RESOLUÇÃO Matemática APLICADA FGV Administração

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1 QUESTÃO 1 VESTIBULAR FGV 2010 JUNHO/2010 RESOLUÇÃO DAS 10 QUESTÕES DE MATEMÁTICA DA PROVA DA TARDE - MÓDULO DISCURSIVO São curiosos os números. Às vezes é mis útil rredondá-los do que trblhr com seu vlor exto. Se, por exemplo, pessos ssistirm um show mu si cl, podemos proximr o número à centen mis próxim e dizer que cerc de pessos presencirm o show. Ob serve com tenção est pesquis feit pel ANCINE, Agênci Ncionl do Cin em, sobre evolução d quntidde de sls de cin em no Brsil, devido à concorrênci, en tre outros, de filmes n televisão e filmes em DVD Apens 4% dels loclizds em municípios de té 100 mil hbitntes Fonte: Ancine ) Apro xi me os d dos do grá fi co à cen te n m is pró xi m e res pon d: Em 2008, qun ts s ls de ci ne m es t vm lo c li z ds em mu ni cí pi os com ou me nos h bi tn tes? b) Usn do os d dos r re don d dos do item, ex pres se, em por cen t gem, re du ção do nú me ro de s ls de ci ne m br si le i rs de 2008, em re l ção o nú me ro de s ls de ) = 92. b) , 30 30% ) 92 s ls. b) Apro xi m d men te 30%.

2 QUESTÃO 2 Um pesquis publicd pel Orgnizção ds Nções Unids pr Agricultur e Alimentção mostr como crise globl provoc o umento do número de pessos que pssm fome no mundo. Número de pessos subnutrids, em milhões DIVISÃO DA FOME POR REGIÃO Número de subnutridos em 2009, em milhões de pessos Vrição sobre 2008, em % Píses desenvolvidos 15 15,4% Améric Ltin e Cribe 53 12,8% Oriente Médio e Norte d Áfric 42 13,5% Áfric subsrin ,8% Ási e Pcífico? 10% * *Estimtiv Fonte: Orgnizção ds Nções Unids pr Agricultur e Alimentção A pr tir ds in for m ções dos grá fi cos ci m, cl cu le: ) o nú me ro de pes so s sub nu tri ds n zo n de Ási e P cí fi co em b) o nú me ro de pes so s sub nu tri ds n zo n de Ási e P cí fi co em ) ( ) = 642 (mi lhões de pes so s) b) Sen do x o nú me ro de pes so s sub nu tri ds n zo n de Ási e P cí fi co em 2008, te mos: x (1 + 0,1) = 642 x 584 mi lhões de pes so s. ) 642 mi lhões de pes so s. b) Apro xi m d men te 584 mi lhões de pes so s. QUESTÃO 3 Um crpinteiro deve construir um cix com form de um cubo, porém bert, sem um tm p. Vi usr 31,25 m 2 de m de i r, que ele com pr em um loj de m te ri is de construção por R$ 12,00 o me tro qu - dr do. Além dis so, h ve rá um re for ço es pe ci l de m deir com pen s d em to ds s res ts, que lhe cus t - rá R$ 3,00 por me tro. A que pre ço o crpinteiro deve ven der c i x pr ob ter um lu cro de 20% so bre qun ti gs t n com pr dos mteriis que usou pr construir cix? Sendo medid d rest d cix, pr construí-l sem tmp e utilizndo 31,25 m 2 de m deir, devemos ter: 5 2 = 31,25 = 2,5 m Cus to d m de i r: 31,25 12 = 375,00 re is. Cus to do re for ço em to ds s res ts: 12 2,5 3 = 90,00 re is. Cus to to tl pr cons tru ção: 375, ,00 = 465,00 re is. Pre ço de ven d d c i x com lu cro de 20%: 465,00 1,2 = 558,00 re is. Res pos t: R$ 558,00 (Admitimos o reforço es pe cil em tods s 12 rests, mesmo ns d fce bert.) Observção: Cso s rests d fce bert não sejm reforçds, terímos 8 rests reforçds e o preço de vend seri 1,2 (375, ,5 3) = 522,00 reis.

3 QUESTÃO 4 No seu livro Introdução à Álgebr, Leonhrd Eu ler propõe um curioso e interessnte problem os leitores: Dus cmponess jun ts crregm 100 ovos pr vender em um feir e cd um vi cobrr seu preço por ovo. Embor um tivesse levdo mis ovos que outr, s dus receberm mesm qunti em dinheiro. Um dels disse, então: Se eu tivesse trzido o mesmo número de ovos que você trouxe, teri recebido 15 kreuzers (ntig moed ustríc). Ao que se gun d res pon deu: Se eu ti ves se tr zi do qun ti d de de ovos que vo cê trou xe, te ri re ce bi do 20 kre u zers. 3 Re le i o tex to com ten ção e res pon d: Qu n tos ovos cr re g v c d um? Quntidde de ovos Preço unitário 1ª cmpones x p 1 2ª cmpones y p 2 Do enuncido decorre: x y 100 xp1 yp2 yp xp Substituindo p1 e p2 n 2ª equção decorre: y 3x 2 y 45 x Como x > 0 e y > 0 vem: y 3 y = 1,5x x 2 Como x + y = 100, temos 2,5x = 100, logo x = Res pos t: A pri me i r ti nh 40 ovos e se gun d, ovos e y = 60 ovos.

4 QUESTÃO 5 ) Os ir mãos P blo, An e Mr t ti r rm um fo to jun tos, um o l do do ou tro. Com um ré gu, ob ti ve rm s l tu rs n foto: P blo: 8,1 cen tí me tros; An: 6,2 cen tí me tros; Mr t: 5,7 cen tí me tros. A l tu r re l de An é 1,24 me tro. Qu l é l tu r re l de P blo e de Mr t? b) Pro v vel men te, vo cê não s be que os cr tões de cré di to ou de dé bi to que tn to us mos são re tân gu los áu re os, ou sej, r zão en tre seus l dos é igul o nú me ro de ou ro: Obser ve fi gu r e de mons tre que 1 5 b 2 b ) Sen do x e y s l tu rs re is de P blo e de Mr t, res pec ti v men te, po de mos es cre ver x 1,24 y. 8,1 6,2 5,7 8,1 Dí x 1, 24 6, 2 1,62 m e y 5,7 6,2 1,24 1,14 m. b) D C b F ç mos b x ( > 0, b > 0 e x > 0). Obser vn do fi gu r, con clu í mos que ABC ~ ADE. Então: b b b 1 b x = x x2 x 1 = 0 ( x 0) x = ) P blo tem 1,62 m e Mr t tem 1,14 m. b) De mons tr ção ci m. A B b E

5 QUESTÃO 6 ) De ter mi ne to dos os nú me ros n tu r is que s tis f zem si mul t ne men te s ine qu ções: 10 1 x 0,06 e 10 1 x 0,425 b) Os sis te ms de ine qu ções são úte is p r re sol ver n ti gos pro ble ms co mo es te, pro xi m d men te, do no 250: Três estudntes receberm cd um um mesm list de plvrs sinônims que deverim ser escolhids em pres. Cd plvr tinh um únic plvr sinônim correspondente. Dentro do tempo permitido, o primeiro colocdo conseguiu 21 pres corretos; o segundo colocdo tinh dois terços dos pres corretos e o terceiro, qutro mis do que metde do número de pres corretos. Qul er o to tl de pres corretos de plvrs sinônims? x ) 0,06 x 0,6 10 x 0,425 x 4,25 10 Os n tu r is pe di dos são 1, 2, 3 e 4. b) Sen do x o to tl de p res cor re tos, de ve mos ter x 21, 2 3 x < 21, 2 3 x N, x x e x 2 4 N. 2 x < 21 x < 31,5 1 3 x x 3x + 24 < 4x x > 24 2 Como 2 3 x N e x 2 4 N, x é múltiplo de 3 e de 2, logo é múltiplo de 6. 3 De 1, 2 e 3 decorre que x = 30. ) 1, 2, 3, e 4. b) 30 QUESTÃO 7 Extrímos um bol d urn representd bixo, notmos o seu número e devolvemos à urn. Retirmos um segund bol, notmos o seu número e o dicionmos o n te rior. Qul é probbilidde de que som sej 4? To tl de pres possíveis: 3 3 = 9 Os pres com som 4 são (1, 3), (2, 2) e (3, 1); portnto há 3 csos fvoráveis. A probbilidde pedid é p = Res pos t: 1 3

6 QUESTÃO 8 Ao copir d lous um equção polinomil de 3º gru e de coeficientes inteiros, Crlos escreveu errdo o termo em x e o termo que não tem ftor x. Resolvendo-, dus ds rízes que encontrou form i e 2. A professor já hvi dintdo que um ds rízes d equção orig i nl er 2i. ) Qu l é equ ção ori gi nl? b) Qu is são s ou trs du s r í zes d equ ção ori gi nl? Vmos dmitir que equção que Crlos copiou errdo tmbém tenh coeficientes inteiros. Se i é riz, então i tmbém é riz. Assim, s rízes são i e 2. Desse modo, tl equção é: (x i)(x + i)(x 2) = 0 (x 3 2x 2 + x 2) = 0, Z* Supondo = 1, equção é x 3 2x 2 + x 2 = 0. N equção orig i nl, de coeficientes inteiros, se 2i é riz então 2i tmbém é riz. Como Crlos copiou errdo o termo em x e o termo independente de x, equção orig i nl (no cso = 1) é x 3 2x 2 + mx + n = 0, m, n Z*, cujs rízes são 2i e. Por Gi rrd: 2i ( 2i) 2 (2i)( 2i) 2 n 2i( 2i) (2i) 2 ( 2i) 2 m 2 n = 8 m = 4 Assim, equção orig i nl (supondo = 1) é x 3 2x 2 + 4x 8 = 0. ) Po de ser qul quer equ ção d f mí li (x 3 2x 2 + 4x 8) = 0, Z*. P r = 1, equ ção é x 3 2x 2 + 4x 8 = 0. b) 2i e 2. QUESTÃO 9 A figur ilustr s medids que um topógrfo tomou pr clculr distânci do ponto A um brco ncordo no mr. sen 62 = 0,88; cos 62 = 0,47 sen 70 = 0,94; cos 70 = 0,34 A 50 m B C ) Use os d dos ob ti dos pe lo to pó gr fo e cl cu le dis tân ci do pon to A o br co. É con ve ni en te tr çr l tu r AH do triân gu lo ABC. b) Use es ses mes mos d dos p r cl cu lr o v lor de cos 48. Se qui ser, uti li ze os pro du tos: = e = ) C = = 70 AC 50 sen Apli cn do o te o re m dos se nos no triân gu lo ABC, te mos: AC sen 62 sen 70 sen 70 AC 0,88 50 AC = 46,81 m 0,94 b) cos 48 = cos 132 = cos ( ) = sen 62 sen 70 cos 62 cos 70 = = 0,88 0,94 0,47 0,34 = 0,8272 0,1598 = 0,6674 ) 46,81 m b) 0,6674

7 QUESTÃO 10 Os diretores de um empres de consultori estimm que, com x funcionários, o lucro men sl que pode ser obtido é ddo pel função: P(x) 20 ln x ,1x mil reis Atulmente empres trblh com 20 funcionários. Use s pro xi m ções: ln 2 = 0,7; ln 3 = 1,1 p r res pon der às ques tões se guin tes: ) Qu l é o v lor do lu cro men sl d em pre s? b) Se em pre s ti ver ne ces si d de de con tr tr m is 10 fun ci o ná ri os, o lu cro men sl vi u men tr ou di mi - nu ir? Qu n to? ) P(20) = ln 400 0, P(20) = ln P(20) = 4 ln = 4 0, = 20,8 (mil re is) b) P(30) = ln 900 0, P(30) = ln = 2 ln = 2 (0,7 + 1,1) + 17 = 20,6 (mil re is) P(30) P(20) = = 200 re is. ) R$ ,00 b) Di mi nui R$ 200,00.

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