CAPÍTULO 1 MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

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1 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru PÍTUO TRIZES DETERINNTES E SISTES INERES s mris os sisms lirs êm lr plição m prolms práios spilm ár Ehri Por mplo oção frquêi url o io rsiro um uomóvl por volvr r úmro vriávis srm ss liss rr um lo uso fiiro; poro f-s ssári uilição méoos umérios simpls prisos omo por mplo o éoo s ris Trsfrêi o qul omo o próprio om vii uilim-s mris Por su v o projo um sruur ompos por vis mális i rsolução um sism quçõs lirs o qul o úmro quçõs vriávis rs à mi qu s or mis ompl sruur form mriil o sism é ão uili liso-s siulri mri os ofiis o sism mri olu s forçs rs pr s orr mri olu s forçs qu um sor s vis O éoo os Elmos Fiios qu m r plição m prolms Ehri priulrm m prolms Ehri ivil âi uili-s sisms lirs qu volvm r úmro vriávis os quis são rsolvios ompuiolm rlho-s om s mris os sisms Tmém m ours árs omo por mplo Psquis Opriol ori s mris os sisms lirs são lrm uilios ris Hisório rhur l (-9) foi um os pioiros o suo s mris por vol ivulou ss om pssou mosrr su plição s mris iiilm rm plis qus qu lusivm rsolução sisms lirs ps há pouo mis os ivrm su imporâi No o o primiro uso implíio oção mri s v Josph ouis r (-) m 9 O primiro lhs r um om pr r sio uusi-ouis uh (9-) qu s hmv ls O om mri só vio om Jms Josph Slvsr (-9) m Slvsr i vi s mris omo mro iri os rmis Som om l ls pssrm r vi própri rivm omçrm suplr os rmis m imporâi Dfiição: Dá-s o om mri um l ori m lihs olus o por ( ij ) o o pr íis ij rprs posição lmo m ij ro

2 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru mri so qu o íi i ii lih j olu O pr íis m é hmo imsão mri rprs o su mho: o íi m ii o úmro lihs mri o úmro olus To mri po sr rprs rim por: m m m ou m m m m m D form rvi mri im po sr rprs form: ij ( );i { m }; j { } ou mis simplsm form: ( ) m ij Osrvção: ss o uilir-s-á o rmo "orm mri" ps quo o úmro lihs for iul o úmro olus; m so orário ir-s-á "imsão mri" Iir-s-á por ( R) lmos ris m o ojuo os s mris imsão m om S m m-s um mri om um úio lmo poro mri rprs um úmro rl; ou sj ( ) S m mri é hm mri rulr imsão m rprs por ( R) m ou simplsm m S ( R) m mri é hm mri qur orm (ou m) rprs por ou simplsm Ns so fim-s: - iol priipl mri: é osiuí plos lmos qu êm os ois íis iuis iso é: { / i j} { } ij N mri sui mosrm-s form s os lmos iol priipl: ; - iol suári mri: é osiuí plos lmos qu êm som os íis iuis iso é: { / i j } { } ij

3 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru N mri qu s su são mosros os lmos iol suári form s: Por mplo osiro-s um mri qur orm m-s rprsção Fiur iol priipl iol suári FIGUR l qu ij Emplo: Esrvr mri ( ) ij mri ( ) Eão: ij i j s i > j j i s i j i j s i < j m su form pi é sri form: ; pois sss sos m-s i j ; ; pois pr sss lmos ms i < j um v qu i > j Poro mri prour é ris Espiis osir-s um mri m ) S m mri m imsão é hm mri-lih omo su: ( ) ) S mri m imsão m é hm mri-olu omo su:

4 m INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru ) S oos os sus lmos são iuis ro mri é hm mri ul Emplo: é um mri ul imsão Ns so é usul oção ) S mri é qur oos os sus lmos ão prs à iol priipl são iuis ro iso é m-s ij s i j l é i mri iol Emplos: ) ) ) ) mri iol orm ujos lmos iol priipl são iuis é hm mri ii orm Ii-s por Ι ssim m-s: Ι Oprçõs om ris () Iul mris: Dus mris msm imsão ( ij ) m ( ij ) m são iuis s ij ij pr oo i m oo j

5 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru ij () ição mris: Ds us mris msm imsão ( ) m ( ij ) m hm-s som om mri imsão somo-s os lmos orrspos m ujos lmos são oios ij ij Noção: ( ) m Emplo: s s mris 9 m-s: 9 Osrvção: s oprção rli-s um úmro fiio mris msm imsão Propris: s s mris ( ij ) m ( ij ) m ( ij ) m mris sisf s propris: ) omuiv: ) ssoiiv: ( ) ( ) ) Elmo Nuro: é mri ul m sisfo: ição ) Elmo Oposo: osir mri ( ij ) o lmo oposo ição m ij mris é mri opos o por iso é ( ) m ( ) ( ) qu sisf: (osrv qu ii mri ul msm imsão ) () Surção mris: surção s mris é oi fo-s: ( ) ou sj surção é ição om mri opos ij ij ssim: ( ) m É lro qu s oprção sisf s msms propris ição mris () uliplição um mri por um úmro rl D um mri ( ij ) um m úmro rl α hm-s prouo o úmro α por mri ujos lmos são oios muliplio-s lmo por α

6 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru α α ij Noção: ( ) m Osrvção: um v qu lmo mri é um úmro rl quo s f muliplição mri plo úmro rl α sá s fo muliplição r úmros ris (lmos mri α ); ro o rsulo ss muliplição é um mri Emplo: os o úmro rl α mri m-s: α Propris: osirm-s s mris ( ij ) m ( ij ) m β Tm-s: ois úmros ris α ) β ( α ) α ( β ) ( α β ) Osrvção: mor sss iuls possm prr uris ( poro riviis) vm sr osrvs s ifrçs r mmro Por mplo o mmro ( α ) β mulipli-s primirm mri plo úmro rl α oo-s mri α ; pois mulipli-s ss mri plo úmro rl β Já o rmo ( α β ) fu-s primirm muliplição r os úmros ris α β qu rsul m um ovo úmro rl o qul mulipli mri ) α ( ) α α Osrvção: ss propri o primiro mmro iul mosr qu primirm f-s ição mri om mri pr pois muliplir mri rsul plo úmro rl α O suo mmro iul mosr qu é váli propri isriuição: po-s primirm muliplir o mri quo mri plo úmro rl α pr pois somr s mris rsuls α α ) ( α β ) α β Osrvção: ss propri o primiro mmro iul mosr qu primirm f-s ição os úmros ris α β oo-s um ovo úmro rl α β

7 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru muliplio pois mri por s ovo úmro O suo mmro iul mplo propri rior mém mosr um propri isriuição: muliplis mri plo úmro rl α oo-s mri α ; pois mulipli-s mri plo úmro rl β oo-s mri ou sj f-s α β β ; m sui somm-s sss us mris ) Osrvção: ss propri mosr qu muliplição qulqur mri plo úmro rl rsulrá msm mri Isso pr ( é!) url porqu lmo mri é muliplio plo úmro qu é o lmo uro muliplição úmros ris () uliplição mris Ds us mris ( ij ) m ( jk ) p ik prouo om mri ( ) mp ik i k ik ik ik pr oo i m oo k p o: hm-s D moo quivl po-s srvr: ik ij jk i m k j p D oro om ss fiição lmo ik mri é lulo muliplio-s orm os lmos lih i mri plos lmos olu k mri somo os prouos oios Osrv qu pr qu sj possívl muliplir mri pl mri o úmro olus v sr iul o úmro lihs mri rsul muliplição por m imsão p é o úmro olus (Fiur ) ri ri m p vm sr iuis m p o m é o úmro lihs o rsulo é imsão m p FIGUR Propris: sjm mris is qu os prouos iios suir sjm possívis São vrirs s propris: ) ssoiiv: ( ) ( ) ) Disriuiv:

8 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru - à squr: ( ) - à iri: ( ) ) Elmo Nuro: osir mri ( ij ) o lmo uro é mri m ii orm m ( I m ) ou orm ( ) I pois: I I m Osrvçõs: ) oprção muliplição mris ão é omuiv iso é msmo qu sjm possívis mos os prouos mplifirá i m-s m rl qu omo s ) N propri ) im vê-s qu po s muliplir mri pl mri ii I à squr ou à iri m-s mri I om orm ou m já qu pr qu muliplição sj possívl v-s r o úmro olus mri qu é o primiro for o prouo v sr iul o úmro lihs mri qu é o suo for o prouo Emplos: ) Ds s mris: é possívl fur muliplição por já qu m rês olus qu é o msmo úmro lihs D oro om fiição or-s-á um mri imsão iso é: Pr s vrifir rpim s o prouo é possívl qul é imsão mri rsul po-s osirr ps o prouo s imsõs s mris: ( ) ( ) ( ) Os lmos mri são lulos sui mir: lmo : mulipli-s lmo lih plo orrspo lmo olu somm-s os prouos oios: ; lmo : mulipli-s lmo lih plo orrspo lmo olu somm-s os prouos oios: ; lmo : mulipli-s lmo lih plo orrspo lmo

9 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru olu somm-s os prouos oios: ; lmo : mulipli-s lmo lih plo orrspo lmo olu somm-s os prouos oios: ssim vm: Ns rprsção são sos os lmos lih qu são muliplios orm plos lmos olu rsulo lmo mri Osrv-s qu o so sss mris é possívl mém fur muliplição por já qu m olus m lihs mri D rsul ss muliplição rá imsão osiro-s ps s imsõs s mris vm: ( ) ( ) ( ) ssim mri D srá o ipo: D ( ik ) ujos lmos são: lmo : mulipli-s lmo lih plo orrspo lmo olu somm-s os prouos oios: ; lmo : mulipli-s lmo lih plo orrspo lmo olu somm-s os prouos oios: ; lmo : mulipli-s lmo lih plo orrspo lmo olu somm-s os prouos oios: ; lmo : mulipli-s lmo lih plo orrspo lmo olu somm-s os prouos oios: ; lmo : mulipli-s lmo lih plo orrspo lmo olu somm-s os prouos oios: ; lmo : mulipli-s lmo lih plo orrspo lmo olu somm-s os prouos oios: ; lmo : mulipli-s lmo lih plo orrspo lmo olu somm-s os prouos oios: ;

10 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru lmo : mulipli-s lmo lih plo orrspo lmo olu somm-s os prouos oios: ; lmo : mulipli-s lmo lih plo orrspo lmo olu somm-s os prouos oios: Eão m-s: D Ns rprsção são sos os lmos lih qu são muliplios orm plos lmos olu rsulo lmo mri D ) Sjm Drmi s possívl: () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () Não é possívl pois ão êm msm imsão () Não é possívl pois o úmro olus mri ão é iul o úmro lihs mri () ( ) ( ) ( ) 9 (f) Osrvçõs impors sor muliplição mris:

11 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru ) muliplição mris ão é omuiv Emplos: ) Efur muliplição por por o: Osrv-s qu o so sss mris so ms qurs orm é possívl fur ms s mulipliçõs soliis Tm-s: ( ) ( ) ( ) ( ) 9 Por ouro lo m-s: ( ) ( ) ( ) ( ) Vê-s ssim qu mor ms s mulipliçõs sjm possívis m-s qu ) Efur s possívl muliplição por por so: So imsão imsão é possívl muliplir por : ( ) ( ) ( ) iso é o úmro olus é iul o úmro lihs Já muliplição por ão é possívl pois m-s: ( ) ( ) ou sj o úmro olus ão é iul o úmro lihs Eão fo-s muliplição por vm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ou sj 9 9 O mplo mosr qu po isir o prouo ão isir o prouo ) Ds s mris fur muliplição por por Tm-s:

12 Nss so m-s qu INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru Di-s ão qu s mris omum r si ou qu são omuávis É lro qu pr qu sjm omuávis é ssário qu ms sjm mris qurs msm orm ) N muliplição mris ão vl li o ulmo o prouo S-s qu os ois úmros ris s o prouo ls é iul ro iso é s ão s olui qu plo mos um ls é ro ou sj m-s ou O msmo ão oorr om o prouo mris iso é: s s mris m p p s o prouo ls rsul mri ul iso é s m isso ão rr ssrim qu sj um mri ul ou qu sj um mri ul Emplo: osirm-s s mris ão uls m-s: ( ) ( ) Ess é um rrísi uli o prouo mris qu po sr pos us forms quivls: - s isso ão impli qu ou ; - msmo qu po oorrr qu ) N muliplição mris ão vl li o lmo o prouo osiro-s ois úmros ris s iul por olui-s qu s po iviir mos os mmros por olui-s qu lmo ão s po iviir mos os mmros D moo mis rl s s ão Pr o prouo mris ão vl li o lmo iso é: s m smpr s m Ess é hm li o Emplo: osiro-s s mris qurs orm m-s: O mplo mosr qu ão impli qu Poso our form: m-s

13 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru om o o m-s qu olui-s ssim qu muliplição mris ão vl li o lmo Ours ris Espiis ) ri ilpo íi k mri qur é i ilpo íi k so k um úmro url mior o qu s k (qui o símolo rprs mri ul msm orm ) Emplo: mri é ilpo orm pois: Osrv-s qu mém é ilpo orm pois: D mir rl po-s firmr qu é ilpo orm k so k um úmro url mior ou iul ) ri impo mri qur é i impo s Emplo: mri É impo pois: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ri priói íi k mri qur é i priói íi k so k um úmro url mior ou iul s k Emplo: osir-s mri Tm-s: ;

14 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru ; ; k k so k um úmro url mior ou iul olui-s ssim qu mri é priói íi k ) ri rspos S mri ( ij ) m m imsão m su rspos é mri imsão m ujs lihs oiim orm om s olus o por ssim m-s: ( ji ) m Emplo: mri su rspos é mri Propris: é possívl mosrr qu são vális s propris: ) pr qulqur mri ( ij ) m m-s: ( ) ) s s mris ( ij ) m ( ) m jk ) s ( ij ) m ( ) p m-s: ( ) ij m-s: ( ) Osrv-s qu é possívl fur muliplição por qu rsul m um mri imsão m p ssim imsão mri ( ) qu fiur o primiro mmro iul im é p m Por ouro lo mris o suo mmro iul êm imsõs p m rspivm ssim po-s fur muliplição por qu rsul m um mri imsão p m Vê-s ssim qu s mris ( ) êm msm imsão É possívl mosrr lém isso qu os lmos orrspos sss mris são iuis ) Pr qulqur mri ( ij ) pr qulqur úmro rl ão ulo α m-s: m ( ) α α

15 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru ) ri siméri S é qur orm ão é i siméri omo s porá osrvr film os mplos qu srão os m um mri siméri os lmos simrim isposos m rlção à iol priipl são iuis Propris: são vális s propris: ) s é um mri siméri α é um úmro rl ão ulo ão α é mém um mri siméri; ) pr qulqur mri qur m-s qu é um mri siméri Emplos: ) D mri su rspos é: poro m-s qu ou sj é siméri oform s osrvou riorm os lmos simrim isposos m rlção à iol priipl mri são iuis lém isso muliplio-s por qulqur úmro rl ão ulo por mplo - vm: qu é siméri oform s firmou m um s propris ) osir-s mri qur Su rspos é: Osrv qu ão é siméri poro mém ão é Somo-s s us mris m-s: 9 9

16 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru omo s po vr os lmos simrim isposos m rlção à iol priipl mri oi são iuis poro é um mri siméri oform s firmou m um s propris s ) ri issiméri S é qur orm i-s qu é issiméri s Propris: é possívl mosrr qu são vális s propris: ) s é um mri issiméri α é um úmro rl ão ulo α é mém um mri issiméri; ) pr qulqur mri qur m-s qu é um mri issiméri Emplos: ) D mri su rspos é: poro m-s qu ou sj é issiméri omo s po osr s mplo pr qu um mri sj issiméri os lmos iol priipl vm sr ulos os qu são simrim isposos m rlção à iol priipl vm sr oposos ) osir-s ovm mri qur su rspos Osrv qu ão é issiméri poro mém ão é Tm-s: omo s po vr os lmos iol priipl mri oi são ulos os qu

17 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru são simrim isposos m rlção à iol priipl são oposos; poro é um mri siméri oform s firmou m um s propris s Osrvção: uso s propris s mris siméris issiméris po-s ompor qulqur mri qur m um som um mri siméri om um mri issiméri D fo m-s: () () Eão: é siméri poro S ( ) é issiméri poro T ( ) mém o é; mém o é ( ) ( ) ( ) ( ) S T oo S T ou sj é som um mri siméri om um mri issiméri ) ri riulr S é qur orm m-s ois sos mri riulr: - riulr ifrior: é l qu ij s i < j ou sj mri m form: - riulr suprior: é l qu ij s i > j iso é m-s mri: ris Equivls É usul rfrir-s um lih ou um olu um mri m omo so um fil Dfim-s s suis oprçõs lmrs om os lmos um fil mri: ) prmur us fils prlls r si ou sj prmur us lihs r si ou prmur us olus r si; ) muliplir oos os lmos um fil por um úmro rl ão ulo; ) somr os lmos um fil om os lmos our fil prll; ) somr os lmos um fil om múliplos os lmos our fil prll Quo s fum oprçõs lmrs om s fils mri m oém-s um mri m qu m s msms propris mri Tm-s ssim sui fiição:

18 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru Dfiição: Um mri é quivl um mri s po sr oi rvés um squêi fii oprçõs lmrs Emplo: vrifir s s mris são quivls Pr vrifir s s mris s são quivls r-s-á fur oprçõs lmrs om um ls om o ojivo or our Por mplo srão fis oprçõs lmrs om s lihs omo su: () ª lih s srá opi; ª lih srá susiuí por our rsulo oprção lmr "muliplir os lmos ª lih por ( ) somr om lmos ª lih" oform s ii suir: ; () mém-s or ª lih; ª lih srá susiuí por our rsulo oprção lmr "muliplir os lmos ª lih por somr om lmos ª lih" oform iio suir: Um v qu prir mri pô-s or mri rvés oprçõs lmrs om s lihs olui-s qu s mris são quivls Osrv-s qu o ivés rlir oprçõs lmrs om s lihs po-s rliá-ls om s olus : () ª olu s srá opi; ª olu srá susiuí por our rsulo oprção lmr "somr os lmos ª olu om os lmos ª olu" lém isso ª olu srá susiuí por our rsulo oprção lmr "muliplir os lmos ª olu por somr om os lmos ª olu" Esss oprçõs são iis suir: () srão susiuís s rês olus ss ov mri rvés s suis oprçõs: "muliplir os lmos ª olu por "; "muliplir os lmos ª olu por ( ) "; "muliplir os lmos ª olu por ( ) olu" Tm-s: somr om os lmos ª

19 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru () mêm-s or s olus susiui-s ª olu por our oi rvés oprção: "muliplir os lmos ª olu por ( ) somr om os lmos ª olu" ou sj: Osrvção: pois visos os méoos rsolução sisms quçõs lirs srá o o oio mris smlhs ri Eslo ) ri slo por lih Di-s qu um mri ( ) m ij sá slo por lih s ij pr j i > ssim mri m form: m Osrvção: os lmos ij is qu j i < pom ou ão sr ulos Emplo: s mris suis são mris slos por lih: ; ) ri slo por olu Di-s qu um mri ( ) m ij sá slo por olu s ij pr j i < ssim mri m form: m m m m m Osrvção: os lmos ij is qu j i > pom ou ão sr ulos Emplo: s mris suis são mris slos por olu:

20 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru ; D Pr prir um mri or-s um mri slo (por lih ou por olu) qu sj quivl fum-s oprçõs lmrs om sus fils Emplos: ) D mri or mris slos por lih por olu quivls l Efur-s-ão oprçõs lmrs om s lihs iis m p omo su: ssim mri slo por lih qu s ov é quivl à mri Por ouro lo pr s or um mri slo por olu qu sj quivl fur-s-ão oprçõs lmrs om olus omo su: ; mri slo por olu qu rsulou é quivl à mri ) D mri or mris slos por lih por olu quivls l Efuo-s oprçõs lmrs om s lihs iis m p m-s: ssim mri slo por lih qu s ov é quivl à mri Por ouro lo pr s or um mri slo por olu qu sj quivl fur-s-ão oprçõs lmrs om sus olus omo su:

21 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru mri slo por olu qu rsul s oprçõs lmrs é quivl à mri ri Ivrsívl Dfiição: D um mri qur orm s isir um mri qur msm orm l qu I ão mri é hm ivrs mri Di-s ão qu é ivrsívl Noção: S mri é ivrsívl su ivrs é úi S ão mi ivrs i-s qu é siulr Drmição ivrs: vr-s-á o momo ps um méoo rmição ivrs um mri ivrsívl uso oprçõs lmrs pós o suo os rmis os sisms lirs vr-s-ão ours us forms s rmir mri ivrs um mri Pr s rmir ivrs um mri qur orm rvés o méoo s oprçõs lmrs pro-s sui mir: srv-s um mri mpli om lihs olus ivii o mio vrilm Ns primirs lihs olus (ou sj o lo squro ivisão) olom-s os lmos mri Ns rss lihs olus (ou sj o lo irio ivisão) olom-s os lmos mri ii I Efum-s oprçõs lmrs om ss mri mpli om o ojivo rsformr mri qu sá o lo squro mri ii o fil o prosso rá s oro mri ii mri o lo irio rsul s oprçõs fis om mri I é mri ivrs ou sj é Emplo: osirm-s s mris Drmir ivrs um ls rvés o méoo s oprçõs lmrs Esrv-s mri mpli : Osrv qu s mri m o msmo

22 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru úmro lihs ms m o oro olus Do lo squro sá mri ; o lo irio mri I Efum-s suir oprçõs lmrs om s ov mri omo su: () opi-s primir lih já qu o primiro lmo é qu é mém o primiro lmo mri ii qu é o ojivo fil su lih srá moifi rvés s oprçõs : ; () om o ojivo or um ro posição mri opi-s su lih rsform-s primir fo-s: : () rs ps orr o lmo iul ; pr isso s qu s mulipliqu su lih por : To mri o lo squro s rsformo mri ii o lo irio é mri ivrs prour iso é: osiro-s or mri orm mri mpli rá lihs olus ii io: Fr-s-ão s oprçõs iis s psss um mri à our oform s su:

23 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru Osrvção: s o s furm oprçõs lmrs om um mri s oivr um ou mis fils uls olui-s qu mri ão mi ivrs Drmis Hisório Os primiros suos sor rmis m provvlm o séulo s foi só m qu o jpoês Tkku Ski Kow (-) usou iéi rmi m sus rlhos sor sisms lirs O uso o rmi o oi omçou os pois om um rlho Gofri Wilhlm ii (-) lio mém sisms lirs O frês Éi éou (-) sismiou m o prosso slimo os siis os rmos um rmi E ou ouro frês lr Théophil Vrmo (-9) primir orm ori os rmis O rmo rmi om o sio ul suriu m m um rlho uusi- ouis uh (9-) sor o ssuo lém uh qum mis oriuiu pr osolir ori os rmis foi o lmão rl Gusv Jo Joi (-) Dv-s l form simpls omo ss ori s prs é hoj * O rmi um mri qur orm ( Ν ) ( ) é um slr oo por Drmi um mri qur orm D mri ( ) su rmi é iul o próprio lmo Ii-s: ( ) ou Osrvção: ão s v ofuir s so oção qu ii o rmi mri ujo úio lmo é o úmro rl om o móulo (ou vlor soluo) o úmro rl Emplo: s ( ) ão ( ) Pr s or o rmi mris qurs orm plim-s os méoos qu srão srios suir Rr Srrus Es rr v-s Pirr Frééri Srrus (9-) qul s pli os rmis ª ª orm omo su

24 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru () Drmi um mri qur orm D mri su rmi é: ( ) ou sj o rmi é iul à ifrç r o prouo os lmos iol priipl o prouo os lmos iol suári mri Emplo: mri su rmi é: ( ) ( ) ( ) () Drmi um mri qur orm O rmi mri é lulo sui mir: ( ) ( ) Po-s usr sui rr prái: rpm-s s us primirs olus o lo s rês olus oriiis o rmi; m sui somm-s os rsulos os rês prouos o sio iol priipl surio-s pois som os rês prouos fuos o sio iol suári oform mosr Fiur ( ) FIGUR Osrvção: ss méoo lulr o rmi s pli ps mris qurs orm Emplo: sj

25 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru Tm-s: ( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) Torm pl Pr mris qurs orm ( ) o Torm pl (Pirr-Simo pl 9-) ofr um solução prái o álulo os rmis Pr qu sj possívl uiliá-lo são ssáris s fiiçõs suis or omplmr D mri qur ( ij ) orm ( ) o mor omplmr um lmo ério ij mri é o rmi D ij qu s oém suprimio lih i olu j Emplo: mri rmir os mors omplmrs D D D D oro om fiição m-s: D ; D ; D ofor D mri qur ( ij ) um lmo ij i j mri o prouo ( ) orm so hm-s ofor plo rmi sumri oi limio-s lih i olu j ssim o ofor um lmo ij é o mor i j omplmr ss lmo muliplio por ( ) por ij O ofor o lmo ij é oo Emplo: osir-s mri:

26 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru Os ofors os lmos são: ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) Torm pl: O rmi um mri qur orm ( ) é iul à som os prouos os lmos um lih ou olu qulqur plos rspivos ofors ssim mri omo-s omo rfrêi por mplo primir lih m-s: ) ( Osrvção: po-s plir o Torm pl uilio-s qulqur lih ou olu mri omo rfrêi É usul solhr-s qul qu prs mior qui ros om o ojivo imiuir os álulos Emplos: ) D mri lulr su rmi uso o Torm pl Esolho ª olu omo rfrêi vm: ( ) ou sj ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) osir-s mri lulr su rmi uso o Torm pl

27 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru Esolhr-s-á primir lih pr plir o Torm pl porqu l prs ois lmos ulos o qu fili plição o méoo lom por-s-i r solhio qur olu qu mém prs ois ros Ero rssl-s qu s po solhr qulqur lih ou olu Tm-s: ( ) ssim vm: ( ) ( ) - ( ) - ( ) ( ) Rr hió Dv-s o mmáio ilio Fli hió (-) Sj ( ij ) um mri qur orm ( ) miio-s iiilm qu mri prs um lmo ij suprimm-s lih i olu j orrspos s lmo uiário rso um sumri orm Tom-s lmo pk ss sumri l suri-s o prouo osrói-s mri ( ) pk O rmi srá o por: i j ( ) ( ) ( ) o pk pk ikpj Pr visulir mlhor ss prosso osir-s mri ; ikpj ou sj supoo-s por mplo qu o lmo sj iul limim-s lih olu : osrói-s or mri prir os lmos qu rsrm mri pois suprimis lih olu Por mplo o lmo é oio sui form:

28 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru ; pr oção o lmo f-s: Proo-s moo áloo osrói-s mri : Poro o rmi é: ( ) ( ) Emplo: omo-s ovm mri osir os mplos riors usr rr hió pr lulr su rmi plir-s-á rr hió pr o lmo ssim limir-s-ão primir lih primir olu osruir-s-á mri prir os lmos qu rsrm m Eão vm: ( ) ( ) ; poro m-s: ( ) ( ) ( ) ( ) qu é o rsulo oio riorm por mio os ouros méoos Osrvção: so mri ão prs um lmo iul po-s solhr qulqur lmo ão ulo ij muliplir fil (lih ou olu) à qul l pr por pr s ij or o lmo ssário pr plição rr hió Or-s-á um mri pr qul s pli rr hió omo s vrá suir s propris os rmis o rmi mri é iul o rmi muliplio por ou sj ( ) ( ) poro ( ) ( ) ij ij ij Emplo: osiro-s ovm mri o mplo rior lulr-s-á su rmi uilio-s o lmo (supoo qu ão houvss hum lmo

29 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru iul mri ) Poro mulipli-s rir lih por oém-s mri : pli-s ssim rr hió pr ss ov mri omo-s omo rfrêi o lmo Pr o limim-s rir lih primir olu mri osrói-s mri orm prir os lmos qu rsrm mri : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ssim olui-s qu: ( ) ( ) rsulo qu já foi oio rvés os méoos riors Propris os Drmis Sj um mri qur orm s: ) Tm-s ( ) possui um fil (lih ou olu) ul; prs us fils prlls iuis; possui us fils prlls proporiois (iso é os lmos um fil são múliplos os lmos our fil) ou s um s fils é um som léri múliplos s ours fils ) S é riulr (suprior ou ifrior) ou s é iol su rmi é iul o prouo os lmos iol priipl ) uliplio-s um fil por um slr ão ulo α su rmi firá muliplio por α ) Prmuo-s us fils prlls su rmi firá muliplio por ( )

30 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru ) S é um mri oi somo-s um fil om um múliplo our fil prll ou sj s são quivls ão ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) s qu ( ) 9) S prir osrói-s mri ão: Osrvção: é lro qu s propri é vrir s o ivés s somrm úmros ris à primir olu omo pliio im somrm-s úmros ris qulqur our olu Emplos: ) Sj um mri qur orm l qu ( ) lulr ( ) S ão Ds propris os rmis vm: ( ) ( ) Um rro muio omum qu s om é firmr qu ( ) ( ) so qu Isso ão é vr pois mri é oi muliplio-s oos os lmos por ou sj muliplio-s um s us lihs por ; ssim pl propri vis riorm o rmi fi muliplio por Eão: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )

31 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru Tm-s um qução o º ru uj vriávl é ( ) ssim vm: ( ) ( ) ( ) o s su qu ( ) ou ( ) Um v qu por hipós s-s qu ( ) olui-s qu ( ) ) osirm-s s mris () osrr qu é vrir propri ou sj mosrr qu: ( ) ( ) ( ) lulm-s iiilm os rmis : ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Por ouro lo fuo-s muliplição por oém-s: 9 ; ssim su rmi é: ( ) ( ) ( ) Vê-s ssim qu ( ) ( ) 9 ou sj ( ) ( ) ( ) () Vrifiqu s é vrir firmção: ( ) ( ) ( ) Já s s qu ( ) 9 qu ( ) Poro: ( ) ( ) 9 () lul-s ão som pr pois lulr su rmi: ; ão:

32 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru ( ) ( ) () Poro ( ) D () () olui-s qu ão é vrir iul iso é m rl: ( ) ( ) ( ) ) É possívl mosrr qu ár um riâulo om véris os poos ( ) P ( ) ( ) P po sr lul rvés prssão P S ( ) o mri é Uso ss prssão lulr ár o riâulo om véris os poos P ( ) ( ) ( ) P Primirm osrói-s mri om s oors os poos iso é: ; su rmi é: ( ) ( ) ssim ár o riâulo é: S ( ) ui ár P plição o Drmi o álulo ri Ivrs So-s or omo lulr o rmi um mri qur po-s vr um s forms rmir mri ivrs s isir iso é s for ivrsívl Pr isso uilim-s s fiiçõs mor omplmr ofor viss riorm lém mri ofor fii suir ri ofor D um mri qur orm ( ) hm-s mri ofor mri ujos lmos são os ofors lmo mri Noção: of ( )

33 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru Emplo: mri os ofors sus lmos são: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ssim mri ofor é: of ( ) ri ju D um mri qur orm ( ) hm-s mri ju rspos mri ofor mri Noção: j ( ) ssim: ( ) ( of ( ) ) j Po-s or usr o rsulo sui pr lulr ivrs um mri ivrsívl Proposição: Sj um mri qur orm ( ) l qu ( ) Eão mri ivrs é rmi por: ( ) j( ) Osrvção: s ( ) mri ão mi ivrs ou sj é siulr ssim um mri é siulr s som s ( ) S ( ) é i ão-siulr

34 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru Emplo: osir-s mri Drmir su ivrs rvés mri ju Vrifir-s-á qu é ão-siulr ou sj mi ivrs lulo su rmi Tm-s: ( ) ( ) ( ) omo ( ) é ão-siulr poro mi ivrs lulm-s ssim os ofors os lmos omo su: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ssim mri ofor é: ( ) of poro su ju é: ( ) ( ) ( ) of j

35 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru oo mri ivrs é: j( ) ( ) Sisms irs Hisório N mmái oil i são pous s priçõs sisms quçõs lirs No Ori ouo o ssuo mru ção m mior om su oso spil por irms os hiss rprsvm os sisms lirs por mio sus ofiis srios om rrs mu sor os quros um uliro ssim rm sorio o méoo rsolução por limição qu osis m ulr ofiis por mio oprçõs lmrs Emplos s proimo orm-s os Nov píulos sor r mái um o qu provvlm o séulo Dfiição: hm-s qução lir vriávis o qução o ipo: o: são úmros ris hmos ofiis; são s vriávis; é o rmo ip Osrv qu m um qução lir s vriávis êm po ão prm rmos os quis hj prouo us ou mis vriávis r si Emplos: ) qução po sr sri form o s ióis form hms rspivm os ofiis rprsos por O rmo ip s so é o qul po sr srio o primiro ou o suo mmro qução Es rprs o plo O um r é hm qução rl r ) qução lir D qul os ofiis ão s ulm o msmo mpo m omo rprsção oméri o spço riimsiol um plo Por mplo qução é lir pois prs m rmo ps um iói om po iul ) qução ão é lir pois prs iói om po mior o qu (o so po )

36 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru ) qução ão é lir pois prs o rmo qu p o prouo us ióis ) qução ão é lir pois o po vriávl é - Dfiição: D qução lir hm-s solução s qução squêi úmros ris (ou sj um -upl) α α α é um ii vrir α α α l qu: Emplos: ) qução rl r por mém po sr sri form rui o s qu ssim qução po-s srvr Quo s f oém-s qução lir uj solução é um úio vlor : oo o pr oro é um solução qução lir ) D qução lir r ( ) ( ) ou sj é solução qução pois susiuio-s sss vlors qução m-s: ou sj qu um ii vrir Já r ( ) ão é solução s qução pois: qu é flso ) D qução lir vrifi-s qu pr m-s: ou sj r vlors ( ) sisf qução poro é um solução qução Dfiição: hm-s sism lir um ojuo formo por m quçõs lirs ióis osirs simulm omo iio:

37 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru m m m m m : S Os lmos ij om { } m i { } j são os ofiis s ióis m são os rmos ips s quçõs o sism; m ii orm o sism Osrvção: po-s form mis simplifi or-s um sism lir por ( ) S Emplo: são sisms lirs os ojuos quçõs lirs: ( ) : S (sism quçõs ióis) ( ) : S ou ( ) : S (sism quçõs ióis) Dfiição: hm-s solução o sism lir ( ) S um -upl ( ) α α α úmros ris qu sisf simulm s m quçõs o sism ( ) S Eão rsolvr o sism ( ) S siifi orr -upl ( ) α α α ujos lmos sisfm simulm os s sus quçõs Emplo: osir o sism lir: r ( ) é solução s sism lir pois: ou sj r ( ) sisf os s quçõs mro qu são quçõs plos o R olui-s qu ( ) é o úio poo m omum sss plos iso é ls s irpm ss poo

38 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru Form riil um Sism ir O sism lir Sm : m m m po sr srio form mriil osiro-s: um mri ( ij ) om os m ofiis s quçõs o sism; um mri olu ( ) o sism; um mri olu ( ) m ssim o sism po sr srio form j m X i oo s ióis oo os rmos ips s quçõs X Osrv-s qu s qução mriil sá m fii pois o prouo s mris iio o primiro mmro é possívl já qu o úmro olus é iul o úmro lihs X o rsulo o prouo é mri imsão m Epliio-s ss qução vm: m m m m lssifição os Sisms irs O sism lir ( S ) po sr impossívl ou iompívl quo ão m solução S ( S ) mi plo mos um solução l é io possívl ou ompívl Ns so s solução é úi l é possívl rmio ou ompívl rmio S m mis um solução é hmo possívl irmio ou ompívl irmio O squm sui rsum lssifição o sism ( S ): iompívl ou impossívl (quo ão m solução) Sism lir ompívl ou possívl rmio (solução úi) (quo m solução) irmio(mis um Pr filir lssifição os sisms é omum uilir-s s sils: sism impossívl: SI; sism possívl rmio: SPD; sism possívl irmio: SPI solução) O sism lir ( S ) é hmo homoêo quo os s quçõs êm rmo ip iul ro Emplo: o sism sui é homoêo:

39 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru Too sism homoêo é ompívl pois mi plo mos -upl ( ) omo solução hm solução rivil S s solução for úi o sism é ompívl rmio S lém solução rivil miir our(s) é ompívl irmio Dois sisms lirs ( S ) ( S ) são quivls s som s o solução ( ) mém solução ( S ) riprom o solução ( S ) é mém solução ( ) Quo m um o sism ( S ) s fum s suis rsformçõs lmrs: () prmu us (ou mis) quçõs r si; () muliplição oos os rmos um qução por um úmro rl ão ulo; S é () susiuição um qução por our oi pl som léri s qução om qulqur our qução; () susiuição um qução por our oi pl som léri s qução om um múliplo qulqur our qução oém-s um ovo sism ( S ) quivl ( S ) ou sj mos êm (s) msm(s) solução(õs) S Osrvçõs: ) Osrv qu sss rsformçõs lmrs são álos às oprçõs lmrs qu form fiis pr s mris Viu-s qu quo um mri é oi um mri rvés oprçõs lmrs om sus fils (lihs ou olus) s mris são quivls Um v qu os sisms lirs pom sr srios form mriil é url qu os sisms ( S ) ( ) S sjm quivls ) S o s plir qulqur méoo rsolução um sism lir prr um (ou mis) qução o ipo s(s) qução(õs) po(m) sr limi(s) o sism pois é(são) vrir(s) pr quisqur vlors so prç um (ou mis) qução(õs) o ipo α om α qu é(são) fls(s) pr quisqur vlors olui-s qu o sism é impossívl poro ão m solução éoos Rsolução Sisms irs ) éoo Susiuição: osis m "isolr" um s ióis m qulqur qução o

40 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru sism ( S ) susiuí-l s mis oo-s ssim um ovo sism lir ( ) S om um iói mos Rp-s o prosso é qu s oh um qução qu p ps um iói prir rmição s iói (s for possívl) susiuis su vlor s quçõs qu l pm o qu possiili rmição s mis ióis Emplos: ) Rsolvr o sism lir io plio o méoo susiuição: ( S ) : 9 O sism ( S ) m orm iso é m rês quçõs rês ióis Po-s por mplo isolr iói primir qução m fução s ours us ióis susiuí-l s mis omo su: () Eão vm: ( ) ( ) o s oém o sism ( S ) orm : S : ( ) 9 Nss ovo sism solh-s um s vriávis pr sr isol m fução our; por mplo isolo vriávl primir qução susiuio- su vm: () Eão m-s: ( ) Susiuio-s ss vlor qução () oém-s Esss vlors susiuíos m () rsul m sj o sism ( S ) é possívl rmio Gomrim isso siifi qu ( ) 9 Poro úi solução o sism é {( )} ou é o úio poo omum os plos quçõs ) Rsolvr o sism lir io plio o méoo susiuição: ( S ) : Isolo-s por mplo iói primir qução m-s:

41 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru () Susiuio- s mis quçõs oém-s: ( ) ( ) ou sj oém-s o sism ( S ): S : ; ( ) m ( S ) solh-s isolr iói primir qução susiuio- m sui su omo s su: () ( ) Osrv-s qu qução é vrir pr qulqur úmro rl ; ssim qulqur vlor porá sr solhio pr s orm os vlors s ours ióis o qu ii qu o sism mi ifiis soluçõs ou sj é possívl irmio Por mplo omo-s susiuio ss vlor qução () oém-s ; sss ois vlors susiuíos qução () rsulm m ou sj r ( ) é um solução ( S ) omo s pori r solhio qulqur vlor rl (ou sj ifiios úmros ris) fi vi qu ( S ) m ifiis soluçõs Em siuçõs omo ss é usul r-s solução rl o sism qu é oi proo-s omo s su: susiui-s qução () qu p iói qução () pr qu mém fiqu sri m fução : ( ) oo solução rl o sism o é: { ; ; R} Ess solução prmi orr qulqur solução o sism riuio-s qulqur vlor rl oo-s prir l os vlors Gomrim m-s qu os plos quçõs êm ifiios poos m omum ) éoo Guss ou éoo o Eslomo: Es é um os méoos mis uilios rsolução sisms lirs s v rl Fririh Guss (-) Do o sism lir ( S ) su ojivo é orr um sism quivl ( S ) riulr ou sj um sism uj mri os ofiis sj slo por lih ou riulr suprior (osrv qu o rmo mri riulr suprior é quo som s mri é qur; ro m um uso lium é uso msmo pr mris rulrs) So sisms quivls mos rão (s) msm(s) solução(õs) Pr o f-s uso

42 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru s rsformçõs lmrs moo slor ou riulrir o sism o Ou sj o o sism lir ( ) m m m m : S oém-s rvés oprçõs lmrs plis m sus quçõs o sism quivl ( ) S o por: ( ) m m : S β β β β hmo sism sloo o qul m por mri os ofiis um mri riulr suprior: m O ojivo é qu úlim qução (qução ) p som iói o qu possiili rmir su vlor pois o vlor s mis ióis por um rrosusiuição iso é susiui-s qução rior (qução ) oo-s o vlor ; m sui susium-s sss ois vlors qução rior (qução ) oo-s o vlor ssim sussivm é qu s susium os vlors s ióis primir qução oo-s film o vlor Um form filir o rlho slomo é osirr-s o qu s hm mri os ofiis um ou sj é omr-s mri os ofiis s quçõs o sism om um olu mis oo os rmos ips s quçõs Efum-s om ss mri s rsformçõs lmrs ssáris pr orá-l riulr suprior; srvm-s ão s quçõs o sism quivl ( ) S oio lul-s su solução qu é msm o sism ( ) S Emplos: ) Rsolvr ovm o sism lir ( ) S osiro riorm rvés o méoo Guss: ( ) 9 : S

43 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru mri um o sism ( ) S é: 9 Efum-s ssim s oprçõs iis: 9 ssim o sism ( ) S quivl ( ) S é: ( ) : S D úlim qução m-s qu o qul susiuío su qução prmi orr o vlor : Esss vlors são susiuíos primir qução o s olui qu Poro o sism mi r ( ) omo solução úi já oi riorm plo méoo susiuição ) Rsolvr o sism plio o méoo o slomo ( ) : S mri um o sism é: Trom-s primir rir lihs mri pr qu o primiro lmo sj iul om o ojivo filir os álulos: ; Efum-s ão s oprçõs lmrs ssáris pr riulrir mri oform iio: Poro o sism riulr quivl ( ) S é: ( ) : S

44 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru S é: qul ão é sisfi pr Vrifi-s qu úlim qução ( ) hum vlor o qu siifi qu o sism ão m solução S ( S ) é impossívl ão ( ) S mém o é Isso siifi qu os plos quçõs ão êm poos m omum ) Rsolvr os sisms lirs homoêos plio o méoo iio: ) ( S ) : plo méoo susiuição ) ( S ) : plo méoo Guss ) D primir qução m-s: () Susiuio s vlor s ours us quçõs vm: ( ) ( ) Iso é oém-s o sism lir ( S ) om us quçõs us ióis: S : ( ) D primir qução ( S ) vm: () Susiuio su m-s: Fo m () oém-s Susiuio-s os vlors m () oém-s Poro úi solução o sism é rivil: {( ) } possívl rmio ou sj ( ) iso é o sism é é o úio poo omum os plos quçõs ) omo viso riorm é ovi rlhr om mri os ofiis um; ro omo os rmos ips são oos ulos úlim olu srá smpr ros poro po-s opr por ão uiliá-l iso é po-s rlhr ps om mri os ofiis s quçõs o sism rlir s oprçõs lmrs ovis pr orá-l riulr suprior omo s su: Osrv-s qu úlim lih oém som lmos ulos ou sj o sism ( S )

45 quivl ( ) S : ; ( ) INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru S é: oform osrvo riorm úlim lih po sr rir oém-s ão: S : ( ) O fo hvr rês ióis ps us quçõs já ii qu o sism rá mis um solução ou sj é irmio D fo su qução ( S ) m-s: Susiuio primir qução oém-s: Vê-s poro qu s ióis pm iói Por mplo omo-s oém-s solução rivil ( ) Ero l ão é úi um v qu po ssumir qulqur vlor rl; ou sj o sism m ifiis soluçõs S ssum o vlor por mplo oém-s um ov solução: ( ) solução rl o sism é por: ; R Um v qu o sism m ifiis soluçõs olui-s qu os plos quçõs êm ifiios poos m omum ) O iror um mprs o Sr oio ovoou oos os sus fuioários pr um ruião om h o Sr oio à sl ruiõs o úmro homs prss sl fiou quro vs mior qu o úmro mulhrs mém prss sl S o Sr oio ão foss à ruião viss su srári o úmro mulhrs firi rç pr o úmro homs Drmir qui pssos prss sl uro o iror Sjm: H rspivm qui homs mulhrs qu svm sl ruiõs à spr o Sr oio Pr qu sj possívl rsolvr o prolm r-s-á quioá-lo ou sj r-s-á ruir iformção o uio o prolm form um sç mmái ou mis pliim form um qução ssim frs: "om h o Dr oio à sl ruiõs o úmro homs prss sl fiou quro vs mior qu o úmro mulhrs mém prss sl" po sr rui ou irpr mmim por: H () frs: "S o Dr oio ão foss à ruião viss su srári o úmro

46 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru mulhrs firi rç pr o úmro homs" po sr rui ou irpr mmim por: H () Por ouro lo "Drmir qui pssos prss sl uro o iror" mmim siifi rmir o vlor H osiro-s s quçõs () () po-s srvr um sism lir om us quçõs us vriávis (ou ióis): ( S) H : H qu po sr rsolvio por qulqur méoo viso riorm Rsolvo-o plo méoo susiuição vriávis vm: D primir qução m-s qu H ; susiuio ª qução oém-s: ( ) H olui-s ssim qu hvi mulhrs homs sl ruiõs poro o úmro ol pssos qu svm à spr o Sr oio r 9 ) Em um ms um lho o osumo suíhs rfrirs um pço or oliou R$ Em our ms o osumo suíhs rfrirs um pço or oliou R$ Quo srá um psso qu osum um suíh um rfrir um pço or? om o ojivo quior o prolm irouir-s-ão vriávis ou ióis o prolm: rprsr-s-á o prço um suíh por s o um rfrir por r o um or por Irprm-s or mmim s iformçõs s o uio o prolm omo su: " suíhs rfrirs pço or oliou R$ ": s r ; " suíhs rfrirs pço or oliou R$ ": s r ; Quo srá um psso qu osum um suíh um rfrir um pço or? siifi: qul é o vlor s r? Doo-s ss vlor prouro por m-s qução s r solução s prolm é solução um sism lir ( S ) om rês quçõs rês ióis: s r S : s r s r ( ) o qul srá rsolvio plo méoo Guss Pr o rlh-s om mri um

47 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru o sism fuo-s oprçõs lmrs om sus lihs om o ojivo slor o sism omo su: Poro o sism ( ) S quivl ( ) S é: ( ) r s r s r s D úlim qução vm: 9 9 ) ) ( ) ( ou sj r s Poro um psso qu osum um suíh um rfrir um pço or srá R$ plição os éoos Rsolução Sisms irs Drmição Ivrs um ri D mri orm prour-s um mri qur l qu o prouo por sj iul à mri ii orm Pr qu s rmim os lmos srv-s qução mriil I rsolv-s o sism lir rsul l S o sism for possívl rmio iso é s o sism m ps um solução ão mri é mri ivrs ou sj so o sism sj impossívl ou possívl irmio olui-s qu ão mi ivrs ou sj ão é ivrsívl Emplo: Sjm Drmir s houvr ivrs um ls Sj Pr qu sj mri ivrs v-s r I Eão vm:

48 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru Rsolvo os sisms lirs oém-s solução: ; ssim olui-s qu mri é ivrsívl su ivrs é mri Pr rmir ivrs mri osir-s mri i h f N Tm-s ssim qução mriil I N ou sj: i h f ou sj i f h i f h i f h o rsulm os sisms lirs: h h i f i f f Rsolvo os rês sisms lirs oém-s: i ; h ; ; f ; ; ; ; ; poro ivrs é mri ris Smlhs Dfiição: Sjm us mris qurs orm Di-s qu é smlh s is um mri qur orm P ão siulr l qu P P

49 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru Emplo: vrifir s s mris são smlhs os suis sos: () () () Pr qu sjm smlhs v isir um mri P ão siulr msm orm sss us mris l qu P P osir-s mri ão siulr P S P é ão siulr ão is su ivrs P Vrifir-s-á s é possívl orr os ofiis l form qu sj vrir iul P P om ss ojivo muliplim-s mos os mmros prssão P P à squr pl mri P vm: P PP P iso é IP P ou sj P P Eão: o s su qu: D iul mris rsulm ois sisms lirs: Vê-s ssim qu os sisms são irmios sus soluçõs ris são: R om oo mri P is s srv form: P

50 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru Em priulr pr su qu P qul é ão siulr pois ( ) P Eão P Osrv-s qu s mris P P ois orm vrir iul P P : P P Rssl-s qu pom ssumir quisqur vlors ris s qu sjm ão ulos S por mplo osirr-s oém-s mri P ujo rmi é ulo poro é siulr o qu rr qu ão mi ivrs ssim pom-s or ifiis mris ivrsívis P s qu s omm vlors ão ulos pr () So s mris s orm osir-s mri ão siulr i h f P Vrifir-s-á s é possívl orr os ofiis ss mri l form qu sj vrir iul P P ssim muliplim-s mos os mmros prssão P P à squr pl mri P oo-s: P PP P iso é P P Eão: i h f i h f i f h i f h f i h f D iul s mris rsulm rês sisms lirs iios rsolvios suir: R h h h h

51 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru f f f i f i f i i Poro mri P fi sri form: P ; P so ( ) su-s qu P é siulr qulqur qu sj o vlor o ofii qu s om oo ão is um mri ão siulr P l qu mris smlhs P P poro ão são Osrvção: o fo um mri sr smlh um mri sá irm ssoio o fo mri miir um rprsção rvés um mri iol o so mri oform sui fiição: Dfiição: Um mri qur orm é ioliávl s is um mri ão siulr P l qu P P é um mri iol Osrvção: fiição im i qu mri é ioliávl s is um mri iol smlh l Um v qu prir mri rvés lus proimos oém-s mri iol i-s por uso lium qu mri é mri qu foi ioli Emplos: ) osirm-s s mris o im () o mplo rior osrou-s qu ls são smlhs iso é qu P P So mri iol olui-s qu mri é ioliávl qu é su rprsção iol ) osrou-s o im () o mplo rior qu s mris ão são smlhs iso é ão is um mri ivrsívl P l qu P P ssim olui-s qu ão é ioliávl iso é ão mi um rprsção iol O lior pori ão qusior: "srá qu ão is our mri iol ifr mri qu sj rprsção iol mri?" osrr-s-á qu ão Pr isso

52 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru supoh-s qu is um mri qu sj rprsção iol mri ou sj supoh-s qu sj ioliávl Eão por fiição v isir um mri ão siulr P l qu P P ou quivlm P P Eão: i h f i h f ou sj i f h i f h f i h f D iul r mris oêm-s os sisms lirs: ( ) : S ( ) h h h : S ( ) i f i i f f f : S No sism ( ) S v-s r pois s ss sism firi srio form: ( ) : S iso é D primir qução r-s-i qu su qul susiuí rir qução rsulri qu ou sj Eão r-s-i o qu impliri qu P sri siulr pois su rmi sri ulo Poro m-s qu omo os sisms ( ) S ( ) S ( ) S são quivls ão v-s r D primir qução o sism ( ) S m-s qu pr oo su qução m-s pr oo Susiuio-s s úlim prssão rir qução oém-s:

53 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru o vm qu: ( ) ( ) ou sj ( ) ( ) o su-s qu ( ) ssim olui-s qu ou oform s lisou riorm v-s r Eão v-s r iso é v-s r ou Um v qu v sr ifr olui-s qu o qu rr qu so um úmro rl ão ulo omo os sisms lirs ( S ) ( ) m ( S ): h m ( S ): f i f oo mri osir S são quivls rsolvo-os su-s qu: so um úmro rl ão ulo; so f um úmro rl ão ulo P f m sui form: h i P P omo s fils (lihs ou olus) mri P são proporiois ão ( ) f f f ou sj P é um mri siulr olui-s ssim qu ão is P ão siulr l qu é mri ão é ioliávl P P iso Osrvçõs: ) osirm-s s mris os suis sos: () () () () Já s mosrou qu s mris o im () são smlhs; ro ls são mém quivls pois prir mri é possívl or-s mri rvés um squêi fii oprçõs lmrs omo su:

54 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru s mris são smlhs porqu é ioliávl são quivls porqu êm s msms propris Por mplo: ( ) ( ) () omo s viu riorm s mris ão são smlhs ms são quivls pois: Els ão são smlhs porqu ão é ioliávl ms são quivls porqu êm s msms propris Por mplo: ( ) ( ) () Osrv-s qu s mris êm imsão ou sj ão são qurs Pr qu sj possívl o prouo P mri P v sr imsão pr qu sj possívl o prouo P mri P v sr imsão olui-s ssim qu ão is um mri ão siulr P l qu P P iso é P P ssim s mris ão são smlhs ão pom sr iolis No o s mris são quivls oform já s mosrou m mplo o im ris Equivls mosr-s ovm io: So quivls ls êm s msms propris Por mplo: psr ão srm qurs vê-s qu os rmis s sumris qurs orrspos um ls são iuis: ; ; ) qusão sr s um mri é ioliávl ou ão iso é sr s é ou ão smlh um mri iol smph um ppl impor Álr ir No píulo 9 srá irouio um méoo pr rmição mri ão siulr P l qu P P Eríios Proposos ) Sjm Drmir mri X l qu X ( ) R: X 9 ) Drmir s for possívl mri ivrs s mris s

55 INTRODUÇÃO O ESTUDO D ÁGER INERR ui Friso ru Dprmo mái Usp/uru ) R: ) R: 9 ) Ds s mris p-s: ) Drmir ( ) [ ] R: ) osrr qu ( ) [ ] ( ) ( ) om ( ) ( ) ) osirm-s s mris: D So-s qu D rmir o vlor ( ) R: ( ) ) lssifir rsolvr os sisms lirs; ) R: SPD; { } ) ( ) 9 R: SPI; R ; ; 9 ) R: SI ) S méli r R$ úi ão ms firão om msm qui S méli prr m o qu m firá om um qui iul um rço o qu m ri S ri r um rço o qu m úi ão s firá om R$ mis qu méli Quo possum méli úi ri? R: méli: R$; úi: R$; ri: R$