1 - SINAIS PERIÓDICOS NÃO SENOIDAIS

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1 Frqüêcis hrmôics - INI PEIÓDIO NÃO ENOIDI m dois siis soidis d rqüêcis rspcis. rqüêci é hrmôic d rqüêci qudo or sisi iguldd: od é qulqur úmro iiro posiio, iclusi zro. rqüêci é chmd, ormlm, d rqüêci udml. Ns cso dizmos qu rqüêci é ésim hrmôic d rqüêci. ig. - mosr um soid udml, su sgud hrmôic, su hrmôic d ordm zro. No-s qu hrmôic d ordm zro é um sil d rqüêci zro, ou s é um sil coíuo. Hrmôic d ordm zro Fudml Fig.. gud hrmôic omposição hrmôic d um sil priódico ão soidl. O mmáico rcês Fourir dmosrou, mmicm, qu odo sil priódico, ão soidl, é composo d um som d soids hrmôics d um rqüêci udml. Es séri d soids, cus rqüêcis são hrmôics d compo udml, s domi séri d Fourir. Frqüêci udml Um sil priódico, ão soidl, cuo príodo é m como rqüêci udml o prâmro.

2 mos ilusrr, irmção d Fourir, lisdo um sil priódico com orm d pulsos, d mpliud príodo. durção d cd pulso é igul md do príodo, ou s,. r ig. - Fig. - Es orm d od é compos d um rqüêci udml d lor, ds soids hrmôics d rqüêcis,, 5, 7, c. O lor d compo coíu (hrmôic d ordm zro) é smpr médi do sil priódico. Em osso xmplo m qu os pulsos rim durm md do príodo, ss médi rsulou o lor. compo udml, rcir qui hrmôics possum rspcim, s mpliuds ;. π π 5π ig. -. z composição d compo udml com compo coíu com rcir hrmôic. ig. -.b dicio, ss sil composo, qui hrmôic. Prcb-s qu composição dsss soids cmih o sido d s proximr d orm do sil pulsdo origil. () Fig. - (b)

3 pssrmos ss sil puls por um ilro pss bixs, qu impd pssgm d ods s compos lrds, rmos síd ps compo coíu ou s, o sil qu rprs su médi. r Fig. -. Filro Pss Bixs Fig. - Um olímro D, d poiro, s compor como um ilro pss bixs url. Qudo, por xmplo, s md um sil puls d rqüêci udml d 6 Hz iérci d su mcismo d mdição impd qu su poiro comph rição rápid do sil puls. Iso z com qu l cb idicdo o lor médio dss rição. Ess lor médio corrspod compo coíu dss sil puls. Exmplo: or mdid são, com um olímro D, do sil d rlógio digil, mosrdo ig. -5, l idicrá são d ol. Fig. -5 Exprssão mmáic d séri d Fourir do sil puls xmpliicdo Frqüêci cíclic udml: Hz rd π rd Frqüêci gulr udml: π ou s s, m-s: hmdo, o sil puls xmpliicdo, d ( ) π π 5π ( ) s( ) s( ) s( 5 )... prsção o domíio d rqüêci ( spcro d rqüêcis ). ig. -6 mosr rprsção dss séri d Fourir o domíio d rqüêcis.

4 π Fig. -6 π 5π 5 so grl d sil priódico o sil, priódico ( ) rprsdo ig. -7. ( ) Fig. -7 u séri d Fourir m orm grl ( ) cos( ) cos( ) cos( )... ( ) B s( ) B s( )... B s pr-s qu, o cso grl, cd hrmôic d séri d Fourir é rprsd por um pr d rmos: um so um coso. Ds mir, por xmplo, ésim hrmôic é rprsd plo pr cos s. Drmição ds mpliuds B B mos scolhr, rbirrim, um irlo d mpo iicido m rmido m. r ig. -8.

5 ( ) Fig. -8 Ns cso rmos B ( ) cos( )d ( ) s( )d ; ; ; ; ;... No-s qu pr rsul: ( ) ( )d cos ( )d B ( ) s( )d ( ) d Origm o mpo È comum dormos um posição, rprsção do sil priódico, od. Es poo é domido origm o mpo. diri dss posição mos >. squrd rmos <. r ig. -9 origm - Fig. -9 5

6 Exmplo d cálculo d mpliuds ds compos hrmôics. omo ilusrção, mos clculr s mpliuds ds hrmôics d od qudrd puls do osso xmplo. N ig. - rdshmos o sil com idicção d um origm mporl qu oi scolhid. o mpo iicil, do irlo d igrção, o poo. ( ) Fig. - ( )d d d ( ) cos( )d cos( ) d cos( ) d s π s s π ( ) π [ s ( π ) s( ) ] 6

7 B ( ) s( )d s( ) d s( ) d cos ( ) π cos cos π ( ) [ cos ( π ) cos( ) ] ( ) π π π B π clculássmos ( ) cos( )d, B ( ) s( )d ( ) cos( )d B ( ) s( )d, chgrímos os rsuldos:, B, B π Poro, coirm-s qu, é rcir hrmôic, composição d séri d Fourir é: π π ( ) s( ) s( )... Propridds dos lors d B O rmo corrspod o lor médio d ( ) ( compo coíu ) Os lors d B,, dpdm d posição d origm do mpo ( )., om, o sil pulsdo. ig. - mosr um posição d origm dod como xmplo. Podmos r qu ução dquir o msmo lor, o pr posiio quo pr gio, ou s, ( ) ( ). Ns siução, dizmos qu ( ) é um ução pr. Ns cso, séri d Fourir, dss sil, ods s mpliuds B s ulm. rmos som rmos do ipo cos( ), icluido. 7

8 ( ) ( ) ( ) Fig. - séri d Fourir dss sil, com origm ss posição, é: π π 5π ( ) cos( ) cos( ) cos( 5 )..., gor o sil com orm d od qudrd mosrd ig. -. Ns cso, origm oi scolhid d l orm qu s h ( ) ( ). m-s, poro, um ução ímpr. Ns cso, séri d Fourir, dss sil, ods s mpliuds s s. B ulm. rmos som rmos do ipo ( ) ( ) ( ) ( ) Fig. - u séri d Fourir om orm π π 5π ( ) s( ) s( ) s( 5 )... 8

9 ugsão: mpr qu or possíl, drmos scolhr origm, d l orm, qu s h ução pr ou ução impr. Ds mir rmos qu clculr ps md dos coicis d séri grl d Fourir Exrcício - lculr mpliud d compo coíu do sil priódico bixo. Ess sil rprs um são soidl d mpliud, riicd por mio d um diodo idl.. No-s qu: ( ) cos π pr ( ) ( ) o rs do príodo olução: Podmos r qu, m oro d origm, ução é pr, ou s, ( ) ( ) Poro, séri d Fourir só coém rmos m co-so. mpliud d compo coíu ic dd pl xprssão:. D ( ) cos( )d ( )d π cos d π s π π s s π π π Exrcício - Drmir compo coíu (lor médio) do sil pulsdo cuo príodo é durção do pulso é. r igur bixo. 9

10 ( ) olução: ( ) d d Poro, No-s qu qudo o pulso dur md do príodo ( ) rsul Espcro d rqüêcis o cso grl olmos à xprssão grl d séri d Fourir ( ) cos( ) cos( ) cos( )... ( ) B s( ) B s( )... B s mos grupr os rmos d msms rqüêcis ( ) [ cos( ) B s( ) ] cos( ) B s( ) [ ] [ ( ) B s( )]... cos omo s soids d msm rqüêci são m qudrur, podmos zr composição oril mosrd igur -.

11 B D D B Poro Fig. - φ B φ g od cos ( ) B s( ) D ( φ ) cos D B Ds mir, séri d Fourir om orm φ B g D ( ) D cos( φ ) D cos( φ ) D cos( φ )... Podmos scrr, s séri, m um orm compc D ( ) D cos( φ ) od B D B φ g Propridds d O lor d O lor d D φ D rsul smpr o msmo, idpdm d scolh d origm. φ é úic grdz qu ri com posição d O couo d rqüêcis s rspcis mpliuds D, ormm o spcro d rqüêcis do sil priódico ( ). Es spcro d rqüêcis corrspod à igur qu obsrmos qudo s i o sil ( ) m um lisdor d spcro. r igur -. D D D D π D Fig. - D 5 5

12 FOM EXPONENI D ÉIE DE FOUIE imos o cpíulo qu órmul grl d séri d Fourir é: ( ) ( ) ( ) ( )... cos cos cos ( ) ( ) ( )... s s s B B B s órmuls d Eulr orcm s iguldds x x x x x x s cos s cos Podmos r qu x x x cos ou cos x x x x x x s ou x x x s Ess órmuls d coso so são cohcids como órmuls d Moir. mos plicá-ls os rmos d séri d Fourir ( ) cos ( ) s ubsiuido ss iguldds xprssão grl d séri d Fourir, rsul ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) ( )... B B B grupdo os rmos com msm xpocil, rsul ( )... B B B

13 B B B... Podmos scrr ( ) od B B No-s qu os coicis são úmros complxos cougdos Podmos obsrr, mbém, qu Es orm d xprimir séri d Fourir é cohcid como séri xpocil d Fourir. Podmos rprsr séri xpocil plo gráico d igur -. Ns cso os coicis, d séri xpocil, são úmros complxos. Fig. - pr-s qu rprsção mosrd ig. -, prcm rqüêcis posiis gis. Did ss siução, diz-s qu ss igur rprs orm bilrl d séri d Fourir. Es é ps um rprsção mmáic, pois sbmos qu isicm ão xism rqüêcis gis Exprssão compc d séri xpocil d Fourir ( )

14 od B B Es xprssão mbém é cohcid como: rsormd d Fourir d um sil priódico ( ). Ouro ipo d rprsção d séri d Fourir bilrl sá mosrdo ig. -. Ns rprsção, os coicis ds compos rm orm do módulo d sus lors complxos, ou s B Fig. - omo rmos, mis di, s úlim rprsção é úil, por xmplo, pr drmição d poêci médi d um sil ( ) ão soidl: mbém cili drmição do sil rsul d procssmos d ( ) como, por xmplo, ilrgs, modulçõs, c. oção xpocil bilrl, d séri d Fourir, é mis usd lirur écic d lcomuicçõs do qu oção rigooméric uilrl. Fórmul opciol pr o cálculo d poêci médi d um sil ( ) priódico. Qudo ão s dispõ d séri d Fourir, poêci médi só pod sr clculd pl órmul grl: [ ( ) ] d P No: Ns disciplis d lcomuicçõs é cosum supor qu são ( ) sá sobr um rsisêci pdroizd coção. Ω. Ns posil smpr dormos ss

15 5 Poro ( ) [ ] d P imos, m cursos riors, qu poêci médi d um são soidl é dd por ( ) ( ) icz são icz são P (pois Ω ) ou ( ) mpliud mpliud P Qudo s dispõ d séri d Fourir, poêci médi é igul som ds poêcis médis d ods s compos soidis, diciods à poêci d compo D, ou s: ( ) B B B P Podmos rscrr sgui orm: B B B P ou... B B B P imos qu B B Poro, sus módulos icm B plicdo ss rsuldos à xprssão rior d poêci médi, rsul

16 P ou P Poro, qudo s m à disposição séri xpocil bilrl d Fourir, podrmos clculr poêci médi d um sil priódico, ão soidl, pl xprssão: P Exrcício - Ddo o sil soidl ( ) cos upodo qu s sil sá m um rsisêci ormlizd poêci médi ic P ( ) icz Ω, sbmos qu su ) Drmir rprsção, ds sil ( ), orm d séri d Fourir xpocil. b) lculr su poêci médi uilizdo os coicis dss séri. olução: ) cos Por ididd m-s: igur bixo mosr rprsção gráic dss sil orm complx. 6

17 7 b) álculo d poêci médi do sil soidl xmpliicdo: poêci médi ic: P P Drmição dir dos coicis mos dmosrr qu ( ) d ( ) d Dmosrção ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] d d s cos ( ) ( ) ( ) ( ) d d s cos B B B

18 logm s dmosr qu ( ) d B Exprssão rcursi d ( ) Primos d órmul compc d séri xpocil ( ) ubsiuimos os coicis pls sus órmuls dirs. sul ( ) ( ) d ± omprção r os coicis imos qu B B N orm polr ic φ od B φ B g φ od B B φ g oclusõs: φ φ Poro, m ução d, o módulo dos coicis possui simri pr s possui simri impr. Es ipo d simri s chm imri Hrmi. 8

19 No: Ess propridds d simri são lids som qudo ução ( ) or rl. Qudo s r d ális d um sil lérico, iso rlm ocorr. Ero séri xpocil d Fourir é xsi à ális d siis composos d pr rl pr imgiári. Iso s plic, por xmplo, o proo d ilros cosruídos écic digil. 9

20 - EPEO ONÍNUO DE FEQÜÊNI osidrção sobr composição do spcro d rqüêcis bmos rqüêci udml d um sil priódico é igul o irso d su príodo. Iso sigiic qu, s o príodo or, compo udml rá rqüêci. Poro, o spçmo r compos izihs ic igul. mos qu quo mor or o príodo do sil, mior srá o spçmo r hrmôics d su spcro. D msm orm, qudo o príodo or muio grd, o spçmo, r s compos do spcro d rqüêcis, s or muio pquo. igur - ilusr sss siuçõs. Fig. - mos supor o cso limi m qu s cosidr o príodo iiio. Ns cso lim Iso sigiic qu o spçmo, r s compos do spcro d rqüêcis, s ul. Ns cso, dizmos qu o sil mporl possui um spcro coíuo d rqüêcis., por xmplo, o pulso d ig. -., qu coc um úic z (priódico).

21 Mmicm podmos cosidrr qu o príodo d rpição é iiio. Ns cso, o domíio d rqüêci rmos um spcro coíuo. No cso priculr do pulso d ig. -., olóri do spcro coíuo obdc cur mosrd ig. -.b. ( ) () ( ) (b) Fig. - mos qu ss rprsção spcrl sá orm bilrl. rprsção bilrl é mis os pr os procssmos mmáicos m qu l é plicd. Mis di, orm ds olóri spcrl, srá coirmd por mio d clculo. rsormd d Fourir Qudo s m um spcro d rqüêcis coíuo, ão s pod usr o om d séri d Fourir pr dscrr o sil ss domíio d rqüêci. O om, qu s uiliz, é rsormd d Fourir. Qudo um sil é priódico o domíio do mpo, su spcro d rqüêcis é composo d compos discrs é drmido pl séri d Fourir. Por ouro

22 ldo, s o sil or priódico o domíio do mpo, su spcro d rqüêci é coiuo sus propridds são drmids pl rsormd d Fourir. N rlidd, rsormd d Fourir é mis brg porqu sr pr os dois csos, ou s, rsormd d Fourir d um sil priódico rsul séri d Fourir. Exprssão mmáic d rsormd d Fourir olóri, do spcro coíuo bilrl, pod sr clculd por mio d rsormd d Fourir. Ddo um sil, priódico, ( ), su rsormd d Fourir é dd pl xprssão I π [ ( ) ] ( ) d Es rsormd produz, como rsuldo, um ução o domíio d rqüêci. Por. iso, podmos chmá-l d ( ) π ( ) ( ) d Exmplos d uçõs priódics sus rsormds d Fourir. ) Impulso d ár uiári qu ocorr o is. r ig. -. omo á imos, m cursos riors, o impulso uiário, qu é rprsdo por δ ( ), é um ução mmáic idl qu só ocorr o is, m lur H iii, durção. zro. psr diso, su ár é uiári, ou s, H ( ) δ ár Fig. - Iso sigiic qu δ ( ) d rsormd d Fourir dss impulso uiário ic

23 I omo () ão srá ulo pr. π [ δ ( ) ] δ ( ) d π δ só é dir d zro, o is, o produo δ ( ) Em m-s mbém só π Poro π I [ δ ( ) ] δ ( ) d δ ( ) d δ ( ) d ou s I[ δ ( ) ] ) Pulso rgulr om rlção à pr () d ig. -, mos supor qu ch ch dur um mpo or icr br diiim. Ns cso rmos, sobr o rsisor, o úico pulso d são mosrdo pr (b) d msm igur. () ( ) (b) Fig. - Pr cilir o cálculo d rsormd d Fourir dss sil mos scolhr origm do mpo o mio do pulso (r ig. -5). mos qu, dss modo mos um ução do ipo pr. ( )

24 ( ) I Fig. -5 π [ ( ) ] ( ) d cos( π ) d s( π ) cos ( π ) Podmos scrr ( ) s d π ( π ) s ou π ( ) sic( ) ( π ) ( πx) d s s propridds d ução sic( x) são bm cohcids mmáic πx suprior. Ess ução s ul pr odo x ± od ; ; ;... Poro, m osso cso ução () s ul pr odo ; ; ;... Ero, pr, rsul sπ lim π sπx lim πx x Pod-s riicr s rsuldo plicdo-s órmul d Hopil ução ( ) sic( ) sá mosrd ig. -6. Pr m-s o lor máximo igul, qu corrspod à ár do pulso o domíio do mpo.

25 5 ( ) Fig. -6 No-s qu ( ) é um ução rl. Ero, como m prs com lors posiios gios, possui módulo s. ig. -7 mosr o módulo s dss ução. 8 8 ( ) θ Fig. -7 Ess ução é bs impor pr o sudo d rsmissão d siis digiis. No-s qu ss rsormd d Fourir possui simri Hrmi m ução d rqüêci. N rlidd, rsormd d Fourir, d ods s uçõs ris, possui simri Hrmi. logi r séri d Fourir rsormd d Fourir imos qu, orm rcursi, d séri d Fourir, d um sil priódico, pod sr xprss pl qução:

26 ( ) ( ) d ( ± ) orm rcursi d rsormd d Fourir, d um sil priódico, é xprss pl qução: π No-s qu ( ) I[ ( ) ] ( ) d Poro, orm rcursi d ( ) pod sr scri π ( ) ( ) d Dizmos qu ( ) é i-rsormd, d Fourir, d ução ( ) ( ) I [ ( )] Pr d rsormds I I π [ ( ) ] ( ) ( ) d π [ ( )] ( ) ( ) d π π ( ) ( ) d d ( ), ou s Podmos obsrr qu úic dirç, r rsormd i-rsormd d Fourir, é o sil lgébrico do xpo d. No cso d rsormd l é gio i-rsormd l é posiio. lção r rsormd d Fourir rsormd d plc Pr siis priódicos, rsormd d Fourir é igul à rsormd d plc qudo s subsiui s por π 6

27 bl - mosr ss rlção pr lgums uçõs bl - Fução rsormd d plc rsormd d Fourir ( ) impulso dgru s π pulso s s s π π π siπ π α s α π α ( α ) α s ( s α) π ( π α) α Exrcício - O sil priódico ( ) α cos β possui sgui rsormd d plc: ( s) s α ( s α ) β Drmir su rsormd d Fourir olução: Bs subsiuir s por I[()] ( ) π π α ( π α ) β

28 spos mporl d um ilro pr um xcição orm d impulso. Es rspos é ormlm chmd d rspos impulsi d um ilro. mos, como xmplo, clculr rspos, o domíio do mpo, do ilro pss bixs d ig. -8, uilizdo o méodo d rsormd d plc. upomos qu o sil d rd m orm d um impulso uiário. s ( s) ( s) ( s) ( s) s ou ( ) ( ) Fig. -8 s s s s c Excição impulso uiário: ( s) Poro ( s) - s Fzdo i-rsormd d plc, rsul rspos o mpo: ( ) rsormd d Fourir do sil d síd, xprssão -, subsiuirmos s por d Fourir d ( ). Ou s π, rmos xprssão d rsormd I [ ( ) ] π - mos, gor clculr rspos m rqüêci do msmo ilro. r ig. -9 8

29 . Fig. -9 ou Ms π Poro π - omprdo - com - mos qu rsulrm xprssõs mmáics idêics Iso sigiic qu rsormd d Fourir do sil d síd d um ilro, qu oi xcido por um impulso uiário, é igul xprssão d rspos m rqüêci dss ilro. oclusão: Qudo s xci um ilro com um impulso uiário, su sil d síd, o domíio do mpo, m su rsormd d Fourir idicm igul à xprssão d rspos m rqüêci dss ilro Exrcício - lculr o sil d síd, o domíio do mpo, do ilro bixo supodo qu l é xcido por um impulso uiário. 9

30 olução: Iicilm, clculmos rspos m rqüêci ou π Pl propridd mciod m-s I [ ( ) ] π I Pr drmir ( ) [ ( ) ] π dmos zr i-rsormd d Fourir dss xprssão: ( ) I π Uilizdo púlim lih d bl -, podmos cocluir qu s irsormd rsul I π Poro ( ) N lirur écic uirsl, é cosum dsigr rspos impulsi d um ilro, o domíio do mpo, por h(). D msm orm, xprss-s, rspos m rqüêci d um ilro, por H(). propridd qu cbmos d dmosrr pod sr xprss pls iguldds:

31 H ( ) I[ h( ) ] ou h( ) I [ H ( )] oolução È um oprção mmáic qu drmi o sil d síd, d um ilro, o domíio do mpo, pr qulqur ipo d xcição d rd. mos supor qu um ilro h um rspos m rqüêci H ( ). Ns cso zmos i-rsormd: I π [ H ( )] h( ) H ( ) d h m sr o sil d síd do ilro, o domíio do mpo, pr um sil d rd orm d impulso uiário. rd do ilro irmos um sil gérico ( ), o sil mporl d síd ic ddo por imos qu o rsuldo ( ) ( ) ( ) h( ) * Dizmos qu o sil d síd é igul coolução dos siis ( ) ( ) ig. - mosr ss siução ilro ( ) h ( ) ( ) ( ) * h( ) h. Fig. - xprssão mmáic d coolução é: ( ) h( ) ( ) h( ) d * Normlm, s oprção rqur irprção gráic pr drmir os limis d igrção. Iso or o procsso d cálculo diícil rblhoso. Exis um propridd d coolução qu rsul um procsso muio mis simpls pr su cálculo. Es propridd srá is sguir. Propridd d coolução o domíio d rqüêci rsormd d Fourir d um coolução r dus riáis é igul o produo ds rsormds idiiduis d Fourir dsss riáis. [ ( ) h( ) ] ( ) H ( ) I *

32 Es propridd iduz um procsso muio mis uomáico pr drmição d d rspos impulsi do ilro. ( ) prir d ( ) ) Drmi-s ( ) zdo rsormd d Fourir d ( ) I [ ( ) ] ( ) ) Drmi-s ( ) zdo muliplicção d ( ) rqüêci H ( ) do ilro. ( ) H ( ) ( ) pl rspos m ) Drmi-s ( ) zdo i-rsormd d Fourir d ( ) [ ( )] ( ) I igur - ilusr ss sqüêci m um digrm d luxo. ( ) I ( ) ( ) H ( ) I ( ) ( ) ( ) Fig. - Es procsso é muio mis simpls qu o rior porqu ão cssi d irprção gráic. Por iso l é mprgdo, qus qu xclusim, pr rsolr problms dss ipo m lcomuicçõs. Normlm s rsormds i-rsormds, d Fourir, são rlizds por cálculo umérico, m compudor, uilizdo lgorimos spcíicos Exrcício - Drmir o sil d síd ( ), do ilro pss bixs do xrcício -, supodo qu l oi xcido por um dgru d mpliud. olução: H ( ) No xrcício - oi clculd rspos m rqüêci do ilro rsuldo H ( ) π

33 rsormd d Fourir d xcição orm d dgru é I [ ( ) ] ( ) π rsormd d Fourir do sil d síd ic [ ( ) ] ( ) H ( ) I π π O sil ( ) ic ( ) I π π Uilizdo úlim lih d bl -, podmos cocluir qu s i-rsormd rsul I π π Poro ( )

34 - EFEIO DE ZO E NFOMD Z rso d um sil su iluêci rsormd d Fourir pss rés d um disposiio d l orm qu o sil d síd mém msm orm do sil d rd, ms sor um rso, o mpo, igul sgudos (r ig. -.). pr suprior d ig. -.b mosr o sil d rd ( ). O sil d síd, qu ic xprsso por ( ), sá mosrdo pr irior dss igur -.b., obdc xprssão: mos supor qu um sil ( ) imos qu rsormd d Fourir, pr qulqur sil ( ) I π [ ( ) ] ( ) d il d rd il d síd ( ) rsdor ( ) Fig. - () (b) ( ) ( ) rsormd d Fourir do sil d síd ic I π [ ( )] ( ) d mos muliplicr diidir o sgudo mmbro d qução plo rmo cos π Ns cso ic:

35 I Podmos scrr I π π π [ ( )] ( ) d π π ( [ ( )] ( ) ) d Podmos, id, scrr I ( ) [ ( )] π π ( ) d( ) pois d ( ) d Fzdo mudç d riál pr, rmos I π π [ ( )] ( ) d π π Ero, ( ) d ( ) d msmo lor. pois s árs ds uçõs possum o π π Poro, I [ ( )] ( ) d π Ou I[ ( )] I[ ( ) ] omo π, podmos scrr mbém I [ ( )] I[ ( ) ] subsiuirmos plc: por s rmos ss iguldd m rmos d rsormds d 5

36 [ ( ) ] [ ( )] s Em rmos d digrm d blocos, rmos, o domíio d rqüêci, rprsção d ig. -.. Es rprsção sá ssocid à rsormd d Fourir. No domíio d rsormd d plc, qu mbém é cohcido como plo s, ms rprsção ig. -.b. Film, xis um rcir rprsção qu é cohcid como plo z qu sá rprsd ig. -.c. Es úlim rprsção sá ssocid à rsormd Z, qu srá sudd sguir. ( ) ( s) rsdor () rsdor (b) π s ( ) ( s) ( z) z ( z) rsdor (c) Fig. - Por comprção r s rprsçõs cocluímos qu z s π - ou z s π - rsormd Z rsormd z, m sr rsormd d Fourir ou d plc plicds siis mosrdos. No cso d rprsção d igur -.c o sil ( z) rprs rsormd z d um sqüêci d mosrs prs rd do rsdor. O sil z ( z) rprs rsormd z d sqüêci d mosrs rsds xiss síd. 6

37 Diição d rsormd z Dd um sqüêci d lors { } pr rido d -, di-s, como rsormd z dss sqüêci, xprssão: ( z) z od z é riál complx ilusrd xprssão -. O cso mis comum é qul m qu pr gio. Ns cso: ( z) z Exmplo: rsormd z d sqüêci d mosrs d um dgru. r Fig. -. Fig. - m-s pr < { pr ( ) z z z z z... z z z bl prcil d rsormds d plc d rsormds Z bl I- s x ( ) X ( ) X ( z) δ ( ) k, k rso k d um mosr ks z k 7

38 δ k k, dgru uiário ( k ) u ( ) α rmp uiári α s cos α α α s α cos s s z z z s ( ) s α ( s α ) z z α z α z z z ( ) α ( )( ) ( s α ) s z α ( z ) α ( ) z α ( z )( z ) z s s z z cos s s z( z cos ) ( α ) s α s α ( s α ) z z cos α z s α z z cos α z z cos α z z cos α 8

39 5 - MOGEM DE INI NÓGIO. mosrgm url O circuio d ig. 5- possui um grdor qu produz um sil coíuo qu chmrmos x ( ). Es sil é rsmiido pr síd rés d ch. Es ch irromp, priodicm, pssgm dss sil. Poro, o sil d síd, qu chmrmos y ( ), ic com o spco mosrdo diri dss igur. El é ormdo d um sqüêci d mosrs do sil d rd.mos supor qu o príodo d mosrgm s. Ns cso, rqüêci d mosrgm srá [ Hz] ou π rd s π. s ( ) x y( ) Fig. 5- ig. 5- mosr qu o sil y ( ) pod sr dscrio, mmicm, pl xprssão y ( ) x( ) ( ), od ( ) é um sqüêci priódic d pulsos d íis, rqüêci. s x( ) ( ) y( ) Fig. 5-9

40 omo ução puls ( ) (r cpíulo ): é priódic, l pod sr xprss pl séri d Fourir ( ) cos cos cos... Poro, y s ( ) ( ) cos cos cos... x ou y s s s ( ) x( ) x( ) cos x( ) cos x( ) cos... primir prcl, x( ) s s s s, m sr o sil coíuo x ( ) udo plo or mos supor qu o sil mosrdo y ( ) s rsmiido rcbido por um rcpor. mos supor, id, qu ss rcpor possui um ilro qu dix pssr ps primir prcl limi s dmis. Nss cso, rmos rcuprção do sil x( ) cos s.. Es sil m sr o sil origil coíuo x ( ) ps udo plo or. omo rmos mis di, o ilro qu limi s compos idsáis é do ipo pss bixs. r ig. 5- y( ) Filro pss bixs x( ) O rmo Fig. - é compo médi d ução puls ( ). om bs o rsuldo do xrcício - do cpíulo, podmos cocluir qu, sdo o príodo sdo durção d cd pulso (r ig. 5- ), rsul. Fig. 5-

41 Ns cso, o sil mosrdo pod sr scrio: y ( ) x( ) x( ) x( ) cos x( ) cos... cos s s s hmdo d x ( ), o sil rcuprdo o rcpor, m-s x ( ) x( ) Poro, podmos cocluir qu quo mis lrgo or o pulso d mosrgm, mor srá ução do sil rcuprdo. mosrgm d um sil soidl mos lisr o cso m qu o sil d rd é x( ) cos Ns cso, o sil mosrdo ic: y( ) cos cos coss cos cos s cos cos s... Pl rigoomri m-s ididd cos cosb cos cos ( b ) ( b ) plicdo ss ididd xprssão d y ( ) y, rsul: ( ) cos cos( ) cos( ) cos ig. 5-5 mosr posição dsss compos o spcro d rqüêcis ( ) cos( ) cos( ) cos( ) Y ( ) Fig. 5-5

42 s sil pssr por um ilro pss bixs cu rqüêci d cor X é mior qu mor qu ( ), o ilro dix pssr o sil d rqüêci ri ods s ours compos. Poro, síd dss ilro rmos o sil x ( ) cos s Es é um sil soidl coíuo cu úic dirç pr o sil x() origil é um mpliud mor. Es mpliud pod sr umd pr o lor origil, com o mprgo d um simpls mpliicdor. odição d rcuprção do sil x( ) Exmido ig. 5-5, mos qu o ilro pss bixs só podrá dixr pssr compo rir s ours, s or obdcid codição:. > ou > ou > oclusão: Podmos rsmiir som mosrs d um sil, porqu é possíl rgrr o sil complo o rcpor. Pr hr rcuprção d um sil soidl, rsmiido orm mosrd, é cssário qu rqüêci d mosrgm s mior qu dus zs rqüêci dss sil. so d mosrgm d um sil ão soidl composo d muis rqüêcis N ig. 5-6., mos um xmplo d um sil coíuo o mpo, ms ão soidl. omo l é ão soidl, su spcro é composo por muis rqüêcis. Ero l possui um rqüêci máxim qu oi dsigd por MX (r ig. 5-6.b). Qudo s sil é mosrdo por um rqüêci, o spcro do sil mosrdo ic como mosrdo ig. 5-6.c.

43 x( ) X ( ) () MX Y ( ) (b) MX MX MX MX (c) Fig. 5-6 Podmos cocluir qu pr um ilro pss bixs podr rcuprr o sil coíuo origil é qu o spcro d rqüêcis, do sil mosrdo, obdç codição: > MX MX ou > MX oclusão:-pr hr rcuprção d um sil ão soidl, rsmiido orm mosrd, é cssário qu rqüêci d mosrgm s mior qu dus zs mior rqüêci spcrl do sil ão soidl. O sil lérico d oz produzido síd do microo d um lo clulr, m um spcro d rqüêcis smlh o d ig. 5-6.b. u rqüêci máxim é, khz. Es sil é mosrdo 8. zs por sgudo sss mosrs são rsmiids. Qudo o sil mosrdo é rcbido, um ilro pss bixs d rcuprr o sil coíuo origil. mos s codição cssári é sisi: MX, khz 8 khz Ns cso MX 6, 8 khz Podmos r qu 8 khz é mior qu MX 6, 8 khz Poro, codição pr possibilir rcuprção do spcro do sil d oz, plo ilro, icou sisi.

44 OMUNIÇÃO EM PUE MPIUDE MODUION - PM mosrgm url mosrgm isâ. O ipo d mosrgm qu cbmos d lisr é domid "mosrgm url". Ero, s rsmissõs PM (Puls mpliud Modulio) PM (Puls od Modulio), us-s chmd "mosrgm isâ". N mosrgm isâ, o sil é mosrdo o is qu ch ch. r ig durção ds mosrs é xrmm pqu. r ig. 5-7.b. Em sguid um disposiio, chmdo hold, z com qu o íl d são mosrdo prmç dur um mpo. r ig. 5-7.c. Ess oprção é cohcid como smpl & hold. Normlm durção é muio mor qu o príodo d mosrgm. ( ) ( b ) ( c ) Fig. 5-7 sguir, ss sqüêci priódic d pulsos srios é rsmiid.. Qudo s ipo d mosrgm é rsmiido o rcpor cosgu rcuprr o sil origil coíuo d msm orm qu o cso d mosrgm url. Bs qu s sisç codição > MX, od MX é mior rqüêci, do sil origil d rd, é rqüêci com qu l é mosrdo. Dirçs d compormo r mosrgm url mosrgm smpl & hold. ig. 5-8 mosr m dlhs s crcrísics d mosrgm smpl & hold m rlção à rição do sil mosrdo. No-s qu mosr ão comph

45 prim rição do sil, dur durção. Iso crr um modiicção do íl do sil rcuprdo o rcpor como mosrrmos sguir. imos qu s o sil d rd or x ( ) cos ão, mosrgm url s rcupr o sil x ( ) cos s Fig. 5-8 Já, mosrgm smpl & holdig o sil rcuprdo obdc xprssão: x s s ( ) cos Iso crr um dimiuição do íl o sil rcuprdo. O lor dss dimiuição dpd d rqüêci do sil rcuprdo. Quo mior or s rqüêci mior srá ução. Normlm, sss modiicçõs ds mpliuds, o sil rcuprdo, são corrigids, cilm, com um pqu modiicção rspos do ilro pss bixs d rcuprção do sil o rcpor. Mis di srá rsolido um xrcício qu ilusr o procsso. Muliplx mporl PM Um ds pricipis uilizçõs dss ipo d comuicção mosrd é pr o io, m um úic lih d rsmissão, d ários siis lôicos d oz. Er dus mosrs sucssis, d um msmo sil d oz, ircl-s mosrs dos ouros siis d oz. Es é pricipl rzão pr qu os pulsos d mosrgm sm srios. ig. 5-9 mosr um xmplo d um muliplx PM pr quro siis idpds d oz. 5

46 mosrs d Quro siis idpds Fig. 5-9 cpção d um muliplx PM O rcpor slcio, sprdm, s mosrs d cd sil d oz. ig. 5-. mosr sqüêci d mosrs, d um msmo sil d oz, slciods o rcpor. ( ) ( b ) ( c ) Fig. 5- sguir é io o lrgmo dos pulsos pr o lor do príodo d mosrgm. Ds mir o sil mosrdo ssum orm d scd. r ig. 5-.b. Es oprção é cohcid como hold. Film, s mosrs pssm plo ilro pss bixs, rcuprdo-s o sil lógico origil. r ig. 5-.c. omo, o rcpor s m, xprssão do sil rcuprdo om orm; 6

47 x s ( ) cos s π s ou x ( ) cos π Exrcício 5- Um spcro d um sil lôico d oz é ormdo por um couo d rqüêcis qu, idiidulm, possum mpliud. mor mior rqüêci, dss sil, são rspcim Hz Hz. rqüêci d mosrgm é 8. Hz. ) Drmir s mpliuds, o sil rcuprdo, pr s rqüêcis Hz. Hz b) Esboçr rspos do ilro pss bixs qu comps rição dsss mpliuds com rqüêci. olução: ) Hz π s x ( ) 8 cos,9997 cos π 8 mpliud., 9997 Hz x ( ) cos π s 8,78 cos π 8 mpliud:,78 b) O ilro d proporcior um gho G M rqüêci. Hz d l orm qu G M, 78 ou G,78 M Poro G M, 7,78 rspos do ilro pss bixs d r o spco mosrdo bixo 7

48 G M,7 G, khz Diiculdds d comuicção PM. O sil PM s dorm, cilm, com rspos m rqüêci s do mio d rsmissão. r ig. 5-. Fig. 5- lém diso, prsç d ruído modiic os íis d são mosrdos. Por iso, rsmissão PM ão é uilizd, ão sr, m disâcis pqus dro d um quipmo. u uilizção pr rsmissão grds disâcis só coc pós um procssmo qu rsorm su sil m Puls od Modulio- PM Modulção por código d pulsos ( Puls od Modulio PM ) Um mir mis robus d rsmiir, os íis ds mosrs do sil, é orm uméric. Ns cso, pr cd mosr, rsmi-s um sqüêci d bis, Ess sqüêci d bis orm um plr digil qu rprs, bs dois, um lor umérico proporciol o lor d são d mosrd. r ig. -. Es rsormção é cohcid como corsão lógico-digil ou simplsm corsão D. Exism circuios igrdos spcilizdos qu rlizm ss oprção. MO IN NMIIDO 89 Fig. 5- N rcpção, o rcpor rá, ps, qu idiicr os lors d cd bi. É clro qu rspos m rqüêci o ruído, do mio d rsmissão, dormm, mbém, os pulsos digiis. Ero, s sss dormçõs ão orm xcssim grds, o 8

49 rcpor ão rá diiculdds pr idiicr corrm sqüêci d bis d iormção digil (r ig. 5-). omdo-s como rrêci o íl médio do sil rcbido, rmos um bi qudo o sil sá cim dss rrêci ic-rs. IN EEBIDO IN DIGI EGENEDO Fig. 5- pós idiicção dos bis, o rcpor gr mosrs lógics cus mpliuds corrspodm os lors uméricos d cd plr digil rcbid. Es oprção é domid corsão digil-lógic, ou simplsm, corsão D. Exism, mbém, circuios igrdos spcilizdos qu rlizm ss oprção. sguir, os pulsos lógicos, corrspoddo cd mosr, são lrgdos d mir dquirir durção, od é o príodo d mosrgm (oprção hold ). om iso, o sil dquir orm d scd. Film, o sil scd rsul pss plo ilro pss bixs compsdo. Ds mir, o sil lógico origil d oz é rcuprdo. O ipo d comuicção dscrio é chmdo d Puls od Modulio - PM. N pr () d ig. 5- m-s um digrm simpliicdo d um rsmissor PM. pr (b), d msm igur mosr o digrm simpliicdo do rcpor PM. Modrm, xism chips comrciis qu coém um rsmissor um rcpor PM complos. NMIO PM mosrdor mosrs lógics sil PM () codiic. sil PM mosrs lógics EEPO PM ilro pss bixs dcodi. hold (b) Fig. 5-9

50 Filrgm lógic ilrgm digil ig. 5-5 mosr um circuio pss bixs lógico. O sil d rd, qu usmos como xmplo, é um sil priódico composo d um rqüêci udml su sgud hrmôic. Ess igur mosr, ss sil d rd, o o domíio do mpo (osciloscópio), como o domíio d rqüêci (lisdor d spcro). O msmo coc com o sil d síd. Fig. 5-5 O ilro limi sgud hrmôic do sil d rd. Ds mir, o sil d síd é ormdo som d compo udml. Poro, o sil d síd, o domíio do mpo, m orm d um soid. ig. -6 mosr o procsso quil d um ilrgm digil. Procssmo umérico ds mosrs /D D/ Fig. 5-6 O sil d rd é mosrdo rsuldo um sqüêci PM. sguir s mosrs são corids pr lors uméricos digiis (bs ). Os lors uméricos dsss mosrs são submidos oprçõs mmáics qu lrm sus lors d um mir progrmd. Film, sss mosrs lrds são corids, om, pr pulsos PM. Dido às lrçõs dos lors uméricos ds mosrs, o PM d síd é dir dqul d rd. Em osso xmplo, ss PM d síd é quil um sqüêci d mosrs d um sil soidl d rqüêci. O sudo qu prmi o domíio dos procdimos mmáicos, dss ilrgm, é cohcido como Procssmo Digil d iis. Um irodução ss sudo srá brgid sá os próximos cpíulos ds posil. omo rmos, o logo do sudo, mmáic uilizd é bs complicd rqur dos luos um sorço bm mior pr su prdizdo qudo comprdo com o sorço dispsdo pr s disciplis prcds.. gs d ilrgm digil écic d ilrgm digil, por ão usr cpciors ou iduors, prmi qu odo o sism s igrdo m um úico chip. lém diso os procssmos mmáicos 5

51 cssários podm sr rlizdos m sowr. Poro o corção do chip é um microprocssdor spcilizdo pr rlizr os procdimos mmáicos cssários. O procssmo por mio d sowr or o sism cilm dpál às mudçs ds crcrísics d ilrgm, qudo ssim or dsál. Modrm odos os prlhos d loi clulr uciom bs d procssmo digil d siis. Es é pricipl rzão d obrigoridd d iclusão dss discipli o curso d cologi Eghri Elrôic, ês m lcomuicçõs. 5