Matemática e suas Tecnologias

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1 Maemáica 7A. b A frase A caa página erminaa, mais rápio eu lia a próima! iz que a velociae e leiura sempre aumena. O único gráfico que poe represenar o número e páginas lias em função o empo é o a alernaiva b, pois se raa e uma função crescene, cujo gráfico é uma curva com a concaviae volaa para cima.. c N ()= = 7 = 9 7 = = = 7. b Q ()= 6 86 = 6 = 8 = = =. a Como a área obra a caa ia e em ias a plana oma oa a superfície o lao, enão em 99 ias ela compreenerá a meae a superfície o lao. 5. a + ( ) = + = + = + 6. e ọ e ouubro: n pessoas e ouubro: n pessoas e ouubro: n pessoas e ouubro: 8n pessoas 5 e ouubro: 6n pessoas 6 e ouubro: n pessoas 7 e ouubro: 6n pessoas n+ n+ n+ 8n+ 6n+ n+ 6n = 7 7n = 7 n = Maemáica e suas Tecnologias Resoluções ENEM 7 7. c, n N = 5 5, n 95 = 5 5, n 5 =,n = 8, n =, n= n= 5 A região eve ficar ineriaa, no mínimo, por 5 meses. 8. a A única possibiliae e uma progressão geomérica e razão ineira com 6 ermos e a 6 é: (,,, 8, 6, ) A pessoa aposou no número. A razão a PG é igual a. 9. b Espécie A: A Espécie B: B Y= A + B. c Q( ) = 5Q( ) 5 = 55 5 = 5 5 = 5 = = Q () = 5 Q( 8) = = = =, Maemáica 7B. c (n + )! n! = 6 (n )! (n + ) n (n )! n (n )! = 6 (n )! Diviino oos os ermos por (n )!, em-se: (n + ) n n = 6 n + n n 6 = n n 6 = n = ou n = (não convém, pois n > ) Logo, n! =! = = 6.. Para formar o penágono, eve-se escolher ois vérices sobre uma as avenias, ois ouros vérices sobre uma seguna avenia e um único vérice sobre a erceira avenia. Escolheno vérices sobre X, sobre Y e sobre Z, a quaniae e penágonos é igual a C, C, C 5, = 6 5 = 9. Escolheno vérices sobre X, sobre Y e sobre Z, a quaniae e penágonos é igual a C, C, C 5, = =. Escolheno vérice sobre Maemáica e suas Tecnologias ENEM 7

2 X, sobre Y e sobre Z, a quaniae e penágonos é igual a C, C, C 5, = 6 = 8. Assim, a quaniae oal e penágonos é igual a = 9.. b Caa grupo será formao por seleções. Caa jogo é ispuao por seleções, sem orem. Logo, em caa grupo eremos C, = 6 jogos. Se eisem 8 grupos, a quaniae oal e jogos é igual a 8 6 = 8.. A escolha os rapazes, enre os 6, poe ser feia e C 6, = moos. A escolha as 5 moças, enre as 8, poe ser feia e C 8,5 = 56 moos. A escolha os rapazes e as 5 moças poe ser feia e 56 = moos. 5. a As iagonais e um prisma são os segmenos e rea que ligam vérices e uma base a oos os emais vérices a oura base, com eceção e vérices: um que se siua na eremiae oposa a corresponene aresa laeral e os ois vérices vizinhos, a seguna base, que se ligam a essa eremiae. Nesse senio, eisem 6 moos e escolher o vérice (eremiae a iagonal) que perence à base superior o prisma, por eemplo. Escolhio o vérice a base superior, eisem moos e escolher o seguno vérice, e moo que eisem 6 = 8 iagonais. 6. A escolha e 5 peças, enre, poe ser feia e C,5 = 6 moos. Nessa quaniae e moos, consierou-se as escolhas e cubos e cones. A escolha e cubos e cones poe ser feia e C 8, C, = 8 = 8 moos. Logo, a quaniae e escolhas com, no máimo, cones é igual a 6 8 =. 7. b A quaniae oal e jogos é igual a C, = 9. A quaniae e jogos enre paulisas é igual a C 6, = 5. Logo, o percenual e jogos nos quais os ois oponenees são paulisas é igual a: 5, 79 = 79, % 9 8. a A quaniae e mulheres é igual a,8 5 = 7. Logo, a e homens é igual a 5 7 = 8. A escolha e homens e mulheres poe ser feia e C 8, C 7, = 856 maneiras iferenes. 9. Eisem 6 moos e escolher o filho que usará a camisa o Vasco. Eisem 5 moos e escolher o filho que usará a camisa o Boafogo. Eisem moos e escolher o filho que usará a camisa o Fluminense. Eisem moos e escolher o filho que usará a camisa o Flamengo. Logo, eisem 6 5 = 6 moos e escolher os quaro filhos que usarão as quaro camisas.. Vamos supor que eisem n auos e que não apenas seja relevane quais auos serão eposos mas, ambém, e que forma serão eposos os auos. Assim, eisem n opções para escolher o primeiro auo, (n ) opções para escolher o seguno e (n ) opções para escolher o erceiro. Temos enão que: n (n ) (n ) = 6 Em vez e resolver a equação o. grau, poemos faorar o número 6 e escrevê-lo como prouo e faores ineiros e consecuivos: n (n ) (n ) = Pela igualae apresenaa, em-se n = 8 (as emais raízes não são naurais). Maemáica 7C. a Equação a rea r: m r = = = y = ( ) y= + A orenaa o pono a rea r e abscissa é: y= + Se a área S é a meae a área o riângulo ABC, emos: Área(S) = Área(ABC) + ( + ) = + = + = = + ou = Como, enão =.. e Claro: y= m 6 = m m = Escuro: y= m = m m = Porano, m = m.. a AB AC BC = ( 7) + ( ) = + = = ( 7) + ( ) = + 5 = 6 = ( ( )) + ( ) = + 5 = 5 Porano, o riângulo ABC é escaleno. Como ( 6 ) = + 5, o riângulo ABC é reângulo.. c Seja r a rea com inclinação e que passa pelo pono (,. ) Equação a rea r: m r = y = ( ) y= + Inersecção a rea r com o eio as orenaas: = y= + (, ) Seja s a rea com inclinação e que passa pelo pono (, ). Equação a rea s: m r = y = ( ) y= + Inersecção a rea s com o eio as abscissas: y= = + = (, ) Maemáica e suas Tecnologias ENEM 7

3 ENEM 7 Inersecção as reas r e s: y= + 5 = e y = y= Área a região hachuraa: ( ) Área = Área = + = e Seja P(, a) o pono e inersecção o lao CD com o eio as orenaas. Assim, os ponos C, P e D esão alinhaos. = a a+ + a = + = = a( ) a + A área o rapézio ABCP e a área o riângulo APD são iguais. AP + BC AP AB = a+ ( a = ) a= ( a) + = ( = + + ) = + = = = ± 5 Como é um número posiivo, enão = c As reas r, s, e êm ecliviae posiiva. Observe que as > a > ar. A rea u em ecliviae negaiva. Porano: au< ar < a < as 7. b Os ponos ( 5, ) e (, ) não perencem à rea e equação y= +. Os ponos A(,, ) B(, ) e C( 6, ) perencem à rea. = ( 5 ( )) + ( 5 ) = + 6 = < 5 AP BP CP = ( 5 ) + ( 5 ) = 6 > 5 = ( 5 ) + ( 5 6) = 5 > 5 Porano, a esação esava previsa para ser consruía no pono (,. ) 8. c Seja Pab (, ). y C B s P (a, b) Os ponos A, P e B esão alinhaos. a a = b 8 b 8a+ b 8 b = 8a+ 8b= 8 a= b Área o reângulo hachurao: S= ( a ) b S= ( b ) b S= b + 8b O valor e b para o qual a área o reângulo é máima é a abscissa o vérice a parábola que represena a função. b V = 8 = ( ) a= b a = = 6 Porano, o reângulo e área máima em imensões a = 6 = e b =, ou seja, é um quarao cujos laos meem. 9. c Alura (m) A r A B Tempo (s) Na simulação realizaa, o coeficiene angular a rea que represena a rajeória e B é m B = 6 =. Para alcançar o objeivo, o coeficiene angular a rea que represena 6 a rajeória e B everá ser m B = =. Porano, o coeficiene angular everá aumenar em uniaes.. a O pono A n em coorenaas ( n, ) e o pono B n em coorenaas ( n, ). Porano, a equação e r n é: m = n = n n y = ( n n ) ny n= + n + ny= n Maemáica e suas Tecnologias ENEM 7

4 Maemáica 7D. b O prouo as rês imensões resula no volume o paralelepípeo. 5, m5, m, m=, 65 m Como o sólio é maciço, não poemos usar capaciae ao invés e volume.. c Capaciae a embalagem: cm cm cm = cm A misura e chocolae, após fica cremosa, erá um volume e cm 5, = 5 cm. Como a capaciae oal a embalagem é e cm, e o volume a misura e morango ambém aumenará 5%, emos: Vmorango 5, = 5 75 Vmorango = 5, Vmorango = 6 cm Porano, o volume máimo a misura sabor morango que everá ser colocao na embalagem é 6 cm.. c As imensões a caia são 9 cm cm = cm, cm e cm. Porano: O maior valor possível para para que a caia permaneça enro os parões permiios pela Anac é 9.. Seja h a meia a alura a nova laa. Como as imensões a base a nova laa serão iguais a cm 5, = cm, emos: Vlaa aual= Vnovalaa = h h= 5, 6 cm Porano, como 5, 6 = 6, = 6%, a alura a laa aual eve ser reuzia em 6%. 5. A piscina poe ser ecomposa em ois prismas e alura meros, um com base reangular e ouro com base rapezoial. m 8 m 6 m m m m m 6+ Vpiscina = 8 + Vpiscina = +, 5 Vpiscina = 7, 5 m Como m equivale a liros, a capaciae a piscina é e 75 liros. 6. b Seja a meia as aresas a pare cúbica e cima e a meia as aresas a pare cúbica e baio. Como a orneira levou 8 minuos para encher meae a pare e baio, emos: ( ) 8 = = (meae o volume a pare e baio) + = 5 (meae o volume a pare e baio mais volume a pare e cima) 8 minuos 5 8 = = = minuos 5 7. a Como o silo em alura meros, a largura o funo é igual a 6m 5, m= 5 m. Vsilo = 5+ 6 = m Como onelaa e forragem ocupa m o silo, enão a quaniae máima e forragem que cabe no silo é m = onelaas. m / 8. c Em caa caia e cm cm 6 cm é possível aconicionar 8 pacoes e cm cm cm. Observe a figura a seguir: cm cm cm cm cm cm Como =, 5, são necessárias no mínimo caias c O número máimo e caias cúbicas que poem ser ransporaas em caa viagem é 5 =. Porano, o número mínimo e viagens é =.. O volume e maeira é a iferença enre os volumes o cubo maior e o cubo menor. Vmaeira = 8 Vmaeira = 78 5 Vmaeira = 6 cm Maemáica e suas Tecnologias ENEM 7

5 ENEM 7 Maemáica 7E. b S ( ) = ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) S ( ) = ( ) S ( ) = ( + 6+ ) S ( ) = O grau o polinômio é.. b V ( ) = ( + ) ( + ) V ( ) = ( ) V ( ) = + +. a O polinômio Q() é e grau = O polinômio R() é e grau.. c O quociene a ivisão é 5 5, um polinômio e grau. 5. c P ( ) = + P() = + P() = Porano, o polinômio P() é ivisível por. 6. c V ( ) = ( + ) V ( ) = ( + ) ( + ) V ( ) = ( + ) ( + + ) V ( ) = V ( ) = c V ( ) = = = 8 8. e V ( ) = ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) = = 6 9. e V ( ) = ( + ) ( + ) V ( ) = ( + ) ( + ). a Como é ivisível por ( + ). ( + ), o reso a ivisão é igual a zero. V ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) = + + = + ( + ) ( + ) Maemáica e suas Tecnologias ENEM 7 5

6 Anoações 6 Maemáica e suas Tecnologias ENEM 7