2. Processo Estocástico para o Preço do Gás Natural

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1 . Proco ocáico para o Prço do Gá Naural Viando proporcionar uma ba para a comprnão do fundamno da modologia d drminação d prço do GN, é analiado o modlo d doi faor d chwarz mih 000 qu pod r uilizado para dcrvr o comporamno d commodii... Proco ocáico Um proco ocáico dcrv o comporamno d uma variávl cuja mudança ão incra ao longo do mpo, aumindo valor imprviívi nvolv mpo alaoridad. Quano à ua propridad aíica média variância, principalmn, pod r claificado como acionário, quando maném a mma propridad ao longo do mpo, ou não acionário, quando a propridad mudam ao longo do mpo. O proco ocáico podm r dicro ou conínuo, dpndndo da variávl mpo. Dvido à incrza no prço fuuro, conidra a naurza ocáica da volução do prço da commodii, aravé d difrn modlo ocáico. O primiro rabalho qu raou d modlagm d prço d commodii com ba m proco ocáico d prço foi ralizado por Brnnan chwarz 985. O auor aprnaram um modlo d faor único para prvr o prço fuuro do cobr. Valoraram uma mina d cobr conidrando a inração nr a opçõ rai invimno, parada mporária, raivação abandono da mina. Uilizando modlo ocáico d faor único, Dixi Pindyck 994 analiaram uma éri hiórica dflacionada d prço do cobr argumnaram qu o proco d rvrão à média é lno qu omn uilizando éri mporai longa, acima d 30 ou 40 ano, é qu podrá obrvar o comporamno do prço da commodii. Proco d mpo conínuo podm r aproximado aravé d proco dicro, cuja modlagm é mai impl. O proco d rvrão à média á analiado no apêndic A.

2 6 Algun ano dpoi Pindyck 999 aprnou um udo obr o comporamno do prço da nrgia no mrcado nor-amricano, uilizando o prço do prólo, carvão GN. O objivo do auor coniiu m obr proco ocáico compaívi com o comporamno d longo prazo. Primiramn, analiou a poibilidad d rvrão à média, rulando m uma axa d rvrão lna pquna. Além dio, o auor morou qu é prado qu o nívl a inclinação da linha d ndência fluum ao longo do mpo. m função dio, foi propoa uma vrão mulivariada do modlo d rvrão à média incorporando a rvrão uma linha d ndência ocaicamn fluuan. O rulado moraram qu o modlo m um bom dmpnho na prvião do prço do prólo, porém mno aifaório para o carvão o GN. Modlo d um único faor ocáico podm r conidrado limiado, porano modlo com mai d uma incrza ocáica dvm r uado m avaliação d opçõ... Modlo d Doi Faor Pod- dizr qu rabalho com modlo d prço à via d commodii, uando mai do qu um único faor ocáico, comçou com Gibon chwarz 990. O auor dnvolvram um modlo d doi faor para análi do prço d conrao fuuro do prólo da guin forma: d µ d dδ α δ d δ δ Ond o faor d incrza ão o prço à via o rorno d convniência δ. O proco ocáico uado para o prço à via é o Movimno Gomérico Browniano MGB, com ndência µ volailidad. O rorno d convniência, um Movimno d Rvrão à Média MRM, com média d longo prazo α, vlocidad d rvrão volailidad δ. 3 O rorno d convniência pod r conidrado como o prêmio ou bnfício do propriário 3 O modlo d faor único MGB MRM ão analiado no apêndic A.

3 7 do aivo fíico, ao conrário daqul qu dém apna um conrao fuuro obr a commodiy 4. a úlima variávl pod aumir valor ngaivo, porano a colha d proco é corn. Gibon chwarz 990 uam a quação qu rlaciona o prço fuuro, F, com o prço à via, : F, rδ Ond r é a axa livr d rico - é o mpo nr a mauridad do conrao o mpo aual. Poriormn, chwarz 997 analiou o comporamno ocáico do prço da commodii, comparando o dmpnho d rê modlo. O modlo d um faor conidrando qu o logarimo do prço à via gu um MRM. O gundo modlo com doi faor ocáico: o prço à via qu gu um MGB o gundo é o rorno d convniência δ qu volui gundo um MRM. modlo rprna um avanço no modlo d Gibon chwarz 990 coni da guin quaçõ: d µ δ d dδ α δ d δ δ Com δ δ d, ond δ é a corrlação nr o proco padrõ d Winr d δ. O gundo modlo d chwarz 997 não ua diramn a rlação nr prço fuuro prço à via porqu modla o prço à via com a axa d convniência dnro da quação do prço. Porém, o auor uiliza o prço fuuro para imar o parâmro do modlo. O rciro modlo agrga ao gundo a axa d juro como variávl ocáica, a gu um MRM. O rulado vidnciaram qu o modlo d um faor m um dmpnho fraco. O modlo d doi rê faor aprnaram dmpnho quivaln, porém chwarz 997 obrva qu a axa d juro como um faor ocáico agrga pouca informação pouca 4 Para uma maior comprnão do papl do rorno d convniência, vja o próprio arigo d Gibon chwarz 990.

4 8 mlhoria frn ao gundo modlo, principalmn m fac d maior complxidad innidad compuacional qu o rciro modlo xig. Já chwarz mih 000 propuram um modlo d doi faor mlhan ao d chwarz 997, porém, n modlo o logarimo do prço à via é dcompoo por doi faor ocáico, a variaçõ d curo prazo no prço o prço d quilíbrio. A primira é modlada por um MRM do ipo Ornin-Uhlnbck a gunda é modlada por um MGB, ond amba ão corrlacionada. O auor uaram na análi dado d conrao fuuro d prólo, a mma ba d dado d chwarz 997. modlo é formalmn quivaln ao modlo d Gibon chwarz 990, ma aprna vanagn como, por xmplo, não faz uo diramn do concio d rorno d convniência qu é abrao. Na próxima ção é dalhado modlo com odo o quacionamno dnvolvido por chwarz mih 000. Poriormn, Manouli ompaidi 000 uaram o modlo d chwarz mih 000 para analiar o comporamno do prço do GN incluíram uma função drminíica para dcrvr a azonalidad. O parâmro d rvrão nconrado foram ignifican. Numa comparação nr modlo d um doi faor aravé do rro d prvião um pao à frn, mai uma vz o rulado moraram qu o modlo d doi faor prmi mlhor aju qu o modlo d um faor. Lucia chwarz 00 aprnaram um cao obr o drivaivo no or d nrgia lérica, uando o modlo d um d doi faor. A drivação do modlo é imilar à uada por chwarz mih 000. No modlo d um faor é uado o MRM, já no modlo d doi faor ão uado o MRM o MGB. m ambo foi incluída uma componn azonal com variávi dummi funçõ noidai. O rulado moraram qu o parâmro d azonalidad ão ignifican no prço d nrgia lérica. a azonalidad é imporan na dfinição d como o prço do drivaivo d nrgia ão formado. O udo conclui qu ouro modlo ambém podriam r pcificado ai como um proco d rvrão para a volailidad a incluão d alo no proco.

5 9 ørnn 00 aprnou um udo obr o comporamno ocáico do prço fuuro d commodii agrícola. Uou o modlo d doi faor d chwarz mih 000 inroduzindo uma componn drminíica para modlar a azonalidad. A azonalidad foi modlada por uma combinação linar d funçõ rigonomérica com frquência azonai. O rulado da imação moraram qu a componn azonai acarraram um pico d prço doi a rê m an do príodo d colhia, aingindo valor mínimo no fim da afra. padrõ juificam para manr o quilíbrio nr a ofra a dmanda. Um modlo d mulifaor foi propoo por Corazar Naranjo 003 para imar o prço à via da commodiy baado na informaçõ do prço fuuro. Baicamn arigo xpand o modlo d doi rê faor para N faor, ou ja, N variávi ocáica não obrvávi. O logarimo do prço à via é a oma d N faor mai um rmo d ndência. Cada um do faor volui gundo um MRM do ipo Ornin-Uhlnbck. Para ilurar a uilização do modlo, o auor fazm uma aplicação para o cao d quaro faor uando dado d prço diário d conrao fuuro d prólo. O rulado vidnciaram qu odo o parâmro d rvrão ão alamn ignifican. Ainda baando no modlo d chwarz mih 000, Aiub al. 006 propuram uma xnão d modlo, incorporando alo na variaçõ d curo prazo para analiar o prço do prólo. gundo o auor, a dinâmica propoa com alo rring o uo do filro d Kalman como modologia d imação, por io, aplicou- o filro d parícula. Como rulado, a comparação do doi modlo com m alo morou qu a incluão do alo xplica mlhor a ruura do prço do prólo. O modlo d doi faor d chwarz mih 000 foi uado m ouro divro rabalho mai rcn para o GN, como por xmplo, m Cara William 008, Pino 009, Guigu al. 00, Hm al. 0, Maroa 0.

6 0... O Modlo d Doi Faor d chwarz mih Com ba no MGB, oda variação é um choqu prmann na ndência d longo prazo projado, nquano qu o MRM puro aum xaamn o opoo, ou ja, cada ocilação é ó um dvio mporário do prviívl nívl d quilíbrio d longo prazo. gundo Dia 005, um pono d via mai razoávl ria um modlo qu não fo nm ão imprviívl quano o MGB nm ão prviívl quano o MRM. m drminado cao ria mai ralia combinar um proco d MRM com um MGB ou não adicionar um proco d alo. Uma da ugõ é o modlo d doi faor d chwarz mih 000, um modlo d rvrão m dirção a um nívl ocáico d quilíbrio d longo prazo com variaçõ d curo prazo no prço. é o modlo aplicado para modlar o prço do GN no prn rabalho, adicionando- uma função drminíica d azonalidad. No Modlo d doi faor d chwarz mih 000, o auor dcompõm o logarimo do prço à via d uma commodiy m doi faor não obrvávi, dnominado d variaçõ d curo prazo do prço o prço d quilíbrio. ai faor dvm r imado a parir d obrvaçõ do prço no mrcado fuuro, para dpoi drminar o prço à via. O modlo conidra qu a variávl volui gundo o MRM d Ornin- Uhlnbck, ndo um cao paricular ond 0. Ou ja, ão choqu raniório qu rvrm à média zro, ai como fio d variaçõ mporária d oqu dmanda variaçõ climáica. Já a variávl gu um MGB rprna choqu prmann como, por xmplo, mudança ruurai no cuo d produção, xpcaiva d xauão d rrva inovaçõ cnológica 5. quacionado por: 5 O modlo d faor único MGB MRM ão analiado no apêndic A.

7 d d d d d f µ ln Ond é a vlocidad d rvrão, é a volailidad do proco d, é o incrmno do proco padrão d Winr, µ é a ndência drif do proco d ; ão a volailidad do proco d o incrmno do proco padrão d Winr, rpcivamn. A corrlação nr a dua variávi ocáica é rprnada por. f é uma função drminíica qu dcrv a azonalidad m pod r inroduzida ao modlo d chwarz mih 000. Para nconrar a olução do proco qu modla a variaçõ d prço no curo prazo,, aplica- o Lma d Iô na função g,, d d d d d Ingrando ambo o lado d aé, m- qu: Aim, Agora, pod- calcular a média condicionada a : [ ] [ ] Ε Ε Ε

8 é o valor prado obido, poi cujo valor prado é zro. raa- da ingral d Iô a variância condicionada a é calculada da guin forma: [ ] [ ] d Porano, [ ] [ ] guindo pao mlhan, calcula- a olução do proco qu modla a variaçõ d prço no longo prazo,, ingrando o MGB d aé. d µ d µ Com ba na quação acima, calculam- a média a variância condicionada, [ ] µ [ ] Como o modlo d chwarz mih 000 aum qu há corrlação nr a dua variávi ocáica, proco como:, dv- calcular a covariância d

9 3 [ ] [ ] [ ], d Cov Porano, a mariz variância-covariância é: [ ], Cov Dado qu o proco êm diribuição normal vja chwarz mih 000, [ ] ln µ [ ] [ ] [ ] [ ], ln Cov pla propridad d lognormalidad: [ ] [ ] [ ] [ µ xp ln ln xp Para commodii como o GN, é gralmn acio qu o prço à via não é obrvávl. ndo aim, um conjuno d conrao fuuro pod r uado para

10 4 calibrar o modlo, com ba na mdida nura ao rico. Formalmn, F [ ], na mdida nura ao rico, ond F, é o prço do conrao fuuro no mpo com mauridad no mpo 0. A fim d valorar o conrao fuuro d commodii, uiliza- a vrão nura ao rico do modlo d chwarz mih 000, inroduzindo doi parâmro conan analiado como prêmio d rico para cada um do faor d incrza, λ λ. A vrão nura ao rico pod r cria como: d d λ d µ λ d Ond ão incrmno corrlacionado, d. ln No proco nuro ao rico, o logarimo do prço à via,, poui diribuição normal com a guin média variância: [ ln ] µ λ [ ln ] [ ln ] [ ] [ ] Cov[, ] λ Uilizando a rlação nr o momno da diribuição lognormal da normal, gu a xprão para o valor do conrao fuuro: ln F ln [ ], [ ln[ ] [ ln[ ] µ λ λ a é a quação dduzida por chwarz mih 000. Já qu o prço à via da commodii não é obrvávl, aravé da máxima vroimilhança uando o filro d Kalman podm- imar a variávi não obrvada o parâmro do modlo, com ba num conjuno d conrao fuuro.