ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO EXERCÍCIOS DE PROVAS DE EXAME NACIONAIS Matemática 1º ANO 1. Observe o gráfico de uma função F. 1.1 Estude o sinal de F. 1. Considere as funções reais de variável real, f 1, f e f 3 definidas por: 4 f ( x 1 ) = x x + 1 ; 7 f ( x ) = x x + 1 ; 7 f ( x 3 ) = x x + 1. Sabendo que F é uma delas justifique que não pode ser f 1 nem f 3.. Na figura abaixo está representado o gráfico C da função f, derivada da função f, de domínio R..1 Indique, justificando, os intervalos de monotonia de f e os valores de x para os quais a função tem extremos relativos.. Proponha um gráfico para a função f, / compatível com o gráfico de f, dado..3 Supondo que f ( x ) = x ( x a) + bx, com a, b R, determine a e b servindo-se dos valores assinalados na figura. Problemas_Exame_x.doc ESAS 1º ANO 003/004 Página 1

2 3. Segue-se a representação gráfica de uma função f real de domínio R. O eixo das ordenadas e a recta de equação y = mx + b, representada a traço-ponto, são as únicas assimptotas do gráfico. As rectas tangentes ao gráfico de f, nos pontos de abcissas e 1, são horizontais. 3.1 Determine o contradomínio de f. f(x) 3..1 Calcule o valor de lim. x + x 3.. Escreva uma equação da assimptota oblíqua. 3.3 Indique, justificando, quais os extremos da função. 3.4 Determine os valores de x que satisfazem a condição: f(x) f '(x) > 0 4. A curva C é a representação gráfica da função derivada f / de uma função f derivável em [1, 5]. A tangente à curva no ponto de abcissa 4 é horizontal. 4.1 Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: f é contínua em [1, 5] 4.1. f (1) < f (5) 4. Sabendo que f () = 3 escreva uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. 4.3 Como varia o sinal da segunda derivada de f no intervalo [1, 5]? Justifique a resposta. 5. De uma função f de domínio D = R \ {-1}, contínua em D, sabe-se que: lim f ( x) = 5 ; lim f ( x) = + ; lim f (x) = + e lim f ( x) = + x 1 x 1 x x + x Sinal de f (x) Variação de f(x) Quais as coordenadas dos pontos em que f tem extremos? Classifique esses extremos. 5. Proponha um gráfico para a função f. 5.3 Escreva equações das rectas tangentes ao gráfico f que o quadro de variação lhe permita conhecer. Problemas_Exame_x.doc ESAS 1º ANO 003/004 Página

3 6. Uma nódoa circular de tinta é detectada sobre um tecido. O comprimento, em centímetros, do raio dessa nódoa, t segundos após ter sido detectada, é dado 1+ 4t por r ( = ( t 0). + t a) Calcule r (0) e lim r( e diga qual é o significado fisico destes valores. t + b) Esboce o gráfico de r, tendo já em conta que, no domínio indicado, a função r tem primeira derivada positiva e segunda derivada negativa. r( r(0) c) Diga qual é o significado do limite lim e determine-o. + x 0 t d) Calcule, com aproximação à décima de segundo, o instante t para o qual a área da nódoa é igual a 30 cm. (Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve no mínimo duas casas décimais) 7. Pretende-se esboçar o gráfico da função N que dá o Nível de álcool no sangue em função do peso p de uma pessoa, depois de ela ter ingerido um litro de cerveja. Sabe-se que: i) num litro de cerveja existem 40 g de álcool; ii) N(p) é a razão entre o peso (em gramas) de álcool existente no litro de cerveja e o volume (em litros) do fluido orgânico da pessoa; iii) o volume do fluido orgânico de cada pessoa é numéricamente igual a 70% do seu peso total (em kilogramas) Sabendo que N(p) é expresso em gramas por litro e p é expresso em kilogramas, a) determine N(30), N(60) e N(80): b) esboce o gráfico de N quando p varia de 0 a 130; c) em Portugal a lei estabelece penas avultadas para quem for apanhado a conduzir com um nível de álcool superior a 0,5 gramas por litro. Indique, nas condições do enunciado, quem não deve conduzir depois de beber um litro de cerveja. P( d) = d 5 d, relativamente a domínio, contradomínio, continuidade, monotonia e extremos. 8. a) Faça um estudo da função P, real de variável real, definida por ( ) 3 b) Suponha que houve uma intoxicação alimentar, num colégio interno, em que o número N(d) de doentes ao fim do tempo d, expresso em dias, é o maior inteiro contido em P(d). 1) Determine, justificando, o domínio da função N. ) Indique em que momento esteve mais gente intoxicada e o número de doentes nesse momento. 3) No decorrer de que dia foi eliminada a intoxicação? Quando é que o número de doentes baixou mais rapidamente, durante o 3º dia ou o 5º dia? Justifique as respostas. Problemas_Exame_x.doc ESAS 1º ANO 003/004 Página 3

4 9. Injectou-se no instante t=0 uma substância no sangue de um animal. No instante t (t>0), a concentração da substância é dada por c( = 8( e t e t ) 9.1 Calcula, com aproximação às centésimas, os instantes para os quais o valor da concentração é igual a 7/8. 9. Calcula lim c( e interpreta o resultado obtido. t + t 8( e ) 9.3 Mostra que c`( = e determina o valor máximo da concentração. t e Considera a função f, de domínio R, definida por f ( x) = 3x ln x Utiliza métodos exclusivamente analíticos, para resolver as duas alíneas seguintes: Estuda f quanto à existência de assimptotas do seu gráfico; Mostra que a função f tem um único mínimo; 10. O gráfico de f contém um único ponto cuja ordenada é o quadrado da abcissa. Recorrendo à calculadora, determina o valor aproximado para a abcissa desse ponto (apresenta o resultado arredondado às décimas). Explica como procedeste (na explicação deves incluir o gráfico ou gráficos que consideraste para resolver a questão). 1F 1C Um petroleiro, que navegava no Oceano Atlântico, encalhou numa rocha e sofreu um rombo no casco. Em consequência disso, começou a derramar crude. Admite que, às t horas do dia seguinte ao do acidente, a área, em Km, de crude espalhado sobre o oceano é dada por 0,1t A( = 16. e, t [ 0,4]. A ( t + 1) 11.1 Verifica que, para qualquer valor de t, é constante. Determina um valor A( aproximado dessa constante ( arredondado às décimas) e interpreta esse valor, no contexto da situação descrita. 11. Admita que a mancha de crude é circular, com centro no local onde o petroleiro encalhou. Sabendo que esse local se encontra a sete quilómetros da costa, determina a que horas, do dia a seguir ao acidente, a mancha de crude atingirá a costa. Apresenta o resultado em horas e minutos ( minutos arredondados às unidades). Nota: Sempre que nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo três casas decimais. F 001 Problemas_Exame_x.doc ESAS 1º ANO 003/004 Página 4

5 1. Doses terapêuticas iguais de um certo antibiótico são administradas, pela primeira vez, a duas pessoas: a Ana e o Carlos Admita que, durante as doze primeiras horas após a tomada do medicamento pela Ana e pelo Carlos, as concentrações de antibiótico, medidas em miligramas por litro de sangue, são dadas, respectivamente, por A( = 4t 3 e t e C( = t A variável t designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o t 0,1 medicamento é tomado ( [ ]) 3 e 0,7t 1.1 Recorrendo a métodos analíticos e utilizando a calculadora para efectuar cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes Determine o valor da concentração deste antibiótico no sangue da Ana, quinze minutos depois de ela o ter tomado. Apresente o resultado, em miligramas por litro de sangue, arredondado às centésimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais No instante em que as duas pessoas tomam o medicamento, as concentrações são iguais (por serem nulas). Determine quanto tempo depois as concentrações voltam a ser iguais. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 1. Considere as seguintes questões: 1. Quando a concentração ultrapassa 7,5 miligramas por litro de sangue, o medicamento pode ter efeitos secundários indesejáveis. Esta situação ocorrerá, neste caso, com alguma destas duas pessoas? Caso afirmativo, com quem? E em quantos miligramas por litro o referido limiar será ultrapassado?. Depois de atingir o nível máximo, a concentração começa a diminuir. Quando fica inferior a 1 miligrama por litro de sangue, é necessário tomar nova dose do medicamento. Quem deve torná-la em primeiro lugar, a Ana ou o Carlos? E quanto tempo antes do outro? Utilize as capacidades gráficas da sua calculadora para investigar estas duas questões. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Apresente, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas). 1F 1C Considere que a altura A (em metros) de uma criança do sexo masculino pode ser expressa, aproximadamente, em função do seu peso p (em quilogramas), por Problemas_Exame_x.doc ESAS 1º ANO 003/004 Página 5

6 A(p) = 0,5 + 0,55 ln (p) (In designa logaritmo de base e) Recorrendo a métodos analíticos e utilizando a calculadora para efectuar cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes O Ricardo tem 1,4 m de altura. Admitindo que a altura e o peso do Ricardo estão de acordo com a igualdade referida, qual será o seu peso? Apresente o resultado em quilogramas, arredondado às unidades. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. 13. Verifique que, para qualquer valor de p, a diferença A(p) A(p) é constante. Determine um valor aproximado dessa constante (com duas casas decimais) e interprete esse valor, no contexto da situação descrita. 14. Num laboratório, foi colocado um purificador de ar. Num determinado dia, o purificador foi ligado às 0 horas e desligado algum tempo depois. Ao longo desse dia, o nível de poluição do ar diminuiu, enquanto o purificador esteve ligado. Uma vez o purificador desligado, o nível de poluição do ar começou de imediato a aumentar. Admita que o nível de poluição do ar no laboratório, medido em mg/l de ar, às t horas desse dia, pode ser dado por, ln () ( t + 1) P t = 1, t [ 0,4] (ln designa logaritmo de base e) t + 1 Nas duas alíneas seguintes, sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve no mínimo, três casas decimais Qual é o nível de poluição à uma hora e trinta minutos da tarde? Apresente o resultado na unidade considerada, arredondando às décimas. 14. Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos, resolva o seguinte problema: Quanto tempo esteve o purificador ligado? Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades) 1F 1C O nível N de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade I, medida em watt por metro quadrado, de acordo com a igualdade 1 ( 10 I ), para 0 N = 10log I 10 > Usando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes 15.1 Verifique que N =10 +10log10 I 15. Admita que o ruído de um avião a jacto, ouvido por uma pessoa que se encontra na varanda de um aeroporto, é de 140 decibéis. Determine a intensidade desse som, em watt por metro quadrado 1F C 00 Problemas_Exame_x.doc ESAS 1º ANO 003/004 Página 6

7 16. Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de sumo de fruta, com a capacidade de dois litros. Por questões de marketing, as embalagens deverão ter a forma de um prisma quadrangular regular Mostre que a área total da embalagem é dada por x A( x) = x (x é o comprimento da aresta da base, em dm) Nota: recorde que 1 litro = 1 dm Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostre que existe um valor x para o qual a área da embalagem é mínima e determine-o. F Admita que ao longo dos séculos XIX e XX e dos primeiros anos do século XXI, a população de Portugal Continental, em milhões de habitantes, é dada, aproximadamente por 6,8 p() t = 3,5 + 0, 036t e (considere que t é medido em anos e que o instante t = 0 corresponde ao início do ano de 1864) 17.1 De acordo com este modelo, qual será a população de Portugal Continental no final do ano de 003? Apresente o resultado em milhões de habitantes arredondado às décimas Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve no mínimo, três casas decimais. 17. Sem recorrer à calculadora (a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos) resolva o seguinte problema: De acordo com este modelo, em que ano a população de Portugal Continental foi de 3,7 milhões de habitantes? Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve no mínimo, três casas decimais. F De uma função f, de domínio R, sabe-se que a sua derivada è dada por x f ( x) = ( x +1) e 10x Seja A o único ponto de inflexão do gráfico de f. Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine a abcissa do ponto A, arredondado às décimas. Explique como procedeu. Inclua, na sua explicação, o(s) gráfico(s) que obteve na calculadora 1F C 003 Problemas_Exame_x.doc ESAS 1º ANO 003/004 Página 7

8 19. Uma rampa de desportos radicais foi construída entre duas paredes, A e B, distanciadas de 10 metros, como mostra a figura. Considere a função h definida por Admita que parede A. ( x) = 15 4ln ( x + 10x + 11) h (ln designa logaritmo de base e) h( x) é a altura, em metros, do ponto da rampa situado x metros à direita da 19.1 Determine a altura da parede A. Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve no mínimo, três casas decimais. 19. Sem recorrer à calculadora, estude a função h quanto à monotonia e conclua daí que, como a figura sugere, é num ponto equidistante das duas paredes que a altura da rampa é mínima Mostre, analiticamente, que h ( x) = h( 5 + x) situação descrita. 5. Interprete esta igualdade no contexto da 1F C Prove que, para qualquer função quadrática g, existe um e um só ponto do gráfico onde a recta tangente é paralela à bissectriz dos quadrantes ímpares. 1F C 003 F i m Problemas_Exame_x.doc ESAS 1º ANO 003/004 Página 8