Apreçamento de Opções de IDI Usando o Modelo CIR

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1 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR José Saniago Fajardo Barbachan José Rnao Haas Ornlas Ibmc Banco Cnral do Brasil RESUMO A opção d IDI da BM&F possui caracrísicas pculiars qu orna o su aprçamno difrn das opçõs d axa d juros mais comuns, como as d íulos d rnda fixa. Es arigo dsnvolv uma fórmula para aprçamno dssas opçõs d IDI, uilizando a prcificação livr d arbiragm. O modlo uilizado considra apnas um faor socásico: a axa d juros livr d risco d curo prazo. A quação difrncial usada para modlar o comporamno da axa d juros é a do modlo CIR COX INGERSOLL & ROSS, 1985, qu possui rvrsão à média não prmi a xisência d axas d juros nominais ngaivas. ambém é fia uma simação dos parâmros do modlo proposo basando-s m dados hisóricos, para não comparar o prço órico da opção basado nss parâmros com os prços d mrcado com o prço órico considrando a modlagm d Vasick PALAVRAS-CHAVE axas d juros, sruura a rmo, opção d IDI, rvrsão à média ABSRAC h IDI opion from h BM&F Commodiis and Fuurs Exchang has unusual characrisics, ha mak is pricing diffrn from common inrs ra opions. his papr dvlops a closd form formula for h pricing of hs IDI opions, using an arbirag-fr pricing approach. h modl usd considrs only on sochasic facor: h shor-rm risk-fr inrs ra. h diffrnial quaion usd o modl h bhavior of h inrs ra coms from h CIR COX INGERSOLL & ROSS, 1985 modl, which has man rvrsion propry and dos no allow ngaiv nominal inrs ras. I is also don a paramr simaion of h proposd modl basd on hisoric daa, and hn compars h horical pric of h opion basd on hs paramrs wih h mark pric and wih h horical pric considring h Vasick 1977 modl. JEL Classificaion C51, G13 KEY WORDS inrs ras, rm srucur, IDI opion, man rvrsion ES. ECON., SÃO PAULO, V. 33, N., P , ABRIL-JUNHO 003

2 88 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR INRODUÇÃO O prsn rabalho m como objivo principal dsnvolvr uma fórmula para avaliar o prço das opçõs d compra d IDI Índic d Dpósios Inrfinanciros ngociadas na BM&F Bolsa Mrcanil Fuuros. ais opçõs são insrumnos drivaivos uilizados ano para sraégias d hdg d uma carira d rnda fixa no Brasil quano para opraçõs d arbiragm spculação. A prcificação d opçõs d axa d juros possui uma vasa liraura, spcialmn opçõs sobr íulos d rnda fixa ou su conrao fuuro no mrcado nor-amricano vja HULL, 000. O prço dssas opçõs rfl a xpcaiva do comporamno fuuro d uma par da sruura a rmo da axa d juros, mais prcisamn o príodo nr o vncimno da opção o vncimno do íulo qu é aivo-objo da opção. Enrano, as opçõs d IDI da BM&F possum uma pculiaridad: las rflm o comporamno da axa d juros d hoj daa d avaliação aé o vncimno da opção. Iso faz com qu os modlos para o mrcado nor-amricano prcism sr adapados para a ralidad da BM&F, como fz Viira Prira 000. Nss arigo, ls adaparam, para o mrcado brasiliro, os modlos dos rabalhos d Vasick 1977 Jamshidian 1989, qu foram dsnvolvidos para o mrcado nor-amricano. Es modlo m a vanagm d possuir uma fórmula fchada para a avaliação d opçõs sobr IDI. Enrano, l admi a possibilidad d axas d juros nominais ngaivas. Ouro rabalho para o mrcado brasiliro é o d Silva 1997b, qu usa o modlo d Black, Drman oy 1990 para grar a árvor binomial d axa d juros d curo prazo, dpois calcula o prço da opção sobr IDI. Es modlo não admi axas d juros ngaivas. Enrano, não xis uma fórmula fchada para o cálculo das opçõs, o qu orna a aplicação do modlo mais compuacionalmn cusosa complicada. A proposa ds rabalho é adapar um modlo criado para opçõs sobr íulos, para aprçar opçõs d IDI, dado qu o mrcado não m um mo- Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

3 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 89 dlo amplamn uilizado. Srá usado o modlo CIR COX, INGERSOLL & ROSS, 1985 para modlar a axa d juros d curo prazo. Assim procdndo, consguirmos uma fórmula fchada para o prço da opção, sm prmiir axas d juros nominais ngaivas, rsolvndo, por consguin, os problmas dos dois modlos ciados anriormn. Para complmnar o rabalho, srá fia uma simação dos parâmros do modlo basada m dados passados, para assim nconrar o prço órico do modlo proposo. Em sguida, srá fuada uma comparação dos prços óricos do modlo proposo com os prços d mrcado, com os prços óricos do modlo Vasick. 1. Drivaivos d Juros no Brasil Os drivaivos d juros no Brasil êm como rfrência a axa do CDI Crificado d Dpósios Inrfinanciros d um dia, divulgado pla ANBID Associação Nacional dos Bancos d Invsimno. al axa é uma média dos dpósios inrfinanciros nr os bancos no mrcado brasiliro para um dado dia. Na BM&F, xism aualmn vários drivaivos d juros basados no CDI. O principal dls é o DI Fuuro. El é o conrao mais líquido da BM&F m rmos d volum financiro, possuindo uma sismáica d ajuss diários conraos vncndo a cada mês. Esss conraos rflm a axa do CDI d hoj aé o vncimno do conrao. As opçõs d IDI são bm mnos ngociadas do qu o DI Fuuro, alvz pla fala d um modlo d prcificação amplamn acio sm dficiências óricas. A liquidz sria o baixo volum ngociado dificulam a implmnação práica d modlos óricos. A opção d IDI m como aivo-objo o Índic chamado d IDI Índic d axa Média d Dpósios Inrfinanciros d Um Dia, qu é um índic aualizado diariamn plo valor do CDI médio do dia, cujo valor inicial ra d ponos m 01/01/000. Exism duas modalidads da opção d IDI: Opção d Compra Opção d Vnda. Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

4 90 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR Ouro drivaivo d juros rlvan no Brasil é o Swap pré-di. El é um conrao nr duas pars, qu rfl a axa d juros do CDI d hoj aé o vncimno, ambém smlhan a um íulo pré-fixado. O prazo do conrao é d livr scolha por par dos comins, mas os qu êm maior liquidz são os d 90, dias. Não êm ajus diário, mas podm r margm d garania s os comins assim o quisrm. I. REFERENCIAL EÓRICO Esa sção d rfrncial órico coném rês subsçõs sobr os modlos d prcificação livr d arbiragm. A primira subsção dscrv a prcificação livr d arbiragm m gral, os primiros modlos qu surgiram na liraura, como o d Black & Schols 1973 Black ais modlos não foram criados spcificamn para opçõs sobr íulos ou índics d rnda fixa, mas, sim, para açõs commodiis. Com algumas adapaçõs, ls podm sr usados para opçõs sobr insrumnos d rnda fixa. A sgunda subsção raa d modlos criados spcificamn para axas d juros, como os d Vasick 1977 CIR 1985, qu são conhcidos como modlos d quilíbrio gral. Já na rcira subsção srão analisados os modlos d não-arbiragm d axas d juros, qu são mais rcns, já s ajusam auomaicamn à sruura a rmo vign. É imporan rssalar qu odos os modlos aqui aprsnados uilizam a Prcificação Livr d Arbiragm. I.1 Prcificação Livr d Arbiragm os Primiros Modlos Para avaliar o prço d uma opção d compra d um íulo pré-fixado ouros ipos d opçõs sobr axas d juros podmos usar modologias qu uilizam prcificação livr d arbiragm arbirag-fr pricing, ambém chamada d avaliação nura ao risco. Esa modologia considra como dados os prço d um conjuno d aivos primários, assim como sua volução socásica, para não aprçar um conjuno d aivos scundári- Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

5 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 91 os. A prcificação dos aivos scundários s faz pla consrução d uma carira composa por aivos primários, dinamicamn rbalancada no mpo, d al modo qu o fluxo d caixa o valor dssa carira rplicam o fluxo d caixa o valor do aivo scundário. Assim mos um mundo nuro ao risco, dnro do qual aprçarmos as opçõs. Usualmn os modlos para aprçamno d drivaivos d axa d juros s basiam num procsso socásico para a axa d juros d curo prazo r num mundo nuro ao risco. Um grand númro d modlos considra apnas uma variávl ou faor socásica, por isso são chamados d modlos d um faor. O faor no caso sria a axa d juros d curo prazo. Exism ambém os modlos d, 3,.., n faors, ond s procura xplicar o comporamno da axa d juros m função não só do nívl aual da axa d juros d curo prazo, mas ambém das caracrísicas da sruura a rmo da axa d juros inclinação, curvaura c.. Ns rabalho, vamos sudar modlos d um faor, d al forma qu o procsso para r é da forma: dr mr d sr dw 1 ond: r é a axa d juros d curo prazo mr é chamado d ndência drif sr é chamado d difusão diffusion é o mpo W é o procsso d Winr As funçõs mr sr dpndm da axa d juros d curo prazo r, mas nos modlos mais simpls indpndm do mpo. Elas ipicamn possum vários parâmros. Nos primiros modlos os parâmros simados não ncssariamn gram prços d íulos adquados à sruura a rmo vign no mrcado ral. Já os chamados modlos d Não-Arbiragm, qu vrmos na subsção I.3, fazm com qu a simação do modlo gr uma curva d juros auomaicamn ajusada à curva d juros do mrcado. Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

6 9 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR Nas próximas sçõs dscrvrmos uma séri d modlos qu uilizam a modologia d Prcificação Livr d Arbiragm para prcificar opçõs sobr axa d juros. I. 1.1 Modlo d Black & Schols 1973 O modlo d Black & Schols 1973 é uilizado para opçõs sobr açõs, índics commodiis. Podríamos usá-lo para as opçõs d IDI. O problma é qu nss modlo supõ-s qu os rornos dos aivos sigam uma disribuição Normal, com o prço dos aivos possuindo uma disribuição Log-Normal, d acordo com o procsso abaixo: d X / X µd d W ond: X é o procsso do prço do aivo W é um procsso d Winr O aivo X podria sr, por xmplo, um índic: IBOVESPA, ou o IDI, no caso ds rabalho. O prço na daa d uma opção d compra sobr o aivo X com prço d xrcício E vncimno m sria dado pla fórmula: r C X N d1 E N d ond ond 3 X ln r E d 1, d d1 ond: r é a axa d juros consan é a volailidad do aivo-objo E é o prço d xrcício Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

7 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 93 a daa d vncimno da opção a daa aual Nx é a disribuição cumulaiva d probabilidad da Normal padronizada. A hipós d disribuição Normal para os rornos pod aé sr vrdad para prços d açõs, mas para o caso d axas d juros muias vzs é considrado qu las possum a chamada rvrsão à média, como vrmos mais adian. Além disso, s modlo admi a possibilidad d axas d juros nominais ngaivas, viso qu o índic IDI pod r um valor no vncimno mnor do qu l m no prsn. Ouro problma é o fao d a volailidad do IDI d uma drminada daa ir diminuindo à mdida qu la s aproxima ou sja, nha uma ndência drif dcrscn, o modlo d B&S considra a volailidad consan. I.1. Modlo d Black 1976 O Modlo d Black 1976 dsina-s a opçõs sobr fuuros, é basan uilizado para a avaliação d opçõs sobr íulos pré-fixados. Es modlo d Black é uma variação do modlo d Black & Schols 1973, com o aivo-objo sndo um conrao fuuro ao invés d um aivo a visa. A quação d difusão sria: df / F d W 4 ond F é o prço fuuro do aivo. Para uilizar o modlo d Black m opçõs sobr axas d juros usa-s o prço a rmo do íulo no lugar do prço do conrao fuuro. Porano, o modlo é basan parcido com o B&S, supondo qu o prço do aivoobjo sgu uma disribuição Log-Normal. Novamn, não prssupõ a xisência d rvrsão à média. Além disso, o modlo d Black considra qu a volailidad do aivo-objo é consan. Só qu no caso d íulos pré-fixados, quano maior for o mpo aé o vncimno, maior srá a volailidad. Somn no caso d a vida da opção sr muio cura m rlação à vida do íulo-objo é qu podría- Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

8 94 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR mos considrar uma volailidad praicamn consan duran a vida da opção. ambém é um problma o fao d l admiir axas d juros nominais ngaivas. Para a opção d IDI, o mrcado brasiliro cosuma lançar mão do modlo d Black, usando como aivo objo o IDI corrigido pla axa d juros sprada DI Fuuro aé a daa do vncimno da opção, ou sja, cria-s um prço a rmo do IDI. O problma da volailidad dcrscn é gralmn amnizado por mio da uilização d uma volailidad média. A fórmula para uma opção d compra sobr IDI na daa sria: C IDI N d1 E P N d Ln d1 IDI EP,, d Ln IDI EP, ond: P, é o prço m d um íulo pré-fixado com vncimno m IDI é o valor do IDI m é a volailidad d um íulo pré-fixado d prazo uniário. No qu a volailidad usada é a d um íulo pré-fixado d mauridad uniária, ou sja, d mauridad igual a uma unidad d mpo. S samos mdindo o mpo m anos, sria a volailidad d um íulo d um ano. Es modlo é o mais uilizado no mrcado brasiliro aualmn, apsar das inconsisências óricas. Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

9 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 95 I. Modlos d Equilíbrio Gral I..1 Modlo d Vasick Um fao silizado do comporamno das axas d juros d curo prazo é a chamada rvrsão à média d longo prazo. Isso significa qu s a axa d curo prazo sá acima da média d longo prazo, a ndência dla é d quda. S sivr abaixo da média d longo prazo, a ndência é d ala. O primiro arigo a propor comporamno d rvrsão à média foi o d Vasick O auor considrou qu a axa d juros spo sgu um procsso do ipo Ornsin-Uhlnbck com rvrsão à média: dr a -r d ρ d W 6 Ond W é o procsso d Winr, r é a axa d juros spo, α, ρ são consans. Porano, o primiro rmo do lado dirio da quação diz qu r dv orbiar m orno d a, qu dv sr considrado como a axa d juros d longo prazo. srá a vlocidad com qu ssa rvrsão dv ocorrr. Enão, s r - α > 0, o primiro rmo vai forçar a axa d juros d curo prazo r a cair, vic-vrsa. Quano maior for, maior srá a vlocidad da quda ou da ala. S r α, o primiro rmo dsaparc, rsando apnas o sgundo rmo, qu é socásico normalmn disribuído. ρ é a volailidad insanâna da axa d juros. Vasick obv, não, uma xprssão analíica para o prço d um íulo pré-fixado basado no procsso acima. Mais ard, Jamshidian 1989 dsnvolvu uma fórmula d prcificação d opçõs uropéias sobr íulos pré-fixados usando o modlo d difusão d Vasick. Um dos problmas do modlo d Vasick é qu as axas d juros nominais podm s ornar ngaivas. Ouro problma é qu a volailidad da axa d juros é consan, o qu não aconc nos dados rais. Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

10 96 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR Viira Prira 000 dsnvolvram uma fórmula fchada para a avaliação d opçõs sobr IDI, supondo qu a axa d juros d curo prazo sgu ss procsso d rvrsão à média d Vasick. I.. Modlo d Cox, Ingrsoll Ross Para nar rsolvr o problma das axas d juros nominais ngaivas, Cox, Ingrsoll Ross 1985 criaram um modlo conhcido como CIR, ond o rmo socásico aparc muliplicado por r. Dssa forma, quando a axa d juros crsc, sua variância ambém sob, vic-vrsa, viando as axas d juros nominais ngaivas. O procsso, qu ambém aprsna rvrsão à média, é o sguin: dr α r d r dw 7 Para qu as axas d juros sjam não-ngaivas, qu é uma das viruds ds modlo, uma rsrição s aplica aos parâmros: é ncssário qu α. Ns caso, dada uma axa d juros nominal inicial não-ngaiva o qu na práica m qu aconcr, la srá smpr não-ngaiva. Cox, Ingrsoll Ross ambém dsnvolvram uma fórmula para aprçar íulos pré-fixados, com mauridad, avaliados na daa : P, a, ond : ond: rb, b, a, γ γ 1 γ γ λ 1 γ γ λ γ γ λ 1 [ λ ] 1/ / γ γ α 8 Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

11 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 97 O parâmro λ é o chamado prço d mrcado do risco. E para opçõs uropéias sobr um íulo pré-fixado com vncimno m um mpo s, com prço d xrcício E, daa d xrcício, avaliadas na daa : C r,, ; s; E P r,, s χ r EP r,, χ r [ φ Ψ] ; [ φ Ψ b, s ]; γ 4α φ r, φ Ψ γ 4α φ r, b, s φ Ψ 9 ond φ γ γ 1 Ψ λ γ / r ln a, s / b, s Aqui a noação χ x;a,b significa uma disribuição qui-quadrada não-cnral m x, com a graus d librdad parâmro d não-cnralidad b. Para nos rfrirmos à função d disribuição cumulaiva d probabilidad, vamos usar simplsmn χ x;a,b para a função dnsidad d probabilidad usarmos fχ x;a,b. I..3 Ouros Modlos Um ouro modlo, mais gral do qu os anriors, foi dsnvolvido por Chan, Karolyi, Longsaff Sandrs 199, é conhcido como modlo CKLS. El ambém possui rvrsão à média, prmi qu a volailidad da axa d juros dpnda d uma poência γ da própria axa d juros. A quação sria a sguin: dr α - r d r γ d W 10 Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

12 98 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR No qu os modlos d Vasick CIR são casos pariculars do CKLS conform podmos vr na abla I. Ouros rês modlos ambém podm sr considrados casos pariculars do CKLS: Dohan 1978, Brnnan- Schwarz 1980 Consaninids-Ingrsoll 1984 vr abla I. Os modlos d Dohan 1978 Consaninids-Ingrsoll 1984 não possum rvrsão à média, mas êm a volailidad aumnando juno com o nívl da axa d juros. Já o d Brnnan-Schwarz 1980 possui rvrsão à média, s disingu do CIR apnas plo γ1 ao invés do 0,5 do CIR. A vanagm do CIR sá na possibilidad d nconrar uma fórmula fchada para a opção. Enrano, no rabalho d Chan al. 199 os modlos com γ 1 s mosraram supriors aos com γ <1, por mio d análiss com dados d íulos d um mês do souro nor-amricano d 1964 aé Iso mosra não qu a volailidad do procsso é alamn snsívl ao nívl da axa d juros. A simação do modlo CKLS sm rsrição para γ mosrou um valor d 1,5 para s parâmro. ABELA I - MODELOS DE AXA DE JUROS Modlo α γ Vasick qualqur qualqur 0 CIR qualqur qualqur 0,5 Dohan Brnnan-Schwarz qualqur qualqur 1 Consaninids-Ingrsoll 0 0 1,5 I.3 Modlos d Não-Arbiragm Uma dsvanagm dos modlos analisados d quilíbrio gral é qu ls não s ajusam auomaicamn à sruura a rmo da axa d juros vign no mrcado. Não ncssariamn os parâmros simados com bas m prços passados irão grar uma sruura a rmo d juros ajusada ao mrcado ral. Em razão disso, surgiram os chamados modlos d não-arbiragm. ais modlos foram dsnvolvidos d modo a grar auomaicamn valors Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

13 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 99 para a sruura a rmo qu sjam xaamn consisns com a ralidad aual do mrcado. ais modlos ambém usam prcificação livr d arbiragm, foram colocados numa sção à par por s raar d uma família d modlos com uma caracrísica paricular. I.3.1 Modlo HJM O mais gral dsss modlos d prcificação por não-arbiragm é o d Hah, Jarrow Moron 199, conhcido como HJM. Ao invés d parir d uma quação difrncial para a axa d juros d curo prazo, l par d uma quação difrncial para o prço d um íulo pré-fixado: dp, r P, d v, P, d W 11 É ncssário não spcificar as volailidads d odas as axas a rmo insanânas para o fuuro, ou sja, dfin a sruura a rmo da volailidad, qu sá prsn na variávl v,. Da quação 11 podmos chgar a uma quação para o prço a rmo dos íulos para a axa d juros d curo prazo. No caso gral, o modlo HJM gra uma árvor qu é não-rcombinan, ou sja, um movimno para cima sguido d um movimno para baixo não lva ao msmo sado d um movimno para baixo sguido d um movimno para cima. Iso orna o modlo xrmamn psado m rmos compuacionais. O procsso da axa d curo prazo no modlo HJM gral é não-markov. Para sabr o comporamno socásico d r num príodo d mpo pquno no fuuro mos qu sabr não só o valor d r no comço do príodo, mas ambém o caminho prcorrido por la aé chgar naqul valor. Mas podmos grar casos pariculars do modlo HJM ond o procsso para r sja Markov. Com iso consguimos conomizar sforço Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

14 300 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR compuacional. Es é o caso dos modlos d Ho-L, Hull-Whi BD, qu vrmos a sguir. I.3. Modlo Ho-L Apsar d o modlo HJM, d 199, sr o mais gral, o primiro modlo d não-arbiragm surgiu m 1986, com um rabalho d Ho L. O procsso do modlo d Ho-L é Markov, sgu a sguin quação: dr θ d ρ d W 1 ond ρ é a volailidad insanâna da axa d juros, θ é uma função scolhida d al modo qu o modlo s ajusa à sruura a rmo vign. O modlo d Ho-L chga a fórmulas fchadas para o prço dos íulos d opçõs. Enrano, l não possui rvrsão à média. O grand avanço ds modlo foi dixar o drif variar com o mpo. El é basicamn o modlo d Mron 1973 com o drif variávl no mpo. I.3.3 Modlo Hull-Whi O modlo d Hull-Whi 1990 é uma xnsão do modlo d Vasick, m qu a função mr é ransformada numa mr,, d al forma qu garana um ajus prfio à sruura a rmo vign no mrcado. A quação d difusão do modlo é: dr θ - αr d ρ dw 13 ond α ρ são consans, θ é scolhido d al forma qu o modlo s ajusa à sruura a rmo inicial. Es modlo é ambém um caso paricular Markov do modlo HJM. Podmos dizr ambém qu l é o modlo d Vasick com uma axa d juros d longo prazo θ qu varia com o mpo. Ou qu l é o modlo d Ho-L com a inrodução d rvrsão à média, ou sja, s o parâmro a for zro, o modlo d Hull-Whi s ransforma no d Ho-L. Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

15 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 301 Ess modlo m a msma facilidad analíica do modlo d Ho-L. Podmos, porano, chgar a fórmulas fchadas para os prços das opçõs uropéias dos íulos. Ns msmo arigo d 1990, Hull Whi ambém sndm o modlo CIR para s ajusar à sruura a rmo inicial, d manira análoga ao qu fizram com o d Vasick. Para avaliar opçõs amricanas nss modlo, pod-s usar um procdimno d árvors rinomiais como sá dscrio m Hull Whi O rabalho d Glucksrn, Francisco Eid Jr. 00 faz uma implmnação do modlo d Hull-Whi para aprçar a opção d IDI da BM&F. A implmnação raz rsulados saisfaórios para momnos d ranqüilidad do mrcado brasiliro. Enrano, m príodos d grand volailidad, como na cris argnina, os parâmros ornam-s insávis. I.3.4 Modlo BD O modlo d Black, Drman oy 1990, conhcido como BD, ambém pod sr considrado um caso paricular um procsso Markov do modlo HJM, ond mos uma disribuição Log-Normal com rvrsão à média: d lnr θ - a lnr d ρ dw 14 O fao d usar uma disribuição Log-Normal para axa d juros nominal d curo prazo implica a não-ngaividad da msma. Não xis uma fórmula fchada para o prço d uma opção d compra uropéia no modlo BD. Para chgar ao prço da opção, o modlo gra uma árvor binomial das axas d juros spo, do prsn para o fuuro. Por sr um procsso d Markov para r, a árvor grada é rcombinan ao conrário do modlo HJM gral, o qu orna o númro d nós da árvor mnor, conomizando sforço compuacional. Prcorrndo a árvor d axas spo do fuuro para o prsn, consruímos as árvors d prços dos íulos das opçõs uilizando avaliação nura ao risco. Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

16 30 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR Silva 1997b aplicou o modlo BD para a opção sobr IDI, nconrando valors do modlo mnors do qu o d mrcado para as opçõs d compra maiors para as opçõs d vnda. II. MODELO PROPOSO O modlo proposo srá uma aplicação do procsso d difusão d CIR 1985 para drivar uma fórmula para as opçõs d IDI. El rprsnará os aivos da conomia num rgim d mpo conínuo. Considr um horizon d mpo, um spaço d probabilidad Ω,ξ,P, ond Ω é o spaço amosral, ξ a sigma-álgbra P a mdida d probabilidad. Considr ambém ξ um filro crscn d ξ, com 0. Dfinirmos A,ω como sndo uma cona rmunrada pla axa d juros d curo prazo, dfinida plo sguin procsso: da,ω r,ω A,ω d A0,ω 1 15 ond r,ω é a axa d juros nominal d curo prazo, no caso brasiliro à axa do CDI; ω Ω o sado d naurza. O procsso para r srá o do modlo CIR, como na quação 7: d r,ω a - r,ω d r dw,ω α, >0 7 ond W é um procsso d Winr. Para simplificar a noação, scrvrmos x,ω simplsmn como x. O aivo A é o quivaln ao IDI num modlo d mpo conínuo. Vmos iso d forma mais clara ao aplicar o lma d Iô ao procsso d Iô dscrio m 15 para o LnA, obndo a sguin xprssão: r s ds A 0 16 A 0 Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

17 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 303 Como A0 é igual a um, podmos liminar s rmo da xprssão acima. O valor pay-off d uma opção d compra sobr A 0 com prço d xrcício E, no dia d vncimno da opção digamos srá: 0 max{ 0, } max 0, r s ds C A E E 17 Uilizarmos, não, a prcificação livr d arbiragm para chgar à fórmula da opção d IDI, ou sja, uma fórmula para C, para qualqur <. Quano ao mrcado do modlo, srá considrado um mrcado incomplo. A hipós d mrcado complo é muio for, não raz facilidads adicionais para a drivação da fórmula. Enrano, para um mrcado incomplo xism várias mdidas maringals quivalns, ao conrário do mrcado complo, ond só xis uma. A scolha dsa mdida é fia na aplicação do orma d Girsanov, como vrmos mais adian. II.1 Drivação da Fórmula O rabalho d Harrison Pliska 1981 raz um rsulado imporan: xis uma mdida maringal quivaln, s somn s não xisirm oporunidads d arbiragm. Mas s rsulado não considra a prsnça d fricçõs, iso é, cuso d ransação, inadimplência c. Vamos supor qu não xisam fricçõs no mrcado brasiliro d IDI. Para qu uma mdida Q Ω,ξ sja maringal quivaln a P, la dv saisfazr as sguins condiçõs: I. P Q são mdidas quivalns, iso é, PA 0 s somn s QA 0, qualqur qu sja A ξ; II. A drivada d Radon-Nikodym dq/dp L Ω,ξ,P, iso é, o su quadrado é ingrávl com rlação à P; III. E Q A i ξ u A i u para odo i 0..n-1 0 u ; Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

18 304 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR E Q. ξ u é a sprança sobr Q, condicionada à filração ξ u d ξ, qu considra somn os vnos aé o mpo u. Es rabalho parirá do prssuposo d qu no mrcado aqui dscrio não xism oporunidads d arbiragm, qu, porano, xis uma mdida maringal quivaln Q. Porém, o mrcado pod sr incomplo, o qu não garan a unicidad dsa mdida. A xisência d várias mdidas nos daria, não, um inrvalo para o prço da opção, pois para cada mdida ríamos um valor sprado difrn. A mdida scolhida ns rabalho srá dfinida pla scolha do prço d mrcado d risco quando da aplicação do orma d Girsanov mais adian. Para ornar mais fácil a comprnsão das fórmulas, vamos criar uma variávl auxiliar B u, com u, qu nada mais é do qu o rsulado do invsimno, à axa d juros d curo prazo, d uma unidad monária no príodo [u,]. A xprssão para B u, sria: r s ds u B r 18 u, Enão, o valor do prêmio da opção d compra m pod sr dfinido como sndo o valor sprado, via Q, do pay-off da opção no vncimno dsconado para. Iso é conhcido como solução d Fynman-Kac vr BRI- GO & MERCÚRIO, 001 ou AÏ-SAHALIA, 000: C E Q [C / B, ξ ] 19 Subsiuindo 17 m 19, mos: C max 0, E B Q r s ds 0-1 E, ξ 0 qu pod sr scrio da sguin forma: Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

19 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 305 C E Q 0 max 0, r s ds E r s ds r s ds ξ 1 No qu foi incluído um rmo infinisimal na hora d paricionar a ingral d 0 aé. Na sção sguin, quando for xplicada a discrização do modlo, ficará claro o propósio ds rmo. Para procdr ao cálculo da sprança m Q, dvmos usar o orma d Girsanov para passar nossa quação socásica 1 qu dscrv dinâmica dos prços no mundo ral Ω,ξ,ξ,P para a quação qu dscrv a dinâmica dos prços num mundo nuro ao risco Ω,ξ,ξ,Q. Para manr a quação do mundo nuro ao risco com o msmo formao da aniga dinâmica dvmos scolhr um λ, qu é o prço d mrcado do risco, 1 apropriado: λ r λ r, Usando o orma d Girsanov, chgamos à xprssão do procsso d Winr m Q: Q dw λ r, d dw 3 Subsiuindo 3 m 7, mos: Q dw r, d dr α r d r λ 4 Subsiuindo m 4 rarrumando os rmos, mos: 1 O prço d mrcado do risco é dfinido por m r m r / s r, ou sja, o rorno adicional por unidad d risco. O rmo mr é o novo drif, scolhido d forma a dixar as quaçõs difrnciais com o msmo formao, após a aplicação do orma d Girsanov. Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

20 306 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR dr α r d λ λ r dw Q 5 No qu podmos dfinir novos parâmros α d modo a manr o formao anrior: dr ond : α r d r dw α λ λ α Q 6 Agora qu mos a quação no mundo nuro ao risco associado à Q, prcisamos sabr qual é a disribuição d probabilidad d rsds m Q para rsolvrmos a quação 1. Do rabalho d CIR 1985 sabmos qu a dnsidad d probabilidad d rs condicionada a r com s> m Q é qui-quadrada não cnral. Brigo Mrcúrio 001 colocam da sguin forma: r s ξ ~ χ ond c Q 4 1 crs;n,p s /c 7 p cr 4 4 α n s Para simplificar a noação, vamos criar uma nova variávl y da sguin forma: Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

21 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 307 Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003, b a b a ds s r r y 8 Podmos não rscrvr 1 da sguin forma usando 18 8: { } [ ] 0, max,, 0 y Q E B E C ξ 9 Prcisamos, não, calcular a disribuição condicionada d y m Q para coninuar o cálculo d C, qu srá obida por mio do orma qu formularmos a sguir: orma Proposo: A disribuição d y m Q srá a sguin: 1 1 ln 4 ond p, y;n ~, χ ξ r p c k y Q 30 4 α n p k 4 16 r p c Dmonsração Para sa dmonsração vamos usar a sguin propridad das disribuiçõs qui-quadradas não-cnrais:

22 308 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR Sja: Z i V ~ k χ n i i 1 Z i m, q i i i 1.. n indpndns Enão: V ~ n i ki n n 1 χ mi, qi n i 1 i 1 Usando sa propridad podmos dizr qu y m ambém disribuição qui-quadrada não-cnral muliplicada por uma consan k, com os parâmros n p : n p n s ds p s ds 1/ ds / c s k c c s ds 34 ond Ä --å A rsolução da ingral m 31 é rivial, pois o parâmro n não dpnd do mpo, como podmos vr m 7: n n s ds 4 α ds 4 α C.Q.D. A rsolução da ingral m 3 é a sguin: Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

23 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 309 Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003 ds cr ds s p p s ds r s s 1 4 ds r s s s ds [ s s r ds r ln ln 1 ln 1 4 r C.Q.D. 1 1 ln 4 r A rsolução da ingral m 33 é mais simpls: / 1/ s c ds k 4 1 1/ ds s 1 4 ds ds s 4 C.Q.D. 4 4

24 310 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR Rsa a qusão da variávl d ingração d 30, qu ra cs rs passou a sr c y, lmbrando qu y é uma soma d r s, conform dfinição da quação 8. Como r é uma variávl alaória qu possui um sado sacionário sady sa quando s é muio grand, podmos ingrar cs dpois muliplicar por y. Assim, rsolvndo 34, mos: c c s ds 1 s 4 1 ds 4 1 ln 1 p 16r C.Q.D. Assim, conclui-s a dmonsração do orma. Uma vz obida a disribuição d y, podmos procdr ao cálculo da sprança condicionada prsn m 34. Mas ans vamos sablcr a suposição d qu o filro crscn ξ é conínuo pla diria, ou sja, com as informaçõs aé o mpo podmos prvr vnos m. Esa suposição é razoávl, já qu o CDI só m mudanças significaivas quando há uma runião do COPOM Comiê d Políica Monária. Quando da discrização do modlo, sa qusão ficará mais clara. O fao é qu para a rsolução d 31 vamos considrar B 0, uma consan, ainda qu condicionada à ξ, já qu s sria conínuo pla diria. Dsa forma, a rsolução d 34 sria: C E B - 1, max y, 1 [ max{ 0, B0, E } B, ξ ] y 1 { 0, B E } B k fχ c y; n, Q -ln B 0, 0, /E B 0, E, y k fχ c p dy y; n, p dy Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

25 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 311 B -lnb/e 1, k B fχ ke c y; n, p dy yp c dy n n 0, -lnb/e! y p c y n/ n c y yp c 1 1 Γ n / n Ond Γx é a função Gama, qu aparcu porqu sá prsn na função dnsidad d probabilidad qui-quadrada não-cnral fχ, qu foi scria por xnso. Coninuando a manipular os rmos, mos: C B 1, kb fχ c y; n, p dy c y Γ n / yp c dy n n -lnb/e -lnb/e! 0, ke p c y n/ n 1 1 yp c n Rsolvndo a primira ingral fazndo a sguin mudança d variávis z yc, mos: C k / c B kec c B c n n 1 ln E/B / Γ / n c 1 n n 0, 1 χ [-lne/ B n, 1! zc p c 0, p z... dz z c ; n, p] n 1 zc p Fazndo mais uma mudança d variávl, p p c/ c, mos: Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

26 31 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR C k / c B0, 1 χ [lne/ B0, c; n, p] n kec B c p c, clne/b zp 1 1 dz n n!... p z n/ n z 1 zp n 1 Γ / n E finalmn mos: C k / c B n p 1 χ [lne / B 0, 0, c ; n, p] 35 n p c kec 1 χ [lne / B 0, c B, c ; n, p ] Para o prço d uma opção d vnda d IDI basa aplicar a paridad pu-call. II. Discrização do Modlo Nsa sção o modlo d mpo conínuo srá discrizado, para assim podr sr usado na práica. Como o IDI é um índic diário para odos os dias úis, uilizarmos as variávis mporais discras m dias úis. O rmo srá scolhido como sndo um dia úil. A axa d juros m sria a axa do CDI do dia da avaliação. Esa axa é, na vrdad, uma média das axas dos dpósios Inrbancários duran o dia. Não sabmos ao cro sa axa duran o dia, mas podmos r uma boa aproximação da msma, já qu sa só m alraçõs significaivas m runiõs do COPOM Comiê d Políica Monária, cujas dcisõs sobr a axa d juros só passam a valr a parir do dia úil sguin. Porano, vamos usar para r a axa do CDI corrn no mrcado no inra-day. odas as daas sarão xprssas m anos úis. Enão, mos: Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

27 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 313 r: axa anual do CDI inra-day; B 0,µ : IDI 1 CDI inra-day, qu sria uma simaiva do IDI 1 : nº d dias úis d 3/1/000 aé o vncimno do conrao, dividido por 5; : nº d dias úis d 3/1/000 aé a daa d avaliação, dividido por 5; : um dia úil dividido por 5. A quação 35, m rmos discros, sria: C c IDI Ec ond ond 3 n p 1 χ [ln E/IDI ; n, p ] 1 1 χ [ln E/IDI / 3; n, p ] 1 /1 CDI 36 p 4CDI 4 α n ; c ln 1 ; 1 II.3 Parâmros Obsrvávis x Não-Obsrvávis A paramrização do modlo é um passo imporan para l podr r uilidad na práica. Nsa sção vamos fazr um parallo com o modlo d prcificação d opção sobr açõs d Black & Schols Os usuários do B&S no mrcado d açõs no Brasil usualmn drminam o parâmro axa d juros livr d risco r olhando para drivaivos d juros Fuuro d DI. O prço a visa é facilmn obsrvávl no mrcado. O prço d xrcício o mpo para o vncimno podm sr nconrados na dscrição do conrao da opção. Por isso, ss parâmros são chamados d parâmros obsrvávis. Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

28 314 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR Já a volailidad não pod sr obsrvada no mrcado, por isso msmo la é considrada um parâmro não-obsrvávl. Ela passa a sr não o parâmro mais imporan para a uilização práica do modlo. A princípio, podríamos uilizar a volailidad hisórica, mas ao comparar o prêmio órico da opção usando a volailidad hisórica com o prêmio d mrcado surgm difrnças. O qu s faz não é calcular qual sria a volailidad a sr usada para qu o prço órico foss igual ao prço d mrcado. Esa volailidad é chamada d volailidad implícia, pois sá implícia no prço d mrcado. O parâmro volailidad pod sr ncarado, não, como um prço d mrcado da opção. Os radrs podm ngociar volailidads não o próprio prêmio da opção. A volailidad é uma caracrísica única da opção, já qu o prêmio da opção dpnd ambém do prço do aivo objo da axa d juros. No modlo proposo ns rabalho, mos 4 parâmros não-obsrvávis α,, λ 4 parâmros obsrvávis IDI, E, - r. Os parâmros obsrvávis podm sr nconrados no wbsi da BM&F Já os parâmros não-obsrvávis, por srm m númro d 4 conra apnas um do B&S, rprsnam uma dificuldad para a uilização do modlo. Iso porqu, dado o prço d mrcado da opção, mos infinias combinaçõs dos 4 parâmros não-obsrvávis qu lvam ao msmo prço d mrcado. No B&S, por sr apnas um parâmro nãoobsrvávl, mos uma rlação biunívoca nr a volailidad o prço da opção. A solução possívl sria fixar 3 parâmros calcular o valor do quaro parâmro implício no prço d mrcado da opção. O rabalho d Viira Prira 000 sugr qu s calcul o parâmro vlocidad d rvrsão à média implício nas opçõs d IDI. Ns rabalho, após a simação dos Essas difrnças são oriundas do fao d qu o passado volailidad hisórica nm smpr é uma boa prvisão para o fuuro. Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

29 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 315 parâmros, vamos calcular qual sria o parâmro implício no prço d mrcado das opçõs. No qu s parâmro sria análogo à volailidad do modlo B&S. II.4 Esimação dos Parâmros Nsa subsção vamos sugrir uma forma d scolhr os parâmros do modlo, fazr uma pquna comparação com os prços d mrcado. O objivo é apnas mosrar uma simpls aplicação práica do modlo. Como vimos na subsção anrior, xism 4 parâmros não-obsrvávis qu prcisam sr simados ou arbirados. Ns rabalho, vamos arbirar dois parâmros, para os ouros dois srão usadas simaçõs basadas m dados passados. O rabalho d Glucksrn alii 00 implmna o modlo d Hull- Whi qu possui rvrsão à média uiliza uma vlocidad d rvrsão à média d 0,006. Iso, basado nos rsulados d Silva 1997a, qu nconrou valors nr 0, ,00663 para divrsos modlos, dnr ls o CKLS 199, Vasick 1977 Brnnan-Schwarz Ns rabalho vamos uilizar o valor d 0,006 ambém, qu é aproximadamn a média das simaivas d Silva 1997b. Para a axa d juros d longo prazo srá usado o valor d 18%. al valor foi arbirado plos auors ds arigo, s basia numa inspção visual do Gráfico 1, qu mosra a axa d juros do CDI ovr. Já o parâmro λ, qu é o prço d mrcado do risco, foi arbirado m 1. El é ngaivo, já qu o risco é algo indsjávl. O valor 1 significa qu para cada unidad adicional d risco, o invsidor xig uma unidad a mais d rorno. Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

30 316 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR GRÁFICO 1 - AXA DO CDI 53,00% 48,00% axa dp CDI-Ovr a.a. 43,00% 38,00% 33,00% 8,00% 3,00% 18,00% 13,00% 0/01/96 0/05/96 0/09/96 0/01/97 0/05/97 0/09/97 0/01/98 0/05/98 0/09/98 0/01/99 0/05/99 0/09/99 0/01/00 0/05/00 0/09/00 0/01/01 0/05/01 A abla II mosra os parâmros uilizados nsa sção: ABELA II - PARÂMEROS UILIZADOS Parâmro Valor 0/09/01 0/01/0 0/05/0 0/09/0 0/01/03 α 0,18 0,006 λ -1 Já o parâmro srá obido com bas nas axas hisóricas do CDI. O dsvio padrão das variaçõs absoluas do CDI foi calculado m bas diária mnsal. O parâmro foi obido por mio da sguin fórmula: V / r 37 ond é a frqüência dos dados V é a volailidad calculada com dados d frqüência. No qu o parâmro não é o dsvio padrão d r, pois na quação d para a axa d juros do modlo CIR o rmo d difusão vm muliplicado Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

31 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 317 por r. Daí a ncssidad d usar a fórmula acima. Para os dados d frqüência diária, o príodo considrado para a simação do parâmro foi d 5 anos ans d cada daa. ambém foram analisados os dados d frqüência mnsal, dada a sismáica do COPOM d dfinir a ma da axa Slic mnsalmn. Para nuralizar o fio do númro d dias úis, difrns m cada mês, foi calculada uma média das axas duran cada mês. Para os dados d frqüência mnsal foi considrado o príodo d agoso d 1994 aé o mês d abril d 00, daa d avaliação das opçõs. Os dados foram obidos no wbsi do Banco Cnral do Brasil As volailidads parâmros s simados são na abla III: ABELA III - VOLAILIDADE E PARÂMERO ESIMADOS Frqüência Mnsal Frqüência Diária Daa Volailidad a.a. -CIR Volailidad a.a. -CIR 1/4/ % 14.75% 4.30% 10.07% 15/4/ % 14.75% 4.30% 10.07% 16/4/ % 14.75% 4.318% 10.07% 17/4/ % 14.75% 4.318% 10.09% Dados os parâmros, basa agora calcular o prço d uma opção d compra d IDI. Para mosrar uma aplicação práica do modlo, foram calculados os prços óricos d acordo com a quação 36 para a séri AB17 d abril d 003 opção d compra com prço d xrcício d Para uma mlhor comparação, podmos calcular ambém o prço das opçõs d IDI sgundo o modlo proposo por Viira Prira 000, ou sja, admiindo o procsso proposo por Vasick Val lmbrar qu no caso do modlo d Vasick 1977 não é ncssário usar a quação 37 para o parâmro, já ns caso, l é a própria volailidad incondicional. Os prços d mrcado são a média dos ngócios do dia. Os rsulados são nas ablas IV V. Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

32 318 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR ABELA IV - COMPARAÇÃO DOS PREÇOS DE MERCADO COM OS PREÇOS EÓRICOS - FREQÜÊNCIA MENSAL Daa d Séri da Prço Prço Prço. Prço d Daa d Avaliação Opção d Mrcado órico CIR Vasick Exrcício Exrcício 1/04/0 AB17 887, , Abril/003 15/04/0 AB17 950, , Abril/003 16/04/0 AB17 890, , Abril/003 17/04/0 AB17 870, , Abril/003 Nos dados da abla IV, os prços óricos do modlo CIR são próximos dos prços d mrcado, mas os do modlo d Vasick são bm acima. alvz iso sja consqüência d sa séri hisórica comçar no início do Plano Ral, quando houv muia volailidad nas axas d juros. ABELA V - COMPARAÇÃO DOS PREÇOS DE MERCADO COM OS PREÇOS EÓRICOS - FREQÜÊNCIA DIÁRIA Daa d Séri da Prço Prço Prço. Prço d Daa d Avaliação Opção d Mrcado órico CIR Vasick Exrcício Exrcício 1/04/0 AB17 887, Abril/003 15/04/0 AB17 950, Abril/003 16/04/0 AB17 890, Abril/003 17/04/0 AB17 870, Abril/003 Já na abla V, qu abrang apnas os 5 anos anriors, ocorr o conrário: os prêmios calculados plo modlo d Vasick são muio abaixo do mrcado, ou sja, crca d um décimo ds valor. Os prêmios do modlo CIR ambém são abaixo do mrcado, sndo d crca d mad ds. Noa-s qu os prêmios óricos do modlo d Vasick são bm mais snsívis à simação da volailidad. Uma qusão imporan a sr lvanada é qu samos usando dados hisóricos, nm smpr o passado é uma boa prvisão para o fuuro. Em cras ocasiõs, os agns podm sar sprando um momno d ala Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

33 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 319 ou baixa volailidad para o fuuro, não vão xigir volailidads implícias nas opçõs qu corrspondam a ais xpcaivas. Iso ocorr ambém no modlo B&S para açõs, qu é amplamn uilizado, quando o parâmro no caso, a volailidad, calculado por mio d dados hisóricos, aprsnar valor difrn do parâmro implício no mrcado por um longo príodo d mpo. Iso porqu a volailidad implícia splha a xpcaiva do mrcado m rlação à volailidad fuura, não à passada. Ouro fao inrssan é qu a volailidad implícia nas opçõs é um simador visado, para cima, da volailidad ralizada no príodo subsqün. Divrsos rabalhos abordam al viés vr, por xmplo, ANDRADE & ABAK, 001. Porano, é d s sprar qu simaivas basadas m dados puramn hisóricos aprsnm valors mnors do qu os prços d mrcado. Oura possibilidad para simar a volailidad sria a uilização d modlos d séris mporais da família GARCH ou d alisamno xponncial. Enfim, xis uma grand gama d possibilidads para a simação prvisão da volailidad fuura, por consguin, do prêmio das opçõs. CONCLUSÕES Es rabalho dsnvolvu uma fórmula fchada para a opção d IDI da BM&F, considrando o modlo CIR, via uilização da prcificação livr d arbiragm. Enconrar uma fórmula fchada é d vial imporância, pois facilia o uso do modlo plos usuários do mrcado. Após a simação da volailidad com bas m dados passados, foi fia uma comparação com os prços d mrcado do modlo d Vasick. Para os dados d frqüência mnsal, os prêmios óricos do modlo CIR ficaram próximos dos prêmios do mrcado. Enrano, o modlo d Vasick aprsnou prêmios muio supriors. Já para os dados d frqüência diária, os rsulados d ambos os prços óricos das opçõs foram smpr mnors do qu os prços d mrcado. Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

34 30 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR Uma anális com uma séri mporal d prços maior sria ncssária para vrificar a xisência ou não d um viés nos prços d mrcado. O problma é qu a opção d IDI m pouca liquidz, com o mrcado basan concnrado m alguns poucos paricipans, o qu prjudica a anális. Aliás, num mrcado pouco líquido é qusionávl supor qu os prços convrgm para sus valors óricos, ns caso, valors livrs d arbiragm. A prsnça d um grand númro d invsidors, anos às oporunidads d arbiragm, é qu movimna os prços d forma a qu as arbiragns dsaparçam. Uma sugsão para fuuras psquisas sria vrificar a xisência d algum viés nos prços d mrcado m rlação aos prços óricos, analisando uma quanidad d dados com um scopo mporal maior. ambém é possívl aprimorar a simação dos parâmros por mio d ouros méodos d simação da volailidad, ais como GARCH alisamno xponncial. ambém sria inrssan sar méodos d simação conjuna da volailidad com os ouros parâmros. APÊNDICE I - CÓDIGOS MALAB Função para Calcular Prêmio d uma Opção d IDI plo Modlo Vasick % Função para calcular o prêmio d uma opção d compra IDI plo modlo CIR Função y opção_idipar % alfa - axa d juros d longo prazo ou valor cnral para a axa d jurosm % aa % ba - vlocidad d rvrsão à média m 1/ano % lâmbida - prço d mrcado do risco % sigma - dsvio padrão anualizado % i - mpo inicial m anos % - mpo final m anos % E - prço d xrcício alfapar:,1; bapar:,; lâmbidapar:,3; sigmapar:,4; ipar:,5; Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

35 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 31 par:,6; Epar:,7; IDIpar:,8; CDIpar:,9; Ppar:,10; au-i-1/5; CDIdiário 1CDI^1/5-1; IDI1 IDI 1CDIdiário; vol sigma^; ksqrvol4xpalfaau-xpalfaaualfaau- 3/alfa.^3; hlogidi/pek.^//k; rmo1 IDInormcdfh,0,1; rmo EPnormcdfh-k,0,1; y rmo1-rmo100000; Função para Calcular Prêmio d uma Opção d IDI plo Modlo CIR % Função para calcular o prêmio d uma opção d compra IDI plo modlo CIR função y opção_idi_cirpar %if ~nargin9, % rror Númro d argumnos sprados: 9 %nd % alfa - axa d juros d longo prazo ou valor cnral para a axa d jurosm % aa % ba - vlocidad d rvrsão à mdia m 1/ano % lâmbida - prço d mrcado do risco % sigma - dsvio padrão anualizado % i - mpo inicial m anos % - mpo final m anos % E - prço d xrcício alfapar:,1; bapar:,; lâmbidapar:,3; sigmapar:,4; ipar:,5; par:,6; Epar:,7; IDIpar:,8; CDIpar:,9; CDIdiário 1CDI^1/5-1; IDI1 IDI 1CDIdiário; vol sigma.^; alfa alfaba/ba-lâmbida; ba ba-lâmbida; Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

36 3 Aprçamno d Opçõs d IDI Usando o Modlo CIR gamasqrba^vol; %b xpgama-i-1/gamabaxpgamai-1gama; %a gamaxpbagama-i// gamabaxpgama-i-1gama; %alfavollogpb/baloga n 4baalfa-i-1/5/vol; p 4CDI/vollog1-xpbai-/1-xp- ba1/5; c pvol/16cdi-i-1/5ba^; kvol/4bavol/4-i-1/ 5xpbaxp-i-xp1/5; pppc/c; rmo1 k/cidi1-ncxcdfloge/idi1c,n,p; rmo kec^n/-1xp-p/c1- ncxcdfloge/idi1/3,n,pp1cdidiario/c; aux1 k/cidi; aux kec^n/-1xp-p/c1cdidiario/c; %aux1 ncxcdfloge/idi1,n,p; %aux ncxcdfloge/idi1/3,n,pp; y rmo1-rmo100000; BIBLIOGRAFIA AÏ-SAHALIA, Y. Lcur nos of h cours financial nginring mah modls of opions pricing. Univrsiy of Chicago, 000. ANDRADE, S. C.; ABAK, B. M. Is i worh racking dollar/ral implid volailiy? Economia Aplicada v. 5. n. 3, p , jul./s BLACK, F.; DERMAN, E.; OY, W. A on facor modl of inrs ras and is applicaion o rasury Bond Opions. Financial Analyss Journal 46, p , BLACK, F.; SCHOLES, M. h pricing of opions and corpora liabiliis. Journal of Poliical Economy 81, p , BLACK, F. h pricing of commodiy conracs. Journal of Financial Economics 3, p , BRENNAN, M. J.; SCHWARZ, E. S. Analyzing convribl bonds. Journal of Financ and Quaniaiv Analysis, 15, p , BRIGO, D.; MERCURIO, F. Inrs ra modls hory and pracic. Ediora Springr, 001. CHAN, K. C.; KAROLYI, G. A.; LONGSAFF, F. A.; SANDERS; A. B. An mpirical comparison of alrnaiv modls of h shor-rm inrs ra. Journal of Financ, 47, p , 199. Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003

37 José Saniago Fajardo Barbachan, José Rnao Haas Ornlas 33 CONSANINIDES, G.; INGERSOLL, J. Opimal bond rading wih prsonal axs. Journal of Financial Economics, 13, p , COX, J.; INGERSOLL, J.; ROSS, S. A hory of h rm srucur of inrs ras. Economrica 53, p , DOHAN, U. L. On h rm srucur of inrs ras. Journal of Financial Economics, 7, p , GLUCKSERN, M. C.; FRANCISCO, G.; EID JR., W. Aplicação do modlo Hull-Whi à prcificação d opçõs sobr IDI. Anais do II Enconro Brasiliro d Finanças, Rio d Janiro - RJ, 00. HARRISON, J. M.; PLISKA, S. R. Maringals and sochasic ingrals in h hory of coninuos rading. Sochasic Procsss and hir Applicaions 15, p , HEAH, D.; JARROW R.; MORON, A. Bond pricing and rm srucur of inrs ras: a nw mhodology for coningn claims valuaion. Economrica, v. 60, n. 1, p , 199. HO,. S. Y.; LEE, S. B. rm srucur movmns and pricing inrs ra coningn claims. Journal of Financ 41, p , HULL, J.; WHIE, A. Pricing inrs ra drivaiv scuriis. Rviw of Financial Sudis, v. 3, n. 4, p , Using Hull-Whi inrs-ra rs. Journal of Drivaivs, Winr HULL, J. Opions, fuurs and ohr drivaivs. Ediora Prnic Hall, 000. JAMSHIDIAN, F. An xac bond opion formula. Journal of Financ 44, p , SILVA, M. E. Prcificação d opçõs fuuros d axa d juros no Brasil. Rsnha BM&F 118, p. 1-35, 1997a.. Uma alrnaiva para prcificar opçõs sobr IDI. Rsnha BM&F 119, p , 1997b. VIEIRA, C. A.; PEREIRA, P. L. V. Closd form formula for h pric of h opions on h 1 day Brazilian Inrfinancial Dposis Indx IDI. Anais do XXII Congrsso Brasiliro d Economria, 000. Volum II. VASICEK, O. An quilibrium characrizaion of h rm srucur. Journal of Financial Economics 5, p , As opiniõs xprssas ns arigo são xclusivamn dos auors não rflm ncssariamn a visão do Banco Cnral do Brasil. pp@ibmcrj.br. jrnao.ornlas@bcb.gov.br. Rcbido m novmbro d 00. Acio para publicação m fvriro d 003. Es. con., São Paulo, 33: 87-33, abr-jun 003