Universidade Federal de Santa Catarina UFSC. Centro de Ciências Físicas e Matemáticas CFM. Departamento de Matemática.

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1 Uivrsidd Fdrl d S Cri UFSC. Cro d Ciêcis Físics Mmáics CFM. Dprmo d Mmáic. rlho d Coclsão II CC II. Um Irodção pr Corolilidd m Eqçõs Difrciis Ordiáris E.D.O. s. Floriópolis, jlho d 8.

2 Um Irodção pr Corolilidd m Eqçõs Difrciis Ordiáris E.D.O. s. Acdêmico: Flip Frroo Vrgs. Mrícl: 3334 Smsr: 8. Profssor Oridor: Fli Pdro Qisp Gomz.

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4 O q m m jrdim ão é msmo lgm sêci, m msmo o doo. O q m m jrdim é ss olhr vzio, d qm pss por l idifr. Mário Qi Agrdcimos: So gro Uivrsidd Fdrl d S Cri, pl oporidd d m sio púlico, grio d qlidd. À mih fmíli m spcil ms pis, plo poio cos icodiciol. À mih comphir Mr Brco, pl pciêci ddicção dsids mim. Aos ms msrs m spcil Fli Goms, pl cofiç cohcimo rpssdos. E, como ão podim flr, os colgs do crso m spcil os frqüdors do Cro Acdêmico, plo comphirismo lldd ddicdos s cmihd d coqiss. 3

5 . Smário.. Smário...4. Irodção Eqçõs Difrciis Eqçõs Difrciis Lirs d Primir Ordm Méodos pr Rsolção Eqçõs Difrciis d Sgd Ordm com Coficis Coss Eqçõs Homogês Corol silizção d sisms d dimsão fii Corol d sisms lirs d dimsão fii Propridd d Osrvilidd Codiçõs do Corol d Klm Corol Bg-g Esilizção d sisms lirs d dimsão fii Coclsão Rfrêcis Biliográfics

6 . Irodção. O sdo d Eqçõs Difrciis comç com crição do Cálclo Difrcil Igrl o séclo XVII, é gido, iicilm por ss plicçõs à mcâic ds prícls. Nss plicçõs, o so ds lis d físic, como s rês d Nwo d Diâmic li d grvição ivrsl, possiili or qçõs difrciis ordiáris q rprsm o fômo m sdo. O scsso m rr ss prolms ilizdo o Cálclo Difrcil foi m orm símlo os físicos mmáicos do séclo XVIII m procrr modlos pr Mcâic do Coío d oros rmos d Físic rmologi, por mplo q prssm os fômos m rmos d Eqçõs Difrciis. Ero s qçõs rsls, sdo qçõs difrciis prciis, rzm séris dificldds mmáics m ss rsolçõs. As rês qçõs ásics q já prcm os sdos mmáicos do séclo XVIII são s sgis: o prolm ds virçõs rsvrsis d m cord, posição, o poo d cord, m is, dv sisfzr à qção ds ods c ; o prolm d codção do clor m m rr, mprr, o poo d rr o is, dv sisfzr à qção do clor k. No prolm do qilírio d m mmr so ção d crs forçs, oém-s m cr fção, q dv sisfzr à qção d Lplc m m rgião do plo,. Pr ss prolms oção d solçõs sisfzdo, lém d qção difrcil, crs codiçõs iiciis o codiçõs d froir é m rf difícil. E s é o ojivo crl ds rlho, com o foco os mis lmrs mriis por priclrs scolhs q os prolms possm cosidrr. Em ors plvrs, m prolm d corolilidd pod sr formldo d váris mirs. Cosidrmos sisms d volção poddo sr dscrios m rmos d Eqçõs Difrciis Prciis o Ordiáris. Esrmos irssdos o momo m q rjóri do sism é lrd por lgm corol o ldo dirio do sism, prolms d vlors iiciis, 5

7 codiçõs d froir, d cooro, c.. Ess, coidos m m irvlo d mpo,, os sdos iiciis fiis ós mos como corr m corol od s solçõs priclrs dos sdos iiciis fiis podrão sr comiçõs lirs pr solção grl d m Eqção Difrcil Prcil. Es é m prolm clássico sor ori do Corol, od há m vs lirr sor o ópico. Qdo comçmos rlhr com prolms d corolilidd, dvmos r m clr disição r sisms d dimsão fii, crcrizds pls Eqçõs Difrciis Ordiáris E.D.O., sisms d dimsõs ifiis, dscrios pls Eqçõs Difrciis Prciis E.D.P.. Es difrç pod sr impor práic, m sisms d dimsão fii ifii, q por s vz podm cor difrs propridds sor m poo d vis d m ddo corol órico. Mios dos prolms ds os são rldos pr EDO. Ero, comçrmos com m cpílo irodório od podrmos prsr lgs dos prolms ásicos frrms pr ori d corol d sisms d dimsão fii. Como vrmos, o coo d dimsão fii m sism é corolávl s som s s codiçõs lgérics d Klm com o úmro d lihs ão ls são sisfis. D cordo com iso, qdo m sism é corolávl m lgs poos l é mém corolávl dr odo o irvlo d mpo. Ms iso ão é pr vrdd os coos d Eqçõs Difrciis Prciis. Em priclr, qção d od m modlo d propgção com vlocidd fii s propridds d corolilidd, pr q sjm vrddirs, o corol sor o mpo cssi sr grd, pois os fios do corol rgm m qlqr lgr. Como vrmos, qdo m sism é corolávl, o corol pod sr oido pl miimizção d m fção qdráic dfiid dro d clss ds solçõs gris do sism djo. Irodzirmos lgs prolms d irior corol d cooro ds coss lirs, q são os coficis d qção d od. O méodo d rsolção dss prolms é cohcido como o méodo d Forir, o ql cosis m ds ps. N primir, iliz-s sprção d vriávis pr or prolms d ovlor, pr qçõs difrciis ordiáris, srim rlciodos com s qçõs difrciis prciis m sdo. Ns p, oém-s m fmíli d solçõs d qção difrcil prcil q sisfzm m pr ds codiçõs d froir. A idéi ásic sgir é ilizá-ls pr compor solção do prolm como 6

8 m séri cjos rmos são prodos dsss solçõs por coficis dqdm scolhidos; s é sgd p, q rqr chmd ális d Forir. Grlm, rsolção ds qçõs difrciis prciis prs-s como m prolm mio mis difícil do q rsolção ds qçõs difrciis ordiáris, ão sr pr cros ipos spciis d qçõs difrcis prciis lirs, hm méodo grl d rsolção é viávl. Poro, vmos os cocrr rsolção d ipos priclrs d qçõs lirs. Iso ão é, d fo, m rsrição ão séri, já q s qçõs difrciis lirs prciis êm m grd vridd d impors plicçõs m mios rmos d físic, qímic d ghri. Pr comprdr ocorrêci ds qçõs difrciis prciis dscrição mmáic dos fômos d rz, omos q mios vos procssos físicos são dscrios por fçõs d ds o mis slm qro vriávis idpds por mplo m, ds o rês vriávis d spço:, z, m vriávl d mpo. Cosqüm, qlqr rlção r m l fção [,, z,, digmos ] ss drivds m rlção qlqr m ds vriávis idpds lvrá m qção difrcil prcil. Um grd pr dos sdos ds qçõs difrciis prciis m sido dirigid pr m comprsão d m clss d qçõs cohcids slm como s qçõs difrciis prciis d físicmmáic. O cmpo d físic-mmáic s coo dv sr irprdo o sido mis mplo iso é, como dscrição dos fômos d rz m rmos mmáicos. Iclíds s clss d qçõs, poro, são ão só s qçõs impors d modr físic óric is como s qçõs d Schrödigr d Dirc d ori qâic, ms mém s q são impors pr o mmáico plicdo o ghiro por mplo, qção d difsão o codção do clor, s qçõs do flo do flido viscoso, mis ors. Evidm, é qs impossívl, s époc d irligção d difrs rmos d ciêci d cologi, flr-s d qçõs priclrs, q são d pq imporâci pr ipos priclrs d ciiss. D qlqr modo, msm qção srg, com frqüêci, m vridd d difrs siçõs físics. Ero é ão rordiário qo oporo q m grd pr ds qçõs físicmmáic sj cosiíd d qçõs ão só lirs como mém d sgd ordm. Ms iso ão qr dizr q ão prçm oros ipos d qçõs. Por mplo, qção d Dirc d ori qâic é lir, ms d primir ordm, qo q s 7

9 qçõs d rlividd grl q dscrvm o cmpo grviciol são d sgd ordm, ms ão-lirs. D msm form, m qção d imporâci lsicidd qção i-hrmôic é lir, ms d qr ordm. A dificldd d rsolção d m qção lir, lém d dpdr d ordm d qção, dpd form do úmro d vriávis idpds volvids; m cosqüêci ilsrmos, m mios csos, m méodo priclr d rsolção, omdo iicilm como mplos s qçõs difrciis prciis m ds vriávis idpds. Ess qçõs são, m cro sido, d m gr d dificldd mmáic irmdiário r s qçõs difrcis ordiáris, d m ldo, s qçõs difrciis prciis m rês o mis vriávis idpds, d oro. 8

10 3. Eqçõs Difrciis: Um qção do ipo F,, ',..., 3. od é fção procrd, é chmd d qção difrcil d ordm. Assim sdo, ordm d m qção difrcil é ordm d drivd mis l d fção icógi q prc o prolm. A fção q rsform qção m ididd, é chmd d solção d qção difrcil, qo q o gráfico d é chmdo d crv igrl. A solção rprsd implicim por, é chmd slm d m igrl d 3.. Um qção lir chm-s homogê s cd rmo coém vriávl dpd o m d ss drivds. Por mplo, qção d Lplc m ds dimsõs iso é, ds vriávis idpds, od é o oprdor idimsiol d Lplc [ dfiido s coordds crsis rglrs, por ], é homogê. Eqo qção idimsiol d Poisso f, od f, é qlqr fção dd ão l, é di ão-homogê. Agor, o cso d qçõs difrciis ordiáris lirs homogês, já s s q m comição lir d ds o mis solçõs é mém m solção. Um rsldo smlh plic-s às qçõs difrciis prciis, s,,...,, são solçõs difrs d m qção difrcil prcil lir homogê m lgm domíio ddo, ão 9

11 c c... c é mém m solção o msmo domíio, od os coficis c, c,..., c são coss riráris. Es rsldo domi-s Pricípio d Sprposição, m m ppl impor o méodo d rsolção cohcido como sprção d vriávis. Esd-s o cso d fmílis ifiis. Chgmos gor m ds mis impors difrçs r s solçõs d qçõs difrciis prciis qçõs difrciis ordiáris. Iso por q, qo solção grl d m qção difrcil ordiári coém coss riráris d igrção, solção grl d m qção difrcil prcil lir coém fçõs riráris. Cosidrmos, pr ilsrr s poo, o prolm d formção ds qçõs difrciis prciis prir ds fçõs dds. Por mplo, s f, od f é m fção rirári d, ão, difrcido m rlção, mos f Ssiido f, mos q é m qção difrcil prcil d primir ordm, cj solção grl é dd por f. O poo sigificivo qi é q solção d, l como é dd por f, coém m fção rirári.

12 DEFINIÇÃO: Um fção dfiid implicim pl qção,, c, c,..., c, q coém coss riráris é solção d qção difrcil F,, ',...,, é chmd solção grl d qção rgião od é dd. Ariido vlors às coss priclr d qção. c,...,, c c, omos m solção O vlor d fção q prmi limir cos é chmdo d codição. As codiçõs são clssificds coform o poo m q são dds, ssim s qção difrcil sivr dfiid pr [, ] codição for dd m rmos d, rmos m codição iicil. Cso codição sj dd m m poo, l é chmd d codição d cooro. O úmro d codiçõs cssáris pr compl limição ds coss é igl à ordm d qção.

13 3.. Eqçõs Difrciis Lirs d Primir Ordm. Dd m qção difrcil d primir ordm, ' f, sição mis simpls q pod ocorrr m rmos d fção f é qdo f ão dpd d. mos d ão g. Sg ão q d g d c plo sgdo orm fdml do cálclo. É sl chmr g d d primiiv d fção. A fção dd ds form é solção grl d qção difrcil. Osrv d id q s for m or solção d qção, ão como g sg q d g d c podmos or prir d sdo fzr c. c DEFINIÇÃO: A qção difrcil d d od f, é chmd d lir d primir ordm. Os ddos do prolm são s fçõs. è rl sprrmos q comprçm m igris o procsso d rsolção d qção. Assim sdo, vmos igir q ls sjm fçõs coís d. O prolm q s coloc gor é, dd m qção difrcil lir d ª ordm, como drmir m solção grl pr l. Pr o vmos dsvolvr rês méodos d solção.

14 3.. Méodos pr Rsolção. º Méodo d Solção Es méodo é chmdo d sprção d vriávis. Emplo: Vmos spor q v od s fçõs v são mém dscohcids. Ssiido qção lir d primir ordm, rmos d d v dv d v logo, v d d dv d S scolhrmos fção d form q l sisfç qção d d ão, dv d dv d Ms qção cim m m sgdo mmro q só dpd d ssim, é do ipo rior. Eão, 3

15 v d c solção d qção dd sdo v drá d c Rs-os ão o prolm d rsolvr qção d d chmd d qção homogê ssocid à qção lir d primir ordm dd q, por isso, é chmd d qção ão-homogê o compl. Podmos rscrvr qção homogê como d d Ms smos q d d l d d od por l d-s como logrimo rl d. Sg ão q d d l 4

16 Ms s qção m m sgdo mmro q só dpd d sdo poro do ipo rior, od f só dpdi d. Assim sdo, l d c 3 p d c3 pc 3 p d Chmdo c à pocil d c 3 sdo o fo d q fção pocil é smpr posiiv, mos c p d g od dfiimos fção g como sdo p d. Fic ssim slcido q fção g m módlo cos. Por oro ldo, fção g é o prodo d fção, q é drivávl, pois é solção d qção difrcil homogê por m fção pocil. Sg, ão q fção g é coí. Vmos spor por srdo q fção g ão sj cos. Eisiri ão dois vlors d,, is q g c g c. Com g é coí, sg q dv ssmir odos os vlors r c c, isido poro m vlor d, digmos *, l q g *. Ms iso ão é possívl, pois g c. Assim sdo, podmos ssmir q g c, c p d Logo, 5

17 c p d d c p d d c p d od c c c. Não prc cos o primiro rmo pois prssão d volv cos c. Vmos dfiir fção w como sdo w d Sg ão q w Osrvmos id q d d dw w w d d d w Logo, fção w é solção priclr d qção lir. Além disso, podmos vr q solção grl d qção lir é som d solção grl d qção homogê com m solção priclr d qção ão-homogê. Es rsldo é crcrísico ds qçõs lirs m grl. º Méodo d Solção 6

18 7 Vmos cosidrr fção d h p Eão, d d d d d dh p p p d d d p d Usmos o fo d q p p F d df F d d d d d Sg ão q d d d d p p

19 Ms qção lir cim é lir com m sgdo mmro fção som d, já rsolvid riorm. Eão, p d p d d c Rsolvdo m rlção rmos solção grl d qção lir. Osrvmos id q o for p d é chmdo d for igr, pois s mliplicrmos mos os mmros d qção difrcil por l é possívl ão igrál. Coform já osrvdo, solção grl d m qção lir pod sr cord somdo à solção grl d qção homogê m solção priclr d qção compl. Vjmos m méodo pr corr m solção priclr q, copldo com qlqr méodo q dê solção grl d qção homogê os prmi corr solção grl d qção lir. 3º Méodo d Solção Rsolvrmos qção difrcil ' 3. Em primiro lgr, cosidrmos qção homogê d d cj solção é c. Cosidrmos gor w 8

20 9 od ommos solç d qção homogê m vz d m cos, cosidrmos m fção d, ql dvmos drmir. Ssiido w qção dd, rmos 3 ' Sg ão q d d 3 poro d 3 Igrdo por prs, rmos c d d d A solção grl d qção dd é l q c c c w od fizmos c c c. Es méodo d corr solção priclr d qção compl é chmdo d méodo d vrição ds coss.

21 3.3 Eqçõs Difrciis d Sgd Ordm com Coficis Coss. As qçõs difrciis d sgd ordm são qçõs do ipo '' f,, ' Por mplo, '' cos é m qção d sgd ordm. Por solção d qção dmos m fção q sisfç qção. Assim, por mplo, fção é m solção d qção difrcil '' 4 pois ' '' 4. Cosidrmos qção difrcil '', Vmos spor q,. Aplicdo s ds vzs o sgdo orm fdml do cálclo, mos c c Vmos q s cso solção grl dpd d ds coss riráris. Frqüm é cssário rsolvr qção d sgd ordm sji ds codiçõs. No cso d srm dds s codiçõs ', rmos m prolm d vlor iicil. Cso hmos m codição m or m, rmos m prolm d cooro. É m prolm s difícil rsolvr m qção difrcil qlqr d sgd ordm. Msmo o cso lir, iso é, qção

22 '' ' c scp o coo ds rlho. Assim, podrmos sdr ão som o cso '' ' c g iso é, m qção lir coficis coss. sgir: Eis m propridd q é crcrísic ds qçõs lirs q drmos EOREMA: S s fçõs form solçõs d qção homogê '' ' c ão fção Y c c od c c são coss ris riráris, é mém solção d qção. Prov Como s fçõs são solçõs, ão ' ' ' c

23 '' ' c Mliplicdo primir qção por c, sgd por c somdo, omos c ' ' c '' c ' c ' c c c o sj Y '' Y' cy Vjmos gor m q codiçõs podmos cosidrr solção Y c c como sdo solção grl d qção homogê, iso é, s Y * for m or solção d qção homogê, ão podmos scolhr c c d l mir q Y Y *. Vmos dr m orm cj dmosrção fog do coo ds rlho. EOREMA: S form solçõs d qção homogê '' ' c o irvlo, com ' ' difr d zro s irvlo, ão fção Y c c

24 é solção grl d qção homogê. DEFINIÇÃO: A prssão ' ' o ' ' é chmd d wroskio ds fçõs é idicdo por W W, 3

25 3.4 Eqçõs Homogês. Pssmos gor sdr m méodo d rsolção pr qção homogê '' ' c S corrmos ds solçõs cjo wroskio sj difr d zro, rmos ão solção grl. Osrvdo qção, vmos q os rmos '', ' c dvm r som l. Pr q iso ocorr, s fçõs, dvm r o msmo spco, o sj, ão podmos psr q sj, por mplo, m poliômio, pois s cso os rmos '', ' c srim poliômios com grs difrs cj som sri ão-l. No o, iv d, sdo m prâmro sr drmido, é válid, pois orri o primiro mmro d qção m comição lir d fção pocil. Ssiido qção homogê por, rmos c c Como fção pocil é difr d zro, som s for m solção d qção é solção d qção homogê s c chmd qção crcrísic d qção dd. As rízs ds qção são 4c 4c. Coform 4c sj posiivo, lo o givo, rspcivm, ds rízs ris disis, m riz dpl o m pr d úmros complos cojgdos. 4

26 º cso solçõs Sj 4c. mos ão ds rízs ris disis poro ds is q W, Como W, sg ão q solção grl é dd por Y c c od c c são coss riráris. º cso Sj 4c. rmos ão m úic riz dpl poro só m solção. Cosidrmos v Ssiido qção homogê rscri form '' ' c como ' ' v v' 5

27 6 '' ' ' '' ' ' v v v rmos ' ' '' ' '' ' ' '' ' ' '' ' ' '' v v c v v v v c v v v v v pois é solção d qção. Sg q é solção d qção dd s v for solção d qção difrcil ' ' ' ' v v Vmos fzr gor ' v poro ' ' ' v. Lmrdo-s q, ão ' q é m qção lir m d primir ordm. Osrv id q, do fo d cohcrmos m solção cosgimos rdzir ordm d qção difrcil. Por s rzão, s méodo é chmdo d méodo d rdção d ordm. Romdo úlim qção, dividid por, rmos

28 ' Sg ão q k Como qrmos som m solção, vmos fzr k =, logo dv d Igrdo fzdo cos d igrção igl zro, rmos v d Poro, d Osrvmos q W, é difr d zro, pois s foss lo, sri m múliplo d o q crrri v cos, pois dv v, ms ão, porém d dv d 7

29 q é crm difr d zro. 3º cso S 4c ão rmos s rízs compls i 4c i 4c S, como riorm, Y c c, Y sri complo prcisrímos d ds rízs ris. Iso pod sr coordo d sgi form: sj = + iv m solção d qção homogê com vlors complos. Eão, " iv" ' iv' c iv o sj " ' c i v" v' cv Iso sigific q o úmro complo d primir qção é lo. Ms s m úmro complo é zro, são ls ss prs rl imgiári, cosqüm " ' c v " v' cv Assim sdo, cd solção compl d qção homogê dá origm ds solçõs ris. Cosidrmos ão solção compl. Vmos dfiir 8

30 4c Eão, i i cos i s cos i s E, poro rmos s solçõs ris: cos s Vmos dfiir clclr W cos, s W cos, s cos cos s s s cos Eão, W cos, s cos s cos cos s s cos s 4c Lmrdo q q pocil ão s l, sg q 9

31 W cos, s Assim sdo, solção grl s cso é Y c cos c s Podmos psr q solção compl ris, ro drá origm mis ds solçõs i cos i s cos i s o sj cos s, poro mos ovm s msms solçõs. 3

32 4. Corol silizção d sisms d dimsão fii. Es cpílo srá dsido pr o sdo d lgms propridds ásics sor corolilidd silizção d sisms d dimsão fii. Ns ds primirs sçõs, rlhrmos com os csos lirs. No primiro, mosrrmos propridd do corol o q pod sr crcrizdo pls codiçõs lgérics d Klm [] úmro d lihs ão ls do sism = poso d mriz. No sgdo, m sism djo simérico é cosidrdo. N sêci do corol, o sism é cosrvivo gr m grpo d isomris. Iso mosrrá q o sism podrá sgrm sr sávl iformm pocil s m scolhido rmos dissipivos ssocidos l. Es é m cso priclr d m cohcid propridd d qivlêci r corolilidd silizção d sisms d dimsão fii. 4. Corol d Sisms lirs d dimsão fii. Sjm,m *. Vmos cosidrr o sgi sism d dimsão fii: ' A B,,, 4.. No sism 4.., A é mriz rl, B é mriz rl m m vor m R. A fção, : R rprs o sdo, m : R o corol. mos s fçõs voriis d compos m rspcivm dpds clsivm do mpo. Ovim, práic m. A pr mis impor é, com crz, o corol do sism por m úmro míimo m d corols. Dd m codição iicil R m fção voril m L, ;, o sism 4.. m m úic solção vrição ds coss: H, ; R crcrizd pl form d [ ]E. Zz, CONROLABILIDAD EXACA Y ESABILIZACIÓN LA ECUACIÓN DE ONDAS 3

33 A A s B s ds,, 4.. DEFINIÇÃO. O sism 4.. é m corolávl o mpo > s dds s codiçõs iicil fil, R is L, ; R m q é solção d 4.. sisfzdo. D cordo com dfiição, o procsso d corol cosis m dircior m solção d 4.. do sdo iicil pr o sdo fil, o mpo d cordo com ção q o corol g sor o sism. Lmrdo q m é o úmro d corols drmidos plo sism, qo é o úmro d compos do sdo sr coroldo. Como mciomos riorm, m plicçõs iso é mio difícil d drmir o úmro d corols m cssários pr q sj possívl. Ms iso pod cr fdo s propridds d corol do sism. Como vrmos, lgs sisms com m grd úmro d compos pod sr corolávl por ps m corol. iso é m =. Ms pr q s sj vrdd, o mcismo do corol, iso é mriz B vor col qdo m, prcis sr scolhid d m form srégic dpddo d mriz A. As codiçõs d Klm, sor o úmro d lihs ão ls do sism, os forcrão posriorm m simpls crcrizção d corolilidd prmiido m scolh proprid corol B. d mriz d Ilsrrmos iso com dois mplos. No primiro corolilidd ão é válid porq m ds compos do sism ão dpd do corol. No sgdo, m ds ds compos srá corold por mio d m corol sclr. Emplo : Cosidr o cso: 3

34 A, B 4..3 Eão o sism ' A B Pod sr scrio como ' ' O qivlm ' od são ddos iiciis., Es sism ão é corolávl dsd q o corol ão sgd compo do sdo o ql é complm drmido plo ddo iicil o sism ão é corolávl.. Assim, Plo mos é possívl corolr primir compo do sdo. Cosqüm, o sism é prcilm corolávl. Emplo : Nm odos os sisms com ds compos m corol sclr, m podm srvir como mplo. Iso pod sr vrificdo lisdo-s o corol do oscildor hrmôico ", 4..4 como podmos scrvr o sism d oro modo 33

35 ' ' As mrizs A B gor são rspcivm A, B Novm, mos disposo m corol ps m pr dmis compo do sism. Ms, difr do Emplo, gor o corol prc sgd qção od s compos são prss. Ero, ão podmos coclir imdim s o sism é o ão corolávl. D fo l é. Pr iso, form rirdos lgs ddos iiciis fiis,,, rspcivm, o q fcili cosrção d m fção rglr z z, l como z z',, z z' 4..5 D fo, qi ism ifiis mirs d cosrir is fçõs. Um dls, por mplo, mosrdo m fção cúic z poliomil. Podmos ão dfiir z" como sdo o corol dsd q solção d qção 4..4 com os corols ddos iiciis, coicidm com z, iso é, = z, id sjm sisfios os corols m z 34

36 Es cosrção provém do mplo d m sism d ds compos q é corolávl por m corol ps m =. Mis do iso, s mplo mosr q o corol ão é úico. D fo ism ifiios modos d corolr difrs rjóris d corols d cordo com os corols rqisidos. N práic, scolhr o corol é m oimizção m lgm sso pr sr mis prciso é m impor frrm q discirmos mis rd. S ós dfiirmos os sdos dos corols R, R : solção d com L,, 4..6 m o corol o é qivl pr fo q R R, pr lgm R., Osrvção. N dfiição sor o corol sor lgm ddo iicil é cssário q sj dirigid pr lgm ddo fil. Plo mos, irprção d sisms lirs, com o sm lgm grlidd, ós podmos spor q. D fo, s podmos r ' A,, 4..7 voldo o mpo dfiido o ovo sdo z = como vrificmos z' Az B z

37 Nomos q s som s z. Aid, lvdo solção do sism 4.. d pr, é qivl solção z d 4..8 do vlor iicil z pr zro. A osrvção os dá moivos pr dfiição: DEFINIÇÃO. O sism 4.. é dio como corolilidd l o mpo > s ddo lgm vlor iicil R ão is L O,, R m l q Corolilidd l vl s som s R, pr qlqr R. Por oro ldo, Osrvção. mosr q corolilidd corolilidd l são propridds qivls o cso d sisms lirs com dimsão fii. Ms iso ão é cssrim o cso d sisms ão-lirs. Plo momo, s qção é m om mplo pr sr s os sisms d corolilidd l ão são m corolávis. 36

38 4. Propridd d Osrvilidd. A propridd do corol o é fchd pr qlqr sism corrspod homogêo. Nss cpílo vmos irodzir s oção mosrrmos s rlção com propridd do corol o. Sj A* mriz dj d A, iso é, mriz com propridd d q A,, A* pr odo, R. Cosidrmos o sism djo homogêo d 4..: ' A*,, 4.. D cordo com osrvção, pr lgm R, 4.. pod sr slvo o mpo m m úic solção C,, R o spço ds fçõs líics dfiids m, com vlors m R. As d do, vmos ddzir m codição qivl pr propridd do corol iicil. Lm. Um codição iicil R pr 4.. é dirigido pr zro o mpo plo so do corol L, s som s 37

39 , B * d, 4.. pr qlqr R, sdo corrspod solção d 4... Prov: Sj rirário m R 4.. por 4.. por, mos q corrspod solção d 4... Mliplicdo ', A, B, ;, ' A*,. Eão d d, B, como, pós igrdo o mpo, mos q, B, d, B *, d 4..3 Omos ão s som s 4.. é vrificdo pr qlqr R. É fácil d vr q 4.. é d fo codiçõs oimizds pr poos críicos d fção qdráic J : R R, 38

40 J B * d, od é solção do sism djo 4.. com vlor iicil o mpo =. Mis prcism mos o sgi rsldo: Lm. Spoh q J h m míimo R sj solção do sism djo 4.. com os ddos iiciis. Eão B * 4..4 é m corol do sism 4.. com ddos iiciis. Prov: S é m poo od J ssm o s vlor míimo, ão J h lim h J h R., Iso é qivl B *, B * d,,, R 39

41 como vimos o Lm., sá implício q B * é m corol pr 4... Osrvção. O Lm. os dá m méodo vriciol pr or m corol sor o míimo d m fção J. Es ão é úic possiilidd fciol pr s cosgir o corol. Modificdo l covciolm, oros ipos d corol plo momo ps gg podm sr oidos. Lmrdo q o corol q cormos pr form B *, sá sdo m solção pr o prolm homogêo djo 4... No o, ss são fçõs líics sor o mpo. A oção sgir srá fdml pr o corol d prolms. DEFINIÇÃO.3 O sism 4.. é dio como osrvávl o mpo > s isir m c > l q B * d c, 4..5 pr odo R, sá sdo corrspod solção d 4... A dsigldd 4..5 chmrmos d osrvção o osrvção d dsigldd. El é gri d q solção do prolm djo pr = é icm drmido por B * pr. Em ors plvrs, s iformçõs coids s rmo crcrizm complm solção d

42 Osrvção.3 l q A osrvção d dsigldd 4..5 é qivl o sgi: ão is c > B * d c, 4..6 pr odo R, sá sdo solção pr 4... D fo, s sgis qivlêcis pr o fo d cosgirmos ssocir pr odo R o vor R, é m rsformção lir m R com lgm ivrs. Nós irmos sr s forms 4..5 o 4..6 ds osrvçõs ds dsigldds dpddo d cssidd q o prolm priclr prcisrá. fii. A sgi osrvção é mio impor o coo d spços d dimsão Proposição. A dsigldd 4..5 é qivl o sgi pricípio d coiidd úic: B *,, 4..7 Prov: Um ds implicçõs sgids imdim d Pr or, vmos dfiir smi-orm m R B * d Clrm,. é orm m R s som s 4..7 é válido. 4

43 Dsd ods s orms m R são qivls, q mos m 4..7 é qivl A prov rmi do o cocimo d prévi Osrvção.3 Osrvção.4 Vmos pgr s osrvçõs q ão srão d log propridds qivls m spços d dimsão ifii. Els os drão rzão pr difrs oçõs d corol o proimdo, rspcivm Es rlção srá dmosrd próim sção. A imporâci d osrvção d dsigldd sá o fo d q implic o corol o d 4... Por s cmiho, propridd d corolilidd é rdzid o sdo d m iqção pr o sism homogêo 4.. q, como cocpção rior, é m prolm simpls. Vmos lisr gor rlção r corolilidd propridd d osrvilidd. orm. O sism 4.. é corolávl m o mpo s som s 4.. é osrvávl o mpo. Prov: Vmos provr primiro q osrvção implic o corol. D cordo com o Lm., propridd do corol o o mpo is s pr lgm R, J m m míimo. Osrvmos q J é coío. Cosqüm, isêci d m míimo é qivl lim J 4..8 A corêci d propridd 4..8 é m cosqüêci d propridd d osrvilidd o mpo. D fo, d 4..5 omos q 4

44 J c,. O ldo dirio d o ifiio qdo J sisfz Rciprocm spohmos q o sism 4.. é m corolávl o mpo. S 4.. ão é osrvávl o mpo, ão is m sqüêci k k R l q k pr odo k k lim k B * d 4..9 k Iso qr dizr q is m ssqüêci d k, dod d msmo modo, q covrg pr R. Aid, s é m solção d 4.. com o vlor iicil, d 4..9 sg q B * d 4.. Como 4.. é corolávl, o Lm. os dá q, pr lgm vlor iicil R, ão is L, l q, B * d k 4.. k, k, omdo o limi m 4.. omdo o fo d 4.., ós omos q,. Dsd q sj rirário m R, mos q, cosqüm,. Iso é m cordição com o fo d q. A prov do orm sá compl. 43

45 Osrvção.5 Um cosqüêci do orm. cosis o fo d q l rdz prov do corol o pr o sdo d osrvção d dsigldd. 44

46 4.3 Codiçõs d corol d Klm. O q vrmos é m clássico rsldo pr R. E. Klm os dá m compl rspos pr o prolm d corol o d sism lir d dimsão fii. El mosr, m priclr, q o mpo do corol é irrlv. orm. O sism 4.. é m corolávl m lgm mpo s som s poso úmro d lihs ão ls do sism B, AB,..., A B 4.3. Cosqüm, s o sism é corolávl m lgm mpo ão l é corolávl m qlqr mpo. Osrvção.6 Por gor ós simplsm dirmos q A, B é corolávl s 4.3. isir. As mrizs B, AB,..., A B srão chmds d mrizs d corol. Emplos: No Emplo d sção. ós íhmos A, B 4.3. Poro B, AB

47 com o úmro d lihs ão ls igl m poso =. Plo orm. sg q o sism cosidrdo ão é corolávl. Ero, o Emplo, A, B cosqüm mos mriz formd pls cols B, AB com o úmro d lihs ão ls igl dois. Poro o sism é corolávl, coform mos cdo d osrvr. Prov do orm.: " " Spohmos q o úmro d lihs ão ls d B, AB,..., A B. Eão s mrizs d corol B, AB,..., A B são lirm dpds is m vor v R, v l q v * B, AB,... A B, od os coficis ds comiçõs lirs são s compos do vor v. Dsd q v * B, AB,..., A B v * B, v * AB,..., v * A B, v* B v* AB... v* A B Plo orm d Cl-Hmilo ddzimos q ism coss c,...,, c c l q 46

48 A c A... c I ão v* A B k mém. D fo, l mosr q v * A B A pr odo k N cosqüm v * B pr odo mém. Ms, pl fórml d vrição ds coss, solção d 4.. sisfz Eão A A s B s ds v A A s A, v, v, B s ds v,, od <, > é dodo como o prodo iro s côic m R. Aid, A v, v,. Iso mosr q projção d solção o mpo sor o vor v é idpd do vlor d corol. E mis, o sism ão é corolávl. Osrvção.7 Pr provr propridd d osrvção pr os vlors v,, ós mos ps q provr q pr lgm vor v mos q v B, AB,..., A B. Es, s o úmro d lihs ão ls d mriz B, AB,..., A B é k, mos q é m sspço d R com o úmro d lihs ão ls do sism poso igl k. " " Spomos gor q o úmro d lihs ão ls do sism é B, AB,..., A B. D cordo com o orm. é sfici mosrr q o sism 4.. é osrvávl. Pl Proposição., 4..5 is s som s 4..7 é vrificdo. Aid, o orm é A* A* provdo s 4..7 is. Pr B *, sg q B * pr odo. Aplicdo drivd pr ss fçõs m = omos q k * B A*, k. 47

49 Ms, do q o úmro d lihs ão ls é B*, B * A*,..., B * A* ão. Aid, 4..7 é vrificdo prov do orm. gor é compl. Osrvção.8 A corolilidd dos prs A, B é r ds. Poro, S A, B é corolávl ão is sficim pqo l q pr lgm A, B com A A, B B é ão corolávl. Iso é cosqüêci do fo d q o drmi d mriz dpd coim ds ss rds. Por oro ldo, s A, B ão é corolávl, pr lgm, is m A, B com A A, B B l q A, B é corolávl. Iso é cosqüêci d q o drmi d mriz dpd liicm d ss rds ão pod sr m R A sgi dsigldd mosr q orm do corol é proporciol disâci r A o sdo od o sism fic livr pl siêci do corol, iso é, com o ojivo. Proposição. Spoh gor q o pr A, B é corolávl o mpo > sj o corol oido rvés d miimizção do fciol J. Eão is m cos C, dpddo d, l q sgi iqção is A C L,

50 pr qlqr vlor iicil fil. Prov: Vmos primiro provr pr o cso priclr. Sj o corol d 4.. oido pl miimizção d fção J. D 4.. sg q L, B * d,. S w é solção d w' w Aw, pr lgm, mos q A w d d w, pr odo R, é corrspod solção d 4... Em priclr, pgdo, o míimo d J, mos q A. w, w,, Poro, omos q A A L,,, 49

51 Por oro ldo, mos q c B * c L, L, Poro, o corol é vrificdo A c L, S, Osrvção. implic q o corol d vri d solção d pr coicidido com solção d qdo vi pr zro, od vrific Usdo 4.3.9, omos q A A c, c L é provdo. Osrvção.9 Eqçõs sclrs lirs d qlqr ordm provém d mplos d sisms d grds riráris dimsõs q são corolávis com ps m corol. Eão, o sism é d ordm k k k... k é corolávl. Iso pod sr fcilm oido pl osrvção d q s êm k vlors iiciis fiis od s podm smpr corr rjóri z o fo d m ifiio úmro do l m qlqr irvlo d mpo. Es rgmo foi sdo o Emplo pr o cso k =. 5

52 4.4 Corol Bg-g. Vmos cosidrr o cso priclr B, 4.4. iso é, m =, com ps m corol :, R é válido. A ordm pr s cosgir corol g-g, é cosidrr covim fção qdráic: J B * d, 4.4. od é solção do sism djo 4.. com vlor iicil. Nomos q * mos q B * :, R é m fção sclr. Iso B é irss pr ormos q J difr d J o rmo qdráico. Eão, m J mos orm L, d B * qo qi vmos cosidrr orm L,. O msmo rgmo sdo pr provr o orm. mosr q J é coío drivávl. Iso mosr q J possi m míimo m lgm poo Por oro ldo, é fácil vr q R. lim h h f hg d f d f d sg f g d sgi li A fção sil sg é dfiid como m fção d vários vlors coform 5

53 sg s,,,, s s s Osrvmos q o limi prviso qi ão é mígo dfiição d sgf dsd q os irvlo dos poos f o vlor d igrl., od f = é ssmido q sj zro, iso ão A ididd pod sr plicdo o rmo qdráico d fção q, pgdo lgm J dsd q sj solção do sism djo 4.., iso é m fção líic ão, B * md d sil fiis vzs o irvlo, co od. do m vis iso, qção ssocid d Elr-Lgrg com os poos críicos d fção J é sgi: B * d sg B* B* d, pr odo R, od é m solção do sism djo 4.. com o vlor iicil. Cosqüm, o corol q procrmos é B * d sg B * m solção d 4.. com vlor iicil. od é Nomos q o corol é d form g-g. O sj, ssm ps dois vlors B * d. O corol lv d m vlor pr oro fiis vzs qdo fção B * md d sil. Osrvção. Oros ipos d corol podm sr oidos cosidrdo fçõs d form 5

54 J p p p B * d, com p. Os corrspods corols são p p p B B * d B * * p od é solção d 4.. com o vlor iicil, o míimo d J p. Iso pod sr mosrdo q, como por mplo, o corol oido pl miimizção do fciol o limi qdo p, os forc m corol g-g. A sgi propridd os drá m impor crcrizção dos corols q mos sddo. Proposição.3 O corol B * oido pl miimizção do fciol J m orm míim L, pr odos os corols possívis. Alogm, o corol B * d sg B * oido pl miimizção d fção J m orm míim L, pr odos os corols possívis. Prov: Sj m corol rirário d 4... Eão 4.. é vrificdo por pr lgm. omdo o míimo d J m 4.. omos q 53

55 , B * d,, L,, B * d,. Eão,, B * d B * L, L, L, L, primir pr d prov sá compl. Pr sgd pr d prov, m rgmo similr srá sdo. O sj, ommos ovm m corol rirário d 4... Eão 4.. é vrificdo por por lgm. omdo o míimo d J m 4.. omos q B * d,, L B * d B * d,,. Eão, L B * d B *, L, d L, L, ssim coclímos prov. 54

56 4.5 Esilizção d Sisms Lirs d Dimsão Fii. Ns sção ssmirmos q A é m mriz dj siméric, iso é, A* A. Ns cso, A, Cosidrmos o sism ' A B 4.5. Osrvção. O oscildor hrmôico, m " k, forc m simpls mplo d m sism com ss propridds. Es, sdrmos com mis dlhs é o fim ds sção. Qdo rgi d solção d 4.5. é cosrvd sism cosrvivo. O sj, pl mliplicção d 4.5. por, s, rmos, ', A d d 4.5. Eão,, O prolm d silizção pod sr formldo d sgi mir. Spoh q o pr A, B sj corolávl. mos q procrr mriz L q é solção do sism 4.5. com o corol fdck. 55

57 L m m dcimo iformm pocil, l q ão is c l q c pr qlqr solção. Nomos q, d cordo com qção 4.5.4, o corol é oido o mpo rl do sdo d. Em ors plvrs, smos procrdo mrizs L is q sjm solçõs do sism ' A BL ' A BL D do ssim m d dcimo iformm pocil. Osrv q ão podmos sprr mis d O sj, s solçõs d podm ão sisfzr o mpo fiio. O sj, s s for o cso, pl icidd ds solçõs d com o sdo fil m =, podri sr q. Por oro ldo, qlqr q sj L, mriz D formd plos o-vlors j com corrspods o-vors j R. A solção j j d mosr q o cimo ds solçõs ão pod sr mis rápido q pocil. orm.3 S A é m mriz dj siméric o pr siliz o sism, iso é, solção d A, B é corolávl, ão L B* 56

58 ' A BB* m m dcimo iformm pocil Prov: Com L B* ós omos q d BB *, B * d Eão, orm d solção dcrsc o mpo. Mis id, B * d Pr provr o dcimo iformm pocil é sfici mosrr q is > c > is q c B * d pr qlqr solção d O sj, d podmos or q 4.5. c cosqüm

59 com c Eão, k l k k, k N Agor, omdo qlqr >, scrvmos form k, com [, k N, poro omos q k l k l l l. Poro omos o dcimo do rsldo com l c, Pr provr 4.5.9, dcompomos solção d como solçõs dos sgis sisms: com ' A

60 ' A BB* Osrvmos q, dsd q A sj dj siméric, é m o sism djo 4.. co plo fo d q o vlor iicil omdo foi =. Como vimos prov do orm., o pr sgi osrvção d dsigldd é válid pr o sism 4.5.5: A, B sá sdo corolávl, C B * d Dsd q ós ddzimos q C B * d B * d. Por oro ldo, mosrrmos q solção d sisfz: d d B *, B * B * B * B * B *. Pl dsigldd d Growll s ddzimos q s B * B * ds B * B * d cosqüm B * d B d B 4 B * d. 59

61 Film, omos q 4 C B * d C B * B * d C' B * d prov do orm.3 sá compl. Emplo: Cosidrmos o oscildor hrmôico morcido: m " R k', od m, k R são coss posiivs. No q pod sr scrio qivlm form m " R k' com idícios d q foi plicdo m forç q sor o oscildor, proporciol vlocidd do poo d mss d sil oposo. Vrmos q s solçõs ds qção êm propridd do dcimo pocil. O sj, é sfici pr lmrrmos q s ds rízs crcrísics êm prs ris givs. Iso é, mr R kr r k k m 4mR E ão 6

62 R r k m k m k 4m R m s k s k 4mR 4mR.3 Vmos provr o dcimo pocil d solção d sdo o orm Primiro dvmos scrvr form d Assim X m ' R, qção cosrviv m " k corrspod o sism: R X ' AX, com A m. R m No q A é m mriz dj siméric. Por oro ldo, s scolhrmos B k omos q BB* k o sism 6

63 X ' AX BB* X 4.5. é qivl Agor, vrmos q o pr A, B é corolávl dsd q o poso úmro d lihs ão ls d mriz B, AB formd pls cols d B AB sj. Sg q solção d m propridd do dcimo pocil. S A, B é corolávl, mos q provr propridd d silizção iform do sism 4.5. com hipós d q A é dj siméric. Ero, s propridd é válid s A é m mriz rirári. Mis prcism mos: orm.4 S A, B é corolávl ão l é silizávl. O sj, é possívl d prscrvr lgs úmros complos,,..., como os ovlors d mriz A + BL por m scolh proprid d mriz L l q o cimo d r pod sr rirrim rápido. N formlção do orm smos o rmo clássico d sism lço fchdo closd loop pr rfrirmos o sism cjo corol é ddo form fdck. A prov do orm.4 é oid rdzido o sism 4.5. é form côic d corol. 6

64 5. Coclsão. rdo-s rspio d difrs forms d corol sor sisms d Eqçõs Difrciis Ordiáris, cormos m vs iliogrfi rspio do msmo. O ojivo dss os é o d prsr m rv plção sor s forms d corol silizção, dirciodo solção do sism d form mis prd. Eism vários mplos d fômos físicos cj ális formlizção pod sr rprsd rvés d Eqçõs Difrciávis Ordiáris. É vid q mios prolms podm ão sr ão fácis d s rsolvr, ms com o ílio d drmidos ipos d corols ilizdos podmos dircior s solçõs. N sc dss corols, q podm ão sr ddos o prolm, vimos q é possívl drmi-los do ps s mrizs d corol, oids pl própri dscrição do sism. Aid, cso sássmos ors forms d miimizção do fciol J, difrs forms d corol srim oids. As Codiçõs d Klm [] os grm q o mpo é irrlv. Codiçõs ss q são firmds plo poso úmro d lihs ão ls do sism d mriz formd pls mrizs cols dos corols. Es fo crc do mpo m grd ilidd sc d solçõs pr o osso ipo d prolm. É clro q, pr q s rlho pdss sr cosrído, fz-s cssário m cohcimo sor Eqçõs Difrciis Ordiáris. Isrido s mos os ss ipos, méodos d solçõs, gr, liridd, sdo s q s rg pr mios oros rmos do ivrso d prolms rspio do ojo m qsão. Chgmos o érmio ds com o lço d q foi válido o cohcimo dqirido, com crz do mho q o sdo os forc crc do m. [ ]E. Zz, CONROLABILIDAD EXACA Y ESABILIZACIÓN LA ECUACIÓN DE ONDAS 63

65 6. Rfrêcis Biliográfics. [ ] E. Zz, CONROLABILIDAD EXACA Y ESABILIZACIÓN LA ECUACIÓN DE ONDAS, os d Méodos Mmáicos 3, Uivrsidd Fdrl do Rio d Jiro, 99. [ ]. M. Aposol. ANÁLISIS MAEMÁICA, Sgd Edició, Rvré, Brclo, 98. [ 3 ] S. L. Cmpll R. Hrm, INRODUCUIÓN A LAS EQUACIONES DIFERENCIALES CON PROBLEMAS DE VALOR DE FRONEIRA, McGrwHill, Méico, 998. [ 4 ] Vléri Iório, EDP UM CURSO DE GRADUAÇÃO, ª dição, Rio d Jiro, 5. 64