EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA

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1 Minisério d Educção Univrsidd Tcnológic Fdrl do Prná Cmpus Curii Grênci d Ensino Psquis Dprmno Acdêmico d Mmáic EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA Prof. Pul Frncis Bnvids

2 Conúdo AULA... 6 AULA INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO CLASSIFICAÇÃO Tipo: Ordm: Gru: Linridd:.... ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS:... AULA.... RESOLUÇÃO.... CURVAS INTEGRAIS:.... SOLUÇÃO:.... PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI.... TEOREMA DA EISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO.... EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AUTÔNOMAS EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS Rsolução:... 8 AULA.... EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS..... Função Homogên..... Equção Homogêns Rsolução:... AULA EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS. 6.. O drminn é difrn d zro O drminn é igul zro AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EATAS... AULA For Ingrn... AULA

3 . EQUAÇÕES LINEARES: For Ingrn: Susiuição ou d Lgrng:... 9 AULA EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: Equçõs d Brnoulli:... AULA Equção d Rici... AULA EQUAÇÕES DE A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES Dfiniçõs: Equção d Envolóri Soluçõs Singulrs... AULA..... Equção d Cliru... AULA..... Equção d Lgrng: Ouros ipos d qução d Ordm gru difrn d um:... 6 AULA EERCÍCIOS GERAIS... 8 AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS MODELO MATEMÁTICO DINÂMICA POPULACIONAL MEIA VIDA DECAIMENTO RADIOTAIVO CRONOLOGIRA DO CARBONO RESFRIAMENTO MISTURAS DRENANDO UM TANQUE DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA CORPOS EM QUEDA Corpos m qud rsisênci do r CORRENTE DESLIZANTE CIRCUITOS EM SÉRIE... 8 AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE A ORDEM E ORDEM SUPERIOR AULA EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES... 89

4 7.. Cso : Rízs Ris Disins Cso : Rízs Múlipls Cso : Rízs compls disins AULA EULER - CAUCHY... 9 AULA EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS Solução por coficins drminr (Dscrs: AULA Solução por vrição d prâmros... AULA Méodo do Oprdor Drivd Dfinição... Propridds Equçõs Difrnciis... Oprdor Anuldor Coficins indrmindos - Aordgm por Anuldors... Rsolução d Equçõs Linrs...6 AULA EERCÍCIOS GERAIS... AULA MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL: Sism Mss-Mol: Movimno Livr não morcido ED do Movimno Livr não morcido:... Solução Equção do Movimno: Sism Mss-Mol: Movimno Livr Amorcido ED do Movimno Livr Amorcido: Sism Mss Mol: Movimno Forçdo ED do Movimno Forçdo com Amorcimno:...7 ED d um Movimno Forçdo Não Amorcido: Circuio m Séri Análogo - Circuios léricos RLC m séri EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO Dflão d um vig: Soluçõs Não Triviis do Prolm d Vlors d Conorno: Dformção d um Colun Fin:... Cord Girndo:... AULA SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SISTEMA CANÔNICO E SISTEMA NORMAL:... 9 AULA.... SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMÉTRICA... AULA MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM...

5 .. Vor solução O Prolm d Vlors Iniciis Eisênci d um únic solução Sisms homogênos Princípio d Suprposição Indpndênci Linr Criério pr Soluçõs Linrmn Indpndns Conjuno fundmnl d solução Solução Grl - Sisms Homogênos Sisms não homogênos Solução Grl - Sisms Não-Homogênos Um Mriz Fundmnl Um Mriz Fundmnl é Não-Singulr... Mriz Espcil... é um Mriz Fundmnl AULA SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS..... Auovlors ris disinos..... Auovlors complos..... Auovlors d Muliplicidd dois... AULA SISTEMAS NÃO HOMOGÊNEOS Coficins Indrmindos Vrição d Prâmros... 6

6 AULA REVISÃO DE INTEGRAIS Rsolv s sguins ingris: ( d R: C d 8 = R: C ( d d d d R: C R: rcsn C R: ln C d 6 d R: ln C ( d 7 d 8 d 9 d ( d R: rcn C R: ln C R: ln C R: ln C R: ln C sc d R: ln n C n d R: ln C 6

7 d R: rcn C d R: C 6 d R: ln C 9 7 d 8 d R: ln C R: ln rcn C 9 d R: ln C d R: ln C d R: ln rcn( C d ln.( d R: ln C R: ln C rcn rcn d rcn. rcn. R: C lncos. sin d 6 ( d sin R: C ( R:. C 7 ( d 6 R: C 6 8 (. d R: (. C 7

8 AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. INTRODUÇÃO Ans d mis nd, vmos rcordr o qu foi prndido m Cálculo!!! A drivd d d um função nd mis é do qu um our função nconrd por um rgr proprid. Como por mplo, função é difrnciávl no inrvlo, su drivd é.. S fizrmos rmos: d. ( d Vmos supor gor qu su profssor lh dss qução ( prgunss qul é função rprsnd por? Apsr d você não fzr idi d como l foi consruíd, você sá frn d um dos prolms ásicos ds disciplin: como rsolvr ss qução pr dsconhcid função? O prolm é smlhn o fmilir prolm invrso do cálculo difrncil, ond dd um drivd, nconrr um nidrivd. Não podmos dir d ldo difrnç nr drivd difrncil, pois, mor drivd difrncil possum s msms rgrs oprcionis, sss dois oprdors êm significdos sn difrns. As difrnçs mis mrcns são: drivd m significdo físico pod grr novs grndzs físics, como por mplo vlocidd clrção; difrncil é um oprdor com propridds purmn mmáics; drivd rnsform um função m our, mnndo um corrspondênci nr os ponos ds dus funçõs (por mplo, rnsform um função do sgundo gru m um função do primiro gru; difrncil é um vrição infinisiml d um grndz; drivd é um oprção nr dus grndzs; difrncil é um oprção qu nvolv um grndz; o rsuldo d um drivd não coném o infiniésimo m su sruur; consqunmn, não is ingrl d um drivd; ingrl só pod sr plicd um rmo qu connh um difrncil (infiniésimo; s for fio o quocin nr os dois difrnciis, m-s: d m ol smlhnç com dfinição d drivd. A consquênci dir dss fo é qu drivd não é o quocin nr dus difrnciis, ms compor-s como s foss ss quocin. Iso signific qu prir d rlção: d f ( é possívl scrvr: f ( d qu s dnomin qução difrncil. um ds plicçõs mis imporns nvolvndo drivds difrnciis é onção d qução difrncil, p fundmnl pr inrodução do Cálculo Ingrl. 8

9 . Dfinição Equção difrncil é um qução qu rlcion um função sus drivds ou difrnciis. Qundo qução possui drivds, ss dvm sr pssds pr form difrncil. d d d d d "' ( " ' cos ( " ( ' d 6 d d z z 7 z z 8 z. CLASSIFICAÇÃO.. TIPO: S um qução conivr somn drivds ordináris d um ou mis vriávis dpndns m rlção um únic vriávl indpndn, como m ( (6, s drivds são ordináris qução é dnomind qução difrncil ordinári (EDO. Um ED pod conr mis d um vriávl dpndn, como no cso d qução (6 Um qução qu nvolv s drivds prciis d um ou mis vriávis dpndns d dus ou mis vriávis indpndns, como m (7 (8, qução é dnomind qução difrncil prcil (EDP. As quçõs difrnciis prciis não srão viss ns curso... ORDEM: A ordm d um qução difrncil é ordm d mis l drivd qu nl prc. As quçõs (, ( (6 são d primir ordm; (, ( (7 são d sgund ordm ( é d rcir ordm... GRAU: O gru d um qução difrncil, qu pod sr scri, considrndo drivds, como um polinômio, é o gru d drivd d mis l ordm qu nl prc. Tods s quçõs dos mplos cim são do primiro gru, co ( qu é do sgundo gru. 9

10 d d d d d d d d ordm o gru ln ln d ln. d d d ordm o gru Osrv qu nm smpr à primir vis, pod-s clssificr qução d imdio quno ordm gru... LINEARIDADE: Dizmos qu um qução difrncil ordinári n n d d n( ( ( ( g( n n n d d d d ordm n é linr qundo são sisfis s sguins condiçõs: A vriávl dpndn ods s sus drivds ', ",... n são do primiro gru, ou sj, poênci d cd rmo nvolvndo é um. Os coficins,,... n d, ',... n dpndm qundo muio d vriávl indpndn. Emplos: ( d 8 d 7 d d d c d d São rspcivmn quçõs difrnciis ordináris linrs d primir, sgund rcir ordm.. ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: Um rlção nr s vriávis, ncrrndo n consns riráris ssnciis, como C ou A B, é chmd um primiiv. As n consns, rprsnds smpr qui, por lrs miúsculs, srão dnominds ssnciis s não pudrm sr susiuíds por um númro mnos d consns. Em grl um primiiv, ncrrndo n consns riráris ssnciis, drá origm um qução difrncil, d ordm n, livr d consns riráris. Es qução prc liminndo-s s n consns nr s (n + quçõs oids junndo-s à primiiv s n quçõs provnins d n drivds sucssivs, m rlção vriávl indpndn, d primiiv.

11 Or qução difrncil ssocid às primiivs io: C d = C + C = C sn + C cos = cos( + ond são consns c = C f = C + C -

12 AULA - EERCÍCIOS Nos rcícios d, or qução difrncil ssocid primiiv: + = C = C = C ( = C cos + C sn = (C + C + C 6 = C + C - 7 ln 8 + = C 9 = A + B + C = A + B + C = C + C + C ln = A + B Or qução difrncil d fmíli d círculos d rio, cujos cnros sjm sor o io. Rsposs: d d d d d d d d d d d 6 d d ln d d d 7 8 d 9 d d d d d d d d 6 6 d d d " ' ( ' d

13 AULA. RESOLUÇÃO Rsolvr um ED é drminr ods s funçõs qu, so form fini, vrificm qução, ou sj, é or um função d vriávis qu, susiuíd n qução, rnsform- num idnidd. A rsolução d um qução difrncil nvolv sicmn dus ps: primir, qu é prprção d qução, qu consis m fzr com qu cd rmo d qução nh, lém d consns, um único ipo d vriávl. A sgund p é rsolução d qução difrncil consis n plicção dos méodos d ingrção.. CURVAS INTEGRAIS: Gomricmn, primiiv é qução d um fmíli d curvs um solução priculr é qução d um dsss curvs. Ess curvs são dnominds curvs ingris d qução difrncil. d. SOLUÇÃO: É função qu qundo susiuíd n quçãodifrncil rnsform num idnidd. As soluçõs podm sr: Solução grl: A fmíli d curvs qu vrific qução difrncil, ( primiiv d um qução difrncil conm ns consns riráris quns form s unidds d ordm d qução. Solução priculr: solução d qução dduzid d solução grl, impondo condiçõs iniciis ou d conorno. Grlmn s condiçõs iniciis srão dds pr o insn inicil. Já s condiçõs d conorno prcm qundo ns quçõs d ordm suprior os vlors d função d sus drivds são dds m ponos disinos. Solução singulr: Chm-s d solução singulr d um qução difrncil à nvolóri d fmíli d curvs, qu é curv ngn ods s curvs d fmíli. A solução singulr não pod sr dduzid d qução grl. Algums quçõs difrnciis não prsnm ss solução. Ess ipo d solução srá viso mis din. As soluçõs ind podm sr: Solução plíci: Um solução pr um EDO qu pod sr scri d form f ( é chmd solução plíci. Solução Implíci: Qundo um solução pod pns sr scri n formg(, r-s d um solução implíci.

14 Emplo: Considrmos rsolução d sguin EDO: d c d A solução grl oid é ovimn um solução plici. Por ouro ldo, pod-s dmonsrr qu EDO: m como solução: C, ou sj, um solução implíci. d Emplo: Vrifiqu qu é um solução pr qução no inrvlo (,. 6 d Rsolução: Um mnir d comprovr s um dd função é um solução é scrvr qução difrncil como vrificr, pós susiuição, s difrnç cim é d d zro prodo no inrvlo. d 6 d Susiuindo n E.D., mos 6. Es condição s vrific pr odo R. PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI Sj qução difrncil d primir ordm f (, suji condição inicil d (, m qu é um númro no inrvlo I é um númro rl rirário, é chmdo d prolm d vlor inicil. Em rmos goméricos, smos procurndo um solução pr qução difrncil dfinid m lgum inrvlo I l qu o gráfico d solução pss por um pono ( o, o drmindo priori.

15 Sj c. fmíli um prâmro d soluçõs pr '= no inrvlo (,. S spcificrmos qu ( =, não susiuindo = = n fmíli, mos: c. c. S spcificrmos qu ( =, não mos: c. c.. Srá qu qução difrncil f (, possui um solução cujo gráfico pss plo d plo pono ( o, o? Aind, s s solução isir, é únic? As funçõs = são soluçõs pr o prolm d vlor inicil 6 d ( Podmos osrvr qu o gráfico dss soluçõs pssm plo pono (,. Ds form, dsj-s sr s um solução is, qundo is, s é únic solução pr o prolm.. TEOREMA DA EISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO Sj R um rgião rngulr no plno dfinid por, c d, qu coném o df pono (, m su inrior. S f (, são conínus m r, não is um inrvlo I, cnrdo m um únic função ( dfinid m I qu sisfz o prolm d vlor inicil f (,, sujio ( d. Três prguns imporns sor soluçõs pr um EDO.. Dd um qução difrncil, srá qu l m solução?. S ivr solução, srá qu s solução é únic?. Eis um solução qu sisfz lgum condição spcil? Pr rspondr ss prguns, is o Torm d Eisênci Unicidd d solução qu nos grn rspos pr lgums ds qusõs dsd qu qução nh lgums crcrísics.

16 Torm: Considr o prolm d vlor inici p( q( d ( S p( q( são coninus m um inrvlo ro I conndo, não o prolm d vlor inicil m um únic solução nss inrvlo. Alrmos qu dscorir um solução pr um Equção Difrncil é lgo similr o cálculo d um ingrl nós smos qu ism ingris qu não possum primiivs, como é o cso ds ingris lípics. Dss form, não é d s sprr qu ods s quçõs difrnciis possum soluçõs.. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AUTÔNOMAS As quçõs difrnciis d form são chmds d uônoms. f ( d Uilizndo mnipulção forml inroduzid por Liniz (66-76, podmos scrvr qução ( n form: ( d f ( Cuj rsolução é: ( ( ( f ( Pr jusificr qução ( ncssimos qu sj m dfinid no inrvlo d f ( d inrss A, ond f ( qu sj conínu ns inrvlo A. Pois, como m f ( A, o Torm d Função Invrs grn qu is um função invrs d função (, iso é, F( l qu df f ( m A, o qu jusific o procdimno forml. d Porno, solução do prolm d condição inicil f ( d ( é oid pl solução do prolm com invrsão d função (. d f ( ( ( (6 6

17 As quçõs uônoms prcm n formulção d um grnd qunidd d modlos. Smpr qu um li d formção frm qu: d vrição d um qunidd ( é proporcionl s msm qunidd, mos um qução uônom d form k (7 d Como, f ( k, não f ( * s *. Dvmos procurr soluçõs sprdmn nos dois inrvlos. Considrndo inicilmn o prolm d Cuch k d (8 E su prolm invrso Cuj solução invrs é dd por d k ( ( (9 ou sj, ( ln C k ( k k ( k( pr R. k ln ln ln k Considr qução uônom su solução grl, pr k k d, é oid considrndo-s su form difrncil 7

18 Porno, d k k ln k C k ( C k ( C k k k Ns cso, solução d quilírio. k, d k. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU São quçõs d ordm o gru: F(, d ou Md N m qu M = M(, N = N(,. Ess funçõs êm qu sr conínus no inrvlo considrdo (-,. EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS M(, d N(, A qução difrncil srá d vriávis správis s: M N form funçõs d pns um vriávl ou consns. M N form produos d fors d um só vriávl. Iso é, s qução difrncil pudr sr colocd n form P ( d Q(, qução é chmd qução difrncil d vriávis správis... RESOLUÇÃO: Pr rsolvrmos l ipo d qução difrncil, como o próprio nom já diz, dvrmos sprr s vriávis, iso é, dvrmos dir o coficin d difrncil como sndo um função clusivmn d vriávl, não ingrmos cd difrncil, d sguin form: P (. d Q(. C Emplos: Rsolvr s sguins quçõs: 8

19 d d = d g. sc d g sc 9

20 ( d 6 d ( 7 d

21 8 Rsolv o prolm d vlor inicil d, ( AULA EERCÍCIOS Vrifiqu qu é um solução pr qução " ' no inrvlo (,. Rsolvr s sguins quçõs difrnciis. g. d d + ( + = (+ d - ( = d ( + = 6 d 7 ( + d + ( = 8 d d 9 sc g d + sc g = ( + ( + d + ( ( = ( d = ( + d = cos d cos d d ( Rsposs: Es condição s vrific pr odo númro rl. cos = C ln( C ( + ( = C C = + 6 rcg C ln 7 C k ln 8 9 g. g = C ln.rcg C = c(. C sn sn C 9 ( C 6

22 AULA. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS.. FUNÇÃO HOMOGÊNEA Um função f = f(, é dnomind homogên d gru k s, pr odo R, vl rlção f(, = k f(,. Um função f = f(, é homogên d gru s, pr odo R, vl rlção f(, = f(, Emplos: A função f(, = + é homogên d gru, pois f (, ( ( ( f (, g(, é homogên d gru zro pois, ( g(, ( f (, f(, = + é homogên d gru rês pois, f (, ( ( ( f (, S f(, for um função homogên d gru n, no qu podmos scrvr n n f (, f, f (, f, são ms homogêns d gru n. Emplo: Sj f (, f (, f (, homogên d gru. Logo,. f, f,.. EQUAÇÃO HOMOGÊNAS A qução M(, d N(, srá chmd d qução difrncil homogên s M N form funçõs homogêns d msmo gru. Emplos: d

23 ' ' rcg... Rsolução: Sj qução homogên Md + N = Tm-s: M d N Dividindo-s o numrdor o dnomindor do sgundo mmro por lvdo ponci igul o gru d homognidd d qução, rsulrá um função d /. d F ( É ncssário, no nno, susiuir função / por um our qu prmi sprr s vriávis. Dss form, susiui-s por u. Drivndo =.u m rlção m-s Susiuindo ( ( m (, mos: u du d du d du F( u u F( u F( u u d u. ( du u ( d d Qu é um qução d vriávis správis. Em rsumo: Pod-s rsolvr um Equção Difrncil Homogên, rnsformndo- m um qução d vriávis správis com susiuição =.u, ond u = u( é um nov função incógni. Assim, = du + ud é um qução d form = f(, pod sr rnsformd m um qução správl.

24 Emplo: ( d =

25 AULA EERCÍCIOS Rsolv s sguins quçõs: ( d ( + = ( d ( + = ( + d + ( + = ( + d + ( = ( + d = 6 d d 7 Drmin solução d ( d + = suji condição inicil (. 8 Drmin solução d ( d 6 suji condição inicil ( Rsposs: + = + + = k ln C rcg ou 6 ln k C rcg C

26 AULA. EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS São s quçõs qu mdin drmind roc d vriávis s rnsformm m quçõs homogêns ou m quçõs d vriávis správis. São quçõs d form: c F d c ond,,,, c c são consns. Osrvmos qu qução cim não é d vriávis správis porqu mos um som ds vriávis mém não é homogên pl isênci d rmos indpndns, porno dvrmos liminr ou som ou o rmo indpndn. O qu quivl fur um rnslção d ios. Pr ss ipo d qução m dois csos considrr:.. O DETERMINANTE É DIFERENTE DE ZERO Rsolução: c Sj o sism ( cuj solução é dd pls rízs c A susiuição sr fi srá: u d du v dv α β. 6

27 Osrv-s qu, gomricmn, quivlu um rnslção dos ios coordndos pr o pono (, qu é inrsção ds rs componns do sism (, o qu é vrddiro, um vz u o drminn considrdo é difrn d zro. Assim sndo, qução rnsformd srá: dv u v c F du u v c Como são s rízs do sism: dv du u v F u v qu é um qução homogên do ipo viso nriormn. Emplo: Rsolvr qução d 7

28 .. O DETERMINANTE É IGUAL A ZERO. Assim, osrv-s qu o méodo plicdo no o cso não frá snido, d vz qu s rs no sism srim prlls su inrsção sri vrificd no infinio (pono impróprio. A qução s rduzirá um d vriávis správis. Como =, os coficins d são proporcionis, d modo qu s pod scrvr: = Chmndo rlção consn ( d m, pod-s scrvr: c m c ( = m = m Assim: d c F m( c Fzndo + =, sndo = f(, m-s: Drivndo m rlção : ( Equção rnsformd: d d d d d d d c F m c G( qu é um qução d vriávis správis. 8

29 Emplo: Rsolvr qução d 6 9

30 ( d ( ( d ( ( d ( 8 ( d ( d ( d ( 6 d 6 7 AULA - EERCÍCIOS Rsposs: = ( + = ( + ln ( ( ( ( ( rcg k + = - 9ln( C + + ln( + - = ln( - - = C =

31 AULA 6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EATAS Um qução do ipo M(,d + N(, = ( é dnomind difrncil, s is um função U(, l qu du(, = M(,d + N(,. A condição ncssári suficin pr qu qução ( sj um difrncil é qu: M N Dd qução difrncil Md+N= ( sj u=f(,=c su solução, cuj difrncil dd por: u u du d ( Enão, comprndo ( ( rmos: u M (, u N(, ( ( Pr ormos su solução u=f(, dvrmos ingrr, por mplo, prssão (, m rlção à vriávl, d qul rmos f (, M (, d g( Drivndo prcilmn ( m rlção à rmos: f M (, d g'( Igulndo (6 ( rsul: M (, d g'( N(, Isolndo g ( ingrndo m rlção chrmos:. M (, d g( N(, C (7 Susiuindo (7 m ( rmos solução grl d qução, qu é: M d f M d (, (, N (, (, C Logo, solução é d form P U (, Md N C ond cosum-s dnor P Md ( (6

32 Emplos: ( d = ( + d ( + =

33 ( + d + ( + cos = d + ( = d + = snh.cos d = cosh.sn ( rdr r d AULA 6 EERCÍCIOS Rsposs: sn C = coshcos = r

34 AULA 7.. FATOR INTEGRANTE Nm smpr ED é, ou sj, Md + N = não sisfz, isso é: N M. Qundo isso ocorr vmos supor isênci d um função F(, qu o muliplicr od ED pl msm rsul m um ED, ou sj, F(,[Md +N] =, s é um ED. S l é, is u(, = c M F d u. N F u. FN FM N M u Tomndo condição d idão FN d FM F N N F F M M F chr F por qui é loucur!!!!!!! Vmos supor não qu F(, = F( N F N F M F dividindo udo por FN orgnizndo, mos: N N F F M N N N M N F F N M N F F rscrvndo: d N M N df F ingrndo: C d R F ( ln d R F (. ( ond: N M N R ( nlogmn, supondo F(, = F( qu orn FMd + FN = rmos: R F (. (

35 ond: M N R( M Em rsumo: M N Qundo prssão Md + Nnão é difrncil, iso é,, mosr-s qu há um infinidd d funçõs F (,, is qu F( Md N é um difrncil. A s função F (,, dá-s o nom d for ingrn. F(: F(: M N R ( M N N R( M R( d F( F( R( Emplos: Rsolvr s sguins quçõs difrnciis rnsformndo m s rvés do for ingrn. d + ( + =

36 ( d + = AULA 7 EERCÍCIOS (cos + d = sn g d + sc = sn d + cos = Enconr solução priculr d ( d pr ( ( d 6 ( d ln d 7 Rsposs: cos + = C g C sn. C k 6 ln k 7 6

37 AULA 8. EQUAÇÕES LINEARES: Um qução difrncil linr d ordm o gru m form: P( Q( ( d S Q( =, qução é di homogên ou incompl; nquno, s Q(, qução é di não-homogên ou compl. Anlisrmos dois méodos d solução d quçõs difrnciis dss ipo sr:.. FATOR INTEGRANTE: Es méodo consis n rnsformção d um qução linr m ouro do ipo difrncil, cuj solução já sudmos nriormn. Poso iso, vmos rornndo à qução originl d nosso prolm: P Q d Vmos rscrvr s úlim so form ( P Q d Pd Pd Muliplicndo mos os mmrospor (for ingrn omos prssão Pd P Q d. Aqui, idnificmos s funçõs M N : Drivndo M com rlção N com rlção, omos: M N Pd Pd P Q M P Pd N P Pd confirmndo ssim, qu qução rnsformd é um qução difrncil. 7

38 Emplo: Rsolvr qução por for ingrn: d 8

39 .. SUBSTITUIÇÃO OU DE LAGRANGE: Ess méodo foi dsnvolvido por Josph Louis Lgrng (mmáico frncês: 76-8 cridor d Mcânic Anlíic dos procssos d Ingrção ds Equçõs d Drivds Prciis. O méodo consis n susiuição d por Z. n qução (, ond = ( Z= (, sndo Z nov função incógni função drminr, ssim = Z.. Drivndo m rlção, m-s: Susiuindo ( m ( vmos or: d dz Z ( d d d d dz Z PZ Q d d d dz Z P Q ( d d Pr ingrl qução (, min-s dois csos priculrs d qução ( sr: i P =, não = Q, logo, Qd C ( ii Q =, não P (qução homogên qu rsul m + Pd = qu é d d vriávis správis. Dí, Pd. Ingrndo ss úlim, rsul m ln C Pd. Aplicndo dfinição d logrimo, pssmos scrvr solução C Pd C Pd. Fzndo C k, mos Pd k ( qu rprsn solução d qução homogên ou incompl. Agor, vmos psquisr n qução ( vlors pr Z, um vz qu =Z., rmos solução d qução ( qu um qução linr compl (não-homogên. S igulrmos os coficins d Z um cro for, o vlor dí oido podrá sr lvdo o rso d qução, possiilindo drminção d Z um vz qu pod sr drmindo prir ds condição. d Assim, vmos impor m (, qu o coficin d Z sj nulo. Fio iso, P (6, qu é d d msm form já sudd no cso ii. Assim, Pd dz k. Susiuindo s rsuldo m Q d dz omos k Pd dz Pd Q. Dí, Q dz Pd Qd. Ingrndo s úlimo d d k k (Turim, d jniro d 76 Pris, d ril d 8foi um mmáico frncês d origm ilin cridor d Mcânic Anlíic dos procssos d Ingrção ds Equçõs d Drivds Prciis 9

40 rsuldo, mos Z k Z : Pd k k Pd Pd Qd C (7. Lmrndo qu = Z., vmos or, susiuindo Qd C, ond rsul, finlmn m: Pd Pd.Q.d C (8 qu é solução grl d qução ( Empo : Rsolvr qução por Lgrng d

41 co g d ( rcg d g. cos d d d 6 g sn d AULA 8 EERCÍCIOS d cos 7 Achr solução priculr pr ( m.g 8 Rsolvr o prolm d vlor inicil, ( d Rsposs: rcg C. ln( sn C rcg sn C sc C C 6 6 sn sc C 7 cos 8 7

42 AULA 9.6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: Rsolvr quçõs difrnciis não linrs é muio difícil, ms ismlgums dls qu msmo sndo não linrs, podm sr rnsformdsm quçõs linrs. Os principis ipos d is quçõs são:.6. EQUAÇÕES DE BERNOULLI: Equção d form: d n P( Q( ( pr n n, ond P( Q( são funçõs coninus conhcids como qução d Brnoulli. Nss cso, idéi é rlizr um susiuição n qução cim, dmodo rnsformá-l m um EDO linr. Pois, s: n = + P( = g( cso nrior n = + [P( g(] = cso nrior homogên Solução: Trnsformção d vriávl: Susiui por n Driv-s m rlção : n d ( n ( d d Susiuindo (, qu é: d d n P Q Q n P m ( mos: ( n n Q n P d d Jko Brnoulli, ou Jco, ou Jcqus, ou Jco I Brnoulli (Bsili, 7 d Dzmro d 6 - Bsili, 6 d goso d 7, foi o primiro mmáico dsnvolvr o cálculo infinisiml pr lém do qu for fio por Nwon Liniz, plicndo-o novos prolms.

43 como n n nq P, mos: ( d d n( Q P d d d d [( n P] ( n Q Emplo: Tornndo-s ssim um qução linr sr rsolvid plo méodo nrior. d

44 AULA 9 EERCÍCIOS d 6 7 ln d d d d d d Rsposs: C. ln(. C C. 6 7 ln C C. ln C

45 .6. EQUAÇÃO DE RICATTI AULA A qução d Jcopo Frncsco Ricci é d form: P( Q( R( ( d ond P, Q R dsignm funçõs d. Osrvmos qu, qundo P(= mos qução linr, qundo R( = mos qução d Brnoulli. Josph Liouvill mosrou qu solução d qução d Ricci só é possívl qundo s conhc um solução priculr. Cso conrário, l só é ingrávl rvés d um função rnscndn. Rsolução: Conhcndo-s um solução priculr d qução (, pod-s rsolvr fcilmn qução fzndo sguin mudnç d vriávl: z ( ond z dpndm d. Como é solução, mos: d P Q R ( Por ouro ldo, drivndo ( m-s: d d dz d ( Susiuindo ( ( n qução ( : d dz P( z Q( z R d Dsnvolvndo grupndo os rmos: d dz Pz d ( P Q z P Q R ( (Vnz, 8 d Mio d Trviso, d Aril d 7 foi um mmáico físico ilino qu fuou rlhos sor hidráulic qu form muio imporns pr cidd d Vnz. El próprio judou projr os diqus o longo d vários cnis. Considrou divrss clsss d quçõs difrnciis ms é conhcido principlmn pl Equção d Ricci, d qul l fz um lordo sudo du soluçõs m lguns csos spciis. (Sin-Omr, Ps-d-Clis, d Mrço d 89 - Pris, 8 d smro d 88 foi um mmáico frncês. Um função é chmd d rnscndn qundo não é lgéric (pod sr prss m rmos d soms, difrnçs, produos, quocins ou rízs d funçõs polinomiis. As funçõs rigonomérics, ponnciis logrímics são mplos d funçõs rnscdns.

46 Susiuindo ( m ( rgrupndo, rsul m: dz d ( P Q z Pz (6 qu é um qução d Brnoulli n vriávl z, cuj solução já foi dsnvolvid. Em rsumo: Pr su rsolução lgéric dvrmos conhcr um solução priculr = qulqur d (, n qul mudnç d vriávis = z +, irá liminr o rmo indpndn R( rnsformndo qução d Ricci num qução d Brnoulli. Emplo: Mosrr qu procurr solução grl. é solução priculr d qução d 6

47 AULA EERCÍCIOS Vrificr s = é solução priculr d qução. Em cso firmivo, d clculr solução grl Mosrr qu é solução priculr d qução clculr su solução d grl. Sndo qu = é solução priculr d qução ( clculr d su solução grl. Clculr solução d qução sndo qu = é solução d priculr. Dr solução grl d qução sndo qu = - é solução d priculr. Rsposs: k ( C ( C k k C C 7

48 AULA. EQUAÇÕES DE A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM. ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES.. DEFINIÇÕES: Curvs ingris: Fmíli d curvs qu rprsn solução grl d um qução difrncil. Envolvid: É cd um ds curvs ingris. Rprsn gomricmn um solução priculr d qução. Envolóri: Tomndo-s como mplo fmíli d curvs dpndns d um prâmro f (,,α, dfin-s como nvolóri curv ngn ods s linhs qu consium fmíli d curvs ingris. Assim sndo, pod-s firmr qu is um ou mis nvolóris pr um msm fmíli, como mém podrá não hvr nnhum. Por mplo, um fmíli d circunfrêncis concênrics não prsn nvolóri. 8

49 .. EQUAÇÃO DA ENVOLTÓRIA Sj f (,,α um fmíli d curvs dpndns do prâmro. Dfin-s como nvolóri curv qu é ngn od linh qu consium fmíli d curvs. Pod-s isir um ou mis nvolóris pr um msm fmíli d curvs, como mém podrá não hvr nnhum. As curvs qu form fmíli são chmds nvolvids. Grlmn, nvolóri é dfinid plo sism: f (,, f (,, ( cuj qução pod sr oid pl liminção do prâmro m (. Tmém podmos or qução d nvolóri so form prméric, rsolvndo o sism pr. Emplo: Or nvolóri d um fmíli d circunfrênci com cnro sor o io rio igul. 9

50 .. SOLUÇÕES SINGULARES Um qução difrncil não linr d ordm pod s scri n form lrniv F,, d Foi viso qu um qução difrncil pod prsnr rês ipos d solução: grl priculr singulr (vnulmn A solução grl é do ipo f (,,C, qu rprsn um fmíli d curvs (curvs ingris, cd um ds quis sá ssocid um solução priculr d qução dd. A nvolóri dss fmíli d curvs (cso is rprsn solução singulr d qução originl. D fo, o coficin ngulr d r ngn m um pono d coordnds, d nvolóri d curv ingrl corrspond. Além disso, m-s qu os lmnos, d d cd pono d nvolóri sisfzm à qução cim, pois são lmnos d um curv d ingrl. Porno, nvolóri é um solução d qução qu não rsul d fição d consn C, por s rzão, é um solução singulr. Emplo: Drminr solução grl solução singulr d qução d d

51 AULA EERCÍCIOS Dr nvolóri ds sguins fmílis d curvs: ( Or solução singulr d qução d Achr solução grl solução singulr d qução: d d Rsposs = 7 + = = C C (solução grl (solução singulr

52 AULA.. EQUAÇÃO DE CLAIRAUT A Equção d Cliru 6 m form. d d Rsolução: Chmndo p d qução d Cliru fic p p ( Drivndo qução nrior m rlção, rmos: d dp d dp d dp d p. '( p '( p dp d ( p C A solução grl é dd susiuindo-s m ( p plo su vlor C Assim, C (C é solução grl d qução d Cliru (fmíli d rs D (, m-s: '( p ( '( p Eliminndo-s p nr ( ( m-s um rlção F(,= qu rprsn solução singulr. Emplos: Drminr solução grl solução singulr d sguin quçõs d Cliru: d d 6 (Pris, d Mio d 7 Pris, 7 d Mio d 76 foi um mmáicofrncês.prcursor d gomri difrncil, rlizou sudos fundmnis sor curvs no spço.

53 Rsposs AULA EERCÍCIOS Drminr solução grl solução singulr ds sguins quçõs d Cliru:. ln d d. d d c. d d d. d d. d d. C ln C (grl ln (singulr. C C (grl (singulr c. C (grl C 7 (singulr d. C( C (grl. ( 6 (singulr C C (grl ( (singulr

54 AULA.. EQUAÇÃO DE LAGRANGE: A quçõs d Lgrng m form F d d ( Osrvmos qu qução d Cliru é um cso priculr d qução d Lgrng, s F. d d Rsolução: A solução d qução d Lgrng, grlmn é dd so form prméric. Chmndo p qução d Lgrng fic F( p p. d Drivndo qução nrior m rlção, rmos: dp p F( p F '( p '( p d d Muliplicndo por dividindo por [p F(p], m-s: dp dp p F( p F '( p '( p d dp d dp d D ond s pod scrvr d P Q dp d dp F'( p p F( p '( p p F( p Como m grl não srá possívl isolr p n solução d qução linr nrior, solução grl d qução d Lgrng srá dd n form prméric: ( p ( p

55 Emplo: Rsolvr qução d d

56 ..6 OUTROS TIPOS DE EQUAÇÃO DE A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM: Rsolvr s sguins quçõs: d sn d ln d 6

57 AULA - EERCÍCIOS d d d d d d d d d. d 6 ln d d d 7 d Rsposs p ln( p p C p lnp p C p p ln p p ln p C p C p C C p p p ln p rcsnp c 6 7 p p p c p p p ln p p c p p ln p ln p rcg p c 7

58 AULA. EERCÍCIOS GERAIS Clcul s Equçõs Difrnciis io: d ( d ( d cos snd sn cos cos( d ( d ( 6 7 d d ( d 8 d ( 9 ( ( d d ( d (9 cos( d d cos( ( 6 d (6 6 d ( sn d ( cos (sc. g d (sc. g 7 8 (cos d sn 9, drminr solução priculr pr =. d d d d ( ln Achr solução priculr pr = = m d d ( d ( ( d 6 d 7 8Conhcndo-s solução priculr = qução solução grl. ( d d clculr su Clculr solução grl singulr ds sguins quçõs: 9 d d d d d d d sn d Rsolvr s sguins quçõs d Lgrng: d d d d 8

59 6 ln( C C ln C( ln sc sc cos sc( co g( C C 6 C 7 C 8 ln( C 9 ln C ( ln( 8 8 C 6 C ln(6 C( sn( ln C C C ( 6 C 7 cos C 8 sc sc (- C 9 cos C C ln C C C C C C C C Rsposs: C C 9 7 C ( C C C Não há solução singulr C snc rccos ( Cp p ( Cp p 6 C p p C p p 9

60 AULA 6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS 6. MODELO MATEMÁTICO É frqunmn dsjávl dscrvr o compormno d lgum sism ou fnômno d vid rl m rmos mmáicos, qur sjm ls físicos, sociológicos ou msmo conômicos. A dscrição mmáic d um sism ou fnômno, chmd d modlos mmáicos é consruíd lvndo-s m considrção drminds ms. Por mplo, lvz quirmos comprndr os mcnismos d um drmindo cossism por mio do sudo do crscimno d populçõs nimis nss sism ou dr fóssis por mio d nális do dcimno rdioivo d um susânci qu sj no fóssil ou no ro no qul foi dscor. A consrução d um modlo mmáico d um sism comç com: i. idnificção ds vriávis rsponsávis pl vrição do sism. Podmos principio opr por não incorporr ods sss vriávis no modlo. Ns p, smos spcificndo o nívl d rsolução do modlo. A sguir, ii. lormos um conjuno d hipóss rzoávis ou prssuposiçõs sor o sism qu smos nndo dscrvr. Esss hipóss dvrão incluir mém quisqur lis mpírics plicávis o sism. Pr lguns propósios, pod sr prfimn rzoávl nos connrmos com um modlo d i rsolução. Por mplo, você provvlmn já s qu, nos cursos ásicos d Físic, forç rrddor do rio com o r é às vzs ignord, n modlgm do movimno d um corpo m qud ns proimidds d suprfíci d Trr, ms você for um cinis cujo rlho é prdizr prcismn o prcurso d um projéil d longo lcnc, rá d lvr m con rsisênci do r ouros fors como curvur d Trr. Como s hipóss sor um sism nvolvm frqünmn um d vrição d um ou mis vriávis, dscrição mmáic d ods sss hipóss pod sr um ou mis quçõs nvolvndo drivds. Em ours plvrs, o modlo mmáico pod sr um qução difrncil ou um sism d quçõs difrnciis. Dpois d formulr um modlo mmáico, qu é um qução difrncil ou um sism d quçõs difrnciis, srmos d frn pr o prolm nd insignificn d nr rsolvêlo. S pudrmos rsolvê-lo, julgrmos o modlo rzoávl s sus soluçõs form consisns com ddos primnis ou fos conhcidos sor o compormno do sism. Porém, s s prdiçõs oids pl solução form pors, podrmos lvr o nívl d rsolução do modlo ou lvnr hipóss lrnivs sor o mcnismo d mudnç no sism. As ps do procsso d modlgm são não rpids, conform disposo no sguin digrm. 6

61 Nurlmn, umnndo rsolução umnrmos complidd do modlo mmáico, ssim, proilidd d não consguirmos or um solução plíci. Um modlo mmáico d um sism físico frqunmn nvolv vriávl mpo. Um solução do modlo ofrc não o sdo do sism; m ours plvrs, os vlors d vriávl (ou vriávis pr vlors propridos d dscrvm o sism no pssdo, prsn fuuro. 6. DINÂMICA POPULACIONAL Um ds primirs nivs d modlgm do crscimno populcionl humno por mio d mmáic foi fio plo conomis inglês Thoms Mlhus, m 798. Bsicmn, idéi por rás do modlo mlhusino é hipós d qu sgundo qul populção d um pis crsc m um drmindo insn é proporcionl populção ol do pis nqul insn. Em ours plvrs, quno mis pssos houvr m um insn, mis pssos isirão no fuuro. Em rmos mmáicos, s P( for populção ol no insn, não ss hipós pod sr prss por: d k d, ( k. ( ond k é um consn d proporcionlidd, srv como modlo pr divrsos fnômnos nvolvndo crscimno ou dcimno. Conhcndo populção m lgum insn inicil rirário, podmos usr solução d ( pr prdizr populção no fuuro, iso é, m insns >. ds O modlo ( pr o crscimno mém pod sr viso como qução rs, qul d dscrv o crscimno do cpil S qundo um nul d juros r é compos coninumn. Emplo: Em um culur, há inicilmn céris. Um hor dpois, =, o númro d céris pss sr /. S d crscimno é proporcionl o númro d céris prsns, drmin o mpo ncssário pr qu o númro d céris ripliqu. 6

62 Rsolução: ( o = ( = o d k d d kd Ingrndo com rlção qução cim,mos: d kd ln = k + c ln ln c = k ln c = k k = c Pr ( qução nrior fic d sguin form: Volndo pr qução susiuindo o vlor d c = c. k k c Pr dscorirmos o vlor d k, uilizmos ( =. k ln k k, k. volndo novmn qução, mos k, pr qu o númro d céris ripliqu, 6

63 ,, ln,,,986, 79 srão ncssários,7 hors proimdmn. 6. MEIA VIDA Em físic, mi-vid é um mdid d silidd d um susânci rdioiv. A mivid é simplsmn o mpo gso pr md dos áomos d um qunidd A s dsingrr ou s rnsmur m áomos d ouro lmno. Quno mior mi-vid d um susânci, mis sávl l é. Por mplo, mi do ulr rdioivo rádio, R-6, é crc d 7 nos. Em 7 nos, md d um dd qunidd d R-6 é rnsmud m Rdônio, Rn-. O isóopo d urânio mis comum, U-8, m um mi-vid d proimdmn... d nos. Nss mpo, md d um qunidd d U-8 é rnsmud m chumo, P-6. da.a ( d A( = A A( A A A. k Emplo: Um ror convr urânio 8 m isóopo d pluônio 9. Após nos foi dcdo qu,% d qunidd inicil A d pluônio s dsingrou. Enconr mi vid dss isóopo s d dsingrção é proporcionl à qunidd rmnscn. Rsolução: A A,A,9997 A Rsolvndo qução: da ka d da kd A ln A = k + c A ln k c A k c A = c. k 6

64 Sndo qu A( A, mos: k A c A c c A Pr drminr k, usmos o fo d qu qu A(,9997 A, logo A( = A. k A( = A. k A( =,9997 A = A. k A ( A,8867. Ln,9997 = ln A, 867 A. A.,867 -, = k = -, ,69 = -,867 =,8,8 nos Volndo qução, mos qu: Pr dscorir mi vid s fzr: A( A( A A,8667 A,8667 A,8667, ln,,8667,69, ,7 Logo o mpo d mi vid é d proimdmn.8 nos 6

65 6. DECAIMENTO RADIOTAIVO O núclo d um áomo consis m cominçõs d próons nêurons. Muis dsss cominçõs são insávis, iso é, os áomos dcm ou rnsmum m áomos d our susânci. Esss núclos são chmdos d rdioivos. Por mplo, o longo do mpo, o lmn rdioivo lmno rádio, R-6, rnsmu-s no gás rdônio rdioivo, Rn-. Pr modlr o fnômno d dcimno rdioivo, supõ-s qu d da/dsgundo qul o núclo d um susânci dci é proporcionl qunidd (mis prcismn, o númro d núclos A( d susâncis rmnscn no insn : da.a ( d Nurlmn s quçõs ( ( são iguis, difrnç rsid pns n inrprção dos símolos ns consns d proporcionlidd. Pr o crscimno, conform sprmos m (, k>, pr o dcimno, como m (, k<. O modlo ( pr o dcimno mém ocorr com plicçõs iológics, como drminção d mi vid d um drog o mpo ncssário pr qu % d um drog sj limind d um corpo por crção ou molismo. Em químic, o modlo d dcimno ( prc n dscrição mmáic d um rção químic d primir ordm, iso é, um rção cuj ou vlocidd d/d é dirmn proporcionl à qunidd d um susânci não rnsformd ou rmnscn no insn. A qusão é qu: Um únic qução difrncil pod srvir como um modlo mmáico pr vários fnômnos difrns. 6. CRONOLOGIRA DO CARBONO Por vol d 9, o químico Willrd Li 7 invnou um méodo pr drminr idd d fóssis usndo o crono rdioivo. A ori d cronologi do crono s si no fo d qu o isóopo do crono é produzido n mosfr pl ção d rdiçõs cósmics no nirogênio. A rzão nr qunidd d C- pr crono ordinário n mosfr pr sr um consn, como consquênci, proporção d qunidd d isóopo prsn m odos os orgnismos é msm proporção d qunidd n mosfr. Qundo um orgnismo morr, sorção d C-, rvés d rspirção ou limnção, css. Logo, comprndo qunidd proporcionl d C- prsn, digmos,m um fóssil com rzão consn n mosfr, é possívl or um rzoávl simiv d idd do fóssil. O méodo s si no conhcimno d mi-vid do crono rdioivo C-, crc d.6 nos. O méodo d Li m sido usdo pr dr móvis d mdir m úmulos gípcios, o cido d linho qu nvolvi os prgminhos do Mr Moro o cido do nigmáico sudário d Turim. 7 Willrd Frnk Li(Grnd Vll, 7 d Dzmro d 98 Los Angls, 8 d Smro d 98 foi um químicosdunidns.é rconhcido pl dscor do méodo d dmno conhcido por dção por rdiocrono (crono-, rcndo por iso o Nol d Químic d 96. 6

66 Emplo: Um osso fossilizdo coném um milésimo d qunidd originl do C-. Drmin idd do fóssil. Rsolução: A( = A. k A k.6 A. ln ln 6k 6k = -,69 = -,776 A qução fic d sguin form: A( = A. -,776,776 A A. ln ln, 776 -,776 = - 6,977 =.88 A idd do fóssil é d proimdmn.88 nos. 6.6 RESFRIAMENTO D cordo com Li mpíric d Nwon do sfrimno/rsfrimno, sgundo qul mprur d um corpo vri é proporcionl difrnç nr mprur d um corpo vri proporcionlmn difrnç nr mprur do corpo mprur do mio qu o rodi, dnomind mprur min. S T( rprsnr mprur d um corpo no insn, T m mprur do mio qu o rodi dt/d sgundo qul mprur do corpo vri, li d Nwon do sfrimno/rsfrimno é convrid n snnç mmáic dt d (T T ( m T k c Tm ond k é um consn d proporcionlidd. Em mos os csos, sfrimno ou qucimno, s T m for um consn, é lógico qu k<. 66

67 Emplo: Um olo é rirdo do forno, su mprur é d ºF. Três minuos dpois, su mprur pss pr ºF. Quno mpo lvrá pr su mprur chgr 7 grus, s mprur do mio min m qu l foi colocdo for d mn 7ºF? Rsolução: T( = dt F k( T Tm d T( = dt F k( T 7 d T(? = 7 dt kd ( T 7 T m = 7 ln( T 7 k c ( T 7 ln k c T 7 k c A solução grl d ED é dd por: k T c. 7 Sndo qu T( mos qu: Logo: T =. k + 7 T( = = C. k. + 7 C = Tmos ind qu T(, com isso: =. k + 7 k = k ln k ln k,788 k,9869 A qução fic d sguin form:,98 T( 7 ] Pr qu mprur do olo chgu m 7 grus,, , ,98 = ln =, com isso, srá ncssário, minuos. 67

68 6.7 MISTURAS A misur d dois fluidos lgums vzs dá origm um qução difrncil d primir ordm pr qunidd d sl conid n misur. Vmos supor um grnd nqu d misur connh glõs d slmour (iso é, águ n qul foi dissolvid um drmind qunidd d lirs d sl. Um our slmour é omd pr dnro do nqu um d rês glõs por minuo; concnrção d sl nss sgund slmour é d lirs por glão.qundo solução no nqu sivr m misurd, l srá omd pr for msm m qu sgund slmour nrr. S A( dnor qunidd d sl (mdid m lirs no nqu no insn, sgundo qul A( vri srá um liquid: da d T d nrd T d síd R R s d sl d sl ( A d nrd R d sl (m lirs por minuo é: T d nrd d slmour Concnrção d sl no fluo d nrd d nrd d sl R ( gl / min. ( k/ gl 6l / min Um vz qu solução sá sndo omd pr for pr dnro do nqu msm, o númro d glõs d slmour no nqu no insn é consn igul glõs. Assim sndo, concnrção d sl no nqu no fluo d síd é d A(/ l/gl, d síd d sl R s é: T d síd d slmour Concnrção d sl no fluo d síd d sid d sl R s (gl / min. A l / gl A l / min A qução (orn-s não: Emplo: da A 6 ( d Dos ddos do nqu cim considrdo d qução (, omos qução(. Vmos colocr gor sguin qusão: s lirs d sl fossm dissolvids nos glõs iniciis, quno sl hvri no nqu pós um longo príodo? 68

69 Rsolução: da A 6 d da A 6 d Pd Pd A. Qd C A A A 6 C. 6.6d C C Pr A( mos: 6 C. C Logo, solução fic d sguin form: A 6 A solução cimfoi usd pr consruir sguin l: (min A(l 66, 97,67 77,7,7 7,6 89,9 Além disso podmos osrvr qu A 6 qundo. Nurlmn, isso é o qu sprrímos nss cso; durn um longo príodo, o númro d lirs d sl n solução dv sr ( gl.(l/gl = 6 l. Ns mplo supusmos qu sgundo qul solução r omd pr dnro r igul à sgundo qul l r omd pr for. Porém isso não prcis sr ssim; misur slin podri sr omd pr for um mior ou mnor do qu qul sgundo qul é omd pr dnro. Por mplo, s solução m misurd do mplo cim for omd pr for um mnor, digmos d gl/min, o liquido cumulrá no nqu um d ( gl/min = gl/min. Após minuos, o nqu conrá + glõs d slmour. A sgundo qul o sl si do nqu é não: A R s ( gl / min. l / gl Logo, Equção ( orn-s: da A da 6 ou A 6 d d 69

70 Você dv vrificr qu solução d úlim qução, suji A(=, é: 7 A ( 6 (,9 ( 6.8 DRENANDO UM TANQUE Em hidrodinâmic, Li d Toriclli slc qu vlocidd v do fluo d águ m um urco com ords n s d um nqu chio é um lur h é igul vlocidd com qu um corpo (no cso, um go d gu dquiriri m qud livr d um lur h, iso é, v gh, ond g é clrção dvid grvidd. Ess úlim prssão origin-s d igulr nrgi cinéic mv com nrgi poncil mgh rsolvr pr v. Suponh qu um nqu chio com águ sj drndo por mio d um urco so influênci d grvidd. Gosrímos d nconrr lur h d águ rmnscn no nqu no insn. Considr o nqu o ldo: S ár do urco for A h (m pés qudrdos vlocidd d síd d águ do nqu for v gh (m pés/s, o volum d síd d águ do nqu por sgundo é A h gh (m pés cúicos/s. Assim, s V( dnor o volum d águ no nqu no insn, dv d A gh (6 ond o sinl d surção indic qu V sá dcrscndo. Osrv qui qu smos ignorndo possiilidd d rio do urco qu poss cusr um rdução n d fluo. Agor, s o nqu for l qu o volum d águ m qulqur insn poss sr scrio como V ( Awh, ond Aw dv dh (m pés qudrdos é ár consn d suprfíci d águ, não Aw. d d Susiuindo ss úlim prssão m (6, omos qução difrncil dsjd pr lur d águ no insn : dh Ah gh (7 d A É inrssn nor qu (7 prmnc válid msmo qundo A w não for consn. Nss cso, dvmos prssr suprfíci suprior d águ como um função d h, iso é, A w = A(h. w h 7

71 Emplo: Um nqu coném inicilmn glõs d slmour com ls d sl. No insn =, comç-s dir no nqu águ pur à rzão d gl/min, nquno misur rsuln s sco do nqu à msm. Drmin qunidd d sl no nqu no insn. Rsolução: Tmos sguin qução pr rsolvr l prolm: Logo, m-s qu: A solução ds qução é: ( Qundo, smos qu Q. Lvndo sss vlors m (, nconrmos c, d modo qu ( pod sr scri como: No-s qu qundo pur no nqu. como r d s sprr, pois só s dicion águ 7

72 6.9 DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA Um donç congios, por mplo, um vírus d grip, splh-s m um comunidd por mio do cono nr s pssos. Sj ( o númro d pssos qu conrírm donç ( o númro d pssos qu ind não form poss. É rzoávl supor qu d/d sgundo qul donç s splh sj proporcionl o númro d nconros ou inrçõs nr sss dois grupos d pssos. S supusrmos qu o númro d inrçõs é conjunmn proporcionl ( (, iso é, proporcionl o produo, não: d k (8 d ondk é consn d proporcionlidd usul. Suponh qu um pqun comunidd nh um populção fi d n pssos. S um psso infcd for inroduzid n comunidd, pod-s rgumnr qu ( ( são rlcionds por n. Usndo ss úlim qução pr liminr m (8, omos o modlo d k( n (9 d Um condição óvi qu compnh qução (9 é ( =. Emplo: Cinco ros m um populção sávl d são inncionlmn infcdos com um donç congios pr sr um ori d dissminção d pidmi, sgundo qul d vrição d populção infcd é proporcionl o produo nr o númro d ros infcdos o númro d ros sm donç. Admiindo qu ss ori sj corr, qul o mpo ncssário pr qu md d populção conri donç? Rsolução: Sndo N( o númro d ros infcdos no insn. ros sm donç no insn. Pl ori N( é o númro d Ess qução é difrn d usd é qui, pois d vrição não é mis proporcionl pns o númro d ros qu possum donç. Dss form difrncil é Sndo um qução ind správl, plicndo dcomposição m frçõs prciis, mos: Susiuindo não mos 7

73 ( Ingrndo: ( ( ( S m =, N=, mos qu Enão: Pr qu N =, no mpo, mos qu Sndo o vlor numérico d consns d proporcionlidd k, mos qu: 7

74 6. CORPOS EM QUEDA Pr consruir um modlo mmáico do movimno d um corpo m um cmpo d forç, m grl inicimos com sgund li do movimno d Nwon. Lmr-s d físic lmnr qu primir li do movimno d Nwon slc qu o corpo prmncr m rpouso ou coninurá movndo-s um vlocidd consn, não sr qu sj gindo sor l um forç rn. Em cd cso, isso quivl dizr qu, qundo som ds forçs F F iso é, forç liquid ou rsuln, qu g sor o corpo for difrn d zro, ss forç líquid srá proporcionl su clrção ou, mis prcismn, F = m., ond m é mss do corpo. Suponh gor qu um pdr sj jogd pr cim do opo d um prédio, conform ilusrdo n figur io: Qul posição s( d pdr m rlção o chão no insn? A clrção d pdr é drivd sgund d s d S ssumirmos como posiiv dirção pr cim qu nnhum our forç lém d grvidd g sor pdr, ormos sgund li d Nwon k d s m d mg ou d s d g ( Em ours plvrs, forç liquid é simplsmn o pso F= F = - W d pdr próimo á suprfíci d Trr. Lmr-s d qu mgniud do pso é W = mg, ond m é mss g é clrção dvid grvidd. O sinl d surção foi usdo m (, pois o pso d pdr é um forç dirigid pr io, opos dirção posiiv. S lur do prédio é s vlocidd inicil d pdr é v, não s é drmind, com s no prolm d vlor inicil d sgund ordm d s d g s( s, s' ( v (, Emor não sjmos nfizndo rsolução ds quçõs oids, osrv qu ( pod sr rsolvid ingrndo-s consn g dus vzs m rlção. As condiçõs iniciis drminm s dus consns d ingrção. Você podrá rconhcr solução d (, d físic lmnr, como fórmul s( g v s. Emplo: Di-s cir um corpo d mss d kg d um lur d m, com vlocidd inicil zro. Supondo qu não hj rsisênci do r, drmin: A prssão d vlocidd do corpo no insn ; A prssão d posição do corpo no insn ; c O mpo ncssário pr o corpo ingir o solo. 7

75 Rsolução: Primirmn domos o sism d coordnd como n figur io, sndo posiivo o snido pr io. Como não há rsisênci do r, usmos qução dv g d Es é um qução linr správl. Assim: dv gd dv gd v g c Como v( =, sgu qu v( = g Pr drminr prssão d posição no insn, fzmos: d g d d gd d g ( g d c Sndo ( =, sgu qu: ( g c Pr ( =, mos: g S dormos g = m / s, rmos:,s 7

76 6.. CORPOS EM QUEDA E A RESISTÊNCIA DO AR Ans dos fmosos primnos d Glilu n orr inclind d Pis, crdiv-s qu os ojos mis psdos m qud livr, como um l d cnhão, cím com um clrção mior do qu d ojos mis lvs, como um pn. Ovimn, um l d cnhão um pn, qundo lrgds simulnmn d msm lur, cm s difrns, ms isso não s dv o fo d l d cnhão sr mis psd. A difrnç ns s é dvid rsisênci do r. A forç d rsisênci do r foi ignord no modlo ddo m (. So lgums circunsâncis, um corpo m qud com mss m, como um pn com i dnsidd formo irrgulr, nconr um rsisênci do r proporcionl su vlocidd insnân v. S nsss circunsncis, omrmos dirção posiiv como orind pr io, forç liquid qu g sor mss srá dd por F F F mg kv, ond o pso F m. g do corpo é forç qu g n dirção posiiv rsisênci do r F k. v é um forç chmd morcimno viscoso qu g n dirção opos ou pr cim. Vj figur io: Agor, como v s rlciondo com clrção rvés d = dv/d, sgund li d Nwon orn-s dv F m. m.. Susiuindo forç liquid nss form d d sgund li d Nwon, omos qução difrncil d primir ordm pr vlocidd v( do corpo no insn. dv m mg kv ( d Aqui k é um consn d proporcionlidd posiiv. S s( for disnci do corpo m qud no insn prir do pono inicil, não v um qução difrncil d sgund ordm: ds d dv d d s d. Em rmos ds, ( é d s m d mg k ds d ou d s m k d ds d mg ( 76

77 Emplo: Um corpo d mss m é lnçdo vriclmn pr cim com um vlocidd inicil v. S o corpo nconr um rsisênci do r proporcionl à su vlocidd, drmin : qução do movimno no sism d coordnds d figur io, um prssão d vlocidd do corpo pr o insn, c o mpo ncssário pr o corpo ingir lur máim. Rsolução: dv ( Ns sism d coordnds, Eq.: mg kv m pod não sr qução d d movimno. Pr slcr qução proprid, no qu dus forçs um sor o corpo: ( forç d grvidd dd por mg ( forç d rsisênci do r dd por kv, rsponsávl por rrdr vlocidd do corpo. Como sss forçs um n dirção ngiv (pr io, forç rsuln qu u sor o corpo é mg kv. Aplicndo dv F m rgrupndo os rmos, omos como qução do movimno: d dv k v g ( d m ( A Equção ( é um qução difrncil linr, cuj solução é v=v ; logo, k m mg v c, ou k v c k m mg k. Em =, mg c v. A vlocidd do corpo no insn é: k v v mg c k k m mg k 77

78 (c O corpo ing lur máim qundo. Logo, dvmos clculr qundo. Susiuindo rsolvndo m rlção, mos ( ( ( ( ( ( 6. CORRENTE DESLIZANTE Suponh qu um corrn uniform d comprimno L m pés sj pndurd m um pino d ml prso um prd m cim do nívl do chão. Vmos supor qu não hj rio nr o pino corrn qu corrn ps lirs/pés. A figur io ( ilusr posição d corrn qundo m quilírio; s foss dslocd um pouco pr diri ou pr squrd, corrn dslizri plo pino. Suponh qu dirção posiiv sj omd como sndo pr io qu ( dno disnci qu rmidd diri d corrn ri cído no mpo. A posição d quilírio corrspond =. N figur (, corrn é dslocd m pés é mnid no pino é sr sol m um mpo inicil qu dsignrmos por =. Pr corrn m movimno, conform mosr figur (c, mos s sguins qunidds: 78

79 Pso d corrn: Mss d corrn: Forç rsuln: W = (L pés. ( l/pés = L m = W/g = L / L L F p Um vz qu d d m F orn-s L d d ou ( d 6 d L Emplo: Um corrn com pso uniform com 9,6 mros d comprimno sá pndurd m um cilindro fio n prd. A corrn é dslocd d form qu rmidd diri sj mros io d su posição d quilírio sold num insn =. Com sss ddos, dsj-s sr m quno mpo corrn cirá do cilindro ( = L. Considr o pso d corrn como P L 9, 6 Rsolução: ( ( Sndo Como Sndo, 79

80 Como, só é possívl 6. CIRCUITOS EM SÉRIE Considr o circuio m séri d mlh simpls mosrdo o ldo, conndo um induor, rsisor cpcior. A corrn no circuio dpois qu chv é fchd é dnod pori(; crg m um cpcior no insn é dnod por q(. As lrs L, C R são conhcids como induânci, cpciânci rsisênci, rspcivmn, m grl são consns. Agor, d cordo com sgund Li d irchhoff, volgm plicd E( m um mlh fchd dv sr igul à som ds quds d volgm n mlh. A figur io mosr os símolos s fórmuls pr rspciv qud d volgm m um induor, um cpcior um rsisor. Um vz qu corrn i( sá rlciond com crg q( no cpcior por i = dq/d, dicionndo-s s rês quds d volgm. Induor induânci L : hnrs(h di qud d volgm: L d di L d d q L, d Rsisor rsisênci quddvolgm: ir ir dq R d R : ohms( Cpcior cpciânci C :frds ( f quddvolgm: q c qucionndo-s som ds volgns plicds, oém-s um qução difrncil d sgund ordm d q dq L R q E( d d c 8

81 Pr um circuio m séri conndo pns umrsisor um induor, sgund li d Dirchhoff slc qu som ds quds d volgm no induor (L(di/d no rsisor (ir é igul volgm plicd no circuio (E(. Vj figur io. Omos, ssim, qução difrncil linr pr corrn i(. di L d Ri E( ondl R são consns conhcids como induânci rsisênci, rspcivmn. A corrn i( é mém chmd d rsposdo sism. A qud d volgm m um cpcior com cpciânci C é dd por q(/ci, ond q é crg no cpcior. Assim sndo, pr o circuio m séri mosrdo n figur (, sgund li d irchhoff nos dá Ri q E( C ms corrn i crg q são rlcionds por i = dq/d, dss form, qução cim rnsform-s n qução difrncil linr Emplo: dq R q E( d C Um ri d vols é concd um circuio m séri no qul induânci é ½ Hnr rsisênci é ohms. Drmin corrn i s corrn inicil for. Rsolução: L= induânci = ½ di L Ri E d Pr i( = R = rsisênci = di 6 i c d i = corrn di 6 i c d E = volgm plicd = P = Q = 8

82 Logo: i i d Pd i 6 d c c c AULA - EERCÍCIOS 6 6 i Enconr um prssão pr corrn m um circuio ond rsisênci é, induânci é H, pilh fornc um volgm consn d 6 V o inrrupor é ligdo quno =. Qul o vlor d corrn? Um circuio RL sm fm plicd possui um rsisênci d ohms, um induânci d hnris um corrn inicil d mpèrs. Drmin corrn no circuio no insn. Um forç lromoriz é plicd um circuio m séri LR no qul induânci é d, hnr rsisênci é d ohms. Ach curv i( s i( =. Drmin corrn quno. Us E = V. Um forç lromoriz d V é plicd um circuio m séri RC no qul rsisênci é d cpciânci é d - frds. Ach crg q( no cpcior s q( =. Ach corrn i(. Um forç lromoriz d V é plicd um circuio m séri RC no qul rsisênci é d cpciânci é - 6 frds. Ach crg q( no cpcior s i( =,. Drmin crg d corrn m =,s. Drmin crg qundo. 6 S-s qu populção d um cr comunidd crsc um proporcionl o númro d pssos prsns m qulqur insn. S populção duplicou m nos, qundo l riplicrá? 7 Suponh qu populção d comunidd do prolm nrior sj pós nos. Qul r populção inicil? Qul srá populção m nos? 8 A populção d um cidd crsc um proporcionl à populção m qulqur mpo. Su populção inicil d hins umn % m nos. Qul srá populção m nos? 9 S-s qu um culur d céris crsc um proporcionl à qunidd prsn. Após um hor, osrvm-s filirs d céris n culur, pós, quro hors, osrvm-s filirs. Drmin: prssão do númro proimdo d filirs d céris prsns n culur no insn : o númro proimdo d filirs d céris no início d culur: 8

83 S-s qu populção d drmindo pís umn um proporcionl o númro d hins do pís. S, pós dois nos, populção duplicou,, pós rês nos, populção é d. hins, sim o númro inicil d hins. Um psso dposi $, m um poupnç qu pg % d juros o no, composos coninumn. Drmin: O sldo n con pós rês nos. O mpo ncssário pr qu quni inicil dupliqu, dmiindo qu não nh hvido rirds ou dpósios dicionis: Um con rnd juros composos coninumn. Qul d juros ncssári pr qu um dpósio fio n con dupliqu m sis nos? Um psso dposi ris m um con d pg juros composos coninumn. Admiindo qu não hj dpósios dicionis nm rirds, qul srá o sldo d con pós 7 nos, s d juros for 8.% durn os quro primiros nos 9.% durn os úlimos rês nos. Cro mril rdioivo dci um proporcionl à qunidd prsn. S ism inicilmn miligrms d mril, s, pós dus hors, o mril prdu % d su mss originl, drmin: A prssão d mss rmnscn m um insn : A Mss do mril pós quro hors: c O mpo pr o qul o mril prd md d su mss originl (mi vid O isóopo rdioivo d chumo, Ph 9, dcrsc um proporcionl à qunidd prsn m qulqur mpo. Su mi vid é d, hors. S grm d chumo sá prsn inicilmn, quno mpo lvrá pr 9% d chumo dsprcr? 6 Inicilmn hvi miligrms d um susânci rdioiv prsn. Após 6 hors mss diminui %. S d dcrscimno é proporcionl à qunidd d susânci prsn m qulqur mpo, drminr mi vid ds susânci. 7 Com rlção o prolm nrior, nconr qunidd rmnscn pós hors. 8 Em um pdço d mdir quimd, ou crvão, vrificou-s qu 8,% do C- inh s dsingrdo. Qul idd d mdir? 9 Um rmômro é rirdo d um sl, m qu mprur é 7 º F, colocdo no ldo for ond mprur é º F. Após, minuo o rmômro mrcv º F. Qul srá mprur mrcd plo rmômro no insn = minuo? Quno lvrá pr mrcr º F? Sgundo Li d Nwon, vlocidd d rsfrimno d um corpo no r é proporcionl à difrnç nr mprur do corpo mprur do r. S mprur do r é o C o corpo s rsfri m minuos d o C pr 6 o C, dnro d quno mpo su mprur dscrá pr o C? Um indivíduo é nconrdo moro m su scriório pl scrári qu lig imdimn pr políci. Qundo políci chg, hors dpois d chmd, min o cdávr o min, irndo os sguins ddos: A mprur do scriório r d o C, o cdávr inicilmn inh um mprur d o C. Um hor dpois mdindo novmn 8

84 mprur do corpo ov. o C. O invsigdor, supondo qu mprur d um psso viv é d 6. o C, prnd scrári. Por qu? No di sguin o dvogdo d scrári lir, lgndo o qu? So s msms hipóss sujcns o modlo m (, drmin qução difrncil qu govrn o crscimno populcionl P( d um pís qundo os indivíduos m uorizção pr imigrr um consn r. Usndo o concio d liquid, qu é difrnç nr d nlidd d morlidd n comunidd, drmin um qução difrncil qu govrn volução d populção P(, s d nlidd for proporcionl populção prsn no insn, ms d morlidd for proporcionl o qudrdo d populção prsn no insn. Suponh qu um sudn pordor d um vírus d grip rorn pr um cmpus univrsiário fchdo com mil sudns. Drmin qução difrncil qu dscrv o númro d pssos ( qu conrirão grip, s sgundo qul donç for splhd for proporcionl o numro d inrçõs nr os sudns gripdos os sudns qu ind não form posos o vírus. Suponh um grnd nqu pr misurs connh inicilmn glõs d águ,no qul form dissolvids lirs d sl. Águ pur é omd pr dnro do nqu um d gl/min, não, qundo solução s m misurd, l é omd pr for sgundo msm. Drmin um qução difrncil pr qunidd d sl A( no nqu no insn. 6 Um solução d 6 kg d sl m águ sá num nqu d l. Fz-s nrr águ nss nqu n rzão d 8l/min misur mnid homogên por gição, si do nqu n msm rzão. Qul qunidd d sl isn no nqu no fim d hor? 7 Suponh qu águ s sindo d um nqu por um urco circulr m su s d ár A h. Qundo águ vz plo urco, o rio concnrção d corrn d águ ns proimidds do urco rduzm o volum d águ qu s vzndo do nqu por sgundo pr ca h gh, ond c (<c< é um consn mpíric. Drmin um qução difrncil pr lur h d águ no insn pr um nqu cúico, como n figur o ldo, O rio do urco é pol g = pés/s. 8 Pr um movimno m l vlocidd no r l como o prqudis mosrdo n figur o ldo, cindo ns d rir o prquds rsisênci do r s próim d um ponci d vlocidd insnân. Drmin qução difrncil pr vlocidd v( d um corpo m qud com mss m, s rsisênci do r for proporcionl o qudrdo d su vlocidd insnân. 8

85 9 Um prqudis, psndo 7 g, sl d um vião r o pr quds pssdos s. Ans d rur do prquds, o su coficin d rio é = g s-. Qul vlocidd do prqudis no insn m qu s r o prquds? Um pqun rr d ml, cuj mprur inicil é d C, é colocd m um rcipin com águ frvndo. Quno mpo lvrá pr rr ingir 9 C s su mprur umnr m sgundo? Quno mpo lvrá pr rr ingir 98 C? Um nqu coném liros d fluido no qul form dissolvidos grms d sl. Um slmour conndo grm d sl por liro é não omd pr dnro do nqu um d L/min; solução m misurd é omd pr for à msm. Ach o númro A( d grms d sl no nqu no insn. Um grnd nqu coném glõs d águ pur. Um slmour conndo lirs por glão é omd pr dnro do nqu um d gl/min. A solução m misurd é omd pr for à msm. Ach qunidd A( d lirs d sl no nqu no insn. Qul é concnrção d solução no nqu no insn = min? Um grnd nqu s prcilmn chio com glõs d um fluido no qul form dissolvids lirs d sl. Um slmour conndo ½ lir d sl por glão é omd pr dnro do nqu um d 6 gl/min. A solução m misurd é não omd pr for um d gl/min. Ach qunidd d lirs d sl no nqu pós minuos. RESPOSTAS: I( i i c q c q c i c lim ond i( C i 8

86 C q(,, couloms i(,, 7 mp q 6 7,9 nos. 7 = 66,66 N ( = 6.96, 8 N ( = 76 9,% R$ 97, = hors 6 = 6,7 hors 7 88, grms. 8 6 nos 9 T ( = 6,66ºF =,6 min = 6 min jusificiv pssol. dp dp kp r, kp r d d dp kp kp d d k( d da A d 6 Aproimdmn 8, dh c 7 h d dv 8 m mg kv d 9 7m/s Aproimdmn 8, s Aproimdmn,7 s A( = 7 -/ A( = -/,97 l/gl 6,8l 86

87 AULA 6 7. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE A ORDEM E ORDEM SUPERIOR As quçõs linrs d ordm n são quls d form: n n n d d d A A A... A n B n n n d d d Ond B, A, A, A,..., A n dpndm pns d ou são consns. Pr comçrmos s sudo vmos uilizr como pdrão d um EDO- linr (Equção Difrncil Ordinári Linr d ordm sguin qução: +p( +q( = r( ond: p( q( são os coficins rprsnm prâmros do sism r( rmos d cição (inpu ( rspos do sism S r( =, I Eq. Dif. Homogên r( Eq. Dif. não homogên A EDO- cim possui soluçõs, ( ( são linrmn indpndns (L.I, ( iso é h( c ( Com isso, ( ( formm um s pr solução d EDO- homogên (s fundmnl. Emplo: " + = S propormos como solução ( = sn( ( = cos( ( sn( g( c, logo, formm um s, com isso, solução grl d ( cos( EDO- fic ( = C cos( + C sn(. S omos s ss pr solução d homogên, solução d qução fic ( C ( C (... C n ( S mos um solução ( pod-s or ( mis fcilmn. Oid um solução ( d EDO-, pod-s or ( plo concio d s, ond ( ( são linrmn indpndns. ( h( c ( ( h(.( n 87

88 Emplo: Or (, sndo qu ( = ( + = AULA 6 - EERCÍCIOS Or ( nos rcícios io. " ' 9, com ( " com ( c " ' com ( cos Rsposs. ( ln. ( c. ( sn 88

89 AULA 7 7. EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES n n n d d d São quls d form: A A A... A n, ond A n n n, A, A,...,A n d d d são consns. Rsolução: Pr n= A A d A A d A d A A ln C A A C A A A C. Chmndo A A = λ C λ, mos. k Pr nos fcilir dmonsrção, vmos usr sguin qução: d d d Ond são consns. Vmos uilizr λ clculdo nriormn como solução propos. λ ' λ λ " λ λ Susiuindo n EDO mos: λ λ λ λ λ ( λ λ. λ 89

90 Como pr qulqur vlor d, mos, qul irmos chmr d qução crcrísic d EDO- dd. Em rlção qução crcrísic P ( mos rês csos considrr: 7.. CASO : RAÍZES REAIS DISTINTAS. λ λ Assim solução grl fic: C C λ λ C C E pr um qução d ordm n fic: C λ λ λ λ C n C... Cn 7.. CASO : RAÍZES MÚLTIPLAS. S, ond s plicrmos rgr nrior rmos. Só qu é ncssário nconrr soluçõs qu sjm linrmn indpndns, pois com s rízs sndo iguis mos consn. Assim mos qu chr um sgund solução qu sj linrmn indpndn. Supondo qução + + = uilizndo o concio d s m qu ( h(.(, ond, mos: ( h(.( λ h. λ λ ' h' λh λ λ λ " h" λh' λ h Susiuindo n qução dd: λ λ λ λ λ λ h" λh' λ h h' λh h Rordnndo: h" ( h' ( h Como =, pois como já vimos nriormn P (. Enão: h" h' C h C Logo: h. ( C. 9

91 Solução grl: C C ( C C C ( C C C C fzndo C + C k = C C C = C mos: C C C C ( A propridd s snd pr quçõs d ordm suprior: (C n λ C C... Cn 7.. CASO : RAÍZES COMPLEAS DISTINTAS. Sjm λ i λ i s rízs d qução crcrísic. Aplicndo condição pr rízs ris disins rímos como solução: Ds fórmuls d Eulr mos: iθ iθ Com isso: Fzndo cosθ isnθ cosθ isnθ C C ( i i. i C C cos isn Ccos isn C C cos ic C sn C C C ( i i. i mos: C + C = C i(c C = C C cos Csn 9

92 Emplos: d d 6 d d + =, com ( = ( / = = 9

93 AULA 7 - EERCÍCIOS + 6 = + = + + =,com ( = ( / = = com ( = ( = = com ( = - ( = = = com ( = ( = 8 + k +k = 9 8 = com ( =, ( =, - =, com (- = (- = 7 + = - + = + 7 = + + = Rsposs C C C C C = - cos = = π π C C ( k (C C,,, C C C C cos Csn C C cos C sn (C C 9

94 AULA 8 7. EULER - CAUCHY A qução d Eulr-Cuch m sguin form: n n d d An ( A A A B n ( ( d d d ond A, A,..., A n, são consns. Pr rsolvr l qução frmos qu irá liminr os coficins vriávis.. No cso d qução r form: Frmos: = m = m m- = m(m- m- " ' Susiuindo, n EDO-, mos qu: (m + ( m + m = como ( = m m qu sr difrn d zro, mos m + ( m + =, qu é um qução do sgundo gru com dus rízs. Cso : m m são ris difrns. ( C m C m Cso : m m são ris iguis ( m C C m ln( ( C C ln( ( m Cso : m m são compls conjugds ( i ( [ C cos( ln C sin( ln ] 9

95 Emplos: d ( ( d d " ' 9

96 " ( ''' 9( AULA 8 - EERCÍCIOS " 8( ' 6 " 6', " ' " ' com ( = ( = - 6 " ', com ( = ( = 6 Rsposs C C C C C ( (,8 (C C ln C cos(ln Csn(ln ( ln 6 ln 96

97 AULA 9 7. EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS " p( ' q( r( P. V. I ( '( (. ( s pr solução d EDO- homogên h ( solução d EDO- homogên h ( = C ( + C ( p ( solução priculr, função qulqur qu sisfz EDO- não-homogên A solução grl d um qução linr não homogên m form: ( ( ( Torm d isênci d Unicidd: S p( q( são funçõs conínus sor o inrvlo ro I I, não o P.V.I. possui um únic solução ( sor I. Pr drminrmos p, dnomind solução priculr, dispomos dos sguins méodos: i. Méodo dos coficins drminr ou méodo d Dscrs ii. Méodo d vrição d prâmros ou méodo d Lgrng iii. Méodo do oprdor drivd D. h p 7.. SOLUÇÃO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES: Vl somn pr EDO- com coficins consns Pdrão pr solução priculr: Trmo m r( α k k n ( n cos α snα k k α α,,... cos β snβ C C n n C Propos pr p ( n n C cos α Csnα... C C α (C cos β Csnβ os:. s r( é composição d funçõs d o colun, p ( é composição ds rspcivs funçõs n o colun.. s r( coincid com um função qu compõs h (, mulipliqu por (ou por pr considrr riz dupl d qução crcrísic. 97

98 " ' Emplo: ( '( 98

99 AULA9 - EERCÍCIOS + = sn + + = + + = + 7 sn + 6= = 6 = = = = 8 + = ' + = sn d d 8sn d d = sn + = sn d d sn d d 6 +, = + 6, pr ( = ( = = -, pr ( = ( = Rsposs Acos Bsn sn (C cos Csn 7 C C,cos,6sn C C 9 7 C C C 8 6 C C C C C 8 8 C C 9 C C C cos Csn C C ( sn 8cos 6 sn C C C C C C C cos C cos Csn cos sn (C C cos (C C sn

100 AULA 7.. SOLUÇÃO POR VARIAÇÃO DE PARÂMETROS Qulqur ipo d cição r( Qulqur coficin P n ( dsd qu conínuos. n + P n- ( n P ( + P ( = r( A solução grl d EDO é = h + p como n rsolução por coficins drminr. ms solução d priculr fic p = (.u + (.u n ( n, ond,,..., n são s ss pr EDO homogên. A idi é consiuir solução priculr com um cominção dss ss uilizndo prâmros vriávis. Ond W r u (. ( W r d, u W ( (. ( Wn (. r( d,... un W ( d W ( Sndo qu W = W(,,..., n, qu é o Drminn d Wronski (Wronskino W (, n ' ' ' n,..., n W ( n n Pr clculrmos W (, susiuirmos primir colun plo vor (,,,...,, pr clculrmos W ( susiuirmos sgund colun ssim sucssivmn: n n W ' n n ' n n n, W ' n n ' n n n,..., W n ' n ' n Cuiddo: Ans d plicr o méodo, vrificr o qu compnh n. S ivr f(. n, não s squç d dividir r( por f(. S Equção Difrncil for d ordm, mpos como solução d priculr p ( = u( ( + v( ( ond, ( r( u( ( r( d v( d w( w( ( ( são s ss d homogên.

101 Emplo: '" " '

102 AULA EERCÍCIOS + + = 6 + = cos + 6 = = = ln 6 + = 7 d d d d 8 + = - 9 ' = - Rsposs 6 6 C C 9 C C cos c c ( C C C C C ln C C C C C C C C C C C C C

103 AULA 7.. MÉTODO DO OPERADOR DERIVADA 7... Dfinição Os oprdors são símolos sm nnhum significdo isoldo qu indicm, d modo rvido, s oprçõs qu dvm sr fuds. Um dd função dfinid por f ( chm-s oprdor drivd, dnodo por D, d D, d d D, d d D,... d 7... Propridds Sjm u=u( v =v(: P. D(u+v=Du+Dv (propridd disriuiv P. D(m.u=m.Du, (propridd comuiv, sndo m um consn P.D m (D n u=d m+n u, (sndo m n consns posiivs P. O oprdor invrso u. u. d,. D du P. O oprdor diro ( D u Du. u u,. d 7... Equçõs Difrnciis Qulqur qução difrncil pod sr prss m rmos d D. Emplo: " + ' + c = g( D + D + c = g( (D + D + c = g( n n Um oprdor difrncil linr d n-ésim ordm L An D An D A D A com n n coficins consns pod sr fordo qundo o polinômio crcrísico Anr An r A mém s for. Emplo: ( D " ' pod sr scrio como ( D D ou ( D ( D ou

104 7... Oprdor Anuldor S L é um oprdor difrncil com coficins consns f ( é um função suficinmn difrnciávl, l qu L(, não dizmos qu L é um nuldor d função. O oprdor difrncil n D nul cd um ds funçõs,,,, n. Enão, um n polinômio c c c cn é nuldo por um oprdor qu nul mior n ponci d ( D. Emplo: Enconr um oprdor drivd qu nul 8 Solução: O oprdor é D pois n n D ( 8 n O oprdor difrncil ( D α nul cd um ds funçõs α, α, α n α,,. Emplo: Enconr um oprdor nuldor pr 6 Solução: Pr o rmo (,mos α n ( D Pr o rmo ( 6, mos α n ( D Logo o oprdor qu nulrá prssão srá ( D Vmos vrificr: ( D ( 6 ( D ( D ( 6 ( D [ D( 8 6D( ] ( D [ ] ( D ( 6 6D n O oprdor difrncil [ D αd ( α β ] nul cd um ds funçõs α α n α cos β, cos β, cos β, cos β, α snβ, α snβ, α snβ, Emplo: Enconr um oprdor nuldor pr n α snβ sn. Solução: α, β, n n [ D.(.D ( ] D D

105 Vmos vrificr: ( D D ( sn D ( sn D sn sn D.D( D( D[ sn D sn ( sn cos ] ( sn cos sn cos ( cos sn sn sn ( cos sn cos sn cos sn cos sn sn sn sn cos cos Os.: O oprdor difrncil ( D β nul s funçõs cos β sn β.. S L L são oprdors difrnciis linrs com coficins consns is qu, L( L(,ms L( L(, não o produo dos oprdors L. L nul som c ( c (, pois: LL ( LL ( LL ( LL ( L L ( L L ( zro zro Emplo: Enconr um oprdor difrncil qu nul 7 6sn(. Solução: Pr o rmo 7 mos o oprdor D Pr o rmo 6 sn(, mos β, não ( D Logo: D ( D 9 (7 6sn 7... Coficins indrmindos - Aordgm por Anuldors S L dno um oprdor difrncil linr d form An D An D A D A, não um qução difrncil linr não homogên pod sr scri como L( g( Pr s ordgm, uilizrmos g( como cominção linr d funçõs d form m m α m α k cs,,, cos β m α snβ ond m é um iniro não ngivo α β são númros ris. Rsumo do Méodo: i. Enconr solução crcrísic c, pr qução homogên L(. ii. Opr m mos os ldos d qução não-homogên L( g( com um oprdor difrncil L, qu nul função g (. iii. Enconr solução grl pr qução difrncil homogên d mior ordm L. L(. n n

106 iv. Dsconsidr odos os rmos d solução nconrd m (iii qu são duplicdos n solução complmnr c, nconrd m (i. Form um cominção linr p dos rmos rsns. Ess é form d um solução priculr pr L( g(. v. Susiu p nconrd m (iv n qução L( g(. Agrup os coficins ds funçõs m cd ldo d iguldd rsolv o sism rsuln d quçõs pr os coficins indrmindos m p. vi. Com solução priculr nconrd m (v, form solução grl c p pr qução difrncil dd Rsolução d Equçõs Linrs d Rsolvr, mprgndo oprdors: 7 d d d d d d Rsolvr uilizndo oprdor diro, invrso por nuldors. d d 6

107 7

108 AULA - EERCÍCIOS Rsolv s quçõs io uilizndo um dos méodos d oprdor drivd. (D D = d 6 sn d d d sn d d (D -6D= + (D 7D+ = 6 (D D + = - 7 D D D 8 9 D D 6 " ' 8 sn Rspos: d d = C + C - C C sn cos C C cos sn C C C 6 C C 6 C C C A A B B C C C C C cos sn 8

109 C C 9

110 AULA 8. EERCÍCIOS GERAIS Clcul s Equçõs Difrnciis io: d sn d d d d 6 d d d d d sn d d 8 d d d d d d d d d d d d d d d d d 6 d d d d d d 7 8 8cos 8 9 d d d d d d d d d d sn " ' "' " ' "' ' d d cos d d ( 9( 8( 6 ln( d d d d d sn d d d d d cos d d 6 sn d d cos d d d

111 RESPOSTAS: C C cos Csn 6 8 C C C 6 sn 8 C C C C C C C sn C cos Csn cos sn ln sn ln C C C C ln C C C C sn(ln cos(ln C C ( C ( ln( C C C C C C C C C C ( C C C C cos sn C C (cos sn 7 6 C C C C C C cos C cos Csn cos 8 C C 6 C C 9 (cos sn 7 8 ( C C 8 9 ( C C ln C cos Csn cos ln cos sn

112 AULA 9. MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Vimos qu um únic qução pod srvir como modlo mmáico pr fnômnos divrsos. Por ss rzão, minmos um plicção, o movimno d um mss concd um mol, dlhdmn n sção 8. io. Vrmos qu, co pl rminologi pls inrprçõs físics dos quro rmos n qução linr + + c = g(, mmáic d um circuio lérico m séri é idênic à d um sism virório mss-mol. Forms dss qução difrncil linr d sgund ordm prcm n nális d prolms m váris árs d ciênci d ngnhri. N sção 8., considrmos clusivmn prolms d vlor inicil, nquno n sção 8. minmos plicçõs dscris por prolms d conorno conduzm-nos os concios d uovlor uofunção. A sção 8. comç com um discussão sor s difrnçs nr mol linr mol não-linr; m sguid, mosrrmos como um pêndulo simpls um fio suspnso lvm modlos não-linrs. 9. EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL: 9.. SISTEMA MASSA-MOLA: MOVIMENTO LIVRE NÃO AMORTECIDO Li d Hook: Suponh qu um mol flívl sj suspns vriclmn m um supor rígido qu não um mss m sj concd à su rmidd livr. A disnsão ou longção d mol nurlmn dpndrá d mss; msss com psos difrns disndrão mol difrnmn. Pl li d Hook, mol rc um forç rsurdor F opos à dirção do longmno proporcionl à disnsão s. Enuncido d form simpls, F = ks, ond k é consn d proporcionlidd chmdo consn d mol. A mol é ssncilmn crcrizd plo númro k. Por mplo, s um mss d lirs long m ½ pé um mol, não = k(½ implic qu k = l/pés. Enão um mss d, digmos, 8 l ncssrimn sic msm mol somn / pé. Sgund Li d Nwon: Dpois qu um mss m é concd um mol, provoc um disnsão s n mol ing su posição d quilírio no qul su pso W é igul à forç rsurdor ks. Lmr-s d qu o pso é dfinido por W = mg, ond g= pés/s, 9,8m/s ou 98 cm/s. Posição inicil quilírio (s+

113 Conform indicdo n figur cim, condição d quilírio é mg = ks ou mg ks =. S mss for dslocd por um qunidd d su posição d quilírio, forç rsurdor d mol srá não k( + s. Supondo qu não hj forçs d rrdmno sor o sism supondo qu mss vir sm ção d ours forçs rns movimno livr podmos igulr F com forç rsuln do pso d forç rsurdor: d m d k( s mg k mg ks k zro ( O sinl ngivo indic qu forç rsurdor d mol g no snido oposo o do movimno. Além disso, podmos dor convnção d qu os dslocmnos mdidos io d posição d quilírio são posiivos ED do Movimno Livr não morcido: Dividindo qução ( pl mss m omos qução difrncil d sgund ordm d ( d ond k / m A qução ( dscrv um movimno hrmônico simpls ou movimno livr não morcido. Dus condiçõs iniciis óvis ssocids com ( são ( = ( =, rprsnndo, rspcivmn, o dslocmno vlocidd iniciis d mss. Por mplo, s >, <, mss comç d um pono io d posição d quilírio com um vlocidd inicil dirigid pr cim. Qundo =, dizmos qu l priu do rpouso. Por mplo, s <, =, mss priu do rpouso d um pono unidds cim d posição d quilírio Solução Equção do Movimno: Pr rsolvr Equção (, osrvmos qu s soluçõs d qução uilir m + = são númros complos m = i, m = - i. Assim, drminmos solução grl d ( como: ( C cos Csn ( O príodo ds virçõs livrs dscris por ( é T = / frquênci é f / T /. Por mplo, pr ( cos sin, o príodo é / frquênci é / unidds; o sgundo númro signific qu há rês ciclos do gráfico cd unidds ou, quivlnmn, qu mss sá suji / virçõs compls por unidd d mpo. Além disso, é possívl mosrr qu o príodo / é o inrvlo d mpo nr dois máimos sucssivos d (. Lmr-s d qu o máimo d ( é um dslocmno posiivo corrspondn à disânci máim d ( é um dslocmno posiivo corrspondn à disânci máim ingid pl mss io d posição d quilírio, nquno o mínimo d ( é um dslocmno ngivo corrspondn à lur máim ingid pl mss cim d posição d quilírio. Vmos nos rfrir cd cso como dslocmno rmo d mss. Finlmn, qundo s condiçõs

114 iniciis form usds pr drminr s consns C C m (, dirmos qu solução priculr rsuln ou rspos é qução do movimno. Emplo: Um mss d lirs disnd um mol m 6 polgds. Em =, mss é sol d um pono 8 polgds io d posição d quilírio, um vlocidd d pés/s pr cim. Drmin qução do movimno livr. Solução: Convrndo s unidds: 6 polgds = ½ pé 8 polgds = / pé Dvmos convrr unidd d pso munidd d mss M = W/g = / = /6 slug Além disso, d li d Hook, = k(½ implic qu consn d mol é k = l/pé, Logo, ( rsul m: d 6 d d 6 d = - 6 = 8i ( = C cos 8 + C sm 8 O dslocmno vlocidd iniciis são ( = / ( = - /, ond o sinl ngivo n úlim condição é um consqüênci do fo d qu é dd à mss um vlocidd inicil n dirção ngiv ou pr cim. Aplicndo s condiçõs iniciis ( (, omos C = / C = - /6, ssim, qução do movimno srá: ( cos8 sn SISTEMA MASSA-MOLA: MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO O concio d movimno hrmônico livr é um no quno irrl, um vz qu é dscrio pl Equção ( so hipós d qu nnhum forç d rrdmno g sor mss m movimno. A não sr qu mss sj suspns m um vácuo prfio, hvrá plo mnos um forç conrári o movimno m dcorrênci do mio min ED do Movimno Livr Amorcido: No sudo d mcânic, s forçs d morcimno qu um sor um corpo são considrds proporcionis um poênci d vlocidd insnân. Em priculr, vmos supor durn od discussão susqün qu ss forç é dd por um múliplo consn d d/d. Qundo não houvr ours forçs rns gindo sor o sism, sgu n sgund li d Nwon qu

115 d m d d k d ( ond é posiivo chmdo d consn d morcimno o sinl ngivo é um consqüênci do fo d qu forç morcdor g no snido oposo o do movimno. Dividindo-s ( pl mss m, omos qução difrncil do movimno livr morcido d d k ( d m d m ou d d (6 d d ond k m m O símolo foi usdo somn por convniênci lgéric, pois qução uilir é: s rízs corrspondns são, porno, m + m + = m m Podmos gor disinguir rês csos possívis, dpndndo do sinl lgérico d. Como cd solução coném o for d morcimno, >, o dslocmno d mss fic dsprzívl pós um longo príodo. CASO I: Suprmorcido ( m m C C (7 Ess qução rprsn um movimno suv não oscilório. CASO II: Amorcimno Críico ( C C (8 Osrv qu o movimno é m smlhn o sism suprmorcido. É mém vidn d (8 qu mss pod pssr pl posição d quilírio no máimo um vz. Qulqur dcréscimo n forç d morcimno rsul m um movimno oscilório.

116 CASO III: Sumorcido Como s rízs m m gor são compls, solução grl d Equção (6 é: ( C cos C sn (9 O movimno dscrio m (9 é oscilório; ms, por cus do for virção qundo., s mpliuds d Emplos: Um pso d 8 lirs long um mol m pés. Supondo qu um forç morcdor igul dus vzs vlocidd insnân j sor o sism, drmin qução d movimno s o pso for solo d um posição d quilírio um vlocidd d pés/s pr cim. Solução: Com s n li d Hook, vmos qu 8 = k( nos dá k = l/pés qu dá m = 8/=/ slug. A qução difrncil do movimno é não: W m. g nos Rsolvndo qução mos: d d d d d d 8 6 d d (= C + C - (morcimno críico Aplicndo s condiçõs iniciis ( = ( = -, omos c = c = -, logo, qução do movimno é: ( = - - Um pso d 6 l é do um mol d pés d comprimno. N posição d quilírio, o comprimno d mol é d 8, pés. S o pso for pudo pr cim solo do rpouso, d um pono pés cim d posição d quilírio, qul srá o dslocmno ( s for sido ind qu o mio min ofrc um rsisênci numricmn igul à vlocidd insnân. Solução: O longmno d mol dpois d prsoo pso srá d 8, =, pés; logo, sgu d li d Hook qu 6 = k(, ou k = l/pés. Alm disso, m = 6/ = ½ slug. Porno, qução difrncil é dd por: 6

117 Rsolvndo qução mos: d d d d d d d d ( C cos Csn (sumorcido Aplicndo s condiçõs iniciis ( = - ( =, omos c = - c = - /, logo qução do movimno é: ( cos sn 9.. SISTEMA MASSA MOLA: MOVIMENTO FORÇADO 9... ED do Movimno Forçdo com Amorcimno: Considrndo gor um forç rn f( gindo sor um mss virn m um mol. Por mplo, f( pod rprsnr um forç qu gr um movimno oscilório vricl do supor d mol. A inclusão d f( n formulção d sgund li d Nwon rsul n qução difrncil do movimno forçdoou induzido d m d d k f ( ( d Dividindo ( por m, omos: d d F( ( d d Ond F( = f(/m. Como no im nrior, / m, k / m. Pr rsolvr ss úlim qução não homogên, podmos usr no o méodo dos coficins drminr quno o d vriçõs d prâmro. Emplo: Inrpr rsolv o prolm d vlor inicil ' ( d, d d d cos,com ( 7

118 Solução: O prolm rprsn um sism virn qu consis m um mss ( m= / slug ou quilogrm prs um mol (k = l/pés ou N/m. A mss é sol do rpouso ½ unidd (pé ou mro io d posição d quilírio. O movimno é morcido (, s sndo forçdo por um forç rn priódic (T = qu comç m =. Inuiivmn, podrímos sprr qu, msmo com o morcimno, o sism coninuss m movimno é o insn m qu forç rn foss dsligd, cso m qu mpliud diminuiri. Porém, d form como o prolm foi ddo, f(=cos prmncrá ligd smpr. Em primiro lugr, muliplicrmos qução dd por rsolvmos qução d d 6 mprgndo os méodos usuis usndo o méodo dos coficins d d drminr, procurmos um solução priculr, chndo como solução: ( ( C cos Csn cos sn Aplicndo s condiçõs iniciis, mos qu qução do movimno é: 8 86 ( ( cos sn cos sn 9... ED d um Movimno Forçdo Não Amorcido: S houvr ção d um forç rn priódic, nnhum morcimno, não hvrá rmo rnsin n solução d um prolm. Vrmos mém qu um forç rn priódic com um frqüênci próim ou igul às ds virçõs livrs não morcids pod cusr dnos svros um sism mcânico oscilório. Emplo: d Rsolv o prolm d vlor inicil: F sn, ( = ( =,, ond F é um d consn. d m k f ( d Solução: A função complmnr é c ( = c cos + c sn. Pr or um solução priculr, vmos primnr p ( = A cos + B sn d l form qu: " p p A( cos B( sn F sn Igulndo os coficins, omos imdimn A = F B ( ω γ. Logo: p F ( ( ω γ snγ 8

119 Aplicndo s condiçõs iniciis dds à solução grl, omos solução finl qu srá: F ( ( γsnω ωsnγ, com γ ω ( ω γ 9.. CIRCUITO EM SÉRIE ANÁLOGO - CIRCUITOS ELÉTRICOS RLC EM SÉRIE Aplicndo sgund Li d irchoff, chgmos : d q dq q L R E( ( d d C S E( =, s virçõs lérics do circuio são considrds livrs. Como qução uilir d qução ( é Lm + Rm + /C =, hvrá rês forms d solução com R, dpndndo do vlor do discriminn R -L/C. Dizmos qu o circuio é: L Suprmorcido: R C L Criicmn morcido: R C L Sumorcido: R C Em cd um dsss rês csos, solução grl d ( coném o for -R/L, porno, q( qundo. No cso sumorcido, s q( = q, crg sor o cpcior oscilrá à mdid qu dcir, m ours plvrs, o cpcior é crrgdo dscrrgdo quno. Qundo E( = R =, dizmos qu o circuio é não morcido s virçõs lérics não ndm zro qundo crsc sm limição; rspos do circuio é hrmônic simpls. Emplos: Enconr crg q( sor o cpcior m um circuio m séri LRC qundo L=, hnr(h, R = ohms(, C =, frd(f, E( =, q( = q couloms(c i(=. Solução: Como /C =, qução ( fic: q" q' q q" q' q Rsolvndo qução homogên d mnir usul, vrificmos qu o circuio é sumorcido q( = - (C cos6 +C sn6. Aplicndo s condiçõs iniciis, omos: 9

120 q( q (cos6 sn6 Qundo há um volgm imprss E( no circuio s virçõs lérics são chmds forçds. No cso m qu R, função complmnr q c ( d ( é chmd d solução rnsin. S E( for priódic ou consn, não solução priculr q p ( d ( srá um solução scionári. 9. EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO 9.. DEFLEÃO DE UMA VIGA: Muis sruurs são consruíds usndo grnds supors d ço ou vigs, s quis dflm ou disorcm so su próprio pso ou m dcorrênci d lgum forç rn. A dflão ( é govrnd por um qução difrncil linr d qur ordm rlivmn simpls. Vmos supor um vig d comprimno L sj homogên nh sção rnsvrsl uniform o longo d su comprimno. N usênci d qulqur crg sor vig (incluindo o próprio pso, curv qu lig os cnróids d ods s sus sçõs rnsvrsis é um r chmd io d simri. S for plicd um crg à vig m um plno conndo o io d simri, l sofrrá um disorção curv qu lig os cnróids d ods s sçõs rnsvrsis srá chmd não d curv d dflãooucurv lásic. A curv d dflão proim o formo d vig. Suponh gor qu o io coincid com o io d simri d vig qu dflão (, mdid prir dss io, sj posiiv s dirigid pr io. N ori d lsicidd, mosr-s qu o momno flor M( m um pono o longo d vig sá rlciondo com crg por unidd d comprimno w( pl qução: d M d w( ( Além disso, momno flor M( é proporcionl à curvur k d curv lásic M( EIk ( ond E I são consns; E é o módulo d lsicidd d Yng do mril d qu é fi vig I é o momno d inérci d um sção rnsvrsl d vig (m orno d um io conhcido como o io nuro. O produo EI é chmdo d rigidz dflor d vig.

121 Agor, do cálculo, curvur é dd por pqun, inclinção, porno, k " ( '. Qundo dflão ( for ( ', S fizrmos k =, Equção ( vi s ornr M = El. A drivd sgund dss úlim prssão é: d M d d d EL " EL ( d d Usndo o rsuldo ddo m ( pr susiuir d M/d m (, vmos qu dflão ( sisfz qução difrncil d qur ordm d EL w( (6 d As condiçõs d conorno ssocids à Equção (6 dpndm d como s rmidds d vig são poids. Um vig m lnço é ngsd ou prs m um rmidd livr d our. Trmpolim, rço sndido, s d vião scd são mplos comuns d vigs, ms é msmo árvors, msros, difícios o monumno d Gorg Wshingon podm funcionr como vigs m lnço, pois são prsos m um rmidd sujios à forç flor do vno. Pr um vig m lnço, dflão ( dv sisfzr às sguins condiçõs n rmidd ngsd = : ( =, um vz qu não há dflão ( =, um vz qu curv d dlão é ngn o io (m ours plvrs, inclinção d curv d dflão é zro nss pono. Em = L, s condiçõs d rmidd livr são: (L =, um vz qu o momno flor é zro (L =, um vz qu forç d cislhmno é zro. A Tl io rsum s condiçõs d conorno qu são ssocids com qução (6 Ermos d Vig Condiçõs d conorno Engsd, ' Livr ", "' Simplsmn poid, ' 9... Soluçõs Não Triviis do Prolm d Vlors d Conorno: Rsolv o prolm d vlors d conorno + =, ( = (L = Considrmos rês csos: =, < >.

122 Cso I: Pr =, solução d " é C C. As condiçõs ( ( L implicm, sucssivmn qu C C. Logo, pr λ, únic solução do prolm d conorno é solução rivil. Cso II: Pr λ <, mos qu C cosh λ Csnh λ. Novmn ( nos dác, porno, Csnh λ. A sgund condição ( L nos diz qu snh C >. λl. Como L, prcismos r C. Assim = Os.: prc um pouco srnho, ms nh m mn qu < é quivln - Cso III: Pr >, solução grl d + = é dd por C cos λ Csn.Como ns, ( = nos dá qu c =, ms (L = implic C sn λl. S c =, não, ncssrimn, =. Porém, s c, não sn L =. A úlim condição implic qu o rgumno d função sno dv sr um múliplo iniro d. n L n ou, n =,,... L Porno, pr odo rl não nulo c, = c sn(n /L é um solução do prolm pr cd n. Como qução difrncil é homogên, podmos, s dsjrmos, não scrvr c. Em 9 ours plvrs, pr um ddo númro n sqüênci,,,,..., função corrspondn n L L L sqüênci sn, sn, sn,... é um solução não rivil do prolm originl. L L L λ 9... Dformção d um Colun Fin: No século VIII, Lonhrd Eulr dói um dos primiros mmáicos sudr um prolm d uovlor qundo nlisv como um colun lásic fin s dform so um forç il comprssiv. Considr um long colun vricl fin d sção rnsvrsl uniform d comprimno L. Sj ( dflão d colun qundo um forç comprssiv vricl consn ou crg P for plicd m su opo conform mosr figur. Comprndo os momnos flors m qulqur pono o longo d colun, omos d EL d P d ou EL P (7 d

123 ond E é o módulo d lsicidd d Yng I é o momno d inérci d um sção rnsvrsl m orno d um r vricl plo su cnróid. Emplo: Drmin dflão d um colun vricl fin homogên d comprimno L suji um crg il consn P, s colun for simplsmn poid m ms s rmidds. Solução: EI O prolm d conorno sr rsolvido é: d P d ( ( L Osrv primirmn qu = é um solução prfimn ciávl dss prolm. Ess solução m um inrprção inuiiv simpls: s crg P não for grnd o suficin, não hvrá dflão. A qusão é s, pr qu vlors d P colun vi dflir? Em rmos mmáicos: pr quis vlors d P o prolm d conorno ddo m soluçõs não riviis? Escrvndo P EI, vmos qu: " ( ( L é idênico o prolm ddo no im 8... Com s no Cso III dqul discussão vmos qu s curvs d dflão são ( csn( n / L, corrspondns os uovlors n n P n / EI n / L, n,,... Fisicmn, isso signific qu colun vi dformr-s ou dflir somn qundo forç comprssiv ssumir um dos vlors P n n EI / L, n,,... Esss forçs são chmds crgs criics. A curv d dflão corrspondn mnor crg críic P EI / L, chmd d crg d Eulr, é ( csn( / L é conhcid como o primiro modo d dformção. As curvs d dflão corrspondns n =, n = n = são prsnds n figur io. Osrv qu, s colun originl ivr lgum ipo d rsrição físic m = L/,não mnor crg críic srá P EI / L curv d dflão srá qul d figur (. S rsrição for colocd n colun m = L/ = L/, colun somn vi s dformr qundo crg criic P 9 EI L for plicd. Nss cso curv d dflão srá qul d figur (c. /

124 9... Cord Girndo: A qução difrncil linr d sgund ordm " (8 ocorr muis vzs como modlo mmáico. Já vimos ns forms d d ( k / m d q d (/ LC q como modlos pr, rspcivmn, um movimno hrmônico simpls um sism mss-mol rspos hrmônic simpls d um circuio m séri. É vidn qu o modlo pr dflão d um colun fin ddo m (6 qundo scrio como d d ( P / EL, é igul o qu foi ddo m (8. Vmos nconrr Equção (8 como um modlo qu dfin curv d dflão ou configurção ( ssumid por um cord girndo. A siução físic é nálog qul d dus pssos sgurndo um cord fzndo- girr sincronizdmn. Vj s figurs ( ( io. Suponh qu um cord d comprimno L dnsidd linr consn (mss por unidd d comprimno sj sicd o longo do io fid m = = L. Suponh qu cord sj não gird m orno do io um vlocidd ngulr consn. Considr um pr d cord sor o inrvlo,, ond é pquno. S mgniud T d nsão T, ngncil cord, for consn o longo dl, qução difrncil dsjd pod sr oid igulndo-s dus formulçõs difrns d forç liquid qu g sor cord no inrvlo,. Em primiro lugr, vmos n figur (c, qu forç liquid vricl é: F Tsn Tsn (9 S os ângulos (mdidos m rdinos form pqunos, rmos sn g sn g. Alm disso, como g g são, por su vz, inclinçõs ds rs conndo os vors T T, podmos mém scrvr