EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA

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1 Miisério d Educção Uivrsidd Tcológic Fdrl do Prá mpus urii Grêci d Esio Psquis Dprmo Acdêmico d Mmáic EQUAÇÕES DIFERENIAIS NOTAS DE AULA Prof. Pul Frcis Bvids

2 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids oúdo AULA... 6 AULA INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO LASSIFIAÇÃO Tipo: Ordm: Gru: Liridd:.... ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENIAIS:... AULA.... RESOLUÇÃO.... URVAS INTEGRAIS:.... SOLUÇÃO:.... PROBLEMA DE VALOR INIIAL PVI.... TEOREMA DA EISTÊNIA DE UMA ÚNIA SOLUÇÃO.... EQUAÇÕES DIFERENIAIS AUTÔNOMAS EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS Rsolução:... 8 AULA.... EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS..... Fução Homogê..... Equção Homogês Rsolução:... AULA EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS. 6.. O drmi é difr d zro O drmi é igul zro AULA EQUAÇÕES DIFERENIAIS EATAS... AULA For Igr... AULA

3 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids. EQUAÇÕES LINEARES: For Igr: Susiuição ou d Lgrg:... 9 AULA EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: Equçõs d Broulli:... AULA Equção d Rici... AULA EQUAÇÕES DE A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES Dfiiçõs: Equção d Evolóri Soluçõs Sigulrs... AULA..... Equção d liru... AULA..... Equção d Lgrg: Ouros ipos d qução d Ordm gru difr d um:... 6 AULA EERÍIOS GERAIS... 8 AULA EQUAÇÕES DIFERENIAIS OM MODELOS MATEMÁTIOS MODELO MATEMÁTIO DINÂMIA POPULAIONAL MEIA VIDA DEAIMENTO RADIOTAIVO RONOLOGIRA DO ARBONO RESFRIAMENTO MISTURAS DRENANDO UM TANQUE DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA ORPOS EM QUEDA orpos m qud rsisêci do r ORRENTE DESLIZANTE IRUITOS EM SÉRIE... 8 AULA EQUAÇÕES DIFERENIAIS LINEARES DE A ORDEM E ORDEM SUPERIOR AULA EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE OEFIIENTES ONSTANTES... 89

4 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids 7.. so : Rízs Ris Disis so : Rízs Múlipls so : Rízs compls disis AULA EULER - AUHY... 9 AULA EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS Solução por coficis drmir Dscrs: AULA Solução por vrição d prâmros... AULA Méodo do Oprdor Drivd Dfiição... Propridds Equçõs Difrciis... Oprdor Auldor oficis idrmidos - Aordgm por Auldors... Rsolução d Equçõs Lirs...6 AULA EERÍIOS GERAIS... 9 AULA MODELAGEM OM EQUAÇÕES DIFERENIAIS DE ORDEM SUPERIOR EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INIIAL: Sism Mss-Mol: Movimo Livr ão morcido ED do Movimo Livr ão morcido:... Solução Equção do Movimo: Sism Mss-Mol: Movimo Livr Amorcido ED do Movimo Livr Amorcido: Sism Mss Mol: Movimo Forçdo ED do Movimo Forçdo com Amorcimo: ED d um Movimo Forçdo Não Amorcido: ircuio m Séri Aálogo - ircuios léricos RL m séri EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE ONTORNO Dflão d um vig: Soluçõs Não Triviis do Prolm d Vlors d ooro: Dformção d um olu Fi:... ord Girdo:... AULA SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENIAIS SISTEMA ANÔNIO E SISTEMA NORMAL:... 8 AULA.... SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENIAIS NA FORMA SIMÉTRIA... AULA MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM...

5 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids.. Vor solução..... O Prolm d Vlors Iiciis Eisêci d um úic solução Sisms homogêos Pricípio d Suprposição Idpdêci Lir riério pr Soluçõs Lirm Idpds ojuo fudml d solução Solução Grl - Sisms Homogêos Sisms ão homogêos Solução Grl - Sisms Não-Homogêos Um Mriz Fudml Um Mriz Fudml é Não-Sigulr... Mriz Espcil é um Mriz Fudml... AULA SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS..... Auovlors ris disios..... Auovlors complos..... Auovlors d Muliplicidd dois... AULA SISTEMAS NÃO HOMOGÊNEOS oficis Idrmidos Vrição d Prâmros... 6 AULA RESOLUÇÃO POR SÉRIES DE POTÊNIA:... 6

6 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Rsolv s sguis igris: AULA REVISÃO DE INTEGRAIS d R: d = R: 8 d d d d 6 d 7 d 8 d 9 d d R: R: rcs l R: R: l R: rc l R: R: l l R: l R: sc d R: l d R: l 6

7 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids d rc R: d R: 9 6 d 7 d 8 d R: l R: l R: l rc 9 d l R: d l R: d l rc R: d l. d l R: l R: rc rc d rc. R: rc. l cos. si d 6 d 7 d 6 8. d si R: R:. R: 6 R:. 7

8 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA EQUAÇÕES DIFERENIAIS. INTRODUÇÃO As d mis d, vmos rcordr o qu foi prdido m álculo!!! A drivd d um fução = φ d mis é do qu um our fução φ cord por um rgr proprid. omo por mplo, fução = é difrciávl o irvlo,, su d drivd é.. S fizrmos rmos: d d. d Vmos supor gor qu su profssor lh dss qução prguss qul é fução rprsd por? Apsr d você ão fzr idi d como l foi cosruíd, você sá fr d um dos prolms ásicos ds discipli: como rsolvr ss qução pr dscohcid fução = φ? O prolm é smlh o fmilir prolm ivrso do cálculo difrcil, od dd um drivd, corr um idrivd. Não podmos dir d ldo difrç r drivd difrcil, pois, mor drivd difrcil possum s msms rgrs oprciois, sss dois oprdors êm sigificdos s difrs. As difrçs mis mrcs são: drivd m sigificdo físico pod grr ovs grdzs físics, como por mplo vlocidd clrção; difrcil é um oprdor com propridds purm mmáics; drivd rsform um fução m our, mdo um corrspodêci r os poos ds dus fuçõs por mplo, rsform um fução do sgudo gru m um fução do primiro gru; difrcil é um vrição ifiisiml d um grdz; drivd é um oprção r dus grdzs; difrcil é um oprção qu volv um grdz; o rsuldo d um drivd ão coém o ifiiésimo m su sruur; cosqum, ão is igrl d um drivd; igrl só pod sr plicd um rmo qu coh um difrcil ifiiésimo; s for fio o quoci r os dois difrciis, m-s: m ol smlhç com dfiição d drivd. A cosquêci dir dss fo é qu drivd ão é o quoci r dus difrciis, ms compor-s como s foss ss quoci. Iso sigific qu prir d rlção: d d d d f d d é possívl scrvr: d f d qu s domi qução difrcil. um ds plicçõs mis impors volvdo drivds difrciis é oção d qução difrcil, p fudml pr irodução do álculo Igrl. 8

9 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids. Dfiição Equção difrcil é um qução qu rlcio um fução sus drivds ou difrciis. Qudo qução possui drivds, ss dvm sr pssds pr form difrcil. d d d d d d d d "' " ' cos " ' d d d d 6 z z 7 8 z z z. LASSIFIAÇÃO.. TIPO: S um qução coivr som drivds ordiáris d um ou mis vriávis dpds m rlção um úic vriávl idpd, como m 6, s drivds são ordiáris qução é domid qução difrcil ordiári EDO. Um ED pod cor mis d um vriávl dpd, como o cso d qução 6 Um qução qu volv s drivds prciis d um ou mis vriávis dpds d dus ou mis vriávis idpds, como m 7 8, qução é domid qução difrcil prcil EDP. As quçõs difrciis prciis ão srão viss s curso... ORDEM: A ordm d um qução difrcil é ordm d mis l drivd qu l prc. As quçõs, 6 são d primir ordm;, 7 são d sgud ordm é d rcir ordm... GRAU: O gru d um qução difrcil, qu pod sr scri, cosidrdo drivds, como um poliômio, é o gru d drivd d mis l ordm qu l prc. Tods s quçõs dos mplos cim são do primiro gru, co qu é do sgudo gru. 9

10 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids d d d d d d d d ordm o gru l d d l l d d d. d d d ordm o gru Osrv qu m smpr à primir vis, pod-s clssificr qução d imdio quo ordm gru... LINEARIDADE: Dizmos qu um qução difrcil ordiári d d d g d d d d ordm é lir qudo são sisfis s sguis codiçõs: A vriávl dpd ods s sus drivds ', ",, são do primiro gru, ou sj, poêci d cd rmo volvdo é um. Os coficis,,, d ', ",, dpdm qudo muio d vriávl idpd. Emplos: d 8d d d 7 d d d d d d c São rspcivm quçõs difrciis ordiáris lirs d primir, sgud rcir ordm.. ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENIAIS: Um rlção r s vriávis, crrdo coss riráris ssciis, como ou A B, é chmd um primiiv. As coss, rprsds smpr qui, por lrs miúsculs, srão domids ssciis s ão pudrm sr susiuíds por um úmro mos d coss. Em grl um primiiv, crrdo coss riráris ssciis, drá origm um qução difrcil, d ordm, livr d coss riráris. Es qução prc limido-s s coss r s quçõs oids judo-s à primiiv s quçõs provis d drivds sucssivs, m rlção vriávl idpd, d primiiv.

11 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Or qução difrcil ssocid às primiivs io: cos od são coss s cos f c d

12 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA - EERÍIOS Nos rcícios d, or qução difrcil ssocid primiiv: cos si 6 7 l 8 A B 9 A B l A B Or qução difrcil d fmíli d círculos d rio, cujos cros sjm sor o io. Rsposs: d d d d d d d d d d d d d d d d d d d l d 6 7 d d d d d d d d d d d d d d d 6 6 d d d " ' ' 8 9 d d

13 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA. RESOLUÇÃO Rsolvr um ED é drmir ods s fuçõs qu, so form fii, vrificm qução, ou sj, é or um fução d vriávis qu, susiuíd qução, rsform- um ididd. A rsolução d um qução difrcil volv sicm dus ps: primir, qu é prprção d qução, qu cosis m fzr com qu cd rmo d qução h, lém d coss, um úico ipo d vriávl. A sgud p é rsolução d qução difrcil cosis plicção dos méodos d igrção.. URVAS INTEGRAIS: Gomricm, primiiv é qução d um fmíli d curvs um solução priculr é qução d um dsss curvs. Ess curvs são domids curvs igris d qução difrcil. d d. SOLUÇÃO: É fução qu qudo susiuíd quçãodifrcil rsform um ididd. As soluçõs podm sr: Solução grl: A fmíli d curvs qu vrific qução difrcil, primiiv d um qução difrcil com s coss riráris qus form s uidds d ordm d qução. Solução priculr: solução d qução dduzid d solução grl, impodo codiçõs iiciis ou d cooro. Grlm s codiçõs iiciis srão dds pr o is iicil. Já s codiçõs d cooro prcm qudo s quçõs d ordm suprior os vlors d fução d sus drivds são dds m poos disios. Solução sigulr: hm-s d solução sigulr d um qução difrcil à volóri d fmíli d curvs, qu é curv g ods s curvs d fmíli. A solução sigulr ão pod sr dduzid d qução grl. Algums quçõs difrciis ão prsm ss solução. Ess ipo d solução srá viso mis di. As soluçõs id podm sr: Solução plíci: Um solução pr um EDO qu pod sr scri d form f é chmd solução plíci. Solução Implíci: Qudo um solução pod ps sr scri formg, r-s d um solução implíci.

14 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Emplo: osidrmos rsolução d sgui EDO: d d c d d A solução grl oid é ovim um solução plici. Por ouro ldo, pod-s dmosrr qu EDO: d m como solução:, ou sj, um solução implíci. d Emplo: Vrifiqu qu é um solução pr qução d o irvlo 6 d,. Rsolução: Um mir d comprovr s um dd fução é um solução é scrvr qução difrcil como d d vrificr, pós susiuição, s difrç cim é d d zro prodo o irvlo. d d d 6 d Susiuido E.D., mos 6 Es codição s vrific pr odo R. PROBLEMA DE VALOR INIIAL PVI Sj qução difrcil d primir ordm d f, suji codição iicil d, m qu é um úmro o irvlo I é um úmro rl rirário, é chmdo d prolm d vlor iicil. Em rmos goméricos, smos procurdo um solução pr qução difrcil dfiid m lgum irvlo I l qu o gráfico d solução pss por um poo o, o drmido priori.

15 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids c. Sj fmíli um prâmro d soluçõs pr '= o irvlo spcificrmos qu =, ão susiuido = = fmíli, mos: c. c.,. S S spcificrmos qu =, ão mos: c. c.. d Srá qu qução difrcil f, possui um solução cujo gráfico pss plo d poo o, o? Aid, s s solução isir, é úic? As fuçõs = 6 são soluçõs pr o prolm d vlor iicil d d Podmos osrvr qu o gráfico dss soluçõs pssm plo poo,. Ds form, dsj-s sr s um solução is, qudo is, s é úic solução pr o prolm.. TEOREMA DA EISTÊNIA DE UMA ÚNIA SOLUÇÃO Sj R um rgião rgulr o plo poo, m su irior. S f, df d dfiid por, c d, qu coém o são coíus m r, ão is um irvlo I, crdo m um úic fução dfiid m I qu sisfz o prolm d vlor iicil d f,, sujio d. Três prgus impors sor soluçõs pr um EDO.. Dd um qução difrcil, srá qu l m solução?. S ivr solução, srá qu s solução é úic?. Eis um solução qu sisfz lgum codição spcil? Pr rspodr ss prgus, is o Torm d Eisêci Uicidd d solução qu os gr rspos pr lgums ds qusõs dsd qu qução h lgums crcrísics.

16 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Torm: osidr o prolm d vlor iici d p q d S p q são coius m um irvlo ro I codo, ão o prolm d vlor iicil m um úic solução ss irvlo. Alrmos qu dscorir um solução pr um Equção Difrcil é lgo similr o cálculo d um igrl ós smos qu ism igris qu ão possum primiivs, como é o cso ds igris lípics. Dss form, ão é d s sprr qu ods s quçõs difrciis possum soluçõs.. EQUAÇÕES DIFERENIAIS AUTÔNOMAS As quçõs difrciis d form são chmds d uôoms. d f d Uilizdo mipulção forml iroduzid por Liiz 66-76, podmos scrvr qução form: d d f uj rsolução é: d f Pr jusificr qução cssimos qu sj m dfiid o irvlo d f d irss A, od f qu sj coíu s irvlo A. Pois, como m d f A, o Torm d Fução Ivrs gr qu is um fução ivrs d fução, iso é, F l qu df f m d A, o qu jusific o procdimo forml. Poro, solução do prolm d codição iicil é oid pl solução do prolm com ivrsão d fução. d f d d d f 6 6

17 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids As quçõs uôoms prcm formulção d um grd quidd d modlos. Smpr qu um li d formção frm qu: d vrição d um quidd é proporciol s msm quidd, mos um qução uôom d form d d k 7 omo, f k, ão f * s. Dvmos procurr soluçõs sprdm os dois irvlos. osidrdo iicilm o prolm d uch d k d 8 E su prolm ivrso d d k 9 uj solução ivrs é dd por * ou sj, l d k d k k k pr R. k l l l k osidr qução uôom su solução grl, pr k d k d, é oid cosidrdo-s su form difrcil 7

18 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Poro, Ns cso, k k k d d k k k d k l k k solução d quilírio., d k. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU São quçõs d ordm o gru: d F, d ou Md Nd m qu M = M, N = N,. Ess fuçõs êm qu sr coíus o irvlo cosidrdo -,. EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS M, d N, d A qução difrcil srá d vriávis správis s: M N form fuçõs d ps um vriávl ou coss. M N form produos d fors d um só vriávl. P d Q d Iso é, s qução difrcil pudr sr colocd form, qução é chmd qução difrcil d vriávis správis... RESOLUÇÃO: Pr rsolvrmos l ipo d qução difrcil, como o próprio om já diz, dvrmos sprr s vriávis, iso é, dvrmos dir o cofici d difrcil d como sdo um fução clusivm d vriávl, ão igrmos cd difrcil, d sgui form: P. d Q. d Emplos: Rsolvr s sguis quçõs: 8

19 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids d d d d d d g. sc d gsc d 9

20 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids d d 6 d d 7 d d

21 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids 8 Rsolv o prolm d vlor iicil d d, AULA EERÍIOS Vrifiqu qu é um solução pr qução " ' o irvlo., Rsolvr s sguis quçõs difrciis. d g. d d d d d d d d d d d d d d 6 7 d 8 sc d sc d d + d = d d d d d d d cos d cos d d Rsposs: Es codição s vrific pr odo úmro rl. cos = + = = + l 6 rcg l 7 k l 8 9 g. g = l.rcg = c. s s 9 6

22 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS.. FUNÇÃO HOMOGÊNEA Um fução f = f, é domid homogê d gru k s, pr odo R, vl rlção f, = k f,. Um fução f = f, é homogê d gru s, pr odo R, vl rlção f, = f, Emplos: A fução f, = + é homogê d gru, pois f, f, g, é homogê d gru zro pois, g, f, f, = + é homogê d gru rês pois, f, f, S f, for um fução homogê d gru, o qu podmos scrvr f, f, f, f, são ms homogês d gru. Emplo: Sj f, homogê d gru. Logo, f, f,. f, f,.. EQUAÇÃO HOMOGÊNAS A qução M, d N, d srá chmd d qução difrcil homogê s M N form fuçõs homogês d msmo gru. Emplos: d d ' ' rcg

23 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids... Rsolução: Sj qução homogê Md + Nd = Tm-s: d d M N Dividido-s o umrdor o domidor do sgudo mmro por lvdo poci igul o gru d homogidd d qução, rsulrá um fução d /. d d F É cssário, o o, susiuir fução / por um our qu prmi sprr s vriávis. Dss form, susiui-s por u. Drivdo =.u m rlção m-s Susiuido m, mos: u du d du d du F u u F u F u u d u. d du u d d Qu é um qução d vriávis správis. Em rsumo: Pod-s rsolvr um Equção Difrcil Homogê, rsformdo- m um qução d vriávis správis com susiuição =.u, od u = u é um ov fução icógi. Assim, d = du + ud é um qução d form = f, pod sr rsformd m um qução správl.

24 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Emplo: d d

25 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA EERÍIOS Rsolv s sguis quçõs: d + d = d + d = + d + + d = + d + d = + d d = d d 6 d d 7 Drmi solução d d + d = suji codição iicil 8 Drmi solução d d 6d suji codição iicil. Rsposs: + = + + = k l rcg ou 6 l k rcg

26 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA. EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS São s quçõs qu mdi drmid roc d vriávis s rsformm m quçõs homogês ou m quçõs d vriávis správis. São quçõs d form: d c F d c od,,,, c c são coss. Osrvmos qu qução cim ão é d vriávis správis porqu mos um som ds vriávis mém ão é homogê pl isêci d rmos idpds, poro dvrmos limir ou som ou o rmo idpd. O qu quivl fur um rslção d ios. Pr ss ipo d qução m dois csos cosidrr:.. O DETERMINANTE É DIFERENTE DE ZERO Rsolução: Sj o sism c cuj solução é dd pls rízs c A susiuição sr fi srá: u v d du d dv α β. 6

27 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Osrv-s qu, gomricm, quivlu um rslção dos ios coorddos pr o poo qu é irsção ds rs compos do sism, o qu é vrddiro, um vz u o drmi cosidrdo é difr d zro., Assim sdo, qução rsformd srá: dv u v c F du u v c omo são s rízs do sism: dv du u v F u v qu é um qução homogê do ipo viso riorm. Emplo: Rsolvr qução d d 7

28 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids.. O DETERMINANTE É IGUAL A ZERO. Assim, osrv-s qu o méodo plicdo o o cso ão frá sido, d vz qu s rs o sism srim prlls su irsção sri vrificd o ifiio poo impróprio. A qução s rduzirá um d vriávis správis. scrvr: omo =, os coficis d são proporciois, d modo qu s pod hmdo rlção cos d m, pod-s scrvr: c m c m m Assim: d d c F m c Fzdo, sdo f, m-s: Drivdo m rlção : Equção rsformd: d d d d d d d d c F m c G qu é um qução d vriávis správis. 8

29 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Emplo: Rsolvr qução d d 6 9

30 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids d d d d d 8 d d d d d d 6 d d d 6 7 AULA - EERÍIOS Rsposs: = + = + l rcg k + = - 9l l + - = l - - = =

31 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA 6. EQUAÇÕES DIFERENIAIS EATAS Um qução do ipo M,d + N,d = é domid difrcil, s is um fução U, l qu du, = M,d + N,d. A codição cssári sufici pr qu qução sj um difrcil é qu: M N Dd qução difrcil Md+Nd= sj u=f,= su solução, cuj difrcil dd por: u u du d d Eão, comprdo rmos: u M, u N, Pr ormos su solução u f, dvrmos igrr, por mplo, prssão, m rlção à vriávl, d qul rmos f, M, d g Drivdo prcilm m rlção à rmos: f M, d g' Iguldo 6 rsul: M, d g' N, Isoldo g igrdo m rlção chrmos:. M, d g N, d 7 Susiuido 7 m rmos solução grl d qução, qu é: M d f M d,, N,, d Logo, solução é d form P U, Md N d od cosum-s dor P Md 6

32 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Emplos: d d d d

33 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids + d + + cos d = d + d = d + d = sh.cos d = cosh.s d rdr r d AULA 6 EERÍIOS Rsposs: = coshcos = r s

34 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA 7.. FATOR INTEGRANTE Nm smpr ED é, ou sj, Md + Nd = ão sisfz, isso é: N M. Qudo isso ocorr vmos supor isêci d um fução F, qu o muliplicr od ED pl msm rsul m um ED, ou sj, F,[Md +Nd] =, s é um ED. S l é, is c u, M F d u. N F d u. Tomdo codição d idão FN d FM F N N F F M M F chr F por qui é loucur!!!!!!! Vmos supor ão qu F, = F N F N F M F dividido udo por FN orgizdo, mos: N N F F M N N N M N F F N M N F F rscrvdo: d N M N df F igrdo: d R F l d R F. od: N M N R logm, supodo F, = F qu or FMd + FNd = rmos: d R F. od: N M M R

35 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Em rsumo: M N Qudo prssão Md + Ndão é difrcil, iso é,, mosr-s qu há um ifiidd d fuçõs, is qu F Md Nd é um difrcil. A s fução, dá-s o om d for igr. F, F, F: F: M N R M N N R M R d F F R d Emplos: Rsolvr s sguis quçõs difrciis rsformdo m s rvés do for igr. d + + d =

36 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids d + d = AULA 7 EERÍIOS cos + d = s d g d + sc d = s d + cos d = Ecor solução priculr d d d pr d d 6 d ld d d d 7 Rsposs: cos + = g s. k 6 l k 7 6

37 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA 8. EQUAÇÕES LINEARES: Um qução difrcil lir d ordm o gru m form: d P Q d S Q =, qução é di homogê ou icompl; quo, s Q, qução é di ão-homogê ou compl. Alisrmos dois méodos d solução d quçõs difrciis dss ipo sr:.. FATOR INTEGRANTE: Es méodo cosis rsformção d um qução lir m ouro do ipo difrcil, cuj solução já sudmos riorm. Poso iso, vmos rordo à qução origil d osso prolm: d P Q d Vmos rscrvr s úlim so form P Q d d Pd Pd Muliplicdo mos os mmrospor for igr omos prssão Pd P Q d d. Aqui, idificmos s fuçõs M N : Drivdo M com rlção N com rlção, omos: M N Pd Pd P Q M P Pd N P Pd cofirmdo ssim, qu qução rsformd é um qução difrcil. 7

38 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Emplo: d d Rsolvr qução por for igr: 8

39 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids.. SUBSTITUIÇÃO OU DE LAGRANGE: Ess méodo foi dsvolvido por Josph Louis Lgrg mmáico frcês: 76-8 cridor d Mcâic Alíic dos procssos d Igrção ds Equçõs d Drivds Prciis. O méodo cosis susiuição d por Z. qução, od = Z=, sdo Z ov fução icógi fução drmir, ssim = Z.. Drivdo m rlção, m-s: Susiuido m vmos or: d d d dz Z d d d dz Z PZ Q d d d dz Z P Q d d Pr igrl qução, mi-s dois csos priculrs d qução sr: i P =, ão d = Q, logo, Qd d ii Q =, ão P qução homogê qu rsul m d + Pd = qu é d d d vriávis správis. Dí, Pd. Igrdo ss úlim, rsul m l Pd. Aplicdo dfiição d logrimo, pssmos scrvr solução Pd Pd. Fzdo k, mos Pd k qu rprs solução d qução homogê ou icompl. Agor, vmos psquisr qução vlors pr Z, um vz qu =Z., rmos solução d qução qu um qução lir compl ão-homogê. S igulrmos os coficis d Z um cro for, o vlor dí oido podrá sr lvdo o rso d qução, possiilido drmição d Z um vz qu pod sr drmido prir ds codição. d Assim, vmos impor m, qu o cofici d Z sj ulo. Fio iso, P 6, qu é d d msm form já sudd o cso ii. Assim, Pd dz k. Susiuido s rsuldo m Q d dz omos k Pd dz Pd Q. Dí, Q dz Pd Qd. Igrdo s úlimo d d k k Turim, d jiro d 76 Pris, d ril d 8foi um mmáico frcês d origm ili cridor d Mcâic Alíic dos procssos d Igrção ds Equçõs d Drivds Prciis 9

40 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids rsuldo, mos Z k Z : Pd k k Pd Pd Qd 7. Lmrdo qu = Z., vmos or, susiuido Qd, od rsul, film m: Pd Pd.Q.d 8 qu é solução grl d qução Empo : d d Rsolvr qução por Lgrg

41 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids d co d d rc d d. cos d d d d d d si d 6 7 Achr solução priculr pr AULA 8 EERÍIOS m d d. cos d, d 8 Rsolvr o prolm d vlor iicil Rsposs: rc. lsi rc si sc 6 6 si sc 7 cos 8 7

42 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA 9.6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: Rsolvr quçõs difrciis ão lirs é muio difícil, ms ismlgums dls qu msmo sdo ão lirs, podm sr rsformdsm quçõs lirs. Os pricipis ipos d is quçõs são:.6. EQUAÇÕES DE BERNOULLI: Equção d form: d d P Q pr, od P Q são fuçõs coius cohcids como qução d Broulli. Nss cso, idéi é rlizr um susiuição qução cim, dmodo rsformá-l m um EDO lir. Pois, s: = = + P = g cso rior + [P g] = cso rior homogê Solução: Trsformção d vriávl: Susiui por Driv-s m rlção : d d d d Susiuido, qu é: d P d Q d d Q P m mos: Q P Q P d d d d Jko Broulli, ou Jco, ou Jcqus, ou Jco I Broulli Bsili, 7 d Dzmro d 6 - Bsili, 6 d goso d 7, foi o primiro mmáico dsvolvr o cálculo ifiisiml pr lém do qu for fio por Nwo Liiz, plicdo-o ovos prolms.

43 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids omo, mos: Q P d d d d [ P] Q Emplo: Tordo-s ssim um qução lir sr rsolvid plo méodo rior. d d

44 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA 9 EERÍIOS d d l 6 7 d d d d d d d d d d d d Rsposs:. l.. l. l 6 7

45 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids.6. EQUAÇÃO DE RIATTI AULA A qução d Jcopo Frcsco Ricci é d form: d P Q R d od P, Q R dsigm fuçõs d. Osrvmos qu, qudo P= mos qução lir, qudo R = mos qução d Broulli. Josph Liouvill mosrou qu solução d qução d Ricci só é possívl qudo s cohc um solução priculr. so corário, l só é igrávl rvés d um fução rscd. Rsolução: ohcdo-s um solução priculr qução fzdo sgui mudç d vriávl: od z omo dpdm d. é solução, mos: d qução, pod-s rsolvr fcilm z d d P Q R Por ouro ldo, drivdo m-s: d d d d dz d Susiuido qução : d d dz P z Q z R d Dsvolvdo grupdo os rmos: d d dz Pz d P Q z P Q R Vz, 8 d Mio d Trviso, d Aril d 7 foi um mmáico físico ilio qu fuou rlhos sor hidráulic qu form muio impors pr cidd d Vz. El próprio judou projr os diqus o logo d vários cis. osidrou divrss clsss d quçõs difrciis ms é cohcido priciplm pl Equção d Ricci, d qul l fz um lordo sudo du soluçõs m lgus csos spciis. Si-Omr, Ps-d-lis, d Mrço d 89 - Pris, 8 d smro d 88 foi um mmáico frcês. Um fução é chmd d rscd qudo ão é lgéric pod sr prss m rmos d soms, difrçs, produos, quocis ou rízs d fuçõs poliomiis. As fuçõs rigoomérics, pociis logrímics são mplos d fuçõs rscds.

46 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Susiuido m rgrupdo, rsul m: dz d P Q z Pz 6 qu é um qução d Broulli vriávl z, cuj solução já foi dsvolvid. Em rsumo: Pr su rsolução lgéric dvrmos cohcr um solução priculr = qulqur d, qul mudç d vriávis = z +, irá limir o rmo idpd R rsformdo qução d Ricci um qução d Broulli. Emplo: Mosrr qu procurr solução grl. d d é solução priculr d qução 6

47 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA EERÍIOS d Vrificr s = é solução priculr d qução. Em cso firmivo, d clculr solução grl. Mosrr qu d é solução priculr d qução d clculr su solução grl. d Sdo qu = é solução priculr d qução clculr d su solução grl. d lculr solução d qução sdo qu = é solução d priculr. Dr solução grl d qução d d sdo qu = - é solução priculr. Rsposs: k k k 7

48 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA. EQUAÇÕES DE A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM. ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES.. DEFINIÇÕES: urvs igris: Fmíli d curvs qu rprs solução grl d um qução difrcil. Evolvid: É cd um ds curvs igris. Rprs gomricm um solução priculr d qução. Evolóri: Tomdo-s como mplo fmíli d curvs dpds d um prâmro f,,α, dfi-s como volóri curv g ods s lihs qu cosium fmíli d curvs igris. Assim sdo, pod-s firmr qu is um ou mis volóris pr um msm fmíli, como mém podrá ão hvr hum. Por mplo, um fmíli d circufrêcis cocêrics ão prs volóri. 8

49 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids.. EQUAÇÃO DA ENVOLTÓRIA Sj f,,α um fmíli d curvs dpds do prâmro. Dfi-s como volóri curv qu é g od lih qu cosium fmíli d curvs. Pod-s isir um ou mis volóris pr um msm fmíli d curvs, como mém podrá ão hvr hum. As curvs qu form fmíli são chmds volvids. Grlm, volóri é dfiid plo sism: f,, f,, cuj qução pod sr oid pl limição do prâmro m. Tmém podmos or qução d volóri so form prméric, rsolvdo o sism pr. Emplo: Or volóri d um fmíli d circufrêci com cro sor o io rio igul. 9

50 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids.. SOLUÇÕES SINGULARES Um qução difrcil ão lir d ordm pod s scri form lriv d F,, d Foi viso qu um qução difrcil pod prsr rês ipos d solução: grl priculr sigulr vulm A solução grl é do ipo f,,, qu rprs um fmíli d curvs curvs igris, cd um ds quis sá ssocid um solução priculr d qução dd. A volóri dss fmíli d curvs cso is rprs solução sigulr d qução origil. d D fo, o cofici gulr d r g m um poo d coordds volóri d curv igrl corrspod d d d d. Além disso, m-s qu os lmos,, d cd poo d volóri sisfzm à qução cim, pois são lmos d um curv igrl. Poro, volóri é um solução d qução qu ão rsul d fição d cos, por s rzão, é um solução sigulr. Emplo: Drmir solução grl solução sigulr d qução d d d d

51 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA EERÍIOS Dr volóri ds sguis fmílis d curvs: d Or solução sigulr d qução d Achr solução grl solução sigulr d qução: d d d d Rsposs 7 solução sigulr solução grl

52 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA.. EQUAÇÃO DE LAIRAUT A Equção d liru 6 m form d d. d d Rsolução: hmdo d d qução d liru fic p p p Drivdo qução rior m rlção, rmos: d d dp d dp d dp d p. ' p ' p dp d p A solução grl é dd susiuido-s m p plo su vlor Assim, é solução grl d qução d liru fmíli d rs D, m-s: ' p ' p Elimido-s p r m-s um rlção F,= qu rprs solução sigulr. Emplos: 6 Pris, d Mio d 7 Pris, 7 d Mio d 76 foi um mmáicofrcês.prcursor d gomri difrcil, rlizou sudos fudmis sor curvs o spço.

53 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Drmir solução grl solução sigulr d sgui qução d liru: d d d d AULA EERÍIOS Drmir solução grl solução sigulr ds sguis quçõs d liru:.. d d d d l d d d d d d c. d d d d d. d d. d d d d Rsposs. l grl l sigulr. grl sigulr c. grl 7 sigulr d. grl 6 sigulr. grl sigulr

54 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA.. EQUAÇÃO DE LAGRANGE: A qução d Lgrg m form d d F d d Osrvmos qu qução d liru é um cso priculr d qução d Lgrg, s d d F. d d Rsolução: A solução d qução d Lgrg, grlm é dd so form prméric. hmdo d d p qução d Lgrg fic F p p. Drivdo qução rior m rlção, rmos: dp p F p F' p ' p d dp d Muliplicdo por d dp dividido por [p Fp], m-s: dp p F p F' p ' p d dp d D od s pod scrvr d dp P Q d dp F' p p F p ' p p F p omo m grl ão srá possívl isolr p solução d qução lir rior, solução grl d qução d Lgrg srá dd form prméric: p p

55 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Emplo: Rsolvr qução d d d d

56 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids..6 OUTROS TIPOS DE EQUAÇÃO DE A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM: Rsolvr s sguis quçõs: d d d d si l d d 6

57 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA - EERÍIOS d d d d d d d d d d d d d d d d d. d d d d d 6 l d d d d 7 d d Rsposs p l p p p lp p p p l p p l p p p p p p l p rcsi p c 6 7 p p p p p p l p p c p c p l p l p rc p c 7

58 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA. EERÍIOS GERAIS lcul s Equçõs Difrciis io: d d d d d d cos si d si cosd d cos d d d 6 7 d d d d d 8 d d 9 d d d d d 9 d cos d d cos d 6 d 6 d 6 d d si d cos d 7 8 d sc. d sc. d cos d si d 9, drmir solução priculr pr =. d d d d d d d l d Achr solução priculr pr = = m d d d d d d d d d 6 d 7 8ohcdo-s solução priculr = d qução solução grl. d d clculr su lculr solução grl sigulr ds sguis quçõs: 9 d d d d d d d d d d d d d si d d d Rsolvr s sguis quçõs d Lgrg: d d d d d d d d 8

59 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids 6 l l l sc sc cos sc co l 9 l l l6 si l 6 7 cos 8 sc sc - 9 cos l Rsposs: 9 7 Não há solução sigulr si rccos p p p p 6 p p p p 9

60 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA 6. EQUAÇÕES DIFERENIAIS OM MODELOS MATEMÁTIOS 6. MODELO MATEMÁTIO É frqum dsjávl dscrvr o compormo d lgum sism ou fômo d vid rl m rmos mmáicos, qur sjm ls físicos, sociológicos ou msmo coômicos. A dscrição mmáic d um sism ou fômo, chmd d modlos mmáicos é cosruíd lvdo-s m cosidrção drmids ms. Por mplo, lvz quirmos comprdr os mcismos d um drmido cossism por mio do sudo do crscimo d populçõs imis ss sism ou dr fóssis por mio d ális do dcimo rdioivo d um susâci qu sj o fóssil ou o ro o qul foi dscor. A cosrução d um modlo mmáico d um sism comç com: i. idificção ds vriávis rsposávis pl vrição do sism. Podmos pricipio opr por ão icorporr ods sss vriávis o modlo. Ns p, smos spcificdo o ívl d rsolução do modlo. A sguir, ii. lormos um cojuo d hipóss rzoávis ou prssuposiçõs sor o sism qu smos do dscrvr. Esss hipóss dvrão icluir mém quisqur lis mpírics plicávis o sism. Pr lgus propósios, pod sr prfim rzoávl os cormos com um modlo d i rsolução. Por mplo, você provvlm já s qu, os cursos ásicos d Físic, forç rrddor do rio com o r é às vzs igord, modlgm do movimo d um corpo m qud s proimidds d suprfíci d Trr, ms você for um ciis cujo rlho é prdizr prcism o prcurso d um projéil d logo lcc, rá d lvr m co rsisêci do r ouros fors como curvur d Trr. omo s hipóss sor um sism volvm frqüm um d vrição d um ou mis vriávis, dscrição mmáic d ods sss hipóss pod sr um ou mis quçõs volvdo drivds. Em ours plvrs, o modlo mmáico pod sr um qução difrcil ou um sism d quçõs difrciis. Dpois d formulr um modlo mmáico, qu é um qução difrcil ou um sism d quçõs difrciis, srmos d fr pr o prolm d isigific d r rsolvêlo. S pudrmos rsolvê-lo, julgrmos o modlo rzoávl s sus soluçõs form cosiss com ddos primis ou fos cohcidos sor o compormo do sism. Porém, s s prdiçõs oids pl solução form pors, podrmos lvr o ívl d rsolução do modlo ou lvr hipóss lrivs sor o mcismo d mudç o sism. As ps do procsso d modlgm são ão rpids, coform disposo o sgui digrm. 6

61 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Nurlm, umdo rsolução umrmos complidd do modlo mmáico, ssim, proilidd d ão cosguirmos or um solução plíci. Um modlo mmáico d um sism físico frqum volv vriávl mpo. Um solução do modlo ofrc ão o sdo do sism; m ours plvrs, os vlors d vriávl ou vriávis pr vlors propridos d dscrvm o sism o pssdo, prs fuuro. 6. DINÂMIA POPULAIONAL Um ds primirs ivs d modlgm do crscimo populciol humo por mio d mmáic foi fio plo coomis iglês Thoms Mlhus, m 798. Bsicm, idéi por rás do modlo mlhusio é hipós d qu sgudo qul populção d um pis crsc m um drmido is é proporciol populção ol do pis qul is. Em ours plvrs, quo mis pssos houvr m um is, mis pssos isirão o fuuro. Em rmos mmáicos, s P for populção ol o is, ão ss hipós pod sr prss por: d k d,. k od k é um cos d proporciolidd, srv como modlo pr divrsos fômos volvdo crscimo ou dcimo. ohcdo populção m lgum is iicil rirário, podmos usr solução d pr prdizr populção o fuuro, iso é, m iss >. ds O modlo pr o crscimo mém pod sr viso como qução rs, qul d dscrv o crscimo do cpil S qudo um ul d juros r é compos coium. Emplo: Em um culur, há iicilm céris. Um hor dpois, =, o úmro d céris pss sr /. S d crscimo é proporciol o úmro d céris prss, drmi o mpo cssário pr qu o úmro d céris ripliqu. 6

62 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Rsolução: o = = o d k d d kd Igrdo com rlção qução cim,mos: Pr qução rior fic d sgui form: Voldo pr qução susiuido o vlor d c d kd l = k + c l l c = k l c = k k = c = c. k k c Pr dscorirmos o vlor d k, uilizmos =. k l k k, k. voldo ovm qução, mos k, pr qu o úmro d céris ripliqu, 6

63 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids l,,,986,,, 79 srão cssários,7 hors proimdm. 6. MEIA VIDA Em físic, mi-vid é um mdid d silidd d um susâci rdioiv. A mivid é simplsm o mpo gso pr md dos áomos d um quidd A s dsigrr ou s rsmur m áomos d ouro lmo. Quo mior mi-vid d um susâci, mis sávl l é. Por mplo, mi do ulr rdioivo rádio, R-6, é crc d 7 os. Em 7 os, md d um dd quidd d R-6 é rsmud m Rdôio, R-. O isóopo d urâio mis comum, U-8, m um mi-vid d proimdm... d os. Nss mpo, md d um quidd d U-8 é rsmud m chumo, P-6. da d.a A = A A A A A. k Emplo: Um ror covr urâio 8 m isóopo d pluôio 9. Após os foi dcdo qu,% d quidd iicil A d pluôio s dsigrou. Ecor mi vid dss isóopo s d dsigrção é proporciol à quidd rmsc. Rsolução: A A,A,9997A Rsolvdo qução: da ka d da kd A l A = k + c A l k c A k c A = c. k 6

64 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Sdo qu A A, mos: k A c A c c A Pr drmir k, usmos o fo d qu qu A,9997A, logo A = A. k A = A. k A =,9997 A = A. k,8867. A A. L,9997 = l A, 867 A. A,867 -, = k = -, ,69 = -,867 =,8,8 os Voldo qução, mos qu: Pr dscorir mi vid s fzr: A A A A,8667 A A,,8667 l,,8667,69, ,7,8667 Logo o mpo d mi vid é d proimdm.8 os 6

65 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids 6. DEAIMENTO RADIOTAIVO O úclo d um áomo cosis m comiçõs d próos êuros. Muis dsss comiçõs são isávis, iso é, os áomos dcm ou rsmum m áomos d our susâci. Esss úclos são chmdos d rdioivos. Por mplo, o logo do mpo, o lm rdioivo lmo rádio, R-6, rsmu-s o gás rdôio rdioivo, R-. Pr modlr o fômo d dcimo rdioivo, supõ-s qu d da/dsgudo qul o úclo d um susâci dci é proporciol quidd mis prcism, o úmro d úclos A d susâcis rmsc o is : da d Nurlm s quçõs são iguis, difrç rsid ps irprção dos símolos s coss d proporciolidd. Pr o crscimo, coform sprmos m, k>, pr o dcimo, como m, k<. O modlo pr o dcimo mém ocorr com plicçõs iológics, como drmição d mi vid d um drog o mpo cssário pr qu % d um drog sj limid d um corpo por crção ou molismo. Em químic, o modlo d dcimo prc dscrição mmáic d um rção químic d primir ordm, iso é, um rção cuj ou vlocidd d/d é dirm proporciol à quidd d um susâci ão rsformd ou rmsc o is. A qusão é qu: Um úic qução difrcil pod srvir como um modlo mmáico pr vários fômos difrs..a 6. RONOLOGIRA DO ARBONO Por vol d 9, o químico Willrd Li 7 ivou um méodo pr drmir idd d fóssis usdo o croo rdioivo. A ori d croologi do croo s si o fo d qu o isóopo do croo é produzido mosfr pl ção d rdiçõs cósmics o irogêio. A rzão r quidd d - pr croo ordiário mosfr pr sr um cos, como cosquêci, proporção d quidd d isóopo prs m odos os orgismos é msm proporção d quidd mosfr. Qudo um orgismo morr, sorção d -, rvés d rspirção ou limção, css. Logo, comprdo quidd proporciol d - prs, digmos,m um fóssil com rzão cos mosfr, é possívl or um rzoávl simiv d idd do fóssil. O méodo s si o cohcimo d mi-vid do croo rdioivo -, crc d.6 os. O méodo d Li m sido usdo pr dr móvis d mdir m úmulos gípcios, o cido d liho qu volvi os prgmihos do Mr Moro o cido do igmáico sudário d Turim. 7 Willrd Frk LiGrd Vll, 7 d Dzmro d 98 Los Agls, 8 d Smro d 98 foi um químicosduids.é rcohcido pl dscor do méodo d dmo cohcido por dção por rdiocroo croo-, rcdo por iso o Nol d Químic d 96. 6

66 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Emplo: Um osso fossilizdo coém um milésimo d quidd origil do -. Drmi idd do fóssil. Rsolução: A = A. k A k.6 A. l l 6k 6k = -,69 = -,776 A qução fic d sgui form: A = A. -,776,776 A A.,776 l l -,776 = - 6,977 =.88 A idd do fóssil é d proimdm.88 os. 6.6 RESFRIAMENTO D cordo com Li mpíric d Nwo do sfrimo/rsfrimo, sgudo qul mprur d um corpo vri é proporciol difrç r mprur d um corpo vri proporciolm difrç r mprur do corpo mprur do mio qu o rodi, domid mprur mi. S T rprsr mprur d um corpo o is, Tm mprur do mio qu o rodi dt/d sgudo qul mprur do corpo vri, li d Nwo do sfrimo/rsfrimo é covrid sç mmáic dt d T T m T c k T m od k é um cos d proporciolidd. Em mos os csos, sfrimo ou qucimo, s Tm for um cos, é lógico qu k<. 66

67 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Emplo: Um olo é rirdo do foro, su mprur é d ºF. Três miuos dpois, su mprur pss pr ºF. Quo mpo lvrá pr su mprur chgr 7 grus, s mprur do mio mi m qu l foi colocdo for d m 7ºF? Rsolução: T = dt F k T Tm d T = dt F k T 7 d T? = 7 dt kd T 7 Tm = 7 l T 7 k c T 7 l k c T 7 k c A solução grl d ED é dd por: k T c. 7 Sdo qu T mos qu: Logo: T =. k + 7 T = =. k. + 7 = Tmos id qu T, com isso: =. k + 7 k = k l k l k,788 k,9869 A qução fic d sgui form:,98 T 7 ] Pr qu mprur do olo chgu m 7 grus,, , ,98 = l com isso, srá cssário, miuos. =, 67

68 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids 6.7 MISTURAS A misur d dois fluidos lgums vzs dá origm um qução difrcil d primir ordm pr quidd d sl coid misur. Vmos supor um grd qu d misur coh glõs d slmour iso é, águ qul foi dissolvid um drmid quidd d lirs d sl. Um our slmour é omd pr dro do qu um d rês glõs por miuo; cocrção d sl ss sgud slmour é d lirs por glão.qudo solução o qu sivr m misurd, l srá omd pr for msm m qu sgud slmour rr. S A dor quidd d sl mdid m lirs o qu o is, sgudo qul A vri srá um liquid: da d T d rd T d síd R R s d sl d sl A d rd R d sl m lirs por miuo é: T drd d slmour ocrção d sl o fluo drd drd d sl R gl / mi. k / gl 6l/ mi Um vz qu solução sá sdo omd pr for pr dro do qu msm, o úmro d glõs d slmour o qu o is é cos igul glõs. Assim sdo, cocrção d sl o qu o fluo d síd é d A/ l/gl, d síd d sl Rs é: T d síd d slmour ocrção dsl ofluo dsíd dsid d sl R s gl / mi. A l/ gl A l/ mi A qução or-s ão: Emplo: da A 6 d Dos ddos do qu cim cosidrdo d qução, omos qução. Vmos colocr gor sgui qusão: s lirs d sl fossm dissolvids os glõs iiciis, quo sl hvri o qu pós um logo príodo? 68

69 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Rsolução: da A 6 d da A 6 d Pd Pd A. Qd A A A d Pr A mos: 6. Logo, solução fic d sgui form: A 6 A solução cimfoi usd pr cosruir sgui l: mi Al 66, 97,67 77,7,7 7,6 89,9 Além disso podmos osrvr qu A 6 qudo. Nurlm, isso é o qu sprrímos ss cso; dur um logo príodo, o úmro d lirs d sl solução dv sr gl.l/gl = 6 l. Ns mplo supusmos qu sgudo qul solução r omd pr dro r igul à sgudo qul l r omd pr for. Porém isso ão prcis sr ssim; misur sli podri sr omd pr for um mior ou mor do qu qul sgudo qul é omd pr dro. Por mplo, s solução m misurd do mplo cim for omd pr for um mor, digmos d gl/mi, o liquido cumulrá o qu um d gl/mi = gl/mi. Após miuos, o qu corá + glõs d slmour. A sgudo qul o sl si do qu é ão: A R s gl / mi. l/ gl Logo, Equção or-s: da A da 6 ou A 6 d d 69

70 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Você dv vrificr qu solução d úlim qução, suji A=, é: 7 A 6,9 6.8 DRENANDO UM TANQUE Em hidrodiâmic, Li d Toriclli slc qu vlocidd v do fluo d águ m um urco com ords s d um qu chio é um lur h é igul vlocidd com qu um v gh corpo o cso, um go d gu dquiriri m qud livr d um lur h, iso é,, od g é clrção dvid grvidd. Ess úlim prssão origi-s d igulr rgi ciéic mv com rgi pocil mgh rsolvr pr v. Supoh qu um qu chio com águ sj drdo por mio d um urco so ifluêci d grvidd. Gosrímos d corr lur h d águ rmsc o qu o is. osidr o qu o ldo: S ár do urco for Ah m pés qudrdos vlocidd d síd d águ do qu for v gh m pés/s, o volum d síd d águ do qu por sgudo é A h gh m pés cúicos/s. Assim, s V dor o volum d águ o qu o is, dv d A gh 6 od o sil d surção idic qu V sá dcrscdo. Osrv qui qu smos igordo possiilidd d rio do urco qu poss cusr um rdução d fluo. Agor, s o qu for l qu o volum d águ m qulqur is poss sr scrio como V A h, od m pés qudrdos é ár cos d suprfíci d águ, ão h dv d dh Aw. d Susiuido ss úlim prssão m 6, omos qução difrcil dsjd pr lur d águ o is : dh Ah gh 7 d A É irss or qu 7 prmc válid msmo qudo Aw ão for cos. Nss cso, dvmos prssr suprfíci suprior d águ como um fução d h, iso é, Aw = Ah. w w A w 7

71 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Emplo: Um qu coém iicilm glõs d slmour com ls d sl. No is =, comç-s dir o qu águ pur à rzão d gl/mi, quo misur rsul s sco do qu à msm. Drmi quidd d sl o qu o is. Rsolução: V o : Volum iicil = : Quidd d sl iicil = : Quidd d sl fil = : T d rd = f: T d síd = Tmos sgui qução pr rsolvr l prolm: Logo, m-s qu: dq d + Q = dq d + f Q = V o + f A solução ds qução é: Q = c / Qudo, smos qu Q. Lvdo sss vlors m, cormos c, d modo qu pod sr scri como: Q = / No-s qu qudo, Q como r d s sprr, pois só s dicio águ pur o qu. 7

72 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids 6.9 DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA Um doç cogios, por mplo, um vírus d grip, splh-s m um comuidd por mio do coo r s pssos. Sj o úmro d pssos qu corírm doç o úmro d pssos qu id ão form poss. É rzoávl supor qu d/d sgudo qul doç s splh sj proporciol o úmro d coros ou irçõs r sss dois grupos d pssos. S supusrmos qu o úmro d irçõs é cojum proporciol, iso é, proporciol o produo, ão: d d odk é cos d proporciolidd usul. Supoh qu um pqu comuidd h um populção fi d pssos. S um psso ifcd for iroduzid comuidd, pod-s rgumr qu são rlciods por. Usdo ss úlim qução pr limir m 8, omos o modlo d k 9 d k Um codição óvi qu comph qução 9 é =. Emplo: ico ros m um populção sávl d são iciolm ifcdos com um doç cogios pr sr um ori d dissmição d pidmi, sgudo qul d vrição d populção ifcd é proporciol o produo r o úmro d ros ifcdos o úmro d ros sm doç. Admiido qu ss ori sj corr, qul o mpo cssário pr qu md d populção cori doç? Rsolução: Sdo N o úmro d ros ifcdos o is. N = N é o úmro d ros sm doç o is. Pl ori dn d = kn N Ess qução é difr d usd é qui, pois d vrição ão é mis proporciol ps o úmro d ros qu possum doç. Dss form difrcil é dn = kn kn d dn N N kd = Sdo um qução id správl, plicdo dcomposição m frçõs prciis, mos: Susiuido ão mos N N = N + N 8 7

73 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids N + dn kd = N Igrdo: N + dn kd = N N + N kd = ln l N k = c l N = c + k N N l = c + k N N N = c+k N N = c k S m =, N=, mos qu 9 = c k. = c Eão: N N =.k Pr qu N =, o mpo, mos qu =.k =. k 99 = k l99 = k k =.9 k =.99 Sdo o vlor umérico d coss d proporciolidd k, mos qu: =.99 k m uidds d mpo. 7

74 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids 6. ORPOS EM QUEDA Pr cosruir um modlo mmáico do movimo d um corpo m um cmpo d forç, m grl iicimos com sgud li do movimo d Nwo. Lmr-s d físic lmr qu primir li do movimo d Nwo slc qu o corpo prmcr m rpouso ou coiurá movdo-s um vlocidd cos, ão sr qu sj gido sor l um forç r. Em cd cso, isso quivl dizr qu, qudo som ds forçs iso é, forç liquid ou rsul, qu g sor o corpo for difr d zro, ss forç líquid srá proporciol su clrção ou, mis prcism, F = m., od m é mss do corpo. Supoh gor qu um pdr sj jogd pr cim do opo d um prédio, coform ilusrdo figur io: F Qul posição s d pdr m rlção o chão o is? A clrção d pdr é drivd sgud S ssumirmos como posiiv dirção pr cim qu hum our forç lém d grvidd g sor pdr, ormos sgud li d Nwo d s d F k d s m d mg ou d s d g Em ours plvrs, forç liquid é simplsm o pso F= F = - W d pdr próimo á suprfíci d Trr. Lmr-s d qu mgiud do pso é W = mg, od m é mss g é clrção dvid grvidd. O sil d surção foi usdo m, pois o pso d pdr é um forç dirigid pr io, opos dirção posiiv. S lur do prédio é s vlocidd iicil d pdr é v, ão s é drmid, com s o prolm d vlor iicil d sgud ordm d s d g s s, s' v, Emor ão sjmos fizdo rsolução ds quçõs oids, osrv qu pod sr rsolvid igrdo-s cos g dus vzs m rlção. As codiçõs iiciis drmim s dus coss d igrção. Você podrá rcohcr solução d, d físic lmr, como fórmul s g v s. Emplo: Di-s cir um corpo d mss d kg d um lur d m, com vlocidd iicil zro. Supodo qu ão hj rsisêci do r, drmi: A prssão d vlocidd do corpo o is ; A prssão d posição do corpo o is ; c O mpo cssário pr o corpo igir o solo. 7

75 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Rsolução: Primirm domos o sism d coordd como figur io, sdo posiivo o sido pr io. omo ão há rsisêci do r, usmos qução dv g d Es é um qução lir správl. Assim: dv gd dv gd v g c omo v =, sgu qu v = g Pr drmir prssão d posição o is, fzmos: d g d d gd d g g d c Sdo =, sgu qu: g c Pr =, mos: g S dormos g = m / s, rmos:,s 7

76 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids 6.. ORPOS EM QUEDA E A RESISTÊNIA DO AR As dos fmosos primos d Glilu orr iclid d Pis, crdiv-s qu os ojos mis psdos m qud livr, como um l d chão, cím com um clrção mior do qu d ojos mis lvs, como um p. Ovim, um l d chão um p, qudo lrgds simulm d msm lur, cm s difrs, ms isso ão s dv o fo d l d chão sr mis psd. A difrç s s é dvid rsisêci do r. A forç d rsisêci do r foi igord o modlo ddo m. So lgums circusâcis, um corpo m qud com mss m, como um p com i dsidd formo irrgulr, cor um rsisêci do r proporciol su vlocidd isâ v. S sss circuscis, omrmos dirção posiiv como orid pr io, forç liquid qu g sor mss srá dd por F F F mg kv, od o pso do corpo é forç qu g dirção posiiv rsisêci do r é um forç chmd morcimo viscoso qu g dirção opos ou pr cim. F k.v Vj figur io: F m.g Agor, como v s rlciodo com clrção rvés d = dv/d, sgud li d Nwo or-s dv F m. m.. Susiuido forç liquid ss form d d sgud li d Nwo, omos qução difrcil d primir ordm pr vlocidd v do corpo o is. dv m mg kv d Aqui k é um cos d proporciolidd posiiv. S s for disci do corpo m ds dv d s qud o is prir do poo iicil, ão v. Em rmos ds, é d d d um qução difrcil d sgud ordm: d s m d mg k ds d ou d s m d ds k d mg 76

77 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Emplo: Um corpo d mss m é lçdo vriclm pr cim com um vlocidd iicil v. S o corpo cor um rsisêci do r proporciol à su vlocidd, drmi : qução do movimo o sism d coordds d figur io, um prssão d vlocidd do corpo pr o is, c o mpo cssário pr o corpo igir lur máim. Rsolução: dv Ns sism d coordds, Eq.: mg kv m pod ão sr qução d d movimo. Pr slcr qução proprid, o qu dus forçs um sor o corpo: forç d grvidd dd por mg forç d rsisêci do r dd por kv, rsposávl por rrdr vlocidd do corpo. omo sss forçs um dirção giv pr io, forç rsul qu u sor o corpo é mg kv. Aplicdo dv F m rgrupdo os rmos, omos como qução do movimo: d dv k v g d m A Equção é um qução difrcil lir, cuj solução é v=v; logo, k m mg v c, ou k v c k m mg k. Em =, mg c v. A vlocidd do corpo o is é: k v v mg c k k m mg k 77

78 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids c O corpo ig lur máim qudo v =. Logo, dvmos clculr qudo v =. Susiuido v = rsolvdo m rlção, mos = v o + mg k k m mg k k m = + v k mg k = l m + v k mg = m k l + v k mg 6. ORRENTE DESLIZANTE Supoh qu um corr uiform d comprimo L m pés sj pdurd m um pio d ml prso um prd m cim do ívl do chão. Vmos supor qu ão hj rio r o pio corr qu corr ps lirs/pés. A figur io ilusr posição d corr qudo m quilírio; s foss dslocd um pouco pr diri ou pr squrd, corr dslizri plo pio. Supoh qu dirção posiiv sj omd como sdo pr io qu do disci qu rmidd diri d corr ri cído o mpo. A posição d quilírio corrspod =. N figur, corr é dslocd m pés é mid o pio é sr sol m um mpo iicil qu dsigrmos por =. Pr corr m movimo, coform mosr figur c, mos s sguis quidds: 78

79 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Pso d corr: Mss d corr: Forç rsul: W = L pés. l/pés = L m = W/g = L / L L F p Um vz qu d d m F or-s L d d ou d 6 d L Emplo: Um corr com pso uiform com 9,6 mros d comprimo sá pdurd m um cilidro fio prd. A corr é dslocd d form qu rmidd diri sj mros io d su posição d quilírio sold um is =. om sss ddos, dsj-s sr m quo mpo corr cirá do cilidro = L. osidr o pso d corr como P L 9, 6 g = 9,8 m/s² Rsolução: m = P g = 9,6ρ 9,8 = ρ F = L + ρ L ρ = ρ m = F, d² d² ρ ρ = d d = Sdo λ = d d, λ = λ =, λ = ± = +, = = + omo v = d = = = = = + d = v =, v = = Sdo = 9,6, u = 79

80 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids 9,6 = u + u u 9,6u + = u = 9,99 ou u =,9 omo >, > só é possívl u = 9,99 = 9,99 =,96 [s] 6. IRUITOS EM SÉRIE osidr o circuio m séri d mlh simpls mosrdo o ldo, codo um iduor, rsisor cpcior. A corr o circuio dpois qu chv é fchd é dod pori; crg m um cpcior o is é dod por q. As lrs L, R são cohcids como iduâci, cpciâci rsisêci, rspcivm, m grl são coss. Agor, d cordo com sgud Li d irchhoff, volgm plicd E m um mlh fchd dv sr igul à som ds quds d volgm mlh. A figur io mosr os símolos s fórmuls pr rspciv qud d volgm m um iduor, um cpcior um rsisor. Um vz qu corr i sá rlciod com crg q o cpcior por i = dq/d, diciodo-s s rês quds d volgm. Iduor iduâci L : hrsh di qud d volgm : L d di L d d q L, d Rsisor rsisêci R : ohms qud d volgm : ir ir dq R d pcior cpciâci :frds f qud d volgm : q c quciodo-s som ds volgs plicds, oém-s um qução difrcil d sgud ordm d q dq L R q E d d c 8

81 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Pr um circuio m séri codo ps umrsisor um iduor, sgud li d Dirchhoff slc qu som ds quds d volgm o iduor Ldi/d o rsisor ir é igul volgm plicd o circuio E. Vj figur io. Omos, ssim, qução difrcil lir pr corr i. di L Ri E d odl R são coss cohcids como iduâci rsisêci, rspcivm. A corr i é mém chmd d rsposdo sism. A qud d volgm m um cpcior com cpciâci é dd por q/i, od q é crg o cpcior. Assim sdo, pr o circuio m séri mosrdo figur, sgud li d irchhoff os dá Ri q E ms corr i crg q são rlciods por i = dq/d, dss form, qução cim rsform-s qução difrcil lir Emplo: dq R q E d Um ri d vols é cocd um circuio m séri o qul iduâci é ½ Hr rsisêci é ohms. Drmi corr i s corr iicil for. Rsolução: L= iduâci = ½ di L Ri E d Pr i = R = rsisêci = di 6 i c d i = corr di 6 i c d E = volgm plicd = P = Q = 8

82 Equçõs Difrcis Logo: i i d Pd i 6 d c c c AULA - EERÍIOS Prof Pul Frcis Bvids 6 6 i Ecor um prssão pr corr m um circuio od rsisêci é, iduâci é H, pilh forc um volgm cos d 6 V o irrupor é ligdo quo =. Qul o vlor d corr? Um circuio RL sm fm plicd possui um rsisêci d ohms, um iduâci d hris um corr iicil d mpèrs. Drmi corr o circuio o is. Um forç lromoriz é plicd um circuio m séri LR o qul iduâci é d, hr rsisêci é d ohms. Ach curv i s i =. Drmi corr quo. Us E = V. Um forç lromoriz d V é plicd um circuio m séri R o qul rsisêci é d cpciâci é d - frds. Ach crg q o cpcior s q =. Ach corr i. Um forç lromoriz d V é plicd um circuio m séri R o qul rsisêci é d cpciâci é - 6 frds. Ach crg q o cpcior s i =,. Drmi crg d corr m =,s. Drmi crg qudo. 6 S-s qu populção d um cr comuidd crsc um proporciol o úmro d pssos prss m qulqur is. S populção duplicou m os, qudo l riplicrá? 7 Supoh qu populção d comuidd do prolm rior sj pós os. Qul r populção iicil? Qul srá populção m os? 8 A populção d um cidd crsc um proporciol à populção m qulqur mpo. Su populção iicil d his um % m os. Qul srá populção m os? 9 S-s qu um culur d céris crsc um proporciol à quidd prs. Após um hor, osrvm-s filirs d céris culur, pós, quro hors, osrvm-s filirs. Drmi: prssão do úmro proimdo d filirs d céris prss culur o is : o úmro proimdo d filirs d céris o iício d culur: 8

83 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids S-s qu populção d drmido pís um um proporciol o úmro d his do pís. S, pós dois os, populção duplicou,, pós rês os, populção é d. his, sim o úmro iicil d his. Um psso dposi $, m um poupç qu pg % d juros o o, composos coium. Drmi: O sldo co pós rês os. O mpo cssário pr qu qui iicil dupliqu, dmiido qu ão h hvido rirds ou dpósios diciois: Um co rd juros composos coium. Qul d juros cssári pr qu um dpósio fio co dupliqu m sis os? Um psso dposi ris m um co d pg juros composos coium. Admiido qu ão hj dpósios diciois m rirds, qul srá o sldo d co pós 7 os, s d juros for 8.% dur os quro primiros os 9.% dur os úlimos rês os. ro mril rdioivo dci um proporciol à quidd prs. S ism iicilm miligrms d mril, s, pós dus hors, o mril prdu % d su mss origil, drmi: A prssão d mss rmsc m um is : A Mss do mril pós quro hors: c O mpo pr o qul o mril prd md d su mss origil mi vid O isóopo rdioivo d chumo, Ph 9, dcrsc um proporciol à quidd prs m qulqur mpo. Su mi vid é d, hors. S grm d chumo sá prs iicilm, quo mpo lvrá pr 9% d chumo dsprcr? 6 Iicilm hvi miligrms d um susâci rdioiv prs. Após 6 hors mss dimiui %. S d dcrscimo é proporciol à quidd d susâci prs m qulqur mpo, drmir mi vid ds susâci. 7 om rlção o prolm rior, cor quidd rmsc pós hors. 8 Em um pdço d mdir quimd, ou crvão, vrificou-s qu 8,% do - ih s dsigrdo. Qul idd d mdir? 9 Um rmômro é rirdo d um sl, m qu mprur é 7 º F, colocdo o ldo for od mprur é º F. Após, miuo o rmômro mrcv º F. Qul srá mprur mrcd plo rmômro o is = miuo? Quo lvrá pr mrcr º F? Sgudo Li d Nwo, vlocidd d rsfrimo d um corpo o r é proporciol à difrç r mprur do corpo mprur do r. S mprur do r é o o corpo s rsfri m miuos d o pr 6 o, dro d quo mpo su mprur dscrá pr o? Um idivíduo é cordo moro m su scriório pl scrári qu lig imdim pr políci. Qudo políci chg, hors dpois d chmd, mi o cdávr o mi, irdo os sguis ddos: A mprur do scriório r d o, o cdávr iicilm ih um mprur d o. Um hor dpois mdido ovm 8

84 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids mprur do corpo ov. o. O ivsigdor, supodo qu mprur d um psso viv é d 6. o, prd scrári. Por qu? No di sgui o dvogdo d scrári lir, lgdo o qu? So s msms hipóss sujcs o modlo m, drmi qução difrcil qu govr o crscimo populciol P d um pís qudo os idivíduos m uorizção pr imigrr um cos r. Usdo o cocio d liquid, qu é difrç r d lidd d morlidd comuidd, drmi um qução difrcil qu govr volução d populção P, s d lidd for proporciol populção prs o is, ms d morlidd for proporciol o qudrdo d populção prs o is. Supoh qu um sud pordor d um vírus d grip ror pr um cmpus uivrsiário fchdo com mil suds. Drmi qução difrcil qu dscrv o úmro d pssos qu corirão grip, s sgudo qul doç for splhd for proporciol o umro d irçõs r os suds gripdos os suds qu id ão form posos o vírus. Supoh um grd qu pr misurs coh iicilm glõs d águ,o qul form dissolvids lirs d sl. Águ pur é omd pr dro do qu um d gl/mi, ão, qudo solução s m misurd, l é omd pr for sgudo msm. Drmi um qução difrcil pr quidd d sl A o qu o is. 6 Um solução d 6 kg d sl m águ sá um qu d l. Fz-s rr águ ss qu rzão d 8l/mi misur mid homogê por gição, si do qu msm rzão. Qul quidd d sl is o qu o fim d hor? 7 Supoh qu águ s sido d um qu por um urco circulr m su s d ár Ah. Qudo águ vz plo urco, o rio cocrção d corr d águ s proimidds do urco rduzm o volum d águ qu s vzdo do qu por sgudo pr ca h gh, od c <c< é um cos mpíric. Drmi um qução difrcil pr lur h d águ o is pr um qu cúico, como figur o ldo, O rio do urco é pol g = pés/s. 8 Pr um movimo m l vlocidd o r l como o prqudis mosrdo figur o ldo, cido s d rir o prquds rsisêci do r s próim d um poci d vlocidd isâ. Drmi qução difrcil pr vlocidd v d um corpo m qud com mss m, s rsisêci do r for proporciol o qudrdo d su vlocidd isâ. 8

85 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids 9 Um prqudis, psdo 7 g, sl d um vião r o pr quds pssdos s. As d rur do prquds, o su cofici d rio é = g s-. Qul vlocidd do prqudis o is m qu s r o prquds? Um pqu rr d ml, cuj mprur iicil é d, é colocd m um rcipi com águ frvdo. Quo mpo lvrá pr rr igir 9 s su mprur umr m sgudo? Quo mpo lvrá pr rr igir 98? Um qu coém liros d fluido o qul form dissolvidos grms d sl. Um slmour codo grm d sl por liro é ão omd pr dro do qu um d L/mi; solução m misurd é omd pr for à msm. Ach o úmro A d grms d sl o qu o is. Um grd qu coém glõs d águ pur. Um slmour codo lirs por glão é omd pr dro do qu um d gl/mi. A solução m misurd é omd pr for à msm. Ach quidd A d lirs d sl o qu o is. Qul é cocrção d solução o qu o is = mi? Um grd qu s prcilm chio com glõs d um fluido o qul form dissolvids lirs d sl. Um slmour codo ½ lir d sl por glão é omd pr dro do qu um d 6 gl/mi. A solução m misurd é ão omd pr for um d gl/mi. Ach quidd d lirs d sl o qu pós miuos. RESPOSTAS: I i i c q c q c i c lim od i i 8

86 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids q,, couloms i,, 7 mp q 6 7,9 os. 7 = 66,66 N = 6.96, 8 N = 76 9 N = 69.6 N = 69 N = 76 N = 6,69 = l =.86 os,% R$ 97, N =.6 N =, mg c =,7 hor = hors 6 = 6,7 hors 7 88, grms. 8 6 os 9 T= 6,66ºF =,6 mi = 6 mi jusificiv pssol. dp dp kp r, kp r d d dp kp kp d d k d da A d 6 Aproimdm 8, 7 dh c d h 8 dv m mg kv d 9 7m/s Aproimdm 8, s Aproimdm,7 s A = 7 -/ A = -/,97 l/gl 6,8l. 86

87 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA 6 7. EQUAÇÕES DIFERENIAIS LINEARES DE A ORDEM E ORDEM SUPERIOR As quçõs lirs d ordm são quls d form: d d d A A A... A B d d d Od B, A, A, A,..., A dpdm ps d ou são coss. Pr comçrmos s sudo vmos uilizr como pdrão d um EDO- lir Equção Difrcil Ordiári Lir d ordm sgui qução: +p +q = r od: p q são os coficis rprsm prâmros do sism r rmos d cição ipu rspos do sism S r =, I Eq. Dif. Homogê r Eq. Dif. ão homogê A EDO- cim possui soluçõs, são lirm idpds L.I, iso é h c om isso, formm um s pr solução d EDO- homogê s fudml. Emplo: " + = S propormos como solução = s = cos si c cos EDO- fic = cos + s., logo, formm um s, com isso, solução grl d S omos s ss pr solução d homogê, solução d qução fic... S mos um solução pod-s or mis fcilm. Oid um solução d EDO-, pod-s or plo cocio d s, od são lirm idpds. h c h. 87

88 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids " ', sdo qu Emplo: Or solução grl d qução AULA 6 - EERÍIOS Or os rcícios io. " ' 9, com " com c " ' com cos Rsposs. l. c. s 88

89 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA 7 7. EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE OEFIIENTES ONSTANTES d d d São quls d form: A A A... A, od A, A, A,...,A d d d são coss. Rsolução: d Pr = A A d d A A d d A d A A l A A A A A. hmdo A = λ A λ, mos. k Pr os fcilir dmosrção, vmos usr sgui qução: d d d d Od são coss. Vmos uilizr λ clculdo riorm como solução propos. λ ' λ λ " λ λ Susiuido EDO mos: λ λ λ λ λ λ λ λ. 89

90 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids omo pr qulqur vlor d, mos, qul irmos chmr d qução crcrísic d EDO- dd. Em rlção qução crcrísic mos rês csos cosidrr: P 7.. ASO : RAÍZES REAIS DISTINTAS. λ Assim solução grl fic: λ E pr um qução d ordm fic: λ λ λ λ λ λ ASO : RAÍZES MÚLTIPLAS. S, od s plicrmos rgr rior rmos. Só qu é cssário corr soluçõs qu sjm lirm idpds, pois com s rízs sdo iguis mos cos. Assim mos qu chr um sgud solução qu sj lirm idpd. Supodo qução + + = uilizdo o cocio d s m qu h., od, mos: h. λ h. λ λ ' h' λh λ λ λ " h" λh' λ h Susiuido qução dd: λ λ λ λ λ λ h" λh' λ h h' λh h Rorddo: h" h' h omo =, pois como já vimos riorm P. Eão: h" h' h Logo: h.. 9

91 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Solução grl: fzdo + k = = mos: A propridd s sd pr quçõs d ordm suprior: λ ASO : RAÍZES OMPLEAS DISTINTAS. Sjm λ i λ i s rízs d qução crcrísic. Aplicdo codição pr rízs ris disis rímos como solução: Ds fórmuls d Eulr mos: iθ iθ om isso: Fzdo cosθ isθ cosθ isθ i i. i cos is cos is cos i s i i. i + = i = mos: cos s 9

92 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Emplos: d d 6 d d + =, com = / = = 9

93 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Rsposs " ' 6 '" " ' " ' " ',com AULA 7 - EERÍIOS ' " com ' com ' 7 6 " 9 9 " 6' com 7 8 " k' k 9 8 " ' ' com, ', " ', com, ' " 7' '" " ' '" " 7' " ' cos π π k,,, cos s cos s 9

94 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA 8 7. EULER - AUHY A qução d Eulr-uch m sgui form: d d d A A A A B d d d od A, A,..., A, são coss. Pr rsolvr l qução frmos qu irá limir os coficis vriávis.. No cso d qução r form: Frmos: " ' = m = m m- = mm- m- Susiuido, EDO-, mos qu: m + m + m = como = m m qu sr difr d zro, mos m + m + =, qu é um qução do sgudo gru com dus rízs. so : m m são ris difrs. m m so : m m são ris iguis m m l l so : m m são compls cojugds i [ cos l si l ] m 9

95 Equçõs Difrcis Emplos: d d d d " ' Prof Pul Frcis Bvids 9

96 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids " AULA 8 - EERÍIOS ''' 9 " 8 ' 6 " 6', " ' " ' com = = - 6 " ', com = = 6 Rsposs,8 l cosl sl l 6 l 96

97 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA 9 7. EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS " p ' q r P. V. I '. s pr solução d EDO- homogê h solução d EDO- homogê h = + p solução priculr, fução qulqur qu sisfz EDO- ão-homogê A solução grl d um qução lir ão homogê m form: Torm d isêci d Uicidd: S p q são fuçõs coíus sor o irvlo ro I I, ão o P.V.I. possui um úic solução sor I. Pr drmirmos p, domid solução priculr, dispomos dos sguis méodos: i. Méodo dos coficis drmir ou méodo d Dscrs ii. Méodo d vrição d prâmros ou méodo d Lgrg iii. Méodo do oprdor drivd D. h p 7.. SOLUÇÃO POR OEFIIENTES A DETERMINAR DESARTES: Pdrão pr solução priculr: Trmo m r α k k cos α sα k k α α,,... cos β sβ Propos pr p cos α sα... α cos β sβ os:. s r é composição d fuçõs d o colu, p é composição ds rspcivs fuçõs o colu.. s r coicid com um fução qu compõs h, mulipliqu por ou por pr cosidrr riz dupl d qução crcrísic. 97

98 Equçõs Difrcis " ' Emplo: ' Prof Pul Frcis Bvids 98

99 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA9 - EERÍIOS " s " ' " ' 7s " ' 6 ' " ' 6 '" " " 7' " 7' 8 " ' 8 " " ' s d d 8s d d ' " ' s " s d d s d d 6 ", ' 6 ' 8. 7 ". ', pr, pr Rsposs Acos Bs s cos s 7,cos,6s cos s s 8cos 6 s cos cos s cos s cos s

100 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA 7.. SOLUÇÃO POR VARIAÇÃO DE PARÂMETROS Qulqur ipo d cição r Qulqur cofici P dsd qu coíuos. + P P + P = r A solução grl d EDO é = h + p como rsolução por coficis drmir. ms solução d priculr fic p=.u +.u+...+, od,,..., são s ss pr EDO homogê. A idi é cosiuir solução priculr com um comição dss ss uilizdo prâmros vriávis. Od W r u. W. r W. r d, u W d,... u W d W Sdo qu W = W,,...,, qu é o Drmi d Wroski Wroskio ' ' ' W,,..., W Pr clculrmos W, susiuirmos primir colu plo vor,,,...,, pr clculrmos W susiuirmos sgud colu ssim sucssivm: W ' ', W ' ',..., W ' ' uiddo: As d plicr o méodo, vrificr o qu comph. S ivr f., ão s squç d dividir r por f. S Equção Difrcil for d ordm, mpos como solução d priculr p = u + v od, r u d w v r d w são s ss d homogê.

101 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Emplo: '" " '

102 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA EERÍIOS + + = 6 + = cos + 6 = = = l 6 + = 7 d d d d 8 + = - 9 ' = - Rsposs cos c c l

103 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA 7.. MÉTODO DO OPERADOR DERIVADA 7... Dfiição Os oprdors são símolos sm hum sigificdo isoldo qu idicm, d modo rvido, s oprçõs qu dvm sr fuds. Um dd fução dfiid por chm-s oprdor drivd, dodo por D, d D, d D d d, D d d,... f 7... Propridds Sjm u=u v =v: P. Du+v=Du+Dv propridd disriuiv P. Dm.u=m.Du, propridd comuiv, sdo m um cos P.D m D u=d m+ u, sdo m coss posiivs P. O oprdor ivrso u. u. d,. D du P. O oprdor diro D u Du. u u,. d 7... Equçõs Difrciis Qulqur qução difrcil pod sr prss m rmos d D. Emplo: " + ' + c = g D + D + c = g D + D + c = g Um oprdor difrcil lir d -ésim ordm L A D A D A D A com coficis coss pod sr fordo qudo o poliômio crcrísico Ar A r A mém s for. Emplo: D " ' pod sr scrio como D D ou D D ou

104 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids 7... Oprdor Auldor L S é um oprdor difrcil com coficis coss é um fução suficim difrciávl, l qu, ão dizmos qu L é um uldor d fução. O oprdor difrcil poliômio poci d L D f ul cd um ds fuçõs,,,,. Eão, um c c c é uldo por um oprdor qu ul mior c D. Emplo: Ecor um oprdor drivd qu ul 8 Solução: O oprdor é D D 8 pois O oprdor difrcil α, α, α D α α,,. ul cd um ds fuçõs Emplo: Ecor um oprdor uldor pr 6 Solução: Pr o rmo,mos α D Pr o rmo 6, mos α Logo o oprdor qu ulrá prssão srá D D Vmos vrificr: D 6 D D 6 D [ D 8 6D ] D [ ] D 6 6D O oprdor difrcil α α cos β, αd α β ] ul cd um ds fuçõs α [ D cos β, cos β, α α α α sβ, sβ, sβ, sβ Emplo: Ecor um oprdor uldor pr s. cos β, Vmos vrificr: Solução: α, β, [ D..D ] D D

105 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids D D.D D D[ D s D s s cos ] s cos s s D cos cos s s D s s cos s cos s Os.: O oprdor difrcil D β ul s fuçõs L L cos s s cos cos β s s s s sβ.. s cos cos S são oprdors difrciis lirs com coficis coss is qu, L L,ms L L, ão o produo dos oprdors L. L ul som c c, pois: LL LL LL LL L L L L zro zro Emplo: Ecor um oprdor difrcil qu ul 7 6s. Solução: 7 D Pr o rmo mos o oprdor Pr o rmo 6 s, mos β, ão D Logo: D D 9 7 6s 7... oficis idrmidos - Aordgm por Auldors S do um oprdor difrcil lir d form A D A D A D A, ão um qução difrcil lir ão homogê pod sr scri como L g Pr s ordgm, uilizrmos g como comição lir d fuçõs d form m m α m α k cs,,, cos β m α sβ od m é um iiro ão givo são úmros ris. L Rsumo do Méodo: i. Ecor solução crcrísic c, pr qução homogê L. ii. Opr m mos os ldos d qução ão-homogê L g com um oprdor difrcil L, qu ul fução g. iii. Ecor solução grl pr qução difrcil homogê d mior ordm L. L. α β

106 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids iv. Dscosidr odos os rmos d solução cord m iii qu são duplicdos solução complmr, cord m i. Form um comição lir dos c rmos rss. Ess é form d um solução priculr pr L g. v. Susiu p cord m iv qução L g. Agrup os coficis ds fuçõs m cd ldo d iguldd rsolv o sism rsul d quçõs pr os coficis idrmidos m. p vi. om solução priculr cord m v, form solução grl c p pr qução difrcil dd. p Rsolução d Equçõs Lirs d d Rsolvr, mprgdo oprdors: 7 d d d d d d d d Rsolvr uilizdo oprdor diro, ivrso por uldors. d d 6

107 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids 7

108 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA - EERÍIOS Rsolv s quçõs io uilizdo um dos méodos d oprdor drivd. D D = d d 6 s d d d d s d d D -6D= + D 7D+ = 6 D D + = - D D 7 D 8 9 D D 6 " ' 8 s Rspos: d d = + - s cos cos s A A B B cos s 8

109 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA 8. EERÍIOS GERAIS lcul s Equçõs Difrciis io: d d s d d d d d 6 d d d d d s d d 8 d d d d d d d d d d d d d d d d 6 d d d d d d d d 7 8 8cos 8 9 d d d d d d d d d d d d s " ' d d cos d d l d d 9 d d d d d d d d d d s d d d d cos d d d d 6 s d d cos d d d d 9

110 Equçõs Difrcis RESPOSTAS: cos s s 8 s Prof Pul Frcis Bvids cos s cos l cos s cos s cos sl s l l cos s cos s 7 6 cos cos s cos cos s l

111 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids AULA 9. MODELAGEM OM EQUAÇÕES DIFERENIAIS DE ORDEM SUPERIOR Vimos qu um úic qução pod srvir como modlo mmáico pr fômos divrsos. Por ss rzão, mimos um plicção, o movimo d um mss cocd um mol, dlhdm sção 8. io. Vrmos qu, co pl rmiologi pls irprçõs físics dos quro rmos qução lir + + c = g, mmáic d um circuio lérico m séri é idêic à d um sism virório mss-mol. Forms dss qução difrcil lir d sgud ordm prcm ális d prolms m váris árs d ciêci d ghri. N sção 8., cosidrmos clusivm prolms d vlor iicil, quo sção 8. mimos plicçõs dscris por prolms d cooro coduzm-os os cocios d uovlor uofução. A sção 8. comç com um discussão sor s difrçs r mol lir mol ão-lir; m sguid, mosrrmos como um pêdulo simpls um fio suspso lvm modlos ão-lirs. 9. EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INIIAL: 9.. SISTEMA MASSA-MOLA: MOVIMENTO LIVRE NÃO AMORTEIDO Li d Hook: Supoh qu um mol flívl sj susps vriclm m um supor rígido qu ão um mss m sj cocd à su rmidd livr. A dissão ou logção d mol urlm dpdrá d mss; msss com psos difrs disdrão mol difrm. Pl li d Hook, mol rc um forç rsurdor F opos à dirção do logmo proporciol à dissão s. Eucido d form simpls, F = ks, od k é cos d proporciolidd chmdo cos d mol. A mol é sscilm crcrizd plo úmro k. Por mplo, s um mss d lirs log m ½ pé um mol, ão = k½ implic qu k = l/pés. Eão um mss d, digmos, 8 l cssrim sic msm mol som / pé. Sgud Li d Nwo: Dpois qu um mss m é cocd um mol, provoc um dissão s mol ig su posição d quilírio o qul su pso W é igul à forç rsurdor ks. Lmr-s d qu o pso é dfiido por W = mg, od g= pés/s, 9,8m/s ou 98 cm/s. Posição iicil quilírio s+

112 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids oform idicdo figur cim, codição d quilírio é mg = ks ou mg ks =. S mss for dslocd por um quidd d su posição d quilírio, forç rsurdor d mol srá ão k + s. Supodo qu ão hj forçs d rrdmo sor o sism supodo qu mss vir sm ção d ours forçs rs movimo livr podmos igulr F com forç rsul do pso d forç rsurdor: d m d k s mg k mg ks k zro O sil givo idic qu forç rsurdor d mol g o sido oposo o do movimo. Além disso, podmos dor covção d qu os dslocmos mdidos io d posição d quilírio são posiivos ED do Movimo Livr ão morcido: od Dividido qução pl mss m omos qução difrcil d sgud ordm d d k / m A qução dscrv um movimo hrmôico simpls ou movimo livr ão morcido. Dus codiçõs iiciis óvis ssocids com são = =, rprsdo, rspcivm, o dslocmo vlocidd iiciis d mss. Por mplo, s >, <, mss comç d um poo io d posição d quilírio com um vlocidd iicil dirigid pr cim. Qudo =, dizmos qu l priu do rpouso. Por mplo, s <, =, mss priu do rpouso d um poo uidds cim d posição d quilírio Solução Equção do Movimo: Pr rsolvr Equção, osrvmos qu s soluçõs d qução uilir m + = são úmros complos m = i, m = - i. Assim, drmimos solução grl d como: cos s O príodo ds virçõs livrs dscris por é T = / frquêci é f / T /. Por mplo, pr cos si, o príodo é / frquêci é uidds; o sgudo úmro sigific qu há rês ciclos do gráfico cd uidds ou, quivlm, qu mss sá suji / virçõs compls por uidd d mpo. Além disso, é possívl mosrr qu o príodo / é o irvlo d mpo r dois máimos sucssivos d. Lmr-s d qu o máimo d é um dslocmo posiivo corrspod à disâci máim d é um dslocmo posiivo corrspod à disâci máim igid pl mss io d posição d quilírio, quo o míimo d é um dslocmo givo corrspod à lur máim igid pl mss cim d posição d quilírio. Vmos os rfrir cd cso como dslocmo rmo d mss. Film, qudo s codiçõs /

113 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids iiciis form usds pr drmir s coss m, dirmos qu solução priculr rsul ou rspos é qução do movimo. Emplo: Um mss d lirs disd um mol m 6 polgds. Em =, mss é sol d um poo 8 polgds io d posição d quilírio, um vlocidd d Drmi qução do movimo livr. pés/s pr cim. Solução: ovrdo s uidds: 6 polgds = ½ pé 8 polgds = / pé Dvmos covrr uidd d pso muidd d mss M = W/g = / = /6 slug Além disso, d li d Hook, = k½ implic qu cos d mol é k = l/pé, Logo, rsul m: d 6 d d 6 d = - 6 = 8i = cos 8 + sm 8 O dslocmo vlocidd iiciis são = / = - /, od o sil givo úlim codição é um cosqüêci do fo d qu é dd à mss um vlocidd iicil dirção giv ou pr cim. Aplicdo s codiçõs iiciis, omos = / = - /6, ssim, qução do movimo srá: cos8 s SISTEMA MASSA-MOLA: MOVIMENTO LIVRE AMORTEIDO O cocio d movimo hrmôico livr é um o quo irrl, um vz qu é dscrio pl Equção so hipós d qu hum forç d rrdmo g sor mss m movimo. A ão sr qu mss sj susps m um vácuo prfio, hvrá plo mos um forç corári o movimo m dcorrêci do mio mi ED do Movimo Livr Amorcido: No sudo d mcâic, s forçs d morcimo qu um sor um corpo são cosidrds proporciois um poêci d vlocidd isâ. Em priculr, vmos supor dur od discussão susqü qu ss forç é dd por um múliplo cos d d/d. Qudo ão houvr ours forçs rs gido sor o sism, sgu sgud li d Nwo qu

114 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids d m d d k d od é posiivo chmdo d cos d morcimo o sil givo é um cosqüêci do fo d qu forç morcdor g o sido oposo o do movimo. Dividido-s pl mss m, omos qução difrcil do movimo livr morcido d d k d m d m ou d d 6 d d od k m m O símolo foi usdo som por coviêci lgéric, pois qução uilir é: m + m + = s rízs corrspods são, poro, m m Podmos gor disiguir rês csos possívis, dpddo do sil lgérico d omo cd solução coém o for d morcimo, dsprzívl pós um logo príodo.. >, o dslocmo d mss fic ASO I: Suprmorcido m m 7 Ess qução rprs um movimo suv ão oscilório. ASO II: Amorcimo ríico 8 Osrv qu o movimo é m smlh o sism suprmorcido. É mém vid d 8 qu mss pod pssr pl posição d quilírio o máimo um vz. Qulqur dcréscimo forç d morcimo rsul m um movimo oscilório.

115 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids ASO III: Sumorcido omo s rízs m m gor são compls, solução grl d Equção 6 é: cos s 9 O movimo dscrio m 9 é oscilório; ms, por cus do for virção qudo., s mpliuds d Emplos: Um pso d 8 lirs log um mol m pés. Supodo qu um forç morcdor igul dus vzs vlocidd isâ j sor o sism, drmi qução d movimo s o pso for solo d um posição d quilírio um vlocidd d pés/s pr cim. Solução: om s li d Hook, vmos qu 8 = k os dá k = l/pés qu dá m = 8/=/ slug. A qução difrcil do movimo é ão: W m.g os Rsolvdo qução mos: d d d d d d 8 6 d d = + - morcimo críico Aplicdo s codiçõs iiciis = = -, omos c = c = -, logo, qução do movimo é: = - - Um pso d 6 l é do um mol d pés d comprimo. N posição d quilírio, o comprimo d mol é d 8, pés. S o pso for pudo pr cim solo do rpouso, d um poo pés cim d posição d quilírio, qul srá o dslocmo s for sido id qu o mio mi ofrc um rsisêci umricm igul à vlocidd isâ. Solução: O logmo d mol dpois d prsoo pso srá d 8, =, pés; logo, sgu d li d Hook qu 6 = k, ou k = l/pés. Alm disso, m = 6/ = ½ slug. Poro, qução difrcil é dd por:

116 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Rsolvdo qução mos: d d d d d d d d cos s sumorcido Aplicdo s codiçõs iiciis = - =, omos c = - c = - /, logo qução do movimo é: cos s 9.. SISTEMA MASSA MOLA: MOVIMENTO FORÇADO 9... ED do Movimo Forçdo com Amorcimo: osidrdo gor um forç r f gido sor um mss vir m um mol. Por mplo, f pod rprsr um forç qu gr um movimo oscilório vricl do supor d mol. A iclusão d f formulção d sgud li d Nwo rsul qução difrcil do movimo forçdoou iduzido d m d d k f d Dividido por m, omos: d d F d d Od F = f/m. omo o im rior, / m, k / m. Pr rsolvr ss úlim qução ão homogê, podmos usr o o méodo dos coficis drmir quo o d vriçõs d prâmro. Emplo: Irpr rsolv o prolm d vlor iicil ' d, d d d cos,com 6

117 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Solução: O prolm rprs um sism vir qu cosis m um mss m= / slug ou quilogrm prs um mol k = l/pés ou N/m. A mss é sol do rpouso ½ uidd pé ou mro io d posição d quilírio. O movimo é morcido s sdo forçdo por um forç r priódic T =, qu comç m =. Iuiivm, podrímos sprr qu, msmo com o morcimo, o sism coiuss m movimo é o is m qu forç r foss dsligd, cso m qu mpliud dimiuiri. Porém, d form como o prolm foi ddo, f=cos prmcrá ligd smpr. Em primiro lugr, muliplicrmos qução dd por rsolvmos qução d d 6 mprgdo os méodos usuis usdo o méodo dos coficis d d drmir, procurmos um solução priculr, chdo como solução: cos s cos s Aplicdo s codiçõs iiciis, mos qu qução do movimo é: 8 86 cos s cos s 9... ED d um Movimo Forçdo Não Amorcido: S houvr ção d um forç r priódic, hum morcimo, ão hvrá rmo rsi solução d um prolm. Vrmos mém qu um forç r priódic com um frqüêci próim ou igul às ds virçõs livrs ão morcids pod cusr dos svros um sism mcâico oscilório. Emplo: d Rsolv o prolm d vlor iicil: F s, = =,, od F é um d cos. d m k f d Solução: A fução complmr é c = ccos + c s. Pr or um solução priculr, vmos primr p = A cos + B s d l form qu: " p A cos B s F s p Iguldo os coficis, omos imdim A = F B ω γ. Logo: p F ω γ sγ 7

118 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Aplicdo s codiçõs iiciis dds à solução grl, omos solução fil qu srá: F γsω ω γ ωsγ, com γ ω 9.. IRUITO EM SÉRIE ANÁLOGO - IRUITOS ELÉTRIOS RL EM SÉRIE Aplicdo sgud Li d irchoff, chgmos : d q dq q L R E d d S E =, s virçõs lérics do circuio são cosidrds livrs. omo qução uilir d qução é Lm + Rm + / =, hvrá rês forms d solução com R dpddo do vlor do discrimi R -L/. Dizmos qu o circuio é: L Suprmorcido: R L riicm morcido: R L Sumorcido: R, Em cd um dsss rês csos, solução grl d coém o for -R/L, poro, q qudo. No cso sumorcido, s q = q, crg sor o cpcior oscilrá à mdid qu dcir, m ours plvrs, o cpcior é crrgdo dscrrgdo quo. Qudo E = R =, dizmos qu o circuio é ão morcido s virçõs lérics ão dm zro qudo crsc sm limição; rspos do circuio é hrmôic simpls. Emplos: Ecor crg q sor o cpcior m um circuio m séri LR qudo L=, hrh, R = ohms, =, frdf, E =, q = q couloms i=. Solução: omo / =, qução fic: q" q' q q" q' q Rsolvdo qução homogê d mir usul, vrificmos qu o circuio é sumorcido q = - cos6 + s6. Aplicdo s codiçõs iiciis, omos: 8

119 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids q q cos6 s6 Qudo há um volgm imprss E o circuio s virçõs lérics são chmds forçds. No cso m qu R, fução complmr qc d é chmd d solução rsi. S E for priódic ou cos, ão solução priculr qp d srá um solução scioári. 9. EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE ONTORNO 9.. DEFLEÃO DE UMA VIGA: Muis sruurs são cosruíds usdo grds supors d ço ou vigs, s quis dflm ou disorcm so su próprio pso ou m dcorrêci d lgum forç r. A dflão é govrd por um qução difrcil lir d qur ordm rlivm simpls. Vmos supor um vig d comprimo L sj homogê h sção rsvrsl uiform o logo d su comprimo. N usêci d qulqur crg sor vig icluido o próprio pso, curv qu lig os cróids d ods s sus sçõs rsvrsis é um r chmd io d simri. S for plicd um crg à vig m um plo codo o io d simri, l sofrrá um disorção curv qu lig os cróids d ods s sçõs rsvrsis srá chmd ão d curv d dflãooucurv lásic. A curv d dflão proim o formo d vig. Supoh gor qu o io coicid com o io d simri d vig qu dflão, mdid prir dss io, sj posiiv s dirigid pr io. N ori d lsicidd, mosr-s qu o momo flor M m um poo o logo d vig sá rlciodo com crg por uidd d comprimo w pl qução: d M d w Além disso, momo flor M é proporciol à curvur k d curv lásic M EIk od E I são coss; E é o módulo d lsicidd d Yg do mril d qu é fi vig I é o momo d iérci d um sção rsvrsl d vig m oro d um io cohcido como o io uro. O produo EI é chmdo d rigidz dflor d vig. 9

120 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids Agor, do cálculo, curvur é dd por pqu, iclição, poro, k " '. Qudo dflão for ', S fizrmos k =, Equção vi s orr M = El. A drivd sgud dss úlim prssão é: d M d d d EL " EL d d Usdo o rsuldo ddo m pr susiuir d M/d m, vmos qu dflão sisfz qução difrcil d qur ordm d EL w 6 d As codiçõs d cooro ssocids à Equção 6 dpdm d como s rmidds d vig são poids. Um vig m lço é gsd ou prs m um rmidd livr d our. Trmpolim, rço sdido, s d vião scd são mplos comus d vigs, ms é msmo árvors, msros, difícios o moumo d Gorg Wshigo podm fucior como vigs m lço, pois são prsos m um rmidd sujios à forç flor do vo. Pr um vig m lço, dflão dv sisfzr às sguis codiçõs rmidd gsd = : =, um vz qu ão há dflão =, um vz qu curv d dlão é g o io m ours plvrs, iclição d curv d dflão é zro ss poo. Em = L, s codiçõs d rmidd livr são: L =, um vz qu o momo flor é zro L =, um vz qu forç d cislhmo é zro. A Tl io rsum s codiçõs d cooro qu são ssocids com qução 6 Ermos d Vig odiçõs d cooro Egsd, ' Livr ", " ' Simplsm poid, ' 9... Soluçõs Não Triviis do Prolm d Vlors d ooro: Rsolv o prolm d vlors d cooro + =, = L = osidrmos rês csos: =, < >.

121 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids so I: Pr =, solução d implicm, sucssivm qu cooro é solução rivil. " é. As codiçõs. Logo, pr, úic solução do prolm d λ λ <, mos qu L so II: Pr cosh λ sh λ. Novm os dá, poro, sh λ. A sgud codição os diz qu sh λl. omo Os.: L, prcismos r. Assim = L prc um pouco srho, ms h m m qu < é quivl - >. so III: Pr >, solução grl d + = é dd por cos λ s λ s λl..omo s, = os dá qu c =, ms L = implic S c =, ão, cssrim, =. Porém, s c, ão s L =. A úlim codição implic qu o rgumo d fução so dv sr um múliplo iiro d. L ou L, =,,... Poro, pr odo rl ão ulo c, = cs /L é um solução do prolm pr cd. omo qução difrcil é homogê, podmos, s dsjrmos, ão scrvr c. Em 9 ours plvrs, pr um ddo úmro sqüêci,,,,..., fução corrspod L L L sqüêci s, s, s,... é um solução ão rivil do prolm origil. L L L 9... Dformção d um olu Fi: No século VIII, Lohrd Eulr dói um dos primiros mmáicos sudr um prolm d uovlor qudo lisv como um colu lásic fi s dform so um forç il comprssiv. osidr um log colu vricl fi d sção rsvrsl uiform d comprimo L. Sj dflão d colu qudo um forç comprssiv vricl cos ou crg P for plicd m su opo coform mosr figur. omprdo os momos flors m qulqur poo o logo d colu, omos d EL d P d ou EL P 7 d

122 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids od E é o módulo d lsicidd d Yg I é o momo d iérci d um sção rsvrsl m oro d um r vricl plo su cróid. Emplo: Drmi dflão d um colu vricl fi homogê d comprimo L suji um crg il cos P, s colu for simplsm poid m ms s rmidds. Solução: d EI P d O prolm d cooro sr rsolvido é: L Osrv primirm qu = é um solução prfim ciávl dss prolm. Ess solução m um irprção iuiiv simpls: s crg P ão for grd o sufici, ão hvrá dflão. A qusão é s, pr qu vlors d P colu vi dflir? Em rmos mmáicos: pr quis vlors d P o prolm d cooro ddo m soluçõs ão riviis? Escrvdo P EI, vmos qu: " L é idêico o prolm ddo o im 8... om s o so III dqul discussão vmos qu s curvs d dflão são cs / L, corrspods os uovlors P / EI / L,,,... Fisicm, isso sigific qu colu vi dformr-s ou dflir som qudo forç comprssiv ssumir um dos vlors P EI / L,,,... Esss forçs são chmds crgs criics. A curv d dflão corrspod mor crg críic P EI / L, chmd d crg d Eulr, é cs / L é cohcid como o primiro modo d dformção. As curvs d dflão corrspods =, = = são prsds figur io. Osrv qu, s colu origil ivr lgum ipo d rsrição físic m = L/,ão mor crg críic srá P EI / L curv d dflão srá qul d figur. S rsrição for colocd colu m = L/ = L/, colu som vi s dformr qudo crg criic P 9 EI L for plicd. Nss cso curv d dflão srá qul d figur c. /

123 Equçõs Difrcis Prof Pul Frcis Bvids 9... ord Girdo: A qução difrcil lir d sgud ordm " 8 ocorr muis vzs como modlo mmáico. Já vimos s forms d d k / m d q d / L q como modlos pr, rspcivm, um movimo hrmôico simpls um sism mss-mol rspos hrmôic simpls d um circuio m séri. É vid qu o modlo pr dflão d um colu fi ddo m 6 qudo scrio como d d P / EL, é igul o qu foi ddo m 8. Vmos corr Equção 8 como um modlo qu dfi curv d dflão ou cofigurção ssumid por um cord girdo. A siução físic é álog qul d dus pssos sgurdo um cord fzdo- girr sicroizdm. Vj s figurs io. Supoh qu um cord d comprimo L dsidd lir cos mss por uidd d comprimo sj sicd o logo do io fid m = = L. Supoh qu cord sj ão gird m oro do io um vlocidd gulr cos. osidr um pr d cord sor o irvlo,, od é pquo. S mgiud T d são T, gcil cord, for cos o logo dl, qução difrcil dsjd pod sr oid iguldo-s dus formulçõs difrs d forç liquid qu g sor cord o irvlo,. Em primiro lugr, vmos figur c, qu forç liquid vricl é: F Ts Ts 9 S os âgulos mdidos m rdios form pquos, rmos s g s g. Alm disso, como g g são, por su vz, icliçõs ds rs codo os vors T T, podmos mém scrvr