3 FLUÊNCIA NOS EVAPORITOS

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1 3 FLUÊNCIA NOS EVAPORITOS O Capítulo 3 s dstina à rvisão concitual histórica dos modlos constitutivos d luência da litratura, m qu são citados os principais trabalhos linhas d psquisas. A luência sob tnsão variávl com o tmpo também é tma tratado nst capítulo. Ainda, dstacam-s a Toria d Endurcimnto por Tmpo Transcorrido a Toria d Endurcimnto por Dormação. Ambas são discutidas a partir d uma brv rvisão bibliográica da ddução das quaçõs utilizadas plo Abaqus para um stado multiaxial d tnsõs. 3.. Concituação d Fluência aplicada ao Evaporito Na ciência dos matriais, a luência, ou crp, é o trmo usado para dscrvr a tndência d um matrial a s dormar ao longo do tmpo para aliviar tnsão. A dormação do matrial ocorr m consqüência do longo tmpo d xposição a nívis d tnsão qu stão abaixo da tnsão última do matrial. A luência é mais rqünt nos matriais qu são sujitados a altas tmpraturas por longos príodos. A ocorrência da luência varia m unção das propridads dos matriais, das tnsõs d sobrcarga aplicada, do tmpo da tmpratura d xposição. A luência é d grand intrss aos gotécnicos qu trabalham com rochas salinas m pruraçõs d poços d ptrólo m águas ultraproundas, pois normalmnt sts poços opram sob altas tnsõs tmpraturas. As rochas d sal prtncm a um grupo d rochas sdimntars chamado Evaporito, dpositado pla vaporação da água salina. Sgundo Poiat t al (6), o sal é um matrial gológico não usual qu, sob tnsõs constants, signiicativas dormaçõs são spradas m unção do tmpo, das condiçõs d carrgamnto das propridads ísicas. Em outras palavras, o sal possui comportamnto d luência, sndo a principal dirnça no comportamnto mcânico m rlação às dmais rochas sdimntars. D acordo com Costa (984) Costa t al (5), o comportamnto crp (ou luência) é a volução das dormaçõs plásticas com o tmpo

2 49 dvido à aplicação contínua d tnsão. Nos vaporitos, a luência é inlunciada snsivlmnt pla spssura da camada d sal, pla tmpratura d ormação, pla composição minralógica, plo tor d água, pla prsnça d impurzas pla xtnsão m qu a tnsão dirncial é aplicada no corpo salino. Amaral t al (999) analisaram inormaçõs d poços prurados através d spssas sçõs d vaporitos, ond oi constatada uma taxa d dormação xcssivamnt alta na pard dos poços, tais como,5 pol/h. Esta taxa qu o sal pod luir é dpndnt d alguns parâmtros, tais como tmpratura, tnsão dirncial tipo d sal. Divrsos autors (Costa, 984; Assis, 99; Olivira, 4) também rorçam qu a vlocidad d dormação por luência (dε/dt) é ortmnt dpndnt do nívl d tnsão aplicada. A Figura 3- aprsnta um gráico para nívis d tnsão, m qu <<3, a uma tmpratura constant. Obsrva-s qu, quanto maior o nívl d tnsão, maior srá a vlocidad d dormação por luência ou taxa d dormação, o qu pod sr comprovado plas inclinaçõs das curvas dst gráico. Val rssaltar qu, 3 são constants ao longo d cada nsaio. Costa (984) também stablcu sta msma rlação com a tmpratura, ou sja, quanto maior a tmpratura (T), maior srá a vlocidad d dormação por luência ou taxa d dormação. A Figura 3- aprsnta um gráico com nívl d tnsão constant variando a tmpratura, m qu T<T<T3. Val dstacar qu T, T T3 prmancm constants durant cada nsaio. 3 dormação () < < 3 tmpo (t) Figura 3-: Curvas d Fluência para variaçõs d tnsão a tmpratura constant.

3 5 T3 () dormação T T T< T < T3 tmpo (t) Figura 3-: Curvas d Fluência para variaçõs d tmpratura a uma tnsão constant. Têm sido nsaiados divrsos corpos d prova d vaporitos para mlhor comprndr su comportamnto m poços d ptrólo. Entrtanto, dpois d divrsas análiss, Olivira t al (985) rlataram qu a luência, a rigor, é incontrolávl. Isto porqu, msmo qu a contraprssão do luído d pruração s quipar às tnsõs no poço, havrá um luxo spontâno inrnt ao dpósito com pquna taxa d dormação sgundo uma dirção prrncial stablcida. Uma altrnativa utilizada para combatr a luência, sgundo alguns studos (Olivira, 984; Poiat t al, 6), é aumntar o pso do luido d pruração para qu as tnsõs, assim como as dormaçõs, diminuam. Isto é important para qu dê tmpo d compltar o poço, incluindo o tmpo ncssário para intrvnção do poço sm rvstimnto. Ainda qu a intrvnção no poço sja bm sucdida, uma pquna taxa d dormação ativa as tnsõs m su rvstimnto compromt a compltação, podndo chgar até ao abandono do poço, como oi o caso do poço -RJS-8, rlatado no Capítulo. 3.. Estágios d Comportamnto d Fluência A volução das dormaçõs com o tmpo é caractrizada m laboratório por três stágios d comportamntos, como pod sr visualizado na Figura 3-3 Figura 3-4, qu rprsntam um nsaio típico d luência sobr um corpo d prova. D acordo com Costa (984) Dowling (999), s um nívl constant d tnsão tmpratura é aplicado no corpo sólido no início d nsaio, ocorr uma pquna dormação lástica qu volui para o primiro stágio chamado d

4 5 transint ou luência primária. Nst stágio, logo qu a tnsão dirncial é aplicada, a taxa d dormação é muito alta, ou sja, possui uma lvada vlocidad d luência. Esta taxa d dormação ou vlocidad d luência diminui monotonicamnt até uma taxa constant d dormação, como pod sr obsrvado na Figura 3-3. Nst instant, inicia-s o sgundo stágio (também dnominado d rgim prmannt ou stacionário, ou ainda, luência scundária), qu s caractriza por aprsntar uma vlocidad d dormação constant com o tmpo. Por outro lado, no trciro stágio (também chamado d luência trciária) ocorr a aclração da taxa d luência, isto é, da taxa d dormação com o tmpo, rprsntado na Figura 3-3. Nsta as, a aclrada dormação do matrial por luência lva rapidamnt à ruptura do corpo sólido. Isto é xplicado plo micro raturamnto m um plano prrncial qu orma macro-issuras. Nos matriais rochosos, st cisalhamnto plo dslocamnto d dois planos d ratura gra aumnto d volum pod sr xplicado plo nômno da dilatância. Figura 3-3: Os três stágios da luência analisados pla dormação taxa d dormação (Findly t al, 976; Olivira, 4 ; Costi, 6). Além dos três stágios d comportamnto citados antriormnt, a rcupração das dormaçõs é outro nômno caractrístico d matriais m rgim d luência, qu pod sr mlhor visualizada na Figura 3-4. Costa (984) Mdiros (999) airmam qu o corpo sólido rcuprará a coniguração original sguirá a trajtória PQR s a tnsão or subitamnt rduzida a zro durant a as d luência primária. O trcho PQ é caractrizado por uma rcupração

5 5 rápida instantâna. Por outro lado, o trcho QR rprsnta uma rcupração lnta qu tnd assintoticamnt a zro, ou sja, ocorr a rcupração da coniguração original do corpo d prova, não rstando dormaçõs plásticas. Da msma orma qu na luência primária (quando o matrial s ncontra m rgim d luência scundária) a rpntina rdução do nívl d tnsõs trá como rsposta uma rcupração lástica instantâna, rprsntada plo trcho TU, sguida d uma rcupração lnta, rprsntada plo trcho UV. Todavia, sta rcupração d dormaçõs (quando o matrial s ncontra m rgim d luência scundária) tnd assintoticamnt para uma dormação prmannt, o qu não ocorr quando o corpo sólido stá m rgim d luência primária. Figura 3-4: Comportamnto típico d um matrial sob rgim d luência (Costa, 984; Gravina, 997; Mdiros, 999) Modlos Constitutivos d Fluência da Litratura Muitos modlos na litratura oram utilizados para dscrvr o comportamnto d luência nas rochas. A maioria dls oram inicialmnt drivados d studos d mtais dpois adaptados para a mcânica das rochas. Tais modlos podm sr divididos m três grands grupos: mpíricos, ísicos rológicos. Os modlos gralmnt dscrvm somnt uma part da curva típica d luência, aprsntada na Figura 3-3. Alguns modlos rprsntam somnt o rgim transint; outros, somnt o rgim prmannt. Existm também modlos qu são uma combinação das dormaçõs d luência primária scundária. No ntanto, a modlagm da trcira as d luência é muito complxa. O prsnt trabalho stá ocado no studo da luência primária scundária.

6 Lis Empíricas d Fluência Os modlos mpíricos são quaçõs matmáticas dduzidas a partir da obsrvação ajust ntr o comportamnto d uma curva típica d luência o su rsultado xprimntal para um problma sgundo o stado uniaxial d tnsõs dormaçõs. D acordo com Costa (984), apsar d sta li rprsntar somnt a luência primária, bons rsultados oram obtidos a partir da comparação d rsultados in situ" da mina d Taquari-Vassouras com as simulaçõs numéricas. Foram utilizadas algumas prmissas para qu s pudss ormular um modlo. Por xmplo, considrou-s a dormação dpndnt somnt do nívl d tnsão aplicada da tmpratura num tmpo spcíico. Portanto, os modlos mpíricos não lvam m considração, por xmplo, a orma com qu s atingiu o stado d tnsõs as tmpraturas studadas. Outro aspcto important é qu as quaçõs mpíricas normalmnt são provnints do studo dos mtais. Para a utilização na rprsntação do comportamnto das rochas, as constants mpíricas são ajustadas m unção dos rsultados xprimntais. As quaçõs mpíricas podm sr subdivididas d acordo com a unção matmática govrnant: potncial, logarítmico xponncial Li Potncial O modlo mpírico potncial é o mais utilizado na litratura (Findly, 976; Costa, 984; Assis, 99; Olivira, 4) m virtud da sua simplicidad do su bom ajust aos primiros rsultados obtidos d luência, spcialmnt para os nsaios ralizados sob prssão tmpratura constants. Est modlo pod sr xprsso da sguint orma: c b a ε = K t T, (3.) m qu: ε é a dormação transint d luência; é a tnsão dsviadora; t é o tmpo; T é a tmpratura; K, a, b c são constants mpíricas.

7 54 Como a li potncial é aplicada à as transint da curva d dormação por luência, xistm algumas sugstõs para incorporação da as prmannt. Por outro lado, a luência scundária é mlhor ormulada plas lis ísicas, qu srão xplicadas no itm Para alguns mtais outras aplicaçõs nvolvndo pqunos acréscimos d tmpo, considrando a luência primária, a sguint quação tm sido largamnt utilizada para a dormação por luência (Findly,976): c b ε = K t, (3.) m qu: ε é a dormação transint d luência; é a tnsão dsviadora; t é o tmpo; K, b c são constants mpíricas. A quação aprsntada nada mais é qu o caso particular da Li d Baily-Norton. Isto porqu é a união das quaçõs propostas por cada um dsss dois autors m Li Logarítmica A li logarítmica tm a msma orma da li potncial também dscrv apnas a luência primária. Todavia, a variávl tmpo é xprssa com uma unção logarítmica: c a ε = K ln( t) T, (3.3) m qu: ε é a dormação transint d luência; é a tnsão dsviadora; t é o tmpo; T é a tmpratura; K, a c são constants mpíricas. A quação 3.3 pod sr rduzida, considrando a tnsão tmpratura constants: ε = K ln( t) (3.4)

8 55 A grand dsvantagm dsta li logarítmica é qu a taxa d luência tornas ininita m valors d tmpo qu tndm a zro. Para solucionar st problma oi proposta a sguint li: ε = K ln( + ht) (3.5) A li logarítmica aprsnta bom ajust m rlação à curva xprimntal nas situaçõs com baixa tmpratura para curtos príodos d tmpo. Para os outros cnários, a li logarítmica não dscrv satisatoriamnt o comportamnto do matrial Li Exponncial A li aprsntada a sguir dscrv a dormação transint da luência como uma unção xponncial da tmpratura. O rstant da quação é similar a outros modlos mpíricos já aprsntados: j c b T ε = K t, (3.6) m qu j é mais uma constant mpírica. Existm também divrsas outras lis xponnciais na litratura qu tntam rprsntar o comportamnto da luência scundária, ormuladas a partir da obsrvação do matrial dpois da as d rdistribuição d tnsõs, como a d Ludwick, proposta m 99: ε& = ε&, (3.7) na qual: ε& é a taxa d dormação no rgim prmannt d luência; é a tnsão dirncial. Eyrich aprsntou uma ormulação m 956 a partir da quação 3.7, incluindo a inluência da tmpratura: Q ε& = ε& RT sinh, (3.8) m qu: ε& é a taxa d dormação no rgim prmannt d luência; Q é a nrgia d ativação; R é a constant univrsal dos gass;

9 56 T é a tmpratura; é a tnsão dirncial. D acordo com Costa (984), Assis (99) Gravina (997), as quaçõs xponnciais m unção da tmpratura, como a 3.8, podm sr aplicadas m análiss d problmas d mudanças d tmpratura durant a dormação por luência. Um xmplo m qu a tmpratura s lva com o tmpo é o armaznamnto d lixo radioativo m minas subtrrânas d sal Lis Físicas d Fluência Sgundo Frayn & Mraz (99), na década d 98, lis ísicas constitutivas d luência oram rcomndadas pla litratura intrnacional para rprsntar o comportamnto dos vaporitos basado m mcanismos d itração por mio d crtos intrvalos d tnsõs, d stado d dormação, d taxa d dormação, d tmpratura d microstrutura. Munson publicou alguns studos (Munson, 984; 99) nos quais as lis ísicas constitutivas para a luência scundária são aprsntadas por mio d mapas d mcanismos d dormação basados m aixas d tmpratura tnsão dirncial m qu um spcíico mcanismo micromcânico controla a dormação por luência do sal (Apêndic A). São basicamnt três mcanismos qu rgm o comportamnto d luência dos matriais: dislocation climb, dislocation glid um mcanismo indinido. Por não havr trmos adquados m português para dscrvr sss dois primiros mcanismos, ls srão dscritos na língua inglsa, como na litratura Mcanismo dislocation climb O dislocation climb é o mcanismo mais studado plos psquisadors é controlado por um nômno chamado ativação térmica. Isto porqu um aumnto da tmpratura d um corpo sólido gra uma maior oscilação d sus átomos m torno d uma posição d quilíbrio. Simultanamnt a ss procsso, ocorr também a rdistribuição molcular da strutura do matrial, qu provoca o aumnto da capacidad d luência. Sndo assim, quanto maior a tmpratura a qu o matrial stá submtido, maior srá a vlocidad d luência para um dtrminado stado d tnsão.

10 57 Nas situaçõs m qu a tmpratura stá no intrvalo d modrada a alta o matrial stá sujito a um baixo rgim d tnsão dirncial, a luência é controlada plo dislocation climb pod sr xprssa pla sguint quação (Munson & Dvris, 99): n Q RT ε& = A, (3.9) G m qu: ε& é a taxa d dormação d luência na condição d rgim prmannt; A é uma constant; é a tnsão gnralizada; G é o módulo d cisalhamnto; Q é a nrgia d ativação; R é a constant univrsal dos gass; T é a tmpratura absoluta; n é o xpont d tnsão Mcanismo dislocation glid A luência stacionária é controlada plo dislocation glid quando o corpo stá submtido a lvados nívis d tnsõs. Ess modlo é caractrizado pla suprposição d vários mcanismos d dslizamnto durant o procsso d luência. Est mcanismo, sgundo Munson (984;99) pod sr rprsntado por uma sno-hiprbólica do nívl d tnsão dirncial aliado a ators d ativação térmica: Q Q q ( = RT RT ) ε& H B + B sinh, (3.) G m qu: ε& é a taxa d dormação d luência; H é Havisid stp unction ; é a tnsão; G é o módulo d cisalhamnto; Q é a nrgia d ativação; R é a constant univrsal dos gass;

11 58 T é a tmpratura absoluta; B, B são constants Mcanismo Indinido O mcanismo indinido é assim dnominado por não star associado a nnhum modlo micromcânico, mas pod sr mpiricamnt dinido basado m nsaios d laboratório aprsnta a msma orma do mcanismo dislocation climb : n Q RT ε& = A, (3.) G m qu: ε& é a taxa d dormação d luência na condição d rgim prmannt; A é uma constant; é a tnsão gnralizada; G é o módulo d cisalhamnto; Q é a nrgia d ativação; R é a constant univrsal dos gass; T é a tmpratura absoluta; n é o xpont d tnsão. A luência é controlada plo mcanismo indinido nas situaçõs m qu o vaporito stá sujito à baixa tmpratura ao baixo rgim d tnsão Equação Constitutiva Munson (99) dsnvolvu uma quação constitutiva para a luência, na qual considra a possibilidad d três mcanismos basados nas condiçõs d tmpratura tnsão. As condiçõs d tmpratura d tnsão dirncial a qu o sal stá submtido são ators prpondrants para maior ou mnor parcla d cada mcanismo. Por xmplo, o dislocation climb é um mcanismo d ativação térmica qu dpnd da tnsão. Já o mcanismo indinido lva st nom porqu não stá associado a nnhum modlo micromcânico; ntrtanto, nst caso, tm-s um modlo mpírico dinido por nsaios laboratoriais. E o mcanismo

12 59 dislocation glid é ormado por modlos micromcânicos d dslizamnto, m qu todos são trmicamnt ativados são dpndnts xponncialmnt da tnsão. Por outro lado, a quação constitutiva proposta por Costa t al (997, 5) Poiat t al (6), corrspondnt à li d luência, é ormada por um duplo mcanismo d dormação. É uma simpliicação da quação dsnvolvida por Munson (99), m qu só são considrados os mcanismos dislocation glid o mcanismo indinido. Ainda sgundo Costa (997, 5) Poiat (6), oi analisado um vaporito com um comportamnto lástico/visco-lástico, adotando um duplo mcanismo da li d luência, como aprsntado na quação 3.: n Q Q RT RT ε & = ε&, (3.) m qu: ε& é a taxa d dormação d luência na condição d rgim prmannt; ε& é a taxa d dormação d rrência d luência no stado prmannt; é a tnsão tiva d luência; é a tnsão tiva d rrência; Q é a nrgia d ativação (kcal/mol), Q = kcal/mol; R é a constant univrsal dos gass (kcal/mol.k), R =,9858 E -3; T é a tmpratura d rrência (K); T é a tmpratura da rocha (K). Costa t al (5) acrscntam qu os parâmtros dst rgim prmannt d luência oram basados nos rsultados dos nsaios triaxiais d luência aplicados no modlo numérico, corrigindo a taxa d dormação d luência plo o ator d ativação térmico Modlos Rológicos Os modlos rológicos podm sr usados para rprsntar o comportamnto d matriais qu variam com o tmpo, como a luência nos vaporitos. Tais modlos são capazs d simular as tnsõs dormaçõs d matriais viscolásticos sob carrgamnto uniaxial.

13 6 Dntr os modlos da litratura, dois modlos srão aprsntados para rprsntar o comportamnto mcânico unidimnsional dos matriais: sólido lástico luido viscoso. A combinação associação dsts modlos rsultam num bom ajust as curvas xprimntais Modlos básicos O comportamnto d um sólido lástico linar pod sr simpliicado por um lmnto d mola qu sgu a li d Hook, ou sja, a tnsão rsultant da aplicação d uma orça m um matrial é dirtamnt proporcional à sua dormação, sndo xprsso pla quação 3.3. = E ε, (3.3) m qu: é a tnsão; E é o módulo d lasticidad do matrial; ε é a dormação. A rprsntação dst modlo lástico é ita com um modlo d mola, no qual a constant da mola (k) rprsnta o módulo d lasticidad do matrial. A lasticidad linar d Hook é xprssa pla rlação ntr orça (F) dslocamnto (U), dada pla quação (3.4) pla Figura 3-5. F = k U (3.4) Figura 3-5: Modlo d Mola Outro modlo básico também muito utilizado na litratura é a rprsntação d um luido viscoso qu pod sr simpliicado por um sistma d amortcdor, uma vz qu é considrado um luido nwtoniano, ou sja, a tnsão d cisalhamnto é dirtamnt proporcional à taxa d dormação. Nst caso, a constant d proporcionalidad ntr a tnsão ( ) a taxa d dormação (ε& ) é a viscosidad ( µ ), como aprsntado na quação (3.5):

14 6 dε = µ dt = µ ε& (3.5) A simpliicação dst modlo é ita por um lmnto d amortcdor, m qu a rlação ntr a orca (F) a taxa d dslocamnto é dada plo coicint d viscosidad do matrial conorm a quação (3.6) a Figura 3-6. F = k U& (3.6) Figura 3-6: Modlo Amortcdor A combinação a associação d lmntos simpls d mola d amortcdor ormam outros modlos qu mlhor s ajustam às curvas xprimntais dos matriais sujitos a luência, tais com o Modlo d Maxwll, d Klvin d Burgrs Modlo d Maxwll O Modlo d Maxwll consist na associação m séri d um lmnto d mola com um lmnto d amortcdor, como aprsntado na Figura 3-7a. Nsta situação, a tnsão é a msma m ambos lmntos do sistma. A origm das quaçõs constitutivas da mola do amortcdor já oram comntadas no subitm stão aprsntadas nas quaçõs , rspctivamnt. k = k ε (3.7) µ & = µ ε (3.8) A dormação total é calculada por mio da soma das dormaçõs dos sistmas, já qu os lmntos stão acoplados m séri: ε = ε + ε = ε + µ ε k (3.9)

15 6 Da msma orma, a taxa d dormação é dada pla soma das parclas qu também stão m séri: ε & = ε& + ε& = ε& µ + ε& k (3.) Drivando a quação 3.7 para qu possa substituir os dois trmos na quação 3., tm-s: & ε & = + (3.) k µ A partir da quação 3., prcb-s qu, s o amortcdor tornar-s rígido ( µ = ), o modlo d Maxwll s rduz à mola. O msmo acontc com a mola. Caso sja rígida ( k = ), o modlo s rduz ao luido nwtoniano. A rsolução da quação dirncial 3., considrando, por xmplo, = t t = como condiçõs iniciais, é dada pla quação d uma rta (3.), admitindo dormação nula m t = t a uma aplicação d tnsão constant. ( t) = + t, (3.) k µ ε m qu: é valor da intrcssão do ixo das coordnadas ( ε ); k é a inclinação da rta. µ A rprsntação dsta solução do modlo d Maxwll pod sr visualizada na Figura 3-7b. Nst msmo squma, quando ocorr o dscarrgamnto m t, pod-s também obsrvar uma rcupração da dormação da mola ( ) k nquanto a dormação do amortcdor ( t ) não s altra. µ Caso uma dormação inicial ε sja imposta m t = t mantida constant ao longo do tmpo, o nívl d tnsõs s lva para k ε, dvido à ração lástica instantâna da mola. No ntanto, como pod sr obsrvado na Figura 3-7c, ocorr a rlaxação na tnsão com o tmpo. Nst caso, a solução da quação dirncial 3. é dada por:

16 63 ( t) = kε kt µ Figura 3-7: Modlo d Maxwll O modlo d Maxwll possui algumas limitaçõs para simular ilmnt o comportamnto d matriais viscolásticos. Um xmplo é qu st modlo não tm capacidad d rprsntar a rcupração dpndnt com o tmpo. Outra limitação do modlo é qu l não mostra a taxa d dormação dcrscnt sob um nívl d tnsão constant no caso d um stágio primário ou transint d luência Modlo d Klvin O modlo d Klvin é ormado por um lmnto d mola um lmnto d amortcdor ligados m parallo, conorm squma da Figura 3-8a. Sgundo st modlo, constatam-s as sguints rlaçõs d tnsõs dormaçõs: = k + (3.3) µ ε = ε k = (3.4) ε µ A origm das quaçõs constitutivas da mola do amortcdor já oi comntada no subitm stão aprsntadas nas quaçõs , rspctivamnt. k = k ε (3.5) µ = µ ε& (3.6) Substituindo as quaçõs na 3.3, tm-s a quação constitutiva do modlo d Klvin:

17 64 ( t) = k ε( t) + µ ε& ( t) (3.7) Para um stado d tnsão constant ( ) m um tmpo t =, a solução da quação dirncial 3.7 rprsnta a dormação viscolástica d luência por mio da sguint xprssão: kt = ε( t) µ (3.8) k A taxa d dormação também sob uma tnsão constant ( ) é dada por: kt ε& = µ (3.9) µ Pla quação (rprsntada na Figura 3-8b), pod-s prcbr qu a vlocidad d dormação tnd a zro quando o tmpo tnd a ininito, pois a curva m qustão é assíntota à horizontal num valor d dormação d k. Tal xprssão pod rprsntar satisatoriamnt a luência primária d algumas rochas. D acordo com o comportamnto mcânico do modlo d Klvin, no instant inicial d aplicação d tnsão, o lmnto amortcdor suporta toda sta orça, qu é transrida gradativamnt ao lmnto d mola. Figura 3-8: Modlo d Klvin No caso do dscarrgamnto, o modlo d Klvin rprsnta uma aproximação da rcupração viscolástica das dormaçõs d alguns matriais. Nsta situação, aprsntada na Figura 3-8b, basta dscarrgar a tnsão para

18 65 zro após uma aplicação inicial d tnsão ( ) dormação ( ε ). A partir da quação 3.7, tm-s qu: k ε + µ ε& = (3.3) A solução da quação 3.3 pod sr xprssa por: ε kt µ = ε (3.3) Assim como o modlo d Maxwll, o modlo d Klvin também possui algumas limitaçõs para simular o comportamnto d matriais viscolásticos. Uma incorência do modlo proposto por Klvin é qu l não xib a dormação indpndnt do tmpo no carrgamnto. Além disso, st modlo não consgu rprsntar a dormação prmannt após o dscarrgamnto Modlo d Burgrs Os modlos compostos oram propostos para sanar algumas inconsistências dos modlos aprsntados nos subitns O modlo d Burgrs é um modlo composto d quatro parâmtros. Isto porqu é ormado por mio da associação m séri dos modlos d Maxwll d Klvin, como pod sr visualizado na rprsntação squmática da Figura 3-9. Sgundo o modlo d Burgrs, como os lmntos d Maxwll d Klvin stão acoplados m séri, a dormação total do sistma é dada pla soma das dormaçõs dsss dois lmntos, aprsntados na Figura 3-9: ε = ε + ε (3.3) No ntanto, a tnsão atuant é igual m cada um dos dois lmntos: = = (3.33) Substituindo as quaçõs constitutivas d Maxwll, & & = k ε + µ (3.), d Klvin, = k ε + µ & (3.7), na quação 3.33, utilizando também a ε quação 3.3, chga-s à sguint quação d quilíbrio: µ µ µ ε ε k + µ k & + = µ k & && & (3.34) k k

19 66 Considrando um stado d tnsão constant ( = dirncial pod sr scrita da sguint orma: c ), a quação k µ ε& + k ε& = c µ (3.35) A rsolução da quação dirncial 3.35 é dada pla xprssão a sguir: ε( t) k + k k t = c c µ + µ c t (3.36) Figura 3-9: Rprsntação squmáticas do Modlo d Burgrs O comportamnto d luência d um matrial, utilizando o modlo d Burgrs, pod sr visualizado na Figura 3-. Por sta rprsntação gráica, pod-s prcbr qu o modlo d Burgrs consgu rproduzir a dormação lástica instantâna inicial ( ε c = ). Além disso, st modlo é capaz d k simular a dormação na as d luência transint, ainda, a dormação da luência scundária com vlocidad d dormação constant ( c ). µ Figura 3-: Ensaio d Fluência rprsntado plo Modlo d Burgrs

20 67 No caso d um dscarrgamnto, Jagr & Cook (979) dduziram a quação 3.37 para o nsaio d rcupração das dormaçõs plo modlo d Burgrs. Nst nsaio, oi considrada inicialmnt uma tnsão constant ( c ). Após um dtrminado tmpo t x, a tnsão c é rtirada imdiatamnt. Pod-s ntão ncontrar a sguint xprssão, para instants d tmpo m qu t>t x, ou sja, quando a tnsão passou a sr zro. ε( t) = k c ( t t ) x t t t c t + µ x (3.37) A Figura 3- é a rprsntação gráica da quação No tmpo t=t x, c ocorr a rcupração lástica do modlo d Burgrs ( ), qu é igual a dormação lástica original ( ε c = ). Além disso, o modlo m qustão k também é capaz d rprsntar as dormaçõs d luência a uma taxa dcrscnt também as dormaçõs prmannts. k Figura 3-: Dscarrgamnto plo Modlo d Burgrs (modiicado Gravina, 997) D acordo com a litratura, o modlo d Burgrs é, ntr os modlos rológicos aprsntados, aqul qu mais s assmlha ao comportamnto d um matrial qu aprsnta luência. Isto porqu st modlo possui uma boa rsposta às condiçõs d luência, à rlaxação d tnsõs à rcupração d dormaçõs quando comparado com rsultados xprimntais. Sgundo Costa (984), o modlo d Burgrs é o modlo rológico mais rprsntativo m rlação às curvas xprimntais obtidas m nsaios

21 68 laboratoriais d vaporitos. Por outro lado, o autor utiliza modlagns mpíricas ísicas nos sus divrsos trabalhos publicados m 984, Fluência sob Tnsão Variávl com o Tmpo A anális do comportamnto da luência, utilizando-s os modlos propostos no itm 3.3, stá sujita à ocorrência d rdistribuição d tnsõs por causa da variação da dormação qu acontc com o tmpo. Existm dois métodos qu são mprgados para análiss d struturas submtidas a um histórico d tnsão variávl com o tmpo: Toria d Endurcimnto por Tmpo Transcorrido Toria d Endurcimnto por Dormação. Ambas stablcm a volução das dormaçõs com bas m lis constitutivas a partir do caso particular d Baily-Norton, aprsntado no itm Val rlmbrar qu stas lis são mpíricas oram ormuladas a partir d um problma uniaxial d tnsão m mtais Toria do ndurcimnto por Tmpo Transcorrido ( Tim Hardning Thory ) No caso da Toria d Endurcimnto por Tmpo Transcorrido, a taxa d dormação d luência é obtida dirtamnt a partir da drivada da quação 3.. m unção do tmpo, ou sja: c b ε& = K bt, (3.38) m qu: ε& é a taxa d dormação d luência; é a tnsão dsviadora; t é o tmpo; K, a b são constants mpíricas. Utilizando st método, o cálculo da taxa d dormação por luência dpnd das variávis d stado atualizadas naqul instant. Est modlo é aconslhávl para prvr dormaçõs m longos príodos d tmpo, nos quais o stado d tnsõs não varia muito rapidamnt nst príodo.

22 Toria do ndurcimnto por Dormação ( Strain Hardning Thory ) No caso da Toria d Endurcimnto por Dormação, a taxa d dormação d luência passa também a sr unção da dormação pod sr obtida a partir das quaçõs Isola-s o t da quação 3. obtém-s ε t = K c b Coloca-s st valor d t na quação 3.38 ncontra-s a sguint xprssão: c b b b b ε& = K b ε (3.39) Est modlo é aconslhávl para prvr dormaçõs m qu o stado d tnsõs varia no príodo d tmpo analisado. As duas torias têm sido amplamnt utilizadas para rprsntar a dormação d luência m matriais m qu as análiss d tnsõs dpndm do tmpo. D acordo com Findly (976), tm sido obsrvado qu a Toria d Endurcimnto por Dormação gralmnt aprsnta mlhors rsultados para a prvisão da dormação d luência quando comparada com a Toria d Endurcimnto por Tmpo Transcorrido tanto para mtais quanto para plásticos. Por outro lado, val dstacar qu a Toria d Endurcimnto por Tmpo Transcorrido tm sido amplamnt utilizada por causa das simpliicaçõs matmáticas já dmonstradas nos itns Rprsntação gráica das torias d ndurcimnto Na Figura 3-, stão rprsntadas squmaticamnt as duas torias d ndurcimnto utilizadas para problmas uniaxiais. Obsrva-s qu as curvas OG OF rrm-s à dormação variando com o tmpo para tnsõs, rspctivamnt, m qu <. Ao analisar primiramnt a tnsão, considra-s a dormação voluindo com o tmpo, rprsntada plo trcho OA. No instant a, corrspondnt ao ponto A da curva já mncionada, o nívl d tnsão aumnta passa d para (Figura 3-). Com a altração do nívl d tnsão, o comportamnto d luência pla Toria d Endurcimnto plo Tmpo

23 7 Transcorrido pod sr visualizado na Figura 3- plo trcho AB, dado plo dslocamnto vrtical da curva d luência corrspondnt ao nívl d tnsão (sgmnto EF) para baixo até coincidir com a curva no ponto A. Figura 3-: Rprsntação squmática das torias d ndurcimnto por tmpo transcorrido por dormação (Olivira, 4). Também stá squmatizada na Figura 3- a Toria d Endurcimnto por Dormação. Nst caso, quando ocorr o aumnto d tnsão d para, a continuidad da curva d dormaçõs a partir do instant a stá rprsntada plo sgmnto AC. Tal sgmnto oi obtido por um dslocamnto horizontal para a dirita do trcho DH da curva d luência corrspondnt ao nívl d tnsão até ncontrar a curva no ponto A. Obsrva-s nas duas torias d ndurcimnto qu, com o aumnto do nívl d tnsão d para, no ponto A, houv uma mudança da taxa d variação da dormação a partir dst instant Equaçõs Constitutivas d Fluência do Abaqus Dnominado li d crp no Abaqus, o comportamnto d luência é spciicado como um comportamnto uniaxial quivalnt. Nos casos práticos,

24 7 as lis d crp triam ormas muito complxas para rtratar ilmnt os dados xprimntais. Em virtud disso, nsta dissrtação srá utilizado um modlo mpírico potncial d luência primária ou powr-law modl do Abaqus. O mbasamnto tórico dsta li stá aprsntado no itm é caractrizado por sua simplicidad, portanto, tm uma gama d aplicaçõs limitada. Ess modlo stá disponívl no Abaqus m duas vrsõs: timhardning strain-hardning. Como já oi dbatido no itm 3.4, a vrsão timhardning é mais apropriada quando o stado d tnsão prmanc ssncialmnt constant. No ntanto, a vrsão strain-hardning é mais rcomndada quando o stado d tnsõs varia durant as análiss. Além dss modlo potncial, também stá disponívl no Abaqus o hiprbolic-sin law modl, qu utiliza a li sno-hiprbólica. O Abaqus também prmit qu outros modlos d luência sjam insridos plo usuário Toria do ndurcimnto por Tmpo Transcorrido ( Tim Hardning Thory ) A taxa d dormação d luência da vrsão tim-hardning proposta plo modlo potncial mpírico do Abaqus é similar à ormulação aprsntada no itm 3.4. é xprssa da sguint orma: n m ε& = A q ~ t, (3.4) m qu: ε& é a taxa d dormação quivalnt uniaxial d luência; q~ é a tnsão quivalnt uniaxial dsviadora; t é o tmpo total; A, n m são constants dinidas m unção da tmpratura. O q ~ é a tnsão quivalnt d Miss ou a tnsão anisotrópica dsviadora d Hill s, a dpndr, rspctivamnt, s o comportamnto d crp é dinido como isotrópico ou como anisotrópico. Nas modlagns ralizadas nst trabalho, srão considradas smpr situaçõs isotrópicas. Por razõs ísicas, as constants A n dvm sr positivas. E o valor d m dv star ntr - (-< m ).

25 Toria do ndurcimnto por Dormação ( Strain Hardning Thory ) A quação da taxa d dormação d luência da vrsão strain-hardning do modlo potncial mpírico do Abaqus s assmlha à ormulação do itm 3.4. stá dmonstrada a sguir. Intgra-s a quação n m ε& = A q ~ t (3.4) m unção do tmpo obtém-s n ~ m+ Aq t ε = (3.4) m + ε ( m + ) Isola-s o t da quação (3.4) ncontra-s t = n ~ Aq Coloca-s st valor d t na quação (3.4), qu rsulta na sguint xprssão proposta plo Abaqus: m+ n m ~ ε& = Aq ( ) m + ε, (3.4) m qu ε é a dormação quivalnt d luência. A dpndr da scolha do sistma d unidads, o valor do parâmtro A dv sr muito pquno para as taxas típicas d dormação. Sgundo o manual do Abaqus, rcomnda-s qu o valor d A sja maior qu -7. m Gnralização da li constitutiva d luência do Abaqus para o stado multiaxial d tnsõs O dsnvolvimnto da ormulação multidimnsional para rprsntar o nômno d luência nst trabalho stá basado m algumas hipótss rlativas ao comportamnto dos matriais: a. A ormulação multiaxial dv sr rduzida a uma corrta ormulação uniaxial; b. Incomprssibilidad dos matriais. O modlo dv xprssar a constância d volum, ou sja, dormação volumétrica nula;

26 73 c. A luência é unção somnt do sgundo invariant do tnsor dsviador d tnsõs, isto é, as quaçõs constitutivas não dvm tr inluência das tnsõs hidrostáticas; d. Para matriais isotrópicos, as dirçõs principais d tnsõs dormaçõs dvm coincidir. Partindo d um corpo sólido m qu nl atuam um stado d tnsão d dormação, o tnsor d tnsõs pod sr dividido m duas parts: um tnsor d tnsão hidrostático xprsso por δ, m qu v δ é o dlta d Kronckr ( δ = s i=j δ = s i j), um tnsor dsviador d tnsõs, rprsntado por s : v = δ + s (3.43) A quação 3.43 também pod sr xprssa m trmos matriciais: 3 v s s s3 = + = 3 v s s s v s3 s3 s33 Toma-s v como sndo a média da tnsão normal do tnsor d tnsõs tm-s: v = kk = ( ) (3.44) 3 3 Isolando o campo d tnsão dsviador s utilizando as quaçõs , tm-s: s = kkδ (3.45) 3 A quação 3.45 também pod sr xprssa m trmos matriciais: s s = s s 3 s s s 3 s s s = 3 v 3 v Voltando ao rquisito c da ormulação multiaxial, as dormaçõs d luência não são inlunciadas pla prssão hidrostática. Sndo assim, analisars-á m trmos do tnsor dsviador d tnsõs conorm quação Tal ormulação também atnd a hipóts d, pois as componnts d tnsão dormação são colinars. v

27 74 ε& = ζ s i,j =,,3 (3.46) m qu: ζ é um ator d proporcionalidad; s é o tnsor dsviador d tnsõs. Para qu s possa dtrminar o ator d proporcionalidad ζ, é ncssário dinir tnsão d von Miss ou tnsão quivalnt, qu são utilizados para prvr comportamntos d matriais sob carrgamntos triaxiais a partir d nsaios uniaxiais: = 3J, (3.47) m qu J é o sgundo invariant do tnsor d tnsõs, qu pod sr xprsso por s s J =. (3.48) E o sgundo invariant do tnsor dsviador d tnsõs pod sr rprsntado por: [( ) + ( ) + ( ) ] J D = (3.49) 6 Da msma orma, pod-s dinir taxa d dormação tiva d luência: 4 ε& = I, (3.5) 3 m qu I é o sgundo invariant do tnsor taxa d dormação pod sr xprsso por I ε & ε& = (3.5) E o sgundo invariant do tnsor dsviador d taxa d dormação pod sr rprsntado por: I D [( ε & ε& ) + ( ε& ε& 33) + ( ε& 33 ε& ) ] + ε& + ε& 3 + ε& 3 = (3.5) 6 Portanto, a tnsão quivalnt ( ) a taxa d dormação tiva d luência ( ε& ) também podm sr aprsntadas como: [( ) + ( ) + ( ) + ( + )] = (3.53) 3

28 75 [( ε& ) ( ) ( ) ( )] ε& + ε& ε& 33 + ε& 33 ε& + 6 ε& + ε& 3 ε& 3 ε& = + 3 (3.54) Pod-s substituir a quação 3.48 na 3.47 d orma a isolar o s obtéms: ε& : s = 3 (3.55) Da msma orma, pod-s substituir a quação 3.5 na 3.5, isolando o 3 ε & = ε& (3.56) A partir das quaçõs 3.46, , din-s o coicint d proporcionalidad: 3 dε ζ = (3.57) dt Partindo novamnt das hipótss iniciais, obsrva-s qu o rquisito a também é atndido, pois a ormulação multiaxial pod sr rduzida a uma xprssão uniaxial. A vriicação dsta hipóts pod sr comprovada considrando um caso uniaxial, no qual a quação 3.47 ica rduzida a = quando s az as dmais tnsõs sjam zro. Além disso, para o caso uniaxial, ε& ε & = &. Considrando ainda ε 33 qu a condição d incomprssibilidad no problma d luência pod sr rprsntada pla constância d volum (hipóts b ), tm-s qu: ε & + ε& + ε& (3.58) 33 = Então, ε& ε& = ε& 33 = (3.59) Substituindo a quação 3.59 na quação 3.54 obtém-s: ε & = ε& (3.6) No Abaqus, a Toria do ndurcimnto por Tmpo Transcorrido é dada m unção da taxa d dormação (quação 3.4) dirntmnt do qu normalmnt stá aprsntada na litratura (quação 3.), qu stá m unção da dormação. Então, nst trabalho, oi dduzida a ormulação para o caso

29 76 multiaxial spciicamnt para o Abaqus a partir das quaçõs uniaxiais constants no su manual. Sndo assim, para a vrsão tim hardning, pod-s azr a gnralização da quação 3.4 para o stado multiaxial d tnsõs com a utilização da quação 3.57: 3 d ε 3 n m ζ = = A t (3.6) dt Com o auxilio da quação 3.46 isolando-s o 3 n m s A t ε&, tm-s: ε& = (3.6) Da msma orma, também pod-s dduzir a Toria do ndurcimnto por Dormação, inicialmnt aprsntada para a situação uniaxial (3.4), por mio da quação 3.57: m 3 3 m+ dε cr n ( m+ ) = ( ) A m+ ε dt ζ = (3.63) Utilizando a quação 3.46 isolando-s o 3 m cr m n ( m+ ) s ( + ) + A m ε ε&, tm-s: ε& = (3.64)