... EEMPLO.... TRANSLAÇÃO NA FREQUÊNCIA... EEMPLO.... DIFERENCIAÇÃO NO TEMPO... EEMPLO.6... CONVOLUÇÃO... 6 EEMPLO MULTIPLICAÇÃO... 6 EEMPLO INTEGRAÇÃO NO TEMPO... 7 EEMPLO RELAÇÕES DE PARSEVAL... 8 SINAIS DE ENERGIA... 8 SINAIS DE POTÊNCIA... 8 MATLAB EEMPLO... 9 EEMPLO... EEMPLO... EEMPLO... EEMPLO... EEMPLO 6... EEMPLO EERCÍCIO EEMPLO... 7 EEMPLO... 7 MATLAB EEMPLO... 9 APÊNDICE : PROPRIEDADES DA... DUALIDADE... SIMETRIA... SOBREPOSIÇÃO... TRANSLAÇÃO NO TEMPO... ESCALAMENTO NO TEMPO... TRANSLAÇÃO NA FREQUÊNCIA... DIFERENCIAÇÃO NO TEMPO... 6 CONVOLUÇÃO MULTIPLICAÇÃO... 7 INTEGRAÇÃO NO TEMPO... 8 APÊNDICE : TEOREMA DE PARSEVAL... SINAIS DE ENERGIA... SINAIS DE POTÊNCIA... FICHA DE AVALIAÇÃO M6... GRUPO C... EERCÍCIO... EERCÍCIO... EERCÍCIO...

3 Módlo 6 Propridads da TÓPICOS Propridads da Torma d Parsval Aransformada d Forir m m conno d propridads imporans, q s põm d sgida, nos prmim, qando dvidamn ilizadas, qr faciliar o cálclo d, q pod ncrrar algma complidad analíica cssiva, qr ma mais profnda comprnsão das propridads dos sinais s inrrlacionamno no mpo na frqência. O conhcimno domínio da ilização das propridads da prmi simplificar significaivamn o cálclo d d sinais, q, com bas nas propridads, facilmn s rlacionam com d sinais á conhcidos. No q s procdimno é na maior par dos casos significaivamn mais rápido do q a maniplação analíica das prssõs rslans do cálclo por rcrso à biblioca simbólica do Malab. Algmas das propridads, como sam a propridad da ranslação na frqência, da convolção, da mliplicação, êm, para além da ilidad rfrida, m spcial significado, associado ao sdo da amosragm, modlação, sdo s sismas linars, q srá vidnciado m próimos módlos. Obcivos No fim ds módlo o alno dvrá :. Conhcr dominar a ilização das propridads da.. Sabr calclar poência d m sinal com bas na informação spcral.

4 . Propridads da A propridad da dalidad da diz-nos q Rsmm-s aqi as propridads da ddzidas no Apêndic. Dalidad.. -. S for m sinal ral o s spcro d amplid é ma fnção par o s spcro d fas é ma fnção impar arg Emplo. A figra M6. mosra o sinal Π o rspcivo spcro sinc. Com bas na propridad da dalidad, a do sinal y sinc é imdiaa, sndo Y Π. A figra M6. mosra o sinal y o rspcivo spcro. Simria { } arg{ } S for m sinal ral par a sa é ral cos d S for m sinal ral impar a sa é imaginária Figra M6. sn d Emplo. Rva os mplos d cálclo da no Módlo Malab. os comnários aí fios rlaivamn à simria dos sinais rspcivos spcros Figra M6. Prof. José Amaral M6 - Vrsão. --

5 Sobrposição A propridad da sobrposição da diz-nos q K n n n n a k kk k akk O sa, a da combinação linar d m conno d sinais é igal à combinação linar da d cada m dos sinais. Translação no mpo A propridad da ranslação no mpo da diz-nos q.. Figra M No q, como sria d sprar, ma ranslação d m sinal d nidads no domínio do mpo não alra o spcro d amplid do sinal, prodzindo alraçõs apnas no spcro d fas, a q é adicionada a qanidad. Emplo. A figra M6. mosra o spcro d fas do sinal Π, q s ilsro na figra M6.. A figra M6. mosra o sinal y Π rspcivo spcro d amplid spcro d fas. Sndo y rsla d imdiao Y, plo q Y, arg{ } arg{ } Y Figra M6. Prof. José Amaral M6 - Vrsão. --

6 A propridad d scalamno no mpo da diz-nos q Pariclarmn a a a Escalamno no mpo f A propridad d scalamno no mpo da diz-nos q a ma comprssão no domínio do mpo corrspond ma pansão no domínio da frqência vic-vrsa. O rslado é iniivo. S m sinal é comprimido passa a variar mais rapidamn no mpo, ncssariamn, o s spcro dvrá passar a conr frqências mais lvadas. Emplo. Sabndo-s q o spcro do sinal Π é sinc, como s mosra na figra M6., o spcro do sinal Π é, andndo à propridad do scalamno no mpo, sinc, como s mosra na figra M6.. D modo idênico, como s mosra na figra M6.6, o spcro do sinal Π. 8 sinc8. é Figra M6. Translação na frqência A propridad da ranslação na frqência da diz-nos q f c c Da mliplicação d m sinal no mpo por m facor c rsla o dslocamno d odo o s spcro, q passa a sar cnrado na frqência c. Esa propridad é a bas do procsso d modlação, rmamn imporan m lcomnicaçõs, q srá abordado m dalh na cadira d fndamnos d lcomnicaçõs. Emplo. A do sinal y Π cos é imdiaa a parir do conhcimno da do sinal Figra M6.6 Prof. José Amaral M6 - Vrsão. --

7 A propridad da difrnciação no mpo da diz-nos q Gnralizando, d d n d n d Π. Sndo y cos. +, com bas na propridad da ranslação na frqência rsla Y A figra M6.7 mosra o sinal y rspcivo spcro. Compar-a com a figra M6.. n Difrnciação no mpo Conclímos assim q a difrnciação do sinal no mpo é qivaln à mliplicação do spcro do sinal por. Esa é ma propridad úil na obnção d d novos sinais a parir d sinais cas são conhcidas. No q, dada a forma do spcro, do procsso d difrnciação d m sinal rsla m oro sinal co spcro rsla do sinal original com as frqência próimas da origm anadas as alas frqências ampliadas. O sa, o procsso d difrnciação corrspond a ma filragm passa-alo. Emplo.6 Como vimos, o sinal Π m ma sinc sn. A do sinal y d d, ndo m anção a propridad d difrnciação no mpo, é Y sn. A figra M6.8 mosra o sinal y rspcivo spcro d amplid. Analis comn sa msma figra à lz da propridad da dalidad Figra M Figra M6.8 Prof. José Amaral M6 - Vrsão. --

8 Convolção A propridad da convolção da diz-nos q y Y y Y A propridad da mliplicação da diz-nos q f y Y f y A propridad da convolção pod sr úil ao prmiir viar o cálclo da convolção nr dois sinais, sbsiindo-o plo cálclo da invrsa do prodo d das y Y [ Y ], q s spõm conhcidas, sndo s procsso analiicamn mnos complo. O procsso é d grand ilidad significado no sdo d sismas, como s vrá a parir do Módlo 9. Emplo.7 A convolção com l msmo do sinal Π, ca é sinc, pod sr calclada a parir da invrsa d 6 sinc, q é o sinal plso rianglar cnrado d amplid A dração, como s mosra na figra M6.9. Mliplicação Figra M Figra M6. 6 Emplo.8 O prodo do sinal Π, co spcro sinc s mosra na figra M6., plo sinal y cos, co spcro Y δ + + δ s mosra na figra M6., m ma Y q s mosra na figra M6.. Compar com o rslado obido aravés da propridad da ranslação na frqência Figra M6. Prof. José Amaral M6-6 Vrsão. --

9 A propridad da ingração no mpo da diz-nos q Ingração no mpo v dv + δ No q, dada a forma do spcro, do procsso d difrnciação d m sinal rsla m oro sinal co spcro rsla do sinal original com as frqência próimas da origm ampliadas as alas frqências anadas. O sa, o procsso d ingração corrspond a ma filragm passa-baio Emplo.9 A figra M6. mosra o sinal Π + Π rspcivo spcro sn /. A figra M6. mosra o sinal y v dv Λ rspcivo spcro Y + δ sinc Figra M Figra M6. Prof. José Amaral M6-7 Vrsão. --

10 . Rlaçõs d Parsval As rlaçõs d Parsval sablcm o modo como a nrgia o a poência d m sinal pod sr calclada a parir da sa rprsnação spcral. Sinais d nrgia A nrgia d m sinal d nrgia coníno,, pod sr calclada ano no domínio do mpo como no domínio da frqência, sndo E d d é dsignada por dnsidad spcral d nrgia. S for m sinal ral, o sa, a dnsidad spcral d nrgia é m fnção par posiiva. Podmos scrvr E d Sinais d poência A poência média d m sinal coníno priódico, d príodo T, pod sr calclada qr no domínio do mpo qr no domínio da frqência, sndo P T T d C k k Ck rprsna não a poência média da harmónica d ordm k do spcro do sinal. S for ral os coficins da SF são complos congados, plo q podmos scrvr P C + C k k No q pod calclar a nrgia oal, o a poência média, do sinal qr a parir da sa rprsnação no mpo qr da sa rprsnação na frqência, mas, vidnmn, a prcnagm d nrgia, o poência, dran m inrvalo d mpo só podrá sr calclada a parir da sa rprsnação mporal, a prcnagm d nrgia, o poência, nma drminada faia d frqência só podrá sr drminada a parir da rprsnação spcral. Prof. José Amaral M6-8 Vrsão. --

11 Malab 6. Emplo Calcl a do sinal sinc Rcorrndo à biblioca simbólica syms w; Fforirsym'*sinc*',,w; Vrificamos q a ransformada não é rsolvida. Podmos rscrvr a prssão sn Figra M6. Rcorrndo d novo à biblioca simbólica simplifyforirsym'*sin**pi/**pi',,w -/*Havisidw-*pi +/*Havisidw+*pi. obmos assim Π No q, andndo à propridad da dalidad Figra M6., ma vz q conhcmos o par d Forir Era imdiao q AΠ A sinc A sinc AΠ Da idnificação nr as prssõs A A, plo q A sinc sinc rsla AΠ Π Π As figras M6. M6., mosram, rspcivamn, a volção do sinal do s spcro. Prof. José Amaral M6-9 Vrsão. --

12 Emplo Rcordmos pag. M-9 o cálclo da do sinal implso niário. Rcorrndo à biblioca d cálclo simbólico syms w sym'havisid'; forir,,w pi*diracw-i/w Tmos não δ + A figra M6.6 mosra o sinal, a figra M6.7 o corrspondn spcro d amplid. Inrpr convninmn a prssão d. No a isência da componn dc δ Figra M6.6, sndo, No q não dv rcorrr à biblioca d cálclo simbólico para simplificar a prssão Figra M6.7 simplifyforir,,w -i/w Gnralizando, qando rcorrr à biblioca simbólica, nha o cidado vrificar inrprar fisicamn a isência d implsos d Dirac m ponos m q drminada caracrísica d m sinal nd assimpoicamn para infinio ans d simplificar a prssão dssa caracrísica. Podmos rconsrir o sinal rcorrndo à invrsa iforir,w, /+/*Havisid- /*Havisid- simplify ans Havisid No sgndo caso obmos.. -. iforir,w, /*Havisid- /*Havisid- simplify ans Havisid-/ Figra M6.8, o sa, m sinal d valor médio nlo, ma vz q não s v m anção a isência da componn dc. A figra M6. 8 mosra a volção do sinal.. Prof. José Amaral M6 - Vrsão. --

13 Emplo Na sqência do Emplo chama-s aqi à anção para ma ora siação m q é comm a maniplação indvida da informação sobr a componn dc dos sinais. Considrmos d novo os sinais.. Podmos calclar a dos sinais com bas na propridad da ingração o na propridad da difrnciação no mpo y y d Y Y + Y δ Rcorrndo à biblioca simbólica para aplicar propridad da ingração no mpo ao sinal mos syms w sym'havisid'; ydiff y Dirac Yforiry,,w Y YsbsY,w, Y //w*y+pi*y*sym'diracw' pi*diracw-i/w Obndo assim o rslado sprado. Para o sinal. mos sym'-.+havisid'; ydiff; Yforiry,,w; YsbsY,w,; //w*y+pi*y*sym'diracw' pi*diracw-i/w O procdimno é incorrco dado q o procsso d drivação limino informação sobr o valor médio. Em siaçõs ds ipo o procdimno dvrá sr + C Para o caso m anális [ + C] [ ] + [ C] [ ] + Cδ sym'-.+havisid'; sym'havisid'; ydiff; Yforiry,,w; YsbsY,w,; //w*y+pi*y*sym'diracw'+*pi*-.*sym'diracw' -i/w, confirmado o rslado conhcido. Prof. José Amaral M6 - Vrsão. --

14 Emplo Calcl a do sinal rprsnado na figra M6.9. Podmos considrar o sinal como a sobrposição d vários scalõs niários + + +, calclar assim a do sinal rprsnado Rcorrndo à biblioca simbólica syms w sym'-+*havisid+ +*Havisid-*Havisid-'; forir,,w -*pi*diracw+*p*i*w*pi*diracw-i/w-*i/w -*p-*i*w*pi*diracw-i/w Figra M6.9 Vrificamos a isência d ma componn dc -*pi*diracw plo q dvmos r o dvido cidado na simplificação, fazndo Ssimplify S -*-sin*w+i/w sgidamn Tmos assim S+sym'-*pi*Diracw' *sin*w-i/w-*pi*diracw sn δ 8 sinc + δ Podmos vrificar a corrcção da calclada, rcorrndo à invrsa simplifyiforir,w, -+*Havisid++*Havisid-*Havisid- Alrnaivamn, podríamos r rcorrido à propridad da ingração no mpo. Tndo m anção os procdimnos q s salinaram nos Emplos, mos syms w sym'-'; sym'*havisid++*havisid-*havisid-'; forir,,w; ydiff; Yforiry,,w; YsbsY,w,; //w*y+pi*y*sym'diracw' -i/w**p*i*w+-*p-*i*w+*pi*diracw simplify+sym'+*pi*diracw'; + *sin*w-i/w-*pi*diracw Prof. José Amaral M6 - Vrsão. --

15 Emplo Calcl a do sinal. Π Rcorrndo à biblioca d cálclo simbólico.. syms w sym'*havisid- -*Havisid-'; forir,,w *p-*i*w*pi*diracw-i/w- *p-*i*w*pi*diracw-i/w simplify *i*-p-*i*w+p-*i*w/w Figra M6. Tmos não A ±, q não é simplificada plo Malab. Eprssõs do ipo podm sr A+ B simplificadas pondo m vidência o facor. No caso m anális A + B + + sn sinc Rcorrndo à biblioca d cálclo simbólico simplify/p-**w /w*sinw *p-**w /w*sinw*p-*i*w A do sinal pod sr, alrnaivamn, calclada com bas na propridad da ranslação no mpo, [ ]. Rconhcndo q o sinal m anális corrspond a m plso rcanglar cnrado com m araso, rsla d imdiao A sinc Sndo A, mos sinc No como a ranslação do sinal no domínio do mpo não alra o s spcro d amplid mas apnas o s spcro d fas. B Prof. José Amaral M6 - Vrsão. --

16 Emplo 6 Calcl compar as dos sinais cos cos cos Rcorrndo à biblioca simbólica, as são imdiaas syms w w sym'cosw*'; sym'cos*w*'; sym'cos/*w*'; forir,,w pi*dirac-w+w+pi*diracw+w forir,,w pi*dirac-w+*w+pi*diracw+*w forir,,w pi*dirac-w+/*w+pi*diracw+/*w Tmos não δ + δ + δ +. + δ + δ + δ. No q podríamos r m anção o conhcimno da do sinal cos,, andndo à propridad do scalamno no mpo, r fio a a [ a ], ainda, sndo a a δ + + δ + δ + δ δ a δ a rsla finalmn + f δ + δ δ + + δ Prof. José Amaral M6 - Vrsão. --

17 Figra M6. No q s opo por m mplo simpls para ilsrar o rcrso à propridad do scalamno no mpo, para q a posição rslass mais clara. Ns caso o rcrso à biblioca simbólica rsolv saisfaoriamn o cálclo das, não s sificando a ilização da propridad. Para sinais cas prssõs analíicas sam mais complas, os rslados obidos por rcrso à biblioca simbólica podm sr mio difícis d simplificar analisar, sificando-s não plnamn o rcrso à propridad para o cálclo das. D qalqr modo, o q sá m casa é a inrpração dos rslados obidos, q s rvs d pariclar significado. A figra M6. mosra os sinais cos, cos cos rspcivos spcros d amplid. É bm visívl q ma comprssão no domínio do mpo corrspond a ma pansão no domínio da frqência, ma pansão no domínio do mpo corrspond a ma comprssão no domínio da frqência. Prof. José Amaral M6 - Vrsão. --

18 Emplo 7 Com bas na propridad da ranslação na frqência [ ] c calcl a do sinal Tmos não AΠ cos c Sndo AΠ cos AΠ A Π + A + Π.. A A Π sinc rsla imdiaamn, com bas na sobrposição na ranslação na frqência Figra M6. A o sinc A + o + sinc A figra M6. mosra o sinal com A, rspcivo spcro. No como da mliplicação d m sinal y plo sinal cos rslo a ranslação do spcro original do sinal, Y, sm qalqr disorção d amplid o d fas, para as frqências ±. Esa opração, dsignada por modlação d amplid, as sas propridads aplicaçõs, srá sdada m dalh na cadira d fndamnos d lcomnicaçõs. Rcorrndo à biblioca simbólica syms w w sym'a*havisid+a/-havisid-a/*cosw*'; simplifyforir,,w A*-sin/*a*w+w*w+sin/*a*w+w*w +sin/*a*-w+w*w+sin/*a*-w+w*w/-w+w/w+w O rslado rqr simplificação manal. Msmo para m mplo simpls como o aprsnado, fica clara a vanagm da aplicação da propridad no cálclo da. Prof. José Amaral M6-6 Vrsão. --

19 Prof. José Amaral M6-7 Vrsão. -- Ercício 6. Emplo Com bas na propridad da convolção da calcl a convolção d m plso rcanglar cnrado com l msmo Π A Com bas na propridad da convolção [ ] Como vimos sinc A Enão [ ] sinc sinc sinc A A A Aplicando a invrsa a ambos os mmbros rsla sinc A Sndo a d m plso rianglar Λ B sinc B Enão Λ A Emplo Com bas na propridad da mliplicação da, calcl a convolção dos spcros sinc sinc B Y A, com >. Os spcros Y são facilmn rconhcívis como rslans da dos plsos rcanglars

20 Prof. José Amaral M6-8 Vrsão. -- Π Π B y A Assim sndo [ ] Π Π B A y Y Sndo >, rsla sinc f AB AB Y Π

21 Malab 6. Emplo Considr o sinal coníno priódico,, dscrio na figra M6. Drmin a do sinal. Esboc o módlo da do sinal aé à ª harmónica. Calcl os coficins da SF do sinal. Esboc o módlo dos coficins da SF do sinal aé à ª harmónica. Calcl a prcnagm da poência do sinal conida aé à ª harmónica.. Rprsn graficamn a rconsrção do sinal com bas nas primiras harmónicas compar com o sinal original. Rpia os procdimnos para harmónicas Figra M6. Rcorrndo à biblioca simbólica do Malab, comcmos por considrar o sinal d nrgia corrspondn a m príodo do sinal. A parir dos dados da figra cos Π syms w sym'cospi/**havisid+-havisid-' Sgidamn dfinamos algmas consans ailiars à ddção rprsnação gráfica das grandzas: o númro d príodos a rprsnar na rconsrção, N ; o númro d harmónicas a considrar; a frqência anglar príodo fndamnal a parir da figra, T 8, T N; % impar Nk; wpi/; T*pi/w; Podmos sgidamn rprsnar o sinal coincidn com a figra M6. st/; g-t/:s:t/-s; gsbs,,g; g[]; g-n*t/:s:n*t/-s; for i:n g[g g]; nd; figr;plog,g,'linwidh',;grid on ais[ming,mag,ming-.,.*mag]; Sgidamn calclamos a do sinal d nrgia simplifyforir,,w -8*w*sin*w/*w-pi/*w+pi 8 sn 6 sn Os coficins da SF do sinal são imdiaos a parir da do sinal d nrgia C k T k Prof. José Amaral M6-9 Vrsão. --

22 k-nk:nk; wgw*k; ck/t*sbs,w,wg; nnfindisinfck isnanck; if lnghnn> for i:lnghnn cknni/t*dobllimi,w,wgnni; nd nd No q ivmos o cidado d dcar a possívl isência d problmas d cálclo dos coficins m algns ponos, ilizando as fnçõs isinf isnan, conornando o problma aravés do cálclo do limi a fnção limi não acia m vcor como argmno, daí sr ncssário ilizar m ciclo for. A parir da do sinal d nrgia,, o dos coficins da SF, a do sinal é imdiaa T k k k δ k C δ k Podmos agora procdr à rprsnação gráfica. Comçamos por rprsnar o módlo da nvolvn, proporcional ao módlo da do sinal d nrgia wg-nk*w:s:nk*w; g*pi/t*sbs,w,wg; figr;plowg,absg,':' ais[minwg,mawg,-.,.*maabsg]; grid on Sobrpondo d sgida o módlo da do sinal g*pi*ck; hold on; ifindabsg>ps*; smwgi,absgi,'^','filld' ifindabsg<ps*; smwgi,absgi,'filld' ais[minwg,mawg,-.,.*maabsg]; hold off Figra M Figra M6., rprsnamos por fim o módlo dos coficins da SF do sinal figr; smwg,absck,'filld' ais[minwg,mawg,-.,.*maabsck]; grid on Figra M6.6 A figra M6. mosra o módlo da do sinal, a figra M6. mosra o módlo dos coficins da SF do sinal. Para calclar a prcnagm da poência do sinal conida aé à ª harmónica basa calclar a poência do sinal com bas na dscrição do sinal no mpo Prof. José Amaral M6 - Vrsão. --

23 T P d T T, a poência conida aé à ª harmónica com bas na dscrição do sinal na frqência P k C k, sndo a prcnagm procrada P % P P PTdobl/T*in.^,, -T/,T/ PT. Psmck.*conck P. P/PT ans.889 Conclímos assim q 88.9% da poência do sinal sá conida aé à qara harmónica. A rconsrção do sinal é imdiaa a parir dos coficins da SF k C k k Figra M Figra M6.8 bp*w*k'*g; gck*b; figr;hold on plog,ralg,'r','linwidh', hold off A figra M6.6 mosra o gráfico do sinal rconsrído ilizando harmónicas, sobrposo ao sinal original A rpição dos procdimnos ilizando harmónicas apnas ig a mdança do valor da Figra M6.9 variávl N k para. As figras M6.7 M6.8 mosram, scssivamn, a os coficins da SF do sinal, obviamn q os gráficos são idênicos a M6. M6., mosrando-s agora m maior númro d riscas. A figra M6.9 mosra o gráfico do sinal rconsrído ilizando harmónicas, sobrposo ao sinal original. Rlaivamn à prcnagm d poência aé à ª harmónica mos agora PTdobl/T*in.^,,-T/,T/ PT. Psmck.*conck P.9 P/PT ans.9796, m oal d 97.96% da poência oal. Prof. José Amaral M6 - Vrsão. --

24 Apêndic : Propridads da Dalidad Sa o sinal prssão analíica, Sndo al q a sa prssão analíica é, no domínio do mpo, idênica a ma Y Y, d m sinal y y Y d, não, sbsiindo por y Y d, sbsiindo por y Y d, finalmn, sbsiindo por, conclímos q y Y d d Rsmindo, dado o sinal Y a sa pod sr facilmn nconrada s for conhcida a ransformada invrsa d Y, sndo y A propridad da dalidad da diz-nos q Simria Sndo a do sinal dfinida por não d Prof. José Amaral M6 - Vrsão. --

25 d plo q, s for m sinal ral, o sa, rsla q d Conclímos não q S for m sinal ral o s spcro d amplid é ma fnção par o s spcro d fas é ma fnção impar arg { } arg{ } Salin-s ainda q, sndo d cos d + cos + sn rsla q, s for m sinal ral par d sn d o sgndo ingral s anla, s for m sinal ral impar o primiro ingral s anla. Conclímos assim q: S for m sinal ral par a sa é ral cos d S for m sinal ral impar a sa é imaginária sn d Sobrposição Admiamos q m sinal pod sr considrado como a combinação linar d dois oros sinais, a + a, m q a a são consans arbirárias. Enão a d, por dfinição, é Prof. José Amaral M6 - Vrsão. --

26 Prof. José Amaral M6 - Vrsão a a d a d a d a a d Fica assim claro q é fácil conhcr a do sinal ma vz q sam conhcidas as dos sinais. Gnralizando a n sinais, a propridad da sobrposição da prminos dizr q n k k k n k k k n n a a K Translação no mpo. Considr m sinal dslocado no mpo d o nidads, o, Por dfinição, a sa é [ ] d o o fazndo o, rsla [ ] + d d d o o o o [ ] o o f É não fácil conhcr a d o, conhcida q sa a d. A propridad da ranslação da diz-nos q o o Escalamno no mpo Considr m sinal rslan do scalamno do mpo d m sinal conhcido a Por dfinição a sa é [ ] d a a

27 Fazndo a, admiido a > rsla [ a ] admiindo a <, rsla [ a ] a a a a a a a a a d a d d a a d É não fácil conhcr a d a, conhcida q sa a d. A propridad d scalamno no mpo da diz-nos q Pariclarmn a a a f Translação na frqência Considr m sinal rslan da mliplicação d m sinal conhcido,, por m facor c c Por dfinição, a sa é [ c ] c c c c d d É não fácil conhcr a d, conhcida q sa a. A propridad da ranslação na frqência da diz-nos q f c c Prof. José Amaral M6 - Vrsão. --

28 Difrnciação no mpo Considr m sinal rslan d m procsso d difrnciação no mpo d m sinal conhcido d d Por dfinição, a invrsa d m sinal é df Drivando ambos os mmbros rsla d d d d d d [ ] d d d d d d logo, aplicando a a ambos os mmbros, rsla d d É não fácil conhcr a d d d, conhcida q sa a d. A propridad da difrnciação no mpo da diz-nos q Gnralizando, d d n d n d n Convolção. Considr a convolção nr dois sinais, y, χ y d por dfinição, a da convolção rsla Prof. José Amaral M6-6 Vrsão. --

29 Prof. José Amaral M6-7 Vrsão. -- [ ] χ χ d d y d d y d d y d Ora d y é por dfinição a do sinal y. Andndo à propridad da ranslação no mpo [ ] Y y Assim sndo, mos [ ] χ Y d Y d Y É não fácil conhcr a da convolção nr dois sinais, dsd q sam conhcidas as d cada m dos sinais. A propridad da convolção da diz-nos q Y y Y y Mliplicação. Considr a mliplicação nr dois sinais, y. Por dfinição, as ransformadas invrsas d Forir d cada m dos sinais são d Y y d, plo q o prodo nr os dois sinais pod sr prsso na forma + dgdh g Y h dgdh g Y h d Y d y g h g h

30 Fazndo h + g rsla Ora, o ingral y h Y h dh d h Y h dh é, por dfinição d convolção, Assim sndo Y y Y d O sgndo mmbro corrspond, por dfinição, à invrsa da convolção Y y [ Y ] D ond, aplicando a a ambos os mmbros, rsla [ y ] Y É não fácil conhcr a do prodo nr dois sinais, fácil q sa conhcr a convolção nr as d cada m dos sinais. A propridad da mliplicação da diz-nos q f y Y f y Y Ingração no mpo. Considr a convolção nr m sinal o sinal scalão niário v v dv h Sndo v nlo para v <, não v é nlo para v >, logo, v + v é nlo para v >. Obsrv a figra M6. para ma mlhor comprnsão. Assim sndo, rsla v dv Apliqmos a a ambos os mmbros da h- h- Figra M6. Prof. José Amaral M6-8 Vrsão. --

31 Prof. José Amaral M6-9 Vrsão. -- qação. Rsla não [ ] U dv v Dado q + δ U Enão δ + δ + δ + dv v É não fácil conhcr a da ingração no mpo d m sinal, dsd q sa conhcida a do sinal. No q caso a componn dc do sinal sa nla não a ingração no mpo corrspond simplsmn à divisão por. dv v, s A propridad da ingração no mpo da diz-nos q δ + dv v

32 Prof. José Amaral M6 - Vrsão. -- Apêndic : Torma d Parsval Sinais d nrgia Como vimos, dfin-s a nrgia, E, d m sinal coníno como d d E A dfinição só m inrss s o rslado do ingral for finio não nlo, o sa, para sinais d nrgia. Um sinal d nrgia pod sr convninmn rprsnado pla sa, sndo, como vimos d d O congado do sinal é, naralmn, d Sbsiindo a prssão na dfinição d nrgia do sinal, rsla d d dd d d E Conclímos assim q a nrgia do sinal pod sr calclada a parir da rprsnação do sinal no domínio da frqência. A nrgia d m sinal d nrgia coníno,, pod sr calclada ano no domínio do mpo como no domínio da frqência, sndo d d E A rlação anrior é conhcida como orma d Rayligh, o orma d Parsval para sinais d nrgia. A fnção é dsignada por dnsidad spcral d nrgia, ma vz q dá cona da disribição d nrgia do sinal ao longo do s spcro do. Como vimos, s for m sinal ral o s spcro d amplid é ma fnção par. Rsla não q, o sa, a dnsidad spcral d nrgia é m fnção par posiiva. Podmos scrvr d E

33 Sinais d poência Como vimos, dfin-s a poência média, P, d m sinal coníno como P T lim d T T T A dfinição só m inrss s o rslado do ingral for finio não nlo, o sa, para sinais d poência. Esamos pariclarmn inrssados nos sinais d poência q são sinais priódicos, para os qais o cálclo da poência média s pod rsmir a m príodo, o sa P T d To T Um sinal coníno priódico pod sr convninmn rprsnado pla sa SF, sndo, como vimos Sndo Ck T k T C k n k d k k C k rsla para o poência do sinal P T T T n T T T n n C C C k k d C k d T k n T C k k k d d Conclímos assim q a poência média do sinal pod sr calclada a parir da rprsnação do sinal no domínio da frqência. A poência média d m sinal coníno priódico, d príodo T, pod sr calclada qr no domínio do mpo qr no domínio da frqência, sndo P T T d C k k Ck rprsna não a poência média da harmónica d ordm k do spcro do sinal. A rlação anrior é conhcida como orma d Parsval para sinais d poência. Como vimos, s for ral os coficins da SF são complos congados plo q podmos scrvr ns caso P C + C k k Prof. José Amaral M6 - Vrsão. --

34 Ficha d Avaliação M6 N: Nom: Trma: Daa limi d nrga -- A ficha dv sr colocada, aé à daa limi, no rcipin apropriado isn no ao Gabin C CEDET Grpo C Ercício Considr o sinal cos sn a Rprsn graficamn o sinal para [,]. b Drmin ma prssão simplificada para a do sinal. c Rprsn o spcro d amplid do sinal,. para [ ] Ercício Considr o sinal A + A < < <. - - a Rprsn graficamn o sinal para [,]. b Drmin ma prssão simplificada para a do sinal. c Rprsn o spcro d amplid do sinal,. para [ ] Ercício Considr os sinais conínos priódicos dscrios na figra M6. Drmin a dos sinais. Esboc o módlo da do sinal aé à ª harmónica. Calcl os coficins da SF dos sinais. Esboc o módlo dos coficins da SF do sinal aé à ª harmónica. Calcl a prcnagm da poência dos sinais conida aé à ª harmónica.. Rprsn graficamn a rconsrção dos sinais com bas nas primiras harmónicas compar com os sinais originais. Rpia os procdimnos para harmónicas Figra M6. Prof. José Amaral M6 - Vrsão. --