CAPÍTULO 4 - TEORIA DOS SISTEMAS DE REFERÊNC IA

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1 CAPÍULO 4 - EORIA DOS SISEMAS DE REERÊNC IA 4. INRODUÇÃO A quação d tnsão, potência torqu as quais dscrvm o comportamnto da máquina oram stablcidas no parágrao (C.5). Mostramos qu as indutâncias mútuas ntr as ass do stator do rotor são unçõs da posição do rotor m rlação ao stator. P ortanto nas quaçõs dirnciais da tnsão aparcm trmos qu variam no tmpo, com xcção quando o rotor stivr parado. Uma troca d variávis, é às vzs, usada para rduzir a c omplxidad dssas quaçõs dirnciais. Existm vários tipos d mudança d variávis qu são usadas. Originalmnt, pnsou - s qu cada mudança d variávis ram dirnts consquntmnt tratadas sparadamnt. Prcbu-s mais tard qu todas ssas mudanças d variávis usadas para transormar variávis rais são casos particulars d uma mais gral. Esta transormação gral rr as variávis da máquina para um sistma d rrência o qual gira com uma vlocidad angular arbitrária. odas as transormaçõs rais são obtidas a partir dsta transormação gral simplsmnt dinindo a vlocidad d rotação do sistma d rrência. Nst capítulo irmos analisar sta transormação gral, studar algumas propridads sm a complxidad das quaçõs da máquina. O objtivo dssa rcapitulação da toria dos sistmas d rrência é para qu possamos aplicá-lo ao studo da MABCDA. " θ " 4. RESUMO HISÓRICO Por volta d 90, R. H. Park introduziu um novo método d anális d máquina létrica. El ormulou uma mudança d variávis o qual d ato trocava as variávis (tnsão, corrnt, nlac d luxo) associados ao nrolamnto do stator d uma máquina síncrona por variávis associadas a um nrolamnto ictício girando com o rotor, ou sja a transormada d Pa rk transorma variávis do stator a um sistma d rrência ixo no rotor. A transormada d Park, a qual rvolucionou a anális d máquinas létricas, tm a única propridad d liminar a dpndência do tmpo das indutâncias das quaçõs dirnciais das tnsõs nas máquinas síncronas, o qual ocorr através d circuito létrico com movimnto rlativo circuitos létricos com rlutância magnética variávl. Por volta d 90 H. C. Stanly mprgou a mudança d variávis na anális das máquina d indução.

2 9 El mostrou qu a dpndência tmporal das indutâncias nas quaçõs d tnsão na máquina d indução através d circuitos létricos m movimnto rlativo pod sr liminada pla transormação d variávis associadas ao nrolamnto do rotor (variávis do rotor) para variávis associadas a um nrolamnto ictício stacionário. Nst caso as variávis do rotor são transormadas a um sistma d rrência ixo no stator. G. Kron introduziu a mudança d variávis a qual liminou a dpndência das indutâncias d uma máquina d indução simétrica pla transormação dupla d variávis do stator das variávis do rotor para uma sistma d rrência rotativo m sincronismo com a rotação do campo magnético. Est sistma é normalmnt dnominado d Sistma d R rência Síncrono. D.S. Brrton mprgou uma mudança d variávis a qual também liminou a dpndência tmporal das indutâncias d uma máquina d indução simétrica, pla transormação das variávis do stator para um sistma d rrência ixo no rotor. Esta é ssncialmnt a transormação d Park aplicada às Máquinas d Indução. Park, Stanly, Kron Brton, dsnvolvram mudanças d variávis, cada qual parcndo unicamnt aplicávl a casos particulars. Consquntmnt cada transormação ra trata da sparadamnt na litratura. Por volta d 965 notou -s qu todas as transormaçõs usadas na anális d máquinas d indução stão contidas numa transormação mais gral a qual limina a dpndência tmporal das indutâncias rrind o as variávis do stator do rotor para um sistma d rrência a qual pod girar com qualqur vlocidad angular ou prmancr stacion ário. odas as transormaçõs conhcidas podm sr obtidas simplsmnt dinindo apropriadamnt a vlocidad d rotação para o assim chamado Sistma d Rrência Arbitrário. Para uma máquina síncrona as variávis do stator também podm sr transormadas para o sistma d rrência arbitrário. Contudo a dpndência tmporal das indutâncias na máquina síncrona somnt são liminadas s o sistma d rrência é ixo no rotor (RANSORMAÇÃO DE PARK). Portanto o sistma d rrência arbitrário não orc vantagm na anális d máquinas síncronas, m rlação a anális d máquinas d indução. 4. EQUAÇÕES DE RANSORMAÇÃO PARA UM SISEMA DE REERÊNCIA ARBIRÁRIO Apsar das mudanças d variávis srm usadas na anális d máquinas d corrnt altrnada para liminar a dpndência tmporal das indutâncias, mudanças d variávis também são mprgadas na anális stática d vários componnts d um sistma d potência, com parâmtros constants.

3 0 Em muitos programas d computador usados para anális d transitórios stabilidad dinâmica para grands sistmas d potência, as variávis para todos os componnts do sistma d potência, xcto para máquinas síncronas, são rprsntados num sistma d rrência girando na vlocidad síncrona. Logo, todas as variávis associadas a transormadors, linhas d transmissão, cargas, bancos d capacitors, tc, por xmplo, podm sr transormados para o sistma d rrência girando na vlocidad síncrona, através da mudança d variávis. lizmnt todas as transormaçõs conhcidas para sts componnts, stão também contidos na transormação para o sistma d rrência arbitrário, a msma transormaç ão gral usada para as variávis do stator da máquina d indução da máquina síncrona para as variávis do rotor da máquina d indução. Nós podmos ormular uma transormação para o sistma d rrência arbitrário a qual pod sr aplicada para todas as variávis. É prrívl considrar somnt as variávis associadas com circuitos stacionários nst capítulo modiicar sta anális para as variávis associadas com o nrolamnto do rotor d uma máquina d indução. Em outras palavras, analisarmos ns t capítulo a transormação gral, aplicarmos sta toria a nossa máquina m studo no capítulo sguint. Uma mudança d variávis a qual ormula uma transormação d um conjunto d variávis triásicas d lmntos d um circuito stacionário para um sistma d rrência arbitrário, pod sr xprsso como: q d o Cosθ Snθ π π Cos θ π Sn θ π π Cos θ + π Sn θ + π a b c (4..) Ond θ é dado por: 0 t ( ξ ) dξ θ ( 0) θ ω + (4..) A variávl ξ é uma variávl d intgração. Numa orma mais compacta a transormação p od sr scrita como: [ [ K [ qdo abc (4..)

4 Ond: [ [ qdo q d o [ [ abc a b c (4..4) (4..5) [ K Cosθ Snθ π Cos θ π Sn θ π Cos θ + π Sn θ + (4..6) Pod sr dmonstrado qu o invrso da matriz [ K " " é dado por: [ K Cosθ π Cos θ π Cos θ + Snθ π Sn θ π Sn θ + (4..7) Nas quaçõs acima " " pod rprsntar qualqur variávl, tnsão, corrnt, nlac d luxo, ou carga létrica. O índic sobrscrito " " indica a matriz transposta. O índic subscrito "" indica as variávis, parâmtros transormaçõs associados com circuitos stacionários. O dslocamnto angular "θ" dv sr contínuo, contudo a vlocidad angular associada com a mudança d variávis indinida (não spciicada). O sistma d rrência pod girar com vlocidad angular CONSANE, ou com vlocidad angular VARIÁVEL, ou pod prmancr ESACIONÁRIO. A conotação d ARBIRÁRIO consist no ato d qu a vlocidad angular da transormação não é spciicada pod sr slcionada arbitrariamnt para obtr a solução do sistma d quaçõs ou satisazr as rstriçõs do sistma. A mudança d variávis mostrada acima pod sr aplicada para variávis d qualqur orma d onda sqüência tmporal; contudo a transormação mostrada acima oi dsnvolvida para a sqüência " abc". Portanto a transormação para o sistma d rrência arbitrário é uma troca d variávis não ncssita d uma conotação ísica. É convnint visualizar as quaçõs d transormaçõs como rlaçõs trigonométricas ntr variávis como mostrado na igura 4...

5 Em particular as quaçõs d transormação podm sr admitidas como s as variávis " q " " stivssm colocados sobr ixos ortogonais ntr si girando com uma d" vlocidad angular "ω", as variávis " a"," b " " c" podm sr considrados como variávis stacionárias colocadas sobr ixos dasados d 0 ntr si. Rsolvndo a primira linha da matriz (4..) obtmos " q", rsolvndo a sgunda linha obtmos " d". É important notar qu as variávis não stão associados ao sistma d rrência arbitrário. As variávis " o " stão rlacionados aritmticamnt com as variávis " abc" indpndnt d "θ". É important não conundir ", com asors, las são quantidads instantânas as quais podm sr unçõs do tmpo. A rprsntação da transormação conorm mostrado na igura 4.. é particularmnt convnint quando aplicados a máquinas d corrnt altrnadas ond as dirçõs " a "," b" " c" podm sr as dirçõs dos ixos magnéticos do nrolamnto do stator. Nsta aplicação as dirçõs d " q " " d" são considradas como as dirçõs dos ixos magnéticos do novo (ictício) nrolamnto criado pla transormação d variávis. A potência instantâna total pod sr xprssa m trmos d variávis sndo : " o " " a " b " " c" " abc " como abc [ uabc. [ iabc ua ia + ub ib uc ic P + (4..8)

6 variávis A potência xprssa m variávis " abc " (4..), podmos scrvr: P qdo P abc " qdo" dv sr igual a potência total xprssa m, ou sja, lvando m conta a t ransormação invrsa da transormação dada por [ u [ i [ K. [ u abc abc [ qdo. [ K. [ iqdo [ u [ K qdo [. [ K. [ iqdo [ u [ K [ K [ i qdo [ u qdo [ i qdo qdo ( u i + u i + u i ) q q d d o o (4..9) O ator " " aparc dvido a scolha da constant usada na transormação dad a pla quação (4..). A orma d onda das variávis " q " " d", d tnsão, corrnt, nlac d luxo cargas létricas são dpndnts da vlocidad angular do sistma d rrência, mas a orma d onda da potência total é indpndnt do sistma d rrência. Em outras palavras, a orma d onda da potência total é a msma, indpndnt do sistma d rrência m rlação ao qual é calculado. 4.4 RANSORMAÇÕES DE UM CONJUNO DE VARIÁVEIS BALANCEADAS Embora as quaçõs d transormaçõs são válidas indpndntmnt da orma d onda das variávis, é instrutivo considrar as caractrísticas da transormação quando o sistma triásico é simétrico as tnsõs as corrnts ormam um conjunto triásico balancado d sqüência " abc " como dados plas quaçõs (4.4.) a (4.4.4). Um conjunto triásico balancado é gnricamnt dinido como quantidads snoidais d amplitud iguais as quais stão dasadas d 0. Dsd qu a soma dst conjunto é zro, as variávis " o" são zro. a.. Cos ( θ ) (4.4.)

7 4 b..cos θ π (4.4.) c..cos θ π + (4.4.) Ond " " pod sr uma unção do tmpo o dslocamnto angular θ " é dado por: " θ ( ) d ξ θ ( ) ω + t o 0 (4.4.4) É important notar a dirnça ntr " θ " θ ". A posição angular do sistma d rrência girando na vlocidad síncrona é " θ ". A posição d cada variávl létrica (tnsão, corrnt, nlac d luxo, ou car ga létrica) é θ " rprsnta a variávl létrica spcíica. " θ Contudo " " θ " dirm somnt na posição inicial " θ ( o )" " θ ( o )", dsd qu ambos tnham a msma vlocidad angular " ω". Substituindo (4.4.) a (4.4.) na transormação para o sistma d rrência arbitrário dado por (4..), após algumas transormaçõs obtmos: " " q. Cos ( θ θ ) d.. Sn ( θ θ ) (4.4.5) (4.4.6) o 0 (4.4.7) " Analogamnt, as variávis triásicas dadas por (4.4.) a (4.4.), as variávis q" " d" ormam um conjunto biásico balancado m todos os sistmas d rrência xcto quando ω ω. Nst caso, com o sistma d rrência girando na rotação síncrona " ω " as quantidads " q " " d" rsultam: q.cos [ θ ( o ) θ ( o ) (4.4.8) d. Sn [ θ ( o ) θ ( o ) (4.4.9) Ond " θ " oi substituído por (4.4. 4) "θ" por (4..) azndo ω ω θ θ.

8 5 As quaçõs (4.4.8) (4.4.9) rvlam uma propridad important. Exist um sistma d rrência ond um conjunto d variávis balancadas d amplitud constant aparcm como constants. Em outras palavras, s um conjunto d variávis balancadas d amplitud constant aparcm m qualqur sistma d rrência, ntão xist um outro sistma d rrência ond st conjunto aparc como constant. a " ω" constants. Portanto quando os ixos d rrência " qd" stão girando com vlocidad angular igual, isto é, sincronizados com a rd, o conjunto d variávis d amplitud constant rsultam 4.5 RELAÇÕES BALANCEADAS EM REGIME PERMANENE Para as condiçõs balancadas m rgim prmannt (4.4.) a (4.4.) podm sr xprssa, como: " ω " é constant as quaçõs a b Cos ( ) [ + jθ 0 ω t θ ( o ) R Cos ω t + θ π ( o ) R jω t j θ ( 0) π jω t (4.5.) (4.5.) c Cos ω t + θ π ( o ) + R j θ ( 0) π + jω t (4.5.) As ltras maiúsculas oram usadas para rprsntar as grandzas m rgim prmannt. S a vlocidad do sistma d rrência arbitrário é uma constant não spciicada, ntão para um sistma balancado m condiçõs d rgim stacionário as quantidads " q " " d" dado por (4.4.5) (4.4.6) podm sr xprssas como: q d Cos Sn ( ) ( ) [( ) j [ θ 0 θ o j( ω ) t + ( o ) ( o ) R ω ω ω θ θ ( ) ( ) [( ) j [ θ 0 θ o j + ( ω ω ω t θ ( o ) θ( o ) R j ) t (4.5.4) ω t (4.5.5) Da quação (4.5.) o asor & " rprsntativo da grandza " pod sr scrito: " a " a & a jθ ( o ) (4.5.6)

9 6 S "ω" não é igual a " ω " ntão " q " " a" são quantidads snoidais basado nas quaçõs (4.5.4) (4.5.5) podmos scrvr: & q j [ θ ( o ) θ ( o) (4.5.7) & d j & q (4.5.8) É ncssário considrar rqüências ngativas dsd qu "ω" pod sr maior qu " ω ". Os asors giram no sntido anti-horário para " ω < ω " sntido horário quando " ω > ω ". mos a librdad d scolhr "θ ( o)", portanto azndo " θ ( o) 0" tm-s: & & a q (4.5.9) Assim para todos os sistmas d rrência assíncronos " ω ω " com " θ ( o) 0" o asor rprsntativo das variávis " " " são iguais ao asor rprsntativo das variávis q. " a Para as condiçõs d rgim prmannt balancados, o asor rprsntativo das variávis d uma as prcisa somnt sr girada (rodado) para rprsntar as variaçõ s nas outras ass. No sistma d rrência síncrono " ω ω " θ θ " s continuarmos usando " ltras maiúsculas para rprsntar variávis constants m rgim prmannt, podmos rscrvr as quaçõs (4.5.4) (4.5.5) da sguint manira: q R j[ θ ( o) θ( 0) (4.5.0) d R j j [ θ ( o) θ ( 0) (4.5.) azndo θ ( o ) 0 ntão: q Cos [ θ ( o) (4.5.) d Sn [ θ ( o) (4.5.)

10 7 Lmbrando qu o asor " & a" é dado por: & a jθ ( o ) Cos [ θ ( o ) + j Sn[ θ ( o ) (4.5.4) E qu podmos rscrvr as quaçõs (4.5.) (4.5. ) como: q Cos [ θ ( o) (4.5.5) j d j Sn [ θ ( o) (4.5.6) E somando mmbro a mmbro as xprssõs acima inalmnt podmos scrvr: & a q j d (4.5.7) " A grandza " " d q " " & a" é um asor o qual rprsnta uma quantidad snoidal. No ntanto não são asors. Els são quantidads rais rprsntando variávis constants m rgim stacionário do sistma d rrência síncrono. 4.6 EQUAÇÕES DE ENSÕES BALANCEADAS EM REGIME PERMANENE S o sistma triásico é simétrico s as tnsõs aplicadas ormam um conjunto balancado dado plas quaçõs (4.4.) a (4.4.) ntão as corrnts m rgim prmannt também ormam um conjunto balancado. as Para rsistências iguais m cada as, a quação d tnsão m rgim prmannt para a a " é dada por: " U & r. I& a a (4.6.) as Para lmntos indutivos simétricos a quaçã o da tnsão m rgim prmannt para a a " pod sr scrita: " U & a jω L. I& a (4.6.)

11 8 Para lmntos capacitivos linars simétricos a quação d corrnt m rgim prmannt para a as " a " pod sr scrito: I & a jω.c. V& a (4.6.) Para qualqur combinação d lmntos do circuito linar simétricos a quação d tnsão m rgim prmannt pod sr xprssa na orma asorial como: U & Z& a. I& a (4.6.4) Ond Z& " " é a impdância d cada as do sis tma triásico. Para rsistências iguais m cada as do circuito, a quação da tnsão " U& q" rgim prmannt balancado m todo sistma d rrência assíncrono pod sr scrito: para o U & r. I& q q (4.6.5) Para lmntos indutivos linars simétricos a quação d tnsão prmannt m todo o sistma d rrência assíncrona pod sr scrito: " U& q" m rgim U & q jω L. I& q (4.6.6) Para circuitos com lmntos capacitivos linars simétricos, podmos scrvr: I & q jω C U& q (4.6.7) Assim para qualqur combinação d lmntos d circuito linar simétricos a quação d tnsão m todo o sistma d rrência assíncrono pod sr xprsso m orma asorial como: U & Z& q. I& q (4.6.8) Ond " Z& " é a msma impdância da quação (4.6.4) o ato d qu as grandzas na orma asorial m rgim prmannt são i guais para as variávis " a " " q" oi mostrado na quação (4.5.9). Portanto as impdâncias para os ixos " a " " q" também dvm sr iguais.