6 Resposta do Sistema Não-Linear

Transcrição

1 6 Roa do Sima Não-Linar A quaçõ d movimno 4.1 arnam não-linaridad goméria inrial m virud do movimno do êndulo. Ao onidrar a não-linaridad, o ima aa a não ouir uma olução fhada. Aim, dv- rourar uma olução aroximada, qu od r obida, or xmlo, no domínio da frqüênia. Io rmi uma análi da influênia do grau d não-linaridad do ima na roa, bm omo uma análi do ao ond ornm- nário aju do aboror ndular. Para io, orna- indinávl obr a quaçõ qu fornm rlaçõ nr a frqüênia d xiação, a amliud d movimno d ada grau d librdad o ângulo d fa. A olução da quaçõ d movimno não-linar é nonrada aravé d uma forma imlifiada, lo méodo d Galrkin-Urab. O udo é imilar ao d Pinhiro Obnção da Equaçõ Algébria Não-Linar O ima oilaório não-linar não-auônomo drio la quaçõ difrniai 4.1 diingu- do linar or não rvalr o riníio da uroição ara o mmo, o qu gra uma ra difiuldad na rolução. Para nonrar uma olução harmônia aroximada ara o ima não-linar d quaçõ difrniai é uilizado o méodo Galrkin-Urab, o qual ranforma o ima 4.1 m um ima d quaçõ algébria não-linar. Conidr qu a olução do ima d quaçõ d movimno 4.1 ubmido a uma xiação harmônia d frqüênia é da forma w = w o 6.1a = o 6.1b

2 115 ond é a dfaagm nr a roa da oluna a do êndulo, onidr ambém qu há uma dfaagm nr a força xrna dria or um ângulo d fa ψ. Aim a força od r ria na forma: F n ψ = F o F n 6. o Subiuindo- a xrõ no ima d quaçõ d movimno 4.1, obém- o ima d quaçõ algébria não-linar. [ w.5aρl m o Cn 3.9EI.78Agρ o [ o o o 3 ml L n n o ] = F o Fn ml [ ml o C n K o ] [ gn o w o o o ] = 6.3a 6.3b Obrva- qu a quaçõ onêm funçõ rigonoméria ujo argumno ão oura funçõ rigonoméria. Enão, ao mrgar o méodo d Galrkin-Urab, urgm ingrai qu não êm olução analíia. Pran io, é uilizada a xanão d aobi d funçõ rigonoméria m ri d funçõ d Bl d rimira éi i, qu ão dada or: o o δ = n 1 n onδ 1 n 1 n n o δ = 1 n1 o δ 1 6.4a 6.4b Tomando- ana o rimiro rmo ou o rimiro harmônio da éri, a quaçõ rdm o rmo m no o-no d argumno ambém rigonomério, adquirindo a forma: o o = o 6.5a n o = 1 o 6.5b

3 116 Subiuindo- a xrõ 6.5 m 6.3, m-: 6.6a [ [ { ] [ ]} [ ] [ ] [ ] { } = = o o o o n o n o o n o o o n o ρ ρ w g ml K C ml F F ml Ag L EI C m L A w 6.6b Muliliando ada uma da quaçõ 6.6 la funçõ o o 1 φ = n φ =, ingrando ada uma da quaro quaçõ rulan d a π /, obém- o ima algébrio não-linar: 6.7a 6.7b 6.7 = = = = o o o o o o µ µ µ µ µξ µ ψ µ ξ ψ µ µ n n n n n 6.7d

4 117 E ima d quaçõ não-linar já á na ua forma adimnional. A quaçõ foram adimnionalizada aravé da modologia mrgada no im 4.4. A quaçõ algébria não-linar oum omo variávi, além da frqüênia d xiação,, a amliud, o ângulo d fa ψ. Obrva- a não-linaridad no rmo rigonomério no rmo qu onêm a funçõ d Bl d rimira éi, lvando a um ro grau d difiuldad ara ua rolução, n ao, dv- uilizar um méodo iraivo. O méodo olhido é o méodo iraivo d Nwon-Rahon. An da imlmnação do méodo d Nwon-Rahon é nário dfinir a funçõ d Bl, ndo a funçõ obida a arir d: n k n k 1 / = 6.8 k! Γ k n 1 k = ond, Γ é a função gama. Aim, a funçõ d Bl ão obida a arir da éri: 4 6 = a = b = Rulado Numério Quando ua- um aboror não-linar, aumna-, m gral, a faixa d frqüênia ara a qual l é fiin. A não-linaridad faz om qu a frqüênia naurai do ima jam uma função d ua amliud d vibração. Ainda, la aumnam ou diminum, dndndo do io d não-linaridad. Arna- n im doi xmlo. O rimiro xmlo udado é dado or Pinhiro O gundo xmlo rfr- à orr arnada no aiulo 4. Mora-, ambém, a validação do rulado do rn rabalho.

5 Exmlo 1 O rimiro xmlo rfr- ao modlo diro arnado na Figura 4.3. Parindo da quaçõ d movimno 4.11 aliando a modologia arnada no im 6.1, hga- ao mmo ima d quaçõ algébria nãolinar 6.7. O riniai arâmro, o mmo adoado or Pinhiro 1997, ão: = 1. rad/, qu rrna o frqüênia naural do ima rinial; ξ =.7%, é a axa d amorimno da oluna; µ =., rlação d maa; F =. 9, amliud da força d xiação; K =., rigidz do aboror ndular. Para omarar o rulado obido n rabalho om o obido or Pinhiro 1997 dv- onidrar qu: F = / 6.1 ond F é a amliud da força d xiação. Iniialmn onidra- um ao ond a axa d amorimno do êndulo é d.%. A variação da amliud da roa rmann m função da razão / é morada na Figura 6.1 ara o êndulo na Figura 6. ara o ima rinial.

6 119 Figura 6.1: Variação d ara / =1., ξ =.%, µ =. F =.9. Vrifia- a rnça d uma não-linaridad do io ofning, io é, um dréimo da frqüênia naural om a amliud, lvando a mudança brua d amliud, ano na amliud do dloamno angular do êndulo, arnado na Figura 6.1, omo na amliud do dloamno do ima rinial, arnado na Figura 6.. Convém ralar a influênia da não-linaridad do êndulo no omoramno do ima rinial. Figura 6.: Variação d ara / =1., ξ =.%, µ =. F =.9. O rgim não-linar d oilaçõ do êndulo muda o arâmro óimo d aju quando omarado om a oria linar, alrando aim o nívi d dloamno aingido la ruura. Na Figura obrva- o omoramno do ângulo d fa do êndulo da força.

7 1 Figura 6.3: Variação do ângulo d fa ara F =.9. / =1., ξ =.%, µ =. Figura 6.4: Variação do ângulo d fa ψ ara F =.9. / =1., ξ =.%, µ =. A guir, é udado um ao ond a axa d amorimno do êndulo é d 6.3%. É bom ralar qu a axa d amorimno é difiilmn obida m iuaçõ ráia, ma foi adoada ara dmonrar omo o ima omora- om uma axa d amorimno ão ala. Na Figura 6.5 omara- o omoramno da roa onidrando o êndulo amorido om o nãoamorido.

8 11 a Amliud d dloamno angular do b Amliud d dloamno da oluna. êndulo. Figura 6.5: Influênia do amorimno do êndulo m ara / =1., µ =. F =.9. Agora, é udado o omoramno do ima arnado or Pinhiro 1997, qu m omo arâmro difrn do anrior: / =. 833, ξ = 6.3% F =. 41. Na Figura 6.6, arna- o omoramno da amliud do dloamno do aboror ndular. Figura 6.6: Variação d ara / =.833, ξ =6.3%, µ =. F =.41. Para ilurar o omoramno da amliud d oilação do êndulo ão arnada na Figura 6.7 a roa no mo no ado rmann ara alguma rlaçõ d frqüênia, obida a arir da ingração numéria da quaçõ difrniai d movimno lo méodo d Rung-Kua d quara ordm.

9 1 a / =. 4 b / =. 7 / = 1. d / = 1. 3 / = 1. 6 f / = 1. 9 Figura 6.7: Variação do dloamno angular ao longo do mo ara / =.833, ξ =6.3%, µ =. F =.41. Vrifia- qu o rulado obido no domínio da frqüênia ondizm om o rulado obido no domínio do mo, omrovando a formulação adoada. O omoramno da amliud do dloamno do ima rinial é arnado na Figura 6.8. á o rulado obido or ingração numéria ara a roa do ima rinial no rgim rmann ão morado na Figura 6.9.

10 13 Figura 6.8: Variação d ara / =.833, ξ =6.3%, µ =. F =.41. a / =. 4 b / =. 7 / = 1. d / = 1. 3 / = 1. 6 f / = 1. 9 Figura 6.9: Variação do dloamno ao longo do mo ara ξ =6.3%, µ =. F =.41. / =.833,

11 14 Obrva- qu o rulado da amliud d dloamno do ima rinial obido no domínio da frqüênia ondizm om o rulado obido no domínio do mo. A variação do ângulo d fa ara ao é morada na Figura Figura 6.1: Variação do ângulo d fa ara F =.41. / =1., ξ =6.3%, µ =. Figura 6.11: Variação do ângulo d fa ψ ara F =.41. / =1., ξ =6.3%, µ =. Na Figura 6.1 arnam- o rulado obido or Pinhiro 1997.

12 15 Figura 6.1: Variação da amliud d dloamno / x x ara / =.833, ξ =6.3%, µ =. F =.41 Pinhiro, Noa- qu o rulado obido uando a rn modologia não onordam qualiaivamn quaniaivamn om o obido or Pinhiro 1997, rovavlmn orqu naqul rabalho não foi onidrado o fio do ângulo d fa do ima. Com io, didiu- validar o rulado aqui obido uando- o méodo aroximado d Galrkin-Urab om a amliud máxima da roa rmann obida or ingração numéria da quaçõ d movimno nãolinar. A omaração do rulado é arnada na Tabla 6.1, ond obrva qu o valor obido no domínio da frqüênia no domínio do mo ara a amliud máxima da roa rmann ão omaívi, morando aim a qualidad do rulado do rn rabalho.

13 16 Tabla 6.1: Comaração da amliud máxima obida no domínio da frqüênia no domínio do mo ara / / =.833, Domínio da Frqüênia ξ =6.3%, µ =. F =.41. Domínio do Tmo Coluna Pêndulo Coluna Pêndulo O rulado onidrando a influênia da não-linaridad do êndulo ão omarado ao rulado obido om a quaçõ linarizada, arnada no Caíulo 4, na quação E rulado, arnado na Figura 6.13, moram d forma lara a influênia do rmo não-linar no rulado. Como rado, á influênia faz nir na rgião d ronânia do ima aolado.

14 17 a Variação da amliud da roa rmann. b Variação da amliud da roa rmann. Figura 6.13: Influênia da não-linaridad do êndulo m ara / =1., µ =. F =.9. A Figura 6.14 mora uma omaração nr a roa linar não-linar, onidrando ara o êndulo o valor do amorimno óimo dduzido na análi linar, Caíulo 4, quação 4.9 ξ =. 5. Mmo ara valor d óimo amorimno ainda noa uma difrnça razoávl nr a roa linar nãolinar. a Variação da amliud da roa rmann. b Variação da amliud da roa rmann. Figura 6.14: Influênia da não-linaridad do êndulo m ara / =1., µ =., F =.9 ξ =. 5. óimo 6... Exmlo O gundo xmlo analiado é o da orr analiada no Caiulo 4. Parindo da quaçõ 4.1, aliando a modologia do im 6.1, hga- ao ima d quaçõ algébria não-linar 6.7. O riniai arâmro ara a análi ão: = rad/, frqüênia naural da oluna;

15 18 = rad/, frqüênia naural do êndulo; ξ =.7%, é a axa d amorimno da oluna; µ =. 4, rlação d maa; K =., rigidz do aboror ndular; =. 7, amliud da força d xiação. Para udar o omoramno da amliud d oilação da oluna do aboror ndular é onidrado iniialmn qu o ima oui uma axa d amorimno ara o êndulo d.%. Na Figura obrva- o omoramno da amliud do dloamno angular do êndulo o rivo diagrama d bifuração do maa d Poinaré aoiado a ao, rivamn. O diagrama d bifuração é obido a arir da ingração numéria da quaçõ d movimno lo méodo d Rung-Kua d quara ordm uando o algorimo da força brua, omo imlmnado or Dl Prado 1. E diagrama rmi vrifiar a riodiidad abilidad da roa obida lo méodo d Galrkin-Urab, mai uma vz, omrovar a xaidão da rn formulação. Noa- qu o diagrama d bifuração arna o mmo alo obido la olução aroximada. Val ralar qu no diagrama d bifuração não m o dloamno máximo da roa rmann, ma im a oordnada da ção d Poinaré. Figura 6.15: Amliud d dloamno angular ara µ =.4 =.7. / =1.18, ξ =.%,

16 19 Figura 6.16: Diagrama d bifuração do maa d Poinaré. Variação da oordnada ara / =1.18, ξ =.%, µ =.4 =.7. Na Figura 6.17 obrva- o omoramno da amliud d dloamno da oluna na Figura 6.18 m- o orrondn diagrama d bifuração. Figura 6.17: Amliud d dloamno ara =.7. / =1.18, ξ =.%, µ =.4

17 13 Figura 6.18: Diagrama d bifuração do maa d Poinaré. Variação da oordnada ara / =1.18, ξ =.%, µ =.4 =.7. Noa- laramn a influênia da não-linaridad do êndulo na roa do ima. Vrifia-, novamn, a rnça d uma não-linaridad do io ofning lvando a mudança brua d amliud m função d bifuraçõ io nó-la ao longo da urva d ronânia não-linar. A guir, é udado um ao m qu o êndulo oui uma axa d amorimno d 7.%. Na Figura 6.19 mora- a variação da amliud d oilação do aboror ndular m função da frqüênia d xiação. á na Figura 6. arna- o rivo diagrama d bifuração, ond obrva- uma orênia nr o rulado obido la dua modologia. Figura 6.19: Amliud d dloamno angular ara µ =.4 =.7. / =1.18, ξ =7.%,

18 131 Figura 6.: Diagrama d bifuração do maa d Poinaré. Variação da oordnada ara / =1.18, ξ =7.%, µ =.4 =.7. Obrva- na Figura qu, m virud da axa d amorimno adoada ara o êndulo, a amliud d oilação do êndulo não arnam a mudança brua m u valor, mbora a não-linaridad oninum a r imoran na rgiõ d ronânia. Cab lmbrar qu, aar do aumno da axa d amorimno do êndulo mlhorar o omoramno do ima na rgião d ronânia, l é dfavorávl duran o rgim ranin, omo obrvado no Caíulo 5. Na Figura 6.1 mora- o omoramno da oilaçõ do êndulo no rgim rmann obida da ingração no mo da quaçõ d movimno não-linar. Noa- qu a amliud máxima da oilaçõ do aboror ndular na roa rmann ondizm om o rulado obido no domínio da frqüênia.

19 13 a / =. 4 b / =. 7 / = 1. d / = 1. 3 / = 1. 6 f / = 1. 9 Figura 6.1: Variação do dloamno angular ao longo do mo ara / =1.18, ξ =7.%, µ =.4 =.7. O omoramno da amliud d oilação da oluna á arnado na Figura 6. na Figura 6.3. Obrva- um ro grau d não-linaridad na roa, morando qu a não od r donidrada na análi d roblma.

20 133 Figura 6.: Amliud d dloamno ara =.7. / =1.18, ξ =7.%, µ =.4 Figura 6.3: Diagrama d bifuração do maa d Poinaré. Variação da oordnada ara / =1.18, ξ =7.%, µ =.4 =.7. A Figura 6.4 mora a variação da amliud d oilação da oluna no domínio do mo, ara difrn valor da frqüênia d xiação.

21 134 a / =. 4 b / =. 7 / = 1. d / = 1. 3 / = 1. 6 f / = 1. 9 Figura 6.4: Variação do dloamno ao longo do mo ara ξ =7.%, µ =.4 =.7. / =1.18, Para dmonrar, novamn a qualidad do rulado da formulação, ão omarado o rulado obido no domínio da frqüênia, aravé do méodo d Galrkin-Urab, om o rulado obido no domínio do mo or ingração numéria da quaçõ d movimno não-linar. A omaração é arnada na Tabla 6..

22 135 Tabla 6.: Comaração da amliud máxima obida no domínio da frqüênia no domínio do mo ara / / =1.18, Domínio da Frqüênia ξ =7.%, µ =.4 =.7. Domínio do Tmo Coluna Pêndulo Coluna Pêndulo Vrifia- qu o valor obido lo doi méodo ão omaívi, morando aim, novamn, a qualidad do rulado. Obrva- no xmlo arnado anriormn, a grand influênia da não-linaridad do êndulo na roa da oluna, morando qu a não od r drzada na análi do ima. A não-linaridad od inluiv grar bifuraçõ qu lvam a mudança brua da roa do ima, o qu dv r viado.

23 136 Morar-, a guir, o omoramno da amliud d úlimo xmlo quando a amliud da força d xiação,, muda gradaivamn. Iniialmn, adoa- ara o amorimno do êndulo.%. Na Figura 6.5 obrva- o omoramno da amliud d dloamno angular do êndulo om a variação gradaiva da amliud da força d xiação. á na Figura 6.6 mora- o omoramno da amliud d dloamno da oluna. Figura 6.5: Comoramno da amliud d dloamno angular do êndulo ara difrn valor d / =1.18, ξ =.% µ =.4. Figura 6.6: Comoramno da amliud d dloamno da oluna ara difrn valor d / =1.18, ξ =.% µ =.4.

24 137 Para omaração od- obrvar na Figura 6.7 o omoramno da amliud d dloamno da oluna original. Figura 6.7: Comoramno da amliud d dloamno da oluna original ara difrn valor d. Adoando uma axa d amorimno ara o aboror ndular d 7.%, m- qu a amliud d dloamno do ima omoram- omo arnado na Figura Figura 6.8: Comoramno da amliud d dloamno angular do êndulo ara divro valor d ξ =7.% µ =.4. / =1.18,

25 138 Figura 6.9: Comoramno da amliud d dloamno da oluna ara divro valor d / =1.18, ξ =7.% µ =.4.