PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST-2017 FASE 1 RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA.

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1 PROA DE MATEMÁTICA DA FUEST-07 FASE PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C GOUEIA 0 Sejam a e b dois números inteiros positivos Diz-se que a e b são equivalentes se a soma dos divisores positivos de a coincide com a soma dos divisores positivos de b_ Constituem dois inteiros positivos equivalentes: e e e e 0 6 e Ma Antônia Gouveia RESOLUÇÃO Divisores de :,, e Soma dos divisores de : Divisores de :, e Soma dos divisores de : Divisores de :, e Soma dos divisores de : Divisores de: e Soma dos divisores de : Divisores de :,, e Soma dos divisores de : Divisores de:,,,, 6 e Soma dos divisores de : Divisores de :,, e Soma dos divisores de : Divisores de0:,,,, e 0 Soma dos divisores de : Divisores de 6:,,, e 6 Soma dos divisores de : Divisores de:, e Soma dos divisores de : Então os números inteiros positivos e equivalentes entre os pares apresentados são 6 e RESPOSTA: Alternativa E O paralelepípedo reto-_retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB =, BC = _ e BF = _ O seno do ângulo HÂF é igual a _ Sendo o ABF retângulo e AF = x: x 6 x 0 x Os retângulos ABFE e EGGH são congruentes, então, AF = FH = ADHE é um quadrado de lado, então, AH = No AFH aplicando a Lei dos Cossenos em relação ao ângulo HÂF: x² = x²+ d² xdcosα ² ² ² cos 0 0 cos cos cos Aplicando a Lei Fundamental da Trigonometria: cos ² sen sen sen sen sen RESPOSTA: Alternativa e

2 João tem R$,00 para comprar canetas em lojas Na loja A, as canetas são vendidas em dúzias, cada dúzia custa R$ 0,00 e há apenas dúzias em estoque Na loja B, as canetas são vendidas em pares, cada par custa R$ 7,60 e há pares em estoque Na loja C, as canetas são vendidas avulsas, cada caneta custa R$,0 e há canetas em estoque O maior número de canetas que João pode comprar nas lojas A, B e C utilizando no máximo R$,00 é igual a 6 R$0,00 R$,00 Loja A: o valor de uma caneta é Com R$,00, João compraria nesta loja 0 :, o que é impossível porque a loja só dispõe de canetas R$7,60 Loja B: o valor de uma caneta é R$,0 Com R$,00, João compraria nesta loja :,0,7, ou seja canetas, que é impossível porque a loja só dispõe de 0 canetas Loja C: o valor de uma caneta é R$,0 Com R$,00, João compraria nesta loja :,0 6,7, ou seja 6 canetas, que é impossível porque a loja só dispõe de canetas Então ele terá que adquiri as canetas em mais de uma loja R$,00 I) Comprando as canetas da Loja A, pagará R$0,00, ficando ainda com R$,00 R$0,00 = R$70,00 Com R$70,00, João poderá comprar canetas na Loja B, gastando R$ 6,0 ou canetas na Loja C, gastando R$ 67,0 Fazendo opção pelas Lojas A e B comprará canetas e se a opção for pelas Lojas A e C comprará canetas II) Comprando as canetas da Loja C, pagará R$,0 R$0,00, ficando com R$70,00 Com este valor poderá comprar canetas na loja A ou canetas na Loja B Fazendo opção pelas Lojas C e A comprará canetas e se a opção for pelas Lojas C e B comprará canetas III) Comprando as 0 canetas da Loja B, pagará R$,0 0 R$76,00, ficando com R$7,00 Com este valor poderá comprar canetas na loja A ou canetas na Loja C Fazendo opção pelas Lojas B e A comprará canetas e se a opção for pelas Lojas C e B comprará canetas O maior número de canetas que João pode comprar nas lojas A, B e C utilizando no máximo R$,00 é igual a RESPOSTA: Alternativa b Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo secreto (ou amigo-oculto) Cada nome é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna, e cada participante retira um deles ao acaso A probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome é 7

3 Considerando que os amigos brincam nesta ordem: o Cláudia, o Paulo, o Rodrigo e o Ana Representando esta distribuição por (C, P, R, A) Como cada participante retira um dos papeis ao acaso, ao todo tem-se! = maneiras diferentes de sorteio: (C, P, R, A) (C, P, A, R) (C, A,P, R) (C, A,R, P) (C, R, A, P) (C, R, P, A) (P, C, R, A) (P, C, A, R) (P, R, C, A) (P, R, A, C) (P, A, R, C) (P, A, C, R) (R, C, P, A) (R, C, A, P) (R, A, C, P) (R, A, P, C) (R, P, A, C) (R, P, C, A) (A, C, P, R) (A, C, R, P) (A, R, C, P) (A, R, P, C) (A, P, C, R) (A, P, R,C) Entre as maneiras diferentes de sorteio, as únicas em que nenhum participante retira seu próprio nome são as destacadas em amarelo Então a probabilidade de que esse fato ocorra é RESPOSTA: Alternativa d O retângulo ABCD, representado na figura, tem lados de comprimento AB = e BC = O ponto P pertence ao lado BC T pertencem aos lados AB, CD RS e BP = Os pontos R, S e e AD, respectivamente O segmento é paralelo a AD e intercepta DP no ponto Q O segmento TQ é paralelo a AB Sendo x o comprimento de AR, o maior valor da soma das áreas do retângulo ARQT, do triângulo CPQ e do triângulo DQS, para x variando no intervalo aberto ]0,[, é A soma das áreas do retângulo ARQT, do triângulo CPQ _ e do triângulo DQS é ( x) x x x S x( x) S x x S S 0,x,x, x x Sendo o coeficiente de x um número negativo no vértice da parábola que representa a função S 0,x,x,, a área assume seu valor máximo Calculando o valor de x:,, x, 0, Em S 0,x,x, substituindo x por, tem-se o valor de S: S S 0,,,, 7,6 S, S 76: 00: S 6, 6,, RESPOSTA: Alternativa a

4 Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB = e BC = Sejam M o ponto médio do lado BC e N o ponto médio do CD lado Os segmentos AM e AC interceptam o segmento BN nos pontos E e F, respectivamente A área do triângulo AEF é igual a A questão pede para se determinar a área do triângulo AEF, contido no triângulo AFB, sendo SAEF = SAFB SABE O objetivo da construção da figura I: determinação da medida de FH, alturado triângulo AFB em relação ao lado AB Os triângulos NCF e ABF, destacados na figura I, são semelhantes e portanto os segmentos correspondentes são NC PF h proporcionais: AB FH h h h 6h h FH FH No quadrilátero BCON, que é um quadrado pois todos os seus lados medem e seus ângulos medem 0 Assim de suas diagonais, é bissetriz do ângulo OBC ˆ BN, uma RESPOSTA: Alternativa d A figura III foi construída com o objetivo de determinar a altura do triângulo ABE Pelo ponto E traça-se EL BC e EJ AB formando-se o quadrado EJBL cujo lado mede x BM = e LM = x MÊL = LÂB os triângulos retângulos são semelhantes, EL LM x x x² x x² AJ EJ x x x EJ x Agora determine-se a área do triângulo AEF: SAEF = SAFB SABE A figura I levou à conclusão de que FH = EJ = 0, 6 SAEF = e a figura III a que

5 6 Considere as funções f(x) x e g(x) log x, em que o domínio de f é o conjunto dos números reais e o domínio de g é o conjunto dos números reais maiores do que 0 Seja h(x) f ( g( x)) g( f ( x)), em que x > 0 Então, h() é igual a 6 0 Se h(x) f ( g( x)) g( f ( x)), então, h() f ( g()) g( f ()) f () e g () log 0 0 (0 ) f ( g()) f g ( f ()) g () log ( ) h() f ( g()) g( f ()) RESPOSTA: Alternativa b 7 O polinômio P(x) = x³ x² + 7x possui uma raiz complexa cuja parte imaginária é positiva A parte real de ³ é igual a 7 Inicialmente determina-se as raízes de P(x) P(x) = x³ x² + 7x P() = + 7 = 0 é uma das raízes de P(x) x³ x² + 7x = 0 (x )(ax + bx + = 0 Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini: P(x) = (x ) (x x + ) 7 0 Determinando as raízes de x x + : fazendo x x + =0 x 0 x 0 i x i x x i x i i i (i) (i) 6i i i A parte real de é P(x) = x³ x² + 7x P() = + 7 = 0 é uma das raízes de P(x) As duas outras raízes são imaginárias: x = a + bi e x = a bi Aplicando as relações de Girad ao polinômio P(x) tem-se: a bi a bi a b a ( a bi)( a bi) a b b As raízes de P(x) são:, +i e i Como a parte imaginária de positiva, = + i Logo = i RESPOSTA: Alternativa a OU

6 6 Um reservatório de água tem o formato de um cone circular reto O diâmetro de sua base (que está apoiada sobre o chão horizontal) é igual a m Sua altura é igual a m A partir de um instante em que o reservatório está completamente vazio, inicia-se seu enchimento com água a uma vazão constante de 00 litros por minuto O tempo gasto para que o nível de água atinja metade da altura do reservatório é de, aproximadamente, horas e 0 minutos horas e 0 minutos 6 6horas e 0 minutos horas e 0 minutos 6 horas e 0 minutos Dados: é aproximadamente,) O volume do cone circular reto de altura h e raio da base r é π r h olume do reservatório:, 6, 00,6m olume do cone de altura O = 6m e raio m:, 6,,m olume do tronco do cone: (00,6,)m = 7, m = 7 0dm A capacidade do tronco do cone é 7 0 litros Como o enchimento do reservatório com água é feito a uma vazão constante de 00 litros por minuto, o tempo gasto para que o nível de água atinja metade da altura do reservatório é de, aproximadamente, (7 0 : 00)min =,6 min,6 min = h + min + 0,6min = h + min + 0,6 60s = h min 0,s Das alternativas o valor mais próximo deste resultado é h 0min RESPOSTA: Alternativa c OBSERAÇÃO: v r v h A) Poderíamos ter encontrado o volume do cone menor usando a relação: ou R H B) Poderíamos ter encontrado o volume do tronco de cone usando a fórmula: R² r² Rr h Duas circunferências com raios e têm centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os dois eixos coordenados Essas circunferências se interceptam em dois pontos distintos de coordenadas (x, y) e (x, y) O valor de ( x y ) ( x y é igual a ) 7

7 7 Se as duas circunferências com raios e têm centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os dois eixos coordenados, a de raio tem centro no ponto O(, ) e a de raio tem centro no ponto O (,) As equações destas circunferências são, (x )² + (y )² = e (x )² + (y )² =, respectivamente Os pontos A e B pertencem às duas circunferências, então suas coordenadas satisfazem às duas equações ( x )² ( y )² x² x y² y x² x y² y 0 ( x )² ( y )² x² x y² y x² x y² y 0 x² x y² y 0 Multiplica ndo E por, tem - se x² x y² y 0 Somando membro a membro as duas equações : A equação x y x y x y 0 x y x y é satisfeita pelas ordenadas dos pontos (x, y) e (x, y), logo: e x y x y² e x y ² Finalmente: x y² x y ² RESPOSTA: Alternativa c 0 Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula: (t) = log ( + sen ( t)), 0 t, em que t é medido em horas e (t) é medido em m³ A pressão máxima do gás no intervalo de tempo [0, ] ocorre no instante t= 0, t= 0, t =, Segundo a Física, P = nrt, equação de estado dos gases perfeitos onde P é o valor da pressão final do gás, é o volume final, n é o número de mols do gás, T é a temperatura e R a constante universal dos gases ideiais Sendo fixa a quantidade do gás, n é constante, bem como, T constante e R a constante universal dos gases ideiais, o valor de nrt é constante Então sendo nrt constante, da relação nrt P conclui-se que P e são grandezas inversamente proporcionais, o que leva a se concluir que P atinge o valor máximo possível, quando atinge o valor mínimo possível (t) = log ( + sen ( t)), 0 t é a fórmula que determina o volume de um gás ideal Analisando esta fórmula chega-se à conclusão de que o valor desse volume será mínimo quando sen ( t) assumir seu valor mínimo, ou seja, quando sen ( t) = sen ( t) = t t t, RESPOSTA: Alternativa