INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL GESTÃO DE STOCKS. (Modelos Determinísticos)

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1 INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL GESTÃO DE STOKS (Modlos Dtminísticos) António los Mois d Silv Pofsso d I.O

2 1. Not Pévi Est txto sting-s à sntção d técnics quntittivs ssocids à gstão d stocks ois é diigido lunos qu tmbém fquntm/fquntm cdi d Gstão d Aovisionmntos.. Modlo dtminístico d untidd Económic d Encomnd (EE) Pssuostos Rf-s um único tigo não cívl (dtioção ou obsolscênci) A ocu do tigo é indndnt d d outo tigo A ocu é dtminístic, d vlo constnt ( θ unidds/un. tmo) O nívl do stock é mnntmnt conhcido (visão contínu) osto com ncomnd iódic d msm quntidd (quntidd conómic d ncomnd) Não é mitid utu do stock A ncomnd do tigo é fit dictmnt lo vnddo ou oduto A ncomnd do tigo é lnçd m qulqu momnto A osição do stock é instntân O mznmnto do tigo é fito m locl único O tmo d ovisionmnto é conhcido dtminístico Hoizont d otimizção ilimitdo 3. Simbologi su significdo A tbl sguint snt os símbolos utilizdos no txto o sctivo significdo: θ ρ I S T T P K Tx d consumo (nº d tigos/unidd d tmo) Nívl d sviço (cntgm do íodo T, m qu não há utu do stock) Tx d Poss (cntgm do custo d Aquisição/unidd d tmo) usto unitáio d Aquisição do tigo usto ssocido o lnçmnto d 1 ncomnd do tigo (ou à ção no cso d odução) usto unitáio d Poss do tigo/unidd d tmo usto unitáio d Rutu do stock do tigo /unidd d tmo Nº d unidds d um tigo untidd Económic (ótim) d Encomnd d um tigo (EE) Stock ctivo (utilizdo m modlos m qu s dmit utu do stock) Píodo do stock ou iclo d Rovisionmnto (intvlo d tmo nt ovisionmntos sucssivos) Tmo (zo) d Rovisionmnto (intvlo d tmo nt o lnçmnto d ncomnd cção do tigo) Ponto d Encomnd (nos modlos d visão contínu, é o stock do tigo qu, qundo tingido, indic o momnto d lnçmnto d nov ncomnd) usto d um olític d stock (xsso m u.m. um dd unidd d tmo) Tx d odução (lnishmnt) (nº d tigos/unidd d tmo) INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS) 1

3 4. Modlo d EE. Pssuostos Pocu: constnt contínu à tx "θ" Tmo d Rovisionmnto : T = 0 usto d Rutu : não é dmitid utu do stock b. Fomlizção O gáfico sguint tduz volução do stock d um tigo m função do tmo: Nívl / Stock médio T T tm o (t) O stock máximo é no início d cd íodo T do stock (ciclo d ovisionmnto). No intvlo d tmo T os custos ssocidos o stock são os sguints: Aquisição: Encomnd : (1 ncomnd d unidds) Poss: O stock médio no tmo T é d d oss é d T No íodo T o custo totl K T é ois (AUISIÇÃO + POSSE + ENOMENDA): + 0 = unidds, o unidd d tmo, lo qu no íodo T o custo KT = + T + Do gáfico ntio, dduz-s qu s unidds sm do stock à tx d consumo θ stisfzm ocu dunt T unidds d tmo, ntão θ = T. Substituindo n xssão ntio tm-s: KT = + + = + + θ θ O custo do stock o unidd d tmo é ntão tnd o vlo mínimo (função objctivo). KT θ θ K = = KT = θ + + d qu s T INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS)

4 Notndo qu K= f() clcul-s o vlo d qu nul 1ª divd: dk d θ = + = 0 = θ omo ª divd é ositiv ntão f( ) é o vlo mínimo do custo do stock. A quntidd é dsignd untidd Económic d Encomnd (EE). Sndo ocu constnt contínu ntão o iclo Ótimo é T θ nst unidd d tmo o custo ótimo do stock é = xsso n unidd d tmo d θ θ K = θ + + m qu : θ = custos d quisição d θ unidds do tigo unidd d tmo d θ = custos d oss do tigo n unidd d tmo d θ ( tmbém d ) θ θ = custos ds ncomnds d unidds gnti stisfção d ocu d θ unidds do tigo S ns xssõs dos custos d oss ou ncomnd substituimos s vific qundo quls custos são iguis: θ = conclui-s qu o custo mínimo K θ = θ θ θ θ = = θ O usto unitáio d Poss é xsso, m g, como cntgm do usto unitáio d Aquisição, ou sj, = I. 1 θ 1 θ Sndo o Stock Médio = = I, conclui-s qu st: é dictmnt oocionl à iz qudd d tx d consumo ( não à ói tx d consumo) é invsmnt oocionl à iz qudd do usto unitáio d Aquisição lo qu o stock médio d um tigo co é infio o d um tigo bto. INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS) 3

5 c. Tmo (zo) d Rovisionmnto Ponto d Encomnd P = θt P S P > subti té obt P. tmo (t) T T d. oficint d Vibilidd onsid-s dqudo co modlos d EE (quntidd conómic d ncomnd) qundo o coficint d vibilidd não ultss o vlo d 0. (0%). Est coficint é igul à zão nt Viânci d Pocu médi o uddo d Pocu médi. Nos csos m qu tl não s vific dv co-s à Pogmção Dinâmic.. Exmlo d licção do modlo d EE onsid-s o tigo X d qu ocu médi nul (300 dis) é d 1000 unidds com vibilidd insignificnt. O citl ncssáio suot o stock dunt 1 no, sm utu, od ltntivmnt s licdo com ndimnto d 5%. Sndo o custo unitáio d 500 u.m., o custo d ncomnd d 300 u.m. o zo d ntg d 5 dis, clcul olític ótim d gstão dst stock. INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS) 4

6 SOLUÇÃO Ddos: θ = 1000 / no ; = 500 um..; = 300 um.. ; I = 0.5 ; T = 5 dis untidd Económic d Encomnd = θ = = I (1000)(300) (0.5)(500) = 40 unidds Píodo (ciclo) = T = = 40 = 0.0 nos = (0.0)(300 dis) = 6 dis θ Ponto d Encomnd = P = θt = (1000) = 00 unidds 300 usto nul = θ K = θ + + = = (1000)(500) + (0.5)(500) + (300) = um.. 40 θ 1000 Númo d ncomnds/no = = = Polític ótim: fctu 50 ncomnds d 40 unidds. A ncomnd dv s fctud sm qu o nívl do stock ting s 00 unidds. O custo mínimo nul dst gstão é d u.m.. Nívl do stock =40 00= P Píodo 1 Píodo 1 tm o (dis) INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS) 5

7 5. Modlo d Podução onsumo simultânos (dtção do modlo d EE). Pssuostos onsumo: constnt contínuo à tx θ Podução (ovisionmnto) constnt contínu à tx (com usto d Rutu : não é dmitid utu do stock b. Fomlizção θ ) t θt Tx "" Tx θ tmo (t) tmo (t) Podução onsumo Sndo o tigo simultnmnt oduzido consumido às txs θ, sctivmnt, m cd unidd d tmo sobm (-θ) unidds qu ntm m stock. Poduzindo unidds dunt T unidds d tmo (tmo d odução), ntm m stock T ( θ ) unidds do T tigo qu sá o nívl máximo qu o stock od tingi lo qu o stock médio é ( θ ). Ddo qu = T ntão o stock médio od s xsso m função d, substituindo T = n xssão ntio ficndo ( θ ). θ θ O custo do stock, o unidd d tmo, é ntão K = θ +. + O vlo d quntidd ótim obtém-s clculndo dk d d = 0 ( oqu > 0) : d k dk 1 θ θ = = 0 d A untidd Económic d Encomnd (EE): = θ. θ é dictmnt oocionl à iz qudd d tx d ovisionmnto (tx d odução) é invsmnt oocionl à iz qudd do umnto do nívl do stock o unidd d tmo INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS) 6

8 c. Exmlo d licção do modlo d Podução onsumo simultânos Um ms od oduzi nulmnt 0000 ton. d um sin sintétic cuj ocu médi, no msmo íodo, é d ton. O custo ssocido à ção (5 dis) oduzi um lot é d u.m. o custo d odução é d 0000u.m./ton. Admitindo um tx d oss d 30% clcul olític ótim d gstão do stock dst sin, considndo o no com 300 dis. INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS) 7

9 SOLUÇÃO Ddos: θ = / no ; = 0000 / no ; = 0000 um.. /ton. ; = um.. ; I = 0.3 = (0.3)(0000) = 6000 u. m. / no ( o ton.) ; T = 5 dis Lot Económico oduzi = θ (15000)(98) 0000 =. =. = 1400 ton. θ Píodo (ciclo) = T Tmo d Podução d um lot = T = = 1400 (300) = 8 dis θ = = (300) = 1 dis Stock Máximo = T ( θ ) = 1 = 350 ton Ponto d Encomnd (oduzi novo lot) = P = θt = (15000) = 50 ton. m stock 300 θ θ 3 usto nul = K = θ +. + = = 30100(10 ) um.. Píodo do Stock Stock máximo P =50 ton. Podução onsumo Stock Polític ótim: oduzi lot d 1400 ton. (dunt 1 dis) com intvlo d 8 dis. undo o stock ctivo tingi 50 ton. inici odução d novo lot. O custo mínimo nul do stock é d u.m.. INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS) 8

10 6. Modlo com utu do stock (dtção do modlo d EE). Pssuostos Pocu: constnt contínu à tx " θ " Tmo d Rovisionmnto : T = 0 É dmitid utu do stock com custo unitáio b. Fomlizção O gáfico sguint tduz volução do stock d um tigo m função do tmo: 600 =7500 S= Rutu= tmo (dis) -00 Há tigo Tmo = T 1 Rutu Tmo = T Píodo T= T 1 + T O gáfico ntio most o stock d um tigo com um íodo d T unidds d tmo. O stock inicil ctivo é d S=600 unidds qu são scods m T 1 unidds d tmo (T 1 < T). Dunt o intvlo d tmo d T = T-T 1 unidds d tmo, não há tigo m stock (utu) stisfz ocu d 150 unidds. Admit-s qu stisfção dst ocu od s difid o momnto m qu é cbid nov ncomnd d =750 unidds. undo chg nov ncomnd, ntm m stock ctivo S=600 unidds nqunto -S=150 unidds são d imdito ntgus stisfz ocu m dívid do íodo ntio. No intvlo d tmo T os custos ssocidos o stock são os sguints: Aquisição: Encomnd : (1 ncomnd d unidds) Poss: O stock médio no tmo T é d S + 0 S = unidds, o unidd d tmo, lo qu no íodo T o S custo d oss é d 1 T (not qu só há oss dunt T 1 unidds d tmo do totl do íodo T ). INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS) 9

11 Rutu: A utu médi no tmo T é d ( S ) + 0 S = unidds, o unidd d tmo, lo qu no S íodo T o custo d utu é d T (not qu só há utu dunt T unidds d tmo do íodo T ). No íodo T o custo totl K T é ois (AUISIÇÃO + POSSE + RUPTURA + ENOMENDA): T Do gáfico ntio, dduz-s qu = qu S T S S KT = + T1 + T + 1 T = S T ST lo qu T1 = T Substituindo T 1 T o sts vlos n xssão do custo totl no tmo T tm-s: ( S) T =. O custo do stock o unidd d tmo é ntão tnd o vlo mínimo. S ( S) KT = + T + T + K S ( T S ) θ K = = θ d qu s T Notndo qu K= f(,s) clculm-s os vlos ótimos d S qu nulm 1ª divd ois ls stá ssocido o vlo mínimo d K (oqu s sgunds divds d função são ositivs): Tm-s ntão K = 0 S K = 0 S ( S) + = 0 S 4 ( S) ( S) θ = Pocdndo à simlificção do sistm d quçõs obtém-s: S = + S ( + ) = θ D 1ª qução dduz-s qu o stock ctivo S é um t d lo qu ρ = + snt o Nívl d Sviço. Assim, o xmlo, s ρ = 0.95 tl signific qu, no íodo T, 95% d ocu é stisfit qu 5% não é stisfit (sê-lo-á qundo cbid ncomnd o íodo sguint). Vific-s, n xssão d " ρ " qu: S o usto d Rutu é muito suio o usto d Poss, o nívl d sviço " ρ " tnd 1 otnto o stock máximo tnd (cso dos tigos com bixo custo d quisição); S o usto d Poss é muito suio o usto d Rutu, tx d sviço " ρ " tnd 0 otnto o stock ctivo tnd tmbém zo (cso dos tigos com lvdo custo d quisição); INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS) 10

12 Substituindo no sistm d quçõs tm-s: P os stnts âmtos tm-s: Píodo do stock (ciclo) = T = θ S Tmo com stock ctivo = T1 = θ S Tmo com stock m utu = T = θ S = ρ θ 1 =. ρ S P = θt S ( ) P 0 - S tmo (t) Ponto d Encomnd P : T T Not: P ; st < T P < 0 c. Exmlo d licção do modlo d EE com Rutu do stock onsid-s o tigo X d qu ocu médi mnsl (5 dis) é d 150 unidds com vibilidd insignificnt. O citl ncssáio suot o stock dunt 1 mês, com utu, od ltntivmnt s licdo com ndimnto d 10%. Sndo 10 u.m. o custo unitáio d quisição, 50 u.m. o custo d ncomnd, u.m. o custo unitáio d utu d 5 dis o zo d ntg, clcul olític ótim d gstão dst stock. INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS) 11

13 SOLUÇÃO Ddos: θ = 150 / mês ; = 10 um..; = 50 u. m. ; = u. m. ; I = 0.1; T = 5 dis Nívl do sviço = ρ = + = + 1 = 3 66% do íodo com stock ctivo θ 1 untidd Económic d Encomnd = =. = I ρ (150)(50) 3. = 150 unidds (0.1)(10) Stock máximo (ctivo) = S = ρ = 150 = 100 unidds 3 Píodo (ciclo) = T = = 150 = 1mês = 5dis θ 150 S 100 Tmo com stock ctivo = T1 = = = 0.67 mss = dis θ 150 S Tmo com stock m utu = T = = = 0.33 mss = 8.33 dis θ 150 Ponto d Encomnd = P = θ T ( S ) = 5 (150) ( ) = = 0 unidds 5 S ( S ) θ usto mnsl = K = θ = = 1600u. m. θ 150 Númo d ncomnds/mês = = = Polític ótim: fctu 1 ncomnd d 150 unidds intvlos d 1 mês. A ncomnd dv s fctud sm qu o nívl do stock ting s -0 unidds (cumulds 0 unidds m dívid). Rcbid ncomnd, 50 unidds são stisfz clints do íodo ntio 100 unidds ntm m stock ctivo. O nívl d sviço é d 66% ( / 3 do íodo com tigo m stock) O custo mínimo dst gstão é d 1600 u.m./mês. = S =100=stock ctivo inicil Em utu P = -0 unidds dis T =5 dis INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS) 1

14 7. Modlo com Dsconto d untidd sm utu (dtção do modlo d EE). Pssuostos Pocu: constnt contínu Tmo d Rovisionmnto : T = 0 O usto d Aquisição vi com quntidd dquiid (dsconto d quntidd) b. Fomlizção No gáfico sguint vj-s o ndmnto ds cuvs d usto Totl do Stock um tigo com usto d Aquisição igul 50 u.m.: =50 u.m. quisiçõs d 0 99 unidds (dsconto d 0%) =49 u.m. quisiçõs d unidds (dsconto d %) =48.50 u.m. quisiçõs d 300 ou mis unidds (dsconto d 3%) Not qu cd um dsts custos, quntidd ncomnd só é dmissívl s tnc o intvlo ond vigom quls custos =50 =49 = =50 usto Totl =49 = untidd uv d = : A quntidd dmissívl com mno custo totl do stock é d 300 unidds qu é um quntidd limit ( bk ) ; (not qu não é dmissívl ois stá fo do intvlo). INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS) 13

15 uv d = 49 : A quntidd dmissívl com mno custo totl do stock é d 143 unidds (é o vlo d ois uv d = 50 : tnc o intvlo). Não cc d nális ddo t odnds suios às d cuv ntio ond o custo mínimo stá ssocido um quntidd dmissívl no intvlo d dsconto. Ds quntidds dmissívis, com mno custo, od conclui-s qu dvm ncomnd-s = 300 unidds ovitndo o dsconto d 3%. D nális do gáfico conclui-s qu, com dsconto d quntidd, o vlo ótimo d viávl d dcisão, é bciss do mínimo d um ds cuvs d custo totl ou é um quntidd limit d intvlo (quntidd d bk ). Rsult dst consttção técnic sgui xost clcul quntidd conómic d ncomnd. P tl considm-s os intvlos d dsconto 1,,, n o odm dcscnt d custo d quisição inici-s o studo no intvlo n dsignndo n quntidd inicil (mno vlo) do intvlo. θ 1º Psso: lcul = no intvlo d mno custo d quisição (intvlo n ) I Situçõs ossívis: o vlo clculdo é dmissívl ncomnd = clculdo (fim do cálculo) o vlo clculdo não é dmissívl clcul o custo totl do stock K( n ) um ncomnd d n = quntidd do limit infio do intvlo m studo consid st custo como Min K cont; xcut o sso sguint θ º Psso: lcul = no intvlo djcnt ( n-1 ) I Situçõs ossívis: o vlo clculdo é dmis sívl clcul o custo totl do stock K st quntidd com com o Min K cont Situçõs ossívis: K go clculdo é infio o Min K cont ncomnd = go clculdo (fim do cálculo) K go clculdo é suio o Min K cont clcul o custo totl do stock K( n-1 ) um ncomnd d n-1 = quntidd do limit infio do intvlo m studo ; com K( d K( n-1 ) fo infio n-1 ) com o vlo do Min K cont ctuliz st s o vlo Rti o º Psso, tnts vzs qunts s ncssáis, té obt um quntidd dmissívl θ = com I custo totl do stock infio o Min K cont ou, s tl não sucd, ncomnd sá d igul à quntidd ssocid o Min K. N ágin sguint snt-s o fluxogm d técnic d otimizção d quntidd d ncomnd com dscontos d quntidd. INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS) 14

16 FLUXOGRAMA DESONTOS DE UANTIDADE lcul = n n? Não Sim P. = lcul K( n ) t como Min K j =n-1 lcul = j j j+1? Sim Sim lcul K() K() Min K? Não Não j = 0? Sim P. = do Min K Não lcul K( j ) om st custo com Min K Fix Min K = { Min K, K( j ) } j = j -1 Intvlos d dsconto (n, n-1, n- ); untidds d bk ( n, n-1, n-, ) 0 = 0 n- n-1 n- n-1 n n = n- = n-1 = n INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS) 15

17 c. Exmlo d licção do modlo d EE com Dscontos d untidd Um ms dqui no xtio um ddo comonnt d qu consom, m médi, unidds o longo d um no. Um foncdo oõ-s vnd o comonnt 90 u.m., ofcndo os dscontos sgui indicdos: Dsconto unitáio 0 < % 1000 < 3000 % 3000 < % 6000 < % % O ocssmnto d um ncomnd tm um custo d 100 u.m.. tx d oss é d 5% o no. lcul olític ótim o stock do comonnt. Ddos: SOLUÇÃO θ = / no ; = 100 um..; I = 0.5 Intvlo EE Limit K Infio no = Limit infio > ()(10000)(100) 9000 Aquisição = (10000)(81) = = = (0.5)(81) 9000 Poss = (0.5)(81) = 9115 = 315 ( não dmissivl) lcul K no do limit infio dst intvlo ()(10000)(100) = = (0.5)(84.6) = 308 ( não dmissivl) lcul K no do limit infio dst intvlo ()(10000)(100) = = (0.5)(86.4) = 305 ( não dmissivl) Encomnd = (100) = Totl (no)= u.m.= Min K Aquisição = ( 10000)(84.6) = Poss = (0.5)(84.6) = Encomnd = (100) = Totl (no)= > Min K 9000 (mntém-s Min K 9000 = u.m.) 3000 Aquisição = ( 10000)(86.4) = Poss = (0.5)(86.4) = Encomnd = (100) = Dcisão Pss o intvlo sguint Pss o intvlo sguint Pss o intvlo sguint lcul K no do limit infio dst intvlo Totl (no)= < Min K 9000 Novo Min K 3000 = u.m ()(10000)(100) = = (0.5)(88.) = 30 ( não dmissivl) 1000 Aquisição = ( 10000)(88.) = Poss = (0.5)(88.) = 1105 Pss o intvlo sguint INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS) 16

18 lcul K no do limit infio dst intvlo Encomnd = (100) = Totl (no)=89405 < Min K 3000 Novo Min K 1000 = u.m. Intvlo EE Limit Infio ()(10000)(100) = = (0.5)(90) = 99 ( dmissivl) lcul K no 99: Aquisição= ( 10000)(90) = Poss 99 = (0.5)(90) = Encomnd = (100) = Totl (no)= u.m. Totl (no) > Min K 1000 Tmin cálculo Ótimo é =1000 ssocido o Min K K no = Limit infio Dcisão = 1000 Píodo (ciclo) = T = = 1000 = 0.1 nos = 1. mss θ usto nul = Min K 1000 = u.m. / no θ Númo d ncomnds/no = = = Polític ótim: fctu ncomnds d 1000 unidds com intvlo d 1. mss. O custo mínimo nul dst gstão é d u.m. INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS) 17

19 Rcondo o softw do uto tm-s: INVESTIGAÇÃO OPERAIONAL (MS) 18

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