8 REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS
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- Esther Natal Chaplin
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1 8 REPRESENÇÃO NO ESPÇO DE ESDOS 8. Cocio d sdo ( prsção srá fi o domíio do mpo coíuo; s difrçs com o cso discro são pqus srão prsds posriorm. rprsção rd/síd d um sism só é álid qudo, o mpo iicil, o sism sá scioário. ssim é álid sgui rlção. y Hu qu idic qu, rés do oprdor H, pod-s drmir y pr qulqur u. Qudo o sism ão sá iicilm m sdo scioário é cssário cohcr s codiçõs iiciis pr podr drmir o compormo fr um rd u: O couo d codiçõs iiciis qu é cssário cohcr pr podr drmir y ( o,, uiocm, cosiui o sdo iicil do sism. o plicr um forç r [rd, u(, ] um prícul (sism o mpo, o su moimo [síd, y (, ] pr, ão srá uiocm drmido quo ão form cohcids, mbém, posição locidd dss prícul o mpo. Ess dois úmros cosium o sdo do sism o mpo. O sdo d um sism o mpo, é o couo d iformçõs m qu, uo com rd u[,, drmi uiocm o compormo do sism pr scolh do sdo ão é úic. O sdo é um quidd uilir qu pod ão sr fcilm idificál m rmos físicos. O sdo pod sr cosiuído por um couo fiio ou ifiio d lors. Cosidrdo só o cso d sdos dscrios por um úmro fiio d riáis, ls srão rprsdos por ors (, chmdos ors d sdo. Cd lmo do or é um riál d sdo. O spço d dimsão m qu ( pod rir é o spço d sdos.
2 8. Equçõs diâmics Equçõs diâmics são o couo d quçõs qu dscrm uiocm s rlçõs r s riáis d rd, d síd o sdo. [ ] & f, u, qução d sdo ( g[ (, u(, ] y qução ds síds No cso d sisms lirs & + B u y C + D u qu, form d digrm d blocos, fic: S o sism foss iri o mpo & + Bu Solução d qução diâmic lir homogê com coficis riáis Pr simplificr prsção fcilir o dimo, sudrmos o cso homogêo. d d Vmos cosidrr qu mriz qudrd Φ( ; o sisfz dφ ( ; d Φ ( ; ( Φ ; I Nss cso, solução d qução homogê é
3 ( Φ( ; Φ dscr rsição do sdo d. Φ( ; : mriz d rsição d sdo Qu solução é idicd pod sr rificdo por subsiuição dir d d d [ Φ( ; ( ] [ Φ( ; ] ( Φ ( ; ( d d d form mmáic d Φ( ; pod sr obid igrdo sucssim qução homogê: d d + d o d d + d + ( + ( ( d d I+ ( d + ( ( ( d d d d I+ ( d + d d ( ( + ( I + ( d ( + ( ( ( d 3 3 3d I+ ( d + ( ( d d + Em grl Φ ;... 3
4 I+ d + d d + d d d + Eão ( ( ( ( ( ( Φ( ; I+ ( d + ( ( dd + ( ( ( 3 d3dd+... séri qu dfi mriz d rsição chm-s mriz corg qudo os lmos d mriz são limidos o irlo (,. Solução d qução diâmic lir homogê com coficis coss Os coficis coss idicm sism iri o mpo. ssim ális pod sr fi pr qulqur, m priculr. Ns cso ( ; Φ I 3 i ! 3! i! 3 i fução mriz pocil é dfiid ds form o comprr o somório rior com o dsolimo m séri d ylor d fução sclr pocil,, m oro do podo : i + + +! i i i! i Eão solução d d d é Pr um mpo iicil rbirário ( ( ( Φ 4
5 Cálculo d mriz d rsição d um sism iri o mpo Há dirss forms d s clculr mriz d rsição d sdo d um sism iri o mpo. Um dls, álid pr lors crcrísicos d difrs, é usdo o orm d Sylsr qu, pr qulqur fução poliomil d mriz qudrd, sblc f( i f. od i I Π i i i : lors crcrísicos d, rízs d I Solução d qução diâmic lir hrogê com coficis coss d d + Bu Iroduzido um mudç d riáis Φ( z ( z Φ d d dφ d z dz dz + Φ ( Φ z + Φ + Φ d d dz d Eão Φ dz d dz d d Bu d Φ Φ Bu z z + Bu d uliplicdo à squrd por Φ( o Φ( + Φ( Φ ( z Bu d Porém ( ( Φ ( Φ( o 5
6 Φ ( Φ( ( ( ( Φ ( ssim Φ( + Φ( z Bu d Φ ( z Eão ( Φ( ( + Φ( B u( d ( ( ( ( ( B u d ( ( é rspos à rd ul ( é rspos o sdo ulo. Emplo: Pr mplificr os cocios é gor iroduzidos mos cosidrr o sgui sism muliriál O modlo fomológico ds sism é formdo plo sism d quçõs difrciis ão lirs dh( F d ( c h ( dh ( c h( c h ( d irizdo m oro do sdo scioário é obido o sgui modlo lir 6
7 d d d d com ( ( ( + b u( ( + ( ( : h( ( : h h h : c h b : : c h : c h S riál mdid síd é o olum do sgudo qu y ( : h ( h o modlo pod sr scrio & y ( ( + b u ( c ( com b b c Escolhmos lors uméricos pr os difrs prâmros b uilizdo úmros fácis pr simplificr os cálculos. Ess úmros corrspodrim, por mplo, os sguis prâmros do sism: c c F h 4 h 7
8 8 Pr chr solução grl ds sism é cssário cohcr mriz d rsição d sdos, o qu pod sr fio uilizdo o orm d Sylsr. Primirm dmos clculr os lors crcrísicos d mriz I Usdo o orm: + ssim, solução grl pr olução mporl do or d sdo é ( [ ] ( [ ] ( + + d u d u pr olução mporl d riál d síd é ( [ ] ( ( + + d u d u y Obsr-s qu o cohcimo do sdo iicil,, prmi drmir síd fuur, ( y, pr qulqur rd, u, pr. 8.3 Rprsção d sdo pr sisms discros Os sisms discros são crrizdos por ors d sdo fuçõs do mpo discro [ ] k k k s quçõs diâmics êm, m grl, form [ ] k f k u k k +,, [ ] yk gk uk,
9 Pr sisms lirs k ( + k k + Bk u ( k yk Ck k + Dk u ( k No cso d sisms iris o mpo k ( + k + Bu ( k yk Ck + Du ( k solução o cso homogêo, lir uôomo é obid por um procsso irio: k ( + k k k k é mriz d rsição d sdo. mbém pod sr clculd usdo o orm d Sylsr k k i Π i i I i solução o cso hrogêo é obid sgudo: + Bu [ ] + B u + B u + B u + B u + B u kkbk ( ++ u k k k-i- k + B ( i u i 8.4 Sisms d ddos mosrdos & + Bu 9
10 y C + Du Cosidrdo u uk k < k + od k k, sdo o mpo d mosrgm, m ( k ( k + B uk d Dfiido Γ( k Bd k k Rsul Φ( k k + Γ ( k u ( k k < k + Pr k+ ( k + Φ( ( k + Γ( u( k od Φ ( k+ [ ( k+ ] Γ Bd Fzdo k ( k+ μ obém-s Γ Bdμ μ qução d sdos ficou d form discr, com coficis qu dpdm do mpo d mosrgm,. solução é k k k-i- Φ + Φ Γ u k i i Ero
11 Φ k k k ( ( Φ( k Eão solução é d form k Φ [ ] + Φ k-i- Γ u k k i i 8.5 Digolizção s quçõs d sdo d d K K + B u são olm coplds rés d form chi d mriz. solução isulizção ds rsposs ficri mis simpls clr s pudrmos chr um rprsção d sdos qul mriz foss digol. Ds form s quçõs ficrim olm dscoplds. O or d sdos prc um spço oril, o spço d sdos, o qul, rés d um rsformção lir podmos mudr bs, cosqüm, su rprsção. Vmos cosidrr, só por simplicidd d prsção, o sism su form homogê. d d rés d um rsformção lir, dfiimos os riáis d sdo P ssim, ( P d( d d d P d Qurmos Λ digol P d P P Λ
12 Λ O Ds form d d d d d d Iso é i i ( ( i ( ( ( O ( ( Λ ( ( Voldo às riáis origiis pod-s mosrr our form d clculr mriz d rsição d sdo. P ( P Λ ( ( P ( ( P Λ * ( P ( ( ( Iso é, mriz d rsição d sdo pod sr clculd mbém sgudo: ( ( P Λ P Vmos r como é cosiuíd mriz P o qu são os. P P PΛ P Λ P Λ P Escrdo P m rmos d ors colu
13 3 [ ] [ ] d d d d d d P (iso qur dizr qu prição d mriz, s lihs poilhds ão ficr implícis mos, pr o primiro cso: [ ] [ ] d d d d O d d d d Iguldo s colus dss mrizs, rlção grl é: d d,..., ou I d Es sism d quçõs lgébrics homogêo m solução ão riil pr I domido poliômio (qução crcrísico( d mriz. Iso é, os são os lors crcrísicos d mriz. Os d são os ors crcrísicos à diri d mriz. Escrdo P - m rmos d sus ors lih mos, pr o sgudo cso: O ou Iguldo s lihs dss mrizs
14 ,..., ou ( I - Os são os ors crcrísicos à squrd d mriz. No cso d lors crcrísicos rpidos digolizção ão é compl. O rsuldo é um mriz bloco-digol, od cd bloco m s dimsõs d muliplicidd do lor crcrísico corrspod. digol pricipl dsss blocos é formd plo lor crcrísico rpido. primir sub-digol ifrior é formd por s: i i O O i 8.6 Solução Grl o Domíio do mpo d d + Bu + Bu( d Subsiuido mriz d rsição d sdo ( P Λ ( P ( + P Λ ( P B u ( d Usdo form dfiid pr s mrizs P P, brimos prssão rior ( [... ] d d ( ( O ( ( + 4
15 + [ d... d ] o ( O ( B u ( d ( ( (... Eão ( + d d o ( ( (... ( ( + Bu( d d d Obsrmos qu os dois rmos d rspos grl êm msm form: um somório d rmos pociis podrdos. Pr fcilir ális mos cosidrr u. d d d Cd rmo sá ssocido um pocil qu é cohcido como modo d rspos lisdo o rmo corrspod cd modo : d d... d d ( ( [ ] [ ] d d d od ( o ( ( o [ ] ( o d ( ( ( d B u B u ( ( d d d d [ ] K 5
16 Obsrmos qu o modo iculdo coribui d form difr pr cd riál d sdo. Pr i coribuição é: [ ] ( o i d d : é composição do modo idic d qu form l coribui pr rspos mporl d cd riál d sdo. i Como idicdo cim, o compo d, do or d podr coribuição do modo à riál d sdo i. ( : é ição do modo. ição é úic pr cd modo, sdo msm pr ods s riáis d sdo. Pr o sism digolizdo Λ( o ( cd modo coribui, com pso uiário ( pr um úic riál d sdo. ição do modo corrspod m dd dirm pl codição iicil dss riál d sdo. Comprr s ális do compormo diâmico com ális do compormo sáico bsd os lors sigulrs d mriz d ghos sáicos. No: odo o dsolimo bsou-s m lors crcrísicos difrs. Como á foi idicdo, qudo há muliplicidd ão é possíl obr digolizção compl; só cosgu-s um digolizção proimd form chmd d Jord. is di mos rr o problm grl d obção d difrs rprsçõs d sdo rés d rsformçõs lirs. 8.7 Corolbilidd obsrbilidd 6
17 Ess cocios, plicáis o sisms lirs como ão lirs, são smlhs pr os csos coíuo discro o mpo. Vmos sudr o cso coíuo. Pr lisr quis s possibilidds d corolr um sism lir mipuldo riáis u(, obsrmos form grl d rspos mporl ( ( + Bu( d d d É clro qu u( só f o sgudo rmo, l mos cocrr oss ális. B u d d Escrdo [ ] B b b b m + S d ( d ( ( b b b u( b b b B m d ( b b b u( m m d + s riáis d rd u ão iflucim o modo : s modo ão é corolál. S quis form os siis d rd há um crcrísic sruurl do sism, rflid o fo d qu B cosqüm, do sism., qu drmi ão corolbilidd do modo (, N form côic digol, od cd riál d sdo sá ssocid um úico modo, riál ão é cssíl i u(. d - d Λ + P B u d d + B u + u Um form práic d s drmir corolbilidd d um sism lir é rificdo o poso d su mriz d corolbilidd 7
18 Δ [ ] K B B B B O sism é corolál s poso K É irss mosrr um usifici goméric pr s rsuldo. Cosidrdo um sism d sgud ordm, iicilm o poo com um úic rd mipuld. & + b u Dur um irlo d mpo muio pquo, Δ, plic-s o corol u I, qu drmi um dslocmo Δ I o or d sdos. Δ I b u I Δ Dur o próimo Δ, plic-s u II, qu drmi, prir d o posição, o dslocmo Δ II. Δ Δ Δ+ bu Δ b u ( Δ + bu Δ II I II I II Pr podr lcçr qulqur poo do plo, é cssário qu os ors Δ I Δ ão hm msm dirção; iso é, qu sm lirm idpds. II Pr isso, mriz [ b b] m qu r s sus dus colus idpds ou, o qu é msm cois, su poso m qu sr. Em rmos d possibilidd d obsrr um sism lir rés d y(, lmbrmos qu, cosidrdo u( : 8
19 y C C C [ d d d] P C C C [ d d d] ( ( ( S mriz C P m -ésim colu ul, C d, o modo ão ifluêci síd y(, cosqüm, ão pod sr obsrdo. O sism ão é obsrál. Um form práic d s drmir obsrbilidd d um sism lir é rificdo o poso d su mriz d obsrbilidd. Δ ( C ( C C C O sism é obsrál s poso dfiição d corolbilidd é: Um sism é corolál s só s, pr odo sdo iicil, (, is um rd coíu por prs, u(, ] l qu ( pr lgum fiio. dfiição d obsrbilidd é: Um sism é obsrál s só s, pr odo, obsrção d y(, ], pr qulqur u(, ] cohcido, prmi clculr (. Qudo o sism sá rprsdo form digol, cd riál d sdo sá iculd um úico modo. Eão, com sss riáis podm cocr 4 siuçõs difrs. O modo é corolál é obsrál d d + B u y d ( [ C ] O modo é corolál ão obsrál 9
20 d d + B u y [ ] ( 3 O modo é ão corolál obsrál d d + u y d ( [ C ] 4 O modo ão é m corolál m obsrál d d + u y [ ] ( S fizrmos prição do or d sdos s quro cgoris possíis obmos: d d co co co co Λ co Λ co Λ co Λ co co co co co P P + c o c o B u [ P ] y C P co co rsformdo por plc co co co co
21 ( s Λ ( s Λ ( s Λ co ( s Λ I P B u co c o co I P B u co c o co co co I B u I B u co Ess rlçõs podm sr colocds form d digrm d blocos O úico cmiho r rd síd forc ys CP s I Λ P B u s co co co Iso é: rprsção rd/síd só l m co pr corolál obsrál do sism. Eism ouros cocios smlhs com os d corolbilidd obsrbilidd, qu ormlm são mos igs: lcçbilidd (rchbiliy: o sism é lcçál s um sdo rbirário pod sr lcçdo, rés d um ção d corol coi, prir d qulqur sdo iicil. sbilizbilidd(sbilizbiliy: o sism é sbilizál s is um ção d corol cpz d sbilizr odos os modos isáis.
22 dcbilidd(dcbiliy: o sism é dcál s podm sr obsrdos odos os modos isáis. 8.8 Rlizçõs Ddo o modlo d um sism form d um rprsção rd/síd é possíl grr um úmro muio grd (oricm ifiio d rprsçõs d sdo (rlizçõs. ori ds rlizçõs procur s rprsçõs d sdo qu prsm crcrísics foráis m lgum sido. pricipl crcrísic dsál é qu dimsão do sdo s míim: rlizção míim. Não is um rlizção míim úic. Ours crcrísics podm sr ssocids, como por mplo form digol d mriz. Ours forms côics d irss lém d form digol (ou modl são, por mplo, s forms corolál obsrál. Vmos cosidrr um sism mooriál (só pr simplificr prsção ys us - b s + b s + + b s+b - s + s + + s+ Form côic corolál & + u [ ; ; ; ] y b b b b b b + b u Form côic obsrál & b b b b + u b b
23 [ ] y + b u 8.9 rsformçõs o spço d sdos écics pr pssr d um ipo d rprsção d sdos ouro. S o sism & + b u y c S o sism é corolál, su mriz d corolbilidd K m poso. S é obsrál su mriz d obsrbilidd m poso. qução crcrísic ds sism é: - si s + s + + s+ prir dos coficis ds qução pod-s cosruir sgui mriz: 3 W Pro-s qu form côic corolál é obid rés d sgui rsformção d riáis: $ Od K W form côic obsrál é obid com sgui rsformção d riáis: Q $ Com Q ( W 3
que indica que, através do operador H, pode-se determinar y(t) para qualquer u(t).
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