Este texto trata do estudo analítico de sistemas de controle. Falando de forma geral, ele consiste de quatro partes:

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1 . Mamáica.. Sima Fíico Modlo E o raa do udo analíico d ima d conrol. Falando d forma gral, l coni d quaro par:. Modlagm. Dnvolvimno d quaçõ mamáica. Análi 4. Projo E capíulo dicu a dua primira par. A diinção nr ima fíico modlo é fundamnal na ngnharia. Na ralidad, o circuio ima d conrol udado na maioria do o ão modlo d ima fíico. Por mplo, um rior com uma riência conan é um modlo; a limiação d poência do rior é frqunmn dconidrada. Um induor com uma induância conan é ambém um modlo; na ralidad, a induância pod variar com a quanidad d corrn fluindo aravé do induor. Um amplificador opracional é um dipoiivo razoavlmn complicado; l pod r modlado, conudo, como morado na Figura.. Figura. Modlo do Amplificador Opracional Na ngnharia mcânica, a upnão d um auomóvl pod r modlada como morada na Figura.. Mola Amorcdor Maa da oda Durza do Pnu Figura. Modlo da Supnão d um Auomóvl Na biongnharia, um braço humano pod r modlado como morado na figura.b ou, mai raliicamn, como na Figura.c. Modlagm é um problma imporan poi o uco d um projo dpnd o ima fíico ão modlado adquadamn ou não. E Nmr / 76

2 Força do Múculo Braço Figura. Modlo d um braço Dpndndo da quõ formulada dpndndo da faia d opração faia dinâmica, um ima fíico pod r difrn modlo. Por mplo, um amplificador lrônico m difrn modlo m frqüência baia ala. Uma nav pacial pod r modlada como uma parícula no udo da rajória; conudo, la pod r modlada como um corpo rígido no udo da manobra. Para dnvolvr um modlo adquado para um ima fíico, nó prciamo nndr complamn o ima fíico ua faia opracional. N o, modlo d ima fíico ão ambém chamado d ima. Porano, um ima fíico é um dipoiivo ou uma colção d dipoiivo in no mundo ral; um ima é um modlo d um ima fíico. Como morado na Figura.4, um ima é rprnado por um bloco unidircional com plo mno um rminal d nrada um rminal d aída. Figura.4 Sima S uma ciação ou inal d nrada u é aplicada ao rminal d nrada d um ima, uma rpoa única ou inal d aída y rá mdida ou obrvada no rminal d aída. Ea rlação única nr ciação rpoa, nrada aída, ou caua fio á implícia m odo ima fíico u modlo. Um ima é chamado um ima monovariávl l m omn um rminal d nrada omn um rminal d aída. D oura forma, l é chamado um ima mulivariávl. Um ima mulivariávl m dua ou mai rminai d nrada /ou doi ou mai rminai d aída... Sima Linar Concnrado Invarian no Tmpo A colha d um modlo para um dipoiivo fíico dpnd formn da mamáica a r uada. É inúil colhr um modlo qu amlha formn ao dipoiivo fíico ma qu não pod r analiado uando o méodo mamáico in. È inúil ambém colhr um modlo qu poa r analiado facilmn ma qu não amlh ao dipoiivo fíico. Conqunmn, a colha d modlo não é uma arfa impl. Ela é, na ralidad, uma rlação d compromio nr r fácil d analiar amlhar baan ao ima fíico rai. E Nmr / 76

3 O ima analiado n o ão aqul qu podm r dcrio por quaçõ difrnciai ordinária com coficin rai conan ai como Ou mai gralmn, d y dy du y u d d d n n m m d y d y dy d u d u du an a a a y b b b bu n n L n m m m L m d d d d d d Ond a i b i ão conan rai, n m. Tai quaçõ ão chamada quaçõ difrnciai linar concnrada invarian no mpo d ordm n. Para qu um ima poa r dcrio por al quação, o ima prcia r linar, invarian no mpo, com parâmro concnrado. D modo gral, um ima é linar l obdc ao princípio da uprpoição [io é, a rpoa d u u é igual à oma da rpoa d u da rpoa d u], ao princípio da homognidad [a rpoa d αu é igual a α vz a rpoa d u]. Um ima é invarian no mpo ua caracríica, ai como maa ou momno d inércia para ima mcânico, ou riência, induância ou capaciância para ima lérico, não variam com o mpo. Um ima m parâmro concnrado o fio d qualqur nrada paada u, para, na fuura aída y, para, pod r rumida por um númro finio d condiçõ iniciai m.... Sima Mcânico Conidr o ima morado na Figura.5a. Ario Força da Mola Eáico Vicoo Figura.5 Sima Mcânico El coni d um bloco com maa m concado a uma pard por uma mola. A nrada é a força aplicada u, a aída é o dlocamno y mdido a parir da poição d quilíbrio. O ario nr o bloco o chão é muio complo. E ario coni gralmn d rê par ario áico, ario d Coulomb o ario Vicoo como morado na figura.5b No qu a coordnada ão ario vru vlocidad. Quando a maa é acionária ou ua vlocidad é zro, prciamo d cra quanidad d força para vncr o ario áico iniciar o movimno. Uma vz qu a mola comc a movr, paa a auar o ario conan, chamado d ario d Coulomb, qu é indpndn da vlocidad. O ario vicoo é gralmn modlado como Ario vicoo k vlocidad. Ond k é chamado d coficin d ario vicoo. Ea é uma quação linar. A maioria do o d Fíica dicu omn o ario áico d Coulomb. N o, conudo, conidrarmo omn o ario vicoo; o ario áico d Coulomb rão dprzado. Fazndo a conidraçõ, podmo modlar o ario como um fnômno linar. E Nmr / 76

4 Na Fíica, a li d Hook ablc qu o dlocamno d uma mola é proporcional à força aplicada, io é Força da Mola k dlocamno. Ond k é chamada d conan da mola. O gráfico da quação é morado pla linha racjada na Figura.5c. Io ignifica qu, indpndn da força aplicada, o dlocamno rá igual a força / k. Io cramn não rraa a ralidad poi, a força aplicada for maior do qu o limi láico, a mola romprá. Em gral, a caracríica d uma mola ral m a forma da linha ólida morada na Figura.5c. Vmo qu a força aplicada ivr fora da faia [A, B ], a curva caracríica fica bm difrn da linha racjada. Conudo, a força aplicada iuar na faia [A, B ], chamada d faia opracional linar, não a curva caracríica podrá r rprnada bm por.. Nó podrmo uar. como um modlo para a mola. Vamo dnvolvr agora uma quação qu dcrva o ima uando. conidrando omn o ario vicoo m.. A força aplicada u prcia vncr a força da mola o ario, o ran rá uado para aclrar a maa. Logo, mo qu: Ou dy u k k y d d m y d d y dy m k k y u.4 d d Ea é uma quação difrncial linar ordinária com coficin conan. É imporan lmbrar qu a quação é obida uando a rlação linarizada d. foi conidrado omn o ario vicoo dado por.. Dvido a a conidraçõ, a quação é aplicávl omn para uma faia d opração limiada. Conidrmo agora o ima roacional morado na Figura.6a. olamno olamno Mola Carga Figura.6 Sima Mcânico oacional A nrada é o orqu aplicado T a aída é o dlocamno angular θ da carga. O io não é rígido é modlado por uma mola orcívl. Sja J o momno d inércia da carga do io. O ario nr o io o rolamno ambém coni do ario áico, d Coulomb vicoo. Aqui ambém vamo conidrar omn o ario vicoo. Sja k o coficin d ario vicoo ja k a conan da mola orcívl. Tmo não qu o orqu grado plo ario iguala a k dθ/d o orqu grado pla mola é k θ. O orqu aplicado T prcia vncr o orqu d ario da mola; o ran é uado na aclração da carga. Da forma, mo E Nmr 4 / 76

5 T k dθ d θ kθ J d d Ou d θ dθ J k kθ T d d.5a Ea quação difrncial dcrv o ima da Figura.6a. S idnificarmo a guin quivalência: Movimno Tranlacional Movimno oacional Dlocamno linar y Dlocamno angular θ Força u Torqu T Maa m Momno d inércia J Logo, a Equação.5a, qu dcrv um movimno roacional, fica idênica à.4, qu dcrv um movimno linar ou ranlacional. Emplo..: Um ima d upnão d um auomóvl pod r modlado como morado na Figura.7. Figura.7 Sima d Supnão d um Auomóvl E modlo é mai impl do qu o morado na figura., poi l dprza a maa da roda combina a durza do pnu com a mola. O modlo coni d uma mola com conan d mola k, um amorcdor provê uma força d ario vicoo com coficin d ario vicoo k a maa do carro com valor m. Uma força vrical u é aplicada à maa quando a roa aing um buraco. A quação difrncial qu dcrv o ima [igual a.4] é: dy d y d y dy u k k y m ou m k k y u d d d d E Nmr 5 / 76

6 Emplo..: No ima da Figura.6b, ond o io é aumido como ndo rígido, o orqu aplicado prcia vncr omn o orqu rlaivo ao ario vicoo, o ran é uado na aclração da carga. Logo, a quação difrncial qu dcrv ima é: dθ d θ d θ dθ T k J ou J k T d d d d... Circuio LC N udo vamo conidrar circuio conruído com rior, capacior, induor, fon d não d corrn. O rê lmno báico, rior, capacior induor, ão morado na Figura.8. Figura.8 Componn lérico Um rior é gralmn modlado como v i, ond é a riência, v é a não aplicada, i é a corrn qu flui aravé dl. No modlo v i, nada é dio com rlação ao conumo d poência. Na ralidad, v for maior do qu um drminado valor, o rior quima. Por a razão, o modlo é válido omn dnro da limiação d poência pcificada. Um capacior é gralmn modlado como Q Cv, ond C é a capaciância, v é a não aplicada Q é a carga armaznada no capacior. O modlo no lva a concluir qu a não nd para o infinio, a carga armaznada ambém ndrá. Fiicamn io não é poívl. À mdida qu v aumna, a carga armaznada vai aumnando aé aurar parar d aumnar, como morado na Figura.9. Carga Fluo Tnão Corrn Figura.9 Curva do Capacior do Induor E Nmr 6 / 76

7 Conudo, para uma não v limiada por um drminado valor, o modlo Q Cv rprna o capacior fíico aifaoriamn. Um induor é gralmn modlado como φ Li ond L é a induância, φ é o fluo, i é a corrn. Na ralidad, o fluo grado m um induor irá aurar á mdida qu i aumna. Por a razão, a rlação φ Li é novamn aplicada omn dnro d uma faia limiada d i. Agora,, L C variam com o mpo, l dvrão r conidrado como lmno varian no mpo. S, L C ão conan, indpndn do mpo, não l ão lmno invarian no mpo. Uando modlo linar invarian no mpo, podmo prar ua nõ corrn como v i.6a dv i C d.6b di v L d.6c Agora podmo uar.6 para dnvolvr quaçõ difrnciai qu dcrvam rd LC. Conidr o circuio morado na Figura.. Figura. Circuio C A nrada é uma fon d corrn u a aída y é a não no capacior como morado. A corrn do capacior, uando.6b é dy dy i c C d d Ea corrn ambém paa aravé do rior d Ω. Da forma, a não nr A B é dada por: v dy ic. y y d AB A corrn i paando aravé do rior d,5 Ω é Porano, mo qu: vab dy i 4 y,5 d E Nmr 7 / 76

8 dy dy u i ic 4 y d d ou dy 6 y u d.7 Ea quação difrncial d primira ordm dcrv o circuio da Figura.. Emplo..: Enconr quaçõ difrnciai qu dcrvam o circuio da Figura.. O circuio da Figura.b é chamado d circuio pha-lag. Figura. Circuio LC Pha-Lag Solução: Para o circuio da Figura.a, mo qu a corrn qu circula no capacior é dada por: dv dy i c C C d d Como a corrn qu circula no capacior é a mma qu circula no rior, a não no rior é dada por: dy r ir C d A não no induor é dada por: di d dy L l L C l d d d l Tmo qu: d y LC d dy d y u l c u C LC d d r y Porano, a quação difrncial qu dcrv o circuio da Figura.a é: d y dy LC C y u d d E Nmr 8 / 76

9 E Nmr 9 / 76 Para o circuio da Figura.b, mo qu a não m cima d é dada por: y u v A corrn qu circula no rior é dada por: y u i A não no rior é dada por: [ ] y u v y u i v A não no capacior é dada por: [ ] u y v y u y y u y v y v c c A corrn qu circula no capacior é dada por: d du C d dy C d du d dy C i d dv C i c c c Tmo qu: u y d du C d dy C y v v y c Porano, a quação difrncial qu dcrv o circuio da Figura.b é: u d du C y d dy C... Proco Induriai Tanqu Hidráulico Em plana química, frqunmn é ncário manr o nívi d drminado líquido. Um modlo implificado d um ima d ipo é morado na Figura., ond q i, q, q aa d fluo do líquido A, A ára da ção ranvral do anqu h, h nívi do líquido, riência ao fluo, conrolado por válvula

10 Figura. Conrol do Nívl d Líquido É aumido qu q q ão govrnado por: h h q h q.8 Ou ja, ão proporcionai ao nívl rlaivo do líquido invramn proporcional à riência ao fluo. A mudança no nívi do líquido ão govrnada por: A dh qi q d.9a A dh q q d.9b Ea quaçõ ão obida por linarização aproimação. Na ralidad, o fluo d um líquido é muio complo; l pod nvolvr urbulência io não pod r dcrio por quaçõ linar. Para implificar a análi, a urbulência no fluo é dprzada m.9. Sja q i q a nrada a aída para o ima. Vamo dnvolvr uma quação difrncial qu dcrva o ima. A difrnciação d.8 rula m: A A dh I d dh qi q d A qi q dh II d dh q q d A q q D.8, mo qu: dh dq q III d d h dh dq dh h q h q h IV d d d h Subiuindo III m IV, mo: E Nmr / 76

11 dh dq dq V d d d Subiuindo III V m I, mo: dq A d dq dq dq qi q qi q A A VII d d d Subiuindo III m II, mo: dq dq A q q q q A d d VIII Subiuindo VIII m VII, mo: dq d dq dq q i q A A q A A d d d d dq dq A A [ A A ] q q i d d Ea quação difrncial d gunda ordm dcrv a rlação nr a nrada q i a aída q do ima da Figura.. Como concluão da ção, obrvamo qu um grand númro d ima fíico pod r modlado, apó alguma implificaçõ aproimaçõ, como ima linar concnrado invarian no mpo qu opram dnro d uma faia d opração limiada. E ima podm, não, r dcrio por quaçõ difrnciai linar... poa a Enrada-Zro poa ao Eado-Zro A rpoa d ima linar, m paricular d ima linar concnrado invarian no mpo, pod mpr r dcompoa na rpoa a nrada-zro na rpoa ao adozro. Na ção uarmo um mplo impl para ilurar fao para dicuir alguma propridad grai da rpoa à nrada-zro. Conidr a quação difrncial abaio: d y dy du y u. d d d Muio méodo ão diponívi para rolvr a quação. O méodo mai impl é uar a ranformada d Laplac obmo qu: [ Y y ] Y [ U u ] U Y y y&. A quação. é uma quação algébrica pod r manipulada uando- a opraçõ normai d adição, ubração, muliplicação divião. Fazndo a manipulação, obmo: Y y y& y u U O qu implica m: E Nmr / 76

12 y y& u Y U poa EnradaZro poa EadoZro Ea quação rvla qu a olução d. é m par ciada pla nrada u,, m par ciada pla condiçõ iniciai y, y&, u. Ea condiçõ iniciai rão chamada d ado inicial. O ado inicial é ciado pla nrada aplicada an d. D alguma forma, o ado inicial rum o fio da nrada u paada, <, na aída y fuura, para. S difrn nrada paada u, u, u,...,, ciam o mmo ado inicial, não u fio na aída fuura rão idênico. Porano, para a olução y, para, não impora o ado inicial da quação difrncial m. É imporan friar qu o mpo inicial não é um mpo aboluo im o inan m qu comçamo a udar o ima. Conidr novamn.4. A rpoa pod r dcompoa m dua par. A primira par é ciada cluivamn plo ado inicial é chamada d rpoa à nrada-zro. A gunda par é ciada cluivamn pla nrada é chamada d rpoa ao adozro. Na rpoa d ima linar com parâmro concnrado invarian no mpo é convnin udar a rpoa à nrada-zro a rpoa ao ado-zro paradamn. Nó vamo udar primiro a rpoa à nrada-zro dpoi a rpoa ao ado-zro.... poa a Enrada-Zro Polinômio Caracríico Conidr a quação difrncial m.. S u, não,. rduz- a d y dy y d d Ea quação é chamada d quação homogêna. Vamo udar ua rpoa dvido a um ado inicial difrn d zro. Aplicando a ranformada d Laplac obmo: Y y y& O qu implica m [ Y y ] Y y y& y y& Y E qu pod r pandido m k k Y Com k y y& y y& k [ y & ] y y& y E Nmr / 76

13 Da forma, a rpoa à nrada-zro é: y k k Obrv qu o ado da condiçõ iniciai, y y&, não impora poi a rpoa à nrada-zro rá mpr uma combinação linar da dua funçõ. A dua funçõ ão a ranformada d Laplac invra d / /. A dua raíz - -, ou quivalnmn, a dua raíz do dnominador d.5 ão chamada d modo do ima. O modo govrnam a forma da rpoa à nrada-zro do ima. Vamo ndr a dicuão anrior para o cao gral. Conidr a quação difrncial linar concnrada invarian no mpo d -néima ordm a n n y n m m ond n m m a y L a y a y b u b u L bu bu.8 y i i d y :, i d u i i d u : i d y & : y, & y : y. Vamo dfinir D p : a a n n n p an p L a p.9a N p : b b n m m p bm p L b p.9b ond a variávl p é o difrnciador d/d dfinido por dy d y d y py : p y : p y :. d d d aim por dian. Uando a noação,.8 pod r cria como D p y : N p u. No udo da rpoa à nrada-zro, nó aumimo u. Logo, a quação. rduz a: D p y. Ea é uma quação homogêna. Sua olução é ciada cluivamn pla condiçõ iniciai. Aplicando a ranformada d Laplac à quação. rula m I Y D ond D é dfinida m.9a com p ubiuído por I é um polinômio d qu é dpndn da condiçõ iniciai. Nó chamamo D d polinômio caracríico d. E Nmr / 76

14 poi l govrna a rpoa livr, ou não-forçada, ou naural do ima. A raíz do polinômio D ão chamada d modo. Por mplo, ivrmo o guin polinômio caracríico D j j o modo rão, -, -, -j --j. A raiz a raíz compla -±j ão modo impl a raiz - é um modo rpido com muliplicidad. Porano, para quaiqur condiçõ iniciai, Y pod r pandido como k k Y k j c c j ua rpoa à nrada-zro é y j j k k k c c a é a forma gral da rpoa à nrada-zro é drminada plo modo do ima. Emplo..: Ach a rpoa à nrada-zro d. quando: i y y&, ii y y&. Solução: Tmo qu a olução d. é dada por y k y y& k [ y y& ] k k ond Subiuindo o valor da condiçõ iniciai para o doi cao, mo: i k y y& k k [ y y ] k k k & Logo, a rpoa à nrada-zro para o primiro cao é: y E Nmr 4 / 76 Figura poa à Enrada-Zro d. cao no MahCad

15 ii k y y& k k [ y y ] k k k & Logo, a rpoa à nrada-zro para o gundo cao é: y Figura poa à Enrada-Zro d. cao no MahCad Pod- uar o MahCad para rolvr a quação difrncial.. Abaio é aprnada uma olução implmnada no MahCad para a rpoa d., para o cao : E Nmr 5 / 76

16 Figura Uando Odolv do MahCad para a olução d. cao Abaio é aprnada uma olução implmnada no MahCad para a rpoa d., para o cao : Figura Uando Odolv do MahCad para a olução d. cao Pod- uar ambém o Malab para rolvr a quação difrncial.. Abaio é aprnada uma olução implmnada no Malab para a rpoa d., para o cao. Em um arquivo do ipo *.m é dfinida a quação difrncial como um conjuno d quaçõ d ª ordm. % Função qu dfin a quação difrncial d a ordm a r rolvida % frência: Emplo.. da Apoila d Mamáica - Conrol % Auor: Edon Nmr Daa: /4/7 funcion dqdif, dzro,; %um vor coluna d; d-*-*; Em um gundo arquivo do ipo *.m é implmnada o código para rolução da quação difrncial qu foi dfinida no arquivo anrior. N arquivo, um do parâmro é o vor com a condiçõ iniciai para a quação implmnada. N cao, como amo imulando o E Nmr 6 / 76

17 cao d., o vor condiniciai é carrgado com [,-], como pod r vrificado na liagm a guir. % Função qu rolv a quação difrncial d a ordm % frência: Emplo.. da Apoila d Mamáica - Conrol % Auor: Edon Nmr Daa: /4/7 clar; clc; inrvalosimul[,]; condiniciai[,-]; ubplo,plo,y:,; il'emplo.. - poa do Sima. - Cao '; labl''; ylabl' y'; grid; ubplo,plo,y:,; labl''; ylabl' dy'; grid; O gráfico para a imulação implmnada no arquivo anrior é aprnado abaio: Emplo.. - poa do Sima. - Cao y dy Figura Solução do Malab para. Cao Para a imulação do cao d., o vor condiniciai é carrgado com [,], como pod r vrificado no rcho da liagm a guir. inrvalosimul[,]; condiniciai[,]; ubplo,plo,y:,; E Nmr 7 / 76

18 O gráfico para a imulação implmnada com a nova condição inicial é aprnado abaio: y.5 Emplo.. - poa do Sima. - Cao.5 dy Figura Solução do Malab para. Cao.4. poa ao Eado-Zro Função d Tranfrência Conidr a quação difrncial m.. d y dy du y u.4 d d d A rpoa d.4 é parcialmn ciada pla condiçõ iniciai parcialmn ciada pla nrada u. S oda a condiçõ iniciai ão iguai a zro, rpoa é ciada cluivamn pla nrada é chamada d rpoa ao ado-zro. Vimo m.4 qu, aplicando a ranformada d Laplac, obmo: y y& u Y U poa EnradaZro poa EadoZro Porano, fazndo oda a condiçõ iniciai iguai a zro, a rpoa ao ado-zro é govrnada por: Y U : G U.5 ond a função racional G-/ é chamada d função d ranfrência. Ela é a rlação nr a ranformada d Laplac da aída da nrada, quando oda a condiçõ iniciai ão iguai a zro, ou ja, E Nmr 8 / 76

19 E Nmr 9 / 76 CondIniciai i CondInicia Enrada Saída U Y G L L A função d ranfrência dcrv omn a rpoa ao ado-zro d ima linar, invarian no mpo com parâmro concnrado. Emplo.4.: Conidr o ima mcânico da Figura.5a. Como vio m.4, l é dcrio por: u y k d dy k d y d m Aplicando a ranformada d Laplac, aumindo qu a condiçõ iniciai ão iguai a zro, mo: U Y k k m U Y k Y k Y m Porano, a função d ranfrência nr a nrada u a aída y do ima mcânico é: k k m U Y G E mplo mora qu a função d ranfrência d um ima pod r pronamn obida a parir da ua dcrição na forma d quação difrncial. Por mplo, um ima é dcrio pla quação difrncial u p N y p D ond Dp Np ão dfinido como m.9, não a função d ranfrência do ima é D N G Ercício.4.: Enconr a funçõ d ranfrência d u para y do circuio morado na Figura... Solução: A quação difrncial qu dcrv o circuio da Figura. é 6 u y d dy Aplicando a ranformada d Laplac, obmo: 6 6 U Y U Y Y Porano, a função d ranfrência nr a nrada u a aída y é: 6 U Y G

20 Para o circuio da Figura.a, mo a guin quação difrncial: d y dy LC C y u d d Aplicando a ranformada d Laplac, obmo qu: LC Y CY Y U LC C Y U Porano, a função d ranfrência nr a nrada u a aída y é: Y G U LC C Para o circuio da Figura.b, mo a guin quação difrncial: dy du C d d y C u Aplicando a ranformada d Laplac, obmo qu: Y Y C U U C Y C U C Porano, a função d ranfrência nr a nrada u a aída y é: Y G U C C Ercício.4.: Calcul a função d ranfrência nr u i do circuio morado na Figura.a. Su circuio quivaln uando impdância é morado na Figura.b. A impdância da conão m parallo d / é dada por: 6 4 Figura. Circuio qu é morada na Figura.c. Porano, a corrn I morada na Figura. é dada por: E Nmr / 76

21 E Nmr / U U I Logo, a função d ranfrência nr u i é dada por: U I G Ercício.4.: Enconr a funçõ d ranfrência d u para y do circuio morado na Figura.. uando o concio d impdância. Solução: O circuio com a impdância fica da guin forma: Calculando a impdância da conão éri nr o rior o capacior, obmo: ond Z é. Calculando a impdância quivaln da conão m parallo d Z do rior, mo: ond Z é 6. Logo, a não v ab é dada por: 6 U v ab Porano, volando ao circuio original, a não m cima do capacior rá dduzida a parir da fórmula do divior d não. Logo, mo qu: /,5,5 Z,5 Z

22 Y G U Funçõ d Tranfrência Própria Conidr a função racional G N D ond N D ão doi polinômio com coficin rai. S grau N > grau D não G é chamada d uma função racional imprópria. Por mplo, a funçõ racionai abaio ão oda imprópria S grau N grau D não G é chamada d uma função racional própria. A função é dia r riamn própria grau N< grau D; la é biprópria N grau D. Da forma, a funçõ racionai própria inclum ano a funçõ riamn própria como a funçõ biprópria. S G é biprópria, não G - D/N ambém o é. Ea caracríica d r própria ou não d uma função racional G ambém pod r drminada a parir do valor d G quando. É óbvio qu G é imprópria G ±, própria G é finio difrn d zro ou zro conan, biprópria G é finio não zro, riamn própria G. A funçõ d ranfrência qu nconrarmo n o ão, na maioria do cao, funçõ racionai própria. São dua a razõ para io. Em primiro lugar, funçõ d ranfrência imprópria ão difíci, não impoívi, d conruir na práica. Em gundo lugar, a funçõ d ranfrência imprópria irão amplificar o ruído d ala frqüência, como rá vio a guir. Sabmo qu o inai ão uado na ranmião d informação. Conudo, l ão frqunmn corrompido por ruído duran o procamno, ranmião ou ranformação. Por mplo, uma poição angular pod r ranformada m não lérica por mio d um ponciômro d fio como morado na Figura.4. Figura.4 Ponciômro ua caracríica E Nmr / 76

23 O ponciômro coni d um númro finio d pira d fio o qu faz com qu o pono d conao rabalh movndo- d uma pira para a oura. Dvido ao uo d cova, irrgularidad no fio, variaçõ na riência d conao oura imprfiçõ, nõ púria indjada rão grada. Por moivo, a não d aída v do ponciômro não rá aamn proporcional ao dlocamno angular θ, ma, m vz dio, rá da forma v kθ n.7 ond k é conan n é ruído. Por a razão, m gral, odo inal m a forma v i n.8 ond i dnoa informação n dnoa ruído. É lógico qu para qu poamo fazr uo d v, é ncário qu v i para qualqur ima a r projado, é rqurido qu poa do ima dvido a v poa do ima dvido a i.9 S a rpoa d um ima ciado por v é draicamn difrn daqula ciada por i, o ima gralmn não m uilidad práica. No próimo udo vamo vr qu a função d ranfrência d um ima é imprópria o ruído é d ala frqüência, não o ima não m uilidad práica. Em vz d ficarmo dicuindo o cao gral, vamo udar um ima com função d ranfrência um ima com função d ranfrência /. Um ima com função d ranfrência é chamado d difrnciador porqu l cua uma difrnciação no domínio do mpo. Um ima com função d ranfrência / é chamado d ingrador porqu l cua ingração no domínio do mpo. O primiro m uma função d ranfrência imprópria, já o gundo m uma função d ranfrência riamn própria. Vrmo agora qu o difrnciador irá amplificar o ruído d ala frqüência; nquano o ingrador irá uprimir o ruído d ala frqüência. Para noa convniência, vamo aumir i in n. in v i n in. in. como morado na Figura.5a. A ampliud do ruído é muio pquna, porano, mo qu v i. S aplicarmo o inal. a um difrnciador, a aída rá dv co, co co co d Pod- obrvar qu a ampliud do ruído é cinco vz maior do qu a ampliud da informação, porano, não rmo dv/d di/d como morado na Figura.5b. E Nmr / 76

24 .5.5 in. in in.. in a 5 5 co co co b Figura.5 uído d Ala Frqüência m um Difrnciador no MahCad Conqunmn, um difrnciador, d uma forma gral, ima com funçõ imprópria, não podm r uado um inal coném ruído d ala frqüência. O gráfico podm r obido ambém a parir d uma implmnação no Malab. O código fon é o guin: E Nmr 4 / 76

25 % uído m Ala Frquência % Função qu calcula a aída do inal v n. n apó % l nrar m um difrnciador % Auor: Edon Nmr Daa: 6/4/7 clar; clc; :.:5; i in*; n.*in*; vin; diff_idiffi; diff_ndiffn; diff_vdiffv; diff_diff; didiff_i./diff; dndiff_n./diff; dvdiff_v./diff; % Cálculo da função > no % Cálculo da função >. n % Cálculo do inal vin % Cálculo da difrnça d i % Cálculo da difrnça d n % Cálculo da difrnça d v % Cálculo da difrnça d % Cálculo d di/d % Cálculo d dn/d % Cálculo d dv/d % O aju abaio aconcm porqu o vor d difrnça rão um % lmno a mno do qu o vor originai ubplo,plo:lnghi,i; ai[ 5-5 5] il'sinal d Informação'; labl''; ylabl'i'; grid; ubplo,plo:lnghv,v; ai[ 5-5 5] il'sinal d Informação uído'; labl''; ylabl'v'; grid; ubplo,plo:lnghdi,di; ai[ 5-5 5] il'drivada do Sinal d Informação'; labl''; ylabl'di/d'; grid; ubplo4,plo:lnghdv,dv; ai[ 5-5 5] il'drivada do Sinal d Informação uído'; labl''; ylabl'dv/d'; grid; g'página - CT Chn'' O gráfico para a imulação do código anrior ficam da guin forma: E Nmr 5 / 76

26 5 Sinal d Informação 5 Sinal d Informação uído 5 5 i v Drivada do Sinal d Informação 5 Drivada do Sinal d Informação uído 5 5 di/d dv/d Figura.5a uído d Ala Frqüência m um Difrnciador no Malab S aplicarmo. a um ingrador, a aída rá v o τ dτ co, co Obrv qu a aída dvido ao rmo do ruído rá praicamn zro rmo v τ dτ i τ dτ o o Conqunmn podmo concluir qu um ingrador, d forma mai gral, ima com funçõ d ranfrência riamn própria, irão uprimir o ruído d ala frqüência. Na práica, frqunmn nconramo ruído d ala frqüência. Como dicuido anriormn, ponciômro d fio irão grar ruído indjado d ala frqüência. uído érmico ruído quânico ou ruído d diparo, qu ambém ão ruído d ala frqüência quando comparado a inai d conrol, ão mpr prn m ima lérico. O nívl mdido d um líquido m um anqu ambém coniirá d ruído d ala frqüência dvido a urbulência do fluo do guicho. Para viar a amplificação do ruído d ala frqüência, a maioria do ima dipoiivo uiliza, na práica, d funçõ d ranfrência própria. E Nmr 6 / 76

27 .5.5 in. in in.. in a.4. co co. co b Figura.5-b uído d Ala Frqüência m um Ingrador no MahCad O gráfico ambém pod r obido a parir d uma implmnação no Malab. O código fon é o guin: % pag_ctchn.m - uído m Ala Frquência % Função qu calcula a aída do inal v n. n apó % l nrar m um ingrador % Auor: Edon Nmr Daa: 7/4/7 clar; clc; linpac,5,; % Gra vor mpo com pono nr 5 i in*'; % Cálculo da função > no n.*in*'; % Cálculo da função >. no vni; E Nmr 7 / 76

28 in_icumrapz,i; in_vcumrapz,v; ubplo,plo,i; ai[ 5 - ] il'sinal d Informação'; labl''; ylabl'i'; grid; ubplo,plo,v; ai[ 5 - ] il'sinal d Informação uído'; labl''; ylabl'v'; grid; ubplo,plo,in_i; ai[ 5 - ] il'ingral do Sinal d Informação'; labl''; ylabl'in[id]'; grid; ubplo4,plo,in_v; ai[ 5 - ] il'ingral d Informação uído'; labl''; ylabl'in[v d]'; grid; g'página - CT Chn'' O gráfico para a imulação do código anrior ficam da guin forma: Sinal d Informação Sinal d Informação uído i.5 v Ingral do Sinal d Informação Ingral d Informação uído in[id].5 in[v d] Figura.5c uído d Ala Frqüência m um Ingrador no Malab E Nmr 8 / 76

29 O gráfico ambém pod r obido a parir d uma implmnação no Simulink. O arquivo ficaria da guin forma: Figura.5d Diagrama d Bloco no Simulink E Nmr 9 / 76

30 Ampliud no & ingral do no.5 Ingral d no no Figura.5 uído d Ala Frqüência m um Ingrador no Simulink Ercício.4.5: Conidr o inal v i n co. co. No qu a frqüência do ruído n é muio mnor do qu a frqüência da informação i. N cao, podmo dizr qu v i? E qu dv/d di/d? Pod- dizr ambém qu um amplificador difrnciador amplifica qualqur ipo d ruído? Solução: Como a ampliud do ruído é muio mnor do qu a ampliud do inal, podmo dizr qu v i. conform vio na Figura.5f..5 co.5. in. co.. in Figura.5f Sinal uído d Baia Frqüência no MahCad Com rlação a oura prguna, prciamo calcular dv/d di/d. Logo, mo qu: E Nmr / 76

31 dv di n, n, n d d Como o rmo d dv/d corrpondn ao ruído é muio mnor qu o rmo corrpondn à informação, podmo dizr qu dv/d di/d. Obrv a Figura.5g ond ão aprnado o inal puro o inal com ruído d baia frqüência apó paarm por um difrnciador. in in. in Figura.5g uído d Baia Frqüência m um Difrnciador no MahCad O gráfico podm r obido ambém a parir d uma implmnação no Malab. O código fon é o guin: % Erci CTChn.m - uído m Ala Frquência % Função qu calcula a aída do inal v co. co. apó % l nrar m um difrnciador % Auor: Edon Nmr Daa: /4/7 clar; clc; :.:5; i co*; % Cálculo da função > co n.*co.*; % Cálculo da função >. co. vin; % Cálculo do inal vin diff_idiffi; diff_ndiffn; diff_vdiffv; diff_diff; didiff_i./diff; dndiff_n./diff; dvdiff_v./diff; % Cálculo da difrnça d i % Cálculo da difrnça d n % Cálculo da difrnça d v % Cálculo da difrnça d % Cálculo d di/d % Cálculo d dn/d % Cálculo d dv/d % O aju abaio aconcm porqu o vor d difrnça rão um E Nmr / 76

32 % lmno a mno do qu o vor originai ubplo,plo:lnghi,i; ai[ 5 - ] il'sinal d Informação'; labl''; ylabl'i'; grid; ubplo,plo:lnghv,v; ai[ 5 - ] il'sinal d Informação uído'; labl''; ylabl'v'; grid; ubplo,plo:lnghdi,di; ai[ 5 - ] il'drivada do Sinal d Informação'; labl''; ylabl'di/d'; grid; ubplo4,plo:lnghdv,dv; ai[ 5 - ] il'drivada do Sinal d Informação uído'; labl''; ylabl'dv/d'; grid; g'ercício CT Chn'' O gráfico para a imulação do código anrior ficam da guin forma: i.5 Sinal d Informação Ercício CT Chn v.5 Sinal d Informação uído Drivada do Sinal d Informação Drivada do Sinal d Informação uído di/d.5 dv/d Figura.5h uído d Baia Frqüência m um Difrnciador no Malab E Nmr / 76

33 Com ba no rulado obido, obrv qu, como a frqüência é muio baia, o ruído não é amplificado. Logo, concluímo qu o difrnciador não amplifica qualqur ipo d ruído, ó o d frqüência ala..4.. Pólo Zro A rpoa ao ado zro d um ima é govrnado pla ua função d ranfrência. An d calcular a rpoa, vamo inroduzir o concio d pólo zro. Conidr uma função d ranfrência racional própria G N D ond N D ão polinômio com coficin rai grau N grau D. Dfinição: Um númro ral ou complo finio λ é um pólo d G dnoa o valor aboluo. El é um zro d G G λ. G λ, ond. Conidr a função d ranfrência N G. D Nó mo N G D [ ][ ][ ] Por a razão, - é um pólo d G por dfinição. Obviamn, - é uma raiz d D. Io implica qu oda raiz d D é um pólo d G? Para rpondr io, vamo ubiuir m, qu ambém é uma raiz d D. Calculando, obmo qu: N G D [ ][ ][ ] 6 Io não á dfinido. Conudo, uando l Hopial, mo qu: G N D ' N 6 6 ' 4 D Da forma, não é um pólo d G. Porano, nm oda raiz d D é um pólo d G. Vamo, agora, faorar N m. não canclar o faor comun nr N D: N G. D E obrvamo qu não é um pólo d G. Vê- d forma clara qu G m um zro qu é - rê pólo, -, - -. O pólo - é chamado d pólo impl o pólo - é chamado um pólo rpido com muliplicidad. E Nmr / 76

34 D mplo vmo qu, um polinômio N D não poum faor comun, não oda a raíz d N oda a raíz d D ão, rpcivamn, o zro o pólo d GN/D. S N D não poum faor comun, l ão dio rm coprimo G N/D é dia r irrduívl. A mno qu dfinido d oura forma, oda função d ranfrência rá aumida como irrduívl. Vamo agora calcular a rpoa ao adozro. A rpoa ao ado-zro d um ima é govrnada por YG/U. Para calcular Y, nó primiro prciamo calcular a ranforma d Laplac d u. O pao guin é muliplicar G U para obr Y. A ranformada invra d Laplac d Y forncrá a rpoa ao ado-zro. Io é ilurado por um mplo. Emplo.4.: Enconr a rpoa ao ado-zro d.5 dvido a uma nrada u, para. Io é chamado d rpoa ao dgrau-uniário d.5. A ranforma d Laplac d u é /. Logo, mo qu: Y G U. Para calcular ua ranforma invra d Laplac, cuamo uma panão m fraçõ parciai da guin forma: k k k Y ond: 4 k Y 4 7 k Y.5 k Y.5 Aplicando a ranformada invra d Laplac, mo qu a rpoa ao ado-zro para é impl dira. y Dvido ao polo d G {.5 Dvido ao polo d U.4 O gráfico para y m.4 é aprnado na Figura.5i. E Nmr 4 / 76

35 Figura.5i poa ao Dgrau no MahCad O guin código pod r uado numa implmnação para o Malab: % poa ao Dgrau Uniário % frência: Emplo.4. da Apoila d Mamáica - Conrol % Auor: Edon Nmr Daa: 8/4/7 clar; clc; % Dfinição da função d ranfrência do ima N[ -]; D[ ]; HfN,D; ph; grid; O gráfico para a imulação no Malab é morado na Figura.5j..8 Sp pon.6.4 Ampliud Tim c Figura.5j poa ao Dgrau no Malab E mplo rvla um fao imporan da rpoa ao ado-zro. Podmo vr d.4 qu a rpoa coni d rê rmo. Doi rmo ão coniuído pla ranformada d E Nmr 5 / 76

36 Laplac d / /, qu ão o pólo do ima. O rmo rmancn diz rpio ao dgrau d nrada. Na ralidad, para qualqur u, a rpoa d. é gralmn da forma y k k rmo dvido ao polo d U.5 Porano, o pólo d G drminam a forma báica da rpoa ao ado-zro. Ercício.4.6: Enconr a rpoa ao ado-zro d / dvido à nrada -,. A ranforma d Laplac d - é /. Logo, mo qu: Y G U Para calcular ua ranforma invra d Laplac, cuamo uma panão m fraçõ parciai da guin forma: k k Y ond: k Y k Y Aplicando a ranformada invra d Laplac, mo qu a rpoa ao ado-zro para é y { { Dvido ao polo d G Dvido ao polo d U O gráfico para y imulado no MahCad é aprnado na Figura.5l. Figura.5l poa d / a - no MahCad E Nmr 6 / 76

37 O guin código pod r uado para imulação do rcício no Malab: % poa a uma nrada up- % frência: Ercício.4.6 da Apoila d Mamáica - Conrol % Auor: Edon Nmr Daa: 9/4/7 clar; clc; % Dfinição da função d ranfrência do ima N[]; D[ ]; HfN,D; :.:; up-*; limh,u,; grid; O gráfico para y imulado no Malab é aprnado na Figura.5m. Linar Simulaion ul Ampliud Tim c Figura.5m poa d / a - no Malab Um diagrama para implmnação no Simulink é o guin: Figura.5n Diagrama d Bloco no Simulink E Nmr 7 / 76

38 O código do Malab para conruir o gráfico da imulação anrior é o guin: % poa a uma nrada up-implmnada no Simulink % frência: Ercício.4.6 da Apoila d Mamáica - Conrol % Auor: Edon Nmr Daa: 9/4/7 clar; clc; % Carrga o valor da nrada load'u.ma'; % Carrga o valor da aída load'y.ma'; ubplo,plou,:,u,:; ai[ ] il'u p-*'; labl''; ylabl'u'; grid; ubplo,plou,:,y,:; ai[ ] il'y'; labl''; ylabl'y'; grid; O gráfico fica da guin forma: u p-* u y y Figura.5o poa d / a - no Simulink S k m.5 é zro, o polo corrpondn - não é ciado. Uma obrvação imilar aplica- a k. Como ano k k m.4 ão difrn d zro, ambo o pólo d G m. ão ciado pla nrada do dgrau. Para oura nrada, pod r qu o doi pólo nm mpr jam ciado. Io pod r ilurado por um ouro mplo. Emplo.4.4: Conidr o ima m.. Enconr uma nrada u limiada qu faça com qu o pólo - não ja ciado. S U, não E Nmr 8 / 76

39 E Nmr 9 / U G Y Aplicando a ranformada invra d Laplac, mo qu: y 7 δ Ea rpoa não coném o rmo -, o qu ignifica qu o pólo - não é ciado. Ou ja, inroduzirmo um zro m U para canclar um pólo, não pólo não rá ciado pla nrada u. S U é imprópria ou biprópria, como é o cao para U, não ua ranformada invra d Laplac u irá conr um impulo ua drivada, porano, não rá limiada. D modo a rmo u limiada, dvmo colhr, m vz d arbirariamn, U/, ou ja, uma função racional riamn própria. E ua ranformada invra d Laplac rá k k U ond: U k U k Logo, mo qu: u qu val para é limiada. A aplicação da nrada a. rula m U G Y Epandindo m fraçõ parciai, mo: k k k Y ond: 7 Y k Y k

40 k Y E mo qu: y Dvido ao polo nrada Dvido a u 6 qu val para. O gundo o rciro rmo ão dvido a nrada u o primiro rmo é dvido ao pólo -. Obrv qu o rmo - não aparc m y, ou ja, o pólo - não é ciado pla nrada. D forma imilar, podmo morar qu a nrada / ou / não ciará o pólo - a nrada / não ciará nnhum do pólo. D mplo podmo concluir qu o pólo r ciado ou não dpndrá u ou U m um zro para canclá-lo ou não. A ranformada d Laplac da função dgrau uniário do n w ão w w obrv qu l não êm zro. Por a razão, qualqur uma da nrada irá ciar odo o pólo d odo ima linar concnrado invarian no mpo. A dicuão prcdn pod r ndida para o cao gral. Conidr, por mplo: Y G U : j U j A função d ranfrência G m pólo m,,,,, - ± j. O pólo complo - ± j ão pólo impl, o pólo ão pólo rpido com muliplicidad. S G U não êm pólo m comum, não a rpoa ao ado-zro do ima dvido a U é da forma j j y k k k k4 k5 k6 k7 rmo do polo d U.6 Logo, o pólo d G drminam a forma báica da rpoa. E o zro d G, l êm alguma influência na rpoa ao ado-zro? Cramn qu im. El afam o valor d k i. E difrn valor d k i rulam m difrnça dráica na rpoa, como ilurado plo guin mplo. Emplo.4.5: Conidr a guin funçõ d ranfrência: G j j G. j j G. j j.. G4 j j E Nmr 4 / 76

41 A função d ranfrência G não m zro, G G êm um zro, G4 m um par d zro complo conjugado m -.5 ±.444j. Todo l êm o mmo conjuno d pólo, ua rpoa ao dgrau uniário ão odo da forma y j j k k k k4 com k igual ao complo conjugado d k. O arquivo do Malab para imulação da rpoa é o guin: % poa a uma nrada ao dgrau implmnada no Simulink para vária % funçõ d ranfrência com mmo dnominador ma numrador % difrn. % frência: Emplo.4.5 da Apoila d Mamáica - Conrol % Auor: Edon Nmr Daa: 8/5/7 clar; clc; % Carrga o valor da nrada load'u.ma'; % Carrga o valor da 4 aída load'y.ma'; load'y.ma'; load'y.ma'; load'y4.ma'; plou,:,y,:,u,:,y,:,u,:,y,:,u,:,y4,:; ai[ -.5] il'y'; labl''; ylabl'y'; grid; Sua rpoa ão dada na Figura.6..5 y.5 y Figura.6 poa ao Dgrau Uniário d G i E Nmr 4 / 76

42 Como concluão, mbora o pólo d G drminm a forma báica da rpoa, a rpoa aa ão drminada plo pólo, zro, pla nrada. Por a razão, o zro d uma função d ranfrência não podm r complamn ignorado na análi no projo d ima d conrol..5. prnação m Bloco Caracrização Compla Na análi no projo d ima d conrol, odo dipoiivo é rprnado por um bloco como morado na Figura.4 ou.7a. u G a y u y u G y G b u G G y c Figura.7 a Um ima. b Conão Tandm. c dução d b. O bloco é não rprnado por ua função d ranfrência G. S a nrada é u a aída é y, não l ão rlacionado por Y G U.7 ond Y U ão rpcivamn a ranformada d Laplac d y u. No qu miuramo a rprnação no domínio do mpo u y com a rprnação na ranformada d Laplac G na Figura.7a. É imporan noar qu é incorro crvr y G u. A prão corra é YG U. A quação.7 é uma quação algébrica. O produo da ranformada d Laplac da nrada pla função d ranfrência rula na ranformada d Laplac da aída. A conão Tandm da Figura.7b mora a vanagm d uar a rprnação algébrica. Suponha qu o doi ima jam rprnado, rpcivamn, por Y G U Y G U Na conão Tandm, mo qu u y ou U G U Y G U G G U.8 Porano, a conão Tandm implifica a álgbra d funçõ d ranfrência implifica normmn a análi projo d ima d conrol. E Nmr 4 / 76

43 A função d ranfrência dcrv omn a rpoa ao ado-zro d um ima. Logo, quando uamo a função d ranfrência na análi projo, a rpoa a nrada-zro rpoa dvida a condiçõ iniciai difrn d zro é complamn dprzada. Conudo, nó podmo ralmn dprzar a rpoa a nrada-zro? A quão é udada a guir. Conidr um ima linar invarian no mpo dcrio pla guin quação difrncial : D p y N p u.9 ond D p : a a n n n m n p an p L a p N p : bm p bm p b p b L a variávl p é o difrnciador dfinido m.9.. Enão, a rpoa a nrada-zro do ima é dcria por D p y.4 a rpoa é drminada pla raíz d D, chamada d modo do ima. A rpoa ao ado-zro do ima é dcrio pla função d ranfrência N G : D a forma báica d ua rpoa é govrnada plo pólo d G. O pólo d G ão dfinido como a raíz d D apó o canclamno do faor comun d N D. Da forma, D N não êm faor comun, não O conjuno d pólo o conjuno d modo.4 N cao, o ima é dio como ndo complamn caracrizado pla ua função d ranfrência. S D N êm faor comun, digamo, não a raíz d ão nó do ima ma não pólo d G. N cao, a raíz d ão chamado d pólo falan da função d ranfrência, o ima é dio não r complamn caracrizado pla ua função d ranfrência. Emplo.5.: Conidr o ima morado na Figura.8 ond a nrada é uma fon d corrn a aída y é a não no rior d Ω. O ima pod r dcrio pla guin quação difrncial linar invarian no mpo dy du.75y.75u.4a d d E Nmr 4 / 76

44 Figura.8 Circuio A quação ambém pod r cria uando o oprador pd/d, como morado abaio: p.75 y p.75 u.4b O modo do ima é a raiz d -.75 ou.75. Porano, a rpoa à nrada zro é da forma y.75 k.4 ond k dpnd da não inicial do capacior na Figura.8. Obrv qu, a não inicial é difrn d zro, a rpoa do circuio irá para infinio à mdida qu. Vamo udar agora ua rpoa ao ado zro. A função d ranfrência do ima é.75 G Dvido ao faor comum, a função d ranfrência rduz- a. Da forma, o ima não m pólo a rpoa ao ado-zro é yu, para odo. N cao, o ima não é complamn caracrizado por ua função d ranfrência vio qu o modo.75 não aparc como um pólo d G. Em oura palavra, a função d ranfrência m um pólo falan.75. S uámo a função d ranfrência para udar o ima da Figura.8, concluiríamo qu o ima é aciávl. Na ralidad, o ima não é aciávl poi, cao, por alguma razão, a não no capacior ja difrn d zro, a rpoa irá crcr m limi o ima nrará na auração ou quimará. Logo, ima não m uilidad práica. Ob: A iência d um pólo falan na Figura.8 é facilmn plicávl pla própria ruura do circuio. Dvido à imria do quaro rior, a não inicial do capacior é zro, ua não prmancrá m zro não imporando qu corrn ja aplicada. Por a razão, a rmoção do capacior não afará a rpoa ao ado-zro do ima. Logo, o ima m um componn upérfluo ipo d ima não ão conruído na práica, co por rro. Emplo.5.: Conidr o ima dcrio por p p y p u.45 A rpoa à nrada-zro do ima é govrnada por p p y E Nmr 44 / 76

45 Su modo ão a raíz d -- ou -. Da forma, a rpoa à nrada-zro dvido a quaiqur condiçõ iniciai é da forma y k k zi ond o ubcrio zi dnoa a nrada-zro. A rpoa do modo nd a infinio a rpoa do modo - nd a zro quando. A função d ranfrência do ima é G.46 Da forma, a rpoa ao ado-zro do ima dvido a u rá, gralmn, da forma y k k Trmo dvido ao pólo d U E podmo vr qu o doi modo aparcm como pólo d G. Logo, o ima não m pólo falan é complamn caracrizado pla ua função d ranfrência. N cao, a rpoa à nrada-zro dvido a quaiqur condiçõ iniciai aparcrá na rpoa ao ado-zro, aim, nnhuma informação ncial rá prdida no uo da função d ranfrência para udar o ima. Como concluão, um ima é complamn caracrizado por ua função d ranfrência, não a rpoa á nrada-zro aparcrá ncialmn como par da rpoa ao ado-zro. Por a razão, é prmiido uar a função d ranfrência na análi no projo m conidrar a rpoa dvido a condiçõ iniciai difrn d zro. S um ima não for complamn caracrizado por ua função d ranfrência, um cuidado maior dv r omado na uilização da função d ranfrência para udar o ima..5.. O Problma d Carrgamno A maioria do problma d conrol é conruída pla inrconão d um númro d ubima como morado na Figura.b,.6b.7b. Na análi projo, odo ubima rá rprnado por um bloco cada bloco rá rprnado por uma função d ranfrência. Logo, a maioria do ima d conrol coniirá d vário bloco inrconcado un no ouro. Na conão d doi ou mai bloco, pod ocorrr um problma d carrgamno. Como mplo, conidr uma fon d não d vol modlada como morado na Figura.9a. Figura.9 Problma d Carrgamno E Nmr 45 / 76

46 A fon m uma riência inrna d Ω; ua não d aída é vol quando não m nada concado a u rminai. Conidr agora um dipoiivo qu poa r modlado como um rior d Ω. Quando concamo o dipoiivo a fon d não, a não d aída da fon não é mai vol, im./ 5 vol. S concarmo um dipoiivo d Ω à fon d não, a aída rá d./ 6.7 vol. Nó vmo qu a nõ forncida pla mma fon d não rão difrn quando a for concada a dipoiivo difrn. Em oura palavra, para difrn carga, a nõ forncida pla mma fon d não rão difrn. N cao, dizmo qu a conão m um problma d carrgamno. Por ouro lado, a fon d não é projada d modo qu ua riência inrna ja dprzívl ou zro, como morado na Figura.9b, não, não impora qu dipoiivo ja concado a la, a não forncida para o dipoiivo rá mpr d vol. N cao, dizmo qu a conão não m problma d carrgamno. Em rumo, ua função d ranfrência muda apó um ima r concado a um ouro ima, a conão é dia como ndo um problma d carrgamno. Por mplo, a função d ranfrência d u para y na Figura.9a é an do ima r concado a qualqur dipoiivo. Ela orna- 5/.5 quando o ima é concado a um rior d Ω. Logo, obrvamo qu a conão m um fio d carrgamno. S a conão andm d doi ima m um fio d carrgamno, não a função d ranfrência da conão andm não iguala o produo da funçõ d ranfrência do doi ubima como dnvolvido m.8. Io é ilurado por um mplo. Emplo.5.: Conidr o circuio morado na Figura.a. Figura. Conão Tandm d doi Circuio A função d ranfrência d u para y do circuio M é G /. A função d ranfrência d u para y do circuio M é G /. Vamo agora concá-lo ou ja, fazr y u, como morado na Figura.b calcular a função d ranfrência d u para y. A impdância da conão paralla da impdância é / /4. Da forma, a corrn I morada na Figura.b iguala a U I.47 4 E Nmr 46 / 76

47 E Nmr 47 / 76 a corrn I iguala a. 4. U I I.48 Da forma, a não y é dada por. 6. U I Y.49 a função d ranfrência d u para y da conão andm é 6 U Y.5 Ea função é difrn da obida plo produo d G G, ou ja 5. G G.5 Porano, n cao, a Equação.8 não pod r uada para a conão. O carrgamno do doi circuio da Figura. pod r facilmn plicado. A corrn I na Figura.a é zro an da conão; la orna- difrn d zro apó a conão. Logo, o carrgamno ocorr. Em circuio lérico, o carrgamno pod r liminado pla inrção d um amplificador iolador, como morado na Figura.c. A impdância d nrada Z in d um amplificador iolador idal é infinio a impdância d aída Z ou é zro. Com a caracríica, obrv qu a corrn I na Figura.c prmanc m zro a função d ranfrência da conão é G kg com k. O problma d carrgamno prcia r conidrado no dnvolvimno d um diagrama d bloco para um ima d conrol..6. Equaçõ m Variávi d Eado A função d ranfrência dcrv omn o rlacionamno nr a nrada a aída d ima linar invarian no mpo é, por a razão, chamada d dcrição nradaaída ou dcrição rna. Na ção vamo dnvolvr uma dcrição difrn, chamada d dcrição m variávi d ado ou dcrição inrna. Eriamn falando, a dcrição é a mma da quaçõ difrnciai dicuida na Sção.. A única difrnça é qu quaçõ difrnciai d ala ordm ão cria agora como conjuno d quaçõ difrnciai d primira ordm. Da forma, o udo pod r implificado. A dcrição m variávi d ado d ima linar invarian d mpo é da forma: b u a a a u b a a a b u a a a & & &.5a du c c c y.5b

48 ond u y ão a nrada aída: i, i,,, ão chamada a variávi d ado; a ij, b i, c i, d ão conan; & i : d d. Ea quaçõ ão mai frqunmn cria na forma d mariz, como morado a guir: & A bu Equação d ado.5a y c du Equação d aída.5b com a A a a a a a a a a b b b.54a b [ c c ] c.54b c O vor é chamado d vor d ado ou implmn o ado. S m n variávi d ado ou é um vor n, não A é uma mariz quadrada n n, b é um vor coluna n, c é um vor linha n, d é um calar. A mariz A é chamada, alguma vz, d mariz do ima d é a par dira da ranmião. A quação.5a dcrv a rlação nr a nrada o ado, é chamada d quação d ado. A quação d ado m.5a coni d rê quaçõ difrnciai d primira ordm, por moivo, diz- qu ua dimnão é. A quação m.5b rlaciona a nrada, o ado a aída, é chamada d quação d aída. Ela é uma quação algébrica; la não nvolv difrnciação d. Porano, u ão conhcida, a aída y pod r obida implmn pla muliplicação adição. E o uda principalmn ima monovariávi, io é, ima com uma nrada uma aída. Para ima mulivariávi, nó mo dua ou mai nrada /ou dua ou mai aída. N cao, u y rão vor a ordn d b c d prciam r modificado d acordo. Por mplo, um ima m rê nrada dua aída, não u rá uma mariz ; y rá ; b rá n ; c rá n; d rá. D oura manira, a forma da quaçõ m variávi d ado prmancm a mma. A função d ranfrência dcrv omn a rpoa d ima ao ado-zro. Da forma, quando uamo a função d ranfrência, o ado inicial ou condiçõ iniciai do ima prciam r aumida como ndo zro. Ao uilizarmo a quação m variávi d ado, a upoição não é ncária. A quação é aplicávl mmo o ado inicial for difrn d zro. A quação dcrv não omn a aída ma ambém a variávi d ado. Dvido ao fao da variávi d ado rm inrna ao ima não rm ncariamn acívi plo rminai d nrada d aída, a quação m variávi d ado é ambém chamada d dcrição inrna. Porano, a dcrição m variávi d ado é uma dcrição mai gral do qu a dcrição m função d ranfrência. Conudo, um ima for complamn caracrizado pla ua função d ranfrência, a dua dcriçõ rão ncialmn a mma. No dnvolvimno da quaçõ m variávi d ado para ima linar invarian no mpo, prciamo primiro colhr a variávi d ado. A variávi d ado ão aociada a nrgia. Por mplo, a nrgia poncial cinéica d uma maa ão E Nmr 48 / 76

49 armaznada na ua poição na ua vlocidad. Porano, poição vlocidad podm r colhida como variávi d ado para uma maa. Para circuio LC, capacior induor ão lmno armaznador d nrgia porqu l podm armaznar nrgia m u campo lérico magnéico. Por a razão, oda a nõ d capacior corrn d induor ão colhido gralmn com variávi d ado para circuio LC. ior não armaznam nrgia; oda a nrgia é diipada como calor. Por a razão, nõ ou corrn m rior não ão variávi d ado. Emplo.6.: Conidr o ima mcânico morado na Figura.5a. Como dicuido m.4, ua dcrição na forma d uma quação difrncial é m & y k y& k y u.55 ond u é a força aplicada nrada, y é o dlocamno aída, &. y : d y d y & : dy d, A nrgia poncial a nrgia cinéica d uma maa ão armaznada na ua poição na ua vlocidad; por a razão, a poição a vlocidad rão colhida como variávi d ado. Dfina : y.56a : y&.56b Porano, nó mo qu: & y& Ea rlação gu da dfinição d é indpndn do ima. Tomando a drivada d, mo: & : & y Da quaçõ.55.56, mo qu: k k & & m m m m [ k y k y u ] u Ea quaçõ podm r arranjada m forma d mariz como & k & m k u m m y [ ] E Nmr 49 / 76

50 Uma implmnação no Malab ficaria da guin forma: % frência: Eampl.6. - CT Chn % O valor numérico foram irado do livro do Ogaa % Auor: Edon Nmr Daa: 9/6/7 clar; clc; % Parâmro do Modlo % Aumnando K, abiliza mai dvagar M 6.6 % lb Maa % Aumnando k, abiliza mai rápido k.; % lb/f/ Coficin d ario % Aumnando k, aumna a ocilação k.; % lb/f Conan da Mola % Cria o modlo do ima m variavi d ado maamola [ ;-k/m -k/m],[;/m],[ ], % ploa a rpoa ao dgrau para o ima [y,,]pmaamola; pin8lngh/ % apanha a mad do io pp % pga o valor d corrpondn à mad do io ypp,; % pga a poição corrpondn aqul valor d yvp,; % pga a vlocidad corrpondn aqul valor d plo,:,,'--',,:,,'-'; grid; p,yp,'poição'; p,yv,'vlocidad'; il'sima Maa Mola'; labl'' O gráfico para a imulação anrior é morado na figura qu gu. Obrv qu ão aprnada dua curva, uma curva para a poição da maa oura curva para a vlocidad da mma maa..6.5 Sima Maa Mola poição.4... vlocidad Figura. poa ao Dgrau d um Sima Maa-Mola no Malab E Nmr 5 / 76

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