TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A ENGENHARIA: Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações Diferenciais,

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A ENGENHARIA: Álgbr Lr Gomr Alíc Cálculo Equçõs Dfrcs por Lucs Mámo Alvs CURITIBA PARANÁ MARÇO 007

2 LUCAS MÁXIMOALVES TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A ENGENHARIA: Álgbr Lr Gomr Alíc Cálculo Equçõs Dfrcs CURITIBA PARANÁ MARÇO 007

3 LUCAS MÁXIMOALVES TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A ENGENHARIA: Álgbr Lr Gomr Alíc Cálculo Equçõs Dfrcs Aposl orgzd como rsuldo do sudo ds uls pr obção d crédos d Dscpl d TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A ENGENHARIA do curso d Douordo do Progrm d Pós-Grdução m Méodos Numércos do Sor d Tcolog/Sor d Cêcs Es Dprmo d Eghr Cvl/Dprmo d Mmác d Uvrsdd Fdrl do Prá Ordor: Prof. Dr. Muríco Gobb Ordor: Prof. Dr. CURITIBA PARANÁ MARÇO 007 3

4 Ddcór Ddco 4

5 Agrdcmos Agrdço Dus plo su mso mor msrcórd rvldo s oporudds qu vd m rou. Quro mbém grdcr: À mh Fmíl plo poo mocol sprul o mu ordor o Prof. Dr.... o mu Co-Ordor o Prof. Dr.... Mrsl Brdl pl mzd ddcção com qu os d os mgos od glr do CESEC. 5

6 Epígrf Não é possívl provr um vrdd prr d um mr ms é possívl provr um mr prr d um vrdd cdo por Murco Gobb m Mrço d 007 6

7 Sumáro Ls d Fgurs...6 Ls d Tbls...8 Ls d Sgls...9 Ls d Símbolos...0 Rsumo... Absrc... Cpíulo I...3 INTRODUÇÃO...3. Aprsção do curso...3. Irodução Álgbr Tor d Grupos Algébrcos...4 Cpíulo II...6 SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES...6. Irodução...6. Dfção d um Ssm d Equçõs Emplos Aplcçõs Ercícos Problms...9 Cpíulo III...30 MATRIZES Irodução Dfção d um Mrz Mrz Lh Mrz Colu Dgol Prcpl Dgol Scudár Espço Algébrco ds Mrzs Iguldd d Mrzs Oprçõs Smércs com Mrzs Proprdds ds Oprçõs Smércs com Mrzs Dfção d Oprçõs Algébrcs com Mrzs Proprdds do Espço d Mrzs Oprçõs Sgulrs com Mrzs Ivrs ds Mrzs Dfção Ivr Oprção d Trço d um Mrz Proprdds do Trço d um Mrz Ivr - Drm d um Mrz Proprdds dos Drms Mrz Ivrs Tpos d Mrzs Mrz Smérc Mrz A-Smérc Mrz Rl Mrz Compl Mrz Imgár Pur Mrz Hrm Mrz A-Hrm

8 3.9.8 Mrz Norml Mrz Orogol Mrz Uár Mrz Iddd Mrz Dgol Mrz Adju Mrz Trspos Mrz Elmr Mrz Complo Cojugdo Mrz Assocd Mrz Idmpo Subdvsão ds Mrzs m Bloco d Mrzs Mors Álgbr dos Comudors Emplos Aplcçõs Ercícos Problms...53 Cpíulo IV...54 ESPAÇO VETORIAL LINEAR Objvos do Cpíulo Irodução Dfção d Espço Vorl...56 I Dfção d Oprção d Adção d Vors...56 II Dfção d Oprção Produo Esclr com Vors...57 III Dfção d Oprção Produo Iro d Vors...57 IV Dfção d Oprção Produo Ero d Vors...58 V Dfção d Oprção Produo Tsorl d Vors Grdors Sub-Espço Vorl Grdors Dpdêc Lr Dpdêc Idpdêc Lr Dmsão d um K-spço vorl Bs d um K-spço Vorl Coroláro Mudç d Bs Trsformçõs d Coordds Espço Eucldo Produo Esclr Orogoldd...69 Torm...70 Prov...70 Torm Dsguldd d Cuch-Schwrz Bss Rcíprocs Obsrvção mpor Bss Oroorms Procsso d Dgolzção d Grm-Schmd Oprdors Lrs Dfção

9 4. 3 Auo-Vlors Auo-Vors Emplos Aplcçõs Ercícos Problms...97 Cpíulo V...98 ESPAÇO TENSORIAL LINEAR Irodução Dfção d Tsors Forms Fucos Lrs Cálculo Tsorl d Fuçõs Aplcção Rds-Nurs Mmács Emplos Aplcçõs Ercícos Problms...04 Cpíulo VI...05 ESPAÇO VETORIAL DE FUNÇÕES Irodução Dfção d Espço Vorl d Fuçõs ou Espço Fucol Lr Equvlêc r o Oprdor Mrcl o Oprdor Fucol o Espço d Fuçõs Noção d Drc Proprdds do Espço d Fuçõs Trsformçõs d Coordds Orogoldd Espço Dul d Fuçõs Oprdors Lrs Mrzs Trsformçõs Lrs Oprdors o Espço d Fuçõs Oprdors Lrs o Espço d Fuçõs Oprdors Auo-vors Auo-vlors o Espço d Fuçõs Mulplcção d Oprdors o Espço d Fuçõs Mudç d Bs pr fuçõs Trsformção d Fuçõs Procsso d Orogolzção d Grm-Schmd Auo-Fuçõs Auo-Vlors Oprdors Hrmos sus uo-vlors Orogoldd ds Auo-fuçõs qu prcm uo-vlors dfrs Espço ds Fuçõs Qudrács L Sr d Fuçõs Orogos Emplos Aplcçõs Ercícos Problms...3 Cpíulo VII...33 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Irodução Fuçõs Prs Ímprs Oprçõs com fuçõs prs ímprs Torm Igrl d fuçõs prs ímprs: Fuçõs Pródcs Torm d Bloch Cálculo m R N Cocvdd Poos Lmírofs

10 Drvds Prcs Emplo Sér d Tlor o R N Fuçõs Implícs Torm d Fução Implc Cso Mulvrdo...43 Aálogo pr dmsõs...45 E. Ssm d Coordds Polrs...47 Solução Torm dos Ermos Problms d Mámo Mímo com Vículo Méodo d Lvbrg-Mrqurd Méodo dos Mulplcdors d Lgrg Emplo Rgr d Drvção d Lbz Emplos Emplos Aplcçõs Ercícos Problms...60 Cpíulo VIII...6 CURVAS SUPERFÍCIES E VOLUMES Irodução Dfrcção d fuçõs sclrs Dfrcção d vors ou fuçõs vors Cálculo do Comprmo d Arco Cálculo d vrção d Fução R o logo d um comprmo d rco Igrl d lh d fuçõs sclrs vors Igrl d lh d fuçõs sclrs Igrl d lh d fuçõs vors Cálculo do Comprmo d Arco Cálculo d Ár Cálculo d Volum Igrl d suprfíc d fuçõs sclrs vors Igrl d suprfícs d fuçõs sclrs Igrl d suprfíc d fuçõs vors Cálculo do Comprmo d Arco Cálculo d Ár Cálculo d Volum Igrl d volum d fuçõs sclrs vors Igrl d volum d fuçõs sclrs Igrl d volum d fuçõs vors Cálculo do Comprmo d Arco Cálculo d Ár Cálculo d Volum Emplos Aplcçõs Ercícos Problms...89 Cpíulo IX...90 TEORIA DO CAMPO ESCALAR E VETORIAL E TENSORIAL DE FUNÇÕES Irodução Grd d um Cmpo Esclr Vorl...9 0

11 9.3. Aáls Irprção do Vor Grd Drvd Drcol Irprção do Grd Vor orml um poo sobr um suprfíc Dvrg d um Cmpo Vorl Tsorl Irprção do Dvrg Rocol d um Cmpo Vorl Tsorl Torm d Dvrgêc ou d Guss Em D Aplcção Iddds d Gr Torm d Soks Torm d Gr Cmpos Irrocos Torm Equvls Emplos Aplcçõs Ercícos Problms...5 Cpíulo X...6 SEQUÊNCIAS SÉRIES DE FUNÇÕES E SUAS TRANSFORMADAS Irodução Dfção d Sqüêcs Sérs Trsformds d Fuçõs Sqüêc Sérd Trsformds d Fuçõs Orogos Squêc d Fuçõs Orogos Sr d Fuçõs Orogos Trsformd d Fuçõs Orogos Sér Trsformd d Poêc Sér Trsformd d Lplc Sér Trsformd d Guss Sér Trsformd d Fourr Sér d Fourr Igrl d Fourr Trsformd d Fourr Proprdds d Trsformd d Fourr Emplos Aplcçõs Emplo Emplo...33 Solução Emplo Emplo Emplos Aplcçõs Ercícos Problms...4 Cpíulo XI...43 INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Objvos do Cpíulo Irodução Equçõs Dfrcs Dfção Clssfcção Dfção d Equçõs Dfrcs Clssfcção ds Equçõs Dfrcs Proprdds ds Equçõs Dfrcs...49

12 .4. Esêc Ucdd ds Soluçõs Emplos O Problm d Vlor Icl Emplos Aplcçõs Ercícos Problms...54 Cpíulo XII...55 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES Irodução Equçõs Dfrcs Ordárs Lrs Emplos Proprdds ds Equçõs Dfrcs Ordárs Lrs Homogês Torm Equçõs Dfrcs Lrs com Cofcs Coss Vrávs Equçõs Dfrcs Homogês com Cofc Coss Modolog d Solução ds Equçõs Dfrcs Homogês com Cofc Coss Solução d lgums ds Equçõs Dfrcs Elmrs Solução Grl Solução Prculr Torm Esrégco Equção Dfrcl prr d Solução Grl Torm Esrégco Equçõs Dfrcs Homogês com Cofc VrávsErro! Idcdor ão dfdo..6. Modolog d Solução ds Equçõs Dfrcs Homogês com Cofc Vrávs Problms qu surgm E.D.O. Lrs d ª Ordm Problm Gomérco Problm Químco Problms Físcos Algums Impors Equçõs Dfrcs Ordárs d ª Ordm O Movmo Hrmôco Smpls MHS...90 Solução MHS com Movmo Vrcl Oscldor Hrmôco Forçdo O Movmo d um Pêdulo Smpls Crcuo Elérco RLC Méodo ds Fuçõs d Gr Equçõs d Surm-Louvll Torm Prov...3 Torm Méodo d Tlor Equção Dfrcl d Eulr Méodo d Frobëüs Torm d Fucks Equçõs Polômos Fuçõs Espcs qu são Soluçõs d Equçõs Dfrcs Fução d Hprgomérc Equçõs Polômos Fuçõs d Lgrg Equçõs Polômos Fuçõs d Lgdr Equçõs Polômos Fuçõs d Lgurr...36

13 Equçõs Polômos Fuçõs d Hrm Equçõs Polômos Fuçõs d Guss Equçõs Polômos Fuçõs d Lplc Equçõs Polômos Fuçõs d Bssl Fórmul d Rodrgus pr Fução d Bssl Fórmul Igrl pr Fução d Bssl Emplos Aplcçõs Ercícos Problms Cpíulo XIII...34 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES Irodução Dfção d Ssm d Equçõs Dfrcs Ordárs Lrs Aplcção do Problm d Auo-Vlor Solução d Ssms d Equçõs Dfrcs O Pêdulo Smpls O Modlo d Lok-Volrr O Ssm d Msss Mols Acoplds Mrzs Smércs A T = A Torm Prov: Solução d Auo-Vlors d Equçõs Dfrcs Não-Homogês Dgolzção Torm...36 Prov Emplo: Céc Químc Emplo: Ssm Mcâco Forms Qudrács Emplo: Dfção Torm Emplo 4 Flmbgm Emplo Aplcçõs Ercícos Problms...37 Cpíulo XIV EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS NÃO-LINEARES Irodução Equçõs Dfrcs Não-Lrs Equçõs Dfrcs Ordárs Lrs d ª Ordm Cso Cso Cso Cso Equçõs Dfrcs Lrs d ª Ordm Emplos Aplcçõs Ercícos Problms Cpíulo XV SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

14 ORDINÁRIAS NÃO-LINEARES Irodução Ssm d Equçõs Dfrcs Ordárs Não-Lrs Emplos Aplcçõs Ercícos Problms Cpíulo XVI...39 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES Objvos do Cpíulo Irodução Equçõs Dfrcs Prcs Comáros sobr o Méodo d Sprção d Vrávs Emplo Equção d Dfusão Cso D Cso D 3D Emplo Emplo Equção d Od Cso D Emplo...40 Cso D 3D...4 Solução d D Almbr Emplos Aplcçõs...45 Solução:...45 Emplo Ercícos Problms...46 Cpíulo XVII...47 SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES Objvos do Cpíulo Irodução Ssm d Equçõs Dfrcs Prcs Lrs Emplos Aplcçõs Ercícos Problms...40 Cpíulo XVIII...4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO-LINEARES Objvos do Cpíulo Irodução Equçõs Dfrcs Prcs Não-Lrs Emplos Aplcçõs Ercícos Problms...44 Cpíulo XIX...45 SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO-LINEARES Objvos do Cpíulo Irodução Ssm d Equçõs Dfrcs Prcs Não-Lrs Emplos Aplcçõs Ercícos Problms...48 Cpíulo XX

15 TEORIA GERAL DAS DISTRIBUIÇÕES Objvos do Cpíulo Irodução Tor Grl ds Dsrbuçõs Emplos Aplcçõs Ercícos Problms...43 Rfrêcs Bblográfcs Apêdcs A. Esudo d Somóros A. Esudo d Produóros A. 3 Esudo d Rlção r Somóros Produóros Aos A. Tíulo do su prmro Ao

16 Ls d Fgurs Fgur Fgur Fgur Fgur Fgur Fgur Fgur Fgur Fgur Fgur Fgur Fgur Fgur Rgão B do volum volvdo por um suprfíc S rvssdo por um cmpo d mprurs u...9 Fgur Fgur Fgur Fgur z f m um ssm d coordds crss Fgur Suprfíc Fgur Rgão B do volum volvdo por um suprfíc S rvssdo por um cmpo d vlocdds v Fgur Fgur Fgur Fgur Fgur Fgur Fgur Fgur Fgur -..Problm d um vg b-pod flod sobr su própro pso...45 Fgur Fgur Oscldor Hrmôco smpls...9 Fgur Fgur Erro! Idcdor ão dfdo. Fgur Fgur Fgur Fgur Fgur Fgur Erro! Idcdor ão dfdo. Fgur Fgur Fgur Fgur

17 Fgur Fgur Fgur Fgur

18 Ls d Tbls 8

19 Ls d Sgls 9

20 Ls d Símbolos 0

21 Rsumo

22 Absrc

23 3

24 Cpíulo I INTRODUÇÃO. Aprsção do curso A mmác é um cêc brg pod sr ufcd m um vsão sruurd dpddo d su ulzção m ours árs d cêc. Os cpíulos ds o sgum sqüêc ms cov pr o sudo dos ópcos mpors pr um curso d mmác voldo pr plcçõs m Físc Eghr. El corrspod um curso d Álgbr Lr Gomr Alíc Cálculo Equçõs Dfrcs pr sr ulzdo m Físc m Eghr d um form grl. El é rsuldo ds oçõs d uls d várs dscpls d mmác como por mplo dquls d um curso d Bchrldo m Físc rlzdo o Isuo d Físc d São Crlos d Uvrsdd d São Pulo dur o príodo d Er ours oçõs d uls cosm mbém quls d um curso d Pós-Grdução m Méodos Numércos pr Eghr rlzdo Uvrsdd Fdrl do Prá dur o príodo d O curso d Álgbr Lr volv vors mrzs sors fuçõs. Ess bordgs são somorfs podrm sr cluíds m um úc Tor d Grupos Mmácos pr suds ms vçdos sobr o ssuo ssm como o cálculo mbém podr volvr o sudo grl d Cálculo d Vrdds Mmács. Por ouro ldo ós prsmos qu cd cpíulo o dsvolvmo ssmáco d cd pr d álgbr lr com sus cosqüs grlzçõs como um form d produzr fção dos cocos cd vz qu ls são rulzdos m um ssmzção mmác ms brg prdo d álgbr do clculo vorl é álgbr o clculo d sors. 4

25 . Irodução Álgbr Tor d Grupos Algébrcos Um álgbr é dfd prr d um oprção fudml d proprdds báscs cocrs s oprção dro d um cojuo prvm spuldo coform mosr-s bo: Usrmos oção d Drc pr os lmos do spço lgébrco qu o osso cso o pod sr vors como fuçõs. : k vor ou fução. No cso do bsro chmdo k for um vor chmrmos d Espço Vorl o cso d sr um fução chmrmos d Espço Fucol. Sj E um cojuo d k s sj K um cmpo d sclrs do spço lgébrco lr od sá dfd um oprção d dção ou sj E é dvo so é s um oprção E E E l qu: E E E. Ssfzdo os sgus oms fudms: um lmo smérco E / 0 E. 3 Dfção do produo ro do spço lgébrco E E E E E T E. 4 E E T K od * é o complo cojugdo d pr vors formdos por úmros complos o cso prculr pr úmros rs mos * com qulqur um dos lmos d E. um lmo uro d oprção fudml 0 E / E. 5 5

26 0 0 0 E v um lmo vrso um lmo uáro E / E. 6 Dz-s ão qu E é um K-spço vorl m rlção sss oprçõs s s sgus codçõs svrm ssfs m qu sj dfd um oprção r os lmos d K os lmos d E chmd d mulplcção por um sclr K E E. 7 O spço vorl é chmdo d complo ou rl dpddo s os sclrs são só úmros complos ou só úmros rs. 6

27 Cpíulo II SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES RESUMO Ns cpíulo srá vso orgm d problmác d um ssm d quçõs os méodos d solução ms mpors. Vrmos sus crcríscs prcps proprdds. Esrmos rssdos o fl ds o m ulzr os cohcmos dqurdos s cpíulo rsolução d um ssm d quçõs dfrcs. No fl roduzrmos o coco d mrzs qu srá d pr um bordgm ms compl o cpíulo sgu.. Irodução Um ssm lgébrco sc como um são url d um qução lgébrc od o úmro d vrávs volvds crsc d um pr dos rês c. Ns sdo sc mbém o coco uvo d mrzs qu srá vso o cpíulo sgu. A mr d s sudr os ssms lgébrcos pod sr fo d dvrss forms. Pod-s dfr clm o qu sj um mrz d úmros srr s coco dro do ssm d quçõs ou pod-s comçr com oção d ssm d quçõs rr o coco d mrz. Nós oprmos pl sgud form por chrmos ms uvo sguro pr o prdzdo m lh scd d rcocío dfculdd sm dá pulos m quds lh d rcocío lógco. 7

28 8. Dfção d um Ssm d Equçõs Df-s um ssm lgébrco d quçõs como sdo o cojuo d quçõs com várs vrávs do po: m m m m m m b b b... : O qul pod sr colocdo form d mrz como: m m m m b b b : :.. : : : :.....

29 . 3 Emplos Aplcçõs 9

30 . 4 Ercícos Problms 30

31 Cpíulo III MATRIZES RESUMO Ns cpíulo vrmos or lmr d mrzs su plcção álgbr lr m problms prácos qu volvm ssms d quçõs lrs. Vrmos proprdds os pos d mrzs os orms fudms d álgbr ds mrzs. 3. Irodução O coco d mrz pod sr rído d várs forms: prr d ssms d quçõs ou prr d um são d vors sob o poo d vs do sudo gérco d sors. No qu dz rspo s cpíulo ão rss muo qul é su orgm o qu os mpor é cohcr sus oprçõs proprdds fudms pr dí sr ulzdos m sudos posrors. 3

32 3. Dfção d um Mrz A rprsção mrcl d úmros ou oprçõs dcorr d ssms lgébrcos múlpls oprçõs lrs. Um mrz é um cojuo d úmros ddos m lhs colus dsposos m um bl rgulr d sgu form: A = : : : :.... :.... m m : : m m 3. As mrzs são usds pr rprsr múlpls oprçõs lrs d álgbr. O rrjo horzol do po d mrz A chmmos d lh.. j j d A o rrjo vrcl como chmmos d colus d A. Os lmos j são os : j lmos d mrz qu ocorrm ésm lh j ésm colu smulm. A dmsão d mrz é dd por m od é o úmro d lhs d mrz m é o úmro d colus. Qudo = m dzmos qu mrz é qudrd ou sj: Mrz A = : :.... :.. : 3. s é dfr d m m dzmos qu mrz é rgulr. D um modo grl um mrz gu A do po m od os lmos sgu mr: j podm sr rprsdos d 3

33 Mrz A = : : : :.... :.... m m : : m m Mrz Lh A prr ds úlms dus dfçõs podmos r: Chmmos d mrz lh um mrz qu possu ps um úc lh. Ns cso m =. Mrz Lh A = Mrz Colu Ns cso =. Chmmos d mrz colu um mrz qu possu ps um úc colu. Mrz Colu A = : j j j 3. 5 A oprção qu rsform um lh k qulqur d um mrz m um colu corrspod o msmo ídc d lh k chm-s rsposção. Logo mrz rspos d A ou sj A T é dd por: A T : :.... :.. :

34 Dgol Prcpl Chmmos d dgol prcpl d um mrz A qulqur o cojuo orddo d lmos d mrz A cujos ídcs são gus os ídcs j ou sj: Dgol Prcpl d A = Od j = 3... ou sj: { j A/ = j = Vmos poro qu oprção d rsposção plcd um mrz A qulqur ão lr os lmos d dgol prcpl d mrz rspos m rlção mrz orgl. Pr dfção d um dgol prcpl mrz m d sr qudrd Dgol Scudár Chmmos d dgol scudár o cojuo orddo d lmos cuj som dos ídcs + j = + ou sj: Dgol Scudár d A = od j = 3... Pr mrzs formds por úmros complos podmos dfr um oprção com mrzs chmd d cojugção rprsd plo símbolo srsco od vl rlção A* = -A pr úmro complos puros fcdo o cso prculr A* = A pr os úmro rs. complo cojugdo d um úmro 34

35 3. 3 Espço Algébrco ds Mrzs Dfmos o spço Km o spço d od mrz do po m. Sj A um mrz qulqur com lmos do po A j od os ídcs j rprsm s lhs s colus rspcvm od s cor o lmo o rrjo mrcl Iguldd d Mrzs Dds dus mrzs A B K m dzmos qu A = B s som odo lmo d ésm lh d j ésm colu d A for corrspodm gul o lmo d ésm lh d j ésm colu d B ou sj: A = B j = b j

36 3. 4 Oprçõs Smércs com Mrzs Chmmos d oprçõs smércs m mrzs s oprçõs cuj vrs é própr oprção plcd clm um mrz. Sj A um mrz qulqur com lmos do po A j od os ídcs j rprsm s lhs s colus rspcvm od s cor o lmo o rrjo mrcl. Oprção d Trsposção Oprção d Cojugção A T Mrz Trspos A j T = A j 3. A* Mrz Compl Cojugd A j * = A* j 3. Ns oprção roc-s os úmros mgáros puros dos lmos d mrz d por Sdo o complo cojugdo d um úmro Rl gul o própro úmro * R 3 Oprção d Adjução A + Mrz Adju A j + = A* j 3. 3 Es oprção é oprçào compos pl cojugção rsposção. Prov-s qu: D sgu form: 4 Oprção d Prdd ou Rflão 5 Oprção d Ivrsão A T * = A* T 3. 4 A j T * = A j *= A* j 3. 5 A j * T = A* j T = A* j 3. 6 A Mrz Imgm d A A j = -A j 3. 7 A - Mrz Ivrs d A A j - A - j A oprção d vrsão so vl pr mrzs ão-sgulrs qudrds. E A j - = A - j som pr mrzs dgos. 36

37 3. 5 Proprdds ds Oprçõs Smércs com Mrzs 37

38 3. 6 Dfção d Oprçõs Algébrcs com Mrzs Sjm A B dus mrzs prc K m l qu: Oprção d Adção Sjm dus Mrzs A B K m df-s oprção d Adção d Mrzs como sdo dd por um mrz S K m l qu: ou m oção dcl como: S = A + B = A + B 3. 9 S j =A B Aj Bj 3. 0 j Oprção d Produo Esclr d Mrzs Sjm dus Mrzs A B df-s oprção d Produo Esclr d Mrzs como: ou m oção dcl como: A.B = A.B 3. j j l lj A. B A B 3. Oprção d Produo Dádco d Mrzs Sjm dus Mrzs A B df-s um Produo Dádco d Mrzs oprção: ou m oção dcl como: AB = AB 3. 3 AB j A j B j B j A j BA j 3. 4 v Mulplcção por um sclr Sj um Mrz A df-s oprção d mulplcção d um sclr por um Mrz como: ou m oção dcl como: A =.A 3. 5 A j A j 38

39 3. 7 Proprdds do Espço d Mrzs As oprçõs com mrzs drmm um spço vorl lr pos ssfzm o cojuo d codçõs sblcds por um spço vorl. O spço d mrzs ssfz s sgus proprdds lgébrcs pr od Mrz AB K m : Comuv Prov Assocv Prov A + B = B + A 3. 7 A B Aj Bj Bj Aj B A j 3. 8 j A + B + C = A + B + C 3. 9 A j B C Aj Bj Cj A B Cj j j um mrz 0 E Mrzs / Prov v um mrz -A E Mrzs / Prov v Dsrbuv do sclr v Dsrbuv d Mrz com sclr 39 A + 0 = A A E Mrzs 3. 3 A Aj 0 Aj j A + -A = 0 A E Mrzs j j A A 0 j A A j A + B = A + B A B Aj Bj Aj Bj j

40 + A = A + A Prov v Dsrbuv d Mrz com Mrz Aj Aj Aj AB + C F = ABF + ACF Prov A A j j B Cj Fj Aj Bj Cj Fj Bj Fj Cj Fj Aj Bj Fj Aj Cj Fj v Assocv do produo d mrzs Prov A. B.C = A.B.C = A.B.C 3. 4 AB j C j A l B lk C j A l B lk C kj A l B lk C kj A l BC lj 3. 4 Trsposção do produo d mrzs Prov j j A.B = B.A T = B T.A T A B B A B. A B A T A. B Trsposo d mulplcçõs sucssvs vl: l lj jl l j ABCD...Z = Z DCBA T = Z T... D T C T A T j j j 40

41 3. 8 Oprçõs Sgulrs com Mrzs Ivrs ds Mrzs Dfção Chmmos d Oprçõs Sgulrs d mrzs s oprçõs s qus só podm sr dfds pr rprsção mrcl d qudds Ivr Oprção d Trço d um Mrz O rço d um mrz é dfdo como r[ A ] A A Od é ordm d mrz. A A j : :.... :.. : Com s sgus proprdds Proprdds do Trço d um Mrz O rço d som é gul som dos rços Prov r[ A B] r[ A] r[ B] r [ A B] A B r[ A] r[ B] j j j j O produo d um sclr plo rço d um mrz é gul o rço d mrz mulplcd plo sclr Prov r[ A B] r[ A] r[ B]

42 r [ A B] A B r[ A] r[ B] 3. 5 j j j O rço d AB é gul o rço d BA Prov j r[ AB] r[ BA] r [ AB] A B B A r[ BA] v O rço d um mrz é gul o rço d mrz rspos Prov kk kk j T A] r[ r [ A] T T A r[ r [ A] A A] Ivr - Drm d um Mrz Dfção: Drm d um mrz d ordm é som lgébrc d odos os produos dfrs obdos com os lmos d um mrz qudrd d modo qu cd produo h um lmo d cd lh d cd colu fdo do sl posvo ou gvo coform sus lmos prcrm prmução pr ou ímpr. vrs d A. A cd mrz ssocmos um drm A ou O drm d um mrz é dfdo como: Coform o squm bo: j d[ Amor ] j j d A qu é um dos d[ A ]

43 A A j : :.... : : usdo própr dfção d drm do mor d mrz A d[a mor ] rvm pr s mrzs mors mos: Ou rdo sucssvm mos: j j d[ Amor ] j j j d[ A ] j j j... j j j j d[ A ] j S um mrz é qudrd A é um úmro qulqur clusv zro. S mrz é rgulr A é smpr ulo. S o drm d mrz A é ulo A =0 mrz é chmd sgulr. Sj um mrz d lhs colus. Formdo os drms d ods s mrs possívs omdo... lhs colus d mrz d ods s mrs possívs s plo mos um drm d ordm r é dfr d zro s ods os drms d ordm supror são ulos mrz é d grdução r. S mrz for d ordm sgulr r <. S Não for sgulr r = Proprdds dos Drms d[ AB] d[ A]d[ B] d[ BA]

44 d[ A d[ A A] d[ A ] d[ A] ]d[ A] d[ I] v v Mrz Ivrs Df-s um Mrz Ivrs d A qul Mrz cujo produo rsul Mrz ddd: A A I Od I j : : : : od A mrz vrs pod sr clculd prr d mrz A como sdo: pr = 3... j = T CoforA j A d A j j CoforA.d[ A] mor

45 45 j CoforA : : :.. : Subsudo m mos: j j j j j j j j CoforA Subsudo m mos: j j j j j j j j j j j j j j j A 3. 7 Obsrv qu o drm é som d odos os produos possívs r dos lmos d mrz.

46 3. 9 Tpos d Mrzs As mrzs são orgárs d problms mmácos prssos m rmos d ssm lgébrco d quçõs ou podm sr surgr prr d dscrção d cmpos sors. Dpddo do po d problm s org prr do su ssm d quçõs um mrz crcrísc dss problm como s mrzs d Mrkov por mplo cuj som d sus lh colus smpr gul udd. Proprdds spcífcs como ss são rsposávs pl dfção d dfrs pos d mrzs coform vrmos bo: 3.9. Mrz Smérc Um mrz é d smérc s: T A A Mrz A-Smérc Por ouro ldo um mrz é d -smérc s: T A A Mrz Rl Ns cso: Um mrz é d sr Rl s os úmros qu formm ss mrz form rs. A* A Mrz Compl complos. Ns cso: Um mrz é d sr Compl s os úmros qu formm ss mrz form A* A

47 3.9.5 Mrz Imgár Pur Por ouro ldo um Mrz é d s mgár pur s: A* A Mrz Hrm Um mrz é d sr Hrm s: T A A Mrz A-Hrm Por ouro ldo um mrz é d sr -hm s: T A A Mrz Norml Um mrz é d sr orml s: Mrz Orogol Um mrz é d sr Orogol s: A T A Mrz Uár Um mrz é d sr uár s: A T A

48 3.9. Mrz Iddd Um mrz é d sr ddd s: [A] j j 3.9. Mrz Dgol Um mrz é d sr dgol s: A j Mrz Adju Um mrz é d sr dju: dj T j A CoforA Mrz Trspos Um mrz é d sr rspos: T T A A A j j Mrz Elmr Um mrz é d sr Elmr s: Ej k jk Mrz Complo Cojugdo Um mrz é d sr complo cojugdo sr:

49 3.9.7 Mrz Assocd Um mrz é d sr ssocd s: Mrz Idmpo Um mrz é d sr dmpo s: A A

50 3. 0 Subdvsão ds Mrzs m Bloco d Mrzs Mors Algums vzs é cssáro subdvdr mrzs m submrzs ou blocos d l form smplfcr crs rlçõs lgébrcs d rblho. Como mpor mplo s ós subdvmrmos s mrzs A B d sgu form: A A A A A 3. 9 E b b b b b b b b b b B b b b b b b b b b b b b b b b B B B B 3. 9 Eão A B m form d mrzs blocos cujos lmos Aj Bj são ls msmos mrzs. Nós podmos fclm vr qu o corro produo AB rsul s s mrzs blocos são mulplcdos d cordo com s rgrs usus do produo d mrzs ou sj: A A B B A B A B A B A B AB A A B B A B A B A B A B Obsrv qu odos os produos mrcs úlm mrz fzm sdo. Iso srá vrdd s dvsão orgl d colus prmr mrz é msm qu dvsão d lhs d sgud mrz. Eão vmos qu dvsão cm ão é dqud pr rblhr o produo d BA m rmos do bloco d mrzs. Es um subdvsão dfr d B qul prmrá rblhr mbos os produos AB BA?. 50

51 3. Álgbr dos Comudors Df-s como comudor sgu oprção r dos qusqur oprdors lrs A B. [ A B] AB BA com s oção s sgus rgrs lmrs são ssfs. Prov: [ A B] [ B A] Prov: [ A A] Prov: [ A B C] [ A B] [ A C] Prov: [ A B C] [ A C] [ B C] Prov: [ A BC] [ A B] C B[ A C]

52 6 [ AB C] [ A C] B A[ B C] Prov: 7 [ A[ B C]] [ C[ A B]] [ B[ C A]] 3. 0 Prov: 8 [[A B]C] [[CA]B] [[BC]A] 3. 0 Prov: 9 [ A B ] B [ A B] Prov: 5

53 3. Emplos Aplcçõs 53

54 3. 3 Ercícos Problms 54

55 Cpíulo IV ESPAÇO VETORIAL LINEAR RESUMO Ns cpíulo srá vso dfção d spço vorl lr sus proprdds o coco d bs d vors rsformção d coordds bs rcíproc bs oroorml gulos d Eulr. Aprsrmos mbém o problm d uo-vlors uovors. 4. Objvos do Cpíulo 4. Irodução Um vor pod sr rprsdo lgbrcm por um mrz lh ou por um mrz colu. Ou 4. v v v3... v v v... v 55

56 v v 4. : v 56

57 4. 3 Dfção d Espço Vorl Sj E um cojuo d vors sj K um corpo d sclrs od sá dfd um oprção d dção: od * w E E w E T w E E w K 4. 3 é o complo cojugdo d pr vors formdos por úmros complos o * com qulqur um dos lmos d E cso prculr pr úmros rs mos qu sj dfd um oprção r os lmos d K os lmos d E chmd d mulplcção por um sclr w K E E 4. 4 Dz-s ão qu E é um K-spço vorl m rlção sss oprçõs s s sgus codçõs svrm ssfs. I Dfção d Oprção d Adção d Vors w E E w E pr ss oprção são dfds s sgus proprdds I. Comuv w w E I. Assocv w u w u u w E 4. 7 I. Elmo Nuro d dção um vor 0 E / 0 E 4. 8 I.v Elmo Smérco um vor - E / 0 E

58 II Dfção d Oprção Produo Esclr com Vors w K E E 4. 0 pr ss oprção são dfds s sgus proprdds: II. Comuv do Esclr 4. II. Assocv d Esclr com Esclr E 4. II. Elmo Nuro do Esclr 4. 3 II.v Dsrbuv do Esclr w w w E 4. 4 II.v Dsrbuv do Vor com Esclr E 4. 5 II.v Elmo Nulo do Esclr III Dfção d Oprção Produo Iro d Vors T w E E w K 4. 7 pr ss oprção são dfds s sgus proprdds III. Comuv do produo w w E III. Assocv do Produo d Vors u. w u w.?? III. Elmo Nuro do Produo 58

59 um vor E /.. E 4. 0 III.v Elmo Ivrso um vor III.v Elmo Nulo v E /. E 4. um vor 0 E / E 4. III.v Trsposção do produo d vors AB = BA T = B T A T 4. 3 III.v Trsposo d mulplcçõs sucssvs vl: ABCD...Z = Z DCBA T = Z T... D T C T A T 4. 4 O spço vorl é chmdo d complo ou rl dpddo s os sclrs são só úmros complos ou só úmros rs. IV Dfção d Oprção Produo Ero d Vors w E E ww E pr ss oprção são dfds s sgus proprdds IV. Acomuv w w IV. Assocv 4. 7 IV. Elmo Nuro

60 IV. Elmo Nulo V Dfção d Oprção Produo Tsorl d Vors w E E ww E

61 4. 4 Grdors Sub-Espço Vorl Aqu ós crmos um sqüêc d dés srm rlcods; s como grdors dpdêc lr bs psão dmsão. Os cocos s dfçõs os orms são váldos pr qulqur spço vorl ms ossos mplos lusrvos são rsros o spço -dmsol R sdo s o cso d mor rss os cpíulos Grdors S u u... são vors m um spço vorl S ão sér d ods s combçõs lrs dss vors so é odos os vors ddo pl sgu form: u u u 3u3... u 4. 3 od... são sclrs é chmdo d grdors d u u u3... u dodo como grdors d u u u3... u. A sér u u u3... u é chmd d sér grrz dos grdors u u u... 3 u. 6

62 4. 5 Dpdêc Lr A dfção d dpdêc ou dpdêc lr d um sér d vors é ssclm dêc dfção d dpdêc ou dpdêc lr d fuçõs som com plvr fuçõs mudd pr vors Dpdêc Idpdêc Lr Dfção: Um sér d vors v v... v é d sr lrm dpd s o mímo um dls pudr sr prsso como combção lr dos ouros. S hum dos vors pudr sr ssm prsso ão sér é d sr lrm dpd. Torm Ts pr Dpdêc/Idpdêc Lr: Sj E um K-spço vorl. Dz-s qu um sér f d vors v v... v E lrm dpd L.D. sobr K s som s srm sclrs... K ão odos ulos s qu:... 0 v v 3v3 v 4. 3 Obsrv-s qu ss rlção é smpr váld s os s pr = 3... são odos gus zro. S ss cso odos os s são ulos ão dz-s qu sér d vors é lrm dpd L.I.. Prov: 6

63 Dmsão d um K-spço vorl. Dz-s qu um K-spço vorl m dmsão s s ssfzr os pcpos báscos: Esm um réplc d vors lrm dpds prcpo d orogoldd. + vors do cojuo cm são smpr lrm dpds prcípo d complz. 63

64 4. 6 Bs d um K-spço Vorl Qulqur cojuo d -vors lrm dpds r s ssfzdo s codçõs cm form um bs pr o K-spço vorl d dmsão Coroláro vors d bs. Qulqur vor do spço pod sr rprsdo como combção lr dos Supohmos um cojuo d vors ˆ ˆ... ˆ E lrm dpds formdo um bs pr o spço vorl E d dmsão. Logo podmos prssr qulqur vor v do spço m rmos dos vors ds bs ê v ˆ ˆ 3ˆ 3... ˆ Chmmos upl... d coordds do vor v bs ê v ˆ k Supohmos d ouro cojuo d vors lrm dpds ˆ ' ˆ'... ˆ' E formdo our bs pr o spço vorl E. Logo ovm o vor v do spço E mbém pod sr prsso m rmos d bs v ' ˆ' ' ˆ' ' 3 ˆ' 3... ' ˆ' ' ˆ d sgu form: ' ˆ j Novm upl ' '... ' são s coordds do vor v bs A prr do Coroláro pod-s coclur qu mbém os vors d bs ' ˆ j podm sr prssos m rmos d bs ê. bs ou ssm d coordds 64

65 4.6. Mudç d Bs D form grl os vors d bs ' ˆ j prssm-s m rmos dos vors d bs ê d sgu form: ˆ ˆ ' j ˆ' ˆ' ˆ' : ˆ' 3 ˆ 3 ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 3 ˆ 3 3 ˆ ˆ 3 ˆ ˆ ˆ Escrvdo m rmos d somóro mos: ˆ' j k kj ˆ k j Os cofcs kj formm os lmos d mrz d rsformção d coordds d bs ê pr bs ' ˆ. Normlm s rprs mrz formd plos lmos kj d sgu form: j γ [ kj ] vr Tor d Mrzs É clro qu podmos fzr m o oposo ou sj prssr os vors d bs ˆ m rmos d bs ˆ'. Poro ˆ ' j ˆ j ˆ ˆ ˆ : ˆ 3 ˆ' 3 ˆ' ˆ' ˆ' ˆ' 3 ˆ' ˆ' ˆ' ˆ' ˆ'... 3 ˆ' 3 ˆ' ˆ' 3 ˆ' ˆ' ˆ' Escrvdo m rmos d somóro mos: 65

66 ˆ rˆ' r 3... r Novm os cofcs r formm os lmos d mrz d rsformção d coordds d bs ' ˆ pr bs ê. D msm form s rprs mrz formd plos lmos r d sgu form: j β [ r vr Tor d Mrzs dfção d Mrz Ivrs ] 4. 4 Pr s corr rlção r s mrzs γ β dvmos scrvr prssão d sgu form: ˆ r rˆ' r r krˆ k 4. 4 r k como o r ão possu ídcs clusos somór m k podmos pssá-lo pr dro ds somóro sm lrr o rsuldo sm hum problm. ˆ r rˆ' r r krˆ k r k Agor podmos rocr ordm d somóro ão rmos: ˆ r rˆ' r r kr ˆ k k r Vmos qu pr os vlors d ê ê k cocdrm fm d qu guldd cm sj váld é prcso qu sj gul k logo: r s k r kr s k qu corrspod o Dl d Kröckr com k Logo 66

67 r kr r k Poro ˆ kˆ k k

68 4.6.3 Trsformçõs d Coordds Cosdrrmos gor um vor v prsso m rmos dos vors d dus bss ˆ ˆ ' d sgu form: j ' j v ˆ v ' ˆ ' Subsudo prssão m mos: v ˆ ˆ r ' r r Como ão possu ídcs clusos somór r podmos pssá-lo pr dro ds somór sm lrr o rsuldo fl. v ˆ ˆ r ' r r 4. 5 Agor podmos rocr ordm d somórs qu ão lr o rsuldo: v ˆ ' r r r 4. 5 Agor comprdo o rsuldo com podmos coclur qu fzdo j = r mos: ' j j 68

69 b ' j D msm form podmos fzr subsudo prssão m : v ' ˆ' ' ˆ j j j kk j j r Como ão possu ídcs clusos somór r podmos pssá-lo pr dro ds somór sm lrr o rsuldo fl. v ' ˆ ' ' ˆ j j j kj k j j k Agor podmos rocr ordm d somórs qu ão lr o rsuldo: v ' ˆ k j j kj r Agor comprdo o rsuldo com podmos coclur qu fzdo = k mos: ' j j j Comprdo com com vmos qu s coordds ou compos j rsformm-s dfrm dos vors d bs ˆ ' j d msm form vmos qu s coordds ou compos rsformm-s dfrm dos vors d bs ˆ. Compos qu s rsformm como j ou são chmds d compos corvrs do vor v m rlção os vors d bs ˆ ˆ ' j rspcvm. 69

70 4. 7 Espço Eucldo Vmos dfr qu mpors oçõs d produo ro produo sclr d orogoldd 4.7. Produo Esclr Sj E um spço vorl rl. Sjm lmos d E. Chm-s produo sclr ou produo ro d por qulqur fução dfd m E E com vlors m ssfzdo s sgus proprdds: P P P3 P z z z z E E s som s Um spço vorl rl E od sá dfdo um produo sclr é chmdo ëspço ucldo rl Orogoldd símbolos Obs: Dfção: Em um spço ucldo rl drmos qu é orogol m s som s

71 Torm. Os vors v v... v m s qu: b v 0... m v v 0 pr j j São lrm dpds. Do d ouro modo: os vors ão ulos v v... v m dos dos orogos são smpr lrm dpds. Prov Torm. 7

72 4.7.3 Dsguldd d Cuch-Schwrz 7

73 4. 8 Bss Rcíprocs Vmos gor roduzr um coco básco por mo do qul o problm d drmr lcm os cofcs compos d psão d um vor rbráro v m rmos d um bs ê m um solução smpls lg. Tr-s do coco d bs rcíproc d um bs dd. Dus bss 3 Es codção mplc dzr qu 3 são rcíprocs s: k k é prpdculr 3 c c. Além dsso d d dfção d produo sclr sgu-s qu: k k..cos k Dí cocluímos qu cos 0 k = 3... qu poro É fácl cosrur plcm bs rcíproc como k dv sr prpdculr 3 coclu mos qu 3 3 d bs 3. Com fo m pl dfção d produo vorl. Mulplcdo sclrm por usdo vm: D od rmos m 3 mv m 4. 7 v 73

74 v Ms v 0 porqu 3 é bs. Lvdo m obmos: v 3 Ou E d modo álogo mos: v 3 E v 3 Do msmo modo bs rcíproc d j k j k v' 3 é: Od j k ~ prmuçõs cíclcs d 3. Vê-s ssm qu rlção rcíproc d... é smérc: A frmção rcíproc d j mplc qu j é rcíproc d. A cd bs sá ssocd d modo úco bs rcíproc s. Els são smulm ulzds dfção ds compos d um vor como vrmos m sgud Obsrvção mpor No cso d bss oroorms vê-s fclm qu bs cocd com su rcíproc: rcíproc d ˆ ˆ j kˆ é m ˆ ˆ j kˆ ou ão: é 74

75 k ˆ ˆ k k = Como vv ' Mosr! ão dvmos r smulm ou v > 0 v < 0 bss ords posvm ou v < 0 v < 0 bss ords gvm Vjmos gor como o problm d drmção dos cofcs d psão d um vor um dd bs s rsolv ulzdo bs rcíproc. Sj v um vor sj 3 um bs. Rprsmos v por mo d sgu prssão: v v v 3 v 3 v k k

76 4. 9 Bss Oroorms Vmos gor sudr s bss oroorms qu cosum um cso prculr ds bss d vors ms d grd uldd prác. Supohmos qu bs scolhd pr rprsr os vors do spço sj oroorml so é bs ˆ ˆ... ˆ E ssfz: ˆ.ˆ 4. 8 j j Como sbmos s bss oroorms são uo-rcíprocs so é cocdm com bs rcíproc 76

77 4. 0 Sjm dos ssms d coordds dscros plos vors udds qu rlção r ls sj: ê ' ˆ k ˆ A ˆ k k k 77

78 4. Procsso d Dgolzção d Grm-Schmd Sjm f f... f vors lrm dpds formdo um bs pr um spço vorl d dmsão. Cosdr qu os âgulos formdos plos vors r s são dfrs d 90º grus ou sj s bs ão é orogol. Fgur Qurmos corr os vors f j qu orogolzm s bs ou sj Fgur f T j. f // Sbmos pl dfção d produo sclr d dos vors qu: f T j f f cos f j od é o âgulo formdo plos vors. Logo podmos prssr: Fgur

79 f j f ˆ f j // j ˆj Ou f j f cos ˆ f s ˆj j j Poro f j f ˆ j s j form: Ms podmos scrvr projção do vor f f j drção d f d sgu f cos ˆ j // j D qução mos qu T f j. f f j ˆ // f E drção do vrsor î é dd por: f ˆ 4. 9 f Logo E f j prpdculr pod sr scro como T f j. f f f j // 4. 9 f f f f f j j j // Fgur

80 80 T j j j f f f f f f Rlzdo s oprção dos dos pr os vors d bs com j rmos orogolzção dsjd chmd d procsso d Orogolzção d Grm-Schmd Ms sbmos qu T f f f. logo podmos scrvr rlção grl pr o procsso d orogolzção d Grm-Schmd d sgu form: T T j j j f f f f f f f Pr j. Escolhdo um bs oroorml od: ˆ f f Tmos qu: T T j j j f f f f f f.. ˆ Pr j... 3

81 4. Oprdors Lrs Dfção Agor ós cosdrrmos um fução vorl lr d um vor ou sj chmmos d Oprdor Lr od rgr qu ssoc uvocm odo qulqur vor d um Espço Vorl E um ouro vor w mbém do msmo spço vorl d sgu form lr: E v w E Ou d sdo u E u v u v E S cosdrrmos um vor rbráro v ddo por: Eão grcm sgu codção d lrdd srá ssf: w v 4. 0 Qu por su vz é gul á: w v w v w 4. 0 Os oprdors lrs possum d s sgus proprdds: Sj A B dos oprdors lrs qusqur d Espço Vorl E: A + B = A + B Od pod sr mbém um fução vorl lr 8

82 AB = AB A =A v Em grl AB BA ms o cso d srm gus dzmos qu A B comum r s. v O oprdor ulo o oprdor ddd m sgfcdo óbvo odm: 0 = 0 = Pr odo qulqur vor do spço E. v Dos oprdors A B são dos gus s som s A = B Pr odo qulqur do Espço vorl E. v S sr um oprdor l qu: A.B = Dzmos qu B = A - ou sj qu o oprdor B é o vrso do oprdor A. Poro s: A = w Eão A - w = 4. 0 Pos A - A = A - w = A - w A - w = 4. Oprdors os qus ão possum vrsos são dos sgulrs. Vjmos o mplo bo: Cosdr o spço rdmsol dos vors posção um covcol ssm d coordds crso z coform mosr Fgur

83 Fgur Nós dfmos o oprdor projção P l qu P é projção vor o plo. O qul possu s msms coordds do vor ms possu coordd z ul. D fo o spço dos vors P é bdmsol ou sj dfr do spço vorl dos vors. Poro fc clro qu o oprdor P ão possu um vrso ou sj é sgulr. 0 P v z P v 4. Poro s qulqur vor do spço vorl E s rsform lrm pl proprdd m ouro vor w mbém do spço vorl E rvés d um oprdor lr qulqur. Eão os vors d bs mbém s rsformrão lrm plo msmo oprdor m um ouro vor d bs d sgu form: Od 4. 3 j f j f E Espço Vorl. Ms qulqur vor do spço pod sr scro m j j rmos dos vors d bs. Logo f j pod sr scro m rmos dos s d sgu form: f j Aj j Iguldo s prssõs mos: 83

84 j Aj j Od os A j é ão ésm compo do vor f j. E os cofcs A j formm os lmos d mrz do oprdor lr. Rprsdo d sgu form: A [ A ] 4. 6 j Logo Ou d f A 4. 7 j ] [ A ][ ] 4. 8 [ f j j Poro qulqur oprdor lr pod sr rprsdo por um mrz d rsformção. Agor s cosdrrmos um vor v qulqur rbráro chmrmos d : v w 4. 9 Com v w E od v prsso m rmos dos vors d bs vl: v 4. 0 Logo v w 4. Qu pls proprdds d oprdors lrs mos: v 4. Ms 4. 3 f 84

85 D rlção rsul: Ms d rlção mos qu: w v 4. 4 f w k A k k 4. 5 como s compos ão possu ídc cluso somóro m k logo podmos pssá-l pr dro ds somór sm lrr o rsuldo logo: w k A k k 4. 6 Trocdo ordm d somór fcmos com: w k A k k 4. 7 Sbmos qu s prssrmos o vor w m rmos dos vors d bs rmos: w k k k 4. 8 comprdo com coclumos qu: k A k 4. 9 Eão podmos dscrvr s rlçõs cm d our form dzdo qu o vor w sá ssocdo com o vor v por um oprdor lr A oprdo m v d sgu form: coordds vor w Av Eão os úmros A k são os compos do oprdor lr A o ssm d. Espcfcm d rlção vmos qu A j é ésm compo do A j. Alogm cocluímos comprdo s rlçõs qu: 85

86 [ w] [ A ][ v] 4. 3 j bs Aps com os vors é qu os oprdors lrs frqum êm um sgfcdo físco o qul ão dpd d um ssm d coordds spcífco pod sr dscro sm rfrêc um ssm d coordds spcífco. Pr oprdors qu mudm o vor v pr ouro vor do spço vorl como é o cso do oprdor projção P mplfcdo rorm úc mudç rqurd áls cm é prssr m rmos d bs f o spço l qu rlção fc: j m A f 4. 3 j j Eão os compos A j do oprdor A rfr-s dus bss j f lém do ms sá clro qu os dos spços podm r úmro dfr d dmsõs por sso ão s um oprdor vrso A - Voldo ovm prssão ós podmos chr l d rsformção pr s compos do oprdor lr ou sj scrvr mrz d rsformção lr m um our bs d sgu form: Ms d mos qu: ou sj m rlção s coordds d w Av [ w] [ A ][ v] j w v mos: d qu: [ k k ms m rlção um ouro ssm d coordds mos: ] [ A ][ ] v ' '

87 w ' ' Ms w v Qu vl w ' ' ' ' Pls proprdds d oprdors lrs d msm form: ' f ' Ms como ovm os mos: f s podm sr prssos m rmos dos vors ds ov bs f ' Poro guldo com mos: j A' ' 4. 4 k k k ' j A' k k ' k 4. 4 od o A k é ão k ésm compo do vor f. E os cofcs A k formm os lmos d mrz do oprdor lr ov bs '. Rprsdo-s m form d mrzs mos: A [ A' ] k od f ' A' k Ou d 87

88 88 ] ' ][ ' [ ] ' [ k k A f Voldo prssão mos: k k k f v w ' ' ' ' Ou sj k k k A f v w ' ' ' ' ' Como os compos ' ão possu ídc cluso somór m k podmos pssá-lo pr dro ds somór m k sm lrr o rsuldo logo: k k k A w ' ' ' rocdo ordm ds somóros mos: k k k A w ' ' ' comprdo gor prssão cocluímos qu: k k k k k A w ' ' ' ' ' Ou sj k k A ' ' ' 4. 5 Como os vors v w o oprdor ão dpd do ssm d coordds ovm vl: v w A 4. 5 Sdo qu os úmros A k são os compos do oprdor lr A o ssm d coordds '. Espcfcm d rlção vmos qu A k é k ésm compo do vor A '. D msm form mos:

89 bs '. Nós sbmos qu: [ w] [ A' ][ v] j [ w] [ ][ w'] j [ v] [ ][ v'] j ou sj ][ ' ] [ j j k ][ ' ] [ kj k Subsudo m mos: [ kj k k kj j Mulplcdo mbos os ldos por [ ] mos: ] [ A ][ ][ ' ] j [ kj ] [ kj ] k [ ] [ A ][ ][ ' ] kj k kj j [] k [ ] [ A ][ ][ ' ] kj k kj j Logo k [ ] [ A ][ ][ ' ] 4. 6 kj k kj j Poro [ A' k ] [ ] [ A ][ ] 4. 6 kj k kj 89

90 4. 3 Auo-Vlors Auo-Vors Escolhmos um bs oroorml ˆ pr pdr os vors do spço E 3. Cosdrmos um oprdor lr A dfdo m E 3. A mrz do oprdor A bs j scolhd é mrz A d lmos A. Qudo um oprdor lr A u sobr um vor o vor rsul sr cros vors ão ulos pr o qul cos. Iso é: Tl vor v 0 A é m grl é dfr d. Coudo podm A é ps mulplcdo por um A é chmdo d um uo-vor do oprdor A o úmro rl ou complo é chmdo d um uo-vlor corrspod o uo-vor. O uo-vor é do prcr o uo-vlor. Num ddo ssm d coordds compo ésm d qução é: j A j j pr =... Ou oção mrcl: A O problm d chr os uo-vlors pr o qul o ssm lr d quçõs m um solução ão-rvl é lgo muo mpor. S A é mrz do oprdor A.... A : : : :.. Podmos mor o ssm d quçõs d sgu form: Dsgdo por I como d hábo mrz ddd 3 3 qu corrpod o oprdor ddd I mulplcmos mbos os ldos d qução pl mrz ddd: 90

91 AI I A I Logo A I Rprsdo o vor v por mo d um mrz colu mos: v v v v A qução s scrv usdo s mrzs A I. A A A 3 A A A3 3 A v 3 A v 3 A 3 v Es é um qução mrcl qu corrspod um ssm d 3 quçõs lgébrcs lrs 3 homogês pr s compos v v v do uovor v. A codção cssár sufc pr s drmr os uo-vlors dfrs d solução rvl so é v 0 é prcso qu o drm D d mrz A I sj gul zro. Ds form chgmos qução crcrísc ou qução sculr qu forc os vlors d. d A I 0 D 4. 7 S mrz A é hvrá rízs ão cssrm ods dss. O drm D como fução d é um polômo d 3º gru domdo polômo crcrísco do oprdor A m form: Od D 0 3 C C D

92 d C D D0 da 4. 74! d 0 A qução D 0 m o mámo 3 rízs. Ms s rízs d 0 D são os vlors pr os qus é vld poro pr qu ou sj váld; so qur dzr qu os uovlors d A são s rízs d qução D 0. Podmos ão frmr. Os uovlors d A são s rízs do polômo crcrísco ou d qução d A I 0 D O oprdor A m o mámo 3 uovlors qu podm sr rs ou complos. Um vz cohcdos os uovors 3 qução forc os uovors v v v3 corrspods. Obsrv qu o ssm sdo homogêo só obrmos s soluçõs 3 mos d ormlzção; so qur dzr qu drá v v soluçào úc pr 3 s mpusrmos qu ; 3. Pod cocr qu s ms d um uovor corrspoddo o uovlor s cso dzmos qu o uovlor é dgrdo. Emdo 0 v D ddo qução obsrvmos qu: ; lm D lm D Os lms d os prmm coclur qu qu é um fução coíu d por sr um polômo dv s ulr plo mos um vz. Fgur

93 Iso qur dzr qu: No spço d dmsão 3 odo oprdor lr m plo mos um uovlor o msmo rsuldo vl pr odos os spços d dmsão mpr Qudo D 0 da 0 é posvo ão podmos coclur qu plo mos um zro posvo ou sj: D rá v Qudo d A 0 o oprdor lr  m plo mos um uo-vlor posvo. Vmos gor spclzr osso sdo d uovlors uovors pr o cso d oprdors orogos so é oprdors cujs mrzs sào orogos. Como já sbmos ˆ ˆ ˆ. Iso os oprdors orogos cosrvm oroormldd do vors... E qur dzr qu o módulo dos vors bm como o produo sclr d vors são vrs por rsformçõs orogos. D fo sdo orogol o oprdor  ssfz rlção: ou ˆ ˆ T A A ˆ Aˆ Aˆ T ˆ ˆ ˆ mrz A do O qu sgfc qu dd um bs oroorml qulqur... E oprdor  ssfz rlçõs dêcs s rlçõs : ou ou A prr d qução dcorr qu Ms como como mbém T AA T A A d d AA T 4. 8 T T dada d AA

94 T A da d Um drm ão s lr rocdo lhs por colus ão comclumos qu: Ou O cso d d da d A A corrspod ás roçõs proprm ds próprs. Por mplo o drm d mrzs ds quçõs é smpr gul +. O cso d A = - corrspod às roçõs ds mpróprs ou vrsõs. Por mplo rsformção ˆ ˆj kˆ ˆ ˆj kˆ form: Chmdo ˆ' ˆ' ˆ ov bs mos: ' 3 é f por um mrz orogol d sgu ˆ' ˆ' ˆ' 3.ˆ 0.ˆj 0. kˆ 0.ˆ.ˆj 0. kˆ.ˆ 0. ˆj. kˆ Qu mplc sgu mrz d rsformção: 0 0 A Cujo drm é -. Não s hum roção própr qu lv ˆ ˆj kˆ m ˆ ˆj kˆ Sj gor clculr o produo sclr d mgs do oprdor  so é clculr o produo Âu.Âv; rprsdo Âu Âv como fzmos m mos: Au u Av v A A j k ˆ ˆ k j

95 A A A j m A k u. v u ˆ j. v k ˆ m k j m u v A Ak ˆ j.ˆ m Usdo gor oroormldd d bs ˆ ˆ usdo mbém : Au. Av u u v m v k u v Au. Av u. v k j A A m A A m ˆ 3 m k m k jm l como prss m rmos Em plvrs sso qur dzr qu o oprdor orogol  cosrv o produo sclr d vors. A qução vl mbém qudo u v. Ns cso rmos: A u v 4. 9 qu qur dzr qu o produo orogol  cosrv o módulo d vors. Es proprdd dos oprdors orogos crr our d mu mporâc: Os uovlors d oprdors orogos êm módulo. D fo cosdrmos qução d uovlor/uovor pr o oprdor orogol Â: Âu u 4. 9 Tomdo o módulo d mbos os mmbros d usdo vm Âu u. u u ou sj: ou Eão coclumos: v Todo uovlor d um oprdor orogol é + ou -. Iso é bs uvo porquo um roção própr ão mud m drção m o sdo m o módulo do vrsor do o:  já um roção mprópr ps vr o sdo d : 95

96  No cso d roção próprs o drm d  é + poro da>0. Lvdo m co s obsrvção cobdo s proprdds Coclumos qu: v O uo vlor rl d odo oprdor orogol d drm posvo roção própr é smpr +. 96

97 4. 4 Emplos Aplcçõs 97

98 4. 5 Ercícos Problms 98

99 Cpíulo V ESPAÇO TENSORIAL LINEAR RESUMO Ns cpíulo srá vso dfção grl d sors do qul dcorrm os sclrs os vors s mrzs como mbém s sus proprdds plcçõs o cálculo d fuçõs. 5. Irodução 99

100 5. Dfção d Tsors Os sors são um grlzção dos sclrs dos vors ds mrzs. Els são forms fucos lrs qu sgum rgrs bm dfds d oprçõs lrs. Els podm sr clssfcdos quo o su ordm como sors d ordm zro um dos c Forms Fucos Lrs Cosdrmos o spço vorl E d dmsão 3 o qul sá dfdo um produo sclr spço ucldo. Chm-s fucol m form lr m E qulqur plcção lr do spço vorl E o cojuo R dos úmros rs. Idcrmos os fucos lrs plo símbolo F ; ssm: F : E R u F u : umro rl 5. A lrdd d F sgfc: F u v F u F v 5. D qução 5. rduz-s fclm qu: F Um mplo d fucol lr sobr o spço E é proporcod plo produo sclr dos vors d E com um vor fo. Assm o vor sá ssocdo o fucol lr F l qu: u. u F u E 5. 4 É fácl vr qu F é lr; com fo: F u v u v. u. v F F v Por s mplo fc ão dmosrdo qu odo vor sá ssocdo um fucol lr sobr E dfdo por Gosrímos d sbr s rcíproc é vrddr so é s odo fucol lr F é d form F pr um 00

101 cov. Pr sso vmos roduzr um bs 3 m E fzr uso d lrdd do fucol F. Ddo um vor u E qulqur l s rprs por u u d modo qu mgm d u por F é dd por: F u F u u F 5. 6 Pl qução 5. 6 vê-s clrm qu pr dfr F é cssáro dr os 3 úmros rs F Iroduzmos ão por dfção os 3 úmros rs 3... por mo d F Iroduzdo-s m obmos: F u F u u 5. 8 O fucol F fc ão dfdo bs 3 plos 3 úmros dfdos m. Vmos gor vr o qu coc s mudrmos d bs. Sj ão ' ' ' um our bs d E dd por ' 3 [ A j ] u u ' com m u [ A ] u 5. 9 m j 0

102 5. 3 Cálculo Tsorl d Fuçõs

103 5. 4 Aplcção Rds-Nurs Mmács 03

104 5. 5 Emplos Aplcçõs 04

105 5. 6 Ercícos Problms 05

106 Cpíulo VI ESPAÇO VETORIAL DE FUNÇÕES RESUMO Ns srá vso log r o spço vorl lr o spço d fuçõs ms proprdm o spço fucol lr. Vrmos s proprdds plcçõs ds or mmác. 6. Irodução 06

107 6. Dfção d Espço Vorl d Fuçõs ou Espço Fucol Lr Chmmos d spço lgébrco lr d fuçõs sobr um cmpo C um sér d lmos 3.. com um sruur lgébrc somorf o spço vorl. Cosdrdo dos vors P Q od P P p p 6. p3 E Q Q q q 6. q3 P Q são orogos qudo ou o ídc b o somóro P Q p q p q p q P. Q p q S os vors form -dmsos P. Q p q Fçmos gor um log rvés d corrspodêc bo: 6. 6 d 6. 7 c às coordds p ou q um fução f ou g

108 Poro cd vor p corrspod um fução f d modo grl compl. Es corrspodêc mplc qu s oprçõs d um spço vorl podm sr dds o spço ds fuçõs f. Sjm f g h fuçõs s spço. As oprçõs s plcm o msmo: Comuvdd f g g f 6. 9 b Assocvdd c Dsrbuvdd d som d Assocvdd do produo Elmo ulo f Elmo Nuro f g h f g f 6. 0 g f f gf 6. k f kf 6. 0 f f f 6. 4 Tmbém prr dss posuldos podm dfdo como m álgbr vorl: dpdêc lr ds fuçõs b produo sclr c mgud d um lmo dsâc r f g. Tl spço d fuçõs compls obdo por s log é chmdo spço Hlbr. Ns spço codção d orogoldd srá poro f *... g... d Od d dd... 08

109 6.. Equvlêc r o Oprdor Mrcl o Oprdor Fucol o Espço d Fuçõs 09

110 6.. Noção d Drc Usrmos oção d Drc pr os lmos do spço lgébrco qu o osso cso o pod sr vors como fuçõs. : k vor ou fução 6. 6 No cso do bsro chmdo k for um vor chmrmos d Espço Vorl o cso d sr um fução chmrmos d Espço Fucol. Sj E um cojuo d k s sj C um cmpo d sclrs do spço lgébrco lr od E é dvo so é s um oprção E E E l qu: EE E 6. 7 Ssfzdo os sgus oms fudms: 0

111 6..3 Proprdds do Espço d Fuçõs Comuv Assocv f + g = g + f 6. 8 f + g + h = f + g + h 6. 9 um mrz 0 E Mrzs / v um mrz -A E Mrzs / v Dsrbuv do sclr v Dsrbuv d Mrz com sclr v Dsrbuv d Mrz com Mrz f + 0 = f f E Fuçõs 6. 0 f + -f = 0 f E Fuçõs 6. f + g = f + g 6. + f = f + f 6. 3 f[g + h]j = fg j + fh j 6. 4 v Assocv do produo d mrzs [fg]h = f[g h] = fg h Trsposção do produo d mrzs Trsposo d mulplcçõs sucssvs vl: AB = BA T = B T A T 6. 7 ABCD...Z = Z DCBA T = Z T... D T C T A T 6. 8