7 ano E.F. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis

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1 Móulo e Razões e Proporções A Noção e Razão e Exercícios 7 ano E.F. Professores Tiago Mirana e Cleber Assis

2 Razões e Proporções A Noção e Razão e Exercícios 2 Exercícios e Fixação Exercícios Introutórios Exercício. Uma escala E poe ser efinia pela fórmula: E, na qual é o comprimento e algum D elemento ou a istância entre objetos no mapa e D o tamanho real em centímetros, acompanhaa o e (erro gráfico, cujo cálculo é feito como e 0, 02 D milímetros). a) As imensões e um avião em um mapa são 24 cm e comprimento e 9 cm e largura. As imensões reais são 36 metros e comprimento e 28, e largura. Qual a escala e o erro gráfico esse mapa? b) Uma estraa e 20 km foi representaa num mapa por um segmento e reta e 6 cm. Qual o comprimento na mapa e outra estraa, paralela à inicial, e 8 km? c) Uma casa com área total e 240 m 2 foi representaa numa maquete numa escala e : 400. A sala e jantar na maquete a casa tem imensões 0, 7 cm e, 2 cm. Qual a razão entre a área total a casa e a área a sala jantar? Exercício 2. Denomina-se velociae méia V m como a razão entre a istância percorria e o tempo t gasto para percorrê-la, ou seja, V m t. a) João percorreu 40 km em horas. Qual foi a sua velociae méia? b) O maratonista Dennis Kimetto correu por aproximaamente 42 km em quase uas horas. Qual foi sua velociae méia? Exercício 3. O consumo méio C m é a razão entre a istância percorria e o consumo e combustível g gasto para percorrer essa istância, ou seja, C m g. a) Maria foi e Salvaor até Maceió (82 km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 48, litros e combustível. Qual foi o consumo méio o carro e Beatriz? b) José foi e Salvaor até Feira e Santana no seu carro em 4 horas com um consumo méio e 6 km/l. Foram gastos nesse percurso 2 litros e combustível. Qual foi a velociae méia entre Salvaor e Feira e Santana? Exercício 4. Densiae emográfica D é a razão entre o número e habitantes n e a área A que é ocupaa por eles, ou seja, D n. A Região A tem área e 0000 km2 A e população e habitantes e a Região B possui área e 8000 km 2 e população e habitantes. Nestas conições, calcule a ensiae emográfica e caa uma as regiões e conclua qual é a mais ensamente povoaa. Exercício. Sabe-se que a istância real, em linha reta, e Recife para Vitória e Santo Antão é igual a 4 quilômetros. Um estuante o IFPE, ao analisar um mapa, constatou com sua régua que a istância entre essas uas ciaes era e centímetros. De acoro com o texto, o mapa observao pelo estuante está em qual escala? Exercício 6. Uma biblioteca precisa encaernar alguns livros. Uma oficina poe encaernar estes livros em 30 ias, outra em 4 ias. Em quantos ias estas oficinas poem cumprir a tarefa se trabalharam ao mesmo tempo? Exercício 7. Um grupo e pessoas foi iviio em uas metaes. Na primeira metae, a razão o número e homens para o mulheres é e para 2, na seguna metae, a razão o número e mulheres para o e homens é e 2 para 3. No grupo too, qual a razão o número e mulheres para o e homens? Exercício 8. O ourives é um profissional que trabalha com objetos e ouro e prata. Ele sabe que o quilate é uma escala para meir a proporção e ouro em uma joia e eciiu erreter ois anéis e ouro para construir uma aliança. O primeiro anel era e ouro 8 quilates e pesava 2 gramas. Já o seguno era e ouro 0 quilates e pesava 6 gramas. Feito isto, o ourives obteve uma aliança e 8 gramas com quantos quilates? Exercício 9. Os números a, b, c são inteiros positivos tais que a b c. Se b é a méia aritmética simples entre a e c, então qual o valor a razão b a c b? Exercício 0. Um os granes problemas enfrentaos nas roovias brasileiras é o excesso e carga transportaa pelos caminhões. Dimensionao para o tráfego entro os limites legais e carga, o piso as estraas se eteriora com o peso excessivo os caminhões. Além isso, o excesso e carga interfere na capaciae e frenagem e no funcionamento a suspensão o veículo, causas frequentes e acientes. Ciente essa responsabiliae e com base na experiência aquiria com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão poe carregar, no máximo, 00 telhas ou 200 tijolos. Consierano esse caminhão carregao com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, poem ser acrescentaos à carga e moo a não ultrapassar a carga máxima o caminhão?

3 3 Exercícios e Aprofunamento e e Exames Exercício. O conomínio e um eifício permite que caa proprietário e apartamento construa um armário em sua vaga e garagem. O projeto a garagem, na escala : 00, foi isponibilizao aos interessaos já com as especificações as imensões o armário, que everia ter o formato e um paralelepípeo retângulo reto, com imensões, no projeto, iguais a 3cm, cm e 2cm. Qual o volume real o armário, em centímetros cúbicos? Exercício 2. Ana e Bia percorrem uma pista circular com velociaes constantes, partino e um mesmo ponto, no mesmo instante, mas em sentios contrários. O primeiro encontro entre elas se á a 48 metros à esquera a largaa e o seguno encontro a 20 metros à ireita a largaa. Qual o comprimento total a pista? Exercício 3. Helena e Gabriel pulam simultaneamente e uma jangaa em um rio e naam em ireções opostas. Gabriel naa rio abaixo seguino a corrente a eterminaa velociae e Helena naa rio acima contra a corrente, possivelmente com uma velociae iferente. Depois e minutos, eles viram e voltam para a jangaa, caa um manteno uma velociae constante urante too o tempo. Quem chega primeiro? Exercício 4. Em seu treino iário e natação, Esmeralinho percorre várias vezes, com um ritmo constante e braçaas, o trajeto entre ois pontos A e B situaos na mesma margem e um rio. O nao e A para B é a favor a corrente e o nao em sentio contrário é contra a corrente. Um tronco arrastao pela corrente passa por A no exato instante em que Esmeralinho sai e A. Esmeralinho chega a B e imeiatamente regressa a A. No trajeto e regresso, cruza com o tronco 6 minutos epois e sair e A. A seguir, Esmeralinho chega a A e imeiatamente sai em ireção a B, alcançano o tronco minutos epois a primeira vez que cruzou com ele ao ir e B para A. Quantos minutos o tronco leva para ir e A até B? Exercício. Em sua velociae usual, um homem esce um rio e quilômetros e comprimento em horas a menos que o tempo que ele gasta naano no mesmo rio percorreno o caminho contrário. Se ele obrar a sua velociae usual, ele passa a escer o rio gastano apenas hora a menos que o tempo gasto na volta. Consierano que a velociae a correnteza o rio se mantém constante urante os trajetos, qual o seu valor km/h? 2

4 Respostas e Soluções.. (Aaptao o Wikipéia e Tutor Brasil) a) A escala fica E , que poe ser verificaa 0 aina com as outras meias aas, marcano com E E o erro gráfico é e 0, mm. 6 b) A escala o mapa é E Agora, um objeto com comprimento e 8 km, no mapa terá , 2 cm com erro e , mm. 6. Uma oficina poe encaernar e toos os livros 30 por ia e outra poe encaernar e toos os livros por 4 ia. Logo, trabalhano juntas, elas poe encaernar e toos os livros por ia. Logo elas precisam e 8 ias. 7. (Aaptao o Tutor Brasil) Sejam H i e M i as quantiae e homens e mulheres no grupo i, com i {, 2}, respectivamente, e x H i + M i. Do primeiro grupo temos: c) As imensões reais a sala e jantar são: 0, x, y x 300 cm 3 m; e y 00 cm m. H H + M + 2 M 2 H H x 3 H M 2 H + M M M 2x 3 Como a área a sala é 3 m 2, a razão entre a área total a casa e a sala e jantar é Aplicano o conceito e velociae méia temos: a) V m 40 b) V m km/h. 2 km/h. 3. Aplicano o conceito e consumo méio ficamos com: a) C m 82 2 km/l. 48, b) V m km/h. 4. Aplicano o conceito e ensiae emográfica temos D A , 8 pessoas/k2. D B , 2 pessoas/k2. Logo, B é mais ensamente povoaa que A.. (Aaptao o vestibular o IFPE (PE) 20) Basta encontra o quociente 0 2 que representa a 4 03 proporção e : Do seguno grupo, temos: H 2 2 M 2 3 H 2 + M 2 H H 2 2x H 2 2 M 2 3 H 2 + M 2 M M 2 3x Agora, observano a razão no grupo too temos: M + M 2 H + H 2 M + M 2 H + H 2 0x + 6x x + 9x 2x 3 + 2x x 3 + 3x 6x 4x (Aaptao o vestibular o IFPE (PE) 20) O novo anel tem o primeiro e o seguno. 4 A razão o quilate ficará então, quilates. 9. (Aaptao o exame o CM e Brasília) Poemos escrever que b a + c, ou 2b ac + c, observano a razão peia e aplicano uma razão 2 conhecia, 3

5 ficamos com b a 2 (b a) c b 2 (c b) 2b 2a 2c 2b a + c 2a 2c (a + c) c a 2c a c c a c a. 0. (Aaptao o ENEM 203) A razão entre as quantiaes e telhas e tijolos é Como o caminhão já recebeu 900 telhas, vamos verificar a quantiae equivalente e tijolos. Assim, , segue que 900 telhas equivalem a 720 tijolos, 720 faltano, para carga máxima, tijolos.. (Aaptao o ENEM 204) Como a escala o projeto é , então as imensões o armário são 00cm, 200cm e 300. Assim, seu volume é igual a cm (Aaptao o vestibular a ESPM (SP) 20) Sejam a e b as quantiaes e metros por minuto que Ana e Bia anam, respectivamente e a istância total a pista. Suponhamos, sem pera e generaliae, que Ana ana para a esquera a linha e largaa, então o primeiro encontro ocorreu após Ana anar 48 metros e Bia 48, em t minutos. Portanto, poemos escrever 48 a 48 b b a Até o seguno encontro, Ana anou 20 e Bia após t 2 minutos, o que gera a b b a Comparano os valores encontraos, temos que ( 48)( 68) ( 6) 0. Daí ou 0, que não convém, ou 6 metros. 3. A istância percorria por Gabriel no tempo e minutos foi D G (V G + V C ), one V G e V C são as velociaes e Gabriel e a correnteza, respectivamente. Já Helena percorreu D H (V H V C ), com velociae V H. Na volta, o tempo t G e Gabriel será D G (V G V C ) t G e t H e Helena será D H (V H + V C ) t H. Perceba que (V H V C ) (V H + V C ) t H e t H VH V C V H + V C <. (V G + V C ) (V G V C ) t G t G VG + V C V G V C >. Então, t H < t G e Helena chega antes. 4. (OBM Eureka 24) Sabemos que: velociae istância tempo e tempo istância velociae. Para as velociaes c a correnteza e v a e Esmeralinho (E) e a istância o ponto A até o ponto B temos que o tronco percorreu até encontro 6c e epois mais c até o 2 encontro. (E) leva minutos para ir e A até B, v + c pois como ele está naano a favor a correnteza ele fica com velociae v + c. Escrevemos t AB v + c. Já para ir o ponto B até o ponto A ele naa contra a v c. correnteza e por isso vai com velociae v c, t BA O tempo que (E) leva para ir o ponto A ao ponto B e o ponto B ao primeiro encontro eve ser igual a 6 minutos, a istância e B até o ponto o primeiro encontro é 6c, já que o tronco já havia percorrio 6c, e motamos a equação: t AB + t B v + c + 6c v c 6 3c 3v. () (E) leva e A até B, e B até A e e A até o 2 encontro 6 + min, então: v + c + v c + c v + c, 2 + c v. (2) 4

6 O tempo que o tronco leva para ir e A até B, ou seja, c. Por () temos 3v + 3c, e substituío (2): 2(3v + 3c) + c v v c. Como 3v + 3c então 66c. O tronco levou A até B: c 66c c. Sabemos que: velociae istância tempo 3 minutos e 2 segunos. e tempo istância velociae. Quano o homem naa no sentio a correnteza, a sua velociae relativa eve ser somaa com a o rio e, quano naa no sentio contrário ao a correnteza, a velociae o rio eve ser subtraía e sua velociae. Primeiramente, sejam c e v as velociaes a correnteza o rio e o homem e a istância percorria. O homem leva v + c minutos, naano a favor a correnteza e v c minutos, naano contra a correnteza. Assim, os aos o enunciao poem ser trauzios no seguinte sistema: v + c v c 2v + c 2v c Multiplicano a primeira equação por (v 2 c 2 ) e a seguna por (4v 2 c 2 ), obtemos (v c) (v + c) (v 2 c 2 ) (2v c) (2v + c) (4v 2 c 2 ) Por comparação, segue que ou seja, (v 2 c 2 ) (4v 2 c 2 ), v 2 4c 2. Como as velociae são positivas, v 2c. Substituino esse valor em qualquer uma as uas equações o sistema, obtemos c 2 e, consequentemente, v 4. Elaborao por Tiago Mirana e Cleber Assis Prouzio por Arquimees Curso e Ensino

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