CÁLCULO I 1º Semestre 2011/2012. Duração: 2 horas

Transcrição

1 NOV SCHOOL OF USINESS ND ECONOMICS CÁLCULO I º Semesre / TESTE INTERMÉDIO - Correcção 8 Novembro Duração: oras Não é permiido o uso de calculadoras. Não pode desagrafar as folas do enunciado. Responda de forma jusificada a odas as quesões, apresenando sempre os cálculos efecuados. Simplifique sempre os resulados ao máimo. Não se esclarecem dúvidas. NOME: NÚMERO:

2 GRUO Considere a função real de variável real ln f. a Seja U n n 8n 9, com n N. Calcule f U n. b Será a função f diferenciável em? c Esude a função quano à monoonia e eisência de eremos relaivos no ;. inervalo ] [ a U n por valores posiivos n 8n 9 ln ssim, f U n f b Em primeiro lugar convém escrever a função por ramos. ln f ln ln, ln, < ln f ln,, < < ln ravés de um quadro de sinais, foi esudado o sinal da função, sendo negaiva enre e e não negaiva para odos os números reais não inferiores a. ara que a função seja diferenciável em em que ser conínua nese pono. Se não for conínua não é diferenciável. ln f f ln ln ln f

3 Como os ies laerais são iguais e iguais a f a função é conínua em, logo poderá vir a ser diferenciável nese pono. Calculemos as derivadas laerais em. f ' e f f ln ln f ' d f f ln ln Como as derivadas laerais não são iguais, a função é não diferenciável em. c Considerando o inervalo ] ; [ f '. ln ln e ln nd - nd f nd - f nd Ma, sabemos que função f é crescene em ] ; e[, é decrescene em ] e; [ em e dado por f e. e e em um máimo relaivo

4 GRUO Considere a seguine função real de variável vecorial f, e. Enconre a epressão geral das curvas de nível da função f e esboce as curvas de nível de coas - e. a f, e e ln Curva de nível de coa -: ln Curva de nível de coa : ln Zeros de : ln e Zeros de : ln e

5 GRUO Enconre as primiivas das seguines funções: a arcsin b c e e a C ln arcsin arcsin arcsin b elo Méodo dos Coeficienes Indeerminados: C C ln ln ln ssim: C ln

6 c plicando o méodo de subsiuição em que: e e ln e e ln ln ln, ', C ln C e ln e e ln e C e ln e ln e C Considere a função f arcan. GRUO a Tal como foi feio em aula para a função g arcsin, demonsre que f '. f b Enconre a derivada da função final na forma de produo. sin f c Calcule sin d Considere a função f no inervalo [ ; ] g, apresenando o resulado. Enconre o valor de de que fala o Teorema da Média para o Cálculo Inegral. e Considere a sucessão V n f n. Enconre, se eisir, o conjuno dos majoranes e dos minoranes da sucessão V n. Será uma sucessão iada? f ' cos f a f arcan an[ f ] ' an[ f ]' f ' cos f Sendo an cos, emos cos an, logo: f ' cos f an f an arcan

7 b g' arcan f f [ ]' f f ' f ln arcan ln arcan arcan arcan ln c sin f sinan sinan sin sin sin cos sinan an cos cos cos d Traa-se de uma função inversa rigonomérica logo é conínua no seu domínio, ;. É, por isso, possível aplicar o Teorema da logo é conínua no inervalo [ ] Média do Cálculo Inegral à função nese inervalo. arcan d f rimiivação por pares:.arcan.arcan..arcan ln C.arcan arcan d f.arcan ln arcan ln 5 arcan ln anarcan ln 5 arcan arcan arcan ln 5 ln arcan

8 e arcann V n Sabemos que os ermos da sucessão n V enconram-se compreendidos enre e, logo o conjuno dos majoranes da sucessão é dado pelo inervalo ; e o conjuno dos minoranes da sucessão é dado pelo inervalo ;. Como é uma sucessão majorada e minorada, é iada. GRUO 5 Calcule a área da seguine região do plano: { } R,,, :, c.a. 5 8 d d

9 GRUO 6 Discua a veracidade das seguines afirmações, jusificando sempre de forma sucina mas complea. a É verdade que d é igual a - e que ese inegral é convergene. Traa-se de um inegral impróprio, a função f não esá definida em, logo o inegral não esá bem calculado. d ε ε d ε ε ε ε ε ε d ε ε ε O inegral não é igual a - nem é convergene, logo a afirmação é duplamene falsa. b Seja F a função definida em [ ; [ possível afirmar que F ', >. ln F ' ln Logo, F ' ln afirmação é falsa. al que F ln d. É

10 c ara que a função < >,.arcan, 5 cos f seja prolongável por coninuidade em é preciso que. ara que a função seja prolongável em é necessário aver ie nesse pono. Deerminemos os ies laerais em. 5 cos 5 cos f..arcan.arcan.arcan f ara que eisa ie no pono em esudo:. Logo a afirmação é verdadeira.