APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA (REVISÕES SOBRE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL

2 Rvisõs sobr unçõs rais d variávl ral Sumário: Rvisõs sobr unçõs rais d variávl ral i) Domínios; ii) Noçõs topológicas; iii) Limits continuidad; iv) Drivadas, dirnciabilidad dirncial; v) Gráicos; vi) Função composta; vii) Intgrais; viii) Equaçõs dirnciais As unçõs rais d variávl ral (rvr), podm dscrvr o comportamnto d uma dtrminada grandza qu apnas dpnd d um actor E podm sr dinidas por : D y = ( ) Na disciplina d Complmntos d Matmática, studam-s unçõs mais grais Estas contmplam o caso d grandzas qu dpndm d mais do qu um actor As unçõs vctoriais d variávl vctorial, ou campos vctoriais, as unçõs rais d variávl vctorial, ou campos scalars (unçõs com várias variávis) Ants d s passar ao studo das unçõs com várias variávis, az-s uma brv rvisão sobr as rvr, nomadamnt no qu diz rspito a, domínios, noçõs topológicas, limits, continuidad, drivadas, dirnciabilidad, dirncial, unção composta, intgrais quaçõs dirnciais Esta rvisão vai tr por bas a sguint unção, 0 ( ) = (0) +, < 0 Trata-s d uma unção dinida por ramos, ond ist uma variávl dpndnt ( y = ( ) ) uma variávl indpndnt () Portanto, uma rvr º ramo: para 0 a unção stá dinida por º ramo: para < 0 a unção stá dinida por y = ( ) = ; y + = ( ) = /5

3 Rvisõs sobr unçõs rais d variávl ral i) Domínios Dinição 0: O domínio, D, d uma rvr, :, é o conjunto d valors da variávl indpndnt para os quais a unção stá dinida, ou sja, { : ( ) } D = Dinição 0: O contradomínio, obtidos quando prcorr o domínio da unção CD, d uma rvr, y = ( ), é o conjunto d valors d y { ( ) : } CD = y = D Emplo 0: A unção (0) stá dinida por ramos, portanto, para s calcular o su domínio, dv studar-s o domínio das unçõs dinidas nos sus ramos: º ramo: Apsar d s indicar qu nst ramo a unção é válida para 0, a unção dst ramo stá dinida para D = { : 0} = \{}, assim o domínio dst ramo é + + D 0 0 [ [ [ [ = \{} = \{} = 0, ; º ramo: Nss ramo a unção stá dinida para < 0, uma vz qu, o domínio da unção dst ramo é, ntão = = ],0[ D Portanto, azndo a runião dos domínios dos ramos, vm ] [ [ [ [ [ ] [ ] [ D = D D =,0 0, =, = \{} ii) Noçõs topológica Dinição 03: Sja X, 0 d a, a int( X ) d( a, r) X Rpar-s qu, int( X ) r > d( a, r) = { : a < r} = ] a r, a + r[ uma vizinhança X c c a t( X ) d( a, r) \ X = X (complmntar d X, X X ) c aront( X ) d( a, r) X d( a, r) X (ss não or nm intrior nm trior a X) /5

4 Rvisõs sobr unçõs rais d variávl ral Ests conjuntos são disjuntos dois a dois, isto é, int( X ) t( X ), int( X ) ront( X ) t( X ) ront( X ), a sua união é o univrso considrado, isto é, int( D ) t( D ) ront( D ) = Dinição 04: O conjunto X diz-s: abrto ss coincid com o su intrior chado ss coincid com a sua adrência, ad( X ) Xint( X ) ront( X ), ou sja, ss o su complmntar or abrto Rpar-s qu, t( X ) \ X limitado ss istir uma vizinhança d qu o contnha compacto ss or limitado chado Estas noçõs são importants, porqu, por mplo, só s podrá dinir drivada d uma unção num ponto intrior do domínio Emplo 0: Classiicação topológica do domínio da unção (0) Como oi visto, D = \{}, vindo: int( D ) = \{} = D, D é abrto; t( D ) = ; D = ront( ) { } ad( ) int( ) ront( ) \{} { } D = D = D D = = D, logo, D não é chado O conjunto D não é limitado (pois não ist uma vizinhança d qu o contnha) não é chado, logo não é compacto iii) Limits continuidad Dinição 05: Uma unção diz-s contínua num ponto a ss lim ( ) = ( a ) Por outro lado, caso a a unção não sja contínua nm prolongávl por continuidad ao ponto a, diz-s dscontínua nss ponto 3/5

5 Rvisõs sobr unçõs rais d variávl ral Emplo 03: A continuidad da unção (0), dv sr studada nos dois ramos no ponto d mudança d ramo, = 0 Para 0 (º ramo), a unção é contínua para ([ 0,[ ], + [ ) unção racional, por s tratar d uma Para < 0 (º ramo), a unção é contínua, pois trata-s d uma unção ponncial, qu é contínua m Para = 0, (0) = 0, lim ( ) = lim = lim ( ) = lim = Portanto lim ( ), uma vz qu, 0 lim ( ) lim ( ), logo a unção não é contínua nst ponto Pod concluir-s qu a unção é contínua m \ {0,} iv) Drivadas, dirnciabilidad dirncial Em gral, quando uma grandza y stá prssa m unção d outra, ou sja, y = ( ), obsrva-s qu, para uma dada variação = h d, ocorr, m corrspondência, uma variação y = d y, dsd qu y não sja uma unção constant Considrando a rcta r qu passa nos pontos ( 0, ( 0)) ( 0 +, ( 0 + )), portanto, scant à curva y = ( ), o dcliv dsta rcta é dado por m r ( 0 + ) ( 0 ) ( 0 + ) ( 0 ) = =, ( + ) 0 0 qu pod sr ncarado como uma mdida da «taa média d variação» d, por unidad d comprimnto, ntr os pontos (variação d y para cada variação unitária m, vlocidad média d crscimnto da unção) Conorm s aproima d zro, o ponto 4/5

6 Rvisõs sobr unçõs rais d variávl ral ( 0 +, ( 0 + )) aproima-s do ponto ( 0, ( 0)), a rcta continua scant ao gráico, sndo dtrminada por dois pontos cada vz mais próimos Na posição limit, quando 0, sta rcta passa a sr tangnt, r t, ao gráico da unção no ponto ( 0, ( 0)), com dcliv m r t = lim 0 ( 0 + ) ( 0 ) A drivada d uma unção d quação y = ( ) é uma unção d, qu por dinição é dada pla prssão dy d ( ) ( + ) ( ) = = ( ) = lim d d 0 A drivada é, portanto, um oprador matmático qu transorma uma unção noutra unção Num dtrminado ponto dá a taa d variação pontual ou instantâna da unção nss ponto, gomtricamnt corrspond ao dcliv da rcta tangnt ao gráico da unção y = ( ) nss ponto trigonomtricamnt corrspond à tangnt qu ssa rcta az com o io das abcissas (ou sja ( ) = tgα, ond α é o ângulo qu a rcta tangnt orma com o io horizontal, mdido no sntido anti-horário) Em particular, quando y = ( t) dscrv a posição d um objcto no instant t quando st s mov numa linha rcta, ( t) dscrv a vlocidad (instantâna) do objcto no instant t O cálculo das drivadas pod sr ctuado através da dinição ou plas rgras d drivação Dinição 06: Uma unção diz-s dirnciávl no ponto a, s or possívl aproimar a unção, m a, por uma aplicação linar Gomtricamnt st acto traduz-s m pla istência d uma rcta tangnt ao gráico d m a Qur dizr, s uma unção tivr drivada inita num ponto ntão é dirnciávl nss ponto Portanto, para rvr sr dirnciávl é quivalnt a sr drivávl Torma 0: S uma unção : D é dirnciávl num ponto a int( D ), ntão é contínua nss ponto ( ) dirnciávl ( ) é contínua ( ) contínua ( ) dirnciávl ( ) não contínua ( ) não dirnciávl 5/5

7 Rvisõs sobr unçõs rais d variávl ral Emplo 04: A dirnciabilidad da unção (0), dv sr studada nos dois ramos no ponto d mudança d ramo, = 0 Para 0 < (º ramo), a unção é dirnciávl ([ 0,[ ], + [ ), uma vz qu admit drivada inita nsts pontos Para = a unção não é dirnciávl por não sr contínua Para > 0 (º ramo), a unção é dirnciávl, uma vz qu a unção dinida nst ramo admit drivadas initas, por s tratar d uma unção ponncial Para = 0, a unção não é dirnciávl uma vz qu não é contínua nss ponto Not-s qu, (0 + ) = (0 ) =, logo não ist (0) consquntmnt, também não é dirnciávl nss ponto Pod concluir-s qu a unção é dirnciávl m \ {0,} dy Dinição 07: O dirncial da unção y = ( ) é dado por dy = d = ( ) d d Para rvr, y = ( ), pod calcular-s aproimadamnt a variação d y, ou sja, y, para uma variação,, m, m torno d um ponto = a utilizando dirnciais: y dy = ( a) d Isto rprsnta, na ralidad, qu s stá a aproimar a curva ( ) m torno d = a, por uma rcta tangnt qu passa por a, dada por, y '( a)( a) ( a) = + Por dinição, d (ininitsimais) = No ntanto, costuma-s usar d quando s trata d quantidads pqunas quando s trata d quantidads initas usadas na prática v) Gráicos Muitas vzs é important consguir uma visualização gráica duma unção, isto é, stablcr uma associação gométrica ntr cada ponto do su domínio rspctiva imagm, os valors do contradomínio Dinição 08: Din-s gráico, por G {(, y) : D, y ( ) } = = G, d uma unção : D ao lugar gométrico dado A rprsntação gráica d uma rvr az-s num spaço bidimnsional, G 6/5

8 Rvisõs sobr unçõs rais d variávl ral Emplo 05: Rprsntação gráica da unção (0) Para s construir o gráico d uma unção, é útil studar analiticamnt o comportamnto da msma, m particular, o domínio, as intrscçõs com os ios, as assíntotas, a monotonia a concavidad, aplicando os concitos até aqui aprsntados ) Domínio: Como oi visto, D = \{} ) Intrscçõs com os ios: Para 0, Eio das abcissas: ( ) = 0 = 0 = 0 0 = 0 = Ests valors são os zros da unção, qu stão dinidos qur no domínio dst ramo, qur no domínio da unção Eio das ordnadas: (0) = 0 Para < 0, Eio das abcissas: intrscta o io das abcissas ( ) = 0 + = 0, sta quação não tm solução Quando < 0 a unção não Eio das ordnadas: (0) = > 0 Apsar d D, st valor não prtnc ao domínio do º ramo da unção Quando < 0 a unção não intrscta o io das ordnadas 3) Assíntotas Vrticais (AV): Como a unção aprsnta dois pontos d dscontinuidad para = 0 =, é possívl tr assíntotas vrticais nsts pontos Para = 0, Para =, = 0 lim ( ) = lim = 0 + lim ( ) = lim = não é uma AV = = = lim ( ) lim 0 + = lim ( ) = lim = = é uma AV bilatral 7/5

9 4) Assíntotas não Vrticais (AV) ( y = m + b ): Rvisõs sobr unçõs rais d variávl ral Para > 0, sndo ( ) lim lim m = = = lim = b = lim [ ( ) m] = lim + lim + + = =, + conclui-s qu y = +, é uma assíntota oblíqua quando + Para < 0, sndo + ( ) m = lim = lim = 0 (há uma assíntota horizontal) b = lim [ ( ) m] = lim + 0 = 0, conclui-s qu y = 0, é uma assíntota horizontal quando 5) Etrmos monotonia: Para 0 : = = = + = ( ) + ( ) , sta quação é impossívl, portanto, ( ) não tm zros no º ramo (não tm trmos) como + < 0, tm-s ( ) < 0 Assim, ( ) é dcrscnt para 0 ( ) 0 Para < 0, + + ( ) = 0 ( ) = 0 = 0, quação impossívl, logo ( ) não tm zros no º ramo (não tm trmos) como ( ) > 0, < 0, ( ) é crscnt para < 0 6) Pontos d inlão Concavidad: Para 0 : ( ) = 0 = 0 = 0 3 ( ), é uma condição impossívl,, logo ( ) não tm zros no º ramo (não tm pontos d inlão) Mas, como ( ) < 0, quando 0 <, ( ) tm a concavidad virada para baio para 0 <, como ( ) > 0, quando >, ( ) tm a concavidad virada para cima para > Parábola com concavidad virada para baio 8/5

10 Rvisõs sobr unçõs rais d variávl ral Para < 0 : + + ( ) = 0 ( ) = 0 = 0 é uma condição impossívl, (não tm pontos d inlão), m particular para < 0, ond ( ) > 0, assim, ( ) tm a concavidad virada para cima para < 0 7) Quadro rsumo: 0 + ( ) + ( ) + + ( ) A igura sguint ilustra a rprsntação gráica da unção O gráico mostra qu a unção não é contínua na origm, qu a unção não admit trmos, m particular, qu = 0 não é um ponto d máimo da unção vi) Função composta Dinição 09: Sjam : D g : Dg duas rvr, a composta d g, dsignada por og, é dinida do sguint modo: i) O domínio d og é o conjunto D og ormado plos objctos Dg qu vriicam a condição g( ) D, i, D og = { Dg : g( ) D }; ii) Para cada D, ( og)( ) = [ g( )] og S g( Dg ) D, tm-s D og = Dg ; s g( Dg ) D =, og é a unção vazia 9/5

11 Rvisõs sobr unçõs rais d variávl ral Emplo 06: Supondo ( ) = =, ntão g( ) + ( og)( ) [ g( )] + = = = ( ) + ( + ) ( go )( ) = g[ ( )] = g = = = Vriica-s qu ( go )( ) ( og)( ) Dinição 00: As unçõs : D D : dizm-s invrsas s satisazm as duas sguints condiçõs: i) o = (unção idntidad), D ; ( )( ) ii) ( o )( ) =, D O símbolo dv sr smpr intrprtado como a invrsa d não como, o invrso d Emplo 07: Cálculo da invrsa da unção ordm a, vm, = Igualando a unção a y rsolvndo-a m g( ) + = ln = + = ln( ), portanto + y y y g ( ) = ln( ) Vriiqu-s, agora, qu as unçõs g( ) ln( ) + i) ( gog )( ) = g(ln( ) ) = = ; ii) ( g og)( ) = g ( ) = ln( ) = cqd g ( ), são invrsas: O rsultado qu sgu, prssa a drivada da composição og m trmos das drivadas d g, prmitindo drivar unçõs complicadas utilizando drivadas d unçõs mais simpls Torma (Rgra da cadia): S g é dirnciávl m é dirnciávl m g( ), ntão a unção composta og é dirnciávl m Para além disso ( og) ( ) = ( g( )) g ( ) Altrnativamnt, s y = ( g( )) u = g( ), ntão y = ( u) dy dy du = d du d 0/5

12 Rvisõs sobr unçõs rais d variávl ral Emplo 08: Cálculo da drivada d y = go, ond g são dadas no mplo 6 Do mplo 6, 3+ y = g[ ( )] =, prtnd-s calcular y = ( go ) ( ) Sja u = u+ = ( ) = = ( ( )), como y g u g dy du u+ = + ( ) du = d vm 3+ + u+ + dy dy du = = = d du d ( ) ( ) Obviamnt y = = = ( ) vii) Intgrais O cálculo d intgrais dinidos é d importância undamntal dvido às suas variadas aplicaçõs nas dirnts áras Considramos primitivas quando não istm trmos d intgração intgrais quando istm Primitivar pod sr considrado como a opração invrsa d drivar Por mplo, uma vz qu + + ( + C) =, ntão + d = + + C (sndo C uma constant) Esta última é considrada uma primitiva imdiata, a orma mais ácil d primitivar Pod-s vr qu uma unção tm ininitas primitivas qu dirm ntr si d uma constant Caso as primitivas não sjam imdiatas, dois métodos usuais d cálculo são: Primitivação por parts: Sja u = u( ) v = v( ), ntão pla drivada do produto ( uv) = u v + v u primitivando ambos os mmbros dsta igualdad rsulta P( uv) = P( u v + v u) uv = Pu v + Pv u Pu v = uv Pv u Emplo 09: Cálculo da primitiva + d, utilizando o método d primitivação por parts u = u = v = v = + + dond + d = + + d = ( ) + + C v u v u v u /5

13 Rvisõs sobr unçõs rais d variávl ral Primitivação por substituição: Para a qual s dá um mplo Emplo 00: Cálculo da primitiva substituição + d, utilizando o método d primitivação por + d Fazndo = u = ln( u) = d = du, substituindo na prssão original a nova = ( u) du u u + variávl, d = u du = du = u + C u, voltando à variávl original + d = u + C = + + C + u=, como sria d sprar Uma das aplicaçõs dos intgrais é no cálculo d áras Emplo 0: Cálculo da ára dlimitada plas condiçõs y > 0, Tndo m conta o gráico da unção (0), através d intgrais simpls: y + = 0 < A+ 0+ A+ A A A A A A ( 0) d = lim d = lim [ ] = lim [ ] = lim = > 0 Apsar d s tratar d um intgral impróprio, é possívl calcular sta ára Ou através d intgrais duplos: 0 + dyd = 0 Emplo 0: Cálculo da ára dlimitada plas condiçõs, y = 0 < < A ára pdida pod sr obtida através do cálculo d 0 d = 0 0 Como é uma unção racional imprópria (grau do numrador maior qu o do dnominador), azndo a divisão d polinómios, vm Dond = = = = > d d ln( ) 8 ln ( ) 0 0, /5

14 Rvisõs sobr unçõs rais d variávl ral viii) Equaçõs dirnciais As quaçõs dirnciais surgm m vários ramos da ngnharia Podm sr modlados por st tipo d quaçõs, nómnos ligados com, anális d circuitos, d sinais, mcânica d luidos, comportamnto stático dinâmico d struturas, propagação d ondas, ntr outros Dinição 0: Chama-s quação dirncial a uma quação qu stablc uma rlação ntr uma unção dsconhcida, as suas variávis indpndnts as drivadas dssa unção m ordm a uma ou a mais das variávis indpndnts S uma quação dirncial tivr uma única variávl indpndnt, diz-s ordinária (EDO); tndo mais do qu uma variávl indpndnt, a quação diz-s uma quação dirncial com drivadas parciais (quação dirncial parcial, EDP) A ordm d uma quação dirncial é igual à ordm da maior drivada qu nla s ncontra D uma manira gral, as EDO mais studadas são as d primira ordm: com variávis sparadas; homogénas; actas; linars d Brnoulli Dinição 0: Chama-s solução ou intgral d uma quação dirncial a toda a unção y = ( ) qu a vriiqu A solução gral d uma quação dirncial nvolv um númro d constants igual à ordm da quação, rprsntando por isso uma amília d linhas Uma solução particular, satisaz uma condição inicial Emplo 03: Considr-s um nómno qu pod sr dscrito por uma quação dirncial ordinária A vlocidad d um corpo é dinida como o spaço prcorrido por unidad d tmpo, ou sja, é a razão ntr a variação da posição spacial do corpo ( ) o intrvalo d tmpo corrspondnt ( t ), portanto = v Contudo, a vlocidad pod não sr constant, ou sja, pod t variar ao longo do tmpo Logo, por orma a obtr uma corrcta dscrição da vlocidad num dtrminado instant, dv-s ctuar mdiçõs m intrvalos d tmpo curtos Falámos assim d d uma vlocidad instantâna ( t 0 ), dada por ( t) = = v( t) (A drivada dá a taa d variação dt instantâna) Obtndo-s uma quação dirncial ordinária, a qual diz qu a vlocidad é, m cada instant, dada pla primira drivada d m ordm a t Essa drivada, d/dt, rprsnta a taa d variação do spaço prcorrido plo corpo ao longo do tmpo 3/5

15 Rvisõs sobr unçõs rais d variávl ral Emplo 04: Foi obsrvado qu a vlocidad d um automóvl varia ao longo do tmpo d t acordo com a sguint quação: v 00( ) =, com t m h (horas) v m km/h Sab-s ainda qu ao im d h o automóvl prcorru 50 km Obtnha uma quação qu dscrva a variação da distância prcorrida com o tmpo Do mplo 03, sab-s qu a taa d variação do spaço prcorrido por um corpo ao longo do d tmpo, é dada pla EDO, v( t) d = = dt =, nst mplo, t v( t) 00( ) dt A rsolução dsta quação rsulta d intgrar ambos os mmbros da quação d t t t = 00( ) d = 00( ) dt d 00( ) dt C dt = + t t = 00t + + C = 00t C, Como o spaço prcorrido dpnd do tmpo, a solução gral da EDO é ( ) = A t t t C vriicação dsta solução é ita através da substituição dsta prssão na quação dirncial original Nst mplo, d d t d t C dt dt dt t ( ) ( ) t t = = = = 00( ) = v( t) Aplicando a condição inicial t = h = 50 km, vm t C C 56, 77 = + + = Assim, a solução particular qu vriica a condição inicial imposta plo nunciado do problma é: t = Est mplo ilustra outra aplicação do cálculo intgral Emplo 05: Considr-s um nómno qu pod sr dscrito por uma quação dirncial parcial O movimnto d uma viga qu pod vibrar longitudinalmnt (i na dircção do io das abcissas) supondo-s pqunas vibraçõs, pod dscrito pla quação u t = c u A variávl u(, t ) é o dslocamnto longitudinal m rlação à posição d quilíbrio da scção transvrsal no ponto A constant c = E µ, ond E é o módulo d lasticidad (sorço dividido pla tnsão) dpnd das propridads da viga, µ é a dnsidad (massa por unidad d volum) 4/5