REVISÃO MATEMÁTICA &$3Ì78/2,, 2.1- INTRODUÇÃO 2.2- DEFINIÇÃO DE VARIÁVEL COMPLEXA E FUNÇÃO COMPLEXA. - Variável Complexa 2.3- FUNÇÕES ANALÍTICAS

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1 posil isms Conrol I II- &$Ì78/,, REVIÃO MTEMÁTIC.- INTRODUÇÃO Es cpíulo m por objivo rvisr lguns funmnos mmáicos ncssários pr o suo ori conrol. Inicilmn, fini-s o qu vm sr um vriávl complx um função complx. pós, rvis-s os orms Eulr. Por fim rvis-s os concios rlivos Trnsformção Lplc. O omínio Trnsformção Lplc é funmnl pr o nnimno ori Conrol Clássico..- DEFINIÇÃO DE VRIÁVEL COMPLEX E FUNÇÃO COMPLEX - Vriávl Complx É um númro complxo, cujs prs rl ou imginári são vriávis. vriávl complx é xprss m coorns rngulrs, como mosro sguir: τ jω On: τ R( s) ωim( s) - Função Complx Um função complx F(s), é um função com pr rl imginári; pono sr xprss como: Ex: F(s) Fx jfy VRIÁVEL COMPLEX On: Fx Fy são ris FUNÇÃO COMPLEX Plno Plno F(s) Fs () FX F θ g Fy FX Y O conjugo função Complx F(s) é : Fs () FxjFy.- FUNÇÕE NLÍTIC Prof. Hélio Lãs Hy - 997

2 posil isms Conrol I II- Um função é i nlíic, quno l sus rivs são finis pr um o vlor ou um o pono no plno. Quno função F(s) ou sus rivs nm o infinio pr um o vlor, iz-s qu função não é nlíic pr qul pono. j sguin função F(s): F() s ( ) riv s função m rlção, é por: Fs () ( ) Tno função F(s), como su riv, são finis pr oos os ponos o plno, xco pr o pono. Ns pono, F(s) su riv s proximm o infinio. Porno, função F(s) é nlíic m oo o Plno, xco no Pono. Os ponos no plno, on função F(s) é nlíic são chmos PONTO ORDINÁRIO, nquno qu os ponos on F(s) não é nlíic, são chmos PONTO INGULRE. Os ponos singulrs são mbém chmos PÓLO D FUNÇÃO ( é um pólo função F(s)). j um função F(s) qulqur. F(s) n infinio quno p s função Fs ().( s p) n on n,,..., é um vlor finio não nulo pr o pono p, não: p é chmo PÓLO DE ORDEM n. - n Pólo simpls; - n Pólo orm; - n Pólo orm. Os vlors m qu função F(s) é igul zro, são chmos ZERO D FUNÇÃO. Ex: K( )( ) F(s) ( )( 5)( 5) Es função m zros m pólos simpls m:, 5 um pólo orm m 5. Cso, K Gs () s G() s. Porno, s form consiros ponos no infinio, função pss r 5 zros sno um orm, m..4- TEOREM DE EULER O orm Eulr, é finio por: jθ cosθ jsnθ Plo uso s orm, pomos xprssr funçõs m sno co-sno, n form um função xponncil. -jθ cosθ - j snθ não, -jθ é o conjugo complxo jθ. Prof. Hélio Lãs Hy - 997

3 posil isms Conrol I II- Uilizno-s o orm Eulr, po-s finir s sguins xprssõs pr o snθ pr o cos θ. θ θ cosθ ( ) j j jθ θ snθ ( j ) j.5- TRNFORMD DE LPLCE - T.L. rnsform lplc, é frrmn mmáic uiliz pr convrr um sinl o omínio mpo m um função vriávis complxs. Divrss funçõs, como por xmplo funçõs snoiis, xponnciis, c.., pom sr convris pr funçõs lgébrics vriávl complx. O uso o méoo rnsform lplc, simplific os cálculos pr obnção rspos o sism. Oprçõs complics no omínio mpo, como por xmplo ingrção ifrncição, são subsiuís por oprçõs lgébrics básics no omínio frqüênci (plno complxo). Um vz rsolvi xprssão lgébric no omínio, rspos qução ifrncil no omínio mpo é obi rvés o uso s bls rnsforms lplc ou pls écnics xpnsão m frçõs prciis. rnsform lplc, crcriz complmn rspos xponncil um função linr invrin no mpo. Es rnsformção é gr rvés o procsso muliplicção um sinl linr f() plo sinl - ingrno-s s prouo, no inrvlo mpo comprnio nr (, ). jm s sguins finiçõs: f() É um função no omínio mpo Linr Invrin no mpo, l qu f() pr <. Vriávl Complx. / Opror rnsform lplc. Inic qu função mporl f() ssoci, srá rnsform pl ingrl Lplc: T. F(s) Trnsform lplc função f(). Obs: Não squcr qu τ jω. T T / f() F() s f() f() s funçõs f(), f () f () prsnm T.L., não: *. ( ) / { f } / { f } () * * / / / { f f } { f } { f } () () () ()*.5.- OBTENÇÃO D TRNF. DE LPLCE DE LGUM FUNÇÕE ) Função Exponncil f() α f(). T pr < pr,α são consns. Prof. Hélio Lãs Hy - 997

4 posil isms Conrol I II-4 b) Função Dgru ( ) / { ()} / { α } α α f..... s ( ) / {. } ( α) - ( α) - α - α -( ) ( ) ( α - α ) -α {. } / α f() f(). µ () pr < pr c) Função Rmp { () }. (). ( ) /.µ µ. µ ( )... /. µ ( ) f() f(). pr < pr / {. }.. Uilizno finição Ingrção por prs m-s: µ. ϑ µϑ ϑ. µ j: µ µ ϑ ϑ / {. }.. / {. } ) Função noil f() f().snω pr < pr Uilizno o orm Eulr, m-s: sn θ. sn j j θ θ ω ω ( j j ) ω ( j j ) Prof. Hélio Lãs Hy - 997

5 posil isms Conrol I II-5 ) Função Co-snoil f() f().cos / f().sn ω. ω ω ( ) j j / f().. j ( jω) ( jω) / { f() }.... j j / { f() }. j ( ω) ( jω) ( ω) j j ( jω) / { f () } j. j j j j. ω ω ω ω / sn {. ω } pr < pr. ω ω jω jω ω cosω ( ) / { f } ( jω j ) () ω.. ( ) ( ) / { f } jω jω ().. / f() / f() ( ω) ( jω) ( ω) j j ( jω) j j ω ω ω / {.cosω }. ω Embor o procimno pr obnção rnsform lplc funçõs mporis sj simpls, xism bls prons pr s funçõs qu frqünmn prcm n nális sisms conrol. Ex: D função f() bixo, obnh T.L. msm. Prof. Hélio Lãs Hy - 997

6 posil isms Conrol I II-6 () µ () f 5... / { ()} / µ () / { 5.. } {. } f { () } ) / µ b) / {. } / { f ()} 5 { ()} / f 8 ( ).5.- TEOREM D TRNFORMD DE LPLCE ) Função Trnsl jm s funçõs f() f( - α), mosrs sguir: como: bno-s qu µ() é função Dgru uniário, pomos scrvr s funçõs f() f(-α) f() f(). µ() f(-α) f(-α).µ.(-α) rnsform função f(-α).µ.(-α) é por: Chmno α { ( α ) µ ( α) } ( α ) µ ( α) s / f. f... τ, m-s: τ, já qu α é um consn. s( τ α) { ( τ). µ ( τ) } ( τ). µ ( τ). τ / f f α Como função só é váli pr > α, não quno subsiuí-s α τ, v-s rocr o limi infrior ingrl α. Porém, quno α, τ. Porno: s( τ α) { ( τ). µ ( τ) } ( τ). µ ( τ).. τ / f f sτ sα { ( τ). µ ( τ) } ( τ)... τ / f f Prof. Hélio Lãs Hy - 997

7 posil isms Conrol I II-7 Cso priculr: { ( τ) µ ( τ) } ( τ) τ sα sτ sα / f. f... F( s) { ( α ) µ ( α) } / f s α.. Fs ( ) / f().µ() F() s α Comprno-s s xprssõs cim, concluí-s qu rnslr no mpo um função f() qulqur, signific muliplicr rnsform lplc f(), F(s), por -α on α, signific rnslção sofri por f(). b) Função Pulso f() < < f() < > f().µ() -. µ( - ) µ() () µ( - ) ( - ) / { f() } / (..() ) / (.. ( ) ) (.() ) / ( ) / / f (. () ).... ( ) c) Função Impulso Função Impulso é um cso spcil função pulso, on o príoo urção o impulso n zro( ), mpliu n infinio. f() é função impulso, su rnsform srá:. / { f() } OLP ( ). / { f() } OLP... ( ( )).... Es função é chm FUNÇÃO IMPULO UNITÁRIO ou FUNÇÃO DELT DE DIRC, s Prof. Hélio Lãs Hy - 997

8 posil isms Conrol I II-8 ) Muliplicção f() por - δ() ou δ(- ) α ( ) { α } α α s /. f( ). f( ).. f( ).. α ( α ) {. ( )} f( ).. ( α) / f F Ex: j: ω f() sn ω Fs () ( ω ) Porno: ω α f ().sn ω F ( α) ( α) ω ) Munç scl mpo, função f() é lr pr ( ) f α. j sguin rns- o mpo é moifico pr α formção Lplc. { ( α) } ( α) / f f.. j α α, on α é um consn. Ds form: { ( α) } / f f. ( ).. ( α. ) { ( )} α ( ) α / f f... α. F( ) { ( )} α. α ( α ) / f F Ex: j f() - f( ) 5, / { f() } ; / { f ()} f) Dmonsrção o orm ifrncição j T.L. riv primir função f(): Prof. Hélio Lãs Hy - 997

9 posil isms Conrol I II-9 /. f( ). F( s) f( ) j mbém, função f(). / f() f().. F() s Ingrno-s por prs xprssão cim, mos: Fs () f().. f().. f () Fs (). /. f( ) /. f( ). F( s) f( ) Pr riv sgun, mos: / j: g() Porno: f() µ µ f() µϑ µϑ ϑµ ϑ ϑ Fs f f () ()...().,. f( ) F( s) f( ) f ().() f. ( ). g ( ) / f / g Gs g Gs g. (). () () () (). f() ; g () f() f, (). f( ).. f ( ) f, () / / / / / /,. f( ). {. F( s) f( ) } f () Prof. Hélio Lãs Hy - 997

10 posil isms Conrol I II- / g) Torm o Vlor Finl,. f( ). F( s). f( ) f () Es orm, prmi qu s conhç o vlor função f() no mpo, rvés função F(s), iso é, o compormno f() m rgim prmnn é igul o compormno.f(s) n vizinhnç. Enrno, s orm só é plicávl s somn s: OLP f() xisir. O OLP f() xis, s oos os pólos.f(s) sivrm no smi-plno squro o plno..f(s) ivr pólos no ixo imginário ou no smi-plno iro, função f() srá oscilóri ou crscrá xponncilmn. Porno o OLP f() não xisirá. Um xmplo, bsn luciivo s fo, são s funçõs sn ω cos ω, on.f(s) prsn pólos m ± jω. O Torm o Vlor Finl, iz qu: s f() f() são rnsformávis sguno Lplc, s o OLP f() xis F(s) é T.L. f(), não: OLP OLP f(). F() s PROV: j sguin T.L. função g () f () : nr zro, rsul: / f g. ( ) ( ).. f( ).. OLP f OLP. ( ) on :. Porno: f OLP f f. ( ).. ( ). ( ) OLP. f( ). f( ) f( ) Por ouro lo: OLP. f( ). OLP{. F( s) f( ) } OLP. ( ). OLP. ( ) ( ) f F s f Prof. Hélio Lãs Hy - 997

11 posil isms Conrol I II- OLP OLP f( ) f().. F() s Ex: j sguin T.L.: F(s) ( ) Qul é o vlor OLP f ()? função.f(s), prsn um pólo no smi-plno squro o plno porno, OLP f() xis. Enão, uilizno xprssão, cim rsul: f F s OLP. ( ) OLP.. ( ) OLP Es rsulo, po sr vrifico plicno-s rnsformção invrs Lplc, on: h) Torm o Vlor Inicil o conrário o orm o vlor finl, s não prsn limiçõs quno posição os pólos.f(s). rvés s orm, é possívl qu s conhç o vlor um função f() no insn, irmn T.L. f(). função f() f () são rnsformávis por Lplc s OLP Fs. ( ) xis, não: s PROV: f() - - OLP OLP f( ). F( s) s f () j função g(). f( ) : / { g ()} g ().. (). f { g ()}. ().. {. () ( )} OLP/ OLP OLP OLP{ Fs. ( ) f( )} f F s f OLP f( ). F( s).6- TRNFORMD INVER DE LPLCE {/ } É o procsso invrso rnsformção Lplc, iso é, prir um xprssão no omínio nconr-s xprssão no omínio mpo corrsponn. / c jω { Fs} f () () Fs (). πj c j Prof. Hélio Lãs Hy - 997

12 posil isms Conrol I II- Embor o procimno mmáico qu prmi nconrr rnsform invrs Lplc sj um pouco complico, s po sr nconr rvés o uso s bls rnsforms Lplc. Porém, iso rqur qu função F(s) sj n bl. Muis vzs iso não conc, fzno com qu sj ncssário xpnir F(s) m frçõs prciis, ornno função F(s) form por rmos simpls conhcios..6.- MÉTODO DE EXPNÃO EM FRÇÕE PRCII Grlmn n nális sisms conrol, função F(s) prc n sguin form: ; Bs () Fs () s () On: (s), B(s) - ão polinômios m ; - O gru B(s) é smpr mnor qu (s) F(s) é xpnio m prs, não: Fs ( ) F( s) F( s)... F( s) / ( Fs ( )) / ( F( s) ) / ( F( s) )... / ( F( s) ) f( ) f ( ) f ( )... f ( ) n n Bs () Porém pr qu possmos plicr s méoo num função o ipo F() s, é ncssário s () qu o gru o polinômio B(s) sj mnor qu o gru o polinômio (s). iso não ocorrr, é ncssário qu s ivi os polinômios com o objivo iminuir o gru o numror. Qulqur função rcionl B() s, on B(s) (s) são Polinômios, com o gru B(s) s () mnor qu o gru (s), po sr scrio como som funçõs rcionis (frçõs prciis), no s sguins forms: n ou B R ( ) b ( b c ) R On: R,,,... Enconrno-s rnsform invrs lplc pr c frção, mos / Bs () s (). DETERMINÇÃO DO REÍDUO OCIDO O PÓLO ) Pólos Ris Disinos Bs () j função Fs () s () ( )( )...( m ) ( P )( P )...( P ) K Z Z Z n On: m < n os pólos F(s) são isinos, não F(s) po sr xpnio m : Prof. Hélio Lãs Hy - 997

13 posil isms Conrol I II- Fs ( )... ( P ) ( P ) ( P ) O coficin i é chmo rsíuo o pólo Pi. Bs () ( Pi) i. s () Pi n n Ex : Fs () ( )( ) Fs () ( ) ( ) ( )( ). ( ) ( ). ( )( ) Porno: Fs () /. /. f(). Ex : Fs () ( )( ) Como o numror prsn um gru suprior o nominor, v-s iviir os Polinômios Com iso função F(s), é scri sguin form: Prof. Hélio Lãs Hy - 997

14 posil isms Conrol I II-4 Porno: { Fs ()} Fs () ( ) ( )( ) / / / / / / {} {. } CTE / / / / δ( ) {. }... δ() ifrncição impulso uniário ( )( ) impulso uniário / ( ) ( )( ) Es prcl é igul o xmplo nrior. f() δ() δ () b) Pólos Ris Múliplos Bs () Bs () j sguin função F() s s () ( P) ( P ) Enão F(s), srá xpnio n sguin form: On: Fs () ( P ) ( P ) ( P ) ( P ) Bs () ( P ). () ( ) s P P Bs ().! () s P! P () ( ) P Bs. ( ) Bs (). () s P s () P Ex:. Fs () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) Prof. Hélio Lãs Hy - 997

15 posil isms Conrol I II-5 ( ) ( )! ( ) ( ) ( )! ( ) Fs () ( ) ( ) ( ) L { Fs ()} L L ( ) ( ) f() ( ) c) Pólos Complxos Conjugos j sguin função: f() K K Fs () jb j. b finição os rmos K K, é por: Ds form: K ( jb). F( s) Mθ M jb K ( jb). F( s) M θ M jb jθ jθ Fs () jθ jθ M M ( jb) ( jb) Prof. Hélio Lãs Hy / Fs M jθ ( jb) M jθ ( jb) ().... / j( b j b { Fs ()} M..{ θ ) ( θ) }. jb ( θ) jb ( θ) / () M.. { Fs}

16 posil isms Conrol I II-6 / Fs () M. cos( b θ).7- OLUÇÃO DE EQUÇÕE DIFERENCII, LINERE E INVRINTE NO TEMPO TRVÉ DE T.L. Nos méoos clássicos pr obnção solução quçõs ifrnciis há ncssi rminção s consns ingrção rvés o uso s coniçõs iniciis. O uso T.L. n solução s quçõs ifrnciis limin s ificul, um vz qu s coniçõs iniciis são uomicmn incluís. Pr obnção T.L. um qução ifrncil cujs coniçõs iniciis são nuls, simplsmn subsiui-s por, por ssim sucssivmn. D um qução ifrncil linr invrin no mpo, ch-s inicilmn T.L. c rmo qu compõ, rnsformno-s um qução ifrncil m um qução lgébric. pós, v-s mnipulr xprssão lgébric rsuln isolno-s vriávl pnn. Um vz solucion s xprssão, rvés plicção T.I.L obém-s solução qução ifrncil. Ex: ) ch solução pr x() qução ifrncil, mosr bixo: χ χ χ () () () On: χ( ) χ () b b b Xs () X() s ( )( ) B Xs () b b B b ( b) Xs () ( ) b b b B B b χ( ) ( b). ( b). ) ch solução pr x() qução ifrncil: χ χ 5χ χ( ), χ () olução: x().. sn..cos. 5 5 Prof. Hélio Lãs Hy - 997