AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MORTÁGUA Ficha de Trabalho nº3 - Funções - 12º ano Exames 2000 a 2003

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1 AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MORTÁGUA Ficha d Trabalho nº - Funçõs - 1º ano Eams 000 a 00 1.Admita qu, ao longo dos séculos XIX XX dos dois primiros anos do século XXI, a população d 6, Portugal Continntal, m milhõs d habitants, é dada, aproimadamnt, por p(t), 5 0, 06t 11, (considr qu t é mdido m anos qu o instant t=0 corrspond ao início do ano 164). a) D acordo com st modlo, qual srá a população d Portugal Continntal no final do prsnt ano? Aprsnt o rsultado m milhõs d habitants, arrdondado às décimas. b) Sm rcorrr à calculadora (a não sr para ftuar vntuais cálculos numéricos), rsolva o sguint problma: D acordo com st modlo, m qu ano a população d Portugal Continntal foi d,7 milhõs d habitants? (00).Uma rampa d dsportos radicais foi construída ntr duas pards, A B, distanciadas d 10 mtros, como s mostra na figura. Considr a função h dfinida por h() 15 4ln( 10 11). Admita qu h() é a altura, m mtros, do ponto da rampa situado a mtros à dirita da pard A. a) Dtrmin a altura da pard A. Aprsnt o rsultado m mtros, arrdondado às décimas. b) Sm rcorrr à calculadora, stud a função h quanto à monotonia conclua daí qu, tal como a figura sugr, é num ponto quidistant das duas pards qu a altura da rampa é mínima. c) Mostr, analiticamnt, qu h( 5 ) h( 5 ). Intrprt sta igualdad no contto da situação dscrita. (00).D uma função f, d domínio IR, sab-s qu a sua drivada é dada por f'() ( 1) 10. Sja A o único ponto d inflão do gráfico d f. Rcorrndo às capacidads gráficas da sua calculadora, dtrmin a abcissa do ponto A, arrdondada às décimas. Epliqu como procdu. Inclua, na sua plicação, o(s) gráfico(s) qu obtv na calculadora. (00) 4.Num laboratório foi colocado um purificador d ar. Num dtrminado dia, o purificador foi ligado às zro horas dsligado algum tmpo dpois. Ao longo dss dia, o nívl d poluição do ar diminuiu, nquanto o purificador stv ligado. Uma vz o purificador dsligado, o nívl d poluição do ar comçou d imdiato a aumntar. Admita qu o nívl d poluição do ar no laboratório, mdido m mg/l d ar, às t horas dss dia, pod sr ln(t 1) dado por P(t) 1, t 0, 4, (ln dsigna logaritmo d bas ). t 1 a) Qual é o nívl d poluição à uma hora trinta minutos da tard? Aprsnt o rsultado na unidad considrada, arrdondado às décimas. b) Sm rcorrr à calculadora, a não sr para ftuar vntuais cálculos numéricos, rsolva o sguint problma: Quanto tmpo stv o purificador d ar ligado? Aprsnt o rsultado m horas minutos (minutos arrdondados às unidads). (00) 5.Prov qu, para qualqur função quadrática g, ist um um só ponto do gráfico ond a rta tangnt é paralla à bisstriz dos quadrants ímpars. (00)

2 6.O nívl N d um som, mdido m dcibéis, é função da sua intnsidad I, mdida m Watt por mtro 1 quadrado, d acordo com a igualdad N 10 log1010 I, para I 0. Utilizando métodos clusivamnt analíticos, rsolva as duas alínas sguints. a) Vrifiqu qu N log10 I. b) Admita qu o nívl d ruído d um avião a jato, ouvido por uma pssoa qu s ncontra na varanda d um aroporto, é d 140 dcibéis. Dtrmin a intnsidad dss som, m watt por mtro quadrado. (00) 7.Sja f uma função contínua, d domínio 0, 5 contradomínio, 4. Sja g a função, d domínio 0, 5, dfinida por g() f(). Prov qu a função g tm, plo mnos, um zro. (00).Uma nova mprsa d rfrigrants prtnd lançar no mrcado mbalagns d sumo d fruta, com capacidad d dois litros. Por qustõs d markting, as mbalagns dvrão tr a forma d um prisma quadrangular rgular. a) Mostr qu a ára total da mbalagm á dada por A() ( é o comprimnto da arsta da bas, m dm; rcord qu 1 litro=1dm ). b) Utilizando métodos clusivamnt analíticos, mostr qu ist um valor d para o qual a ára da mbalagm é mínima dtrmin-o. (00) 9.Doss trapêuticas iguais d um crto antibiótico são administradas, pla primira vz, a duas pssoas: a Ana o Carlos. Admita qu, durant as doz primiras horas após a tomada simultâna do mdicamnto pla Ana plo Carlos, as concntraçõs d antibiótico, mdidas m miligramas por litro d sangu, são dadas, t 0, 7t rsptivamnt, por A(t) 4t C(t) t. A variávl t dsigna o tmpo, mdido m horas, t 0, 1. qu dcorr dsd o instant m o mdicamnto é tomado a) Rcorrndo a métodos analíticos utilizando a calculadora para ftuar cálculos numéricos, rsolva as duas alínas sguints. a. 1 ) Dtrmin o valor da concntração dst antibiótico no sangu da Ana, quinz minutos dpois d la o tr tomado. Aprsnt o rsultado, m miligramas por litro d sangu, arrdondado às cntésimas. a. ) No instant m qu as duas pssoas tomam o mdicamnto, as concntraçõs são iguais (por srm nulas). Dtrmin quanto tmpo dpois as concntraçõs voltam a sr iguais. Aprsnt o rsultado m horas minutos (minutos arrdondados às unidads). b) Considr as sguints qustõs: I. Quando a concntração ultrapassa 7,5 miligramas por litro d sangu, o mdicamnto pod tr fitos scundários indsjávis. Esta situação ocorrrá, nst caso, com alguma dstas duas pssoas? Caso afirmativo, com qum? E m quantos miligramas por litro o rfrido limiar srá ultrapassado? II. Dpois d atingir o nívl máimo, a concntração comça a diminuir. Quando fica infrior a 1 miligrama por litro d sangu, é ncssário tomar nova dos do mdicamnto. Qum dv tomá-la primiro lugar, a Ana ou o Carlos? E quanto tmpo ants do outro? Us as capacidads gráficas da sua calculadora para invstigar stas duas qustõs. Numa composição, com crca d dz linhas, plicit as conclusõs a qu chgou, justificando dvidamnt. Aprsnt, na sua rsposta, os lmntos rcolhidos na utilização da calculadora: gráficos coordnadas d alguns pontos (coordnadas arrdondadas às décimas). (00)

3 10. Malmqurs d Baio é uma população com 5000 habitants. a) Num crto dia ocorru um acidnt nssa povoação, qu foi tstmunhado por algumas pssoas. Admita qu t horas dpois do acidnt, o númro (prsso m milhars) d habitants d Malmqurs d Baio 5 qu sabiam do ocorrido ra, aproimadamnt, f ( t), t 0. Rcorrndo clusivamnt a 0, t 114 procssos analíticos, stud a função f quanto à monotonia quanto à istência d assimptotas do su gráfico. Intrprt as conclusõs a qu chgou, no contto do problma. b) Alguns dias dpois, ocorru outro acidnt no msmo local, tstmunhado plas msmas pssoas. No ntanto, nst sgundo acidnt, a notícia propagou-s mais dprssa, no sntido m qu, dcorrido o msmo tmpo após o acidnt, mais pssoas sabiam do ocorrido. Admita qu, t horas dpois dst sgundo acidnt, o númro (prsso m milhars) d habitants d Malmqurs d Baio qu sabiam 5 do ocorrido ra, aproimadamnt, g(t), t 0 (para crtos valors d a b). Numa pquna bt 1 a composição, com crca d dz linhas, rfira o qu pod garantir sobr os valors d a d b, comparando cada um dls com o valor da constant corrspondnt da prssão d f. (001) 11. Considr a função f, d domínio IR +, dfinida por f() = -ln.utiliz métodos clusivamnt analíticos para rsolvr as duas alínas sguints: a) Estud, analiticamnt, f quanto à istência d assimptotas do su gráfico. b) Mostr, analiticamnt, qu a função f tm um único mínimo. c) O gráfico f contém um único ponto cuja ordnada é o quadrado da abcissa. Rcorrndo à calculadora, dtrmin um valor aproimado para a abcissa dss ponto. (Aprsnt o rsultado arrdondado às décimas). Epliqu como procdu (na sua plicação, dv incluir o gráfico, ou gráficos, qu considrou para rsolvr sta qustão). (001) 1. D uma função g, d domínio IR +, sab-s qu a bisstriz dos quadrants ímpars é uma assímptota do su gráfico. Sja h a função, d domínio IR + g(), dfinida por h(). Prov qu o io OX é uma assímptota do gráfico d h. (001) 1. Considr qu a altura A (m mtros) d uma criança do so masculino pod sr prssa, aproimadamnt, m função do su pso p (m Kg), por A(p) = -0,5+0,55ln(p). Rcorrndo a métodos analíticos utilizando a calculadora para ftuar cálculos numéricos, rsolva as duas alínas sguints. a) O Ricardo tm 1,4 m d altura. Admitindo qu a altura o pso do Ricardo stão d acordo com a igualdad rfrida, qual srá o su pso? Aprsnt o rsultado m Kg arrdondado às unidads. b) Vrifiqu qu, para qualqur valor d p, a difrnça A(p) - A(p) é constant. Dtrmin um valor aproimado dssa constant ( com duas casa dcimais) intrprt ss valor, no contto da situação dscrita. (001) 14. Um ptroliro, qu navgava no Ocano Atlântico, ncalhou numa rocha sofru um rombo no casco. Em consquência disso, comçou a drramar crud. Admita qu às t horas do dia a sguir ao do acidnt, a ára, m Km, d crud spalhado sobr o ocano é dada por A(t) = 16 0,1t, t0, 4 A( t 1) a) Vrifiqu qu, para qualqur valor d t, é constant. Dtrmin um valor aproimado dssa A( t) constant (arrdondado às décimas) intrprt ss valor, no contto da situação dscrita. b) Admita qu a mancha d crud é circular, com cntro no local ond o ptroliro ncalhou. Sabndo qu ss local s ncontra a 7 Km da costa, dtrmin a qu horas, do dia a sguir ao do acidnt, a mancha d crud atingirá a costa. Aprsnt o rsultado m horas minutos (minutos arrdondados às unidads). (001)

4 15. A prssão atmosférica d cada local da Trra dpnd da altitud a qu st s ncontra. Admita qu a prssão atmosférica P (mdida m quilopascal) é dada, m função da altitud h (m Km), por 0,1h P( h) 101. a) A montanha mais alta d Portugal é o Pico, na Ilha do Pico Açors. A altitud do cum do Pico é 50 mtros. Qual o valor da prssão atmosférica, nss local? Aprsnt o rsultado m quilopascal, arrdondado às unidads. 1 b) Dtrmin tal qu, para qualqur h, P( h ) P( h). Aprsnt o rsultado arrdondado às décimas. Intrprt o valor obtido, no contto do problma. (000) 16. Considr a função f d domínio IR, dfinida por f ( ) ( ). Rcorrndo clusivamnt a procssos analíticos, rsolva as alínas sguints: a) Vrifiqu qu f '( ) ( 1) dtrmin uma quação da rta tangnt ao gráfico d f, no ponto d abcissa 0. b) Estud f quanto ao sntido das concavidads quanto à istência d pontos d inflão. (000) 17. Um laboratório farmacêutico lançou no mrcado um novo analgésico: o AntiDor. A concntração dst mdicamnto, m dcigramas por litro d sangu, t horas após sr administrado a uma pssoa é dada por 0,6t C( t) t ( t 0) a) Rcorrndo clusivamnt a procssos analíticos, dtrmin o valor d t para qual é máima a concntração d AntiDor no sangu d uma pssoa qu o tnha tomado. Calcul o valor dssa concntração máima, aprsntando o rsultado na unidad considrada com aproimação às décimas. b) O msmo laboratório ralizou uma campanha d promoção dst mdicamnto, basada no slogan AntiDor Ação Rápida prolongada! Numa brv composição, d 60 a 10 palavras, comnt o slogan tndo m conta qu: - para a maioria das dors, o AntiDor só produz fito s a sua concntração for suprior a 1 dcigrama por litro d sangu; - d acordo com uma associação d dfsa do consumidor, um bom analgésico dv comçar a produzir fito, no máimo, mia hora após tr sido tomado, a sua ação dv prmancr durant, plo mnos, 5 horas (após tr comçado a fazr fito). Nota: na rsolução dsta qustão dv utilizar as capacidads gráficas da sua calculadora nriqucr a sua composição com o traçado d um ou mais gráficos. (000) 1. Considr a função f, d domínio IR\{1}, dfinida por f ( ). Rcorrndo a procssos analíticos, 1 rsolva: a) Estud a função f quanto à monotonia quanto à istência d trmos rlativos. b) Rsolva a quação lnf()=. c) Estud a função f quanto à istência d assimptotas vrticais horizontais do su gráfico. (000) 19. Considr uma função f d domínio IR +. Admita qu f é positiva qu o io O é assímptota do gráfico d f. Mostr qu o gráfico da função f 1 não tm assímptota horizontal. (000) Soluçõs: 1.a) 9, b) 17.a) 5, 4 b) 5 ) 1, 4.a) 0, b) 1h 4m 6.b) 100.b) 9.a1 ) 0, 05 a c), m 1.a) b) 0, 14.a) 11, 10 b) hm 15.a) 76 b) 5, 16.a)y b) m ) h19m, 4 1, 11.b) 4, 1; a) ; 1, 5 b) Falso 1.a) m.r. ;, 1 1, ;, b) c) 1 y 0 ;

5 0. Sja f uma função d domínio IR. Na figura stá rprsntada part do gráfico d f, sgunda drivada da função f. Rlativamnt ao gráfico da função f, qual das afirmaçõs sguints é vrdadira? (A) O ponto d abcissa a é um ponto d inflão. (B) O ponto d abcissa c é um ponto d inflão. (C) A concavidad stá voltada para baio no intrvalo 0, b. (D) A concavidad stá smpr voltada para cima. 1. D uma função f, d domínio IR, sab-s qu f(5)=0 f é uma função par. Sja g a função, d domínio IR, dfinida por g()=f(+). Qual dos sguints pod sr o conjunto dos zros d g? ( A) 0, (B), 5 (C), (D), (00). D uma função h, d domínio IR, sab-s qu a rta d quação y= é assímptota do su gráfico. h() Qual é o valor d lim? ( A) (B) (C) 0 (D) (00). Na figura stá rprsntado, m rfrncial o.n. Oyz, um cilindro d rvolução. A altura do cilindro é uma das bass stá contida no plano Oy, sndo o su cntro o ponto (0, 1, 0) o su raio igual a 1. Sja b 0, sja f a função qu, a valor d b, faz corrspondr o prímtro da scção produzida no cilindro plo plano d quação y=b. Qual é o máimo da função f? (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 1 (00) 4. Na figura stão rprsntadas, num rfrncial o.n. Oy, part d uma função f, d domínio IR, dfinida por f() 1 ln, a rta r, tangnt ao gráfico d f no ponto d abcissa 1. Qual é o dcliv da rta r? (A) 1 (B) (C) (D) 4 (00) 5. Sja h uma função contínua, d domínio IR. Qual dos sguints conjuntos não pod sr o contradomínio d h? (A) IR (B) IR \ 0 (C) IR (D) 0, 1 (00) 0, 6. O gráfico da função f, d domínio IR, dfinida por f() 0, 1 0,, tm uma única assímptota. Qual das condiçõs sguints é uma quação dssa assímptota? ( A) y 0 (B) y 01, (C) y 0, (D) y 0, (00) 7. Para um crto valor d k, é contínua m IR a função f dfinida por f () Qual é o valor d k? (A) (B) 1 (C) 0 (D) -1 (001) 0 s 0 ln( k) s 0. Na figura stá part da rprsntação gráfica d uma função g, polinomial do trciro grau. A função g admit máimo rlativo igual a para =-1 admit mínimo rlativo igual a para =1. Qual é o conjunto dos valors d b para os quais a quação g()=b tm três soluçõs distintas? ( A), (B), (C), (D), (001)

6 f() f( ) 9. Sja f uma função tal qu a sua drivada, no ponto, é igual a 4. Indiqu o valor d lim 9 ( A) 0 (B) 4 (C) (D) (001) 1 s 0 0. Sja h a função, d domínio IR, dfinida por f() s 0 s 0 Rlativamnt à continuidad da função h, no ponto 0, qual das afirmaçõs sguints é vrdadira? (A) É dscontínua à squrda à dirita. (B) É contínua à squrda dscontínua à dirita. (C) É contínua à dirita dscontínua à squrda. (001) (D) É contínua. 1. Na figura stá rprsntada part do gráfico d uma função f, polinomial do trciro grau. é um máimo rlativo da função f. Sja g a função, d domínio IR, dfinida por g()=f()-. Quantos são os zros da função g? (A) quatro (B) três (C) dois (D) um (001). Considr as funçõs f g, d domínio IR, dfinidas por Qual é o conjunto solução da inquação f() g()? ( A) Vazio f() g(). Conjunto (B) IR (C)IR (D)IR (001) 1,, sab-s qu f ( 1) 7 f( ) 4. Qual das afirmaçõs sguints é ncssariamnt vrdadira? (A) A função f tm plo mnos um zro no intrvalo 1, (B) A função f não tm zros no intrvalo 1,. (C) A quação f()=5 tm plo mnos uma solução no intrvalo 1,. (D) A quação f()=5 não tm solução no intrvalo 1,. (001). D uma função f, contínua no intrvalo ln a 4. Qual das sguints prssõs é, para qualqur númro ral positivo a, igual a? a (A) a (B) a (C) (D) a (001) 5. A rta d quação y = é tangnt ao gráfico d uma crta função f, no ponto d abcissa 0. Qual das sguints prssõs pod dfinir a função f? ( A ) ( B) ( C) 1 ( D) 1 (001) 6. Sja g uma função, d domínio IR, tal qu a sua sgunda drivada é dfinida por g()'' 1. Em qual das figuras sguints podrá star part da rprsntação gráfica da função g? (001)

7 7. Na figura stá rprsntada part d uma parábola, qu é o gráfico d uma crta função g, d domínio IR. Sja h a função, d domínio IR, dfinida por h() g() ( ). Qual pod sr o conjunto dos zros da função h? ( A),, 4 (B), 1, 4 (C),,, 5 (D) 1, 5, 9 (001) ln. Indiqu o valor d lim 0 sn ( A) (B) 0 (C) 1 (D) (001) 9. Sja f uma função polinomial do trciro grau, cujo gráfico s ncontra parcialmnt rprsntado na figura. Quantas são as soluçõs da quação f() =? (A) quatro (B) três (C) duas (D) uma (000) 40. Sjam f g duas funçõs d domínio IR. Sab-s qu o gráfico d g é uma rta, qu dsignamos por s qu limf() g() 0. Qual das afirmaçõs sguints é ncssariamnt vrdadira? (A) A rta s é uma assímptota do gráfico d f. (B) A rta s é tangnt ao gráfico d f. (C) A rta s é scant ao gráfico d f. (D) A rta s não intrsta o gráfico d f. (000) 41. O coficint d ampliação A d uma crta lupa é dado, m função da distância d (m dcímtros) da lupa 5 ao objto, por A(d). Indiqu a qu distância do objto tm d star a lupa para qu o coficint d 5 d ampliação sja igual a 5. (A) dm (B) 4 dm (C) 6 dm (D) dm (000) 4. Na figura stá rprsntada part do gráfico d uma função f, d domínio IR. Qual das afirmaçõs é vrdadira? (A) limf() f( 4) limf() f( 4) 4 (B) limf() f( 4) 4 (C) limf() f( 4) 4 (D) limf() f( 4) 4 4 limf() f( 4) 4 limf() f( 4) 4 limf() f( 4) 4 4. Sja f uma função d domínio IR contradomínio, A) 0, (B) 0, (C), (D), (000). Qual é o contradomínio da função f? ( (000) 44. Sja g uma função cujo gráfico tm um ponto d inflão d abcissa 1. Qual dos sguints gráficos podrá sr o da sgunda drivada d g? (000)

8 45. Na figura stá part da rprsntação gráfica da função f, d domínio IR, dfinida por () log. P é um ponto do gráfico d f, qu f tm ordnada 1. Qual é a abcissa do ponto P? ( A) (B) 1 (C) ln (D) (000) 46. Um tanqu tm a forma d um parallpípdo rtângulo, com 7 m d comprimnto, 5 m d largura 4 m d altura. Admita qu o tanqu stá vazio. Num crto instant, é abrta uma tornira qu vrt água para o tanqu, à taa d m por hora, até st ficar chio. Qual é a função qu dá a altura, m mtros, da água no tanqu, t horas após a abrtura da tornira? t (A) h(t) 4 t, t 0, 70 (B) h(t), t 0, 70 5 (000) t (C) h(t) 4 t, t 0, 140 (D) h(t), t 0, Na figura ao lado stá part da rprsntação gráfica d uma função g, d domínio IR \ 0. Qual das figuras sguints podrá sr part da rprsntação gráfica da função g, drivada d g? 4. Sjam a, b c três númros rais tais qu log a (b) c. Qual é o valor d log a (a b)? ( A) 1 c (B) a c (C) ac (D) a bc (000) (000) 49. Na figura stá rprsntado um cubo. Considr qu um ponto P s dsloca ao longo do trajto qu a figura sugr: P part d A prcorr sucssivamnt as arstas AB, BC CD, trminando o prcurso m D. O ponto P dmora um sgundo a prcorrr cada uma das arstas. Sja d(t) a distância do ponto P ao ponto E, t sgundos após a partida. Qual dos gráficos sguints pod sr o da função d? (000) 50. D uma função f, contínua m IR, sab-s qu f é stritamnt crscnt, f(0)=1 o io O a bisstriz dos quadrants ímpars são assímptotas d gráfico d f. Qual é o contradomínio d f? ( A) 1, (B), 1 (C) 0, (D), 0 (000) Soluçõs: 0)B;1)C;)A;)B;4)B;5)B;6)B;7)B;)C;9)D;0)D;1)C;)D;)C;4)D;5)A;6)C;7)B; )A;9)B;40)A;41)B;4)D;4)A;44)C;45)D;46)B;47)A;4)A;49)A;50)C