Derivada. A integração [do tipo indefinida] representa uma transformação inversa da derivação.

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1 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO INTEGRÇÃO Um Esudo Inroório Inroção: rivd Vj o prosso sguir: F ] drivção f [ sndo F f f ingrção F? Primiiv nidrivd Podmos dizr m plvrs simpls qu: ingrção [do ipo indfinid] rprsn um rnsformção invrs d drivção. INTEGRL INEFINI: Pr s lulr nidrivd [ primiiv] d um função uilizmos: f d F Ond: sinl [símbolo] d ingrção indfinid f função ingrndo F função ingrd [primiiv nidrivd] d oprdor qu indi vriávl d ingrção [] onsn d ingrção primiiv d f firi não simbolizd n form: d Pr rlizrmos o prosso d ingrção, dispomos d lgums rgrs, ds quis, s s mis simpls são: d d om ssim omo n drivção, ingrção [indfinid] mbém usufrui d propridd d linridd. ssim: i k f d k f d ii g d f d f g d form mis sinéi brngn, podmos srvr: f g d k f d d d smos ind qu: f d f k g d Ou sj, drivd d ingrl d um dd função f é própri função f. Págin d

2 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO ssim, ingrl d é: d = d + d =. d. d No qu ods s funçõs: F F F F êm sus drivds iguis : ] f [ sndo F f Isso jusifi isêni d onsn d ingrção n rnsformção m qusão [ingrl indfinid], pois pr um drmind função, ism infinis primiivs qu sisfzm. Prb qu, s não ivrmos nnhum informção diionl, não podrmos dizr om idão qul função qu origin drivd f, por mplo. Obsrvção: É omum omissão do símbolo [sinl] d muliplição. Vj:.. d d Emplos: 0 d 0. d 0 b d d d. d. d [ 0 6 ] d 0. d 6. d 0 6 d os d os d d os d. d sn EXERÍIOS: Enonr nidrivd mis grl ds funçõs ingrndo-s, vrifiqu sus rsposs, difrnindo-s. 6 f b y f / / 7 d / / g f 6 f f 7 g f u u u h 9 j g k 0 f m i m f 6 f v v v NTES E RESOLVER O EXERÍIO IM, OSERVE S IS S SEGUIR: Pr rflir: o érmino do jogo, o ri o pão volm pr msm i. [Provérbio ilino] Págin d

3 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO Em funçõs, omo propos m [j], dvmos fzr um prprção ns d ingrção. Vj: I d / / d / / d E ssim: I / / / d d d d / d Em funçõs, omo propos m [k], dvmos fzr um prprção ns d ingrção. Vj: d d d d d d d Rsolv s ingris prsnds sguir: s s s ds d d b d u u u 6 6 d 9 f d 6 NTES E RESOLVER O EXERÍIO IM, OSERVE I SEGUIR: Em funçõs, omo propos m [b], dvmos fzr um prprção ns d ingrção. Vj: I d d E ssim: I.[] d d d d d d onsidrndo qu f d F, drmin o vlor d onsn d ingrção pr d so: om F 0 7 b y dy om F d / om F d d 9 6 d om F / Rsolv s ingris indfinids prsnds sguir [obsrv o oprdor difrnil]: r b m. d y d dr 0 y y y z d d v d nrt V f dt Págin d

4 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS 7 / 7 / 7 b 0 / / d 7 / 7 / f 7 / g u u u 7 i v v v 7 k s s h m / j 6 / b d 6 / / f u u 7 b 0 d r b m y d v m 6 / 0 y y y z nr V T f REGRS E INTEGRÇÃO ivrss funçõs, omo por mplo: f, g, sn f, y ln nr muis rs, os não são ingrávis rvés ds s rgrs básis viss é qui. lém disso, o prosso d dzir primiiv rvés ds rgrs d drivção pod sr onsidrvlmn omplido pr funçõs omo sss. Pnsndo nisso, rvés d prodimnos lgébrios [omo invrsão d fórmuls d drivds] foi possívl rir um TEL qu possibiliss ingrr divrsos ipos d funçõs mis rpidmn, visndo filir rsolução d problms inífios qu nvolvssm is funçõs. s ingris, qu podmos nonrr [lulr] dirmn pl bl, hmmos d INTEGRIS IRETS INTEGRIS IMEITS. prsnmos um Tbl d Ingris Imdis sguir. Págin d

5 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO TEL E INTEGRIS onsidr: k omo onsns omo onsn d ingrção Propridd d Linridd: f g d k f d Fórmuls: k g d d d, d ln sn d os os d sn s d g os d og g d ln s g d ln os og d ln os og d ln sn d d ln d rg d rg d ln d d ln d ln s d ln s g os d ln os og d d d ln g sn d sn d d os d os ln sn h d os h os h d sn h s h osh s g ln ln ln os og ln g rsn g d g h s d og h d s ln rsn No: om um rápid psquis m livros msmo n inrn, voê nonrrá bls mis mpls, brngndo um gm mior [ mis spífi] d funçõs om s sus rspivs ingris imdis. Enrno pr nosso sudo, bl im é mis qu sufiin, pois um infinidd d funçõs rá su ingrl prsnd n bl im, fzndo uso onvnin d lguns rifíios propridds lgébris. Vrmos isso sguir. Págin d

6 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO EXERÍIOS [Ingris Indfinids Imdis]: Enonr s primiivs ds ingris prsnds sguir. d f d k 9 d b [9g ] d d g sn d h m os m dm l d m d sn d d i d v v dv d j 9 n 6 d o snh u ln Mosr qu: d ln d Rsolv s ingris dds bio, nonrndo sus primiivs. 6 d d [os ] d b sn d 7 d d f d [THOMS / dpd] Glilu dsnvolvu um fórmul pr lulr vloidd d um orpo m qud livr, rolndo bols [ prir do rpso] sobr prnhs d inlinção vriávl, qundo prrv por um fórmul-limi pr prvr o ompormno d bol n prnh n vril indo livrmn. Vj pr d figur sguir. El dsobriu qu, pr qulqur ângulo d prnh, vloidd d bol m qud rn sgundos r um múliplo onsn d. Ou sj, vloidd r dd por um rlção n form v k. O vlor d onsn k dpnd d inlinção d prnh. Usndo um noção modrn, pr b d figur mosr o qu os primnos d Glilu prmiirm drminr qu vloidd d bol, om disâni m mros mpo m sgundos, pr qulqur ângulo om sgundos d rolgm r: v 9, sn m/ s Págin 6 d

7 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO ssim: [THOMS, Gorg. álulo. v.. 0. d. p. 6] Qul é qução pr vloidd d bol rn qud livr? b Usndo os ddos nriors, qul é lrção onsn qu um orpo m qud livr primn qundo sá próimo à suprfíi d Trr? Qul qução pr posição d bol rn qud livr? Pr s so, o qu rprsn onsn d ingrção qul o su vlor numério? [STEWRT] rspirção é um ilo omplo ílio qu omç pl inlção b pl lção, isso udo lv r d s. máim d fluo d r pr dnro dos pulmõs é d r d 0, L/s. Isso pli, m pr, por qu função: F sn m sido frqunmn usd pr modlr d fluo d r pr dnro dos pulmõs. Us ss modlo pr nonrr o volum d r inldo nos pulmõs no insn. [STEWRT, Jms. álulo. v... d. p. 9] Pr rflir: Não s orn o qu friu. [Hofnil] RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS b ln s ln 7v d ln v f ln g ln os h m sn m i r g j rg m ln g l k ln r sn n o osh u 6 6ln 6 / / b 7os 7 6ln d / sn f [ rg ] v 9, [ m/ s] b 9, m/ s S,9 [ m] sndo qu rprsn posição iniil S 0 qu ns so d qud livr, S 0 0. V os [ L] Págin 7 d

8 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO TÉNIS E INTEGRÇÃO Muis funçõs [m pliçõs inífis nológis] s onfigurm d l mnir qu não são onmplds n bl d ingris imdis, vis nriormn. Pr no, plirmos lgums énis qu s rnsformrão m lgum ds funçõs prsns n bl m qusão. Eis um grnd qunidd d énis pliávis. Vjmos lgums dls: INTEGRÇÃO POR SUSTITUIÇÃO d ingrl f d, fzndo subsiuição: num ingrl imdi, m muios sos. Emplos: u g g d sndo g pr d f, hgmos lul: sn d. Rsolução: Fzndo u d d d Tmos: sn d sn d snu snu os u os u gor, volndo à vriávl, nonrmos: sn d os b rmin d. Rsolução: Fzndo u d d d u Tmos: d d u u u d 0 Enonr:. d. Rsolução: d Fzndo u. d d Tmos: 0. d u 0 u 0 u u gor, volndo à vriávl, mos: 0. d Págin d

9 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO d d rmin:. d Rsolução: Fzndo u Tmos: d d d d u u u 7 u 7 u 7 gor, volndo à vriávl : 7 d 7. Obsrvção: nlis uiddosmn os mplos prsndos prb qu rgr d ingrção por subsiuição orrspond à rgr d di pr drivção. EXERÍIOS: Rsolv s ingris dds sguir plo méodo d subsiuição. 0 os d 0 sn d 0 7. d / 0 6. d 0 / os. d 06 d 07 sn d 0 / d d.ln 7 6 d / 0. d 09 d sn. os d d sn d os s d 7. d d ln 9. d 0 v v dv dy y d 9 sn d os sn. d d d 6. d 9 7. K d d d 0 d d. Págin 9 d

10 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS 0 sn 9 / 0 07 os 0 ln 6 ln 0 os 6 0 / 0 / sn 7 7 6/ 9 9 v os ln sn 09 ln os g ln 0 y 6 9 / os 6 9 K INTEGRÇÃO POR PRTES Já vimos qu lgums funçõs não podm sr ingrds por omprção imdi n bl d ingris. ssim, nsss sos, plimos um subsiuição onvnin [d vriávl] pr rlizr ingrção. Enrno, ism siuçõs m qu isso não srá sufiin. Em muios dsss sos, podrmos ingrr fzndo uso d um éni qu hmmos d ingrção por prs. Vjmos: Vmos onsidrr um função [ompos] dfinid plo proo d s funçõs f g, sndo ss funçõs drivávis no inrvlo I. rvés d rgr d drivção do proo d funçõs, mos qu: f g f g f g f g f g g f Ingrndo os dois mmbros [ldos] d prssão, mos: f g d f g d Fzndo: f g d f g g f d g f d [ ] u f f d v g dv g d E subsiuindo m [] mos fórmul pr ingrr por prs: u dv u v v Págin 0 d

11 IFS / Ingris Indfinids Emplos: Prof. Júlio ésr TOMIO Lmbr: u dv u v v lul: d Rsolução: Fzndo u d dv d dv d v Tmos: d d. b rmin sn d. Rsolução: Fzndo u d dv sn d dv sn d v os Tmos sn d os os d os os d os sn Enonr: ln d Rsolução: Fzndo u ln d dv d dv d v v gor não: ln d ln d ln d ln d ln d ln ln d ln ln ln d ssim: ln ln d ln d ln Págin d

12 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO is pr Ingrção por Prs: i Em ingris dos ipos: p d, p sn d, p os d,. Fzmos: u p dv [ função é um polinômio rnsndn ] d ii Em ingris dos ipos: p ln d, p r sn d, p ros d,. Fzmos: u [ função dv p d rnsndn ] ond p é um polinômio Obsrvção: Os ros sos d ingrção por prs [qu não form mniondos ns di] rqurm um nális mis ririos. No: Eis ind o rósio LITE qu pod sr plido m bo pr dos sos. Vj: u dv Logrímis Invrss d Trigonoméris L I T E Eponniis Trigonoméris lgébris [inlui s Polinomiis] lh: Voê dv r prbido qu é muio imporn ns prosso qu voê sj pz d idnifir, om lrz, s funçõs nvolvids. O qu são funçõs rnsndns? E lgébris? EXERÍIOS: Rsolv s ingris dds plo méodo d ingrção por prs. 0. d 0. d 0 os d 0 ln d 07. ln d y 0 dy y. 06 ln d ln 0 d 09 sn d 0. sn d sn d os d. d r / 6 r. dr 7 d. d 9.ln d 0 d os d. sn d ln. d osln d os.ln sn d Págin d

13 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS 0 0 y y 9 / / 0.ln 07 ln 9 os sn /. ln sn os ln ln 0 ln ln 0 os sn os sn os sn os sn 6 7 sn os os sn 9 ln ln.ln.ln 6.ln 6 sn. ln sn sn r / r / 6 r. sn.os 0 sn ln osln Li o o bio pns rspio... on-s qu num pqun idd do inrior m mpos pssdos, um grupo d pssos s divri om um idio d rgião. Um pobr oido psso simpls qu vivi d pqunos biss jud dos vizinhos. irimn ls hmvm o rpz o br ond s runim ofrim l solh nr s mods: um grnd d 00 réis r mnor, d dois mil réis. El smpr solhi mior mnos vlios, o qu r moivo d risos pr odos. ro di, um dos mmbros do grupo hm-o lh prgun s ind não hvi prbido qu mod mior vli mnos. "Eu si" rspondu o não ão olo ssim "l vl ino vzs mnos, ms no di qu u solhr r, brindir b não v mis gnhr minh mod". Pod-s irr váris onlusõs dss pqun nrriv: - Primiro: qum pr idio, nm smpr é. - Sgundo: dio m form d prgun quis rm os vrddiros olos d hisóri? - Triro: s voê for gnnioso, podrá br srgndo su fon d rnd. Ms onlusão mis inrssn, mu vr, é prpção d qu podmos sr bm, msmo qundo os ros não êm um bo opinião nosso rspio. Porno, o qu impor não é o qu pnsm d nós, ms o qu rlmn somos... Es mril foi prozido om bs no livro: FLEMMING, iv M.; GONÇLVES, Mirin. álulo : funçõs, limi, drivção, ingrção. 6. d. São Pulo: Prson Prni Hll, 007. Pr rflir: Prr novos nsinmnos om simpliidd, sm rrogâni. [rirdo d um bisoio d sor hinês] Págin d

14 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO Págin d Obsrvção: No so o ldo, o méodo ds frçõs priis proprimn dio, NÃO foi plido por qu o ] [ ] [ gr P gr, rsulndo num divisão. Obsrvção: No so o ldo, o méodo ds frçõs priis proprimn dio, mbém NÃO foi plido por qu o ] [ ] [ gr P gr. pós ução d divisão [não ] dos polinômios, rsrvmos ingrl qu gor possui rgrs [primn] imdis n bl. INTEGRÇÃO POR FRÇÕES PRIIS Es éni é uilizd qundo prismos nonrr [ fmíli d primiivs d] um função qu é dd por um função rionl, iso é, plo quoin d dois polinômios. S P f ond, P são polinômios o gru d P é MIOR IGUL o gru d : SO : divisão P é [rso zro]. ssim: Q P Emplo: ividindo [plo méodo d hv], mos: 0 Enão: = d SO : divisão P não é [rso difrn d zro]. ssim: R Q P Emplo: d ividindo [plo méodo d hv], mos: Enão: d = d ln d d ] [ ] [ gr P gr

15 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO S P f ond, P são polinômios o gru d P é MENOR qu o gru d : gr[ P ] gr[ ] SO : O dnomindor é um proo d fors linrs disinos. Sjm, b,, númros ris, om. Enão, ism númros ris, is qu: om gru : P nlogmn... om gru : P Lmbr: b Emplo: 6 d Sndo qu são s rízs d qução b 0. º psso: nonrr s rízs d pr forá-lo. Ns so são s:. 6 0 ssim mos qu: 6 º psso: subsiuir s rízs no modlo nonrr os vlors d. Subsiuindo mos: 0 Subsiuindo mos: 0 0 º psso: lulr ingrl. d 6 = d ln ln No: Pr s so [], podmos plir ro méodo onhido omo Méodo d Hvisid Méodo do Enobrimno. Psquis prr sbr mis! Págin d

16 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO SO : O dnomindor é um proo d fors linrs disinos, ms lguns dls são rpidos. Sjm,, númros ris, om P um polinômio ujo gru é mnor qu. Enão, ism númros ris,, is qu: P nlogmn... P Emplo: d 6 9 º psso: nonrr s rízs d. Ns so são rês:,. No qu um dls é = ssim mos qu: 6 9 º psso: subsiuir s rízs no modlo nonrr os vlors d,. Subsiuindo mos: Subsiuindo mos: Subsiuindo 0 mos: º psso: lulr ingrl. d 6 9 = d ln ln Págin 6 d

17 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO Págin 7 d Lmbr: b n b n log. log b b log log log b b log log / log SO : O dnomindor onm fors qudráios irrívis, ms nnhum dls s rp. Sjm b,,, númros ris P um polinômio ujo gru é mnor qu. Suponhmos ind qu b não dmi rízs ris, iso é, Δ < 0. Enão, ism númros ris,, is qu: b b P Emplo: d º psso: nonrr s rízs d pr forá-lo º psso: subsiuir riz no modlo nonrr os vlors d,. omprndo os polinômios n iguldd im, mos: º psso: lulr ingrl. d = rg d d ln ln solução pod sr sri n form: d = rg ln ln = rg ln ln / d = rg ln ln d = rg ln

18 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO Págin d SO : O dnomindor onm fors qudráios irrívis rpidos. Sjm b,,, númros ris P um polinômio ujo gru é mnor qu. Suponhmos ind qu b não dmi rízs ris, iso é, Δ < 0. Enão, ism númros ris,,, E, is qu: ' b E b b P Emplo: d º psso: nonrr s rízs d pr forá-lo. Já sá fordo, pois não m rízs ris! º psso: subsiuir riz no modlo nonrr os vlors d,,, E. E E E E E E omprndo os polinômios n iguldd im, mos: E E 0 E 0 0 º psso: lulr ingrl. d = d d d = rg ln ln d = rg ln

19 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO EXERÍIOS: Rsolv s ingris plo méodo d frçõs priis. 6 d R : 6ln 6 b d R : ln ln 9 6 d R : ln ln ln d d 6 R : ln 6 d R : ln ln 0 0 f d R : g d 6 R : ln ln ln 6 0 h d R : ln i d R : ln j d R : ln k d R : 6 ln ln 9 9 l d R : ln 0 ln 0 rg Pr rflir: vid é um o. S voê não sá gosndo do qu sá rbndo, obsrv o qu sá miindo. [Lir Ribiro] Págin 9 d

20 IFS / Ingris Indfinids Prof. Júlio ésr TOMIO EXERÍIOS E FIXÇÃO: Rsolv s ingris dds bio plo méodo mis dqudo. 0 d 0 os. g d 0 ln d 0. ln d y ln 0 y. dy 06 d 07 d d 0. d os d d sn d d.os m d d 9 6 d d d 7 / RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS 9/ 0 [] [S] ln y y 0 [P] y. 07 [F] rg 09 [P] 0 [] os 9 / / 0 [P] ln 06 [S] ln 0 [S]. 0 [P] ln ln / ln ln ln ln [F] ln ln ln 6 [S] [] rg [S] ln sn [P] sn m os m sn m m m m 6 [F] 9 ln 7ln Págin 0 d

21 IFS / Ingris Indfinids / 7 [P] + [S] 6 9 Prof. Júlio ésr TOMIO [F] ln ln rg Lgnd [sugsão do méodo d rsolução]: [] Ingrção ir Imdi, [S] Ingrção por Subsiuição, [P] Ingrção por Prs [F] Ingrção por Frçõs priis. TÓPIO INFORMTIVO: Ns mril bordmos lguns méodos d rsolução d ingris indfinids. rsolução s du rvés d: - Ingris imdis [obids dirmn d bl d ingris] - Ingrção por subsiuição [d vriávl/função] - Ingrção por prs - Ingrção por frçõs priis Enrno, ism rs énis d rsolução pr sos spífios. Podmos ir lguns sos, omo ingrl os d qu é rsolvid rvés d ingrção por prs, ms uilizndo ind um éni onhid omo rorrêni. Pr lguns modlos d ingris rigonoméris, omo os d, podmos fzr uso d fórmuls d rção qu diminum poêni [pon] d função ingrndo. Eism ind ingris, omo 9 d qu rqurm subsiuiçõs rigonoméris pr possibilir o prosso d ingrção. onsul um bom livro d álulo pr sbr mis!! Pr dsonrir [s for pz]... uriu? Enão, qul o rsuldo d ingrl indfinid qu pr no mm im? Problm? Págin d