Capítulo 5 Análise com volumes de controle fixos

Transcrição

1 Caítulo 5 náli com volum d control fixo Como dito antriormnt, a análi d algun roblma d Mcânica do Fluido alicado a ngnharia é mai fácil, adquada, quando fita a artir da conidração d volum d control. Exmlo Tmo ara rnchimnto d um tanqu com líquido. Forçaaramantrumaturbinaramumabancada d tt. Tranfrência d líquido ntr doi tanqu dnivlado. Etc.

2 Concito báico ara abordagm d roblma Conrvação da maa. Sgunda li d Nwton. Li fundamntai da trmodinâmica. Torma d Rynold (forma gral. DB Dt SIS t C bd SC b nd

3 5. Conrvação da maa quação da continuidad 5.. Drivação da quação da continuidad Um itma é dfinido como uma quantidad d maa fixa idntificávl d um matrial. Dta dfinição, do rincíio da conrvação d maa, vm qu, DM SIS 0 Dt im, a maa é o arâmtro fíico, como na quação antrior, trmo, t C d SC nd 0 Significa qu a taxa d variação d maa no volum d control omada à vazão líquida d maa atravé da urfíci d control é nula. 3

4 Sguindo a dicuão, Conidrmo a figura a guir qu motra um itma um volum d control fixo, coincidnt num dado intant t. (a m t-δt. (b m t (coincidnt. (c m t+δt. 4

5 M SIS d SIS licando o torma d Rynold. D Dt SIS d t C d SC nd 0 Taxa d variação tmoral da maa do itma coincidnt. Taxa d variação tmoral da maa no volum d control coincidnt. azão líquida d maa atravé da urfíci d control. 5

6 Pondraçõ. S o coamnto é rmannt, C t d 0 vazão m volum atravé da ára d da urfíci d control é, Q nd vazão m maa atravé d d é, m nd S o coamnto é ara fora do volum d control, S o coamnto é ara dntro do vol. d control, n 0 n 0 6

7 Com a ondraçõ. SC nd m ai m ntra m 0 Difícil d calcular m algun cao Fácil d mdir na maioria do cao Ond m é vazão m maa líquida total no volum d control (kg/. m ntra é vazão m maa qu ntra no volum d control (kg/. m ai é vazão m maa qu ai no volum d control (kg/. 7

8 m vazão m maa,, atravé d uma urfíci d control d ára,, od r dada or, m Q Ond ρ éamaacíficaérndiculara. quação acima ó rrnta a ralidad, conidrarmo valor médio ara ρ ao longo do coamnto. im, como m SC nd m qu, SC nd SC nd 8

9 S o rfil d vlocidad do coamnto é uniform na ção tranvral qu arnta ára, ito é, o coamnto for unidimnional, tmo, d SC n U Ond U é a vlocidad do coamnto. 9

10 im, num onto da urfíci d control... ( a vlocidad a dnidad form contant ao longo da ára 0

11 5.. olum d control fixo indformávi Exmlo água do mar coa m rgim rmannt no bocal cônico motrado na figura abaixo. No bocal, tá intalado uma manguira ta é alimntada or uma bomba hidráulica. Qual dv r a vazão m volum da bomba ara qu a vlocidad d dcarga da ção do bocal ja igual a 0 m/?

12 Solução O volum d control contém, m qualqur intant, a água do mar qu tá contida na manguira. Tmo informaçõ obr a ção d dcarga do bocal. im, odrmo ncontrar a vazão no volum d control. licando o torma d Rynold, DM Dt SIS t C d SC nd 0 Como o rgim é rmannt, C t d 0 Logo, SC nd m m, 0 m m

13 3 Por outro lado, como o rgim é rmannt, inda tmo ρ = ρ, ortanto, Daí, Q Q m m m Q D Q Q / 0,05 (0, Q Q

14 O ar coa ntr dua çõ d um tubo d diâmtro igual a 0 cm, como motrado na figura abaixo. ditribuiçõ d rão tmratura ão uniform m cada ção. S a vlocidad média do ar na ção ( é 304,8 m/, calcul a vlocidad média na ção (. 4

15 Solução O volum d control indicado na figura contém, a todo intant, o ar m quantidad contant, já qu o coamnto é rmannt. licando o torma d Rynold, DM Dt SIS t C d C nd 0 Como, C t d 0 (coamnto rmannt Então, SC nd 0 SC nd m m m m 0 5

16 Sguindo, m m Não odmo conidrar ρ = ρ, oi a maa cífica do ar varia com a rão a tmratura. Ito é, RT im, RT T T RT 6,87 k ,8 66,8 689,5 k 453 m 6

17 3 figura a guir motra o dnvolvimnto d um coamnto laminar d água num tubo rto (raio R. O rfil d vlocidad na ção ( é uniform com vlocidad U aralla ao ixo do tubo. O rfil d vlocidad na ção ( é aimétrico, arabólico com vlocidad nula na ard do tubo. Qual a rlação xitnt ntr U u Max? Qual a rlação xitnt ntr a vlocidad média na ção (, Md(,u Max? 7

18 Solução licando o torma d Rynold, DM Dt SIS t C d C nd 0 Como, C t d 0 (coamnto laminar rmannt Então, SC nd 0 nd nd 0 Nação,=Uainda,Uérndiculara. Logo, nd U co(80 d U 8

19 Sguindo, U nd 0 gora, analiando a ção : O comonnt d também ão rndicular a ára. n aonta ara fora, logo.n > 0. ção é circular d raio R. im, 9

20 0 Da forma, , R Max R Max R Max Max R R r r u R dr R r u R U rdr R r u U Daí R r u u rdr u U

21 Sguindo, Na ard da ção (, u = 0. vlocidad máxima na ção (, or ua vz, é U. Dta forma, U u R u U R R R R u U R R r r u U R Max Max Max R Max U U u Max 0

22 Cálculo formal d d n ˆ rdr R r u R R 0 max 4 4 max 0 4 max 0 max R R R u R r r R u rdr R r R u R R 4 max R R u U u max

23 Solução Proota la aluna Patrícia Martin Sndo o coamnto rmannt incomrívl, a ára d ntrada aída iguai. Então, Com U contant. m qu, U 3

24 O xrcício antrior, trata do coamnto d Poiuill u( r u max r R Dcobrto xrimntalmnt or Poiuill durant tudo obr o movimnto d angu na artéria aorta. unidad d vicoidad, oi, é uma homnagm ao u trabalho. Jan Loui Mari Poiuill (

25 4 banhira rtangular motrada na figura abaixo tá ndo nchida com água forncida or uma tornira. vazão mvolumécontantiguala,0m 3 /h. Dtrmin a taxa d variação tmoral da rofundidad, h, d água na banhira. 5

26 Solução O volum d control contém, m qualqur intant, a água acumulada na banhira, a água dcarrgada la tornira o ar. licando o torma d Rynold, DM Dt SIS t C d SC nd 0 t ar d ar t água água d m água m ar 0 6

27 Pondraçõ: taxa d variação tmoral da maa d ar água, ioladamnt, não ão nula. O rincíio da conrvação da maa no lva ao fato qu a taxa d variação tmoral da maa d ar no volum d control rcia r igual ao fluxo d ar qu ai d dntro do volum. Idm ara água. Daí, t t ar água d m ar água ar d m 0 água 0 7

28 taxa d variação tmoral da maa d água od r calculada or t t água água água água d d t t [ água água água d [ t água ( ( h0,6,5 (0,5 h banhira j ] j ] Ond banhira =hx0,6x,5é o volum água na banhira m t. j =(0,5 h j é o volum d água na banhira m t+δt. j é a ára tranvral do jato d água. Daí, vm qu, [ t água ( h0,6,5 (0,5 h j ] m água 8

29 Na quação abaixo, h é o único arâmtro a variar, logo, [ t água água ( h0,6,5 (0,5 h (0,9 j h t m água j ] m água ma h t m água Q água (0,9 j água Q água umindo qu j << 0,9, trmo, h t Q água 0,9 0,9 3 m ,0 4 m / 37 mm / min 9

30 Solução Proota lo aluno lx Machado 30 0,9 0,9 (0,9 0,9 ( (0,5 (0,9 (, 0,5 0,9 (0,5 0,9 (,5, Q dt dh trmo S Q dt dh dt dh dt dh Q h dt d dt d h dt d Qt dt d tmo ao rlação m quação ta Drivando h h h h Qt olum Qt t olum Q tmo banhira a nchr ara ncário o qu mnor t tmo um Para j j j j j j j j

31 5 Um coamnto d água é dcrito lo camo d vlocidad ( 3x i (y 4 j 5z k Dtrmin a vazão m maa no arallogramo motrado na figura abaixo. 3

32 Solução licando o torma d Rynold, DM Dt SIS t C d SC nd 0 Como ( 3x i (y 4 j 5z k tmo um coamnto rmannt, logo, C t d 0 im, SC nd m m m 0 3

33 33 Continuando, fac fac fac fac fac fac SC d d d d d d d n n n n n n n 5 0 5, (0 5 6 : 5 0 5, (0 5 5: 0 5, (0 4 4 : 0 5, (0 3 3: 0 5, (0 4 : 0 5, (0 3 : y x z Fac y x z Fac z y y Fac z x x Fac z y y Fac z x x Fac n k n n k n n j n n i n n j n n i n

34 Daí, m ( 3x ( y dzdx 4 dzdy (y 4 dzdx ( 5z dzdx (3x dzdy (5z dzdy Logo, m 0 Et rultado motra qu a vazão líquida atravé da urfíci d control é nula, ortanto, a maa conrva dntro do volum d control (arallogramo da figura. 34

35 Caractrítica imortant do xmlo antrior Todo o coamnto ão rmannt têm volum d control fixo. Logo, t C m Q d ai ai 0 m Q ntra ntra 0 0 Para um coamnto tranitório, t C d 0 35

36 S o volum d control ó arnta uma ção d alimntação ou dcarga, o rgim do coamnto é rmannt, m S for incomrívl, Q 36

37 5..3 olum d control indformávi móvi Muita vz é ncário analiar um coamnto utilizando um volum d control indformávl olidário a um rfrncial móvl. vlocidad do fluido m rlação ao volum d control móvl (vlocidad rlativa é imortant n cao. Sjam, W a vlocidad do fluido vita or um obrvador olidário ao volum d control. C a vlocidad do volum d control vita or um obrvador olidário a um rfrncial fixo a trra. a vlocidad do fluido vita um obrvador imóvl olidário ao rfrncial fixo a trra. im, = W + C -> W = C 37

38 Exmlo Um avião mov- com vlocidad d 97 km/h como motrado na figura abaixo. ára frontal da turbina é 0,8 m a maa cífica do ar qu ntra or a ção é 0,736 kg/m 3. Um obrvador fixo a trra obrva qu a vlocidad d xautão do ga é d 050 km/h. ára d xautão da turbina é 0,558 m a maa cífica do ga xaurido é d 0,55 kg/m 3. Etim a razão d maa d combutívl ara dntro da turbina m kg/h. 38

39 No rfrncial fixo ao avião. W é a vlocidad do ar m rlação ao avião. W é a vlocidad do ga xaurido la turbina m rlação ao avião. W W Ma W 97j? ( km / h fluido / trra vol. control 39

40 No rfrncial fixo a Trra. é a vlocidad do avião m rlação a Trra (= ol.contol. é a vlocidad do ga xaurido la turbina m rlação a Trra (= fluido/trra. Como Então W ol. control fluido / trra W 050 j 97 j ( km 050 j ( km fluido / trra / h / h vol. control ( 97 j 0 j ( km, / h 40

41 4

42 Solução O volum d control motrada na figura contém todo ar, combutívl ga localizada no intrior da turbina. Et volum é indformávl, orém, móvl ara um rfrncial fixo a trra. licando o torma d Rynold, DM Dt SIS t C d SC nd 0 Tmo um coamnto rmannt, logo, im, SC nd m gá m ar m comb. 0 C t d 0 m comb. m gá m ar 4

43 Continuando, Da quação, m comb. m gá m ar Tmo m comb. gáw arw Ond W W ão a vlocidad d ntrada aída do volum d control do ar do ga, rctivamnt, ara um obrvador olidário ao avião. W = 97 km/h. W = avião = 050 (-97 = 0 km/h (vja ágina

44 44 Continuando, h kg m h m m m kg h m m m kg m comb comb ,80 0, ,558 0,

45 vazão d água no irrigador d jardim da róxima figura é 000 ml/. S a ára d ção d dcarga d cada um do bocai do irrigador é d 30 mm, dtrmin a vlocidad da água qu dixa o irrigador m rlação ao bocal : (a a cabça do irrigador for imóvl. (b a cabça do irrigador arnta uma rotação d 600 rm. (c a cabça do irrigador aclra d 0 a 600 rm. Suonha qu cada braço do irrigador tnha 0 cm d comrimnto. 45

46 Solução O volum d control motrado na figura contém, m todo intant, toda água localizada na cabça do irrigador. Et volum é indformávl, orém, móvl ara um rfrncial fixo a trra. licando o torma d Rynold, DM Dt SIS t C d SC nd 0 Tmo um coamnto rmannt, logo, C t d 0 im, d m m n ai ntra 0 SC m ntra m ai 46

47 Como há dua aída uma ntrada, m ai água W m ntra água Q Daí, água W W W Q água Q ,7 m / Para o trê cao, W indnd da vlocidad angular do irrigador (W foi calculada ara um rfrncial fixo à cabça do irrigador rrnta a vlocidad (média da çõ d dcarga. 47

48 vlocidad ara um obrvador fixo a trra é, W = + U ( = W -U Ond U é a vlocidad do bocal m rlação a um rfrncial fixo a trra. U locidad angular da Raio da cabça cabça do irrigador do dioitiv o U r r é o raio do irrigador. 48

49 Com rlação a um obrvador tacionário... W U U r a O irrigador tá arado. W 6,7 m/ b cabça gira a 600 rm. W r rm = π rad min = π/60 rad 0, rad 6,7 4,3m/ 600 rm = 6,8386 rad 6,83860, 49

50 c cabça do irrigador aclra d 0 a 600 rm. Ito ignifica qu U = U(t=ωt r 600 rm = 6,8386 rad ( t ( t ( t W ( t r 6,7 6,8386 0,t 6,7,56637t (m/ 50

51 5. Sgunda Li d Nwton quaçõ da quantidad d movimnto linar do momnto da quantidad d movimnto 5.. Drivação da quação da quantidad d movimnto Sgunda Li d Nwton, Taxa d variação tmoral da Soma da força quantidad d momnto linar = xtrna qu agm do itma obr o itma Para uma artícula fluida d maa ρd, a quantidad d movimnto é d =ρd. im, a quantidad d movimnto do itma é, Equação vtorial d SIS d é difrncial d volum 5

52 licando a gunda Li d Nwton, D Dt D Dt d SIS F Sitma Conidrandoocaomquoitmacoincid,mmoqu intantanamnt, com o volum d control. F Sitma F olum d control coincidnt 5

53 licando o Torma d Rynold, D Dt M SIS D Dt SIS d t C d SC nd Multilicando lo vtor vlocidad, D Dt SIS d t C d SC nd Taxa d variação tmoral da quantidad d movimnto linar do itma. Taxa d variação tmoral da quantidad d movimnto linar do volum d control. Fluxo líquido d quantidad d movimnto linar atravé da urfíci d control. 53

54 Combinando a quaçõ, D Dt SIS d t C d SC nd D Dt D Dt d SIS F Sitma F Sitma F olum d control coincidnt Obtmo a quação da quantidad d movimnto linar t C d SC nd F olum d control coincidnt 54

55 omatória, F olum d control coincidnt contém,. Força d camo (ma, ó conidrarmo o camo gravitacional m noo tudo.. Força urficiai xrcida obr o volum d control lo matrial qu tá localizado na vizinhança xtrna do volum d control, or xmlo, ard d um rciint.etaãoforçadraçãonofluidofitala ard qu o confinam. 3. Um objto imro m um coamnto também xrc força urficiai obr o fluido. 55

56 5.. licação da quação da quantidad d movimnto linar quação, t C d SC nd F olum d control coincidnt é vtorial ua análi é fita m um itma d coordnada Cartiana (x, y, z ou cilíndrica (r, θ, z. Princiai conidraçõ ara o uo da quação acima ão: Ecoamnto rmannt unidimnionai. (vído 56

57 Exmlo figura abaixo motra um jato d água horizontal incidindo num antaro tacionário. O jato é dcarrgado do bocal com vlocidad uniform igual a 3 m/. O ângulo ntr o coamnto d água, na ção d dcarga do antaro, a horizontal é θ. dmitindo qu o fito gravitacionai vicoo ão drzívi, dtrmin a força ncária ara mantr o antaro imóvl. 57

58 Solução Conidrmo o volum d control a guir licando a quação da quantidad d movimnto, Lmbrando qu u i v j wk nt cao, v 0 d nd F t C SC Em comonnt ud u nd FX t C SC wd w nd Fz t C SC olum d control coincidnt 58

59 Sorgimdcoamntoérmannt, t C ud t C wd 0 Pondraçõ, água ntra ai do volum d control como um jato livr a rão atmoférica. im, a rão qu atua na urfíci d control é uniform igual a rão atmoférica. força líquida dvida a rão atmoférica é nula. Drzando o o da água do antaro, a única força qu atuam no contúdo do volum d control ão a comonnt horizontal vrtical qu mantêm o antaro fixo. 59

60 Na ção Na ção n n Como drzamo o fito gravitacionai vicoo, 0 im, na ção, u na ção, u co w n Daí, SC u nd u nd u nd F x SC w nd w nd w nd F z 60

61 6 Primiro na dirção x Na dirção z (co co ( co ( co ( F ou F F d u d u d u x x x x SC F n n n n ( n ( 0 F F d w d w d w z z y SC F n n n

62 Logo, F x ( co ou F m x ( co F z n ou F m z n Subtituindo o valor forncido, F x (999(5,570 3 (3 ( co 50,( co N F z (999(5,570 3 (3 n 50,n N S θ =0F ax = F az =0. S θ =90 o F ax = F az = 50, N. S θ = 80 o F ax = -00, N F az =0. 6

63 Dtrmin a força ncária ara imobilizar um bocal cônico intalado na ção d dcarga d uma tornira d laboratório (figura abndo qu a vazão d água na tornira é d 0,6 litro/. maa do bocal é d 0, kg o diâmtro daçõdalimntação dcarga do bocal ão, rctivamnt, iguai a 6 mm 5 mm. O ixo do bocal tá na vrtical a ditância axial ntr a çõ ( ( é 30 mm. rão na ção ( é d 464 kpa. 63

64 Solução força rocurada é a força d ração da tornira obr a roca do bocal. O volum d control corrond ao motrado na figura ao lado. força vrticai qu atuam no contúdo do volum d comtrol, tão motrada na figura ao lado, mno a rão atmoférica, cuja ação é nula m toda a dirçõ. força dvida a rõ rlativa não anulam. 64

65 licando a quação da quantidad d dirção vrtical, movimnto, na t C wd SC w nd F olum d control coincidnt t C wd SC w nd F W n WW ond 65

66 Sorgimdcoamntoérmannt, C t wd 0 nd wd quando o wd quando coamnto ai do olum d control o coamnto ntra no olum d control amo admitir qu o coamnto é incomrívl E também qu o rfi d vlocidad jam uniform na ntrada (w aída (w (odm não r m um cao gral. 66

67 67 Dta forma, ( ( W W F w w w w W W F d w d w W W F d w W n W n S S W n SC n n n Sinai ngativo, oi a vlocidad aontam ara baixo

68 68 Daí, ( ( ( ( ( W W w w m F m qu maa da conrvação m m m qu umindo W W m w w m F W W F m w m w W n W n W n

69 69 Subtituindo o valor N W g D D D D h g olum d control g m W N g m W m kg Q w m kg Q w kg Q w m W W W n n 0,08 9,8 0 5 (6 (5 (6 0 ( ( ( 0,98 9,8 0, / 30,6 4] / 0 [(5 / 0 0,6 / 3,0 4] / 0 [(6 / 0 0,6 / 0,6 0 (0,

70 Logo, F F F m ( w w W n W 0,6 (3,0 30,6 0, ,5 0,98 93,3 0,08 W ( 3 0 ( ,08 F 77,8 N Com F > 0, u ntido é ara cima (d acordo com o itma d rfrência conidrado. Outro volum d control odm r conidrado na olução d roblma. jam ágina 3, 3 33 do Young. 70

71 3 Água coa na curva motrada na figura abaixo. ára da ção tranvral da curva é contant igual a 9,3x0-3 m. vlocidad é uniform m todo o camo d coamnto é igual a 5, m/. rão aboluta na çõ d alimntação dcarga ão, rctivamnt, iguai a 07 kpa 65 kpa. Dtrmin o comonnt da força ncária ara ancorar a curva na dirçõ x y. 7

72 Solução amo conidrar o volum d control motrado na figura antrior (linha azul tracjada. róxima figura motra a força horizontai vrticai qu atuam no volum d control. Força o atua na vrtical, ortanto, não influncia na dtrminação da força horizontal d tabilização. 7

73 73 licando a quação da quantidad d movimnto,. ( 0. ( atmoférica rão F F d v F d u d antrior Fig conidrado coordnada d itma No d rmannt coamnto d t d d t y Y SC X SC SC SC control vol Extrna C SC control vol Extrna C n n n F n F n

74 74 Conidrando a figura antrior, vrificamo qu na çõ ( (, o coamnto coincid com a dirção y, or io, u = 0. Não xit aim, fluxo na dirção x, ortanto, F X = 0 (como crito na quação antrior. força ara imobilizar o cano é a ração à força m y fita la água rão. Na ção (, Na ção (, ( ( 0 0 F d v d v F F d v y S S y Y SC n n n v n v n Cuidado com trmo.

75 75 Logo, Lvando m conta qu ( ( ( ( ( F F d v d v o y o y S S n n y o F m Daí m m m ntão m módulo (,., (

76 Subtituindo o valor, kg m 3 m 999 5, 9,30 m 4, 3 m kg Obrvando qu a rõ ão aboluta, ntão, dvmo conidrar qu. o R o R im, o R R R R 0 07 kpa 0,3 kpa 07 kpa 0 65kPa 0,3 kpa 65kPa 76

77 77 im, N F F Portanto m F F m y y R R y o o R R y 589, (07 0 9,3 4, 5,, ( ( 3 3 3

78 4 Dtrmin o módulo o ntido da comonnt na dirçõ x y da força ncária araimobilizaroconjunto cotovlo bocal boçado na figura abaixo. O conjunto tá montado na horizontal. 78

79 Solução D acordo com o txto a figura, a çõ d alimntação dcarga tão montada na dirção x. Por motivo, v = 0 não xit fluxo da quantidad d movimnto nta dirção, ortanto, F Y =0. licando a quação da quantidad d movimnto, = 0, coamnto rmannt. t SC C d SC nd nd F Extrna vol. control F Extrna vol. control rõ dada ão rlativa ( =03,4 kpa =0. 79

80 80 im, Na ção (, Na ção (, = 0 (dcarga na atmofra. Daí, u n 0 F d u d u F d v F F d u d x S S Y SC x X SC SC n n n n n u n ( ( ( ( F F x x

81 8 N F m m N kg m m F vm qu rmannt coamnto m m m Como F m m x x x ,54 3,4 (,5 09,5 / 3,4 0,0 09,5 7588,54 0, ,4 09,5 0,305,5 999 (, ( 3

82 5 Dtrmin uma xrão ara quda d rão qu ocorr ntr a çõ ( ( do coamnto motrado na figura abaixo. w w r R 8

83 Solução R Z é a força qu a ard xrcm obr o fluido (TRITO W é força o da água no tubo. licando a quação da quantidad d movimnto na dirção z, = 0, coamnto rmannt. t SC C d SC w nd nd F Z F Extrna w nd S S w nd W R z 83

84 84 Na ção (, Na ção (, im, z R z S z S R W rdr R r w w m R W d w w w R W w d w w w 0 ( ( ( w w w n w R r w w w n

85 85 Saradamnt, 6, R dr R r R r r rdr R r R r rdr R r Saradamnt R w r dr R r w rdr R r w R R R R 3,, 3 4 (, R W w vm qu Como R W R w w w im z z

86 xrão, w W R 3 z Motra qu a variação d rão ocorr dvido a:. ariação da vlocidad ao longo do coamnto.. Po do fluido (fito hidrotático. 3. trito com ard. 86

87 6 comorta dlizant qumatizada na figura abaixo tá intalada num canal qu arnta largura b. força ncária ara imobilizar a comorta é maior quando la tá fchada ou abrta? 87

88 Solução Para rondr ta rgunta, calcularmo a raçõ da força fita la água nt doi cao. licando a quação da quantidad d movimnto, not qu ó trmo rultant na dirção x. = 0, coamnto rmannt. t SC SC C d SC nd H H u nd RX u nd H b RX F Extrna Hb R X R x é a força fita la comorta (γh/ = (γh b / é a força fita la água obr o vol. Control. 88

89 Continuando, SC u n d H b R X S a comorta tivr fchada, o rimiro mmbro da quação acima é nulo, orqu não ocorr coamnto. Logo, R R X X H b 980 H b 4950 H b R X é, m módulo, igual a força hidrotática da água. 89

90 gora, vamo analiar o qu ocorr com a comorta abrta. Nt cao, há fluxo, ortanto, SC w nd H h R X F f SC w nd H b h b R X F f dua rimira arcla do gundo mmbro corrondm a força hidrotátitica na çõ ( (, rctivamnt. ja figura ao lado. 90

91 9 Intrrtando a arcla ( ( ( água a gurar a tnd atrito d força a é F comorta la fita força é R ção na hidrotática força a é b h h ção na hidrotática força a é b H H f X f X S S F R b h b H d u d u im, n n

92 9 Na ção (, Na ção (, Comarando a dua xrõ ncontrada ara R x rificamo qu a força com a comorta abrta é mnor. u n hb Hb F h H b R F R h H b F R b h b H d u d u forma Dta f X f X f X S S ( ( (, n n u n hb Hb F h H b R b H R f X X ( É nulo S udr r conidrada igual a 0

93 5..3 Drivação da quação do Momnto da quantidad d movimnto Muita vz a força fita or um fluido gra um momnto (torqu m rlação a um dado ixo d uma trutura. Como rultado ta trutura od arntar um movimnto d rotação m torno dt ixo. Para ncontrarmo momnto, vamo conidrar uma artícula fluida d maa ρδ um itma d coordnada (x, y, z (figura. Como já vimo, a quantidad d movimnto da artícula é ρδ, ond é ua vlocidad. 93

94 licando a li d movimnto d Nwton, D Dt ( d F Partícula d é uma difrncial d volum δf Partícula é a rultant da força xtrna qu atuam obr aartícula. O momnto (torqu obr tá artícula é, D Dt ( d F Partícula r é o vtor oição da artícula fluida (figura antrior. 94

95 Lmbrando qu, D Dt ma, [( r d Dr d dt Dr d dt d r 0. D dt Logo, d D Dt [( r d r D dt d r F Partícula Etndndo a análi a toda a artícula do itma, ja r o vtor oição da artícula fluida (figura antrior, ntão, D Dt SIS ( r d ( r F Partícula SIS 95

96 D Dt SIS ( r d ( r F Partícula SIS (* Taxa d variação tmoral do momnto da quantidad d movimnto do itma. Soma do torqu xtrno qu atuam no itma Da mma forma qu na ção antrior, conidrarmo qu quando o itma o volum d control ão coincidnt, a força xtrna qu atuam obr ambo ão iguai. im, F SIS F C ( r FSIS ( r F C (* 96

97 97 licando o torma d Rynold, Eta é a xrão ara o momnto da quantidad d movimnto. C SC C SC C SIS SC C SIS SC C SIS d d t ncontramo rultado o Subtituindo d d t d Dt D d d t d Dt D d d t d Dt D ( ( (, (*, (* ( ( ( F r n r r n r r r n r r r n

98 5..4 licaçõ da quação do Momnto da quantidad d movimnto Conidrarmo a guint hiót: Ecoamnto unidimnionai => m ditribuiçõ uniform d vlocidad. Ecoamnto rmannt, C t wd 0 Trabalharmo mr com a comonnt axial da quação, t C ( r d ( r nd ( r F SC Dta forma, conidrarmo mr a mma dirção do ixo d rotação. C 98

99 Para alicar a quação do momnto da quantidad d movimnto ttar ta hiót, conidrmo o xmlo do irrigador d jardim. 99

100 Conidrarmo também a figura a guir 00

101 náli O coamnto da água cria um torqu no braço do irrigador o faz girar. Exit modificaçõ na dirção da vlocidad do coamnto do braço do irrigador, oi: O coamnto na ção d alimntação, ção (, évrtical. O coamnto na çõ d dcarga, çõ (, ão tangnciai. O volum d control, m forma d dico, contém a cabça do irrigador arado ou m movimnto. urfíci d control corta a ba da cabça do irrigador d modo qu o torqu qu rit ao movimnto od r facilmnt calculado. 0

102 Quando a cabça do irrigador tá girando, o camo d coamnto no volum d control tacionário é cíclico tranitório, ma o coamnto é rmannt m média. oltando a quação: SC ( r nd ( r F O rimiro trmo ó od r nulo ond xit coamnto cruzando a urfíci d control. Em qualqur outra rgião da urfíci d control t trmo rá nulo orqu.n =0. C água ntra axialmnt no braço do irrigador la ção (. Nta rgião da urfíci d control a comonnt d r x na dirção do ixo d rotação é nula, orqu r x é rndicular ao ixo d rotação. Dta forma não xit fluxo d momnto d quantidad d movimnto na ção (. 0

103 água é dcarrgada do volum d control lo doi bocai (çõ. Nta çõ, r x = r θ,ondr éo raio da ção ( mdido m rlação ao ixo d rotação, θ é a comonnt tangncial do vtor vlocidad do coamnto no bocai d dcarga mdida m rlação ao itma d coordnada olidário ao volum d control, qu é fixo. vlocidad do coamnto vita or um obrvador olidário ao bocal é: W U, W U ( U C U é a vlocidad do bocal m rlação à urfíci d control fixa. 03

104 Para vrificação da comonnt axial d r x é rcio qu r = r ê r qu a comonnt tangncial da vlocidad abolutaja= θ ê θ. im, ara o irrigador da figura antrior, r nd ( r ( ( m SC xial vazão m maa é a mma o irrigador tivr rodando ou m rouo. rx>0= θ ê θ U tivrm o mmo ntido. O torqu líquido m rlação ao ixo d rotação aociado com a força normai qu atuam no volum d control é muito quno. O torqu líquido dvido à força tangnciai também é drzívl ara o volum d control conidrado. 04

105 Lvando m conta a análi antrior, ( r Contúdo do vol. control xial T ixo T ixo >0=>quT ixo atua no mmo ntido d rotação do irrigador (rgra da mão dirita. 05

106 otência no ixo, T ixo,é W ixo T ixo W ixo r, aociada ao torqu no ixo, m Como r U é a vlocidad do bocai, W ixo U m O trabalho or unidad d maa é dfinido or, W ixo W m ixo U S W ixo > 0 ntão é o volum d control qu raliza trabalho.itoé,ofluidoralizatrabalhonorotor. 06

107 Exrcício vazão m água na ção d alimntação do braço do irrigador motrado na figura abaixo é igual a 000 ml/. ára da çõ tranvrai d dcarga ão 30 mm o coamnto dixa bocai tangncialmnt. ditância ntr bocai o ixo d rotação é, r, 00 mm. a Dtrmin o torqu ncário ara imobilizar o irrigador. b Dtrmin o torqu ritivo ncário ara qu o irrigador gir a 500 rm. c Dtrmin a vlocidad do irrigador não xitir qualqur ritência ao movimnto do braço. 07

108 Solução a Torqu ncário ara imobilizar o irrigador. figura abaixo motra a vlocidad na çõ d alimntação dcarga do volum d control. licando a quação do torqu: T ixo r m 08

109 Lvando m conta qu o volum d control for fixo indformávl o coamnto na çõ d dcarga ja tangncial a t, m cada bocal, W Q m / m 6,7 m / T T Eixo Eixo r 3,34 N m m (0, m(6,7m / (0,00m 3 / Quando o irrigador tá m rouo. 09

110 b Torqu ritivo ncário ara qu o irrigador gir a 500 rm. W U W U ( U C W 6,7 m / U r (500rm rad 60 (0, 0,47m / W U 6,7 0,7 6,m / Not qu o torqu ritnt é mnor qu o torqu ncário ara mantr o irrigador imobilizado. im, T T Eixo Eixo r,4 N m m (0, m(6,m / (0,00m 3 / 0

111 c locidad do irrigador não xitir qualqur ritência ao movimnto do braço. T Eixo T r W Eixo r m r m r ( W r m Suondo qu o torqu ritnt ja nulo, r ou ( W r m 0 W r 6,7 0, 83, ,5rad 797rm /

112 gora, vamo analiar o rultado da alicação da quação do momnto da quantidad d movimnto a um coamnto unidimnional numa maquina rotativa. Ito é, T Eixo ( m ( r ( m ( r Dicutindo o inai, O inal ngativo no trmo vazão m maa na ção d alimntação,, vm do roduto calar.n < 0. m O inai no trmo r θ dnd do ntido do roduto vtorial (rx axial. Uma manira d dtrminar inal é comarar o ntido d θ com a vlocidad da alta do bocal, U. r θ >0 θ U arntam o mmo ntido. r θ <0 θ U arntam ntido ooto. O ntido do torqu, T Eixo, é oitivo tivr o mmo ntido d (rgra da mão dirita.

113 otência no ixo, w Eixo, tá rlacionada com o T Eixo,or w Eixo T Eixo Conidrando, T Eixo >0aquação T Eixo ( m ( r ( m ( r vm qu, w Eixo ( m ( r ( m ( r como U r w Eixo ( m ( U ( m ( U 3

114 Dicutindo o inai da quação w Eixo ( m ( U ( m ( U U θ U θ arntam o mmo ntido. T Eixo >0hiót. w Eixo > 0 quando a otência é conumida no volum d control, or xmlo, uma bomba. w Eixo < 0 quando a otência é roduzida no volum d control, or xmlo, uma turbina. Trabalho do ixo or unidad d maa (lmbrando qu a conrvação da maa tablc qu m m m é w Eixo m ( U ( U 4

115 Exrcício figura a guir motra o boço d um vntilador qu arnta diâmtro xtrno intrno d 305 mm 54 mm, rctivamnt. altura da alta do rotor é d 5 mm. O rgim d coamnto é rmannt m média a vazão m volum média é 0,0 m 3 /. Not qu a vlocidad aboluta do ar na ção d alimntação do rotor,, é radial qu o ângulo dntr a dirção do coamnto do rotor a dirção radial é d 30 o.etima otência ncária ara ora o vntilado abndo qu a rotação é d 75 rm. 5

116 Solução O volum d control conidrado é fixo indformávl contém a alta do vntilador o fluido contido no rotor. Em média o coamnto é rmannt, aar d cíclico. O único torqu a conidrar é o torqu do ixo do motor, T Eixo. Et é roduzido lo motor acolado ao vntilador. Conidrmo também rfi d vlocidad uniform naçõddcarga. licando a quação do momnto da quantidad d movimnto ara um coamnto unidimnional numa maquina rotativa, w ixo ( m ( U ( m ( U ( m ( U Orimirotrmodogundommbroénulo,jáqu é radial ( θ =0. 6

117 7 Continuando...? co(30,,? / 7,5 (60 (75( 0,305 / 0,35 0,00,3 ( ( ( ( W W U lado ao vlocidad d triângulo com o acordo D Ma m r U kg Q m m m U m U m w o ixo U W

118 8 O triângulo d vlocidad motra qu m W U calcular odmo gora m W h r m W im h r m Daí W vtor do radial comonnt a é Ond W o o R R R o R / 9,6 3 / 9,6( 7,5 co(30, / 9,6 (0,55(0,05n(30 (,3( 0,35 n(30 (, (,. co(30 o

119 oltando a quação ( w ixo ( m ( U w ixo (0,35(7,59,6 7,8W U θ > 0, já qu o doi vtor arntam o mmo ntido. 7,8 W é a otência ncária ara acionar o ixo do rotor na condiçõ tablcida. Toda otência no ixo ó rá tranfrida ao coamnto todo o roco d tranfrência d nrgia form idai no vntilador. Ma dvido ao atrito ana uma art da otência rá d fato utilizada. quantidad d nrgia tranfrida dnd da ficiência da á. 9

120 5.3 Primira Li da Trmodinâmica Equação da Enrgia Drivação da Equação da Enrgia rimira li da trmodinâmica tablc qu Taxa d variação tmoral da nrgia total do itma Taxa líquida d = tranfrência d + Calor ara o itma Taxa d ralização d trabalho (otência tranfrida ara o itma D Dt SIS d D Dt SIS Q Q W W d ou Q líq. SIS W líq. SIS SIS 0

121 Na quação, D Dt SIS d Q W (* líq. líq. SIS é a nrgia total or unidad d maa. Etá rlacionada com a nrgia intrna, u, com a nrgia cinética or unidad d maa, /, com a nrgia otncial or unidad d maa, gz. Itoé, u gz Q líq. taxa líquida d tranfrência d calor: Q líq. 0 Q líq. 0 a tranfrência é do mio / o itma. a tranfrência é do itma / mio.

122 D Dt SIS d Q líq W. líq. SIS W líq. taxa líquida d tranfrência d trabalho (otência: W líq. 0 W líq. 0 é ralizado lo mio obr o itma. é ralizado lo itma obr o mio. gora, conidrando um volum d control coincidnt com o itma, num dado intant, ntão, Q W Q W (* líq. líq. SIS líq. líq. ol. control coincidnt

123 Situaçõ Prática d Engnharia Muito roco rático m ngnharia odm r conidrado adiabático, aim, Em muita ituaçõ, o trabalho é tranfrido ara o volum d control, atravé da u. d control or um ixo móvl (turbina, vntilador, bomba, hélic, motor d combutão intrna, comror,..., da forma, Trabalho Potência Logo, W ixo W F r F Q W F X T ixo Q ( T torqu qu rovoca rotação ixo 0 ( n dioitivo, r S há vário ixo, W ixo, líq. W ixo, W ixo, (5* 3

124 tranfrência d trabalho também od ocorrr quando uma força aociada com a tnão normal do fluido é dlocada. N cao, a tnõ normai, σ, no fluido ão iguai ao ngativo da rão, tnão aociada com a tnão normal é, W Tnão normal F Tnão normal Ondéavlocidaddaartículafluida. S a força dvida a tnão normal for xrão como o roduto da rão local la ára da artícula, nδ, ntão, W Tnão normal n n 4

125 im,aratodaaartículaituadanaurfícid control, W Tnão normal SC nd SC nd (6* Na urfíci d control, n 0 0 Tnão normal Na rgião do tubo ond há coamnto, n 0 0 Tnão normal 5

126 O trabalho d rotação d um ixo obr uma urfíci d control é tranfrido la tnõ d cialhamnto do matrial do ixo. Para uma artícula fluida a otência aociada a força tangncial é, W Tnão tangncial F Tnão tangncial Na urfíci intrna do tubo da figura a guir (u. control, 0 0 Tnão tangncial Na dmai rgiõ 0 0 Tnãotangincia l 6

127 rimira li da trmodinâmica ara o contúdo d control, é obtida combinando a quaçõ (4*, (5* (6*, t C d nd Q liq W. líq. SC SC nd licando a dfinição d nrgia total, u gz Obtmo a dfinição d nrgia total, t C d SC u gz nd Q liq. W líq. 7

128 5.3. licação da Equação da Enrgia O trmo rrnta a taxa d variação tmoral da nrgia total do volum d control. É nulo o coamnto for rmannt. O trmo t SC C u d gz nd quando.n também for difrnt d zro. é difrnt d zro Intgrando a última quação, conidrando qu o trmo u, /ρ, /gz jam contant na çõ d alimntação dcarga, u gz d u gz m u SC n gz m 8

129 licando o torma d Rynold conidrando o arâmtro b = (nrgia total or unidad d maa ara um volum d control fixo indformávl, DB Dt SIS t C bd SC b nˆ d D Dt SIS d t C d SC nd (3* Taxa d variação tmoral da nrgia total do itma. Taxa d variação tmoral da nrgia total do vol. d control Fluxo líquido d nrgia total na urfíci do control 9

130 Combinando a quaçõ (*, (* (3*, obtmo, t C d SC n d Q W (4* líq. líq. ol. control coincidnt 30

131 3 quação Pod r imlificada lvando m conta qu, E, como vimo antriormnt, Obtmo, 0 m m E SC m gz u m gz u d gz u n líq liq SC C W Q d gz u d t.. n líq líq W Q z z g u u m.. (

132 Exrcício figura abaixo motra um quma d bomba d água qu arnta uma vazão, m rgim rmannt, igual a 0,09 m 3 /. rão na ção ( da bomba ção d alimntação é,4 bar o diâmtro d 89 mm. ção ( ção d dcarga - tm diâmtro d 5 mm a rão nt local é 4,4 bar. lvação ntr o cntro da çõ ( ( é nula o aumnto d nrgia intrna cífica da água aociado ao aumnto d tmratura do fluido, u u,éiguala79j/kg.dtrminaotência ncária ara orar a bomba admitindo qu ta or d modo adiabático. 3

133 Solução Conidrmo a quação m u u g( z z = 0 já qu a lvação ntr o cntro da çõ ( ( é nula Q líq. W líq. ( = 0 já qu o coamnto é adiabático. Prciamo ncontrar o valor da vazão m maa na bomba, m, da vlocidad na çõ ( ( do volum d control ara qu ja oívl calcular a otência. vazão m maa od r calculada or, m Q ( 000 ( 0,09 9,0 kg / 33

134 vlocidad na çõ d coamnto é Q Q (D / im, Q 0,09 3, m / 3 (890 / Q 0,09 38,7 m / 3 (50 / licando a quação (, W W W líq. líq. ixo líq. ixo W líq. ixo m u u 4,40 (9,0 ( ,9 kw 5, (38,7 (3, 34

135 35 É a quação da nrgia ara coamnto unidimnionai rmannt m média. É alicávl ara coamnto comrívi (ga incomrívi (líquido. Dfinindo a ntalia or,, vm qu, líq líq W Q z z g u u m.. ( u h líq líq W Q z z g h h m.. (

136 Exrcício figura abaixo motra o quma d uma turbina a vaor. vlocidad a ntalia cífica do vaor na ção d alimntação da turbina ão iguai a 30 m/ 3348kJ/kg.Ovaordixaaturbinacomoumamiturad líquido vaor, com ntalia cífica d 550 kj/kg, a vlocidad do coamnto na da ção d dcarga da turbina é d 60 m/. Dtrmin o trabalho no ixo da turbina or unidad d maa d fluido qu coa no quiamnto abndo qu o coamnto od r modlado como adiabático qu a variaçõ d cota do coamnto ão drzívi. 36

137 37 Solução Conidrmo a quação Ond Como ( (.. líq líq W Q z z g u u m = 0 já qu a lvação ntr o cntro da çõ ( ( é nula = 0 já qu o coamnto é adiabático.. ixo líq h h m W.. ixo líq ixo líq h h m W w u h u h

138 m qu, (30 ( w líq. ixo kj / kg w liq. ixo o orqu o trabalho tá ndo ralizado lo fluido qu coa no quiamnto. 38

139 Comaração da Equação da Enrgia com a quação d Brnoulli Conidrmo um coamnto incomrívl rmannt com otncia nula. Então, tmo Dividindo ta quação or é a taxa d tranfrência d calor or unidad d maa qu coa no volum d control. m ( (.. líq líq q u u gz gz m Q z z g u u líq Q z z g u u m. ( m Q q líq líq /..

140 quação gz gz ( u u q líq. É alicávl a coamnto unidimnionai, rmannt, com uma ção d ntrada outra d aída, ou ntr dua çõ d uma mma linha d corrnt. q Q / m líq líq. é a taxa d tranfrência d calor or unidad d maa qu coa no volum.. S o fito vicoo form drzívi no coamnto, ntão, u u q líq. 0 40

141 im, chgamo a rória quação d Brnoulli, gz gz ou S z z quação d Brnoulli rv ara dcrvr o qu acontc ntr dua çõ d um coamnto unidimnional. Quando o coamnto é incomrívl, ntrtanto, xit atrito, u u q líq. 0 Eta quantidad rrnta a rda da nrgia dionívl no coamnto dvido ao atrito. u u qlíq. rda 4

142 Da forma, chgamo a quação d Brnoulli, gz gz rda Prda d nrgia or unidad d maa ntr a çõ 4

143 Exrcício figura abaixo motra doi orifício localizado numa ard com ura d 0 mm. O orifício ão cilíndrico um dl arnta ntrada arrdondada. O ambint do lado qurdo arnta rão contant d,0 kpa acima do valor da atmofra a dcarga do doi orifício ocorr na atmofra. Como dicutirmo m Mc. Flu. II, a a rda d nrgia dionívl m orifício com mtrada bruca ( orifício urior é 0,5 /, ara orifício arrdondado (orifício infrior é 0,05 /. Nta condiçõ, dtrmin a vazõ no orifício. 43

144 44 Solução (,,,, 0 ( :,, / rda im rda ntão z z Como rda gz gz quação a Conidrando Q or dada é Q orifício num do vazão

145 45 (3, ( 0,05 ( 0,5 :,,, (. (, / K Daí infrior orifício arrdondada com ntrada orifício ara K urior orifício bruca com ntrada orifício ara K ndo rda d coficint o é K K rda tmo Emiricamnt çõ a ntr nrgia d rda a tudar vamo gora L L L L L

146 46 m Q kpa kpa Q K infrior orifício No m Q kpa kpa Q K urior orifício No im K D Q m D L L L / 0,445 0,05,3( 0 (0 4 (0,0 0,05, / 0,37 0,5,3( 0 (0 4 (0,0 0,5, : ( ( 4 (, ( 3 / 3 / / (4 ( (, (, / / L L L L L K Obtmo K K K K quação na Trabalhando

147 47 gora, vamo conidrar a otência líquida não nula, além d coamnto unidimnionai, incomrívi rmannt. quação qu modla coamnto é, Dividindo or Ond: é o trabalho or unidad d maa. continua ndo a rda d nrgia dvido ao atrito. m (.. líq líq q u u w gz gz líq líq W Q z z g u u m.. ( m W w líq líq /.. (. líq q u u

148 48 Com ta conidraçõ, Eta quação é conhcida como quação da nrgia ou d Brnoulli tndida. Cada um do u trmo tm unidad (J/kg. S dividirmo cada trmo da quação acima or g (aclração da gravidad, rda w gz gz líq. L ixo líq h h z g z g g rda g w z g g z g g.

149 Na quação, g z g z h ixo h L h h ixo L wlíq. g rda g ixo W líq. ixo mg W líq. ixo Q Todo o trmo dta quação têm dimnão d comrimnto, ou nrgia or unidad d força (o Na hidráulica, é comum dnominar h h ixo L ht ( com ht 0 ara turbina hb ara bomba CRG D PERD DE CRG CRG BOMB D TURBIN 49

150 Exrcício figura abaixo motra o quma d um vntilador axial qu é acionado or um motor qu tranfr 0,4 kw ara a á do vntilador. O coamnto a juant do vntilador od r modlado como cilíndrico (diâmtro d 0,6 m o ar na rgião arnta vlocidad igual a m/. O coamnto a montant do vntilador arnta vlocidad drzívl. Dtrmin o trabalho tranfrido ao ar, ou ja, o trabalho qu é convrtido m aumnto d nrgia dionívl no coamnto tim a ficiência mcânica dt vntilador. 50

151 5 Solução kg J rda w rda w Logo z z rlativa nunciado do figura da dado com o acordo D ixo líq ixo líq / 7, 0, ( 0,.. 0. rda w gz gz é dioitivo modla qu quação ixo líq

152 ficiência dt tio d dioitivo é dfinida como a vazão ntr a quantidad d trabalho útil, ito é, arovitado ara aumntar a nrgia do coamnto a quantidad total d trabalho forncido la á. Ou ja, n Trabalho útil Trabalho total w líq. ixo w líq. ixo rda O trabalho forncido à á, or ua vz, val, w líq. ixo Então, Com, m W líq. ixo w m líq. ixo D 400 4,7 95,9 J (0,6,3 4 / kg n 7 95,9 4,7 0,75 kg / 75% do trabalho é arovitado 5% é rdido dvido ao atrito 5

153 Exrcício vazãodabombad águaindicadanafiguraabaixoéigual a 0,056 m 3 / o quiamnto tranfr 7,46 kw ara a água qu coa na bomba. Sabndo qu a difrnça ntr a cota da urfíci do rrvatório indicado na figura 9, m, dtrmin a rda d carga d otência no coamnto d água. 53

154 54 Solução L ixo B B B L ixo ixo líq B B B rdida L ixo h h z tmo im m z z rlativa livr urfíci rrntam a B h h w z g z g quação a uar amo W h h ncontrar Prciamo,,. 9, 0, 0,, ( 0 :..,.

155 55 Sguindo a dfiniçõ, (, 4,5 9, 6,6, 3,6 / 0,056( / 980( novamnt Q W h quação a uar odmo rdida otência a calcular Para m z h h Daí m m m N kw Q W h ixo líq ixo ixo L ixo líq ixo

156 dquando ta última quação, tmo, h L W ixo rdida Q S h L rrnta a rda d carga, ntão, W ixo. rdida Q hl 9800,0564,5,47 kw 56

157 5.3.4 licação da Equação da Enrgia ara coamnto não uniform Conidrmo a quação t C d SC u gz d Q n liq. W líq. Em ituaçõ na quai o rfil da vlocidad não é uniform m qualqur rgião ond o coamnto cruza a urfíci d control ugr qu a intgral SC u gz nd rqur atnção. 57

158 Sm uma rova matmática convincnt, or hora, vamo admitir qu, u gz nd m SC Lmbr- qu o índic corrond a aída a ntrada, rctivamnt, no volum d control. α éocoficintdnrgiacinética mdia dfinida la quação éavlocidad nd 58

159 artir d rultado, obtmo, m nd Para o coamnto qu cruza a rgião da urfíci d control qu arnta ára. im, nd m / É oívl motrar qu: - α ara qualqur rfil d vlocidad. - α = ana ara coamnto uniform. 59

160 quação da nrgia ara coamnto não uniform (nrgia or unidad d maa, incomrívi válida ara um volum d control com uma ção d ntrada outra d aída é, gz gz wlíq. rda 60

161 Exrcício vazão m maa d ar no quno vntilador boçado na figura a guir é 0, kg/min. O coamnto no tubo d alimntação do vntilador é laminar (rfil arabólico o coficint d nrgia cinética, nt coamnto, é,0. O coamnto no tubo d dcarga do vntilador é turbulnto (ma o rfil d vlocidad é muito róximo do uniform o coficint d nrgia cinética é,08. O aumnto d rão tática no vntilador é 0, kpa a otência conumida na oração quiamnto é 0,4W. Comar o valor da rda d nrgia dionívl calculada na guint condiçõ: a dmitindo qu todo o rfi d vlocidad ão uniform. b Conidrando o rfi d vlocidad rai na çõ d alimntação dcarga do vntilador. 6

162 6

163 63 Solução kpa qu já rda a calcular ara w d valor o conhcr rcio É w rda w rda vm qu z z z z z z Como rda w gz gz quação a Conidrando ixo líq ixo líq ixo líq ixo líq 0,,, (,,,.....

164 64 m m d Cálculo m m d Cálculo kg J m vntilador ao forncida Potência w w d Cálculo ixo líq ixo líq /,9 0,03,3 60 (0,/, / 0,48 0,06,3 60 (0,/, / (0, / 0,4,..

165 65. / 0,95 (,9,08 (0,48,3 0 0, 84 (,,08,,0, : / 0,98 (,9 (0,48,3 0 0, 84 (,, : :,. 3 3 ixo líq não uniform uniform w d valor com o comarada rda rda kg J rda rda m ubtituindo uniform não rfi Conidrando b kg J rda rda m ubtituindo uniform rfi Conidrando a rolvndo gora