FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim

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1 FCULDDE DE CIÊNCI E ECNOLOGI Cursos Eghri Prof Álvro Frs Srfim Últim tulição: //

2 Est postil Álgr Lir foi lor pl Profssor Ilk Rouçs Frir plo Profssor Álvro Frs Srfim ms st postil: Mtris pág Oprçõs om mtris pág Mtris ivrsívis pág Dtrmits pág Sistms lirs pág Oprçõs lmtrs slomto pág Rgr Crmr pág plição: Ciruito létrio simpls pág plição: Costruio urvs suprfíis por potos spifios pág Eríios gris pág Mtris Um oglomro é omposto por lojs umrs tl sguir prst o fturmto m ris os qutro primiros is o mês gosto um trmio o / / / / Loj 9 9 Loj Loj 9 Loj 9 Loj Qul o fturmto loj o i? Qul o fturmto totl tos s lojs o i? Qul o fturmto totl loj os is? Pomos rprstr tl im strio o sigifio sus lihs olus sguit mir (qu hmmos mtri): Est mtri possui lihs (rprsto o úmro lojs) olus (rprsto o úmro is) Dimos qu l possui orm ; Os lmtos st mtri são os úmros qu rprstm o fturmto; Um lmto gério um mtri é rprsto por o i ii lih qu l oup j olu Pr mtri im tmos 9 ; ; t Pr situção prst mtri im tmos qu fturmto loj i o i j

3 Dfiição: Sjm m ois úmros itiros mtri orm m (lê-s m por ) osist m m lmtos ispostos m m lihs olus qu iirmos ( ) m oform tl m m m m ou m m m m o ii o lmto i-ésim lih j-ésim olu mos vrição i omo i m vrição j omo j Osrvção: O lmto po prtr qulqur ojuto (úmros fuçõs poliômios mtris t) rlhrmos om mtris m qu os lmtos srão úmros ris Eist um séri situçõs m qu utilimos rprstção mtriil Emplos: mtri P io for quti vitmis B C (rprsts s olus) otis os limtos I II (rprstos s lihs) P ssim ii qu ão ist vitmi C o limto I Cosir ligção tr potos (os quis pom rprstr pssos is píss t) rprst o lo Sj s i stá ligo j s i ão stá ligo j form mtriil o igrm mitio-s qu too poto stá ligo si msmo é: Curiosi plvr mtri riv plvr lti mtr qu sigifi mã Quo o sufio i é rsto o sigifio tor-s útro ssim omo um útro volv um fto os olhts um mtri volvm sus lmtos ssim omo o útro á origm um ê um mtri gr rtos tipos fuçõs hms trsformçõs lirs qu srão vists postriormt

4 ipos spiis mtris Mtri ul é qul m qu i j Emplo: Mtri lih é to mtri o tipo ( ) Emplo: ( ) Est mtri tm orm Mtri olu é to mtri o tipo ( ) m Emplo: Est mtri tm orm Os: Um slr (um úmro rl) po sr itrprto omo um mtri orm ( ) Mtri qur é to mtri o tipo ( ) isto é o úmro lihs é igul o úmro olus Nst so imos qu é um mtri qur orm pomos usr otção Os: Num mtri qur os lmtos form lmtos igol priipl kk k são hmos Emplo: é qur orm Os lmtos igol priipl são Dimos tmém qu os lmtos formm igol suári Mtri igol é mtri qur m qu os lmtos qu ão stão igol priipl são ulos Emplo:

5 Mtri slr é mtri igol m qu os lmtos igol priipl são iguis Emplo: Mtri iti é um mtri igol m qu os lmtos igol são iguis Usmos otção I pr iir mtri iti orm Emplo: () I I I I I Mtri trigulr suprior é um mtri qur m qu toos os lmtos io igol priipl são ulos isto é j i > s Emplo: Mtri trigulr ifrior é um mtri qur m qu toos os lmtos im igol priipl são ulos isto é j i < s Emplo:

6 Oprçõs om mtris Igul Dus mtris ( ) B ( ) m rs m r s i j ição são iguis s possum msm orm isto é som us mtris msm orm ( ) B ( ) m m C B tl qu C ( ) i j msm orm m qu otmos por Propris ição: i) Comuttivi: B B ii) ssoitivi: (B C) ( B) C iii) Elmto utro: o rprst mtri ul é um outr mtri C o iv) Elmto oposto: D mtri ist mtri opost qu otrmos por tl qu ( ) m Emplo: Sjm B trmi B B Multiplição por um slr k um slr Dfiimos mtri k omo so mtri B k o Sj ( ) m ( ) m B tl qu k Isto é multiplimos toos os lmtos por k Emplo: Sj mtri B é B Propris multiplição por slr: i) k( B) k kb ii) (k k ) k k iii) k (k ) (k k ) Os: k k

7 ifrç B é som om opost B isto é ( B) Emplo: Sjm B trmi B B 6 Multiplição mtris Cosirmos sguit situção qu irá motivr fiição multiplição mtris Um orrtor ols vlors lulo o ptrimôio quirio o i por ois lits s qutro primirs hors o prgão motou s sguits mtris: B m qu: C lmto mtri é quti s çõs um mprs quiris plo lit i hor j Por mplo o lmto os i qu form quiris çõs plo lit hor C lmto mtri B é o prço m ólrs ção hor i Por mplo o lmto os i qu hor o prço ção r ólrs Quto ivstiu lit pr quirir sus çõs? Ess ivstimto é lulo multiplio-s o úmro çõs quiris m hor plo prço uitário somo-s os rsultos Clit : Clit : mtri C m qu lmto é o ivstimto o lit i é por C mtri C é omi prouto mtri pl mtri B isto é C B El foi oti multiplio-s primir lih pl olu B sgu lih pl olu B Osrv omo isto foi fito: 6

8 ( ) ( ) D um mir grl s s mtris ( ) mk ( ) k olu j B é igul B o prouto lih i pl ( ) j i j i j i j ikkj i i i ik j j kj Dfiição: Ds s mtris ( ) mk ( ) k B o prouto mtri pl mtri B é mtric B C ( ) m tl qu é igul o prouto lih i pl olu j B Equivltmt: Cosir s mtris ( ) mk ( ) k mtri orm m isto é ( ) m B Dfiimos mtri prouto C B omo so k C tl qu ippj i j i j ikkj p tção! D oro om fiição somt é possívl multiplir mtris o o úmro olus primir é igul o úmro lihs sgu mtri O igrm io uili itrprtção

9 Emplo: Sjm B Dtrmi o prouto B Como possui orm B orm tão o prouto é possívl st so B C possui orm Os lmtos mtri C são: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Logo mtri C Os: Pr qu st mplo ão é possívl lulr o prouto B Isso já os it qu oprção multiplição tr mtris ão é omuttiv ssrimt Propris multiplição mtris Ds qu sjm possívis os proutos tr s mtris são vális s sguits propris: i) (B ± C) B ± C (istriutiv à squr) ii) ( ± B)C C ± BC (istriutiv à irit) iii) (B)C (BC) (ssoitiv) iv) Osrvçõs: O prouto mtris ão é ssrimt omuttivo! Emplo: Sjm B Pomos vrifir rpimt qu B B pois B 9 B Em lgus sos s mtris omutm Por mplo s D C vrifiqu qu DC CD

10 9 Iimos trmos Emplo: S lul S B ão pomos oluir qu ou B Emplo: mtri iti é o lmto utro multiplitivo s oprçõs multipliçõs mtris S ( ) m tão I m tmém I Ilustrrmos st rsulto om um mplo: S l k j i h g f tão I tmém I l k j i h g f l k j i h g f I l k j i h g f l k j i h g f I

11 rsposição mtris Dfiição: D um mtri ( ) m hmmos trspost mtri iimos por mtri ( ji ) tl qu m ji Em outrs plvrs s lihs mtri trspost são s olus s olus mtri trspost são s lihs Emplo : D mtri tmos qu Emplo : D mtri B ( ) tmos qu B Propris mtri trspost i) ( ) ii) ( B) B iii) ( k ) k iv) ( ) B B Dmostrçõs os its ii) iv): ii) Cosir s mtris ( ) m ( ) m ssim ( B) C B Sj C B mos tão ( ji ) m C tl qu: C isto é ( ) m tl qu Dí ji ji ji C B B Os: É vriro tmém qu ( ) B Mostr st rsulto iv) Cosir s mtris ( ) mk ( ) k k ssim ( ) C p ip pj B Sj B B mos tão ( ji ) m C tl qu: C C isto é ( ) m tl qu k k k ji ip pj pi jp p p p Dí C B jp pi

12 Dfiição: Um mtri qur é it simétri s l é igul à su trspost isto é Emplo: Como osqüêi fiição m to mtri simétri os lmtos opostos igol priipl são iguis Dfiição: Um mtri qur é it ti-simétri s l é igul à opost su trspost isto é Emplo: Como osqüêi fiição m to mtri ti-simétri os lmtos opostos igol priipl são simétrios igol priipl é ul

13 Mtris ivrsívis Dfiição: Sj um mtri qur orm Dimos qu é um mtri ivrsívl s istir um mtri B tl qu I B B mtri B é hm ivrs mtri ot por B Os: É vit qu mtri ivrs s istir v sr tmém qur orm pois omut om Emplo : mtri é ivrsívl su ivrs é pois: I Emplo : Dtrmi s possívl ivrs mtri Fo tmos: ( ) ( ) ( ) ( ) I isto é pois tmos tmém I Eríio: Mostr qu mtri ão é ivrsívl Emplo : Dtrmi s possívl ivrs mtri 9 Fo i h g f rsult:

14 9 i h g f I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i h g 9i h g i h g f 9 f f 9 i h g i h g 9i h g i h g f f 9 f f 9 Portto Osrvção: Do posto osrvmos qu pr trmir ivrs um mtri qur orm tmos otrr vriávis rsolvo sistms quçõs iógits um Isto é stt trlhoso! No stuo o slomto s mtris vrmos um outro métoo pr otr ivrs orm: S ( ) é ivrsívl tão é úi mtri ( ) B ivrs tl qu I B B Supoh qu ist um mtri ( ) C tl qu I C C ( ) ( ) B B I B C B C I C C ou ( ) ( ) B I B C B C B C I C Logo B C

15 Propris ivrs um mtri S B são mtris qurs orm ivrsívis tão: i) ( ) B ii) ( ) B iii) ( ) ( ) Dmostrçõs: i) Como é ivrsívl tão ist ( ) C C tl qu C C I Dí é ivrs C isto é ii) Pr mostrr qu B é ivrs B tmos: ( B ) ( B) B ( ) B B ( I ) B B ( I B) B B I ( B ) ( B ) ( B B ) ( I ) ( I ) I iii) Como é ivrsívl tmos qu I I Uso s propris mtri trspost otmos: ( ) ( I ) I ( ) I () ( ) ( I ) I ( ) ( ) I () D () () oluímos qu ( ) ( ) Eríio: So-s qu B C são mtris qurs orm ivrsívis mtri qução B C é: ) ( ) C B ) ( ) B C ) ( ) B C ) ( ) C B ) ( ) B C

16 Dtrmits tori os trmits tv origm m mos o séulo VII quo rm stuos prossos pr rsolução sistms lirs quçõs lgums prssõs mtmátis omplis são sittis utilio-s os trmits Dfiição: Sj M um mtri qur orm Chmmos trmit mtri M ( iimos por t(m) (ou os lmtos mtri tr rrs vrtiis) o úmro rl qu otmos opro om os lmtos M sguit form: S M é orm tão t(m) é o úio lmto M ( ) t( M ) M Emplo: M ( 6) t( M ) 6 S M é orm tão t(m) é o prouto os lmtos igol priipl mos o prouto os lmtos igol suári M ( M ) t 6 M Emplo: t( M ) ( )( ) ( 6)( ) S M é orm tão t(m) é fiio por: t ( M ) N práti utilimos Rgr Srrus: Emplo: Clul t() so ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) t

17 S M é orm > tão lulrmos o trmit M uso o orm Lpl Vrmos s fiiçõs prlimirs mor omplmtr oftor qu srão utilios o ito torm Mor omplmtr Dfiição: Cosir M um mtri qur orm sj um lmto M Dfiimos o mor omplmtr o lmto iimos D omo so o trmit mtri qu s otém suprimio lih i olu j M Emplo Sj M Dtrmi D D D t D t Coftor Dfiição: Cosir M um mtri qur orm sj um lmto M Dfiimos i j o oftor o lmto iimos omo so o úmro ( ) D Emplo: N mtri M triormt lul ( ) D ( )( ) ( ) D ( )( ) orm Lpl O trmit um mtri M orm é som os proutos os lmtos um fil (lih ou olu) qulqur plos rsptivos oftors isto é ( M ) t (svolvimto pl olu j) ou k ( M ) k kj kj t (svolvimto pl lih i) ik ik Osrvção: É mlhor solhr um fil mtri qu possu mior quti ros om fili simplifir os álulos o trmit 6

18 Emplo: Sj M Clul t(m) Clulrmos st trmit pio olu j pois st possui um mior quti ros t ( M ) k k k ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 ) ( 6) 6 Cso solhêssmos um outr fil pr lulr o trmit hgrímos st msm rspost ovimt om um quti mior álulos Eríio: Sj B Mostr qu ( B) t Priipis propris os trmits Sjm B mtris qurs orm Etão: ) ( ) t( ) t ) S mtri possui fil ul tão t ( ) ) t( ) λ t( ) λ ) S mtri é trigulr (suprior ou ifrior) tão t ( ) t() é o prouto os lmtos igol priipl ) t( B) t( ) t( B) isto é o

19 Como osqüêi st último itm tmos qu t( ) D fto s ist tão: t( ) s t ( ) I ( ) t( I ) t( ) t( ) t( ) t t ( ) orm: Um mtri é ivrsívl s somt s t( ) *** Os trmits prm m ivrss situçõs mtmáti No álulo o prouto vtoril o álulo árs volums quçõs rts plos práols t Vjmos lgums situçõs: Prouto vtoril S u ( u u u ) v ( v v ) v são vtors ão prllos o spço tão i j k p u v u u u é ortogol o plo trmio por u v tm stio o pl rgr mão irit v v v Cálulo árs i figur trior tmos qu ár o prllogrmo trmio por u v é o plo vlor soluto o prouto vtoril u v Um outro so itrsst é o vlos ár S um B C triâgulo vértis ( ) ( ) ( ) S t

20 9 Cálulo volums S ( ) ( ) ( ) são vtors ão oplrs o spço tão o prllpípo trmio por ls tm volum V o plo móulo o prouto misto ( ) t ( ) V Equção rt S ( ) ( ) B são ois potos istitos o plo tão ist um úi rt qução grl qu pss por sts ois potos rt é oti lulo-s qução om trmit: Vrifiqu qu

21 Sistms lirs Equção lir Dos os úmros ris os i α α β ( ) qução α α α β o α são vriávis (iógits) m R mos o om qução lir sor R Emplo: qução w é um qução lir quto qu w ão é um qução lir Nsts mplos s vriávis w sustitum rsptivmt Solução um qução lir Um solução um qução lir úmros ris ( ) α α α β é um sqüêi qu stisf qução isto é α α α β é um stç vrir Emplo: é um solução qução lir w pois 6 é um stç vrir sqüêi ( 6) () () ( ) ( ) Eotr um outr solução pr st qução Sistm lir Um sistm lir orm m (m itiros) é um ojuto om m quçõs lirs qução om iógits Moo qu s prst um sistm lir: S : m m m β β β m i i são s vriávis ris; β i m são os trmos ipts; i i j são os ofiits ris Emplo: iógits S : é um sistm lir orm isto é om quçõs 6

22 Solução um sistm lir Um solução um sistm lir é um sqüêi úmros ris ( ) tos s quçõs o sistm qu é solução Emplo: sqüêi ( ) ( ) outr! é um solução o sistm S : Eotr 6 Sistm homogêo S os trmos ipts um sistm lir form toos ulos st sistm srá hmo homogêo Um sistm homogêo tm smpr solução trivil ul ( ) Emplo: O sistm : é homogêo Um solução pr st sistm é () Eistm outrs soluçõs pr st sistm? t otrr! Clssifição um sistm lir D oro om o úmro soluçõs um sistm lir é lssifio omo: Sistm impossívl (SI): O sistm ão mit solução Sistm possívl trmio (SPD): O sistm mit solução úi Sistm possívl itrmio (SPI): O sistm mit ifiits soluçõs Emplo: Rsolv os sistms lirs io m R itrprt gomtrimt s soluçõs : B : 6 C : Rts oorrts Rts oiits Rts prlls

23 Itrprtção gométri os sistms lirs orm s quçõs qu ompõ o sistm rprstm grfimt plos o R pr lssifição o sistm sts plos pom ssumir lgums posiçõs rltivs: Sistm impossívl (SI): Sistm possívl itrmio (SPI): Sistm possívl trmio (SPD):

24 Form mtriil um sistm lir Vmos gor ssoir um form mtriil um sistm lir Pormos rsolvr sistms lirs form sistmti om o uso s oprçõs lmtrs o slomto mtris omo vrmos it Cosir o sistm lir S io: β β β m m m m S : Pomos ssoir st sistm um form mtriil B o: m m m m é hm mtri os ofiits; é hm mtri s vriávis; m m B β β β é hm mtri os trmos ipts Emplo: form mtriil o sistm F : é por o B

25 Mtri mpli um sistm lir mtri mpli um sistm lir β β S : é fii por m m m βm m m m β β β m Por mplo mtri mpli o sistm F : é Osrvção: o os rfrirmos lih ( ) mtri mpli strmos iirtmt os rfrio qução o sistm F Isto vl um form grl

26 Oprçõs lmtrs slomto Sj S um sistm lir om m quçõs iógits: Mtri mpli S: S : m m m β β β m m m m β β β m s sguits oprçõs são hms oprçõs lmtrs sor s lihs (quçõs) um mtri (sistm): ) ror posição (prmutr) us lihs S (simolimt Li L j ); ) ror um lih S por l msm multipli por um úmro rl λ (simolimt L λ ); i L i ) ror um lih S por l msm som om um outr lih S prvimt multipli por um úmro rl λ (simolimt Li Li λl j ); S um sistm lir S foi otio um sistm lir S trvés um úmro fiito oprçõs lmtrs imos qu S é quivlt à S Notção: S S orm: s oprçõs lmtrs ão ltrm o ojuto solução um sistm lir isto é sistms quivlts possum o msmo ojuto solução Est mismo (uso s oprçõs lmtrs) é trmmt útil pr rsolvr um sistm lir Dvmos otrr um sistm quivlt à S qu sj mis simpls Vmos vr um mplo

27 Emplo: Rsolv o sistm lir S : Dvmos trlhr om mtri mpli o sistm plir l um séri oprçõs lmtrs qus O ojtivo é umtr o úmro ofiits iiiis ulos lih ( prtir sgu) m rlção à lih prt Est proimto é hmo slomto mtri L L L L L L L L L Dst form o sistm origil S é quivlt o sistm S últim tp o slomto Pomos osrvr qu o sistm S tm um formto mis simpls o qu S S : ~ S : Rsolvmos o sistm S omço pl últim qução té primir Dst form otrmos solução qu é msm o sistm proposto S Est métoo é hmo limição Guss (ou limição Gussi) ( ) ( ) ( ) solução o sistm S é ( ) ( ) Est tmém é solução o sistm S Vrifiqu! 6

28 Mtris slos Dfiição: Um mtri M stá form slo (ou s) s o úmro ros qu pr o primiro lmto ão ulo um lih umt lih té qu sorm ps lihs uls s houvrm Emplos mtris slos: Emplos mtris ão slos: orm: oo sistm lir (mtri) é quivlt um sistm (mtri) sloo *** Curiosi plvr slor vm plvr lti sl qu sigifi s ou gru Eslor um mtri sigifi r l form s Disussão solução um sistm lir Disutir um sistm lir sigifi lssifiá-lo m sistm impossívl (SI) sistm possívl trmio (SPD) ou sistm possívl itrmio (SPI) Supoh qu um sistm S (om m quçõs vriávis origilmt) th sio sloo rtirs s quçõs (lihs) o tipo rstm p quçõs (p m) om vriávis I S últim s quçõs rstts é ( ) p p β β tão o sistm é impossívl (SI) Por mplo o sistm : S uj mtri mpli é é lrmt impossívl Cso otrário sorm us ltrtivs:

29 II S p (úmro quçõs é igul o úmro vriávis) o sistm é possívl trmio (SPD) Por mplo o sistm S : uj mtri mpli é 6 úi solução Uso st so limição Gussi otmos ( ) ( ) possui 6 III S p < (úmro quçõs é mor qu o úmro vriávis) o sistm é possívl itrmio (SPI) Por mplo o sistm ifiits soluçõs form ( ) omo S ( ) R R { } S : uj mtri mpli é possui R ssim pomos prstr o ojuto solução Osrvção: O vlor p é hmo gru lir (ou úmro vriávis livrs) o sistm isto sigifi ir qu solução o sistm é prst om p vriávis Nst último mplo o gru lir é Eríios: Rsolv os sistms io por slomto lssifiqu-os ) ) ) w w Rsposts: ) SI ) SPI:( w w w) w R ) SPD: ( ) ( ) Espço rsrvo pr rsolução

30 9 Eríio: Disut m fução k o sistm k k k : S isto é trmi os vlors R k moo qu o sistm sj lssifio omo SI SPI ou SPD s possívl Espço rsrvo pr rsolução Mtris ivrsívis Vmos gor prstr um lgoritmo pr trmição ivrs um mtri uso slomto orm: Um mtri orm é ivrsívl s somt s é quivlt mtri iti ( I ) Nst so s msms sussõs oprçõs lmtrs qu trsformm m I trsformm I m - Em símolos: ( ) I oprçõs lmtrs ( ) - I Emplo: Sj h s possívl - oprçõs lmtrs Logo Eríio: Sj h s possívl - Espço rsrvo pr rsolução

31 Rgr Crmr Utilio tori os trmits pomos rsolvr um sistm lir quro uj mtri os ofiits possui trmit ão ulo Cosir B form mtriil um sistm lir quro orm so: β β B β S t() tão solução o sistm é por: Emplo: Uso rgr Crmr rsolv o sistm io S : Rspost: ( ) ( ) Espço rsrvo pr rsolução

32 plição: Ciruitos létrios simpls lis Kirhhoff O fluo orrt m um iruito létrio simpls (fots rsistêis) po sr srito por um sistm lir quçõs Quo um orrt pss por um rsistêi (lâmp motor t) prt voltgm é osumi Pl li Ohm ss qu voltgm rsistêi é por V RI o: V é voltgm Ui volts (V); R é rsistêi Ui Ohms (Ω); I é orrt Ui mpèrs () Li Kirhhoff pr orrt: Em ó som s orrts qu trm é igul à som s orrts qu sm Li Kirhhoff pr voltgm: Em miho (mlh ou rmo) fho som s voltgs é ro

33 Emplo: Dtrmi s orrts iis o iruito io: Espço rsrvo pr rsolução Solução: i 6 i i i i 9 i

34 Pot Whtsto Mostr qu s orrt i o iruito figur é ro tão R R R R Est iruito hmo Pot Whtsto é uso pr miçõs priss rsistêi qui R é um rsistêi sohi R R R são rsistors justávis (potiômtros) R rprst um glvômtro (prlho qu m orrt) Dpois vrir s rsistêis RR R R R té qu litur o glvômtro us ro fórmul R trmi R rsistêi sohi R Rsolv st prolm uso sistms lirs Espço rsrvo pr rsolução

35 Costruio urvs suprfíis por potos spifios (uso trmits) Nst tto srvmos um téi qu utili trmits pr ostruir rts írulos sçõs ôis m grl por potos spifios o plo proimto tmém é utilio pr fr pssr plos sfrs o spço triimsiol por potos fios Pré-rquisitos: Gomtri líti; Dtrmits; Sistms lirs orm: Um sistm lir homogêo om o msmo úmro quçõs vriávis tm um solução ão trivil (solução ão ul) s somt s o trmit mtri os ofiits é ro Est rsulto po sr uso pr trmir s quçõs váris urvs suprfíis por potos spifios Um rt por ois potos são ois potos istitos o plo D Gomtri líti smos qu ist um úi rt qução Supoh qu ( ) B ( ) qu pss por sts ois potos () Osrv qu ão são toos ulos qu sts ofiits são úios pr rt mos um ostt multiplitiv Como os potos B stão sor rt sustituio-os m () otmos s us quçõs () () Ests três quçõs () () () pom sr grups rsrits omo: qu é um sistm lir homogêo om três quçõs três vriávis Como ão são toos ulos st sistm tm um solução ão trivil moo qu o trmit mtri os ofiits é igul ro Ou sj

36 t () Cosqütmt poto ( ) poto ( ) qu stisf () stá rt rt stisf () Ripromt po sr mostro qu Emplo : Eotr qução rt qu pss plos potos ( ) B ( ) Solução Sustituio s oors os ois potos qução () otmos t O svolvimto st trmit m oftors o logo primir lih os á qução rt: 6 Um írulo por três potos Supoh qu ( ) B ( ) C ( ) são três potos istitos ão olirs o plo D Gomtri líti smos qu ist um úio írulo igmos qu pss por sts três potos ( ) () Sustituio s oors sts potos st qução otmos ( ) ( ) ( ) (6) () () Como ts s quçõs () () formm um sistm lir homogêo om quçõs vriávis qu possui solução ão trivil ssim o trmit mtri os ofiits é ro: t ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Est é qução o írulo m form trmit (9)

37 Emplo : Eotr qução o írulo qu pss plos potos ( ) B ( 6 ) ( 6) Solução Sustituio s oors os três potos qução (9) otmos C ( ) t 6 6 qu s ru ( ) form prão st qução é ( ) ( ) ssim o írulo tm tro ( ) rio igul Um ôi ritrári por io potos qução grl um sção ôi ritrári o plo (um práol lips ou hipérol ou forms grs sts) é por f Est qução otém sis ofiits ms pomos ruir st úmro pr io s iviirmos toos por um qu ão sj igul ro ssim st trmir io ofiits portto io potos istitos o plo ( )B( )C ( )D( ) E( ) são sufiits pr trmir qução sção ôi Como ts qução po sr post form trmits: t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () Emplo qução um órit Um strôomo qu sj trmir órit um strói m toro o Sol olo um sistm oors rtsis o plo órit om o Sol origm o logo os ios são uss uis stroômis ( U Ui stroômi istâi méi rr o Sol 9 Km) Pl primir li Kplr órit v sr um lips moo qu o strôomo f io osrvçõs o strói m io tmpos istitos Os io potos o logo órit são: ( ; ) B( ; 6) C( ; ) D( 6; ) E( 99; 6) 6

38 Uso um rurso omputiol pr rsolvr qução () om os io potos os mostr qu órit prour é lips qução: ( 6 99) ( 96) ( 66) ( 69) ( 9) 9 O igrm io á trjtóri pris órit juto om os io potos os Um plo por três potos Supoh qu ( ) B ( ) C ( ) são três potos istitos ão olirs o spço D Gomtri líti smos qu ist um úio plo igmos () qu pss por sts três potos D form smlht os outros sos qução o plo po sr post form trmits omo: t ()

39 Emplo : Eotr qução o plo qu pss plos potos B C 9 ( ) ( ) ( ) Solução Sustituio s oors os três potos qução () otmos t 9 O svolvimto st trmit s ru qu é qução o plo prour Um sfr por qutro potos Emplo : D Gomtri líti smos qu um sfr o spço triimsiol qu pss B por qutro potos ão oplrs ( ) ( ) C ( ) D ( ) tm qução por ( ) () Eotr qução sfr m form trmit mostr uso um rurso omputiol qu sfr qu pss plos qutro potos B C D tm s oors o tro s por ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) rio igul isto é su qução prão é por ( ) ( ) ( ) 9 Suprfíis quáris qução grl um suprfíi quári (lipsói o líptio hiprolói um folh prolói líptio hiprolói us folhs prolói hiprólio ou forms grs sts) é por: 6 9 () Elipsói Co líptio Hiprolói um folh

40 9 Prolói líptio Hiprolói us folhs Prolói hiprólio qução () otém ofiits ms pomos ruir st úmro pr ov s iviirmos toos por um qu ão sj igul ro Dos tão ov potos ( ) 9 i P i i i i sor um suprfíi st é possívl trmir moo úio su qução m form trmit omo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t Emplo 6: Eotr qução quári m form trmit lul su qução grl so-s qu l pss plos ov potos ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 9 Itifiqu suprfíi trço o su gráfio Osrvção: Us um rurso omputiol pr lulr o trmit otr qução grl lém trçr o gráfio suprfíi

41 EERCÍCIOS GERIS Cosir s mtris B Dtrmi s possívl mtri qução mtriil B S-s qu qu o vlor o trmit mtri é igul Dtrmi o vlor Rsolv por slomto lssifiqu o sistm Cosir ( ) ( ) ( ) k k k k mtri mpli um sistm lir Dtrmi o vlor R k moo qu o sistm sj: ) SI ) SPD ) SPI Dtrmi s orrts i i i i o iruito io: 6) Dtrmi mtri simétri trmit igul qu omut om mtri

42 Rsposts ) B ) ) SPD: ( ) ( ) ) ) SI : k ou k ) SPD: k k k ) SPI: k ) ( ) ( ) i i i i 6) os s mtris qu omutm om são form R Como t ( ) tão Como l v sr simétri tão ssim mtri prour é: Rfrêis Biliográfis: Álgr Lir Stiruh / Witrl Álgr Lir pliçõs Cllioli / Hgio / Rorto Álgr Lir om pliçõs to / Rorrs Álgr Lir Pool Fumtos mtmáti lmtr Ii / H