A importância do detalhe na Mecânica de Fluidos Computacional

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1 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 A imporâcia do dalh a Mcâica d Fluido Compuacioal.J.Olivira Uivridad da Bira Irior, Dparamo d Egharia Elcromcâica, Uidad d Mariai Têxi apliro, 6- Covilhã, orugal mail: pjpo@ubi.p hp:// umário Aravé duma ucão d xmplo ão aprada dicuida alguma dificuldad ípica qu urgm quado prd implmar o méodo do volum fiio m problma d rafrêcia d calor ou d quaidad d movimo. D faco, a quõ aqui lvaada ocorrm ambém com ouro ipo d méodo d dicrização, como jam o méodo d difrça fiia ou d lmo fiio. Ecialm, o poo abordado prdm- com a dicrização juo à froira qu dlimiam o domíio d cálculo, jam la paciai ou mporai, d forma a garair qu a implmação ão driora a prcião coguida m lmo o irior do domíio. D modo, méodo formalm d guda ordm comporar--ão fcivam como do d faco d ª ordm, o qu ó pod r afrido com problma aparm impl, ma uficim dicrimiaório, qu dipoham d oluçõ aalíica. alavra chav: Erro m CFD; Méodo d ª ordm; Codiçõ froira; Volum fiio. Irodução Na apração rão abordado algu apco rlacioado com a prcião umérica, ambém, com arrajo algorímico m problma volvdo a imulação do coamo d fluido. ara io rão coidrado cao rlaivam impl, od o coamo rá ipicam uidimioal o paço vualm variado aida o mpo (rgim variávl), d forma a r poívl obr oluçõ aalíica qu prmiam calcular xacam o rro da dicrização. Quõ rlacioada com a covrgêcia do méodo, io é, a rdução do rro à mdida qu ao a dicrizaçõ pacial como mporal ão uciva coim rfiada, rão xamiada m dalh uma vz qu muio uilizador d frrama d CFD dm a dcurá-la. Em qualqur do cao o dalh da dicrização juo ao limi da coordada mporal (o iício da volução ao logo do mpo) pacial (juo a uma pard, por xmplo) ão fulcrai para o bom dmpho global do méodo, um apco qu ão pod r miorado. Cocram, prd- coidrar o gui poo: Rpração da ão d cor a pard; méodo d ª ª ordm m malha ipo A ou B; Méodo d ª ordm o mpo: rê ívi mporai (3TL) Crak-Nicolo; Arraqu do cálculo m méodo com mai d ívi o mpo; Quão da irligação r o rro rula da dicrização o mpo ( rro( ) ) o paço ( rro( x) ) quado faz um udo d covrgêcia; Cao para IMLE, IMLEC, IMLER, IO c (coraar coamo m ubira, uidimioal ao logo da coordada alihada com a vlocidad, com coamo m caai, uidimioal a coordada laral y ). Quõ pcífica rlaiva à rolução duma quação para a õ (por xmplo, m coamo ão woiao): codição froira a pard; irligação ão/gradi d vlocidad; algorimo d olução. O objcivo úlimo da apração rá alrar a comuidad ciífica volvida a imulação umérica d coamo para a imporâcia do corolo imaiva do rro (icrza) ir à aproximaçõ d ima d quaçõ difrciai por mio d difrça fiia ou lmo fiio. N ido, o ma vm dircam a coiuação da apração d Luí Eça a Cofrêcia arior da éri (Uivridad Nova, 8-9 Juho 7), rforçado a idia obr a cralidad da avaliação do rro ir à aproximaçõ fcuada m cálculo d mcâica d fluido, do qu aqui irão coidrar xmplo aida mai impl. A cçõ qu gum irão dcrvr paradam vário problma a ára da rafrêcia d calor fluido, o quai apram alguma da dificuldad corr qu urgm ao praica d CFD. Irá xiir vualm alguma duplicação o xo d cada cção, o qu podrá r provavlm vaajoo

2 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 para o lior qu dcidir lr paradam cada uma dla, ma qu cram iroduz irá rdudâcia o xo global. Ecoamo lamiar m caal plao Na cção apra- a rolução, aravé do méodo do volum fiio (aakar 98), da quação d Navir-ok para o cao d coamo complam dvolvido m caal plao o rgim lamiar. ão coidrado doi cao: gradi d prão dado caudal volúmico dado. ara o gudo cao, qu quival a dfiir a vlocidad média do coamo, uiliza- um algorimo imilar ao IMLE para obr o gradi d prão, qu cao é uma icógia a drmiar. Além d, ão ambém uilizado o algorimo IMLER IMLEC, do udado o fio d cada um dl obr a rapidz da covrgêcia iraiva. No cao d coamo complam dvolvido a vlocidad ão dpd da coordada pacial ao logo do coamo, aqui omada como x. além dio o coamo for plao ocorrr o rgim lamiar prma, a quação a rolvr implifica- gradm do poívl obr uma olução aalíica. Io é muio úil do poo d via da rolução umérica d quaçõ à drivada parciai poi prmi afrir com xacidão o dmpho do méodo uilizado.. Equaçõ d govro A quação qu rg o coamo é: dp d du = + µ (.) dx dy dy No cao d coamo complam dvolvido, o rgim prma, a úica compo da vlocidad ão ula é aqula gudo x, qu ó dpd d y, uy. ( ) E ipo d coamo é grado por um gradi d prão qu é impoo, dp/ dx, o problma pod r rolvido para doi cao: (a) dp/ dx é dado; (b) a vlocidad média a codua é impoa, U. ara qu problma ha uma olução úica é prcio dfiir a codiçõ d froira. N cao coidra- o coamo um caal plao com a liha cral ao logo do ixo do x a pard iuada m y =+ H. A codiçõ d froira ão ão: y =, du/ dy = y = H, u =. (.) A vlocidad média a cção ravral do caal é calculada aravé d: H U = uydy ( ) (.3) H A rlação r a vlocidad média o gradi d prõ é dada por: dp H U = dx 3µ a olução aalíica do problma é: y u ( y) =.5U or, (.5) H qu rpra um prfil d vlocidad com forma parabólica, com vlocidad máxima igual a.5 (ormalização com a vlocidad média U ) o plao d imria y =.. Dicrização A quação da quaidad d movimo (Eq..) é igrada um volum d corolo duma malha d volum fiio (malha ipo B, Olivira ), com o gradi d vlocidad aproximado aravé d difrça crai, obdo-: au = au + au + b (.6) N N od o cofici ão dado por: µ a N = y ; µ a = y ; a = a + a ; b= i (com = dp/ dx ). (.7) N No cao da vicoidad variar o valor a fac do volum d corolo podm r drmiado por média (.4)

3 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 ariméica (ou gomérica): µ µ µ µ µ µ = ( + ) = ( + ) (ou µ µµ /( µ µ ) N = + ). (.8) N N No- qu o valor da compo da vlocidad varia d poo para poo, ou ja u = u i, u = u N i +, u =, com i =, NY, od NY é o úmro oal d ó (cro do volum d corolo). ara malha ui uiform (cao paricular) m- y = H / N, od N = ( NY ) é o úmro d volum d corolo irior. No cao gral o largura do volum d corolo pod variar d poo para poo,. y wall y N W x/ (a) (b) (c) Figura. Volum d corolo para malha ipo B juo à froira (a) or (pard) (b) ul (plao d imria). (c) Malha ipo A juo à froira m o..3 Codiçõ froira A codiçõ froira podm r implmada uado quma d ª ordm, o mai comum, ou d ª ordm. No primiro cao a irodução da codiçõ froira é impl: ara (a) imria m y = (quival a aumir du/ dy = ): i = (célula, vr Fig.. b), a igração da codição d imria é ( ) w x y i du/ dy u u / y = (od ria uma célula ficícia do lado d lá do plao d imria), porao u = u, qu pod r implmado impliciam (vr Eq..6) fazdo: a = (.9) ara obr o valor da vlocidad o plao d imria (fac do volum d corolo adjac à froira), cário om para fio gráfico d pó-procamo, baa fazr: u = u. (.) (b) ard ólida m y = H, od a vlocidad é dada u (ormalm zro): wall ara o VC adjac à pard i = NY (célula, Fig.. a), a ão d cor é obida d: du u u τ = µ = µ = a u u dy / ( ) N E x (.) od uou uma difrça dcd d ª ordm para a drivada, o cofici a é dado pla Eq. (.7), a N vlocidad da pard é u = u wall. A implmação da codição implica modificar o cofici juo à pard (é o dobro d um cofici ormal, irior) fazr: a = a, guido d a = a + a, b = b + au a N N N N wall N =. (.) No cao da codiçõ froira d ª ordm, a aproximação da drivada é: du 8u 9u + u du 8u 9u + u N = = dy 3 dy 3 (.3) (vr Fig..), com rro proporcioal a y. (a) lao d imria m y = : a rolução da quaçõ dicrizada aplica-, d forma idêica à arior, a Eq. (.9) (cofici ulo), qu quival à uilização d difrça crai, logo uma aproximação já d ª ordm. No ao, para fio d pó-procamo, o valor da vlocidad o plao d imria vm agora duma aproximação aáloga à Eq. (.3) para ( du / dy ) =, qu quival a fazr (Fig.. a): 3

4 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 9u u N u = = u + u u 8 ( ) 8 N ª ordm (.4) (b) ard ólida m y = H : a drivada da vlocidad qu aparc a dfiição da ão a pard é agora obida da Eq. (.3) (vr Fig.. a): 8u 9u + u 8( u u ) + ( u u ) τ = µ = µ = 3 3 { } 3 3 = a ( u u ) + a ( u u ) + a ( u u ) N N N ª ordm O rmo r chava é um rmo adicioal rlaivam ao raamo arior (cf. Eq..) do implmado d forma aáloga: = + ( ); a a ( g N N ) a a a g N 3 = + ; 3 N ara méodo d ª ordm faz- g =, para méodo d ª ordm g =..4 Algorimo d olução (IMLE) (.5) b = b + au; a = a + a ; a =. (.6) N N No cao do gradi d prão r dado, a quação dicrizada pod r rolvida ao logo duma colua, d i =, NY, obdo- imdiaam a olução. or ouro lado, quado a vlocidad média é dada,u, (caudal qual o gradi d prão é imado, d valor d *, rulado m vlocidad imada u *, Qi = HU ) gu- um proco iraivo o *, a quação da quaidad d movimo (Eq..6) é rolvida a ba ( ) * * * * au au au y N N = + + (.7) d guida ao como u ão corrigido d forma ao caudal rula igualar o caudal impoo. ara io é cário arrajar uma rlação r uma corrcção d prão a corrpod corrcção d vlocidad, o qu cogu aravé da difrciação da Eq. (.6): a δu = a δu + a δu + yδ a δu δ N N u = y a (.8) ( ) / i i i * od a corrcção d vlocidad δ u é digada como u = u u, com o arico a idicar uma vlocidad imprfia qu ão aifaz a coiuidad (corvação d maa). A variação d caudal é obida por igração da Eq. (.8) obr a cção ravral do caal: * * yu = u u Q Q = / a D ou ja, ( ) i i i i i i i i i i i Q Q * i = com D D i= ( ) NY i = (.9) a i * Na xprão Q é o caudal impoo Q o caudal calculado com a vlocidad imprfia u *. Quado o i doi caudai form iguai, ão havrá corrcção do gradi d prão ( ) o campo d vlocidad aifará imulaam a quação da quaidad d movimo (Eq..6) a quação d corvação d maa global. O algorimo IMLE (aakar paldig 97) quival a gui ucão d opraçõ: * * () Eimar um gradi d prõ, (por xmplo = ) () Rolvr a quação da quaidad d movimo, u (Eq..7) (3) Calcular o corrpod caudal, Q = u * * * (4) Calcular a corrcção d prão, = ( Q Q )/ D (Eq..9) * (5) Corrigir a vlocidad: u = u + ( y / a ) ' (Eq..8) i i i i * (6) Corrigir o gradi d prão, = + ω i i p i i * i 4

5 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 * (7) Vrificar covrgêcia (por x. Q Q / Q < TOL ) volar ao pao (). i i ara qu algorimo covirja é cário ão ó ub-rlaxar a prão, al como idicado o pao (6) aravé do facor d ub-rlaxação ω <, como ambém a vlocidad a quação da quaidad d movimo, p o qu faz modificado a Eq. (.6) do gui modo: a u au au b ω au ω ω od ω é o facor d ub-rlaxação para a vlocidad = (.) N N u a vlocidad o iício da iração. Quado ocorr covrgêcia iraiva u = u, uma vz qu a vlocidad ão irá variar já d iração para iração, a Eq. (.) ora- idêica à Eq. (.6). A Eq. (.) pod r via da mma forma do qu a Eq. (.6) aravé da gui quivalêcia: a a / ω b b ( ) au + ω. (.).8.6 y.4. N=5 N= N= oria.5 Rulado u(y) Figura. rfi d vlocidad m vária malha (ímbolo). Quado o gradi d prão é dado, ão é cário rcorrr a iraçõ o algorimo forc imdiaam o rulado fial. A Fig.. apra algu prfi d vlocidad obido com malha pouido 5, volum d corolo, rprado por ímbolo, quao o prfil parabólico da oria é morado por uma liha. Como vê, xi uma covrgêcia rápida para a olução aalíica ó a malha mai groira é poívl diiguir alguma dicrpâcia, obrudo juo ao plao d imria m y =. A Fig..3 apra a volução do rro com o rfiamo d malha. O rro foi calculado com a orma L, io é: NY rro = u( y ) u ( y ) (.) i o i N i=.. rro.. Malha B Aju.. Figura.3 Covrgêcia com rfiamo d malha (malha ipo B; codição froira ª ordm). O ímbolo ão o valor obido, quao a rca é um aju dado plo programa d gráfico. A icliação da rca obida por aju m li d poêcia é xacam., cofirmado a ª ordm do méodo. N cálculo uilizou- o quma d ª ordm juo à pard, ma mmo aim a covrgêcia fial obrvada é 5

6 d guda ordm m II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 y. Quado ua o quma d ª ordm para a codiçõ froira juo à pard, o 6 rro ão imdiaam muio pquo (da ordm ) porqu a aproximação ora xaca quado a olução é um poliómio d ordm igual ou ifrior a doi. A Fig..4 ilura faco para uma malha com 5 volum d corolo..8.6 y.4. N=5, CF ª ordm N=5, CF ªordm oria u(y) Figura.4 Efio da ordm do quma d dicrização juo à pard (malha groira). Tm algum ir vrificar qu uma poívl dfiição do rro uado uma orma ipo L (rm, ou ja, raiz quadrada da média) dfiida pla gui xprão: NY rro = u y u y N i = coduz ao rulado aprado a Fig..5. ( ( ) ( )) (.3) i o i.. rro.. Ec. m caal L orma L orma E-5.. Figura.5 Comparação r o dcaimo do rro gudo a Eq. (.) (p=.) (.3) (p=.5). Obrva- qu o dcaimo do rro paa a r.5, m vz d. como acocia com a orma L a Fig..3, como praria um méodo d ª ordm. A razão é fácil d xplicar dcorr duma dcião pouco cririoa quao à dfiição da orma L. o rro local fo uiform, a Eq. (.3) rularia m: rro = N = i i N N upodo qu o rro local compora como, do m coa qu YTOT = N N /, rmo rro y =.5, ficado juificado o aparcimo do dcaimo do rro m poêcia d.5. Io mora qu a forma corrca d dfiir a orma L dv r: NY rro = u y u y N i = qu daria um rulado igual ao da orma L o cao d rro uiformm diribuído. ( ( ) ( )) (.4) i o i 6

7 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 Cao d caudal dado Quado o caudal é dado, m vz do gradi d prõ, ora- cário irar gudo um procdimo d corrcção d prão, al como xplicado a cção.4 ( guido o famoo algorimo IMLE d aakar paldig). A Figura.6 mora o rulado m rmo do úmro d iraçõ para a covrgêcia, dfiida 6 para uma olrâcia d m rmo do ríduo ormalizado da Eq. (.). Como á a rabalhar com valor ormalizado ( Q =, U =, = 3, c) o facor d ormalização do ríduo é uiário é calculado como: RE r / N, com ríduo local r = au + au + b au. No cao do algorimo i N N i = NY = i IMLEC IMLER ão uiliza facor d ubrlaxação para a prão (io é, ω = ) quao para o p IMLE, a Fig..6, fixou- ω =.. Na malha com volum d corolo iro o mlhor algorimo é o p IMLEC, prmiido covrgêcia qua aé ω =.99, quao o IMLE divrg a parir d ω >.9. Todo o algorimo comporam d forma idêica para valor ifrior do facor d ubrlaxação, aprado um aumo igificaivo do úmro d iraçõ para covrgêcia (iraiva) à mdida qu ω é rduzido. ir 6 8 Ecoamo caal, N= IMLER IMLEC IMLE wp= ω u Figura.6 Númro d iraçõ m fução do facor d ubrlaxação ωu = ω (malha N = ). Quado a malha é rfiada pacialm, paado d para 4 volum d corolo (Fig..7), o comporamo do vário algorimo d corrcção d prão maém- mlha ao arior, xcpo o igificaivo aumo do úmro d iraçõ cário para covrgêcia, com divrgêcia úbia do proco iraivo para valor d ω uprior a um valor críico. O IMLEC coiua a r o mlhor algorimo m rmo d mor úmro d iraçõ para a covrgêcia maior robuz. 8 6 ir 4 Ecoamo m caal, N=4 IMLER IMLEC IMLE wp= ω u Figura.7 Númro d iraçõ m fução do facor d ubrlaxação (malha N = 4 ). 7

8 .6 Cocluõ II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 N xmplo o quma d ª ordm prmi obr rulado xaco por qu a olução apra uma variação parabólica; io implica aplicação da Eq. (.3) a malha ipo B quao a malha ipo A ão cia qualqur modificação. Apar dio a difrça rgriva d ª ordm juo à pard coduzm a covrgêcia d ª ordm. Do poo d via d algorimo d corrcção d prão, o IMLEC aparc comoa mlhor opção. 3 Equação do calor m rgim variávl O méodo do volum fiio é agora uilizado para obr a olução da quação do calor m rgim variávl, uma iuação m qu a mpraura dpd om d dua variávi: uma variávl pacial x o mpo. O problma cocro aqui coidrado coi uma barra ubmida a uma diribuição iicial d mpraura gudo um prfil riagular, cujo máximo á iuado o poo cral da barra, a qual é poriorm dixada arrfcr ficado fixado o valor da mpraura a xrmidad da barra. O objcivo é calcular a volução da mpraura m odo o poo da barra ao logo do mpo. Do poo d via umérico prd udar a prcião d algu do vário méodo xi para dicrizar mporalm uma quação d rapor. O problma coi a rolução da quação difrcial parabólica: T T ρc k = (3.) x x od T rpra a mpraura, qu dpd do paço do mpo Tx (,), k é a coduibilidad érmica, ρ a maa volúmica c a capacidad calorífica do marial da barra. No problma coidrado, a quação á ujia à codição iicial: T( x, = ) = T + T ( x / L) para x.5l = T + T ( x/ L) para.5l x L (3.) od L é o comprimo da barra, T o aumo d mpraura o cro da barra T a mpraura da xrmidad. A codição froira é do ipo d Dirichl, io é, a mpraura é prcria m amba a xrmidad ão varia ao logo do mpo: T( x=, ) = T T( x= L, ) = T, para qualqur. (3.3) A olução aalíica da quação (3.), com codiçõ iiciai (3.) codiçõ d froira (3.3), é obida plo méodo da paração d variávi (vr um livro da pcialidad) rulado m: 8 T ( x, ) = i( )i( )xp( ) or jπx jπ j π (3.4) π j = j com oda a variávi aumida como adimioai ( α/ L ; x x/ L 3. Dicrização ; α = k / ρc). ; ( ) / T T T T Igrado a Eq. (3.) uma malha ipo A (fac crada, Olivira ; vr Fig.. c), com paçamo uiform gudo x, x = XTOT /( NX ) od NX é o úmro oal d ó XTOT o comprimo do domíio pacial, uilizado o méodo d Eulr oalm implício, obém-: T T T T ρc x = k k (3.5) x x w O ídic ifrior diga a poição o cro d cada volum d corolo, como ídic uprior o ívl mporal (mpo fuuro é + ), w a fac o do volum d corolo. A drivada d mpraura a fac do volum d corolo ão aproximada por difrça crai (oricam d guda ordm d prcião), T T T E k = k T T T W k = kw x x x x w w Ragrupado o divro rmo, a quação dicrizada crv- ob a forma padrão como: at = at + at + b (3.7) E E W W com cofici: a = k / x, a = k / x, a = a + a + a, a = ρc x / (3.8) E W w w E w o (3.6) 8

9 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 rmo fo: ρc x b = T = at (3.9) A quação (3.7) rpra um ima ridiagoal qu pod r rolvido facilm por aplicação do algorimo TDMA d forma a obr- o campo d mpraura o ovo ívl mporal +. do o méodo d Eulr d ª ordm o mpo, quao a difrça crai ão d ª ordm o paço, o rro d dicrização rá a forma: p q = A + B x (3.) com p = q = ( A B ão a dua coa aimpóica do rro). Um méodo rlaivam fácil d garair ª ordm o mpo é o digado méodo d Trê Nívi o Tmpo (3TL, para Thr Tim Lvl ), qu coi implm m calcular a drivada mporal da Eq. (3.) como: T = T T + T 3 + m vz da aproximação ( ) + (3.) T / = T T / uada a Eq. (3.5). A modificaçõ qu io implica obr a quação dicrizada ão vid, por xmplo o rmo fo fica agora: ρ c x (.5 ) b = T T (3.) Uma oura forma d coguir prcião d guda ordm o mpo é aravé do méodo d Crak-Nicolo qu baicam corrpod a calcular a drivada pacial como uma média ariméica r o ívi mporai +. A quação dicrizada fica: T T T T T T ρc x = θ k + ( θ) k θ k + ( θ) k x x x w x w od o facor d irpolação é θ = /. Uado a dfiição do cofici da Eq. (3.8), vm: ( ) ( ) a + θa + θa T = θa T + θa T E W E E W W a a aw E ( ) {( θ)( at ) ( ( )( )) } at a θ a a T E E W W E W b (3.3) Ea quação rpra d faco um ima ridiagoal d quaçõ mlha ao da Eq. (3.7) qu é rolvido aravé do algorimo TDMA. ara coguir avaliar a ordm d covrgêcia d qualqur do méodo, podm guir- doi procdimo: (º) Uar um muio pquo fazr o udo do rfiamo pacial da malha (ir dimiuido x ). Na alura o rro é corolado pla dicrização pacial. D guida ivrr a ordm do rfiamo: uar malha muio fia fazr o udo da variação do rro com o pao o mpo ( ). O rro é agora corolado pla dicrização mporal. Tm d r cuidado pcial para ão havr irfrêcia r a variação do rro com com x. or xmplo, quado dimiui chga- a uma iuação m qu o rro é ão pquo qu aig a prcião impoa pla dicrização pacial, o qu implica uma irfrêcia r a dua dicrizaçõ. Na iuação dixa d xiir covrgêcia quadráica para méodo d ª ordm, uma vz qu o rro fica limiado pla dicrização mai favorávl. (º) Uma forma alraiva d fazr o udo do rro viado o problma d irfrêcia r dicrizaçõ paciai mporai é rfiar proporcioalm o paço o mpo, io é, r mpr = C x. Com procdimo a Eq. (3.) fica: ou ( ) AC x B x p p q q = + (úil para p q ) (3.4a) q q p p = ( A+ B / C ) (úil para q p ara um méodo d ª ordm, por xmplo, a Eq. (3.4b) fica ( / ) ) (3.4b) A B C A = + = o rro dimiui mpr quadraicam m m qualqur irfrêcia por par da dicrização pacial. A coa (locai) ABCA,,, rão, m pricípio, d ordm uiária. 9

10 3. Rulado II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 A volução com o mpo da mpraura o poo cral da barra é morada a Fig. 3., od o ímbolo rpram rulado umérico obido com méodo Eulr uma malha com NX = 4 pao o mpo d =., io é paçamo d x =.5 pao o mpo para progrdir do momo iicial aé =. Graficam a cocordâcia r a prvião a olução aalíica é boa, mbora a malha o pao o mpo jam rlaivam groiro. Vrifica- qu o rro aida é igificaivo a par iicial da volução, quado a barra comça a arrfcr, rlmbra- qu a drivada da mpraura o poo cral é dcoíua, o qu implica dd logo maior rro. ara um mpo adimioal uprior a aproximadam =.5 o proco d arrfcimo parc ar cocluído, com praicam oda a barra à mpraura T = (valor d mpraura impoo a dua xrmidad)..8 T(x=.5).6.4 umrico orico Figura 3. Tmpraura o cro da barra (Eulr, x =.5, =.) Algu prfi d mpraura ao logo da barra ão aprado a Fig. 3., para mpo adimioai d =.,.5,... N cao a olução umérica foi obida com o méodo d Eulr para uma malha com 4 ó um pao o mpo d.. A primira olução umérica morada a Fig. 3., para =., quival a avaçar a olução d pao o mpo apó o momo iicial. Obrva- o arrfcimo progrivo da barra, dd o prfil d mpraura iicial com forma riagular, aé à iuação m qu a barra á oda à mpraura impoa a dua froira ( T =, m rmo adimioai)..8 umrico orico = T(x) x Figura 3. rfi d mpraura ao logo da barra (Eulr, x =.5, =.). O prfil m ímbolo rpra a mpraura órica para =. (praicam igual ao prfil riagular iicial). Uma mlhoria coidrávl, mmo com dicrização pacial groira, pod r coguida com méodo mai prcio. A Fig. 3.3 compara o méodo d Eulr d Crak-Nicolo, para uma malha com ó com um pao o mpo groiro ( =.4, qu corrpod a 5 avaço o mpo para aigir a olução m =. ). Mmo viualm é poívl vrificar a mlhoria d prcião coguida plo méodo d ª ordm. O rro o cro da barra, m x =.5 od xiia o pico da diribuição iicial riagular d mpraura, é mor com o Crak-Nicolo. E poo é críico poi corrpod a uma dcoiuidad iicial da drivada da diribuição d mpraura, dcoiuidad qu vai bado ao logo do mpo.

11 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8.4 =., NX=, d=.4.3 T(x).. orico Crak-Nicolo Eulr implicio x Figura Comparação r méodo, Crak-Nicolo Eulr, para malha groiro. Numa malha mai rfiada pacialm (com ó, x =.), quado o rro comça a r corolado pla dicrização mporal, é poívl morar mai claram a vaag aprada plo méodo d mlhor ordm d covrgêcia mporal. A Fig. 3.4 compara o rulado obido com o méodo d Crak-Nicolo uado um pao o mpo d =.4 (io é, 5 pao o mpo para aigir =. ) com o rulado do méodo d Eulr com =.65 (ou ja, 6 pao o mpo). Amba a oluçõ umérica êm um rro mlha ( ) o qu mora qu, para coguir uma olução qu apr a mma prcião, o méodo d ª ordm rqur um rabalho compuacioal crca d 64 vz mor! O méodo d Crak-Nicolo apra uma pqua ocilação o prfil d mpraura m x =.5, qu é coquêcia da dcoiuidad d T / x o prfil iicial ( = ). Ea ocilaçõ d origm umérica ( wiggl ) ão ípica do méodo d ordm uprior, podm r limiada dimiuido a razão / x. Vrificou- qu uado um valor d / x=., m vz d.4 como a Fig. 3.4, a prurbação o prfil d mpraura m x =.5 daparc..4 =., NX=.3 T(x).. orico N=5, Crak-Nicolo N=6, Eulr x Figura 3.4 oluçõ com Crak-Nicolo para 5 pao o mpo Eulr para 6 pao o mpo. O rro d dicrização pod r calculado xacam uma vz qu cohc a olução aalíica. Uado a orma L, rro é dfiido como: NX x rro = T T ( x, ) (3.6) i or i L i = od a olução órica é dada pala Eq. (3.4), para um mpo =. No- qu o rro drmiado da forma é um valor médio obr a barra ma qu varia com o mpo. A Fig. 3.5 mora o dcaimo do rro com o rfiamo do pao o mpo, para o méodo Eulr implício Trê Nívi Tmporai (3TL). O rro foi calculado com a Eq. (3.6) para =.. Foi uilizada uma malha muio rfiada pacialm ( NX = ), d forma ao rro r corolado pla dicrização mporal. A rca (a vrmlho) a Fig. 3.5 foram obida por ajuamo m li d poêcia, fio auomaicam plo programa d gráfico. E ajuamo forcu o ídic p =.99 para 3TL p =.99 para Eulr;

12 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 valor coicidm praicam com a ordm órica d prcião mporal (ª ordm para 3TL ª ordm para Eulr)... =., x=. rro. E-5 E-6 E-7 3TL Eulr... Figura 3.5 Covrgêcia com rfiamo do pao o mpo ( ) para o méodo d Eulr (implício) Trê ívi mporai (3TL). Coiuado a dimiuir o, chga- a uma iuação xmplificada a Fig. 3.6 m qu o rro do méodo d Eulr, do lvado, coiua a dcair gudo uma rca com icliação d, ma o rro do méodo 3TL é já ão pquo qu aig o valor do rro impoo pla dicrização pacial, ddo aimpoicam para um valor coa. Na iuação a icliação da rca para o méodo 3TL dixa d r, uma vz qu o rro comça a r corolado pla dicrização pacial (a Eq. 3., A B x ), o qu podria lvar rroam à cocluão qu o méodo dixou d comporar como do d guda ordm o mpo... =., x=. rro. E-5 E-6 E-7 3TL Eulr E-5... Figura 3.6 Iluração do fio do rro pacial quado uda a covrgêcia mporal dum méodo d ª ordm m. D forma a viar- problma d irfrêcia r rfiamo do rro o paço o mpo, guiu- o gudo procdimo idicado a c. 3. (Eq. 3.4). Como primira malha pao o mpo uou- x =.5 =.; valor foram do ucivam dividido por doi o rro com a aplicação do rê quma implício dicuido acima (Eulr, Crak-Nicolo, 3 Nívi Tmporai (3TL)), ão idicado a Fig Novam, a liha ão aju forcido plo programa d gráfico, qu du p =.,.93., para o 3 méodo, rpcivam. Ou ja, a ordm d covrgêcia órica é guida muio d pro. O méodo d Crak-Nicolo apra o mor rro, o qu ambém ria d prar pla aáli do rro d rucaura do méodo (apra uma coa d rro 4 vz mor do qu o 3TL); o rulado dão A = 7, para 3TL A = 5. para CN. O méodo 3TL é icodicioalm ávl ma pod aprar ocilaçõ o for dmaiado grad (cofici gaivo; vr valor d b a Eq. 3., o qu diz rpio ao cofici d T ). É mai ávl qu o Crak-Nicolo, ou ja mo ucpívl a iduzir ocilaçõ arificiai, dv r uado quado a codiçõ iiciai apram dcoiuidad, como acoc o pr problma.

13 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8.. =., x=c rro. E-5 E-6 E-7 Eulr 3TL Crak-Nicolo... Figura 3.7 Taxa d covrgêcia para o 3 méodo quado o rfiamo é coi x = C ( =. ). 3.3 Cocluõ ara um problma d codução d calor m rgim raiório, com campo iicial d mpraura codo uma dcoiuidad da drivada, foi morado qu:. O méodo d Eulr compora d faco como do d ª ordm o mpo o d Crak-Nicolo Trê Nívi Tmporai como d ª ordm. D doi, o rro do Crak-Nicolo é mor.. O udo da covrgêcia pod r fio dimiuido o pao o mpo para uma malha muio rfiada pacialm, ou ão fazdo variar imulaam o paçamo da malha o pao o mpo. E gudo procdimo é acolhado 3. O méodo d Crak-Nicolo é mai ucpívl à dcoiuidad iicial do gradi d mpraura, qu iduz um pquo rro a mpraura o poo cral od a dcoiuidad iuava, qu ó daparc para pao o mpo pquo, da ordm / x.. 4 Ecoamo d arraqu para fluido woiao Na cção volamo a um problma da mcâica d fluido woiao: obr a olução da quação da quaidad d movimo m rgim variávl, uma iuação m qu a vlocidad dpd om d dua variávi: uma variávl pacial y o mpo. O problma cocro aqui coidrado coi a prvião d um coamo grado pla impoição úbia d um gradi d prõ uiform a um fluido m rpouo, coido um caal plao formado por dua placa paralla ifiia. O objcivo rá calcular a volução da vlocidad uy (,) ao logo do mpo, m odo o poo a dircção ravral y, ormal ao plao qu formam a pard do caal. Do poo d via umérico prd- udar o dmpho d rê méodo para dicrizar mporalm uma quação d rapor. Aum- um fluido com propridad fíica coa ubmido a um coamo bidimioal icomprívl lamiar, m iuação d dvolvimo complo; ou ja, ao a vlocidad, como o gradi d prõ, ão dpdm da coordada alihada com a dircção do coamo, dircção logiudial x. N cao a quação da coiuidad u/ x+ v/ y= implica qu a compo da vlocidad v gudo a dircção ravral y é ula, plo qu o problma coi a obção da compo gudo x da vlocidad, a qual dpdrá om do mpo da dircção ravral, io é uy (,). A quação difrcial a rolvr é a qu dcrv a corvação da quaidad d movimo gudo x : u dp u ρ = + µ (4.) dx y y od u rpra a vlocidad ao logo do caal,µ é a vicoidad do fluido, ρ a maa volúmica = dp/ dx o gradi d prõ coa aplicado ao fluido. No problma coidrado, a quação á ujia à codição iicial: uy= (, ) = para y H (4.) od H é mad da largura do caal (comprimo caracríico a r uado para obr valor adimioai). A codiçõ froira ão do ipo d Dirichl, io é, a vlocidad é dada m amba a xrmidad ão varia ao logo do mpo: uy ( =, ) = uy ( = H, ) =, para qualqur. (4.3) Ea codiçõ dcrvm o ão-corrgamo do fluido obr a pard do caal. O igificado fíico do problma é impl: um fluido vicoo á iicialm m rpouo é ubmido ubiam, m =, a um 3

14 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 gradi d prõ coa. Dvido à codição d ão-corrgamo, a vlocidad adjac à pard é mpr ula, quao a par cral do caal a vlocidad vai aumado ao logo do mpo aé aigir o prfil parabólico caracríico d coamo complam dvolvido(vr c. ): y y u ( y) = ( ) 3 U Y = 3 U (4.4) H H o qu acocrá para um mpo ifiio. Na alura a vlocidad média obida por igração do prfil (4.4) é dada por: H U =. (4.5) 3µ A olução aalíica da quação (4.), com codiçõ iiciai (4.) codiçõ d froira (4.3), é obida plo méodo da paração d variávi (Whi 999) rulado m: 48 u ( y, ) =.5y( y) i( k y) xp ( ( k /) or ) 3 π π (4.6) 3 π k=,3,5... k com oda a variávi aumida como adimioai ( u u/ U, µ / H ρ, y y/ H ). Quado o xpocial o fial do gudo rmo faz dr para zro ra a olução d rgim prma dada plo primiro rmo, o u da Eq. (4.4). 4. Dicrização O procdimo para raformar a quaçõ difrciai m quaçõ algébrica gu d pro o dcrio a cção.. Igrado a Eq. (4.) uma malha ipo B (ó crado), com paçamo uiform gudoy, y = H /( NY ) od NY é o úmro oal d ó YTOT = H o comprimo do domíio pacial, uilizado o méodo d Eulr oalm implício, obém-: y y u u u u ρ y = y + µ µ O ídic diga a poição o cro d cada volum d corolo, como ídic uprior doa o ívl mporal (mpo pr é, mpo fuuro é + ), a fac or ul do volum d corolo. A drivada da vlocidad a fac do volum d corolo ão aproximada por difrça crai (oricam d guda ordm d prcião), u u u N µ = µ y u u u µ = µ y Ragrupado o divro rmo, a quação dicrizada crv- ob a forma padrão como: au = au + au + b (4.9) N N com cofici: a = µ / y, a = µ / y, a = a + a + ρ / (4.) N N rmo fo: ρ b = y + u (4.) A quação (4.9) rpra um ima ridiagoal qu pod r rolvido facilm por aplicação do algorimo TDMA d forma a obr o campo d vlocidad o ovo ívl mporal +. A malha uada rá uiform, plo qu ora dcário uilizar um ídic para y. A vicoidad rá coa; fo variávl podr--ia uar média ariméica (.g. µ =.5( µ + µ )) ou gomérica (.g. µ = µµ /( µ + µ )). N N N O méodo d ª ordm o mpo, Crak-Nicolo 3TL, ão implmado d forma idêica à xplicada a cção Rulado A volução com o mpo da vlocidad o plao cral do caal é morada a Fig. 4., od o ímbolo a liha pra rpram rulado umérico obido com méodo d Trê Nívi o Tmpo (3TL) uma malha com NY = 43 pao o mpo d =.5, io é paçamo d.5 pao o mpo para progrdir do momo iicial aé = 5. Graficam a cocordâcia r a prvião a olução aalíica é (4.7) (4.8) 4

15 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 xcl, com a liha pra vrmlha praicam obrpoa. ara um mpo adimioal uprior a aproximadam =. o proco d arraqu do coamo parc ar cocluído a vlocidad o cro aig o valor órico d.5 válido para o cao acioário complam dvolvido..6. u.8.4 umérico aalíico Figura 4. Evolução da vlocidad o cro do caal (3TL, y = =.5 ) Algu prfi d vlocidad ão aprado a Fig. 4., para mpo adimioai d =.5,.,.,.5.. N cao a olução umérica foi obida com o méodo 3TL para uma malha com 4 volum d corolo um pao o mpo d.. A primira olução umérica morada a Fig. 4., para =.5, quival a avaçar a olução d 5 pao o mpo apó o momo iicial ( =. ). Obrva- o chimo progrivo do prfi d vlocidad, dd uma forma qua ampão quado é pquo, aé ao prfil parabólico para lvado. A difuão vicoa juo à pard faz arrdodar o prfi d vlocidad. Tao a malha como o pao o mpo, aim como o méodo d igração mporal, parcm adquado para ofrcr prviõ com bom grau d prcião..6. umérico aalíico.5 =. u y Figura 4. rfi d vlocidad (3TL, y =.5, =.). Qualqur méodo com mai d doi ívi mporai apra dificuldad dura o primiro pao o mpo, poi a alura o campo arior u ão ão cohcido. No cao do méodo 3TL, o cálculo da vlocidad para + = (ívl mporal imdiaam apó o iicial) ua a Eq. (3.) qu dá: Ora u u = u u + u 3 ão á dfiido uarmo u = u, o campo iicial, a quação implica: ( u u ) (4.) 3 3 u u u + u = = (4.3) qu é um rulado rróo dvido ao facor 3/. Mlhor ria iiciar o cálculo uado o méodo d Eulr para o primiro avaço mporal, ou ja, fazr: 5

16 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 ( u u ) u = (4.4) Io rá a dvaagm óbvia d iroduzir, m gral, um rro d ª ordm o mpo, qu pra vha a r diipado o porior avaço já baado o méodo d ª ordm (3TL). Coudo, o problma aqui m quão rro ão acoc porqu o arraqu do coamo a vlocidad varia liarm com o mpo, como pod ifrir a parir da Eq. (4.) dprzarmo o rmo difuivo (oda a variávi ão adimioai): u u = 3 (4.5) Na iuação o méodo d Eulr 3TL dão o mmo rulado, do d faco xaco. Na primira imulaçõ para udo ão fz a iicialização do méodo 3TL aravé do méodo d Eulr o rulado apram rro igificaivo, como vê a Fig Ea figura apra a volução da vlocidad o cro do caal prvia plo programa uma malha com NY = 43 (.5 ) um =.5 (liha pra com ímbolo) a volução órica (liha vrmlha). Mora aida a rca com icliação 3 qu rula da olução aalíica aproximada quado dprza a difuão, como dmorado acima (Eq. 4.5). Vrifica- qu a aproximação da olução órica é boa para valor pquo do mpo (. ). No gráfico do lado qurdo da figura, fz- o arraqu do 3TL uado o méodo d Eulr vrifica- uma cocordâcia muio mlhor r oria prviõ, mmo para a dicrização rlaivam groira. No gráfico do lado dirio ão v cuidado, o facor.5 qu aparc a aproximação da drivada o méodo 3TL (Eq. 4.3) coduz a um rro lvado, claram obrvávl a figura u.8 u.8.4 umrical aalyical u=3.4 umrical aalyical u=3 (a) (b) Figura Comparação r a volução órica umérica da vlocidad o cro obida com 3TL, com (a) m (b) arraqu a parir do méodo Eulr (NY=43, =.5 ). ara orar mai vid a difrça r rulado obido com méodo divro é cário imar o rro comido a prviõ. No pr problma o rro d dicrização pod r calculado xacam uma vz qu cohc a olução aalíica. Uado a orma L, rro é dfiido como: NY ( ) rro = u u ( y, ) (4.6) i or i N i = od a olução órica é dada pala Eq. (4.6), para um mpo corolo irior, N NY =. O omaório é fio para o volum d =. No- qu o rro drmiado da forma é um valor médio igrado aravé da largura do caal, ma qu varia com o mpo. O rro da vlocidad o cro do caal é calculado d forma mai impl: u ( ) = u u ( y=, ) (4.7) or D forma a viar o problma da irfrêcia r rfiamo do rro o paço o mpo, guiu- o gudo procdimo idicado a c. 3. (Eq. 3.4). Como primira malha pao o mpo uou- y =.5 =.5 ; valor foram do uciva imulaam dividido por doi, o rro rula da aplicação do rê quma implício dicuido acima (Eulr, Crak-Nicolo, 3 Nívi Tmporai (3TL, apó corrcção da iicialização)) ão rprado m cala logarímica a Fig. 4.4 aravé d ímbolo (círculo, riâgulo, quadrado). E rro foram calculado o mpo =.5. Na figura o rro 6

17 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 aprado é o da vlocidad o plao cral (m y = ), ovam, a liha ão aju forcido plo programa d gráfico, qu du p =.98,.99.4, para o 3 méodo, rpcivam. Ou ja, a ordm d covrgêcia órica é guida muio d pro. O méodo d Crak-Nicolo apra o mor rro, o qu ambém ria d prar pla aáli do rro d rucaura do méodo uma vz qu a ua coa d rro é crca d 4 vz mor do qu a do 3TL... rror.. E-5 E-6 Eulr Crak-Nicolo 3TL... Figura 4.4 Taxa d covrgêcia para o 3 méodo quado o rfiamo é coi y = C ; cao C = ( =.5 ). Numa fa iicial d udo ão v cuidado com o arraqu do méodo 3TL o fio rlaivo à drioração da prcião já obrvado a Fig. 4.3 rflc- aqui a ordm d covrgêcia (Fig. 4.5): quao o Crak-Nicolo covrg guido uma liha d icliação., a vrão iicial do 3TL (ímbolo rdodo) compora- como um méodo d ª ordm (icliação.). Fazdo corrcam a iicialização do méodo 3TL por aplicação do quma d Eulr o primiro pao o mpo, o 3TL corrigido paa a guir um comporamo d ª ordm (com icliação.4), como vê da figura (ímbolo quadrado). Apó mlhoramo da iicialização do 3TL, a ua axa d covrgêcia coicid praicam com a do Crak- Nicolo, aprado um rro ligiram maior.... rro E-5 E-6 E-7 E-8 3TL Crak-Nicolo 3TL (Eulr =)... Figura 4.5 Covrgêcia com rfiamo do pao o mpo malha ( = y) para o méodo d Crak- Nicolo Trê ívi mporai (3TL) m com arraqu a parir Eulr m =. A volução ao logo do mpo do rro obido gudo a Eq. (4.6) é aprada a Fig. 4.6 para o méodo 3TL, a Fig. 4.7 para o Crak-Nicolo a Fig. 4.8 para o Eulr implício. Uaram- cico ívi d dicrização (com rfiamo imulâo o mpo o paço) a figura moram claram a volução raiória do rro, aé.5, guida da volução m ado acioário, com o rro a mar- coa para cada malha, dimiuido quadraicam quado o paçamo é rfiado (rcorda- qu a imulaçõ y =, do ido uada malha com 4, 8, 6, 3 64 volum d corolo irior). O limi d prcião da máquia é aparm aigido para o valor d maior rfiamo da dicrização. 7

18 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8.. d=.5 d=.5 d=.5 d=.65 d=.35. rro E-5 E-6 E-7 E Figura 4.6 Evolução do rro médio quadráico com o méodo 3TL ( y = )... rro E-5 E-6 E-7 E Figura 4.7 Evolução do rro médio quadráico com o méodo Crak-Nicolo ( y = ).... rro E-5 E-6 E-7 E Figura 4.8 Evolução do rro médio quadráico com o méodo Eulr ( y = ). A volução do rro a figura acima mora a limiação qu rula da dicrização pacial quado aig o rgim acioário. Ou ja, à mdida qu o mpo avaça, o rro aig um valor aimpóico drmiado pla ª ordm do quma d difrça crai uado a dicrização pacial. A Fig. 4.9 dmora faco aprado a covrgêcia do rro da vlocidad o poo cral para o mpo = 3 quado o ado acioário á prfiam ablcido. A icliaçõ corada ão iguai para o doi méodo mporai, 3TL Crak-Nicolo, do d p = q =.98. 8

19 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8.. (U ) E-5 3TL Crak-Nicolo E-6... Figura 4.9 Covrgêcia do rro da vlocidad cral a iuação d ado acioário, = 3 ( y = ). 4.3 Cocluõ No problma coidrado, ao o méodo do Trê Nívi Tmporai (3TL) como o d Crak-Nicolo comporam como do d ª ordm o mpo dura o rgim raiório. No ao para o 3TL é prcio r cuidado dura o cálculo do primiro pao o mpo, ob pa da ordm d covrgêcia r rduzida para a uidad (ª ordm). O mai fácil parc r a uilização do méodo d Eulr para avaçar a olução dd = aé = (io é, d = para = ). No pr problma io ão iroduz hum rro porqu a variação iicial da vlocidad é liar com o mpo. Quao ao dcaimo do rro dura o rgim ão acioário, vrifica- aprar mai ocilaçõ o cao do méodo d Crak-Nicolo comparaivam com o méodo 3TL, rflcido a mlhor abilidad do gudo. O méodo d Eulr produz rro ubacialm maior do qu o do ouro méodo com dcaimo muio lo (ó para 3 4 á o rgim acioário ablcido). 5 Arraqu d coamo vicoláico um caal plao O problma da cção arior é aqui gralizado para fluido com rologia mai complxa. Aum- um fluido ão woiao vicoláico (Bird al., 987) coiuído pla olução dum olv woiao (vicoidad η ) um oluo polimérico (vicoidad η ) al qu a ão d cor oal pod r dcompoa a oma da rpciva compo: τ = τ + τ (5.) o com a ão do olv dada por: u τ η = (5.) y a ão do polímro pla quação (o ídic uprior d polímro é omiido, τ τ ): τ τ + λ = η u y E modlo rológico, qu comprd a Eq. (5.) a (5.3), é digado como modlo d Oldroyd-B (Oldroyd 95; Bird al 987) á aqui crio para o cao implificado d coamo complam dvolvido m caal plao. O parâmro λ rpra o mpo d rlaxação do fluido, riam rlacioado com o u comporamo láico. A corvação da quaidad d movimo gudo x é xpra pla quação: u dp u τ ρ = + η + (5.4) dx y y y od u rpra a vlocidad ao logo do caal, ρ a maa volúmica = dp/ dx o gradi d prõ coa aplicado ao fluido. No problma coidrado, a quaçõ ão ujia à codição iicial: uy= (, ) = τ ( y, = ) = para y H (5.5) od H é mad da largura do caal (comprimo caracríico a r uado para obr valor adimioai). A codiçõ froira ão do ipo d Dirichl, io é, a vlocidad é dada m amba a xrmidad ão varia ao logo do mpo: uy ( =, ) = uy ( = H, ) =, para qualqur. (5.6) xy (5.3) 9

20 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 Ea codiçõ dcrvm o ão-corrgamo do fluido obr a pard do caal. Quao à ão, o u valor a froira pod r calculado dircam a parir do campo d vlocidad. ara valor d mpo lvado ( ), aig- o prfil d vlocidad parabólico caracríico d coamo complam dvolvido, igual ao do cao woiao raado a cção 4 (Eq. 4.4), uma vz qu a vicoidad d cor do modlo rológico é coa. A vlocidad média a alura é ambém dada pla Eq. (4.5) com vicoidad oal (coa) drmiada d η = η + η, m lugar d µ. Quado adimioaliza o problma, urg o úmro d Ryold, R= ρuh / η, qu ria uiário (com ρ =, U =, H = η = ) ma qu é irrlva para a olução do problma, o úmro d Dborah, D= λu / H. Uado uma cala mporal baada um mpo caracríico d difuão ( / D = ρh / η, D ), é fácil vrificar qu R daparc da quação da quaidad d movimo, a quação coiuiva, m vz d D, aparc o úmro d laicidad E H = λ / = λη / ρ. A vicoidad D adimioai ão β = η / η β = η / η. ara β =, io é, quado ão há vicoidad d olv xplícia, o modlo d Oldroyd-B couma digar- por modlo covcivo uprior d Maxwll (modlo UCM, do iglê). A olução aalíica da quaçõ (5.3) (5.4), com codiçõ iiciai (5.5) codiçõ d froira (5.6), é obida plo méodo da paração d variávi (War Kig 97) rulado m: 48 u ( y, ) =.5y( y) i( ) xp ( ( /) ) () or 3 kπy α G (5.7) 3 k π k=,3,5... k γ k od: G () = coh( β ) + ih( β ) ( β ) k k k β k ou β k k γ G () = co( ) + i( β ) ( β < ), k k β k α = + βeπ k, β = α Eπ k, γ = k 4 k k ( β) Eπ k. k 4 Na quaçõ oda a variávi ão adimioai: u = u/ U ; y = y/ H ; = ρh/ η (woiao) ou = / λ (vicoláico). Tal como o problma arior, quado o rmo m xpocial d para zro fica a olução d rgim prma dada plo primiro rmo, ou ja o uual prfil parabólico para a vlocidad. 5. Dicrização A quaçõ d govro (Eq ) ão igrada uma malha ipo B, com paçamo uiform gudo y, y = H /( NY ) od NY é o úmro oal d ó YTOT = H o comprimo do domíio pacial. A Fig. 5. (a) mora um volum d corolo irior obr o qual procd à igração, uilizado baicam difrça crai para a dicrização pacial o méodo implício do rê ívi mporai (3TL) para a dicrização mporal, obdo-: y N y wall y i N (a) (b) (c) Figura 5. Malha ipo B: volum d corolo irior (a), juo à froira or (b) ul (c).

21 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 ( u u ) τ 4τ + τ u τ + λ = η = η (5.8) y u 4u + u u u + + ρ y = y + η η + ( τ τ ) (5.9) y y O ídic ifrior diga a poição o cro d cada volum d corolo (Fig. 5. a), como ídic uprior diga o ívl mporal (mpo paado é, mpo pr é, mpo fuuro é + ), a fac or ul do volum d corolo. Na Eq. (5.9), a drivada da vlocidad a fac do volum d corolo ão aproximada por difrça crai, u u u N = y u u u = y (5.) Ragrupado o divro rmo, a quaçõ dicrizada para a õ vlocidad crvm- ob a forma padrão como: a com cofici: τ τ τ τ + = b (5.) u + u + u + u au = au + au + b (5.) N N (.5 λ / ) a = y + (5.3) a u N ( η ) / = u, a ( η ) / u u u =, a = a + a +.5 ρ / (5.4) N rmo fo: λ λ τ + + τ b = η ( u u ) + ( τ τ ) + ( τ τ ) (5.5) p ρ ρ u + + u b = y + ( τ τ ) + ( u u ) + ( u u ) (5.6) Rpar- qu quao a Eq. (5.) para a õ é uma quação algébrica xplícia, uma vz qu ão há qualqur ligação, difuiva ou covciva, com a õ circuda (a or a ul), já a Eq. (5.) rpra um ima ridiagoal qu pod r rolvido com o algorimo TDMA. 5. Irpolaçõ A malha uada rá uiform, plo qu ora dcário uilizar um ídic para y. A vicoidad η ão coa; fom variávi podr--ia uar média ariméica (.g. η =.5( η + η )) ou gomérica N (.g. η = ηη /( η + η ) ). A vlocidad a fac do volum d corolo qu aparcm o rmo τ da N N Eq. (5.5) para a õ, ão calculado por irpolação liar: u =.5( u + u ) u =.5( u + u ) (5.7) N A õ a fac do volum d corolo qu aparcm o rmo fo u da Eq. (5.6) para a vlocidad ão calculada gudo o méodo d Olivira al (998) qu baicam coi a irpolação liar (doada com barra uprior) d odo o rmo da Eq. (5.), dpoi da r dividida por y, xcpo o rmo d gradi d vlocidad ( τ ) qu é calculado dircam a fac. Ea dfiição forc: + + τ ( / + u u λ N ) ( a y τ = η τ τ + ) (5.8) qu pod ambém crvr d forma compuacioalm mai ficaz como: + + η u u u + + N τ = τ + τ (5.9) a / y

22 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 Ea rá a fórmula uada o programa para calcular a õ a fac do VC. Exi uma fórmula mlha para a ão a fac ul. O gradi d vlocidad o cro do VC ão calculado como o º mmbro da Eq. (5.8). Rpar- qu a ão a fac é dada pla média ariméica mai um rmo corrcor qu é proporcioal a uma 3ª drivada da vlocidad; é rmo diipaivo qu prmi auar ocilaçõ púria da variaçõ d ão ou vlocidad, prmiido um bom acoplamo r o doi campo. 5.3 Codiçõ d froira A vlocidad é ula obr uma pard ólida ma a ão d cor a pard prcia d r calculada. Vamo coidrar para fio iluraivo a pard iuada m or (Fig. 5. b). Tal como dicuido a c..3 rlaivam à implmação para fluido woiao, o rmo d olv pr a Eq. (5.4) pod r aproximado uado méodo d ª ordm: u u τ = η / (od u é ulo) (Méodo Aigo) (5.) ou d ª ordm (Fig. b): 8u 9u + u τ = η 3 (5.) A quão pricipal prd- com a rpração da ão d cor polimérica a pard, qu aparc o rmo m τ / y da Eq. (5.4). Em rabalho arior uou- uma aproximação idêica à da Eq. (5.), com a vicoidad polmérica η m vz da vicoidad do olv η. Ea abordagm, baada a olução órica da ão m coamo acioário d cor impl, rá digada como méodo aigo. Um méodo ovo coi m uilizar a própria quação da quaidad d movimo para calcular a ão a pard; quado a Eq. (5.4) é aplicada a uma pard ólida, mmo m coamo ão acioário, rduz- a (o rmo do olv é para já aulado d forma a implificar a xplicação; pard a or ): dp τ τ dp + = = (5.) dx y y dx wall uma igração d ª ordm forc: dp τ = τ + / / y = τ y (5.3) dx com = dp/ dx. No pr problma o gradi d prõ é cohcido coa. No cao mai gral duma camada limi obr uma pard ólida, o gradi d prõ é baicam idpd da dircção ormal à pard, plo qu a aproximação acima é válida com dp/ dx rprado o gradi d prõ parallo à pard calculado o poo (Fig. 5. b). Icluido o rmo da ão do olv, vm: com ( ) τ = τ / τ τ τ obém-: = η u u / τ = τ η τ u u τ τ u u u u = η = η 3 ( ) u u u / / / (Méodo Novo) (5.4) od, rcorda-, a codição d ão-corrgamo dá u =. A Eq. (5.4) rpra o ovo méodo para a codição froira uma fac or. ara uma fac a ul é fácil vrificar qu o mmo raciocíio coduz a: dp τo τ τ τ τ + = = dx y / / ou 3 ( u u ) u N τ = τ + η (5.5) com u = para pard imóvl.

23 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 Na ddução coduc à Eq. (5.4) uilizou- um quma d ª ordm para aproximar τ / y. ara uma quaidad gérica φ uma xrapolação liar do poo i a Fig. (a) coduz a: φ φ φ φ i i 4 = φ = φ + ( φ φ ) = φ φ i 3 i 3 i 3 /4 3/4 uma xprão paricularm adquada para aproximar drivada. Aplicado-a a φ = τ / y, aproximado a drivada com difrça crai, obém- para pard a or : τ τ τ τ τ τ τ 8τ 9τ + τ 4 4 = 3 = = y y y / 3 i uma xprão mlha à da Eq. (5.) para a rpração d ª ordm da primira drivada da vlocidad. Da forma, a ão a r aplicada a pard, da Eq. (5.) vm: 9τ τ 3 τ = = ( τ y) + { τ τ +} (5.6) 8 8 ª ordm od o rmo aialado r chava rpra a corrcção d ª ordm rlaivam ao rmo d ª ordm dado pla Eq. (5.3). ara uma froira a ul, um procdimo idêico dá (Fig. 5. c): ( ) y { y} τ = τ + + τ τ 8 N ª ordm (5.7) Num programa, rmo corrcivo podm r muliplicado por uma variávl g qu ou á acivada ( g = ) ou dacivada ( g = ) cooa quira quma d ª ou ª ord d prcião. 5.4 Rulado A volução com o mpo da vlocidad o plao cral do caal ( u = u( y = ) ) para o fluido Oldroyd-B com doi valor d β (..) é morada a Fig. 5., od o ímbolo rpram rulado umérico obido com o méodo do rê ívi o mpo (3TL), uma malha com NY = 3 pao o mpo d... E valor corrpodm a um paçamo d., a um úmro d 5 (para β =. ) ou d (para β =. ) pao o mpo para progrdir do momo iicial aé =. Graficam a cocordâcia r a prvião a olução aalíica é xcl, com a liha ímbolo praicam obrpoo, apar d m ambo o cao, β =.., a volução r ocila guir um camiho marcadam difr do cao woiao raado a c. 4. ara o mor valor d β o adamo é já muio próximo daqul para o fluido UCM, o qual ão poui qualqur vicoidad d olv, do oório a propagação duma fr d oda qu rflc a pard propaga ovam a dircção do plao cral com uma vlocidad d fa uiária (do poo d via adimioal). Equao para o fluido woiao um mpo adimioal d aproximadam =. ra ufici para aigir um rgim prma, com a vlocidad o plao cral y = a dr para u =.5, o cao do fluido vicoláico rgim ão á aida aigido para =, pico d ocilaçõ ão vid m =,3,5, β=. u β=. umérico aalíico Figura 5. Evolução da vlocidad o cro do caal para Oldroyd-B comβ =.., E = (3TL, y =., =. =.) 3

24 II Cofrêcia Nacioal d Méodo Numérico m Mcâica d Fluido Trmodiâmica Uivridad d Aviro, 8-9 d Maio d 8 Algu prfi d vlocidad para o fluido Oldroyd-B comβ =. laicidad E = ão aprado a Fig. 5.3, para mpo adimioai d =.,.,.5,... Na figura a olução umérica foi obida com o méodo 3TL para uma malha com 3 VC um pao o mpo d.. A primira olução umérica morada a Fig. 3, para =., quival a avaçar a olução d 5 pao o mpo apó o momo iicial ( =. ). Obrva- o chimo progrivo do prfi d vlocidad, dd uma forma qua ampão quado é pquo, aé ao prfil parabólico para lvado. A difuão vicoa juo à pard faz arrdodar o prfi d vlocidad, al como acocia para fluido woiao ma d forma mo acuada. Tao a malha como o pao o mpo, aim como o méodo d igração mporal, parcm adquado para ofrcr prviõ com bom grau d prcião..5 Oldroyd-B, β=., E= =.. u(y) umrico aaliico y Figura 5.3 rfi d vlocidad para Oldroyd-B com β =. E = (3TL, y =., =. ). Quado dimiui a coribuição do olv, fazdoβ =., obêm- prfi d vlocidad (Fig. 5.4) mlha ao da figura arior, ma com uma dcoiuidad acuada a variação da vlocidad uy ( ) aravé do caal. Ea fr, corrpod ao poo com u/ y dcoíuo, propaga- da pard para o plao cral, qu é aigido m =, rflcido- volado a avaçar a dircção do cro. E fómo é rpido com um príodo d / coidrado, E =. E, ou ja, um príodo uiário para o valor d laicidad aqui 3 Oldroyd-B, β=., E=. =. u(y).5 umrico aaliico y Figura 5.4 rfi d vlocidad para Oldroyd-B com β =. E = (3TL, y =., =.). ara orar mai vid a difrça r rulado obido com o méodo umérico coidrado é cário imar o rro comido a prviõ. No pr problma o rro d dicrização pod r calculado xacam uma vz qu cohc a olução aalíica. Uado a orma L ou L, rro é dfiido como: 4