Transformada de Laplace

Transcrição

1 No ul: MM6 rorm plc Crcríic pricipl: Algrizor EDO lir ou j rorm um EDO lir um qução lgéric Méoo: PVI ] : I ] p q Vg: Exim u rzõ pricipi pr uilizção rorm plc ; i O méoo riciol rolução um PVI volvo um EDO ãohomogê rqur rê p: rolvr homogê oci rvé oção um cojuo uml or um olução priculr 3 impor coiçõ iicii A rorm plc rolv EDO icorporo imulm coiçõ iicii ii Rolv PVI com orç xr mi gri qu impo plo méoo o coici irmio iii Rolv quçõ igri igro-ircii Dvg: i Só plic PVI` volvo EDO lir priciplm à coici co ii No co EDO ão-homogê ão-homogi m qu izr cr rriçõ Diição: D :] ii- rorm plc como o ução por ] OBS: Um oção lriv é F ] OBS: Um juiiciv oprciol pr ruur rorm plc é plo gui o: pr qu um opror igrl uclr ] K F pou propri rormr um EDO m um qução lgéric volvo F coiçõ iicii orvmo qu ] K K lim K K Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP K K K

2 D qu h K quo é um coição iciol qu v impor A qução lgéric mi impl volvo F ri orm p F com p um poliômio m Pr qu h um compiili r orm EDO o gru qução lgéric corrpo impõ- qu o gru p j O poliômio o primiro gru mi impl é p com R Pr uo io j io impor qu h K K o riv é m rlção vriávl Rolvo om- qu K C Como rorm u or uçõ ii pr ci o compormo ióico K quo ão é cário omr o mi impl omrmo C quirmo qu o omíio ução F coh o mi-ixo poiivo ou j K OBS: A igrl imprópri cim é ii como o lim Quo pr lgum o limi cim xi iz- qu igrl covrg vlor OBS: Qui vm r coiçõ or pr qu j covrg quo pr o mo lgu vlor? Primirm ução m qu r igrávl vriávl m qulqur irvlo ] Como é coíu ão qu j igrávl por xmplo j coíu por pr m qulqur irvlo ] Já quão covrgêci quo é muio mi lic vr ão cohc um coição cári Ero um coição uici é qu j omi por lgum xpocil l moo qu h o gui cimo quo Diição: : ] é coíu por pr ou cciolm coíu m ] : i C ] { } io é ó ão é coíu o cojuo iio { } ] ii Exim o limi lri o poo ou j coiui ão p lo ou j lim lim lim lim Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP

3 OBS: mpliu o lo m Noção: C ] { : ] : é coíu por pr m ]} p Exmplo: / / ão ão coíu por pr m hum irvlo coo origm OBS: o ução coíu é cciolm coíu Propri uçõ coíu por pr P C ] P g p m ] xco o poo coiui P3 g C ] g C ] g C ] p p p g Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 3

4 P C ] C ] p Diição: :] é orm xpocil m ] C C q: C Exmplo: é orm xpocil m ] com C é orm xpocil m ] com C é orm xpocil m ] com C é orm xpocil m ] com C co co é orm xpocil m ] com C co é orm xpocil m ] com C Exmplo: ão é orm xpocil m ] poi lim lim Diição: E { :] R: éccoíu orm xpocil m ] } Propri: E é um pço voril rl orm : S E ão xi l qu covrg Prov: Uilizrmo o gui criério comprção m: S g ão igrávi m oo irvlo ] o é ixo g ão Como covrg g covrg E C C l qu: C Por ouro lo C C C lim C lim C C lim Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP

5 D moo qu plo criério comprção plico covrg g C Coqüêci: O omíio rorm plc um ução coém um mi-ixo poiivo ] Exmplo: Cálculo lgum rorm om- qu E ] lim lim lim mpr ] lim co ] lim ó co lim co co lim co Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 5

6 Diição: Dii- como ci covrgêci ] o úmro o por Com io qur- izr qu i i{ : ] } i ii S : Po- morr qu ] ão covrg pr moo qu D ] ] OBS: S ou ão Prgu: Já mo qu E ão ] Srá qu vl rcíproc? S ] ão E? A rpo é ão poi por xmplo / E m ] A rorm plc como rormção ir Coorm vimo E é um pço voril o mpr xi ] Poro é um om omíio pr Agor vmo chr um pço voril rl qu irv coromíio pr Diição: S { F : I : I ] ou ou } Com ição muliplicção por clr poo poo S é um pço voril rl Além io : E S Prgu: g] ] g] g E? Rpo: Nm mpr poi co g co ão ] g] m ] Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 6

7 M ão á ii pr Por ouro lo g] ] m ]!? Covção: Iiicrmo F G S quo ivrmo F G m lgum mi-ixo poiivo ] Aim oém qu g] ] g] g E Prgu: Núclo = { E }? Ou j é ijiv poro ivrívl or u imgm? Rpo: Não poi coorm já mo pl propri P g E ó irm m u poo coiui ão ] g ro g orm : rch D g E i qu Rizo: ] g ] Eão xcuo o poívi poo coiui m- qu g ] Cocluão: : E S é um rormção lir qu covciormo iiicr uçõ m E qu coicim o poo coiui iz ] F S F] E Diição: F] é omi rorm ivr plc ução F S Prgu: : E S é orjiv ou j E S? Rpo: Não! Io por cu o gui rulo orm 3: E lim ] Prov: Plo orm ] C C Cocluão: Fuçõ como co prcm S m ão poum rorm ivr m E Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 7

8 orm : Sj C] l qu E Eão ] ] o lim Grlizo C] ão ] ] ] ] E Prov: Ap pr o co o ouro co gum por iução ii ] Agor vmo ur o gui o ] lim m: S C] com E ão E Prov: Como E ão C R C l qu C ou j C C Igro przo co igrção oém- qu D moo qu Poro ] C qo ] ] lim lim Exmplo: ogo co ] co ] co ]! Exmplo:! D ]!]! ] Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 8

9 Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 9 Por ouro lo ] ] ] D ogo! ] ]! OBS: D úlim igul oém qu ]! m priculr pr = omo grlizção o oril um úmro url pr qulqur úmro rl qu ão j um iiro givo o pl ução pcil ução Gm Eulr! x x x Aplicção rorm plc um PVI Co Priculr: I PVI ] ] ] ] : ou j ] ] ] ] Qu é xm úic olução o PVI Co Grl: Do R E j o ] ] ] : I PVI Uo propri omo qu ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] p q i i i i i i i i i i i i

10 orm 5: S E ão x x D um moo grl ] x x x x x ] x x x Prov: A prov i o o qu x x x x x x x x x xx E ão x x E D moo qu x x A órmul grl é prov iro rulo x x ] x Exmplo: Como co xx Eão ] co ] ] Exmplo: ]? m- qu x x x x x x x x x D moo qu x ] x x] ] M ão ] ] ] O qu rul m ] OBS: ] ] Coiciêci? Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP

11 Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP º orm rlção: ] ] R Prov: ] ] Corolário: ] ] - R ] ] R Exmplo: m- qu ] co D moo qu ] co R Exmplo: Clculr ] D moo qu 7 co ] 3 Diição: A ução gru uiário ou ução Hvii é gui ução: H

12 Aplicção: D um ução g : R R po- coruir gui ução H g R A irprção íic i uçõ é qu l rprm impulo com rrmo m im íico poi ó pm ur o im pó = º orm rlção: S H g E ão ] g] Prov: ] H g g g g] Corolário: g] ] H g Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP

13 Exmplo: H ] H co co ] co co ] ] ] co ] co i Exmplo: Sj um ução qu poui o gui gráico Pomo clculr ] uilizo o orm cim B orvr qu 3 3 Aim m- qu H 3 H D moo qu ] ] ] ] 3 Exmplo: ]? 6 Vmo ur o corolário: g] ] H g N co mo qu crim 3 D moo qu 3 ] H g 3 o g] Por ouro lo 3 g ] ] Poro ] H orm 6: ] ] Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 3

14 Prov: =: ] ] >: iução or Corolário: ] ] ] Exmplo: ] ] Exmplo: ]? Vmo ur propri x x ] N co oém- qu ] ] D moo qu ] ] ] Por ouro lo ] ] Aim ] xx x x cox co O próximo rulo é muio impor áli ii prióico o qui ão muio rqü lrôic orm 7: S E é prióic príoo ão Prov: ] ] Fzo muç x +-éim igrl oém- qu x x x Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP x x x

15 D moo qu ] x x x x x x x Um vz qu x x x x x Exmplo: Oh rorm plc o gui il m- qu D moo qu Exmplo: Or m- qu ] ] co ] Aplicção PVI com coiçõ iicii m Coirmo o gui PVI : Fzo muç x omo qu ~ x x iz gui coiçõ Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 5

16 ~ ~ ~ x D moo qu o PVI origil rorm o gui ~ ~ PVI : ~ ~ E ó pomo plicr plc pr or ~ x ~ ] x] ] ~ ] ~ ~ ] ~ ] ou j ~ ~ ] ] D moo qu ~ x ] x ] x Agor co x co x x D moo qu ~ x co x x Roro vriávl iicil om- qu olução o PVI origil é por co Fução Impulo Uiário Dl Dirc A orç impuliv prcm grlm como orç xr m EDO o ipo c g o g é zro xco um irvlo o qul é muio gr ou j g é um orç cocr m Diição: A igrl imprópri g I é o impulo ol plico pl orç impuliv g Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 6 Exmplo: Coirmo gui orç impuliv N co o impulo ol é o por I

17 Cocrção orç impuliv : é quo z m- qu lim Por ouro lo lim I D moo qu o limi oém um ojo mmáico urpr! izo!? E ovo ojo impô um grlizção o cocio uul ução Diição: A ução l Dirc ou ução impulo uiário é crcriz pl gui propri OBS: Não xi ução o Cálculo Elmr izo i propri O é o primiro xmplo um ução grliz ou iriuição Diição: O impulo uiário m é o por oo por D moo qu com Apr ão r um ução po- or rorm plc rvé um proco limi Do- por Diição: ] lim ] D moo qu ] lim lim lim lim lim Aplico hopil om- qu h OBS: Surprm ] OBS: Po o limi ] S m E! om- qu Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 7

18 ] Diição: lim C Uilizo o VM pr igri om- qu * * pr lgum ] ogo quo moo qu * * C Exmplo: Rolv o gui PVI : Aplico omo qu ] ] ] ou j ] ] Aplico ] ] H Covolução: H Prgu: g] ] g]? Rpo: Não! Cor-Exmplo: g ] g] ] g] 3 Ero g] ] Por ouro lo pl ª propri rlção m- qu OBS: D o g] H g ] g Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 8

19 Por ouro lo g] H g ] g g ] g g g g Como g E ão D g ] g ] D moo qu ] g g g] Poro g E poum rorm ii m ] ão ] ou j g] g ] g] g g g g ] g] lim g Um vz qu ] g] OBS: Fixo R m- qu o igro m é coíuo m u-rgiõ coi o râgulo R : R Um vz qu o lo m ] ocorrm o poo m o lo g m R] ocorrm o poo i i ão o lo o igro ocorrm r; i Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 9

20 orm: M Wirr pr covrgêci uiorm igri o ipo F x x x c Hipó: H x coíu m rgiõ poligoi º iio coi m râgulo: x c HExi um ução cciolm coíu M izo x M x c M : A igrl Fx é uiormm covrg m rlção o prâmro x c] OBS: Pr pormo ivrr orm igrção m é cário lcr covrgêci uiorm igrl imprópri m m rlção o prâmro ] Ero vio à g E xi C R l qu g C C : M o M iz o M Wirr poi ip o prâmro D moo qu po r rcrio como o M ] g] lim g lim I I D om- qu g I I g Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP

21 D moo qu I C C lim I Por ouro lo rgião igrção I é o quro: o qu g ão á ii pr poo poro r ii igul zro rgião Com io om- qu D moo qu g I g ] g] lim I Diição: A covolução u uçõ g o por gui ução g : g g é pl orm: Hipó: : g E com ] g] ii m ] g] g] Corolário: g F G ] Propri: P g g P g h g h P3 g h g h P ~ P5 OBS: C C Prgu: g E g E? Rpo: Sim! g D o g E C C g g R: C g Cg D moo qu g g C C o C C C g mx{ g} ogo Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP g g C C Por ouro lo o iio

22 Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP M mx Omo qu M C C o CM M Aplicção Equçõ Igri Covoluiv g EIC Proco ormlm plicmo m mo o lo oo ] G F G F g F o ] ] ] g G F Aplico omo qu G F G ] ] Exmplo: Aplicção Equçõ Igro - Dircii Covoluiv coici co ª orm g Aplico om- G F ogo G p F Aplico om- G p G p ] ]

23 Aplicção EDO ir com coici poliomii PVI : I OBS: F ] ] F D moo qu ] Aplico mo o lo EDO om- ou j Qu é um EDO ir ª orm D moo qu l C OBS: Poro Ero quirmo C E ão crim C Cocluão: Aplico om- qu olução o PVI m E é por Exmplo: PVI : I Aplico mo o lo EDO om- Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 3

24 Ou j N co / / / / C Novm como qurmo D moo qu E ão crim C / / Ero plicrmo ormo qu / /? OBS: Não xi covolução E l qu ] / D moo qu ão po plicr orm: Vlor Iicil Hipó: E : lim ] lim Prov: ] ] E lim ] Poro lim ] lim orm: Vlor Fil Hipó: cciolm coíu limi or com igrávl m : lim ] lim Prov: lim ] lim ] Pl covrgêci uiorm oi plo Wirr um vz qu Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP

25 mo qu D moo qu Poro lim ] lim lim lim lim lim ] lim ] lim Exmplo: Fução Bl ª péci orm zro J : J é olução o gui PVI : I Aplico EDO om- qu ] ] Ou j Cujo or igr é o por l Muliplico igro EDO om- qu C C ] r OBS: Séri lor x x um vizihç x r R; 3 r r r r r r x x rx x x!! 3! Por ouro lo D moo qu / Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 5

26 ! 3! 3 3!!! ! ! 3 6!! 3 3! 5 6 orm: Hipó: F olum covrg : ] F! Além io é coíu orm xpocil Aplico rulo éri oi coclui- qu olução EDO é por C C! ] C!! C!!! Impoo coição iicil omo qu C!! ] Poro! J OBS: Poi- r plico o orm o Vlor Iicil m pr rmir o vlor C D o mo qu lim lim Ou j C lim C lim Por ouro lo Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 6

27 lim lim / D moo qu C Gráico: J Grlizção: A qução Bl ª péci orm é por Poui como um oluçõ ução Bl ª péci orm por J!! Aplicção o cálculo igri prmriz Exmplo: Fução Gm Eulr oril grlizo: O oril um úmro iiro poiivo é por iição o por! 3 D moo qu ução oril iz gui qução uciol!! Aim pr omo qu!!! S izrmo ormo qu!!! lim M ão quo ormo qu!!! Alogm quo ormo qu! 3! 3! E im ucivm Ou j o oril qulqur iiro givo rá iiio! Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 7

28 Por ouro lo mo qu! ] D moo qu ]! E o lvou Eulr iir gui grlizção ução oril Diição: A Fução Gm ou oril grlizo o por x é por Propri P x x x x P P3! Gráico x x 3 x Com ução Gm pomo or r ] r Io prmi grlizr oção riv orm N pr orm rcioári! OBS: r r r ] ] r r r orm: Do r R r>- m- qu Prov: r r r! ] r r r r u ] u r u r r Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 8

29 Exmplo: Um xmplo igrl ão rivil qu oo u Cálculo I cohc é o gui x x Arvé rorm plc pomo clculr l igrl D o iio gui ução míli prmriz igri imprópri m- qu x x ] x x x lim x x x x / x x lim x lim rcg x / x / x x x x x x D moo qu ] ] OBS: Plo orm rior / / ] / Plo xrcício li mo qu / o qu implic m / Poro OBS: Solução pr por plc: Por ouro lo x x x x x x x x ] x x x rcgx] x x / x u x u / OBS: u : x x u / x u Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 9

30 OBS: / x u x u / / v : v vv v u u x v u x v u D moo qu x x ] x x Exmplo: Avlir míli igri co x h x x Aplico rorm lplc à om- qu co x H x x OBS: m- qu h x x o x M x com M x x D moo qu plo x M Wirr h é uiormm covrg poro po- rocr orm igrção m orqu H x x x co x x x Uo rçõ prcii A B A / x x B / x x D moo qu x H x x So im h H] ] Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 3

31 Poro co x x x Aplicção à oluçõ umi quçõ ircii prcii Molo Mmáico pr iuão o clor uiimiol um io mi-iiio mril homogêo com mprur iicil = igul zro com xrmi x = mi à mprur co u O Prolm Vlor Iicil Froir PVIF é o por u uxx PVIF : u x u u x x O K / c é o coici iuivi o K couivi érmic c o clor pcíico o mril o io i o io Como ão xim o muo rl mprur iii impõ- gui coição limição or mprur u x M x Como mprur á ii m c vriávl m omíio mi-iiio po plicr rorm plc o m rlção o pço vriávl x quo m rlção o mpo vriávl Apliqumo m rlção à vriávl Com io omo qu u ] x u x u] x u x U x uxx ] x u x u x U x x x x D moo qu omo gui EDO U x U x x OBS: N vr r- um míli EDO prmriz plo prâmro rl Pl ori EDO pr ormo um olução úic um EDO ª orm prcimo impor u coiçõ iicii Ero ó mo um coição iicil vriávl x! Rlm coição roir é rorm m um coição iicil pr ução rorm U x um vz qu u U u ] u u u ] Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 3

32 A olução grl EDO é por x x U x C C Aqui é qu rá uml rmo impoo coição Io uprirá l um gu coição iicil D o om- qu M U x u x u x M D moo qu crim lim U x Poro x U x C Agor im pomo impor o úic coição iicil or olução grl pr ormo um olução úic Fzo io omo qu u U C Poro úic olução o prolm mio É x U x U x x U u / ~ U x M u U x Eão olução o PVIF rá por u x U x ] x u ] x 3 Pr ormo rorm ivr prcirmo lgu rulo x x Propoição: ] ] 3 Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 3

33 Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 33 Prov: Erégi: rormr m um im EDO Diio vriávi Z m- qu Z Z OBS: D o / 3 3 / Z D moo qu omo o gui im Z Z Aplico omo lvo o im z z z z OBS: OBS: ] ] ] ] ] A qul é um EDO lir ª orm cujo or igr é o por Poro om- qu C C z 3

34 Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 3 S ão ] / ogo pr mo qu C Rumio ov- qu 3 z OBS: E morção á corr qu co C j ip Um morção ir po r gui orm Primiro provmo pr poi uilizmo o º orm rlção D o como / é coíu limi ão / zo muç om- qu c zo muç om- qu Somo c om- qu Film zo primir igrl om- qu

35 Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 35 x x D moo qu ou j ] / Pr ormo pr uilizr o gui rulo 3º orm rlção: Hipó: ] F pr : ] c c c c c F Aim ] / ] / ou j ] / Pr provr orvmo qu ução / 3 z z é coíu limi Além io z Aplico o gui rulo orm: Hipó: lim E : ] ] Prov: Orvo qu

36 Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 36 F iz coiçõ o orm Wirr om- qu r ão r r r r r F OBS: E E lim D moo qu ] lim Poro zo r om- qu ] F Coclui- ão qu lim lim ] ] ] z ou j ] / 3 Agor já mo qu uo qu prcimo pr or olução o PVIF pl rorm ivr 3 Ero i cimo iir u uçõ pcii muio impor Fíic-Mmáic; uçõ rro rro complmr Como moivção lmrmo qu ] r r r r Por ouro lo ] G F g Priculrm mo qu r r r / ] Diição: A ução pcil rro proili igrl é por

37 Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 37 : r r r D moo qu ] r Por ouro lo plo º orm rlção mo qu F ] R Com io omo qu ] r mro mém qu ] ] x x omo qu x x x x x x x x z Z 3 / / 3 / / ] ] ] zo muç x / omo qu / / ] Aim omo lvo gui Diição: A ução pcil rro complmr é ii como o : r rc r Propri: rc r Gráico:

38 D moo qu ou j / ] r r r r r rc ] Cocluão: A olução o PVIF é por x x u x U x ] x u ] x u rc Aplicção Sim Corol uomáico Srvomcimo Ojivo: Corolr roção um h h rvé um poiro corol Noção: o âgulo giro h oupu i âgulo giro o poiro ipu Hipó: A h poui um momo iérci I >> momo iérci o poiro Diição: h poiro o i Procimo: Um im uxilir rvomcimo é projo pr mir rrolimr h rvé um orqu qu j proporciol o vio Além io pr prouzir um mpig o im o rvomcimo mém prouzirá um orqu proporciol à vrição o vio OBS: O rvomcimo po cor u própri o rgi rvé moor gror ou quipmo lérico Molo mmáico: O molo mmáico é coqüêci gui li Fíic: O prouo I pl clrção gulr é igul o orqu plico h ou j xpro mmicm om- c I o OBS: S uilizrmo prcrmo qu EDO qu á por rá é Io o i c o i o co i ci ou j Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 38

39 I c c o o Ou j é um EDO ª orm lir coici co poro o ipo o c Hipó icioi: c i i coíu m Coiçõ iicii: Como h á iicilm m rpouo ão 3 o o Cocluão: O molo mmáico é o plo gui i i PVI I o c : o o Aplico plc qução om- I c c 3 OBS: i Por ouro lo plico plc m om- o i D 3 gu- o i Do I c c I i ci I c Poro o vio h rá o por i I c i i I c Em priculr i om- qu I c I c I I c c o I I I D moo qu i Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 39

40 OBS: Supô- mpig c N co é um ocilção ucríic um I I Fórmul Complx Ivrão S pouirmo o rrml mmáico cário pr ormo ivrão iv rorm plc ivrão rá oi rvé Fórmul Igrl Mli Diição: S F ] ão i z i F z z FI i OBS: m- qu F Complxiico vriávl ip ou j zo = z = x+i om- qu xi x x co F z i x x co i u x iv x Como E ão C > α q x co x C C C x x x ogo u v ão m iio ix z > Por ouro lo uo iiz x x ux x co co x x x u x co x x vx x x x x v x co D moo qu u v ão coíu m izm quçõ Cuch- Rim Poro Fz é líic m z > Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP

41 FI é o méoo iro pr oção - Fz] A igrção é u o logo r z = o é l qu igulri Fz ão à qur z = Origm Fórmul FI: r- um grlizção Fórmul Igrl Cuch pr r z = o co m l ão roir o mi-plo o z é líic Pr io cirmo r lgum iormção or o compormo z pr z rirrim gr Diição: z é orm z quo z M r > i qu; Noção: z = Oz z M z z r orm: Igrl Imprópri Cuch Hip: z líic or o mi-plo z z = Oz - > : S z > ão i z i z z i i z z i z D moo qu Fz é líic m z F z O z z m- qu i Fz F z i i z Prov: Sj C R o rco o círculo z = R: x o R > R > z D moo qu z ic R {x = } Diio m- pl Fórmul Igrl Cuch qu Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP

42 i i z z z z z z i z i z z i z z z z { } z z z z z z z z CR x CR i CR i Quo zc R m- qu ; z z R z como z M z ão z = R R uicim gr R >> om- qu z M M z z z z R R z z R > r p/lgum r >> O igro m z xprão cim ão coíuo O comprimo C R é mor qu R Poro como z M M z z z z M z R z z R R z R z / R C C CR quo R poi > Além io como R igrl mém covrg pr quo D moo qu omo o limi om- qu i z i i i i z z i i z i i z z lim z lim Eão proco ormlm om- qu i F z i F ] i z] i F z ] z i z i z i z F z z i i Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP

43 Cooro Bromwich: N práic igrl m FI é rorm um igrl cooro z i F z z o C { z } é o cooro Bromwich; B C B m- qu = o ó R o i z z z lim i F z z lim i F z z i F z z R i R C B OBS: Coição uici pr qu igrl or covirj pr zro quo R : F z O z CS pr lgum > E coição mpr ocorr quo por xmplo Fz=pz/qz pr p q poliômio com grup < gruq Aplicção o orm o Ríuo à Ivrão rorm plc: S igulri F ão pólo orm ii à qur um r lém io ivrmo o cooro Bromwich ão Exmplo: Clcul z F z z qo R z R F z : z z pólo F z ] m- qu F = p/q com pólo impl grup= < =gruq Eão F coição uici CS o z z ] R : lim z z z z Exmplo: Clcul Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 3

44 ] m- qu F CS o z ] R : z z z z Pólo F z : Aim z z z orm R F z : lim z z z z 9 z z z orm R F z : lim z ] z z z z z z z z lim lim z z z z z 3 9 ] Exmplo: Clcul z Pólo : z i z i ] z z z z z i z i zi zi z i orm R F z : i lim ] lim ] z z i z i i i i co i ico i co ico z z z z z i z i z i orm R F z : i lim ] lim ] zi z z i zi z i i i i co i ico i ] co i co ] ogo ] co ] Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP

45 Pulo Mrclo Di Mglhã - DEMA-UFOP 5