Física Moderna II Aula 16

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Osvaldo João Lucas Antas
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Univrsidad d São Paulo Instituto d ísica º Smstr d 015

d Souza Santos Sala 09 Ala Cntral Plantão d Dúvidas: Sala

1 Univrsidad d São Paulo Instituto d ísica º Smstr d 015 Profa. Márcia d Almida Rizzutto Oscar Sala sala 0 rizzutto@if.usp.br ísica Modrna II Monitor: Gabril M. d Souza Santos Sala 09 Ala Cntral Plantão d Dúvidas: Sala 0, Ala Cntral Sgunda-fira, 18 às 19. gabril.marinllo.santos@usp.br Página do curso: ttp://disciplinas.stoa.usp.br/cours/viw.pp?id=6671

2 Modlo d létrons livrs m um mtal Vimos qu quando considramos um poço D )(limits da rd cristalina) a dnsidad d stados (númro d stados)pod sr scrito como: π m V 1/ 1/ g( ) 4π m V Ocupação dos stados (distribuição d rmi): No caso d létrons g( ) f 1 1 ( ), com / ( 1 )/ 1 Normalização: s T = 0 K stados populados só até f() = 1, s < f() = 0, s >. st assunto sta no capitulo 10. Tiplr ntão a ocupação dos stados d nrgia do gás d, fica: 1/ 4πV (m) d n( ) f ( ) g( ) d ( )/ 1 ísica Modrna

3 g() 1,0 0,8 0,6 1/ X = 0,4 0, 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1/ 4πV (m) d n( ) d f ( ) g( ) d ( )/ 1 g( ), n ( ) d 0, N 0 n( ) d 4πV (m) 0 1/ d 4πV (m) (0) m N 8πV / ísica Modrna xprssão dfin a nrgia d rmi ( ) m T = 0 K

4 / N ( 0) m 8πV m 8π / com = N/V. aumnta lntamnt com já qu os stados stão ocupados. Aumntar N/V quival aumntar o n o d stados d nrgia a srm ocupados f D () f D () 1 1 Vmos ntão qu, à mdida qu mais partículas são adicionadas ao sistma, crsc. S a tmpratura stivr ligiramnt acima d 0 K, dixa d sr a nrgia do último stado ocupado é dfinida como a nrgia m qu n() = ½; à mdida qu T aumnta, diminui. Para tmpraturas suficintmnt altas, ~ 0, implicando qu todos os stados, a probabilidad d ocupação inicia m ~1/ cai como Boltzmann. Mas nss caso xtrmo, somm os fitos quânticos. ísica Modrna 4

5 A nrgia total do sistma, m T = 0 K, é: Mas N 0 n( ) d 4πV (m) d 0 4πV (m) N 5 4πV (m) n( ) 5 4πV (m) 5/ (0) Notm qu, msmo m T = 0 K, o último férmion adicionado, aqul com nrgia, tm vlocidad dada por: 1/ d 5 1 mv v m No caso d 1 - d condução m um mtal típico ( ~ 5 V) a vlocidad d rmi é da ordm d 10 6 m/s (a 0 K!). ísica Modrna k k 1, v/ K A tmpratura d rmi é dfinida como: T = /k. J / K 1,8.10 x6, v/ K

6 A nrgia total do sistma é: N PV N nrt qu nos rmt à concida xprssão da li dos gass idais. Nós vimos qu as distribuiçõs quânticas s rduzm à clássica quando é muito grand. Podmos scrvr as funçõs d distribuição como: f (ε) 1 ε 1 1 ε ε com o sinal d cima valndo para férmions o d baixo para bósons. A distribuição d Boltzmann é obtida fazndo o dnominador igual a 1, o qu é quivalnt a 1 ε Vamos tntar uma aproximação um pouco mlor fazr uma xpansão binomial (para x << 1): 1 1 x 1 x x Nss caso a distribuição fica: f (ε) ε 1 ε A partir dss rsultado, sguindo um camino um pouco trabaloso, pod-s mostrar qu a li dos gass pod sr scrita como: ísica Modrna 6

7 PV N 1 N V 5/ No caso da nrgia média, por partícula, do sistma, tmos: N N 1 5/ V Substituindo o valor do comprimnto d onda térmico: N 1 1 5/ N V πm / Tmos a nrgia média por partícula + férmions bósons Daí pod-s prcbr qu a nrgia média d um gás d férmions é um pouco suprior à d um gás idal, nquanto à d um gás d bósons é um pouco mnor. Valor do trmo d corrção é boa indicação da ncssidad, ou não, d s usar as distribuiçõs quânticas. S o trmo d corrção << 1 a distribuição d Boltzmann ( os rsultados dcorrnts dla) são OK. ísica Modrna 7

8 Vimos qu a função distribuição n() para létrons é dscrita pla figura ao lado. o n o xato d - dpnd da tmpratura (forma da curva) qu muda com T. A nrgia total do sistma nos gás d rmi a qualqur tmpratura: n( ) d 0 8πV (m 1 d 1 Sommrfild obtv na tmpratura ambint = /4 ) 1/ 0 N N Podmos agora stimar a contribuição do gás d létrons para o calor spcífico molar: m T=0 vimos qu a nrgia média do létron é dada por: a nrgia total é: N 5 m uma tmpratura T apnas os - qu stão próximos ao nívl rmi podrão sr xcitados por colisõs com os íons da rd, qu possum uma nrgia. A fração dos - qu podm sr xcitados é da ordm d /, a cada colisão faz a nrgia dsts - aumntar d um valor. - 5 Constant >1 5 ísica Modrna 8

9 A contribuição dos létrons para o calor spcífico molar: C V d dt N A k T S voltarmos na tabla d tmpraturas d rmi vmos qu T ~ 10 4 K, portanto para T=00K a contribuição dos létrons livrs do mtal para o C v do matrial é: C V 00 R 6R Cv ~ 10 - R (qu é o valor mdido xprimntalmnt). ss valor é muito mnor qu a contribuição R qu vm das nrgias d oscilação dos átomos nos matriais não condutors qu forma a rd, ou dos íons dos matriais condutors da rd do sólido. NC076 - isica Modrna Aula 19 C R xrcício Calcular a contribuição ltrônica ao calor spcífico molar do ( T=9K) A) cobr T =8.1x10 4 K c 9 V R R 4 8.1x10 4 B) prata T =6.6x10 4 K c 9 V R 0. 0R 4 6.6x10 4 Vmos qu a contribuição ltrônica para o calor spcífico molar não é muito difrnt para sts condutors, mas é muito pquno comparado com R 9 V N 5 T T N

10 Condução létrica m mtais létrons livrs no mtal gás d -. Movimnto alatório dntro do poço. Camino livr médio:. xtrno aplicado aclração ntr colisõs vlocidad d arrasto: v d. a a tcolis vd atcolis m v v mv S tivrmos n - d condução por unidad d volum, a dnsidad d corrnt for j, tmos: j vd j n mv -1 mv n n mv Li d Om: j = Notm qu matriais qu obdcm a li d Om, nm a rsistividad nm a condutividad dpndm d. ísica Modrna 10

11 Condução létrica m mtais Caso do fio d Cu, com 4 mm 10 A ( Cu = 9 g/cm, M Cu = 6,5 g/mol), dtrmin a vlocidad média d arrasto dos létrons nst fio: 1 mv v m 1 v mv 5 6 5m. 5m 5 v 5 0,77 v 0,77v v 0,771, ,10 6 m/s n N M Cu A 8 8,5 10 létrons/cm 8,5.10 / Cu ,5 m vlocidad d arrasto: v d. 6 j ) vd n 8 8,5 10 1,6 10 ( 4 1, A/m 19 m C m/s 11

12 v d at colis a v mv v d n j ) 8 8,5 10 1,6 10 ( 4 1, A/m 19 m C m/s Voltando ao modlo d condutividad létrica, podmos dfinir a mobilidad: v d assim, podmos scrvr a condutividad como: n mv D forma mais abrangnt, dvmos dfinir a condutividad como: nq n n pq p p ond n p dsignam os portadors d carga ngativa positiva, rspctivamnt. Portadors d carga positivos (transição d létrons da banda d valência para a banda d condução dixando buracos vazios na banda d valência) 1

13 létrons livrs m um mtal final Analisamos os - como férmions m uma caixa D (poço infinito). Sabmos, no ntanto, qu - são capazs d dixar o mtal (foto-létrico, missão trmiônica( procsso d missão d létrons d um filamnto aqucido), tc.), portanto o poço tm uma profundidad finita. Sabndo qu a ocupação dos stados dv obdcr a uma distribuição d rmi qu os mtais possum um valor caractrístico d função trabalo (W) qu os - d nrgia mais alta prcisam rcbr sta quantidad d nrgia (W) para srm arrancados. Qual a profundidad do poço? S o poço tm profundidad V 0, os - d nrgia mais alta têm. sss prcisam d W para srm arrancados. Assim: V 0 = + W. Com ss modlo podmos ntndr fnômnos como o potncial d contato ntr mtais a missão trmiônica, fito fotolétrico ísica Modrna 1

14 Para a Ag W=4,7V =5,5V d tal modo qu V o =10, V. Para a maioria dos mtais V o stá ntr 5 15V Logo s tmos a profundidad do poço a função trabalo podmos dtrminar a nrgia d rmi pois: V 0 = + W. Agora vamos trabalar mais com sólidos ai podrmos comprndr mlor porqu alguns matriais são condutors outros não... ísica Modrna 14

15 Moléculas Moléculas é uma colção d ou mais núclos sus létrons associados, com todas as ligaçõs complxas unidas plas forças A aplicação da mcânica quântica prmitiu à física molcular xplicar a strutura das moléculas dos dtals dos sus spctros. xplica porqu átomos d H s juntam formam uma molécula porqu átomos d H não formam uma molécula pontos d vista: conjunto d núclos - ; associação d átomos. Abordagm corrta: combinação linar das duas, pois os átomos prdm algumas d suas caractrísticas, mas mantém muitas outras. Os - xtrnos mudam muito, mas os intrnos nada. orças intratômicas são ltromagnéticas os - xtrnos dominam os procssos. Os tipos mais importants d ligação molcular são: covalnt, iônica, dipolodipolo (Van dr Waals) ligaçõs mtálicas. ísica Modrna Quando dois átomos s combinam d tal Quando dois átomos s modo qu um ou mais - são divididos plos combinam d tal modo qu um ou átomos mais - são transfridos d 15 um para outro átomo

16 Todos os tipos d ligação molcular s dvm ao fato da nrgia total da molécula sr mnor do qu a soma das nrgia dos átomos qu a compõm Quando dois átomos s combinam d tal modo qu um ou mais - são transfridos d um para outro átomo st é o tipo mais fort d ligação stá prsnt na maioria dos sais Ligaçõs iônicas Vjamos o KCl: Para a molécula d KCl sr stávl tmos qu tr: (KCl) < (K) + (Cl) quando os átomos d K Cl stão m rpouso muito distants um do outro. K (Z=19) 1s,s,p 6,s,p 6,4s 1 Cl(Z=17) 1s,s,p 6,s,p 5 alta um - para compltar a camada, quando rcb um - fica íon ngativo A rmoção do létron dixa o íon positivo ísica Modrna 16

17 KCl nrgia ncssária para formar KCl a partir d K + Cl - é: 4,4-,6=0,7V ísica Modrna 17

18 A nrgia potncial total U da molécula KCl: Potncial ltrostático k U ( r) xcl r Ion nrgia ncssária para formar KCl a partir K + Cl - é: 4,4-,6 = 0,7V xcl nrgia d rpulsão dvida ao princípio d xclusão: xcl = Ar n com A n constants para cada molécula. Gráfico d p por distância ntr os dois íons nrgia d rpulsão (princípio d xclusão) Ion nrgia d ionização total r 0 = 0,7 nm nrgia d dissociação = 4.40 V 18

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