SOLUÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES DE PROBABILIDADES DE TRANSIÇÃO DE PROCESSOS SEMI MARKOVIANOS UTILIZANDO TRANSFORMADAS DE LAPLACE

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1 Pquia Opracional na Socidad: Educação, Mio Ambin Dnvolvimno SOLUÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES DE PROBABILIDADES DE TRANSIÇÃO DE PROCESSOS SEMI MARKOVIANOS UTILIZANDO TRANSFORMADAS DE LAPLACE Márcio Joé da Chaga Moura Univridad Fdral d Prnambuco Avnida Acadêmico Hélio Ramo, /n, CTG - DEP marciocmoura@gmail.com Enriqu Lópz Drogu Univridad Fdral d Prnambuco Avnida Acadêmico Hélio Ramo, /n, CTG - DEP alopz@uol.com.br Carlo Magno Jacino Probra cmcj@probra.com.br RESUMO O proco mi Markoviano ão modlo baan imporan dnro do conxo d Engnharia d Coniabilidad. Tai proco não ão mai riamn Markoviano, ma por pouírm caracríica uicin comun a rcbm al dnominação. Baicamn, um ima é dnominado mi Markoviano quando ua axa d ranição dpndm do mpo d prmanência do proco m um drminado ado. O prn arigo propõ dcrv um méodo numérico d olução da quaçõ d probabilidad d ranição d proco mi Markoviano baado m invrão d ranormada d Laplac ingração numérica via Quadraura Gauiana. Doi xmplo d aplicação a ima d gurança do méodo numérico dcrio ão aprnado. PALAVRAS CHAVE. Coniabilidad. Proco mi Markoviano. Tranormada d Laplac. Eaíica. ABSTRACT Th mi Markovian proc ar rahr imporan modl inid o h conx o Rliabiliy Enginring. Such proc ar no mor ricly Markovian, bu or poing common nough characriic o h hy rciv uch dnominaion. Baically, a ym i calld mi Markovian whn i raniion ra dpnd on h holding im o h proc in any drmind a. Th prn papr propo and dcrib a numrical mhod o oluion o h quaion o raniion probabilii o mi Markovian proc bad on invrion o Laplac ranorm and numrical ingraion via Gauian Quadraur. Two xampl o applicaion o ay ym o h dcribd numrical mhod ar prnd. KEYWORDS. Rliabiliy. Smi Markovian Proc. Laplac Tranorm. Saiical. [ 844 ]

2 Pquia Opracional na Socidad: Educação, Mio Ambin Dnvolvimno. Inrodução O proco Markoviano ão um do proco ocáico mai úi na modlagm d ima dinâmico. No conxo da Engnharia d Coniabilidad, ão uilizado baicamn quando modlo como árvor d alha, árvor d vno ou diagrama d bloco ão inuicin para rprnação uncional d um ima complxo. Como aplicação d proco Markoviano m Coniabilidad pod- ciar Moura al. 5 Olivira al. 5. Conidr um proco ocáico { X, } com mpo conínuo paço d ado dicro X {,,..., n}, ond n é o númro d ado. Conidr qu o ado do proco no inan υ é X υ i. A probabilidad condicional qu o proco ará no ado j no inan é: P X j X υ i, X u x u Equação ond u < υ < { x u, u < υ} rprna a rajória prcorrida plo proco aé, ma não incluindo, o inan υ. O proco é chamado d Proco Markoviano conínuo no mpo aiaz a propridad Markoviana, qu é dada pla quação : P X j X υ i, X u x u P X j X υ i. Equação Sgundo Howard 97a, a propridad Markoviana, ambém conhcida como ala d mmória, igniica qu omn o úlimo ado ocupado plo proco é rlvan na drminação do u comporamno uuro. Em oura palavra, quando o prn é conhcido o dnvolvimno uuro do proco é indpndn do paado. Para um proco r Markoviano a hipó dv r vrdadira m odo inan do mpo. Graicamn, um proco Markoviano é rprnado pla cadia d Markov. Ea cadia é compoa por nó, qu rprnam o poívi ado qu o proco pod ocupar a a quai rprnam a raniçõ alha ou rparo nr o ado. Probabiliicamn, um proco d Markov é caracrizado a parir d um vor d probabilidad iniciai P X k, k,,..., n pla probabilidad d ranição nr ado p υ, P X j X υ i Equação 3 para υ i, j,,..., n, ond n é o númro d ado do proco Markoviano. A probabilidad d ranição d um proco d Markov aiazm a quação d Chapman Kolmogorov, a qual ablc qu i, j X, n p υ, pik υ, u pkj u, Equação 4 k para υ < u <. O proco mi Markoviano ão uma xnão do proco Markoviano. Tai proco não ão mai riamn markoviano, ma poum caracríica comun uicin a para rcbrm al dnominação. Sgundo Howard 97b, um proco mi Markoviano pod r nndido como um proco no qual a ocupação d ucivo ado é govrnada pla probabilidad d ranição d um proco d Markov. Porém, o mpo d prmanência m qualqur ado dpnd do ado prnmn ocupado do ado para o qual a próxima ranição rá ia. Da orma, no inan d ranição o proco mi Markoviano compora- xaamn como um Markoviano. Enrano, o inan no quai a raniçõ ocorrm ão govrnado por um mcanimo probabilíico dirn. Exim doi ipo d proco mi Markoviano: Homogêno, no qual a axa d ranição dpndm do mpo d prmanência do proco m um drminado ado Não Homogêno, no qual a axa d ranição além d dpndrm do mpo d prmanência m um drminado ado ambém dpndm do mpo d proco ou d calndário o qual inicia [ 845 ]

3 Pquia Opracional na Socidad: Educação, Mio Ambin Dnvolvimno com o início da obrvação do proco. A parir d agora oda rrência qu aça a proco mi Markoviano n rabalho corrpond a proco mi Markoviano Homogêno. O comporamno dinâmico da probabilidad d ranição d um proco mi Markoviano é dado por: > i n p δ w + ϕ h p d Equação 5 ik k ik kj ond n é o númro d ado do proco, δ é o dla d Dirac, > w i é o complmnar da unção d diribuição acumulada do mpo d pra no ado i, φ ik é a probabilidad d ranição conan do ado i para o k h ik. é a unção dnidad d probabilidad do mpo d prmanência no ado i dado qu o próximo ado a r ocupado plo proco é j, vja Howard 97b para maior dalh. A quação 5 pod r nndida da guin orma: a primira parcla da oma corrpond ao vno qu o proco prmanc no ado i plo mno aé o inan, omn conribuindo para p ii. A gunda parcla dcrv o vno qu o proco prmanc no ado i aé um inan quando dloca para algum ado k não mov- do ado k para o ado j m unidad d mpo. A quação 5 é conhcida como a quação undamnal do proco mi Markoviano. A quação 5 é a mai comum dinição uilizada para a probabilidad d ranição ou quaçõ d ado d proco mi Markoviano. Enrano, da mma orma qu ocorr com o proco Markoviano, é mai úil m problma d Engnharia d Coniabilidad dinir a probabilidad d ranição mi Markoviana a parir da axa d ranição do proco. A axa d ranição, qu no conxo d Engnharia d Coniabilidad podm rprnar axa d alha ou rparo, ão dinida como: λ P X + d j X i Equação 6 qu corrpond à probabilidad do proco dlocar- para o ado j m um inrvalo d mpo ininiimal dado qu á no ado i. A dinição da quação 5 a parir d axa d ranição é dada m Bckr al., como: p δ xp + n n λ x dx i λ xp ik k λ x dx p i kj d ond λ λ n é o númro d ado do proco mi Markoviano. i k ik Equação 7 O oco d arigo é aprnar um méodo d olução da quação da probabilidad d ranição ou quaçõ d ado d proco mi Markoviano Homogêno dada pla quação 7 aravé da uilização d invrão numérica d ranormada d Laplac. Dada a olução ranormada, a ua invra é calculada a parir do méodo d Quadraura Gauiana conhcido como Gau Lgndr, o qual é baan rápido. A parir do méodo aprnado a axa d ranição a quai podm rprnar axa d alha ou rparo podm guir qualqur unção d dnidad arbirária como Lognormal, Wibull ou Exponncial. O prn arigo á organizado da guin manira: na próxima ção é dcrio o méodo para olução da quaçõ da probabilidad d ranição d proco mi Markoviano baado m invrão numérica d ranormada d Laplac no méodo d ingração Gau Lgndr. Na ção 3, rão aprnado doi xmplo d aplicação a ima d gurança qu poum algun quipamno ob io d proco d drioração qu êm ua axa d alha dpndn do mpo qu o proco prmanc m um drminado ado. Na ção 4, ão ia alguma concluõ obr o rabalho. [ 846 ]

4 Pquia Opracional na Socidad: Educação, Mio Ambin Dnvolvimno. Dcrição do méodo numérico A quação 7 pod r cria m orma maricial da guin manira: Φ W + K Φ d Equação 8 ond para i j, w xp λ x dx w cao conrário. A unção maricial K é o i Krnl do proco mi Markoviano cada um d u lmno é dado por k λ ik xp λ i x dx. A ingral qu aparc na gunda parcla da quação 8 pod r cria como uma ingral d convolução, vja Boyc & Diprima. Uma ingral d convolução m a guin orma: d Equação 9 Fazndo uo da propridad, provada no ANEXO, qu a ranormada d Laplac da convolução d dua unçõ d mpo conínuo ο ο é igual ao produo da ua ranormada individuai, pod- ranormar a quação ingral da quação 8 m uma quação algébrica. Da orma, aplicando ranormada d Laplac à quação 8, m- qu: Φ W + K Φ Equação ou [ I K ] Φ W Equação ond é a variávl ranormada I é a mariz idnidad. A quação maricial corrpond a um ima d quaçõ algébrica qu m como olução a probabilidad d ranição do proco mi Markoviano na variávl ranormada. A olução d ima pod r obida a parir do méodo d Dcompoição Inrior Suprior, vja Pr al. para maior dalh. Conhcida a olução ranormada, é ncário invrr a ranormada d Laplac a im d obr a olução na variávl. Pla dinição d ranormada d Laplac, m- qu: d. Fazndo a mudança d variávl z -, a quação orna-: z ln z dz. Equação Equação 3 A ingral qu aparc no lado qurdo da quação 3 pod r aproximada por uma quadraura gauiana, a qual nvolv a avaliação pondrada da unção. m abcia prviamn conhcida, gundo o méodo d ingração d Gau Lgndr. Vja Pr al. para maior dalh obr quadraura gauiana. Da orma, m- qu: R j j w z ln z Equação 4 j j ond w j z j ão o po raíz, rpcivamn, orncido plo méodo numérico d ingração Gau Lgndr. É imporan riar qu w j z j não dpndm da unção. im omn do númro R d pono da quadraura. Dicrizando a quação 4 m R valor d, por xmplo,,,...,r, origina- um ima d R quaçõ linar com R incógnia -lnz j : [ 847 ]

5 Pquia Opracional na Socidad: Educação, Mio Ambin Dnvolvimno [ A ][ F] [ F] Equação 5 ond i a w z Equação 6 j j ln z ln z..., [ F ] Equação ln z R [ ]... F. Equação R Aim como o ima d quaçõ da quação, a quação 5 ambém pod r rolvida plo méodo d Dcompoição Inrior Suprior. Dnro do conxo do proco mi Markoviano, a unçõ da quaçõ 7 8 ão ubiuída pla probabilidad d ranição p oluçõ ranormada, rpcivamn, com i,...,n j,...,n, ndo N o númro d ado do proco mi Markoviano. Olivira al. 5 ambém uiliza al méodo d invrão d ranormada d Laplac para calcular a probabilidad d ado d um proco mi Markoviano Não Homogêno. Uma da limiaçõ da uilização do méodo dcrio é qu omn é poívl drminar a probabilidad d ranição p no pono -ln z. Porém, a limiação pod r conornada com a uilização d um aor d cala qu orna poívl a drminação da probabilidad d ranição para qualqur horizon d prvião T. O aor d cala qu rá uilizado n rabalho é: T C Equação 9 ln z, ond z é o valor mínimo da abcia do méodo d Gau Lgndr. O aor d cala C dv r muliplicado plo parâmro da unçõ da axa d ranição qu ão dpndn do mpo da orma obêm- a probabilidad d ranição para qualqur horizon d prvião T. Na próxima ção, rão aprnado doi xmplo d aplicação do méodo numérico dcrio a ima d gurança. 3. Exmplo d aplicação 3.. Doi componn m parallo Conidr um ima compoo por doi componn m parallo. Cada componn i poui axa d alha λ i dada por uma diribuição Wibull: βi β i λ i Equação αi αi ond α i é o parâmro d cala β i o parâmro d orma. [ 848 ]

6 Pquia Opracional na Socidad: Educação, Mio Ambin Dnvolvimno Como morado na Tabla, quando ambo o componn ão alho o ima alcança o ado d indiponibilidad rprnado plo númro : Tabla Eado d um ima compoo por doi componn m parallo Eado do Sima Componn Componn Indiponívl Falho Falho Diponívl Falho Opracional Diponívl Opracional Falho 3 Diponívl Opracional Opracional Fon: Auor 6 A axa d rparo ão conidrada conan iguai a μ para ambo componn, como na Figura, a qual aprna o diagrama d ado para o ima m parallo: λ 3 μ λ μ μ λ λ Figura Diagrama d ado para o ima com doi componn m parallo Supondo qu ano o componn A como o B ão ujio a proco d drioração no qual a ua axa d alha dpndm do mpo d prmanência do ima m drminado ado ão dada por uma diribuição Wibull, gum o dado para xcução do modlo numérico: Taxa d alha do componn : α 85. hr, β.; Taxa d alha do componn : α. hr, β.5; Taxa d rparo: μ.6 hr - ; Tmpo d mião T 75. hr. Já qu a axa d ranição alha do ima m quão dpndm do mpo d prmanência m um cro ado, o qu viola a condição Markoviana, o proco rprnado na Figura pod r conidrado mi Markoviano ua probabilidad d ranição rão avaliada aravé do méodo numérico dcrio na ção. Supondo qu o ima ja no ado 3, m, m qu o comporamno dinâmico da probabilidad d ranição do proco mi Markoviano é ilurado na Figura : [ 849 ]

7 Pquia Opracional na Socidad: Educação, Mio Ambin Dnvolvimno Probabilidad d Tranição Probabilidad P P P P Tmpo hr Figura Probabilidad d ranição do ima mi Markoviano ormado por doi componn m parallo Foram uilizado R 6 pono no procdimno d quadraura gauiana para invrão numérica da ranormada d Laplac d acordo com uma análi d nibilidad dnvolvida m Olivira al A xcução do modlo para o ima mi Markoviano com doi componn m parallo compoo por quaro ado raniçõ durou,8 do gundo. A diponibilidad do ima pod r calculada plo omaório da probabilidad inanâna no ado, 3 já qu corrpondm ao ado no quai o ima nconra- diponívl como cona na Tabla. 3.. Sima m Parallo com andby Conidr um ima d gurança rdundan coniuído d doi componn ndo qu uma da unidad nconra- m pra, ou ja, m andby. Como ilurado na Figura 3, a unidad A á inicialmn m opração m a unidad B nconra- m andby nquano qu S corrpond ao ubima qu dmpnha a unçõ d nor da condição do componn A d mudança d unidad d A para B m cao d alha d A. Figura 3 Diagrama d bloco d um ima m andby O ima m andby da Figura 3 pod r oprado rparado d divra orma: O componn m andby pod ar rio, i.., ora d opração ou pod ar parcialmn carrgado; [ 85 ]

8 Pquia Opracional na Socidad: Educação, Mio Ambin Dnvolvimno O wich S pod aprnar divro modo d alha, como alha m auar ou auação indvida, nr oura. Conidr qu o ima a r modlado aqui poui uma unidad m andby paiva, i.., aum- qu componn não alha nquano ivr m andby. Auma ambém qu o wich é prio, a alha da unidad m opração é dcada imdiaamn a unidad m andby é aivada com probabilidad. O poívi ado do ima ão liado na Tabla u diagrama d ado na Figura 4. Tabla Eado do ima m andby Eado do Sima Componn A Componn B Indiponívl Falho Falho Diponívl Opracional Falho Diponívl Sandby Opracional 3 Diponívl Falho Opracional 4 Diponívl Opracional Sandby Fon: Auor 6 μ A λ A 3 λ B μ 4 μ B λ B λ A Figura 4 Diagrama d ado do ima m andby Supondo qu o componn m andby á ob o io d um proco d drioração no qual a ua axa d alha dpnd do mpo d prmanência m um drminado ado é dada por uma diribuição Wibull qu a axa d alha do componn A a axa d rparo ão conan, gum o dado para xcução do modlo numérico: Taxa d alha do componn A: λ A -4 hr - ; Taxa d alha do componn B: α B 5. hr β B.5; Taxa d rparo do componn A: μ A. hr - ; Taxa d rparo do componn B: μ B. hr - ; Taxa d rparo: μ. hr - ; Tmpo d mião T 75. hr; Como rlaado imdiaamn an, a axa d alha do componn m andby dpnd do mpo d prmanência do ima m um cro ado. Da orma, o proco rprnado na Figura 4 pod r conidrado mi Markoviano ua probabilidad d ranição rão avaliada aravé do méodo numérico dcrio na ção. Supondo qu o ima ava no ado 4, m, m - qu o comporamno dinâmico da probabilidad d ranição do proco mi Markoviano é ilurado na Figura 5: [ 85 ]

9 Pquia Opracional na Socidad: Educação, Mio Ambin Dnvolvimno Probabilidad d Tranição Probabilidad P P P P3 P Tmpo hr Figura 5 Probabilidad d ranição do ima mi Markoviano m andby A xcução do modlo para o ima mi Markoviano m andby compoo por cinco ado raniçõ durou,875 do gundo, aim como o ima com doi componn m parallo. A diponibilidad do ima m quão pod r avaliada plo omaório da probabilidad inanâna no ado,, 3 4 já qu corrpondm ao ado no quai o ima nconra- opracional. 4. Concluõ O prn rabalho aprnou um méodo numérico d olução da quaçõ d convolução da probabilidad d ranição d proco mi Markoviano baado m invrão numérica d ranormada d Laplac no méodo d quadraura gauiana conhcido como Gau Lgndr. Tal méodo aprnou- baan robuo rápido na modlagm d ima d gurança como oi vio no xmplo d aplicação. O dnvolvimno d um méodo numérico rápido prcio para ima mi Markoviano é muio imporan, já qu ão uma xnão do proco Markoviano por io ão muio úi m análi d coniabilidad dd qu gnralizam rulado obido aravé d. Como ugão d rabalho uuro m- o dnvolvimno d um méodo igualmn robuo icaz para ima mi Markoviano Não Homogêno, o quai poum ua axa d ranição dpndn ano do mpo d prmanência m drminado ado quano do mpo d calndário, ambém conhcido como mpo d proco. Rrência BECKER, G., CAMARINOPOULOS, L. & ZIOUTAS, G. A mi-markovian modl allowing or inhomognii wih rpc o proc im. Rliabiliy Enginring & Sym Say, v.7, p BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C. Equaçõ dirnciai lmnar problma d valor d conorno. Rio d Janiro: LTC. 7ª Edição.. HOWARD, R. A. Dynamic Probabiliic Sym. Caliornia: John Wily & Son, v., Markov Modl.97a. HOWARD, R. A. Dynamic Probabiliic Sym. Caliornia: John Wily & Son, v., SmiMarkov and Dciion Proc.97b. MOURA, M. C., DINIZ, H. H. L., DROGUETT, E. L. & JACINTO, C. M. C. Análi comparaiva da diponibilidad d dua malha d complação inlign m poço d prólo. Enconro Nacional d Engnharia d Produção. Poro Algr, RS, 5. OLIVEIRA, E. A., ALVIM, A. C. M. & FRUTUOSO E MELO, P. F. Procding o h [ 85 ]

10 Pquia Opracional na Socidad: Educação, Mio Ambin Dnvolvimno XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO PESQUISA OPERACIONAL DE Elvnh Naional Ming on Racor Phyic and Thrmal hydraulic, Brazilian Aociaion or Nuclar Enrgy. Rio d Janiro, 997. p.337. OLIVEIRA, E. A., ALVIM, A. C. M. & FRUTUOSO E MELO, P. F. Unavailabiliy analyi o ay ym undr aging by upplmnary variabl wih imprc rpair. Annal Nuclar Enrgy, v.3, p PRESS, W. H., TEUKOLSKY, S. A., VETTERLING, W. T. & FLANNERY, B. P. Numrical Rcip in C++. Cambridg: Cambridg Univriy Pr. Scond Ediion.. ANEXO TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS DE CONVOLUÇÃO u du d u u du d d d d d d d u u [ 853 ]