Só no ELITE você encontra: Simulados semanais/quinzenais; A maior carga horária. Os melhores professores!

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1 CONCURSO ITA 9 O ELITE CURITIBA aprova mais porque em qualidade seriedade e profissionalismo como lemas Confira nossos resulados e comprove porque emos mais a oferecer IME 9: Do SUL ineiro foram 8 aprovados odos de Curiiba e 6 são ELITE!!! 8: aprovados ( primeiros da Aiva 5º da Aiva e 6 enre os ºs da Reserva) 7: dos 6 aprovados do Paraná incluindo os melhores da aiva e os melhores da reserva 6: Os únicos aprovados do Paraná 5: 7 aprovados e os únicos convocados do Paraná ESPCEX 8: 9 aprovados GUILHERME PAPATOLO CONCEIÇÃO º do Paraná e 9º do Brasil BRUNO TRENTINI LOPES RIBEIRO º do Paraná e º do Brasil 7: 9 alunos convocados no Paraná 6: 9 alunos convocados no Paraná (urma de alunos) 5: % de aprovação! EPCAr 7: dos convocados do Paraná 6: convocados 5: º lugar do Paraná ITA Por anos consecuivos a maior aprovação do Paraná 8: dos aprovados do Paraná 7: Os únicos aprovados do PR 6: Os únicos aprovados de Curiiba 5: dos aprovados do Paraná AFA 9: 5 aprovados enre os do Paraná (incluindo os primeiros lugares) Leonardo Auguso Seki: º lugar nacional e º do Paraná 8: aprovados ºs lugares do Paraná em odas as opções de carreira 7: dos convocados do Paraná 6: dos 8 convocados do PR incluindo: º Lugar do Paraná (6 do Brasil) em Aviação º Lugar do Paraná (9º do Brasil) em Inendência UFTPR Inverno 8: º º e º lugares em Eng Ind Mecânica º e º lugares em Eng Elerônica / Eleroécnica º lugar em Eng de Compuação Verão 8: aprovados 7: aprovados em vários cursos 6: Lugar em Eng Mecânica Lugar em Eng Elerônica 5: 85% de aprovação em Engenharia com 5 dos 8 ºs colocados de Eng Mecânica /DEZ/8 UFPR 8: 9 aprovados 7: 7% de aprovação na ª fase 6: Lugar em Eng Mecânica Lugar em Eng Elerônica 5: ºLugar Direio (mauino) ºLugar Relações Públicas Só no ELITE você enconra: Simulados semanais/quinzenais; A maior carga horária Os melhores professores! Início das inscrições para o eame de bolsas: / / 9 Realização do eame de bolsas: 5 / / 9 EEAR 8: aprovações (ºs lugares dos grupos e ) 6: convocados Escola Naval 8: 9 aprovados 7: 7% de aprovação na ª fase 5: % de aprovação! wwwelitecuritibacombr Fone : -5 CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - () 5 wwweliecuriibacombr

2 CONCURSO ITA 9 Sejam A e B subconjunos do conjuno universo U { a b c d e f g h} Sabendo que ( B A) { f g h} A C enão ( ) B C A { a b} e \ B { d e} n P A B é igual a A B C D E 8 SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alernaiva C De acordo com o enunciado podemos monar o seguine diagrama de Euler-Venn: De onde concluímos que A B {c} ( P( A B) ) n ( A B) C n e Uma empresa possui carros sendo uma pare com moor a gasolina e o resane com moor fle (que funciona com álcool e gasolina) Numa deerminada época nese conjuno de carros 6% dos carros com moor a gasolina e 6% dos carros com moor fle sofrem conversão para ambém funcionar com gás GNV Sabendo-se que após esa conversão 556 dos carros desa empresa são bicombusiveis pode-se afirmar que o número de carros ricombusíveis é igual a a) 6 b) 5 c) 6 d) 68 e) 8 SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alernaiva B Denominando: G : número de carros originalmene com moor a gasolina F : número de carros originalmene com moor fle Como 6% dos carros com moor a gasolina passaram a funcionar com gás GNV emos: 6 G são os carros a gasolina e a GNV (bicombusíveis) 6 G são os carros que coninuaram apenas a gasolina Como 6% dos carros com moor fle passaram a funcionar ambém com gás GNV emos: 6 F são os carros a álcool gasolina e a GNV (ricombusíveis) 6 F são os carros que coninuaram a funcionar apenas a álcool e a gasolina (bicombusíveis) Sabendo que 556 carros são bicombusíveis e que no oal emos carros podemos formar o seguine sisema: 6 G+ 6 F G+ 6 F F 96 G+ F 6 G+ 6 F 6 Porano F 7 e G Desa forma o número de carros ricombusíveis (álcool gasolina e GNV) é 6 F Seja f : IR IR \{} uma função saisfazendo às condições: f( + y) f f( y) para odo y IR e f para odo IR \{} Das afirmações: I f pode ser ímpar II f () III f é injeiva IV f não é sobrejeiva pois f( ) > para odo IR é (são) falsa(s) apenas A I e III B II e III C I e IV D IV E I C SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alernaiva E Conra-domínio IR \{} Logo f IR A afirmação II é VERDADEIRA pois: Subsiuindo y na função: /DEZ/8 f( + ) f f() e como f f () A afirmação I é FALSA pois: Subsiuindo y e sendo f e f () f( ) f f( ) f f f ( ) () Se f for função ímpar enão f( ) f Em () f f IR \{} e ABSURDO pois f Logo f não é função ímpar é posiivo sempre A afirmação IV é VERDADEIRA pois: Para y f + f f f f IR f > IR () Logo f não é sobrejeiva pois Im IR+ \{} Conra- Domínio A afirmação III é VERDADEIRA pois: e números reais do domínio e + com K > e K IR Tomando K Logo: f f( + K) f f( K) De () f( K ) > e dado que f( K) f f para quaisquer e Logo f é injeiva CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - () 5 wwweliecuriibacombr > enão Obs: Como se raa de uma quesão objeiva o aluno pode ganhar algum empo (se isso for necessário) imaginando um eemplo de função que saisfaça às condições dadas como f a para a posiivo e diferene de e responder às afirmações (V ou F) omando como base o eemplo imaginado Não é algo rigorosamene correo mas funciona Se a cos 5 π e b sen 5 π enão o número compleo 5 π π cos + i sen 5 5 é igual a: a) a + bi b) a + bi c) (+a²b²) + ab(+b²) d) a - bi e) a b + ab( b )i SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alernaiva B Uilizando Moivre emos: 5 π π 5π 5π cos + isen cos + isen π π π π cos + isen cosπ + isenπ a + bi

3 5 O polinômio de grau CONCURSO ITA 9 ( a + b + c) + ( a + b + c) ( a b) + (a b + c) + ( a + c) com a b c IR é uma função par Enão a soma dos módulos de suas raízes é igual a A + B + C + D + E + SOLUÇÃO DA QUESTÃO 5: Alernaiva E Sendo o polinômio uma função par enão os coeficienes de seus monômios de grau ímpar devem ser nulos ou seja: a + b + c a b + c Desa forma podemos reescrever os ouros coeficienes do polinômio como: a + b + c ( a + b + c) + b + b b a b a b + b (a b + c) ( a + b + c) + b + b b ( a + c) ( a + b + c b) ( b) b Desa forma o polinômio é reescrio como: b b b Como o polinômio é de grau (segundo o enunciado) enão b e as raízes dos polinômio são as mesmas raízes de que são (por Piágoras na equação biquadrada) ± i e ± logo i + i Considere as funções f () e g () - + A muliplicidade das raízes não reais da função composa fog é igual a a) b) c) d) e) 5 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 6: Alernaiva C Faorando f() emos: f() + + ( )( + )+( ) ( )( + + ) ( )( + )( + ) ( )( + ) Assim fog()f(g())( )( + ) Logo as raízes de fog() são as raízes de: ( )( + ) Sendo as raízes de ( ) de muliplicidade e as raízes de ( + ) de muliplicidade Mas: ou (raízes reais) + ±i (raízes não reais) Porano a muliplicidade das raízes não reais é 7 Suponha que os coeficienes reais a e b equação + a + b + a+ são ais que a equação admie solução não real r com r Das seguines afirmações: I A equação admie quaro raízes disinas sendo odas não reais II As raízes podem ser duplas III Das quaro raízes duas podem ser reais é (são) verdadeira (s) A apenas I B apenas II C apenas III D apenas II e III E nenhuma /DEZ/8 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 7: Alernaiva A A equação polinomial dada é recíproca devido a ordem dos coeficienes A equação recíproca em como propriedade: Se z é raiz enão o inverso ambém será raiz e de mesma z muliplicidade () Como a e b são reais enão odos os coeficienes são reais porano pelo eorema das raízes imaginárias: Se z é raiz enão o seu conjugado z ambém será raiz () De () e () e sabendo que r não é real e é raiz: e r ambém são raízes ambém não reais r r rr r dado r r e r e r r enão odas as quaro raízes são disinas e não reais Logo podemos concluir que: I Verdadeira II Falsa e III Falsa r r 8 Se as soluções da equação algébrica a + b + 5 com coeficienes a b IR b formam numa deerminada ordem uma progressão geomérica enão b a é igual a: a) - b) c) d) e) SOLUÇÃO DA QUESTÃO 8: Alernaiva B Sem perda de generalidade podemos dizer que ( ) nesa ordem a PG das soluções da equação dada Pelas relações de Girard emos: 5 / 7 7 é (i) pois Assim: a + b + 5 ( 7) a + b + 5 a b b / a (ii) pois é um número real ( a e b são reais) De (ii) concluímos que o que nos leva a concluir de (i) que e assim b / a a / b / 9 Dados M e M dizemos que X A ( b ( M ( é a melhor aproimação quadráica do sisema AX b quando ( AX b)( AX b) assume o menor valor possível Enão dado o sisema y a sua melhor aproimação quadráica é a) d) b) e) c) CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA () 5 wwweliecuriibacombr

4 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 9: Alernaiva E O sisema dado represena b Assim CONCURSO ITA 9 AX b para AX b y e A X e y ( AX b)( AX b) ( ) + ( y ) + ( ) ( + ) + ( y ) o que assume valor mínimo para e y O sisema a + b y c a + b y c a a b b c c IR Com ( c c) () ac + ac bc + bc é a) deerminado b) deerminado somene quando c e c c) deerminado somene quando c e c ou c e c d) impossível e) indeerminado SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alernaiva D Muliplicando a primeira equação do sisema por c e a segunda equação por c emos: ac + bc y c ac + bc y c Somando ambas as equações membro a membro emos: ac + ac + bc + bc y c + c Equação esa que por ser uma combinação linear das demais ambém deve ser saisfeia para as soluções do problema Mas de acordo com o enunciado emos: ac + ac bc + bc Isso nos leva a + y c + c c + c Como c IR e c IR emos c c o que é impossível de acordo com a condição ( c c) () Seja A M ( uma mariz simérica e não nula cujos elemenos são ais que a a e a formam nesa ordem uma progressão geomérica de razão q e ra 5a Sabendose que o sisema AX X admie solução não nula M pode-se afirmar que a + q é igual a X ( A 5 B 5 C 5 D 9 9 E 5 /DEZ/8 SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alernaiva A A M ( é mariz simérica a a ra a a a + 5 a a Como ( ) a a q () a a a esão em PG enão ( ) a a q Temos que AX X ( A I) X q () Como o sisema admie solução não nula e ese sisema é homogêneo enão ele é possível e indeerminado Usando () e ( A I) de a a I a a a a + a a () Da PG : a a a a a o que em () a + ) a ( a + q a a 5 Uma amosra de esrangeiros em que 8% são proficienes em inglês realizou um eame para classificar a sua proficiência nesa língua Dos esrangeiros que são proficienes em inglês 75% foram classificados como proficienes Enre os não proficienes em inglês 7% foram classificados como proficienes Um esrangeiro desa amosra escolhido ao acaso foi classificado como proficiene em inglês A probabilidade dese esrangeiro ser efeivamene proficiene nesa língua é de aproimadamene a) 7% b) 7% c) 68% d) 65% e) 6% SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alernaiva B Sejam p e c os evenos ser proficiene e ser classificado como proficiene respecivamene Sendo P a função probabilidade dese problema emos do enunciado: P ( p) 8 P ( c p) 75 e P ( c p) 7 A probabilidade pedida é P ( p c) Pelo Teorema de Bayes: P( p) P( c p) P( p) P( c p) P( p c) P( c) P( p) P( c p) + P( p) P( c p) P ( p c) Considere o riângulo ABC de lados a BC b AC e c AB e ângulos inernos α CA ˆ B β AB ˆ C e γ BC ˆ A Sabendo-se que a equação b cosα + b a admie c como raiz dupla pode-se afirmar que a) α 9 o b) β 6 o c) γ 9 o d) O riângulo é reângulo apenas se 5 o α e) O riângulo é reângulo e b é hipoenusa CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA () 5 wwweliecuriibacombr

5 SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alernaiva E CONCURSO ITA 9 /DEZ/8 5 Do riângulo de vérices A B e C inscrio em uma circunferência de raio R cm sabe-se que o lado BC mede AB ˆ C mede º Enão o raio da cm e o ângulo inerno circunferência inscria nese riângulo em o comprimeno em cm igual a Se subsiuirmos o valor c na equação dada oberemos a Lei dos Cossenos aplicada ao ângulo α Mas além de ser raiz c é raiz dupla ou seja a equação possui discriminane nulo ( ) e aí esá a real informação do enunciado: ( cos ) ( b a ) b α b cos α b + a a b sen α Como a b e sen α são odos posiivos emos: a sen α (i) b Por (i) o aluno já se convence de que o riângulo é reângulo em β pois a seria o "caeo oposo" e b a hipoenusa Para confirmar basa usar por eemplo a Lei dos Senos: a b bsenα senβ (i ) sen β senα senβ a No plano considere S o lugar geomérico dos ponos cuja soma dos quadrados de suas disâncias à rea : e ao pono A () é igual a Enão S é a) uma circunferência de raio e cenro () b) uma circunferência de raio e cenro () c) uma hipérbole d) uma elipse de eios de comprimeno e e) uma elipse de eios de comprimeno e SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alernaiva D Seja P( y ) um pono que perence ao lugar geomérico S Temos: ( dp) ( d PA ) + Mas ( d ) ( ) e ( d ) ( ) ( y ) P geomérico S é dado por: PA ( ) ( ) ( y ) + logo o lugar y y y y + + y ( dividindopor ) ( ) ( y ) + Esa equação é a equação reduzida de uma elipse com cenro C eio maior igual a e eio menor igual a Veja um esboço do gráfico: y A B C D E SOLUÇÃO DA QUESTÃO 5: Alernaiva D Aplicando o eorema dos senos: Como BC cm enão o De () vem: AB AB RsenCˆ Usando a área do ABC : AB BC AC R sencˆ senaˆ senbˆ AC RsenBˆ AC senº () AC cm ABC é isósceles e Ĉ AB AC BC sencˆ p r + + r ( + r ) r 6 A disância enre o vérice e o foco da parábola de equação - - y + é igual a: a) b) c) d) e) SOLUÇÃO DA QUESTÃO 6: Alernaiva E y + ( + ) y - + ( -) y ( -) (y - ) (-) (y - ) Vérice v e parâmero p p - logo a disância pedida é p CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA () 5 wwweliecuriibacombr

6 7 A epressão CONCURSO ITA 9 sen+ π cog g + + g é equivalene a a) cos sen cog sen+ cos g b) [ ] c) cos sen cog d) e) + cog [ sen+ cos ] SOLUÇÃO DA QUESTÃO 7: Alernaiva A cog sen π sen + π + co g g sen + co g + g + g cos sen [ cos + co g ] g cos + sen cos [ co cos ] g g g cos g cos sen sen cos sen sen cos sen co sen [ cos ] [ ] g 8 Sejam C uma circunferência de raio R > e cenro ( ) e AB uma corda de C Sabendo que ( ) é pono médio de AB enão uma equação da rea que coném AB é a) y + 6 b) y + c) y + 7 d) y + e) y + 9 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 8: Alernaiva B Observe o seguine esquema: y r A s M () B /DEZ/8 9 Uma esfera é colocada no inerior de um cone circular reo de 8 cm de alura e de 6 de ângulo de vérice Os ponos de conao da esfera com a superfície laeral do cone definem uma circunferência e disam cm do vérice do cone O volume do cone não ocupado pela esfera em cm é igual a A 6 9 π B 8 9 π C D 5 9 π E 5 9 π SOLUÇÃO DA QUESTÃO 9: Alernaiva A Considere a figura abaio: P P º V O 5 9 π O 8 Seja P um dos ponos de conao enre a esfera de cenro O e o cone Do enunciado PV reângulo em P Como OP R Além disso o riângulo OPV é (raio da esfera) emos: R R gº R No riângulo reângulo O P V emos OP ' ' R' do cone) Assim: O volume pedido é dado por: R ' 8 gº R' 8 (raio da base 8 Vcone Vesfera π 8 π 5 Vcone Vesfera π π 9 6 Vcone Vesfera πcm 9 O pono M é o pono médio da corda AB Logo a rea que passa por M e pelo cenro da circunferência (origem) aqui denominada s é perpendicular à rea que coném a corda AB a qual chamaremos de r Desa forma deermina-se o coeficiene angular de r: ms mr mr mr Além disso emos que o pono M () perence à rea r Logo a equação de r é dada por: y y mr ( ) y ( ) y + 9 r : y + Os ponos A() e B() são vérices de um cubo em que AB é uma das aresas A área laeral do ocaedro cujos vérices são os ponos médios da face do cubo é igual a: a) 8 b) c) d) e) 8 CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA () 5 wwweliecuriibacombr

7 SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alernaiva C A() a B() a ( - ) + ( ) a + a (Visão fronal) CONCURSO ITA 9 Cada aresa do ocaedro regular é cm Logo a área laeral pedida A L equivale a 8 vezes a área de um riângulo eqüiláero de lado cm Enão A L 8 A L Seja S o conjuno solução da inequação ( ) + ( ) 9 log 6 Deermine o conjuno C S nese inervalo ocorre para aravés de 6 ) sendo porano > /DEZ/8 6 (máimo local obido Sendo assim 6 só ocorre para valores menores do que 9 já compuados em (i) o que nos leva a: S C { IR ou ou 6 ou > 9} Sejam y IR e ( ) ( ) ( 6 ) ( 6 ) w + i + y i + i + y + i C Idenifique e esboce o conjuno Ω y ;Re w e Ι m w } { SOLUÇÃO DA QUESTÃO O número compleo w pode ser reescrio como: w + i + y yi 6i 6y + yi Temos: w + y 6y + y 6 + y i Re( w) Re( w) Im( w) + y 6y + + y 6y ( ) ( y ) + ( ) ( y ) + A inequação acima compreende a pare inerna de uma elipse com cenro C eio maior igual a e eio menor igual a Veja um esboço dessa região: SOLUÇÃO DA QUESTÃO + Como log ( 6 ) para qualquer no qual o logarimo eseja definido o conjuno S pode ser obido pela inerseção dos seguines conjunos: ) 6 > 6 < < ou > 6 ) + > > ) + ) 9 9 Ou seja S IR < < e IR 6 < 9 (i) { } { } Os únicos valores possíveis para em S fora do inervalo definido em (i) seriam aqueles onde 9 > e 6 Como ( 6 ) 6 6 e enão 6 ocorre para um valor enre 6 e 9 Além disso 6 ocorre para mais dois valores enre 6 e uma vez que o valor máimo da função 6 Ainda: Im( w ) y 6 + y 6 + y y + + ( ) ( y ) ( ) ( y ) ( ) A inequação acima compreende a pare inerna de uma hipérbole com cenro C e eio real igual a Vamos deerminar as equações das assínoas da hipérbole Elas são dadas por: b y y ± ( ) a onde y a e b CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA () 5 wwweliecuriibacombr

8 Enão: CONCURSO ITA 9 y ± y + ou y + + Veja um esboço dessa região: Os ponos de inersecção da elipse com a hipérbole podem ser calculados resolvendo-se o seguine sisema: ( ) + ( y ) ± + ± + 6 e y ( y ) ( ) Veja agora o esboço final da região Ω : Onde: A B 6 D e E + + Seja f : IR \ { } IR definida por + f + a) Mosre que f é injeora b) Deermine D { f ; IR \{ }} e f : D IR \ { } SOLUÇÃO DA QUESTÃO + + ( + ) a) f f + + Sejam IR \{ } ais que + + Somando-se : C Inverendo-se: Somando-se : f f Ou seja f( ) é injeora (cqd) /DEZ/8 b) O que se pede é a imagem de f ou seja o domínio de além da própria f + f + subsiuindo por f f + f + isolando f f + f + f E assim D IR \ {} IR \ {} Suponha que a equação algébrica: a + a f e fpor : + n n Tenha coeficienes reais a a a ais que as suas onze raízes sejam odas simples e da forma β + em que β R e os γ n real γ n ιγ n n formam uma progressão ariméica de razão Considere as rês afirmações abaio e responda se cada uma delas é respecivamene verdadeira ou falsa jusificando sua resposa: I Se β enão a II Se a enão β II Se β enão a SOLUÇÃO DA QUESTÃO Como os coeficienes são odos reais enão se a + bi (a b R) é raiz a bi ambém será Enão as raízes serão da seguine forma: (β - iγ e β + iγ ) serão raízes (β - iγ e β + iγ ) serão raízes (β - iγ 5 e β + iγ 5 ) serão raízes Como eise um número ímpar de raízes enão γ 6 e β ambém é raiz da equação (raiz real única) I- Se β enão a (Verdadeiro) Jusificaiva: Se é raiz enão: + an + a a n γ n CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - () 5 wwweliecuriibacombr

9 CONCURSO ITA 9 II Se a enão β (Verdadeiro) Jusificaiva: Das relações de Girard emos que a soma das raízes é dada por a enão: (β - iγ ) + (β + iγ ) + (β - iγ ) +(β + iγ ) + + (β - iγ 5 ) + (β + iγ 5 ) + β β -a Se a enão β III Se β enão a (Falso) Jusificaiva: O produo das raízes agrupadas a é igual a - a Enão se β emos: - a (β + γ ) (β + γ ) (β + γ 5 ) (γ γ γ γ 5 ) Como γ γ γ γ γ 5 enão a 5 Um deerminado concurso é realizado em duas eapas Ao longo dos úlimos anos % dos candidaos do concurso êm conseguido na primeira eapa noa superior ou igual à noa mínima necessária para poder paricipar da segunda eapa Se omarmos 6 candidaos denre os muios inscrios qual é a probabilidade de no mínimo deles conseguirem noa para paricipar da segunda eapa? SOLUÇÃO DA QUESTÃO 5 Pelo enunciado podemos assumir que: ) Ao escolher uma pessoa aleaoriamene enre os inscrios a probabilidade dela vir a ober noa suficiene para paricipar da segunda eapa é de (baseado nos resulados dos anos aneriores); e ) O número de inscrios é suficienemene grande para que a escolha de um candidao (ou de aé cinco candidaos) não alere a probabilidade de um próimo escolhido passar para a segunda eapa Sendo assim emos que 6 ( 8 ) 6 p p p é a probabilidade de que eaamene p enre os 6 escolhidos passem para a segunda eapa As poências de 8 e represenam o produo das probabilidades de cada um dos 6 escolhidos passar ou não para a segunda eapa (sendo que eaamene p passarão) enquano 6 que o número binomial represena a permuação com p repeição dos candidaos assim escolhidos 6 Noe que 6 6 p p ( 8 ) ( 8 + ) 6 como era de se p p esperar Enre os 6 escolhidos com cereza eremos eaamene p aprovados para a segunda eapa com p assumindo qualquer valor de a 6 Ou em ouras palavras a probabilidade de ermos eaamene de a 6 aprovados enre os 6 escolhidos é de % Sendo assim a probabilidade de ermos no mínimo aprovados enre os 6 escolhidos é: ( 8 )( ) + ( 8 )( ) + ( ) ( ) Sejam B M ( Mosre as propriedades abaio: A a) Se AX é a mariz coluna nula para odo X M ( enão A é a mariz nula b) Se A e B são não nulas e ais que AB é a mariz nula enão de A de B SOLUÇÃO DA QUESTÃO 6 a) Considere as marizes M A ( a a a A a a a a a a /DEZ/8 e M Se AX é a mariz coluna nula: e X X ( a a a AX a a a a a a Desse modo emos o seguine sisema linear: a+ a+ a a+ a+ a a+ a+ a : A mariz A é fia e o resulado acima é válido para qualquer mariz X que seja escolhida Tomando como possíveis valores de X as marizes e emos: a+ a + a a ) X a+ a + a a a a a + + a a + a + a a ) X a + a + a a a a a + + a a + a + a a ) X a + a + a a a a a + + a Desse modo emos A b) Pelo enunciado emos que A e B são marizes não-nulas com AB Por absurdo vamos supor que dea Nesse caso a mariz A é inversível e podemos muliplicar pela direia ambos os membros da equação acima pela mariz inversa de A Assim: AB A AB A B Como B emos um absurdo de modo que dea Aplicando o mesmo raciocínio para a mariz B enconramos que deb CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - () 5 wwweliecuriibacombr

10 7 Sabendo que deermine sen SOLUÇÃO DA QUESTÃO 7 CONCURSO ITA 9 g + π para algum 6 π Separemos a solução da equação na variável ( + π ) duas eapas: ) g ( + π ) 6 ; e ) g 6 + π g em Desenvolvendo a equação da primeira eapa uilizando a igualdade g( π ) π 6 g + g π 6 6 g g π 6 + e lembrando que g obemos: g (i) Como é um ângulo do primeiro quadrane podemos consruir um riângulo reângulo auiliar cujos caeos são o numerador e o denominador da epressão (i) obendo para a hipoenusa o valor 6 e assim: sen (ii) Desenvolvendo a equação da segunda eapa de modo análogo obemos g < o que é impossível para um 6 6 ângulo do primeiro quadrane Desa forma concluímos que o único valor válido para sen é o da epressão (ii) ou seja 6 sen 6 8 Dadas a circunferência C: ( - ) + (y - ) e a rea r : y + 5 considere a rea que angencia C forma um ângulo de 5º com r e cuja disância à origem é Deermine uma equação da rea SOLUÇÃO DA QUESTÃO 8 Seja a rea procurada da forma Ineressa-nos enconrar y m + b m e b 5 5 Com a informação sobre a disância enre a rea e a origem podemos inferir que: b + m 5 5 () Como a rea forma um ângulo de 5 com a rea r enão a diferença enre os ângulos que elas formam com o eio (em módulo) é igual a 5 e enão: g m m r 5 com r + m mr de onde concluímos que m 6 m ou /DEZ/8 CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - () 5 wwweliecuriibacombr m () De () podemos dividir a resolução em duas pares: ª Pare) m ; e ª Pare) m ª) Com o valor de m subsiuído em () obemos b () Como angencia a circunferência C enão a equação ( ) + ( + b ) (que nos fornece as abscissas dos ponos de enconro enre e C) erá discriminane nulo ( ) de onde vem: 5 [ ( b ) + 6] + ( b ) [ ( b ) + 6] 5 ( b ) ( b ) ( b ) 6 [ ] [ ] com b 7 ou b () De () e () vem: b y é uma equação para (Noa-se que o problema pode erminar por aqui pois o enunciado pede uma equação e não odas as equações possíveis) ª) m Procedendo de forma análoga à primeira pare obemos: ( b ) + ( b ) b 9 o que represena um sisema sem solução Desa forma a única rea possível é a de equação y Considere as n reas r : y m+ i nn ; 5 em que os coeficienes i i i m em ordem crescene de i formam uma progressão ariméica de razão q > Se m e a rea r 5 angencia a circunferência de equação valor de q SOLUÇÃO DA QUESTÃO 9 + y 5 deermine o Como r 5 angencia a circunferência + y 5 enão a (cujas soluções represenam as equação + ( m + ) 5 5 abscissas da inerseção enre a rea e a circunferência) em discriminane nulo ( ) Reescrevendo a equação emos: ( + m ) + m + 75 assim para : ( ) ( + m ) 75 m m Como m e q > emos que m 5 > m 5 Além disso m m + q q q 5 e

11 CONCURSO ITA 9 A razão enre a área laeral e a área da base ocogonal de uma pirâmide regular é igual a 5 Eprima o volume desa pirâmide em ermos da medida a do apóema da base SOLUÇÃO DA QUESTÃO Vamos usar a seguine pirâmide ocogonal regular como referência: /DEZ/8 O volume soliciado é V PIRÂMIDE A H onde A B é a área do B ocógono que forma a base da pirâmide e H a alura da pirâmide AL Por hipóese 5 AL 5AB (I); A B A área laeral é 8 vezes a área do riângulo que forma a face laeral Assim A L8 l h l h onde l é o lado do ocógono da base e h é a alura desse riângulo A área da base é a área do ocógono que é 8 vezes a área do riângulo ABO da figura Assim A B 8 la al (II); Porano l h 5 a l h 5 a (III); Usando Piágoras no riângulo VOM emos: h H + a H h - a Subsiuindo (III) no resulado enconrado vem: H a H a (IV); ) Para calcular a área da base usamos o ângulo MOB dado por: wwwelitecuritibacombr Fone : -5 ) 6º MOB 8 5º No riângulo MOB emos: g5º a l Sabendo que g cos emos que: + cos o cos5 ( ) g5º o + cos5 + + Logo g5º Com isso emos: Porano: ( ) l a ( ) (V) V PIRÂMIDE A B H aa ( ) a 6 ( ) a CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - () 5 wwweliecuriibacombr