8 Transformadas de Fourier
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- Sérgio Nunes Frade
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1 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir 8 Trnsfrmds d urir 8. Inrduçã à Análi d urir 3 8. A Trnsfrmd d urir pr sinis cnínus 4 Exmpl 8. 6 Exmpl 8. 9 Exmpl A Trnsfrmd d urir pr sinis priódics 3 Exmpl Exmpl Exmpl Exmpl Prpridds d Trnsfrmd d urir pr sinis cnínus 0 Linridd 0 Trnslçã n mp ( im shifing Exmpl 8.8 Cnjugçã 3 Exmpl Drivds 6 Ingrl 7 Exmpl Exmpl 8. 8 Esclnmn n mp ( im scling 9 Sinl rflcid / rvrsã n mp ( im rvrsl 9
2 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir Rlçã d Prvl 30 Dulidd 30 Exmpl Drivd n frquênci (dul d drivd 3 Dul d ingrl 3 Trnslçã n frquênci ( frquncy shifing 3 Cnvluçã 3 Muliplicçã (dul d cnvluçã Inrprçã d prpridd d Cnvluçã 33 Exmpl Exmpl Exmpl Exmpl Tbl d Trnsfrmd d urir d lguns sinis cnínus A Trnsfrmd d urir pr sinis discrs Prpridds d Trnsfrmd d urir pr sinis discrs 45
3 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir Trnsfrmds d urir 8. Inrduçã às Trnsfrmds d urir N cpíul cninurms Análi d urir sudnd gr s Trnsfrmds d urir. ig. 8. Jn Bpi Jph urir ( , frncês. A br principl d urir m íul: Mémir sur l héri d l chlur, publicd n Exri du mémir lu à l'acdémi ds scincs l r décmbr 88, 89,. p
4 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir N figur 8. vms livr nd fi publicd s su br lguns xrcs ds riginis d urir. ig. 8. Alguns xrcs ds riginis d urir. O livr Exri du mémir lu à l'acdémi ds scincs nd fi publicd principl br d urir lguns xrcs ds us riginis. Enqun qu s séris d urir rm dfinids pns pr sinis priódics, s Trnsfrmds d urir sã dfinids pr um cls d sinis mui mis mpl. Dvid fc qu s sinis sinusidis sã difrnciávis, rnsfrmd d urir prmi rprnr quçõs difrnciis linrs cm cficins cnsns n frm d quçõs lgébrics rdináris. Our dlh: s rnsfrmds d urir rnm prçã d cnvluçã m muliplicçõs simpls. 4
5 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir 8. Trnsfrmds d urir pr sinis cnínus A séri d urir só plic sinis priódics. Sinis qu nã sã priódics (dis sinis priódics êm um ur rprnçã cm rnsfrmd d urir. Um sinl priódic pd r vis cm um sinl priódic cm um príd infini. Ms n séri d urir, qund príd T d um sinl priódic umn, frquênci π T diminui, rms hrmnicmn rlcinds ficm mis próxims n frquênci. Ou j, qund príd T crsc, T pr cnguin frquênci diminui π T 0 s cmpnns m frquênci (i.., s c s frmm um cnínu, smóri d séri d urir d sinl cnvr m um ingrl. Cnsidr prn um sinl cnínu x( C {cnjun ds númrs cmplxs} u j, sinl x( m vlrs cmplxs, cm pr rl pr imginári. A rnsfrmd d urir d sinl x(, nrmlmn simblizd pr: { x( } X(j prmi xprssr sinl x(, qu nã r pssívl cm séri d urir sinl nã fs priódic, cm: x( π j d X( j q. (8. 5
6 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir nd: X( j j x( d q. (8. é rnsfrmd d urir d sinl x(. Prn, rnsfrmd d urir é um funçã d (u d j, d cr frm, gnrliz séri d urir. A quçã q. (8. cim é cnhcid cm quçã d sín, u mbém cm fórmul d rnsfrmd invrs d urir. Pr ur ld quçã q. (8., qu dá prprimn fórmul d rnsfrmd d urir, é cnhcid cm s quçã d náli. Qun à cnvrgênci dss ingris, é pssívl msrr qu ss fórmuls sã válids pr um cls bsn mpl d sinis d durçã infini. Exmpl 8.: Cnsidr sinl x( u(, > 0 cuj gráfic vê- n figur 8.3. ig. 8.3 O sinl xpnncil ( u (, > 0 d Exmpl 8.. x A rnsfrmd d urir d sinl x( pd r clculd usnd quçã q. (8.. 6
7 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir X ( j 0 j d ( + j (+ j 0 prn rnsfrmd d urir d sinl x( é dd pr: X ( j, > 0 ( + j Cm rnsfrmd d urir m vlrs cmplxs, pr xprssá-l rvés d um gráfic é ncssári dcmpr m, digrm d módul X(j, digrm d f X(j. Pr s rnsfrmd X(j é fácil d vrificr qu digrm d módul X(j m xprssã X ( j + qu sá ilusrd n figur 8.4. ig. 8.4 A rnsfrmd d urir d sinl x(. Digrm d módul X(j. 7
8 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir qu digrm d f X(j m xprssã X ( j iss sá ilusrd n figur 8.5. rcg ig. 8.5 A rnsfrmd d urir d sinl x(. Digrm d f X( j. Obrv qu 0, nã prn rc g rcg ( 0 0, X( j0 rcg ( 0 0. Tmbém é fácil vrificr qu, nã g g ( π, prn 4 X( j rcg π 4 Pr ur ld,, nã rcg rcg ( π 4 prn 8
9 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir X( j N mbém qu, nã rcg π 4 rcg lim rcg rcg ( π, prn X( j rcg π Ms nrn,, nã rcg lim rcg rcg ( π, prn X ( j rcg π Exmpl 8.: Cnsidr gr sinl x(, > 0 cuj gráfic vê- n figur 8.6. ig. 8.6 O sinl x(, > 0 d Exmpl 8.. 9
10 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir A rnsfrmd d urir d x( pd r clculd usnd quçã q. (8.. X ( j 0 j d 0 j d + 0 j d ( j ( j 0 + ( + j (+ j 0 ( + ( + prn rnsfrmd d urir d sinl x( é dd pr: X( j ( qu sá ilusrd n figur 8.7. ig. 8.7 A rnsfrmd d urir d sinl x(. Digrm d módul X( j. O digrm d módul X(j X ( j ( 0
11 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir Cm X(j m vlrs ris psiivs pr < vlrs ris ngivs pr <, digrm d f X(j é m xprssã X ( j 0, π, < < < u > iss sá ilusrd n figur 8.8. ig. 8.8 A rnsfrmd d urir d sinl x(. Digrm d f X( j. Exmpl 8.3: Cnsidr gr sinl x (, 0, < > cuj gráfic vê- n figur 8.9 é chmd d um puls qudrd. ig. 8.9 O sinl x( d Exmpl 8.3. puls qudrd. Clculnd- rnsfrmd d urir d x( usnd quçã q. (8., ms X( j j d lg, ( j ( j
12 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir X ( j j j j ( prn, usnd Eülr, rnsfrmd d urir d sinl x( é dd pr: X ( j n ( Prn, s rnsfrmd d urir X(j mbém só m vlrs ris, ms nrn, s vlrs qu X(j ssum sã r psiivs r ngivs, dvid às scilçõs d n. O gráfic d X(j sá ilusrd n figur 8.0. ig. 8.0 A rnsfrmd d urir d sinl x( d Exmpl 8.3. Lg, é fácil d br digrm d módul X(j cnfrm pd- vr ilusrd n figur 8.. ig. 8. A rnsfrmd d urir d sinl x( d Exmpl 8.3. Digrm d módul X( j.
13 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir gráfic d digrm d f X(j é msrd n figur 8.. ig. 8. A rnsfrmd d urir d sinl x( d Exmpl 8.3. Digrm d f X(j. Ou j, X ( j 0 π X ( j > 0 X ( j < Trnsfrmds d urir pr sinis priódics N qu nã x ( π X ( j π u π u ( ( j d u ( j d j Lg, X ( j π c u ( q. (8.3 x( nã rá: 3
14 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir x ( c j qu é séri d urir pr sinis priódics. X(j qu sisfz quçã q. (8.3 cim é chmd d rin f impuls dfin rnsfrmd d urir pr s sinis qu sã priódics m funçã ds cficins c s d séri d urir xpnncil. Exmpl 8.4: Cnsidr sinl priódic d n: x( n( N cs s cficins c s d séri xpnncil d urir sã: {, } c j j c c 0 E rnsfrmd d urir ( rin f impuls n cs é: X ( j π u j ( π u j ( + qu pd r vis n gráfic d figur 8.3. ig. 8.3 A rnsfrmd d urir d sinl x( d Exmpl
15 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir Exmpl 8.5: Cnsidr sinl priódic d c-n: x( cs( Agr, n cs s cficins c s d séri xpnncil d urir sã: {, } c c c 0 rnsfrmd d urir ( rin f impuls n cs é: X ( j π u ( + + π u ( qu ncnr- ilusrd n figur 8.4 ig. 8.4 A rnsfrmd d urir d sinl x( d Exmpl 8.5. Exmpl 8.6: Cnsidr sinl x( d xmpl 7. n cpíul 7 (nd qudrd. x (,, < < 0 0 < < qu pós r rpid (u ndid pr diri d pr squrd d, ns dá um sinl priódic pr ( < <, ilusrd n figur
16 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir ig. 8.5 Ond qudrd ndid pr ( < <. E sinl m frquênci nurl π T π N Exmpl 7. vims qu s cficins c s d séri d urir cmplx sã: c 0, π j, 0, ±, ± 4,... ±, ± 3, ± 5,... Lg Trnsfrmd d urir d sinl x( rá dd pr X ( j π c u ( ±, ± 3, ± 5, K π π j u ( π ±, ± 3, ± 5, K 4 j u ( π ± 4j ± 4j qu é um rin f impuls cmplxs cm árs: ± 4j,,, K lclizds 3 5 m ±π, ± 3π, ± 5π, K, rspcivmn. Lg, é fácil d br digrm d módul X(j cnfrm pd- vr ilusrd n figur
17 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir ig. 8.6 A rnsfrmd d urir d sinl x(, rin f impuls. Digrm d módul X( j. Pr digrm d f X(j, n qu qund s impulss sã muliplicds pr +j, ângul (u f é π/ (u 90º; qund s impulss sã muliplicds pr j, ângul (u f é π/ (u 90º. Iss pd vr ilusrd n figur 8.7. ig. 8.7 A rnsfrmd d urir d sinl x( d Exmpl 8.6. Digrm d f X(j. Exmpl 8.7: Cnsidr sinl priódic x( bix:, x( 0, < < < T 7
18 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir 8 supnh qu fi ndid pr squrd pr diri, rnnd- um sinl priódic, cm ncnr- ilusrd n figur 8.8. ig. 8.8 O sinl x( d Exmpl 8.7. Ond qudrd. Pr clculr s cficins c s d séri d urir xpnncil, fzms primir pr 0, ms qu: T d T c Pr 0 ms qu: 0, j T T j d T c j j j j nd π T. Agr, usnd- s quçõs d Eülr ms qu: 0, T n ( c u, quivlnmn:
19 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir c n ( π, 0 Lg, rnsfrmd d urir d sinl priódic x( é rin f impuls X(j bix: n ( X ( j π u( + u( T 0 γ u ( nd: γ 4π T n ( 0 0 N figur 8.9 pd- vr gráfic d X(j x pr cs priculr d T 4. ig. 8.9 A rnsfrmd d urir d sinl x( d Exmpl
20 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir N cs (T 4, π/, s vlrs d c ds γ sã: c γ π c γ γ c π c 0 γ 0 c c 3π γ c γ3 γ c 0 γ 0 c4 4 c 5π c5 5 c6 6 γ 4 4 γ5 γ 5 c 0 γ 0 γ6 6 5 M M 8.4 Prpridds d Trnsfrmd d urir pr sinis cnínus Linridd: Supnh qu qu x ( x ( sã dis sinis cnínus. y( α x( + β x ( nã, msr- qu rnsfrmd d urir d y( é: Y( j α X( j + β X ( j u j, { α ( + β x ( } α { x ( } + β { x ( } x 0
21 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir Trnslçã n mp ( im shifing : Supnh qu x( é um sinl cnínu qu: y( x( u j, y ( é sinl x ( cm um rnslçã (shif n mp, d. Enã, msr- qu: u j, Y( j j X(j j { x( } { x( } N: O módul d sinl rnsldd nã lr. Smn f. Ou j, scrvnd- rnsfrmd d urir d x( n frm plr (módul ângul: X( j { x( } X( j X(j ms qu rnsfrmd d urir d x( pd r xprss cm: { x( } j X( j X(j j [( X( j ] Um rnslçã u shif (d n sinl x( um rnslçã u shif (d n rnsfrmd X(j d sinl. Exmpl 8.8: Cnsidr sinl x( d figur 8.0:
22 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir ig. 8.0 O sinl x( d Exmpl 8.8. E sinl pd r rscri m funçã d dis sinis rnsldds: x (,5 x (,5 : x ( x(,5 + x (,5 qu sã rprnds grficmn n figur 8.. ig. 8. Sinis x ( x ( d Exmpl 8.8. Cm s rnsfrmds d urir d x ( d x ( sã rspcivmn X (j X (j: 3 n n X ( j X ( j nã, usnd s prpridds d linridd d rnslçã (im shifing ms qu: X( j n 3 + n 5 j
23 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir Cnjugçã: Supnh qu x( é um sinl cm príd T m cficins d urir c qu y( cnjugd d x(; nã, msr- qu rnsfrmd d urir d y( é: x ( Y( j X ( j is é, rnsfrmd d urir d cnjugd d um sinl é siméric d cnjugd d rnsfrmd d urir d sinl: { x ( } X ( j N: Cm cnquênci ds prpridd pd- cncluir qu: S x( R, nã X( j X ( j Além diss, rnsfrmd d urir d x( é xprss n frm crsin (pr rl pr imginári: { x( } X(j R{ X(j } + Im{ X( j } nã, cm x( R, ms qu R Im { X( j } R{ X( j } { X( j } Im{ X( j } ( pr rl d X(j é pr q. (8.4 ( pr imginári d X(j é ímpr q. (8.5 Enrn, rnsfrmd d urir d x( é xprss n frm plr (módul ângul: j { x( } X(j X(j X( 3
24 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir ig. 8. Digrm squmáic qu msr módul f d mbs z z*. Cnfrm ilusr figur 8., prn, ms nã qu: z z z z X( j X ( j ( módul d X(j é pr q. (8.6 X( j X ( j ( f d X(j é ímpr q. (8.7 Lg, x( R, nã só é ncssári clculr rnsfrmd d urir, pr frquêncis n n cs d módul f > 0 ( X( j X( j cm n cs d pr rl pr imginári, ( R{ X( j } Im{ X( j }, pis s vlrs pr frquêncis ngivs ( < 0 pdm r drminds usnd s rlçõs cim [ q. (8.4 q. (8.5, u q. (8.6 q. (8.7]. 4
25 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir Our dlh: S x( R é um sinl pr ( x( x( X ( j R, is é, X( j ix rl; X( j X( j, is é, X( j é pr. ( rnsfrmd d urir é um funçã rl pr S x( R é um sinl ímpr ( x( x( X( j é imginári pur, is é, X( j ix imginári; X( j X( j, is é, X( j é ímpr. inlmn, dcmpsiçã d um sinl x( m pr pr ( { X(j } ímpr ( Od{ X( j }: { Ev{ x( }} R{ { x( }} R{ X(j } { Od{ x( }} j Im{ { x( }} j Im{ X( j } Ev q. (8.8 q. (8.9 Exmpl 8.9: Cnsidr sinl x( bix: x(, > 0 qu vims n figur 8.6 (Exmpl 8. cim. Ms, pl rsuld d Exmpl 8. sbms qu: { ( u ( } x ( + j cm x( > 0 < 0 pdms scrvr qu: 5
26 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir x( u ( + u ( Ev u ( + { u ( } u( Agr, usnd q. (8.8 cim, ms qu: { { u ( }} Ev R ( + j lg, X( j { Ev{ u ( }} R ( + j ( + qu fi rsuld bid n Exmpl 8.. Drivds: Supnh qu x( é um sinl qu nã, msr- qu: y ( dx d ( Y( j j X( j u j, dx ( j d { x( } 6
27 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir N: Pr cs d drivds d rdm u mis, pd- plicr s rgr sucssivs vzs. Pr xmpl, n cs d gund drivd, y ( nã Trnsfrmd d urir d y( é d x d ( j X( j X( j Y( j. u j, d x d { x( } Ingrl: Supnh qu x( é um sinl qu y ( x( d nã, msr- qu: Y( j X( j + πx(0u ( j u j, { x( τ dτ } { x( } + πx(0 u( j Exmpl 8.0: A rnsfrmd d urir d impuls uniári u (: j { u ( } u ( d 7
28 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir usnd prpridd d ingrl pr impuls uniári u (, qu vims n cpíul 3 [q. (3.3], is é, β α x( u ( d x(, α < < β bms qu: j { u ( } 0 Ou j, rnsfrmd d urir d impuls uniári u ( é igul. Exmpl 8.: Cnsidr sinl x( dgru uniári u (: Cm x ( x( u ( u ( τ dτ nã, cm { u ( } usnd prpridd d ingrl pr rnsfrmd d urir, ms qu X( j + π u ( j u j, rnsfrmd d urir d dgru uniári u ( é: j { u ( } + π u ( Pr ur ld, cm du u ( d ( usnd prpridd d drivd pr rnsfrmd d urir, ms qu 8
29 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir { u ( } j { u ( } j j + + j π u π u ( ( Enrn, sbms qu ( 0, 0 iss implic qu: u u ( 0 prn: { u ( } qu fi rsuld ncnrd n Exmpl 8.0. Esclnmn n mp ( im scling : Supnh qu x( é um sinl qu nã, msr- qu: u j, Y ( j y( α x( α X α j α j α { x( α } X Sinl rflcid / rvrsã n mp ( im rvrsl m rn d 0: Supnh qu x( é um sinl qu nã, msr- qu: y( x( u j, Y( j X( j { x( } X( j 9
30 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir Rlçã d Prvl: Supnh qu x( é um sinl. Enã, msr- qu nrgi l d sinl E x ( d pd r xprss m rms d rnsfrmd d urir pl rlçã d Prvl: E x ( d π X( j d Dulidd: Supnh qu x ( x ( sã sinis cnínus qu { x( } X (j { ( } X (j x Msr- qu: x ( X ( j nã, X ( j π x( Exmpl 8.: Usnd rsuld bid n Exmpl 8. pdms firmr qu: f ( nã: ( j { f ( } ( + 30
31 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir Lg, g( ( + nã, pl prpridd d dulidd: G(j { g( } π Drivd n frquênci (dul d drivd: Supnh qu x( é um sinl qu y( ( j x( nã, msr- qu: u j, Y ( j dx( j d { j x( } ( { x( } d d qu é drivd d X(j m, u di: drivd n frquênci. Dul d ingrl: Supnh qu x( é um sinl qu y( j x( + π x(0 u ( nã, msr- qu: u j, Y ( j X( γ dγ j x( + π x(0 u ( X( γ dγ 3
32 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir Trnslçã n frquênci ( frquncy shifing : Es prpridd é dul d prpridd d rnslçã n mp ( im shifing. Agr rnslçã (shif fi plicd à vriávl nã n mp. Supnh qu x( é um sinl qu y( j x( u j, y( é sinl x( muliplicd pr Enã, msr- qu: j. Y(j X ( j( u j, j { x( } X( j( rnsfrmd d urir d y( é rnsfrmd X(j { x( } rnslçã (shif n frquênci, d. cm um Cnvluçã: Supnh qu x ( x ( sã sinis cnínus qu y( x x ( τ x ( x ( ( τ dτ nã, msr- qu: ( j X ( j Y( j X u j, { x ( x ( } { x ( } { x ( } X ( j X ( j is é, rnsfrmd d urir d cnvluçã nr sinis x ( x ( é prdu ds rnsfrmds d urir ds sinis. 3
33 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir Muliplicçã (dul d cnvluçã: Supnh qu x ( x ( sã sinis cnínus qu y( x ( x ( Enã, msr- qu: u j, Y( j π X ( jθ X ( j ( θ dθ x π { ( x ( } X ( jθ X ( j ( θ dθ 8.5 Inrprçã d prpridd d Cnvluçã Um inrprçã d prpridd d Cnvluçã vis n cçã nrir é dd qui. Já vims n cpíul 4 (sbr Sims qu síd y( d um sim linr invrin n mp (SLIT é cnvluçã d h( [rsps d sim impuls uniári] cm x( [sinl d nrd d sim]. A figur 8.3 ilusr qu fi di cim rvés d digrm d blcs (cix pr d um sim rms d x(, h( y(, cnfrm vis n cpíul 4. ig. 8.3 Digrm squmáic d um sim m funçã d x(, h( y(. A figur 8.4 prn nvmn digrm d blcs (cix pr d um sim ms gr m rms d X(j, H(j Y(j. ig. 8.4 Digrm squmáic d um sim m funçã d X(j, H(j Y(j. 33
34 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir Prn, Y(j {y(}, rnsfrmd d urir d síd y( d um sim é prdu Y ( j H j X j nd: ( ( H(j {h(} rnsfrmd d urir d h( [rsps impulsinl d sim], mbém chmd d rsps n frquênci. X(j {x(} rnsfrmd d urir x( [sinl d nrd d sim] A prpridd d cnvluçã prmi scrvrms digrm d blcs (cix pr n frm msrd n figur 8.5. ig. 8.5 Digrm squmáic d um sim m funçã d X(j, H(j Y(j ilusrnd prpridd d rnsfrmd d cnvluçã. Além diss, mbém fi vis n cpíul 4 (sbr Sims qu dis sims S S, linrs invrins n mp (SLIT, sã ligds m csc, cnfrm ilusr figur 8.6, nã rsps à nrd impuls uniári ds dis sims juns (S S é cnvluçã ( h ( * h (. ig. 8.6 Digrm squmáic d um sim m csc. Prn, síd y( d sim m csc é cnvluçã (dupl d h ( cm h ( cm x(. iss sá ilusrd n figur 8.7. y( h ( h ( x( ig. 8.7 Digrm squmáic d um sim m csc. 34
35 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir E sim m csc pd r rprnd d frm quivln pr pns um blc cnfrm msr figur 8.8. ig. 8.8 Digrm squmáic quivln d um sim m csc. Pl prpridd d cnvluçã pr Trnsfrmd d urir, rsps n frquênci d sim é ( j H ( j H(j H rnsfrmd d urir d síd y( d sim m csc é prdu ds rnsfrmds d urir d h (, h ( x(. { y( } { h ( } { h ( } { x( } H ( j H ( j X( j E iss sá ilusrd n figur 8.9. ig. 8.9 Digrm squmáic quivln d um sim m csc. Exmpl 8.3: Cnsidr sim SLIT nd rsps impuls é dd pr h( ( u. Usnd prpridd dul d im shifing pr rnsfrmd d urir, bms rsps n dmíni d frquênci, rnsfrmd d urir d h( H(j j { u ( } j iss sá ilusrd n figur
36 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir ig Digrm squmáic d um sim SLIT cm j H(j. Prn, pr um nrd x( cm rnsfrmd d urir X(j {x(}, m qu rnsfrmd d urir d síd y(, Y(j {y(} é dd pr Y(j H ( j X( j j X ( j prn, usnd prpridd dul d im shifing pr rnsfrmd d urir y( x( brvms qu síd y( é sinl x( cm um rnslçã (shif d qu sim é sim cm rrd (im dly sym. Exmpl 8.4: Cnsidr sim SLIT chmd d difrncidr, nd pr um sinl d nrd x( síd y( é su drivd y ( dx d ( cnfrm sá ilusrd n figur 8.3. ig. 8.3 Digrm squmáic d sim difrncidr. Usnd prpridd d drivd pr rnsfrmd d urir ms qu Y( j { y( } j X( j 36
37 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir Lg, pl prpridd d cnvluçã pr rnsfrmd d urir, rsps n frquênci H(j é qu ncnr ilusrd n figur 8.3. H ( j j ig. 8.3 Digrm squmáic d sim difrncidr, ( j j H. E rsuld é cnsin cm dfiniçã d H(j, pis h ( du d ( prn H(j {h(} é H( j j { u (} j Exmpl 8.5: Cnsidr gr sim SLIT bix chmd d ingrdr, nd pr um sinl d nrd x( síd y( é su ingrl y ( x( τ dτ qu sá ilusrd n figur ig Digrm squmáic d sim ingrdr. 37
38 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir Usnd prpridd d ingrl pr rnsfrmd d urir,, cm { u( τ dτ} + π u ( h ( j u ( τ dτ nã rsps d sim n frquênci é: H(j { h( } + π u (. j qu ncnr ilusrd n figur ig Digrm squmáic d sim ingrdr. pl prpridd d cnvluçã pr rnsfrmd d urir, ms qu Y(j, rnsfrmd d urir d síd y( é dd pr Y j ( j H( j X( j X( j + π X( j u ( j X ( j + π X( 0 u ( qu é msm rsuld qu bms clculnd Y( j { y( } pl prpridd d ingrl pr rnsfrmd d urir. { x( τ dτ} X( j + π X( 0 u ( j Exmpl 8.6: Cnsidr gr filr pss-bix idl ( lw pss bnd filr. 38
39 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir H ( j 0 < > c c qu ncnr ilusrd n figur ig Digrm squmáic d filr pss-bix idl ( lw pss bnd filr. Pl Exmpl 8.3 pl prpridd d dulidd pr rnsfrmd d urir ms qu h - ( { H( j } n( π c cuj gráfic é msrd n figur ig Gráfic d h( d filr pss-bix idl ( lw pss bnd filr. 39
40 J. A. M. lipp d Suz 8 Trnsfrmds d urir 8.6 Tbl d Trnsfrmd d urir d lguns sinis cnínus cnhcids x( x( u ( X(j X(j, j x( u ( X( j + π u( x( u ( X( j ( j + u ( j x( j X(j π u( x(, X( j π u( x( n X( j [ u ( u ( + ] x( cs X( j π [ u ( + u ( + ] x( u (, > 0 X( j π j ( + j ( u (, > 0 X( j ( + j x n x( u(, > 0 (n! X ( + j ( j n x ( x( 0 n( π c X ( j < > X(j 0 n( < > c c ( + n π x u ( nt π X(j u T + T 40
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