Uma Discussão Sobre o Método de Newton

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1 Uma Discussão Sobr o Método d Nwton Frnando Ricardo Morira Rodrigo Couto Santos Raimundo Rodrigus Goms Filho Hldr Barbosa Paulino 4 Rsumo O Método d Nwton é usado m quas todas as áras da matmática aplicada é part do programa da disciplina d cálculo numérico visto plos alunos dos cursos da ára d atas. Damos uma idéia d como o Método surgiu d como vio a consolidar-s ao longo d quas quatro séculos d dscobrimnto. Falamos um pouco a rspito d dois tipos d convrgência: a linar a quadrática. Na última part izmos alguns mplos por último dmonstramos um torma qu diz qu o Método convrg quadraticamnt dsd qu o ponto inicial da squência d Nwton sja tomado numa vizinhança apropriada da solução. Palavras-Chav : Convrgência, Squência, Taa d Convrgência. Discussion bout th Mthod o Nwton bstract Th Nwton mthod is usd in almost all aras o applid mathmatics and is part o th program o th disciplin o calculation numbr sn by th studnts o th courss in th ara o act. W an ida o how th mthod has mrgd and how to consolidat ovr narly our cnturis o discovry. W tal a just about two typs o convrgnc: th linar and quadratically. In th last part w hav mad som ampls and inally dmonstrat a thorm that says that th mthod convrgs quadraticly providd th starting point o th squnc o Nwton is tan in a nighborhood o th appropriat solution. Kywords: Convrgnc, Squnc, Convrgnc Rat. Método d Nwton. Histórico Idéias sobr o Método idéia básica do Método d Nwton é bastant simpls, consist na linarização d uma unção drivávl. Suponha : R R dirnciávl qurmos rsolvr a quação. Comçando d um ponto inicial podmos construir uma aproimação linar d m uma vizinhança d : ' Not qu pla quação antrior, tmos ' Matmático, UFG - Jataí, morirarmat@hotmail.com Engnhiro grícola, UFG - Jataí, rodrigoambincia@gmail.com grônomo, UFG - Jataí, rrgomsilho@hotmail.com 4 grônomo, UFG - Jataí, hldrlino5@yahoo.com.br Cntro Cintíico Conhcr - ENCICLOPÉDI BIOSFER, Goiânia, vol.5, n.8, 9

2 Portanto podmos assumir qu '. Qu tm solução, digamos ' gora, s ' rptimos o procsso ncontramos ' Portanto, na -ésima itração, s ', ncontramos ' quação antrior nos motiva para a sguint dinição. Dinição.. squência do método d Nwton para rsolvr ond é uma unção drivávl é a squência dada pla sguint rgra d rcorrência: ',,,... Obsrvação.. Para sta dinição azr sntido tmos qu garantir qu Ι, isto é, qu stja no domínio d qu ' para todo,,,... idéia do método é atamnt sta, o uso da prssão linarizada d uma unção drivávl m lugar da própria unção, visto qu a prssão m qustão é uma boa aproimação local da unção Para ntndr mlhor o qu signiica boa aproimação local d uma unção vja [5]. O método oi proposto por Isaac Nwton m 669 para ncontrar raízs d unçõs polinomiais. Pouco tmpo dpois, m 69 J. Raphson tndu o método para unçõs rais quaisqur. Por isso é muito comum, na litratura, o método sr chamado método d Nwton-Raphson. consolidação do método stá ligada a amosos matmáticos como L.. Cauchy, J. Fourir ntr outros. Em 88, Fourir provou qu o método convrgia quadraticamnt dsd qu o ponto inicial oss tomado m uma vizinhança da solução procurada, nquanto Cauchy mostrou qu o método s tnd naturalmnt para unçõs d várias variávis usou o método para provar a istência d raízs d algumas quaçõs. Em 96, os matmáticos Fin Bnnt dram mais contribuiçõs para o método. Fin m [] provou a convrgência para o caso n-dimnsional sm a hipóts d istência d solução. Bnnt m [] tndu o rsultado para o caso d dimnsão ininita. Mais rcntmnt, m 948, L. V. Kantorovich m [4] provou a istência d solução a convrgência do método para opradors T: B B ond B B são spaços d Banach T é um oprador dirnciávl qualqur. Os rsultados d Bnnt Kantorovich mrcm um dstaqu spcial pois oram obtidos ants da dscobrta dos undamntos da nális Funcional. Para mais inormaçõs sobr o dsnvolvimnto do método outros rsultados vja [6, 7, 8].. Taa d Convrgência Qurmos tratar agora da taa d convrgência. Dinirmos dois tipos d convrgência: a linar a quadrática. Vamos mostrar qu a vlocidad da convrgência quadrática é bm maior do qu a da linar. Darmos um sntido prciso sobr o qu signiica vlocidad d uma convrgência. Para isso considrmos { } R uma squência convrgnt. Digamos, lim R. Cntro Cintíico Conhcr - ENCICLOPÉDI BIOSFER, Goiânia, vol.5, n.8, 9

3 Dinição.. Sobr a Taa d Convrgência Erro comtido i { } convrg linarmnt para s ist c [,] tal qu c,,,,... ii { } convrg quadraticamnt para s ist c > tal qu c,,,,... iii o rro comtido na -ésima itração é,,,,... gora darmos sntido ao qu rrimos antriormnt como vlocidad d uma convrgência. Convrgência Linar c c,,,,... Suponha qu na -ésima itração tnhamos n c Esta dsigualdad signiica qu o rro é da ordm d n, m outras palavras, qu tm plo mnos n dígitos atos. D tmos, n c log log c log n log c n log, c, log n log log c n log log c log c D sgu qu, para dobrar o númro d dígitos atos srá ncssário dobrar o númro d itraçõs, isto é n log n log log c log c log c log c Convrgência Quadrática c c 4 D ato, por indução tmos: c Suponhamos qu 4 sja valida para vamos provar qu val para. Not qu c c c c Cntro Cintíico Conhcr - ENCICLOPÉDI BIOSFER, Goiânia, vol.5, n.8, 9

4 4 portanto val para. Suponha qu na -ésima itração tnhamos c n D 5 tmos, n c log log c n log log log c log n log c log c n log c n log c 6 log c log c Ond assumimos, sm nnhuma prda d gnralidad, qu c,. D 6 sgu qu para dobrar o númro d dígitos atos srá ncssário apnas mais uma itração, isto é c n log c n log log c log c log c log c Obsrvação.4. Suponhamos qu : I R é uma unção drivávl. Sja { } a squência grada plo método d Nwton. Suponha qu { } stá bm dinida, isto é, I N qu convrg para algum, ntão. D ato, a quação 4 é quivalnt à quação ' gora azndo na última igualdad tmos qu '. Portanto. ssumimos qu é contínua m I, o mnor conjunto chado contnto o conjunto I. Ilustrarmos agora com alguns mplos numéricos. Emplo.5. Considr a unção : R R dada por Not qu implica qu ' R / gora obsrv qu,,,,... ssim: Cntro Cintíico Conhcr - ENCICLOPÉDI BIOSFER, Goiânia, vol.5, n.8, 9

5 5 Para a squência d Nwton oscila ntr ; Para < a squência d Nwton convrg para com taa cúbica! Para > a squência d Nwton divrg. Obsrvação.6. Not qu ', também qu portanto { } tm convrgência cúbica para <. Emplo.7. Considr a unção : R R dada por. Not qu implica qu. Tmos qu ' para Vja qu R { }, ',,,... a sqüência convrg, isto é, lim. Como / tmos qu a convrgência é linar. Obsrv ainda qu nst mplo. Emplo.8. Considr a unção :, R dada por Not qu implica qu. Tmos qu ' R, ',,,... Obsrv qu: implica qu, > tmos,. Dsta orma a squência não stá bm dinida; S < < ntão a squência stá bm dinida convrg para. Emplo.9. Considr a unção : R R dada por. Not qu implica qu as raízs da quação são,. Obsrv qu. Com isso tmos qu ' ssim: ',,,,... i Para / 5 a squência d Nwton oscila ntr / 5 / 5 ; Para / tmos qu. Portanto, a squência d Nwton é inita convrg; Para / tmos qu. Portanto a squência d Nwton é inita convrg; Cntro Cintíico Conhcr - ENCICLOPÉDI BIOSFER, Goiânia, vol.5, n.8, 9

6 6 ii Tomando, , isto é, a raiz ral do polinômio d trciro grau tmos qu logo /. ssim, o método d Nwton gra um ponto singular da drivada, nst caso, a squência d Nwton não stá bm dinida. Not qu /, <, < / 5, Para inalizar dmonstrarmos um torma sobr a convrgência local da squência grada plo método d Nwton para ncontrar uma solução da quação. Mostrarmos qu é possívl obtr convrgência quadrática dsd qu o ponto inicial sja tomado numa vizinhança da solução singular. qu ' sja não Torma.. Sja : I R uma unção d class C Sr d class C I signiica podr sr drivávl vzs. Suponha qu ista tal qu '. Então istm B > ε > tal qu para todo ε, ε a sqüência ',,,... stá bm dinida, convrg para B,,,... Dmonstração. Como ' é d class C istm constants, B > δ > tais qu '' ' B para todo δ,. δ B Sja ε min δ,, assim para todo ε, ε tmos '' ' B. Dado ε, suponhamos qu ε ε, ε. Então ist c ntr tal qu ' '' c quivalntmnt, ' ' c '' Cntro Cintíico Conhcr - ENCICLOPÉDI BIOSFER, Goiânia, vol.5, n.8, 9

7 7 ou ainda ' ' '' c Da última prssão tmos, '' c 7 ' D 7 tmos '' c 8 ' B gora mostrarmos qu a squência convrg. D 8 tmos B B B ε B B ssim da última dsigualdad tmos a convrgência da squência concluindo a prova do torma. Obsrvação.. Na prova do torma antrior assumimos qu s ε, ε ntão ε, ε. Isso pod sr dmonstrado assumindo a hipóts d qu sja localmnt Lipschitz, como assumimos qu é d class C tmos qu é localmnt Lipschitz. Rrências Bibliográicas: [] Bnnt,.., Nwton s Mthod in Gnral nalysis, Proc. Nat. cad. Sci. US, 96, p [] Dnnis, J. E. Jr, Schnabl, R. B., Numrical Mthods or Unconstraind Optimization and Nonlinar Equations Classics in pplid Mathmatics, SIM 996. [] Fin, H., On Nwton s Mthod o pproimation, Proc. Nat. cad. Sci. US, 96, p [4] Kantorovich, L. V., On Nwton s Mthod or unctional Equations, Dol. ad. Nau SSSR, 597, 948, p [5] Lima, E. L. Curso d nális. Vol., Projto Euclids, IMP 995. [6] Mathws, J. H., Bibliography or Nwton s Mthod. Disponívl m < smthodbib/lins/n wton smthodbibln.html>. csso m 5/abr/9. [7] Polya, B. T., Nwton-Kantorovich. Mthod and its Global Convrgnc. Zap. Nauchn. Sm. S.-Ptrburg. Otdl. Mat. Inst. Stlov. POMI 4. [8] Ypma, T, J., Historical Dvlopmnt o th Nwton-Raphson Mthod. SIM Rviw, 74, 995, p Cntro Cintíico Conhcr - ENCICLOPÉDI BIOSFER, Goiânia, vol.5, n.8, 9