Seu pé direito nas melhores faculdades

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1 Prova tarde Seu pé direito nas melhores faculdades IBMEC - 05/novembro/006 ANÁLISE QUANTITATIVA E LÓGICA DISCURSIVA a) 9 x, se x p 0. Considere a função f (x) =, em que p é x, se x > p uma constante real. a) Desenhe, no plano cartesiano dado abaixo, o gráfico de f (x) para o caso em que p =. b) Determine p de modo que o máximo valor atingido pela função f (x) seja igual a 5. b) Pelo gráfico, f(x) = 5 se x = ou se x =. Para p =, o valor máximo da função ainda seria igual a 9. Se p =, temos: f(x) = 9 x, se x x, se x > Neste caso, o valor máximo de f(x) é 5. ibmecnov006

2 IBMEC - 05//006 Seu pé direito nas melhores Faculdades 0. Considere um paralelepípedo reto retângulo cujo volume é dado, em termos de um parâmetro real x, por p (x) = x 9x + 0x 0. Suponha que as medidas dos lados da base e da altura do paralelepípedo sejam dadas por três fatores do primeiro grau de p(x), da forma f (x) = x b, f (x) = x b e f (x) = x b, em que b, b e b são constantes positivas. a) Sabendo que p(x) admite três raízes inteiras positivas, determine os fatores f (x), f (x) e f (x). b) Determine o domínio de p(x). c) Calcule o valor de x para o qual o volume do paralelepípedo é igual a 6, sabendo que, neste caso, f (x), f (x) e f (x) serão inteiros. a) Por pesquisa de raízes racionais, é raiz x 7 x + 70 = 0 S = 7 x = 7, x = 0 P = 70 f (x) = x f (x) = x 7 f (x) = x 0 b) P(x) =. (x ). (x 7). (x 0) D = x > 0 x > x 7 > 0 x > 7 x 0 > 0 x > 0 D [P(x)] = {x Z / x > 0} c) (x ). (x 7). (x 0) = 6 x 9 x + 0 x 76 = 0 Por pesquisa de raízes racionais, é raiz: x 5 x + = 0 S = 5 x =, x = P = Como x > 0 x = 0. No plano cartesiano, a reta r passa pelos pontos A = (0, ) e B =,0, sendo um número real positivo. A reta s passa pelo ponto A e é perpendicular à reta r. a) Escreva, em função de, as equações das retas r e s. b) Seja C o ponto onde a reta s intercepta o eixo das abscissas. Determine o valor de para que a área do triângulo ABC seja igual a 5. a) r: A (0, ) B,0 m r = =. Então, considerando o ponto A, temos: y = (x 0) y = x + s: como r s m s = e A (0, ) s: y = (x 0) y = x + b) Considerando s: y = x + e y = 0 0 = x + = x x = C ( ; 0) D = = + = 5 + = 0 + = ±0 () + = 0 ou () + = 0 = 9 = (não convém) 9 = 0 ( )( + ) = 0 = 0 = ou + = 0 = (não convém) Como > 0, então = ibmecnov006

3 Seu pé direito nas melhores Faculdades IBMEC - 05// As equações abaixo devem ser resolvidas em ; i representa a unidade imaginária, isto é, i =. a) Resolva a equação z 9iz 8 = 0. b) Resolva a equação w 6 9iw 8 = Uma caçamba para recolher entulho, sem tampa, tem a forma de um prisma reto, conforme mostra a figura, em que o quadrilátero ABCD é um trapézio isósceles. a) z 9iz 8 = 0 = ( 9i) ( 8) = 8 + = 9 z = 9i ± 7i z = 8i e z = i S = {i; 8i} b) w 6 9i. w 8 = 0 Fazendo w = y, temos y 9iy 8 = 0. Então, como no item anterior y = 8i ou y = i I) y = 8x w = 8i θ = + 6 Considerando um círculo de raio, temos: w 0 = cos + m w = cos + m 6 6 w = cos + m II) y = i w = i θ = + 6 para = 0 θ = 6 5 para = θ = 6 para = θ = z z z 0 As dimensões da caçamba, dadas em metros, são AB =, CD =,, BC = e CG =,5. a) Calcule a capacidade dessa caçamba, em metros cúbicos. b) As chapas de aço que compõem a caçamba devem ser protegidas com tinta anti-corrosiva, tanto na parte interna quanto na parte externa. Calcule a área a ser pintada, em metros quadrados. a) M h, Como o trapézio ABCD é isósceles, temos: MN = DM = NC = 0,6 AD = AM + DM = AM + (0,6) AM = 0,8 A altura do trapézio é 0,8. N Considerando um círculo de raio, temos: w = cos + m w = cos + m 6 6 z z 0 V = S b. H ( +,). 0,8 V =.,5 V =, m b) Cada face precisa ser pintada duas vezes: uma por fora e outra por dentro. w = cos + m Temos, na forma algébrica: S = { + i; + i; i; + i; + i; i} z A =. (. S ABCD ) +. (. S BFCG ) +. S ABEF ( +,). 0,8 A =. + (..,5) + (.,5) A = 0, m ibmecnov006

4 IBMEC - 05//006 Seu pé direito nas melhores Faculdades 06. Dado x [; ], sejam g(x) = + cos (x) e h(x) = sen (x). a) Resolva a equação produto (g(x) ) (h(x) ) = 0. b) Determine os valores de x para os quais a função g( x) f (x) = h( x) assume seu valor máximo. a) g(x) = + cos x e h(x) = sen x, com x [ ; ]. (g(x) ). ( sen x) = 0 (cos x )( sen x) = 0 cos x = sen x = x = 0 x = x = x = x = S = { ; ð ; 0; ð ; } x = b) f(x) = g(x) h(x) g(x) assume valor máximo se cos x = e g(x) = h(x) assume valor mínimo se sen x = e h(x) = a) Márcia deve ser a primeira entrevistada ou deve ser a segunda, sendo que, neste caso, a primeira pessoa entrevistada deve concorrer ao cargo de supervisor. A probabilidade de que isso aconteça é: = + = = = b) Márcia pode ser a primeira entrevistada ou a segunda entrevistada. Se for a terceira a ser entrevistada, as duas primeiras entrevistas devem ser para o cargo de supervisor. A probabilidade, nesse caso, é: = + + = = Se os eixos de uma elipse medem a e b, conforme a figura abaixo, então a área da elipse vale ab A = a) Na figura abaixo, a elipse tangencia as duas circunferências. A maior circunferência tem raio e a menor tem raio. Calcule a área da região sombreada. se g(x) = 0 e h(x) = 0, f(x) assume seu valor máximo. Solução simultânea do item (a) x = ð 07. A fase final de um processo de seleção de gerentes e supervisores para uma empresa é constituída de uma entrevista individual, com duração de uma hora para os candidatos a gerente e 0 minutos para os candidatos a supervisor. Nessa etapa, restam 0 candidatos, sendo 5 para cada um dos cargos. Todas as entrevistas serão realizadas no mesmo dia, sendo chamado um candidato por vez, e não havendo intervalo entre duas entrevistas consecutivas. A ordem de chamada dos candidatos será definida por sorteio, e a primeira entrevista ocorrerá às 0h. b) Na figura abaixo, a figura do item anterior foi repetida dentro dela mesma indefinidamente, de modo que a circunferência maior tem novamente raio, a segunda maior raio, a terceira raio, etc. As elipses sempre tangenciam duas circunferências consecutivas. Calcule o limite da soma das áreas das regiões sombreadas. Márcia, uma das candidatas ao cargo de gerente, está preocupada, pois tem um compromisso nesse dia, precisando sair antes do término da última entrevista. a) Calcule a probabilidade de que a entrevista de Márcia termine até às h0min. b) Calcule a probabilidade de que a entrevista de Márcia termine até às h. ibmecnov006

5 Seu pé direito nas melhores Faculdades IBMEC - 05//006 5 a) S = S e S + S e S = 8. + S = b) Temos que S = S S S a) Determine as equações das retas que suportam os segmentos AC e BC. b) Calcule a área da região sombreada. a) em (x + ) + y = 5 para x = 0 y = ± D (0, ) ya yd 6 m AD = = = xa xd 8 ( ) ( ) A 8, B8, S = S e S = 8.. = 8 S = S e S. =. = As áreas estão em PG de razão q = a 8 lim S = q lim S = lim S = n n n 09. Na figura abaixo, as semi-circunferências têm como suporte as circunferências de equações (x + ) + y = 5 e (x ) + y = 5, e os segmentos AC e BC estão sobre retas que tangenciam estas circunferências. AC AD m AC = y + = (x + 8) AC yb yd 6 m BD = = = xb xd 8 BC BD m BC = y + =. (x 8) BC b) y + = (x + 8) para x = 0 y = C Área =. + Área = , 0. Um artesão resolveu criar um calendário decorativo utilizando sólidos geométricos. Para representar os dias, serão utilizados dois cubos, sendo que cada face de cada cubo deverá ser marcada com um algarismo de 0 a 9. Os dois cubos serão posicionados lado a lado e o par de números que ficar virado para frente indicará o dia do mês. Dessa forma, o artesão pretende marcar as faces dos cubos de modo que se possam formar todas as possibilidades abaixo. Observação: a fonte utilizada pelo artesão permite que o algarismo 6 seja idêntico ao algarismo 9 invertido. ibmecnov006

6 6 IBMEC - 05//006 Seu pé direito nas melhores Faculdades a) Quais algarismos devem ser marcados igualmente nos dois cubos? Justifique sua resposta. b) Como devem ser marcadas as faces de cada um dos cubos de modo a formar todos os dias entre 0 e? Utilize a tabela abaixo para indicar sua solução. Lados do cubo Lados do cubo a) Para que possamos escrever de 0 a devemos ter Os algarismos repetidos serão 0,,. b) Lados do cubo 0 5 Lados do cubo DISTRIBUIÇÃO DAS QUESTÕES Progressões 5% Geometria Plana 5% Probabilidades Lógica Funções % Polinômios Trigonometria Geometria Espacial Complexos Geometria Analítica 9% ibmecnov006