Matemática. Resoluções. Aula 19. Extensivo Terceirão Matemática 7A c a = = = 34 = =

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1 Aula 9 Resoluções Maemáica 7A 9.. c ( ) + Porano, a solução da equação é um número racional e não ineiro. 9.. a f( ) f( ) 9.. b f( ) Como a base é, um número maior do que, a função é crescene. Não eise al que f( ), pois > para odo. f( ) 9.. c f( ) (, ) Como a base é,, um número compreendido enre e, a função é decrescene. Não eise al que f( ), pois (, ) > para odo. 9.. a f (, ) O conjuno solução da equação é {}. 9.. c I. Q () (, 7 ) Como a base é,7, um número maior que, a função é crescene. II. Q() (, ) Como a base é,, um número compreendido enre e, a função é decrescene. 8 III. Q() e, ( e, 8 ) O número e é aproimadamene igual a,78. 8, e > e Porano, como a base é e 8,, um número maior que, a função é crescene c a f () a ( ) + 8 m m + m 8 m oum Porano: i m R Porano, 9.. c m m m m oum Porano: i m R O conjuno solução da equação é {}. 9.. a Para que a massa desinegrada da subsância seja dois erços da massa inicial M, a massa resane deve ser igual a M. M () M M M s Porano, o empo ranscorrido é, s. 9.. c, C() K, C() K K (concenração inicial) + + ou O conjuno solução da equação é {, }. Eensivo Terceirão Maemáica 7A

2 K C () 9, K K 9,, h 9.. c P () P( ), P( ), P( ) P( ) P( ) A população inicial é de abelhas. 9.. e h (),, ( ) ou,,,, Porano, o empo em que o golfinho eseve fora d água durane o salo foi de segundos. 9.. d ( ) k Ce C ( ) k k e e Porano: k ( ) e k ( ) ( e ) ( ) 9.. d, %, de Como a população de P dobra a cada minuos e a população de P dobra a cada minuos, emos: P () P () P () P () 8 9 Porano, o empo decorrido aé que as duas culuras igualassem suas quanidades de bacérias é 9 minuos, ou seja, hora e minuos e + (,) 9.8. c + (,) + + e , T + 8, 8, 8, + 8, 8, 8,, Porano, após, minuos é possível segurar um pedaço de pizza com as mãos nuas, sem se queimar S {} + ( ) + i m m+ m 8 m + 8m m ou m i m R O conjuno solução da equação é {}. 9.. R$., a b ab a, 7 b b 9 Daqui a anos o valor do elevisor será R$.,. Eensivo Terceirão Maemáica 7A

3 Aula.. d + 7 < + 7 < + 7< < A solução da inequação é o inervalo ], [... b Observe no gráfico da função eponencial decrescene que: f( ) < f( ) f( ) > f( ) < f( ) f( ) < f( ) f( ) > f( ).. b a) INCORRETO. O domínio da função é o conjuno dos números reais. Df () b) CORRETO. Im( f ) * + c) INCORRETO. Para qualquer número real, em-se que >. d) INCORRETO. A função é decrescene em seu domínio. e) INCORRETO. A imagem de qualquer elemeno do domínio é posiiva... a > 8 7 > > 7.. d f ( ) f( ) f() f( ) f( ) 8 f( ) f( ) + f () + f( ) + f( ) + f( ) f( ) + f() + f( ) + f( ) + f( ).. b 9 9 Porano, se k perence ao domínio da função f, enão k..7. c ( ).8. b A cada mês o número de peies é muliplicado por,, ou seja, cresce %..9. e L () T () L T a Como > e f( ) < f ( ), a função é decrescene. Porano: < a <.. a b Nb ( ) b b b b.. d ( ).. d Porano, ( ) ( ). ( + ) S {,,,,, } O número de conjunos, de elemenos, que podemos formar com os elemenos de S é igual a C. 9 ou O conjuno solução da equação é {,. } Eensivo Terceirão Maemáica 7A

4 .. d Assim, m n 7 e, porano, m n 7... b + + Assim, B (, ). + + i m m + m m oum R Assim, A,. Porano, a área do riângulo ABC é: Área(ABC).. d ab + + ( ) ( ) c.7. a ab [( ) ( ) ] c ab [( ) ( ) ] c ab ( ) c f ( ) f ( ) + Considere que +. O valor máimo de é a ordenada do vérice da parábola que represena a função, ou seja: V a ( ( ) ) ( ) Porano, o valor máimo de f( ) + é igual a..8. d < < ( ) < < < < < Porano, a inequação em apenas soluções negaivas..9. a) P () A população chegará a indivíduos em anos. b) Escrevemos P() da seguine maneira: P () À medida que o empo aumena, ambém aumena. Assim, se aproima de zero e + se aproima de. Porano, o número de pássaros se aproima de. + V () (, ) V( ) (, ) V( ) 8 V( ) V( ) Porano, o valor de venda do aparameno daqui a rês anos será de R$.,. Eensivo Terceirão Maemáica 7A

5 Aula.. c q a7 a q a 7.. c a) INCORRETO. Se a razão é negaiva, a progressão geomérica é oscilane. b) INCORRETO. Veja eemplos de progressões geoméricas não crescenes com razão posiiva.,,,... q (,, 8,...) q (,,,...) q c) CORRETO. Se a razão é igual a, a progressão geomérica é consane e ambém é uma progressão ariméica de razão. d) INCORRETO. A progressão geomérica ambém pode ser oscilane... c q 8 n an a q n 8 n n+ n+ n.. b a a q 7 a 7 a.. a q n an a q n an n an.. c n an a a 8 8 q.7. c ( + ) ( 7) ( + 7) ou Porano, o valor posiivo de é..8. ọ ermo q n an a q.9. c n n n n n n Porano, é o ọ ermo da progressão geomérica. (,,,...) Porano, a sequência é uma progressão geomérica de razão... b Como < e 89 >, emos: (,,,..., )PG q n an a q n n+ n+ n Porano, k vale... b a a q a a.. b (, ABPA, ) A B A B A (, A, B) PG A B A A A+ B A A+ ( A ) A 8A+ A oua Porano, o valor de A pode ser igual a... d f(+ ) f() e f() f(+ ) f() f() f(+ ) f() f() f(+ ) f() f() Observe que [ f (), f( ), f( ), f( ),...] é uma progressão ariméica de razão e primeiro ermo. Eensivo Terceirão Maemáica 7A

6 f( ) a + ( ) f( ) a + ( ) f( ) a + ( ) 99 Porano, a razão da progressão geomérica é q... a Progressão geomérica A. a 9 79 a a a q 79 q q 9 q a a q a a 7 Progressão geomérica B. A razão da progressão geomérica B é q +. O primeiro ermo da progressão geomérica B é b 7. b b ( q ) b 7 b 89.. c Considerando que a renda per capia em é o primeiro ermo da progressão geomérica, emos: a a a a q q q, q, 7.. c Seja a progressão ariméica ( r,, + r). Adicionando uma unidade ao primeiro ermo, emos uma progressão geomérica. ( r+,, + r)pg r r 9 8 r r+ + r r r r r r r r our r (, 9, )PG r ( 9,, )PG Porano, o primeiro ermo da progressão geomérica crescene é..7. d Sejam q, e q os rês números em progressão geomérica. q q Porano, o ermo cenral da PG é e o ermo cenral da PA é 7. PG,, q q PA ( r,, + r) + r r q q q+ + r q+ r Somando as equações, emos: + q q q q+ q 7q+ q ouq PG ( 8,, ) q PA ( 7,, 7) PG q ( 8,, ) PA ( 8,, ) Como os ermos das duas progressões são posiivos, enão a PA é ( 8,, ), cuja razão é igual a..8. c k k f() r e r e k f( ) r e r e k f( ) r e r e k f( ) r e r e k k k Como a razão da PG é, emos: k r e k e k r e f() + f( ) + f( ) + f( ) 8 k k k k r e + r e + r e + r e 8 k k k k r e + r ( e ) + r ( e ) + r ( e ) 8 r r r 8 Porano, r é um número múliplo de. Eensivo Terceirão Maemáica 7A

7 .9. 8 Seja a progressão ariméica ( r,, + r). Subraindo uma unidade do segundo ermo, emos uma progressão geomérica. ( r,, + r)pg r+ + + r 8 9 r r + r r + 9 r r r ou r r ( 8,, 8)PG r ( 88,, )PG Porano, a maior parcela é 8... n an a q n n ( ) n n n n Eensivo Terceirão Maemáica 7A 7

8 Aula 9 Resoluções 9.. b O número oal de modos é igual a PC 9!. 9.. b A quanidade de modos é igual a PC 8 7!. 9.. a A quanidade de modos é igual a PC 7! b Se PC n, enão (n )!!, ou seja, n, logo, n. 9.. d O número de modos de colorir o círculo é igual ao número de permuações circulares de elemenos, ou seja, PC!. 9.. d Para a escolha de uma equipe de deerminado urno, eisem C 7, escolhas a Para os anagramas que começam por vogal, a primeira lera pode ser escolhida de modos (A ou O). Escolhida essa primeira lera, as ouras podem ser ordenadas de P! modos. Logo, P 8. Para os anagramas que começam e erminam por consoane, a primeira lera pode ser escolhida de modos (P, R ou V). Escolhida a primeira lera, a úlima pode ser escolhida de modos, pois deve ser disina da primeira. Em seguida, as leras inermediárias podem ser ordenadas de P! modos. Porano, P d A escolha dos esudanes denre os disponíveis que ficarão no quaro com duas camas é igual a C,. Para cada uma dessas escolhas, a quanidade de escolha dos esudanes que ficarão no quaro com camas é única, pois C,. Logo, a quanidade de maneiras com que eles podem ser divididos em dois grupos, um com duas pessoas e ouro com rês, para se hospedar no hoel, é igual a a Se não houve qualquer resrição, a quanidade de comissões seria C,. O número de comissões formada com Jorge e Mariana é igual a C 8, 8. Logo, o número de comissões diferenes que podem ser formadas, de modo que não haja parenesco enre seus membros, é igual a e Eisem P! modos de alocar os pais nas eremidades da configuração. Eisem P! modos de alocar os quaro filhos nas posições cenrais da configuração. Logo, eisem 8 modos de se formar a configuração. 9.. c Considerando os lugares lado a lado, a quanidade de modos é igual a: P! Considerando os lugares na mesa circular, a quanidade de modos é igual a: PC 9! A diferença é dada por:! 9! 9! 9! ( ) 9! 9 9! 9.. e Eisem PC 7! modos de disribuir os enrevisadores acadêmicos. Eisem PC 8 7! modos de disribuir os jornalisas. Logo, eisem PC 7 PC 8! 7! modos de disribuir os enrevisadores acadêmicos e os jornalisas. Maemáica 7B 9.. d Eisem P! modos de ordenar os repóreres do Jornal dos Spors. Eisem P! modos de ordenar os repóreres do Era. Para ordenar no círculo os repóreres e o apresenador do programa, pode-se considerar os repóreres do Jornal dos Spors como sendo um único elemeno, considerar os repóreres do Era como sendo um único elemeno, além do apresenador que ambém será considerado como um único elemeno. Assim, eisem PC! modos de ordenar odas as pessoas no círculo, de modo que a quanidade oal de modos de ordenar essas pessoas nas condições apresenadas é igual a P P PC!!! 9.. c A escolha da cor da base da pirâmide pode ser feia de modos possíveis. Escolhida a cor da base, as demais cores para as faces laerais podem ser feias de PC! modos. Logo, eisem PC! modos possíveis de pinar as faces da pirâmide nas condições apresenadas. 9.. e Considerando as bandeiras de Brasil e Porugal como sendo um único elemeno (para que fiquem junas na permuação) e cada uma das ouras bandeiras como sendo um único elemeno, pode-se ordenar os 7 elemenos de PC 7! modos. Além disso, as bandeiras de Brasil e Porugal, junas, ambém podem ser ordenadas de P! modos. Logo, a resposa é igual a PC 7 P!! a Para que pessoas do mesmo seo não se posicionem uma ao lado da oura, necessariamene, deve-se inercalar homens e mulheres. Os homens podem ser ordenadas de PC! modos. Para cada configuração do posicionameno dos homens, as mulheres podem ser ordenadas de P! modos, pois cada mudança na ordem das mulheres gera uma nova configuração, uma vez que cada mulher esará posicionada enre dois homens disinos. Assim, pode-se considerar circular a permuação dos homens, mas simples a permuação das mulheres, e vice-versa. A resposa é PC P!! c A escolha das alunas denre as alunas pode ser feia de C, modos. A escolha dos alunos denre os alunos pode ser feia de C, modos. No círculo, inercalados as alunas e os alunos, as alunas podem ser ordenados de PC! modos. Para cada configuração das alunas, os alunos podem ser ordenados de P! modos, pois ao se alerar a ordem dos alunos, necessariamene em-se uma nova configuração, uma vez que cada aluno ficará posicionado enre duas alunas diferenes. Logo, em-se: n C, C, PC P n n 9.8. c Eisem! modos de ordenar pessoas em lugares disinos. Como os bancos são idênicos, qualquer roação dos bancos não alera a disribuição das pessoas. Logo, a quanidade oal de modos é igual a:!!! Eensivo Terceirão Maemáica 7B

9 9.9. a) A quanidade de maneiras disinas possíveis para escolher dos preparadores físicos para compor a comissão é dada por C,. A quanidade de maneiras disinas possíveis para escolher dos médicos para compor a comissão é dada por C,. Como para cada uma das C, possibilidades de escolha dos preparadores físicos há C, possibilidades de escolha dos médicos, pelo Princípio Muliplicaivo da Conagem, a comissão poderá ser formada de C, C, maneiras diferenes.!! C, C,! 9!! 8! Ou seja, de 99 maneiras diferenes. b) Se dos preparadores físicos são mulheres, enão 8 são homens. Assim, se denre os preparadores físicos a serem escolhidos eaamene iver que ser mulher, há possibilidades de escolha para esa inegrane da comissão, e o número de possibilidades de escolha dos homens é de C 8,. Assim, pelo Princípio Muliplicaivo da Conagem, a escolha dos preparadores físicos poderá ser feia de 8! 8 C 7 8, 8!! maneiras disinas. Aula.. d Eisem modos para escolher a pora de enrada e, escolhida a pora de enrada, eisem modos de escolher a de saída. Logo, eisem modos de escolher a pora de enrada e de saída... b Se cada lançameno pode er resulados, para os lançamenos eisem resulados... e Como o segmeno procurado deve coner dois dos oio vérices de um cubo e não há vérices de um cubo alinhados, basa calcular de quanas maneiras podemos escolher dois dos vérices do cubo, ou seja, C 8, 8... e O número de anagramas da palavra POSITIVO é igual ao número de permuações de 8 elemenos com repeições da lera O e repeições da lera I:, 8! P 8 8!!.. c Para ser divisível por o algarismo das unidades do número deve ser, ou 8. Logo, eisem modos de escolher o algarismo das unidades. Para a escolha do algarismo das unidades de milhar eisem modos, já que o algarismo das unidades deve ser disino do algarismo das unidades de milhar. Para a escolha do algarismo das cenenas eisem modos. Para o algarismo das dezenas eisem modos. Logo, para formar o número, eisem modos... d goleiros jogadores jogadoresdelinha Dos goleiros disponíveis, o écnico deve escolher. Isso pode ser feio de maneiras. Dos jogadores de linha, o écnico deve escolher. Isso pode ser feio de C maneiras. Se, dos médicos, são mulheres, enão 7 são homens. Se esamos considerando as possibilidades em que há apenas mulher na comissão e esa é preparadora física, enão a escolha dos médicos deverá ser feia apenas enre os homens. Assim, a escolha dos médicos poderá ser feia de 7! 7 C 7,!! maneiras disinas. Nessas condições, para cada uma das possibilidades de escolha dos preparadores físicos, há possibilidades de escolha dos médicos, enão, pelo Princípio Muliplicaivo da Conagem, a comissão poderá ser formada de maneiras diferenes. Assim, a probabilidade P de uma comissão para acompanhar os eames anidoping coner uma única mulher, sendo esa preparadora física, será de P ~, ou seja, de aproimadamene,7%. 9.. Os dois inegranes de cada casal podem rocar as posições enre si. Iso pode ser feio de! maneiras para cada casal. A sequência dos cinco casais ao redor da mesa pode ser alerada de! maneiras, em vez de! maneiras, pois a permuação é circular. Dessa forma, a quanidade de maneiras possíveis e disinas de odos os casais senarem-se à mesa simulaneamene é dada por:!!!!!! 78 Porano, eisem eaamene 78 maneiras possíveis de os cinco casais senarem-se à mesa. Porano, o número de maneiras possíveis de ele escolher os jogadores é: C.7. b Para a escolha dos alimenos denre os 8 disponíveis, eisem C 8, modos. Deses modos, eaamene um único coném os cinco alimenos do grupo A. Não é possível escolher alimenos eclusivamene do grupo B. Logo, a quanidade de maneiras diferenes que o paciene erá para escolher os cinco alimenos é igual a..8. b O número de modos de se escolher duas circunferências disinas enre disponíveis é igual a C,. Se duas circunferências quaisquer êm, no máimo, dois ponos comuns, o número máimo de ponos de inerseção enre circunferências disinas é igual a c Eisem C, modos de escolher números denre disponíveis. Se cada escolha cusa reais, enão as escolhas possíveis cusarão reais... a O número de modos de escolher alunos quaisquer enre os é igual a: C, 7. O número de modos de escolher mulheres quaisquer enre as é igual a: C,. O número de modos de escolher homens quaisquer enre os é igual a: C,. Eensivo Terceirão Maemáica 7B

10 Logo, o número de modos de escolher pessoas enre as de modo que em cada comissão haja pelo menos um represenane de cada seo é igual a: 7... c As vogais A e I podem ser ordenadas de P! modos. As consoanes, B, R, S e L podem ser ordenadas de P! modos. Como qualquer anagrama pode começar com consoane ou com vogal, podemos ambém ordenar os dois ipos de leras de P! modos. Logo, a quanidade de anagramas da palavra BRASIL em que as vogais ficam lado a lado, e as consoanes ambém, é igual a 9... d O número de maneiras de escolher pessoas enre pessoas é igual a: C,. O número de maneiras de escolher pessoas enre os 8 homens é igual a: C 8, 7. O número de maneiras disinas de se formar uma equipe de rabalho com pessoas, com a presença de pelo menos uma mulher, é igual a: e Para que cada menino enha, à sua esquerda e à sua direia, pelo menos uma menina, necessariamene, deve-se er uma menina em cada eremidade. Eisem modos de escolher as duas meninas que ficam nos eremos. As pessoas resanes podem se posicionar de P! modos enre as duas meninas já escolhidas, nas posições eremas. Deses modos, eaamene P! 8 modos os meninos esão junos, lado a lado. Dessa forma, o oal de selfies é igual a: (P P ) ( 8).. b Os 8 ponos dados esão alinhados em dois grupos de ponos. Logo, é possível se formar apenas riângulos e quadriláeros. Para formar riângulos, eisem C 8, C, 8 modos. Para formar quadriláeros eisem C, C, modos. Assim, eisem 8 + polígonos conveos disinos... c Eisem P 8 8! anagramas da palavra PERGUNTA. Eisem C, grupos possíveis de alunos escolhidos denre os possíveis. Dessa forma, o número mínimo de anagramas, escrio por urno, de modo que não se repiam grupos de rabalho, é igual a... d Toal de números de cinco algarismos: 9 9 Toal de números de cinco algarismos que não êm dois algarismos consecuivos iguais: Porano, o oal de números de cinco algarismos que possuem pelo menos dois dígios consecuivos iguais é igual a e Vamos supor que as crianças sejam denominadas A, B, C e D. A escolha dos presenes de A pode ser feia de C, modos. A escolha dos presenes de B pode ser feia de C 9, 8 modos. A escolha dos presenes de C pode ser feia de C, modos. A escolha dos presenes de D pode ser feia de C, modo. Dessa forma, a quanidade possível de maneiras diferenes que esses presenes poderão ser disribuídos para essas quaro crianças é dada por: C, C 9, C, C, d Número oal de equipes com fisioerapeuas e enfermeiros: C, C, Número oal de equipes com João (fisioerapeua) e Pedro (enfermeiro): C, C, 8 Número de equipes que não enham João e Pedro simulaneamene: 8.9. a) Para cada pono, emos possibilidades (alo-relevo ou não); para ponos, emos opções. Ecluindo-se o caso em que não há nenhum pono de alo-relevo, emos possibilidades. Resposa: caraceres b) Para os grupos, emos as seguines quanidades de opções:. grupo e. grupo e. grupo 8 C9, C, C, Resposa: 8 modos.. a) ( ) Resposa: ; no máimo, meninos. b) De C, C,, com e, emos:!!!( )!!( )! ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) + ou (não serve) Com, emos ( ). Porano +. Resposa: Eensivo Terceirão Maemáica 7B

11 Aula.. b Pela relação de Sifel, em-se: b Uilizando a relação de Sifel, em-se C + C C.. b Uilizando o eorema da soma das combinações de uma mesma linha, em-se: S S C + C + C + + C S.. b Pelo eorema da soma das combinações de uma mesma linha, em-se: C n+ C n+ C n Cn n n.. a Uilizando a relação de Sifel sucessivas vezes, em-se: b N 8 N C 8 N (N ) 8 N N N 8 ou N 7 (não convém, pois N > ).7. b I. VERDADEIRA n n n n n S n n S C + C + C + + C + C n n n S, n IN n n n n n II. VERDADEIRA n k n n k n C n C n k!, k! ( n k)! n k n IN, k,,,..., n III. FALSA O número de possibilidades de escolher números diferenes enre os números ineiros de a é igual a C. O número de possibilidades de escolher números diferenes enre os números ineiros de a é igual a C. Pelo eorema das combinações com aas complemenares, em-se C C. Logo, o número de possibilidades é o mesmo..8. c A soma dos elemenos da linha n é igual a n. A soma dos elemenos da linha (n + ) é igual a n +. Logo, n + n + n + n n ( + ) n.9. a Observando que! e que!, em-se:! + ou + + ou + A equação + não possui raízes reais. Logo,... a O segundo elemeno da 9 ạ linha é igual a C 8 8. O penúlimo elemeno da 8 ạ linha é igual a C7 C7 7. Logo, (, ) ) FALSA n n n n n n n ) VERDADEIRA + ) VERDADEIRA + + ou + ( + ) ou 8) FALSA ) FALSA + ou + ( ) 7 ou.. c Inicialmene, observe que C C Pela relação de Sifel, sabe-se que C + C C +. Logo: ( ) C+ C+ C+ C+ C C+ C +.. c n n n n n. n Cn+ Cn+ C n + + C n 8. 9 n C n 89. n 8. 9 n 89. n n Eensivo Terceirão Maemáica 7B

12 .. e n n Cn + Cn n n C n ( )! C n Cn + n n 8.. a Se e + são complemenares, enão os numeradores devem ser iguais e os denominadores devem ser complemenares em relação a. Logo:.. b + +. Resolvendo o sisema, em-se e. 9 Porano, C ( + ) ( + ) + + C ( ) ou Observe que não convém, pois não esaria definido. Logo, para, em-se C..7. c A quanidade de números nas n primeiras linhas é igual a n. ( n Nas n primeiras linhas há n + ) n elemenos. Deses, não são números a quanidade igual a ( n+ ) n n n+ ( n ) n n+ Logo: P n n + Q n ( n ).8. (,,, 8) ) VERDADEIRA (n+ )! + (n+ )! (n + 9) n! (n+ ) (n+ ) n! + (n + ) n! (n+ 9) n! (n+ ) (n+ ) n! (n+ ) n! + (n+ 9) n! n! (n+ ) (n+ ) + (n+ ) n + 8 n + n + + n + n 8 n + n n ou n ( não convém, pois n IN) Como, conclui-se que a solução da equação perence ao inervalo [, ]. ) VERDADEIRA Reduzindo ambas as frações ao mesmo denominador e operando, em-se: n n ( n )! n! ( n )! n ( n )! n ( n )! n! ) VERDADEIRA Uilizando o eorema das combinações com aas complemenares, em-se: m+ m 7 m+ C C m 7 m+ m 7 ou( m+ ) + ( m 7) m 8 oum Logo, a soma das raízes da equação é igual a ) VERDADEIRA Uilizando o eorema da soma das combinações de uma mesma linha, em-se: ) FALSA Uilizando a relação de Sifel, em-se: n n.9. 9n + + n n C + C 9n+ Uilizando a relação de Sifel, em-se: Cn+ 9n+ ( n+ ) n ( n ) 9n + ( n ) n n + n n Faorando o polinômio do primeiro membro, em-se: n n + n n+ n n ( n ) + n ( n ) + ( n ) ( n ) ( n + n+ ) O produo é nulo somene se um dos faores é nulo, ou seja: n ou n + n+ ± 97 n ou n Se n IN, enão n... a) S(, ) C + C + C S(, ) + + S(, ) + + S(, ) O resulado indica que eisem modos de se diagnosicar a doença se o paciene apresenar de a sinomas. k n k+ k+ n n b) Snk (, ) C + C + C C C n n n i k n i Eensivo Terceirão Maemáica 7B

13 Aula 9 Resoluções Maemáica 7C 9.. b dmn ( ) + ( 8 ( )) dmn + dmn 9 dmn 9.. c A (, ) B (, ) d AB ( ) + ( ) d AB + d AB a d ( ) + ( h ) d 9 + h 9.. c ( ( )) + ( 7 ) + ( 7 ) ( 7 ) 7 ou7 ou 9.. a P (, ) d AP d BP ( ) + ( ) ( ( )) + ( ) b Sendo L a medida dos lados do quadrado, emos: L dac L ( ( )) + ( ) L + L L Porano, o perímero do quadrado é b Sendo A, B e C, respecivamene, os ponos que represenam a caedral, a prefeiura e a câmara de vereadores, emos: A (, ) B (, ) C (, ) d ( ) + ( ) AB d AC ( ) + ( ) Como a disância real enre a caedral e a prefeiura é de meros, emos: m d d d m 9.8. b d AB ( ( )) + ( ) d AB + Como o riângulo ABC é equiláero, a disância enre A e C é a Seja R ( a, b). (a ) + (b ) (a ) + (b ) 9 (a ) + (b ) (a ) + (b ) + (a ) (b ) 9 (a ) + (b ) Subraindo a primeira equação da segunda, emos: ( a ) ( a ) 9 a a+ ( a a+ ) 7 a 8 a 8, Subsiuindo o valor de a em uma das equações, emos: ( a ) + ( b ) 9 ( 8, ) + ( b ) 9 ( b ) 9, ( b ) 7, b, oub, b, oub, Porano, as coordenadas do pono R são ( 8, ;, ) ou ( 8, ;., ) 9.. b Os ponos A e B são da forma (, + ). ( ) + ( + ) + ( + ) A soma das raízes da equação, ou seja, das abscissas dos ponos A e B é d Vérice da parábola: V V M (, ) Inersecções da parábola com o eio. ou Eensivo Terceirão Maemáica 7C

14 Assim, A (, ) e B (, ). Área do riângulo ABM: Área(ABM) 9.. e f ( ) g ( ) ou g( ) g( ) ( ) A (, ) B (, ) d AB ( ( )) + ( ) d AB + d AB c f ( ) g ( ) ou f() + Assim, o pono de inersecção dos gráficos das funções f e g, no primeiro quadrane, é B(., ) d AB ( ) + ( ) d AB 9+ d AB 9.. a A disância enre dois ponos da rea real é o módulo da diferença enre as suas coordenadas. dab a b 9.. e d AB ( ) + ( ) + 9 d ( ) + ( ) + AC dbc ( ) + ( ( )) O riângulo ABC é escaleno. Como ( 9) ( ) + ( 9 ), o riângulo ABC é reângulo. 9.. b Usando o eorema de Piágoras, emos: ( PP ) ( PP ) + ( PP ) ( ) + ( k ) ( ) + ( ) + ( ) +( k ) + k 9+++ k k + k 8 k 9.7. b G,, Disância enre o baricenro G e o vérice A: d AG + ( ) d AG d AG e O raio da circunferência é. No riângulo reângulo da figura, emos: cos + MN + MN + MN + MN MN 9.9. A +, + (, ) B +, + (, ) d AB ( ( )) + ( ) d AB + d AB d AB 9.. / Sendo A (, ), B (, ) os vérices da base e C (, ) o erceiro vérice do riângulo isósceles ABC, emos: d d AC BC ( ) + ( ( )) ( ( )) + ( ) Eensivo Terceirão Maemáica 7C

15 Aula.. b m AB.. b M + +, (, ) M + +, (, ) Sendo r a rea deerminada pelos ponos M e M, emos: m r.. c + + O coeficiene angular é e o coeficiene linear é... d g m AB k k k k k 8 k.. (, 8, ) ) INCORRETO. A rea pode ser paralela ao eio das abscissas. ) CORRETO. Uma rea perpendicular ao eio das ordenadas é horizonal. Porano, seu coeficiene angular é nulo. ) INCORRETO. Se os coeficienes angulares são posiivos, a inclinação de ambas são ângulos agudos. Porano, as reas não podem ser perpendiculares. 8) CORRETO. Se < α < 9, enão m gα >. ) CORRETO. Se as reas r e s são paralelas, êm a mesma inclinação α. Porano, m m gα. r s.. c O gráfico passa pelos ponos (, ) e ( 9, ). m 9 ( ) + Número de indivíduos para, C :, c A rea r passa pelos ponos (, ) e (,. ) Equação da rea r: m r ( ) + I. CORRETA. O único zero da função é. II. CORRETA. III. CORRETA. IV. INCORRETA. f( ) + f( ) + V. INCORRETA..8. b A inclinação da rea r é 8. Equação da rea r: mr g g ( ) ( ).9. d Os ponos A, P e Q esão alinhados. p q q+ p pq Se p q, emos: p+ p pp p p p oup Porano, a área do riângulo OPQ é... c I. VERDADEIRA. Sendo M o pono médio da diagonal OP, emos: + a + b a b M,, II. VERDADEIRA. As diagonais de um reângulo se inersecam nos respecivos ponos médios. III. FALSA. A ( a, ) B (, b) b b m AB a a IV. VERDADEIRA. Eensivo Terceirão Maemáica 7C

16 .. c O pono simérico de Q (, ), em relação ao eio, é Q (., ) m PQ ( ) b + m gα sec α + g α + sec α α sec secα Porano: 7 7 cosα secα d A P C s B r A equação da rea s é. Assim, as coordenadas do pono B são (., ) Equação da rea r: + Para deerminar as coordenadas do pono C, resolvemos o sisema formado pelas equações de r e s. e Assim, as coordenadas do pono C são (., ) O lado AB mede ( ). O lado BC mede. Usando o eorema de Piágoras, deerminamos a medida do lado AC. ( AC) ( AB) + ( BC) ( AC) + ( AC) AC Porano, o perímero do riângulo ABC é: ( + ).. (,,, 8, ) A C s B r s: e B(,) r : e A(, ) + s : e C(, ) + ) CORRETO. Área Área ) CORRETO. AB ( ) + ( ) 8 AC ( ) + ( ) 8 r BC ( ) + ( ) Como ( 8) + ( 8), o riângulo é reângulo no vérice A. ) CORRETO. O riângulo é isósceles, pois AB AC 8. 8) CORRETO. A alura relaiva ao lado BC mede. ) CORRETO. O pono B(, ) perence ao primeiro quadrane... e Das reas r e s, emos que: a > ( coeficieneangular da rea r) b > ( ordenada do pono em que rinerseca oeio ) c< ( coeficiene angular dareas) d > ( ordenada dopono em que sinerseca oeio ) ( a+ b) ( c + d) ac + ad+ bc + bd ac + ( ad+ bc) + bd Como ac <, a parábola em concavidade volada para baio. Como bd >, a parábola inerseca o eio em um pono de ordenada posiiva. Porano, o gráfico que melhor represena o rinômio ( a+ b) ( c + d) é o da alernaiva e... b A rea s passa pelos ponos (, ) e (., ) m s mr m s mr mr Eensivo Terceirão Maemáica 7C

17 Assim, as equações das reas r e s são: r: ( ) + s: ( ) + Pono em que a rea r inerseca o eio : + + (, ) Pono em que a rea s inerseca o eio : + + (, ) Como as reas se inersecam no pono (,, ) o riângulo delimiado pelo eio e pelas reas r e s em como vérices os ponos (,, ) (, ) e (., ) Porano: ( ) Área.7. d A rea r inerseca o eio das ordenadas no pono (, ) e a rea s inerseca o eio das abscissas no pono ( 7, ). s P r I. FALSA. Como o pono C é equidisane dos ponos A e B, o riângulo ABC é isósceles. Assim, a disância do pono C ao segmeno de rea AB é a disância enre o pono C e o pono médio do segmeno AB. M + +, (, ) d ( ) + ( ) + 9 CM II. VERDADEIRA. A área compreendida enre o segmeno AB e o eio das abscissas é a área do riângulo reângulo ABD. Área(ABD) III. VERDADEIRA. O domínio e o conjuno-imagem de f são: Df () { } Im( f) { } Porano: Df ( ) { } Im( f ) { } IV. VERDADEIRA. O gráfico da função inversa de f passa pelos ponos (, ) e (., ) f ( ) a + b a + b a eb a + b f ( ) + f ( ) +.9. r A C α θ B 7 Pono de inersecção das reas r e s: + e + Porano, a área do quadriláero deerminado pelos eios coordenados e pelas reas r e s é: 7 Área Área 7 Área 7.8. b A(, ) D C(, ) M B(, ) O coeficiene angular da rea AB é. O coeficiene angular da rea BC é. gθ θ g( θ+ α) θ+ α α Porano, o coeficiene angular da rea r é: mr g( θ+ α) mr g( + ) mr g.. a) Para, emos: + + Eensivo Terceirão Maemáica 7C

18 Área do riângulo T: A () A () + ( < < ) A () b) r : + k g ( ) k k + k Para que o gráfico da função g enha somene um pono em comum com a rea r a equação anerior deve er uma única solução, que ocorre quando o discriminane é igual a zero. ( ) k k Aula.. a.. b O coeficiene angular é a e o coeficiene linear é b 7... b A rea passa pelos ponos (, ) e (., ) e A rea passa pelos ponos (, ) e (, ) b Pono médio do segmeno AB: k+ + k M, + k+ k + + k k k + k + 8 k 9 k.. d Assim, os ponos A e B são (, ) e (., ) Pono médio do segmeno AB: + + M, (, ).7. c O coeficiene angular da rea r é..8. d A(, ) B(, 7) 7 Disância enre os ponos A e B: d AB ( ) + ( 7 ( )) d AB + 8 d 7 AB Eensivo Terceirão Maemáica 7C

19 .9. c No riângulo reângulo da figura, emos: + 9 Assim, as coordenadas do pono P são (., ) Equação da rea OP:.. c Os caeos do riângulo reângulo medem e k. ( k ) k k A rea r passa pelos ponos (, ) e (, ) e Os lados do quadrado cinza medem e os lados do quadrado hachurado medem 9. Assim, a rea r passa pelos ponos (, ) e (., ) c r s (, ) (, ) (, ) (, ) A rea s passa pelos ponos (, ) e (., ) a A menor solução posiiva da equação cos é π. Assim, as coordenadas do pono A são (, ). A primeira solução negaiva da equação cos é π. Assim, as coordenadas do pono B são ( π, ). Equação da rea que passa pelos ponos A e B. π π π π+ π π π.. c Para deerminar as coordenadas dos vérices do riângulo, resolvemos os sisemas formados pelas equações das reas, duas a duas. + e + e e Assim, os vérices do riângulo são: (, ),,,, (, /) (, /) Eensivo Terceirão Maemáica 7C (, ) Porano, o riângulo é isósceles e não reângulo... e A equação da rea r é + a. A equação da rea s é 9 + b. Como as reas r e s inersecam-se em um pono de abscissa, emos: + a 9 + b + a + b b a+.. c I. CORRETO. Como o coeficiene angular da rea r é m r, a inclinação da rea r é. II. CORRETO. e + Assim, as reas r e s se inersecam no pono (., ) III. CORRETO. r : s: + + Assim, a rea r inerseca o eio das abscissas no pono (, ) e a rea s no pono (., ) s r A área do riângulo é igual a unidades de área. 7

20 .7. a I. CORRETA. + + Para, emos e. + + Para, emos e. Porano, as rajeórias se inersecam no pono (., ) II. INCORRETA. Como as rajeórias passam pelo pono (, ) em insanes disinos, as parículas não se chocam nesse pono. III. INCORRETA. A parícula Q passa pelo pono (, ) no insane e a parícula P no insane. Porano, a parícula Q passa pelo pono (, ) minuo anes que a parícula P..8. d Os ponos (, ), ( z7, ) e (, ) esão alinhados. z 7 7 z z z Os ponos ( 9, ), ( z7, ) e ( +, ) esão alinhados. z z 9z+ z+ z z+ z Porano: z.9. a) Para deerminar as coordenadas dos vérices do riângulo, resolvemos os sisemas formados pelas equações, duas a duas. e e + e + Os vérices do riângulo ABC são: (, ), (, ), (, ) b) Área do riângulo ABC: Área Área + + Área Área.. B D 8 A E C a) Os riângulos ABC e ADE são semelhanes. AB AC BC AD AE DE 8 8 DE 8 8 DE 8 8 DE DE DE DE DE Como o perímero do rapézio BDEC é 7 cm, emos: DE 7 DE DE DE 9 DE cm 8 8 cm cm Porano: BD 8 cm DE cm EC cm b) + r: Como o pono B perence à rea r, emos: B (, ) AB ( ) + ( ) Assim, B(., ) Equação da rea r, deerminada pelos ponos A(, ) e B(., ) Eensivo Terceirão Maemáica 7C

21 Aula 9 Resoluções Maemáica 7D 9.. c Primeiro poliedro: F 8 N A 8 A A Segundo poliedro: F N A A A Porano, a soma dos números de aresas dos poliedros é igual a +, um número múliplo de e A figura é a planificação de uma pirâmide penagonal, a figura de um prisma penagonal e a figura de um heaedro. 9.. c a) INCORRETO. O eraedro regular em quaro faces riangulares. b) INCORRETO. O eraedro regular em aresas congruenes. c) CORRETO. F N A A A V+ F A+ V + + V 8 d) INCORRETO. O heaedro regular em faces quadrangulares. e) INCORRETO. S i (V ) 9.. d Em um ocaedro regular, emos: F 8 N A 8 A A V+ F A+ V V Como o ocaedro regular em diagonais, em-se menos diagonais do que faces. 9.. e Poliedro regular Faces Aresas Vérices Teraedro Heaedro 8 Ocaedro 8 Dodecaedro Icosaedro Porano, não eise poliedro regular com vérices. 9.. e I. FALSA. Um ocaedro regular em 8 faces riangulares. II. VERDADEIRA. III. VERDADEIRA a O ocaedro regular em vérices, igual ao número de faces do heaedro regular (o ocaedro regular e o heaedro regular são poliedros conjugados ou duais). Essa caracerísica jusifica o fao de a cavidade no inerior da esfera ser ocaédrica d Todo poliedro conveo, regular ou não regular, saisfaz o eorema de Euler. Eisem poliedros não conveos que saisfazem o eorema de Euler. Assim, odo poliedro conveo regular saisfaz o eorema de Euler, mas nem odo poliedro que saisfaz o eorema de Euler é regular, nem odo poliedro que saisfaz o eorema de Euler é conveo e nem odo poliedro que saisfaz o eorema de Euler é poliedro de Plaão e I. CORRETA. F F F F N A + + A A 7 V+ F A+ V V II. INCORRETA. A área oal de um eraedro regular é igual a quaro vezes a área de um riângulo equiláero. Seraedro m III. CORRETA. F N A A A IV. CORRETA. Teraedro regular Heaedro regular Ocaedro regular Dodecaedro regular Icosaedro regular Eensivo Terceirão Maemáica 7D

22 9.. b V+ F A + + F + F A área oal de um icosaedro regular é igual a vine vezes a área de um riângulo equiláero. Sicosaedro cm 9.. b O cubo pode ser inscrio apenas em um ocaedro regular, pois o número de vérices do cubo é 8, igual ao número de faces do ocaedro regular. 9.. b Em orno de cada vérice de um ocaedro regular em-se faces riangulares e equiláeras. Porano, a soma das medidas dos ângulos em orno de cada vérice é. 9.. c B A D São rês pares de reas reversas: AB ecd AC ebd AD ebc C 9.7. b Reirando-se pirâmides congruenes dos vérices do icosaedro regular, obemos um poliedro com faces penagonais (uma em cada vérice) e faces heagonais (uma em cada face). F F + F N A + A A 9 Como em cada aresa o aresão gasa 7 cm de linha, emos: 9 7 cm cm, m O aresão gasou no mínimo, meros de linha e Teraedro regular: S i ( ) 7 Heaedro regular: S i ( 8 ) Ocaedro regular: S i ( ) Dodecaedro regular: S i ( ) 8 Icosaedro regular: S i ( ) Porano: a O dodecaedro regular em faces penagonais. N A A A O número de aresas visíveis na figura é. Porano, o número de aresas não visíveis é. 9.. b F F + F N A + A A 9 V+ F A+ V + 9+ V Porano, o poliedro é o ocaedro regular, com 8 faces a) F N A A A V+ F A+ V + + V S i (V ) S i ( ) b) D CV A D C D D 9.. F F 8 F 8 N A 9 + A A, Como o número de aresas não é um número ineiro, o poliedro não eise. Eensivo Terceirão Maemáica 7D

23 Aula.. b Observe a base do prisma:.. c m m m,7 m 8 cm º sen cm 8 8 cos cm 8 8 V Sb H V V V 9 cm.. c Van que, 9, m liros Para que o líquido resane ocupe os de sua capacidade, devem ser reirados liros liros... e V Sb H n V h V n h.. a A figura é a planificação de um prisma cuja base é um riângulo reângulo. + 8 V Sb H 8 V V Observação: No enunciado, afirma-se equivocadamene que a figura represena a planificação de um sólido de base quadrada., m m, m m m m m m m m, m A área oal da superfície da peça pode ser decomposa em uma soma das áreas de reângulos. S, + +, + + 7, + +, + + (, + +, ) S 88, m.. d Vpiscina Sb H Vpiscina 9 m Porano, para encher 8% do volume da piscina são necessários m, m..7. e Sejam e, em cenímeros, as dimensões da folha original. As dimensões da caia serão cm, ( ) cm e ( ) cm. V ( ) ( ) 9 ou Porano, as dimensões da folha original são cm e cm e a área da superfície eerna da caia será igual a: cm (área da região azul da folha).8. a O perímero da base do prisma heagonal regular é cm. Assim, cada aresa da base mede cm. V Sb H V V V 7, 9, cm Porano, a capacidade do recipiene é de aproimadamene 9 ml..9. Área oal das paredes, desconsiderando-se poras e janelas: (, +, ) m Área oal do piso: m Eensivo Terceirão Maemáica 7D

24 ) INCORRETO. Deve-se comprar, m de azulejos para o revesimeno. ) INCORRETO. Deve-se comprar, 8, 8 m de cerâmica para o revesimeno. Assim, deve-se comprar 8, 8, m a mais de azulejos do que cerâmica. ) CORRETO. 8) INCORRETO. m + 8, 8m 88, m.. c Sendo l a medida dos lados do heágono regular, emos: l l l n n V Sb H V V 8.. e O volume da peça é a diferença enre os volumes dos dois prismas heagonais regulares. Vpeça V peça Vpeça 9 cm.. d O volume da peça é a diferença enre os volumes dos dois prismas heagonais regulares. 8 Vpeça Vpeça 89 Vpeça 7 Vpeça 7,7 99 cm.. e V 8 H H cm Aumenando a largura e o comprimeno, em % e %, respecivamene, emos: cm, 9 cm 8 cm, cm V 9 H' H' cm Porano, em relação à alura original, a nova alura deverá ser reduzida em cm cm cm... e S i 7 ( V ) 7 V V.. b Sendo h a alura da parede para o aerro e o comprimeno do erreno nivelado, emos: senα, h, h m rua α m + h + m Porano, o volume do aerro será: V Sb H h V V V m parede para o aerro eerna ao erreno h m erreno.. (,, 8) ) CORRETO. Observe na figura a represenação das bases dos dois prismas. cm Usando a lei dos cossenos, emos: + cos + cm Porano, as aresas das bases do prisma maior medem cm. ) CORRETO. S L( prisma maior) SL( prisma maior) 8 cm ) INCORRETO. V( prisma menor) V( prisma menor) cm Eensivo Terceirão Maemáica 7D

25 8) CORRETO. V( prisma maior) V( prisma maior) 8 cm V( prisma menor) cm V( prisma maior) V( prismamenor) 8 V( prismamaior) V( prisma menor) cm ) INCORRETO. V( prisma maior) V( prisma menor ) (, ) ) INCORRETO. S n ( ) S n ( + )cm ) CORRETO. Observe na figura a represenação da base do prisma. B cm C A cm h cm cm cm ( ) + h h cm Porano: V Sb H V + V cm ) INCORRETO. O prisma em faces laerais reangulares. 8) INCORRETO. S Sn + S b S + + S ( + ) cm E D ) CORRETO. Em cada base o prisma em vérices. Porano, o número de vérices é..8. e A caçamba adquirida deverá ransporar qualquer ipo de caia. O comprimeno da caçamba deve ser múliplo comum de cm, cm e cm, ou seja, deve ser múliplo de cm. A largura da caçamba deve ser múlipla comum de cm, cm e cm, ou seja, deve ser múlipla de cm. A alura da caçamba deve ser múlipla comum de cm, cm e cm, ou seja, deve ser múlipla de cm. Porano, o único ipo de caçamba que cumpre odas as condições é o V..9. a) m m + Como mero é igual a cm, uma epressão para o volume do bloco reangular, em cenímeros cúbicos, é: V V ( ) ( ) V ( ) + b) O valor de para o qual o volume é máimo é a abscissa do vérice da parábola que represena a função. b V a ( ) Para cm, o volume do bloco reangular será máimo... 7 kg m m m m, m Vpiscina +, Vpiscina + 7 Vpiscina 7 m 7 liros Porano, deverão ser usados 7 7 kg de produo químico para raar a água. Eensivo Terceirão Maemáica 7D

26 Aula.. V V F F V (V) V a V m (V) S a a a 9 a dm V a V 7dm 7 liros (F) Vparalelepípedo 8 9m Vcubo m (F) S S S 8 m (V) D D + 8+ D 89 D 7 m.. (, 8, ) ) CORRETO. V m liros V liros liros ) INCORRETO. 9 9 V liros liros ) INCORRETO. V liros liros 8) CORRETO. V liros liros ) INCORRETO. V liros liros ) CORRETO. V liros liros.. d As dimensões do paralelepípedo B são 8 cm, cm e cm. VB 8 VB 8 cm.. c AB AB AB 77.. e Após rês horas e meia do início do preenchimeno, o volume de água na piscina é, 7 liros 7, m. Sendo h a alura que a água ainge, emos: V 7, h 7, h, m cm.. a Vleie ( + ) Vleie ( + ) m.7. (,,, 8) ) CORRETO. Sejam k, k e k as dimensões do paralelepípedo. k k+ k k+ k k 98 k 98 k 9 k cm Porano: V k k k k V cm ) CORRETO. As dimensões do paralelepípedo são cm, cm e 9 cm. ) CORRETO. Soma das medidas das aresas: ( cm+ cm+ 9 cm) 7 cm 8) CORRETO. D D cm Como, a diagonal é maior do que cm..8. (,, ) ) CORRETA. Sejam, e + as dimensões do paralelepípedo, em cenímeros. ( ) ( + ) 8 ( ) ( ) 8 Porano, a soma é + +, um múliplo de. ) INCORRETA. V V cm ) CORRETA. S + + S 8 cm 8) INCORRETA. D + + D 77 cm ) CORRETA. Uma das dimensões é cm. Eensivo Terceirão Maemáica 7D

27 .9. e Vcubo a a Seja L a medida dos lados do heágono regular. L L + L 8 L Porano, o perímero do heágono é 8... a As aresas do cubo B medem, cm.,, h h cm,,.. b O nível da água era de m m O nível da água passou a ser de m 7, m. Porano, o volume de água deslocado é igual a: ( 7, ), m liros.. m Seja a medida dos lados da base quadrada. Como cada diagonal do paralelepípedo mede meros, emos: m Porano: V V m.. 7 (,, 8, ) Como α π rad, o riângulo reângulo XBY é isósceles. X β A D D cm C cm ) CORRETO. ( D) + ( D) D cm ) CORRETO. ( D ) + ( D ) D cm B D Y ) INCORRETO. A área do riângulo XBY é, cm. 8) CORRETO. V V cm ) CORRETO. S + + S 9 cm 9, dm ) INCORRETO. sen β π sen π π sen π.. e HE senα EI EI m EI ( EI) ( HE) + ( HI) + ( HI) HI m Vpiscina Vparalelepípedo + Vprisma Vpiscina + Vpiscina m Porano: V piscina m m liros.. 8 dm AB AD 8 AD AD dm No riângulo reângulo AED, emos: ( AD) ( AE) + ( ED) ( ) ( AE) + 8 ( AE) 8 ( AE) AE dm Porano: ED AE Vágua AB 8 Vágua 8 Vágua 8 dm.. e E a A a D H d a BH a + a + ( a) BH a a F B a G a C Eensivo Terceirão Maemáica 7D 7

28 No riângulo reângulo AEH, emos: ( AH) a + ( a) ( AH) a + a ( AH) a AH a No riângulo reângulo BAH, emos: AB AH BH d aa a d d a a a.7. e Sejam k, k e k as dimensões da nova embalagem. Como o volume da nova embalagem deve ser o dobro da embalagem aual, emos: k k k k k cm Porano, as dimensões da nova embalagem devem ser cm, cm e cm..8. b D O C BO No riângulo reângulo ABO, emos: ( AO) ( AB) + ( BO) ( AO) ( 7) + ( AO) 8 AO OB AB AO d 7 d 7 7 d d A B 7.9. a) As dimensões da caia são, e. Como liros equivalem a dm, emos: dm Porano, o valor de é cm. b) Área da folha reangular plana: Área Área Como cm, m, emos: 8 (,) 8, Área,8 m Como o maerial cusa R$, por meros quadrado, o cuso dessa caia é 8, R$, R $ 8,... a) Sejam, q e q as dimensões do paralelepípedo, com q maior do que. Perímero da face de menor área: + q Perímero da face de maior área: q+ q Porano: q+ q q ( + q) q + q ( + q) b) Para q as dimensões do paralelepípedo são, e. S m Porano: V V m 8 Eensivo Terceirão Maemáica 7D

29 Aula d A soma de um polinômio do ọ grau com um polinômio do ọ grau é um polinômio do ọ grau. 9.. c P() P() P() c Em um polinômio idenicamene nulo, odos os coeficienes são iguais a zero. Um polinômio idenicamene nulo se anula para qualquer número. Não se define o grau do polinômio idenicamene nulo. 9.. c Como o polinômio P() se anula para, enão P(). 9.. d A soma de dois polinômios do ọ grau pode ser um polinômio de grau igual ou inferior a ou o polinômio nulo. 9.. c 9 P() P() P() P() P() 9.7. a P() Q() a + b + c + d + a b c d a+ b+ c+ d + + ( ) c O grau de p() é. O grau de p() é. O grau de [p()] é.. O grau de [p()] é.. Porano, o grau de [p()] + [p()] + p() é c P Q ( + ) ( + ) P Q P Q + + P Q+ R ( ) P Q+ R + Porano, o grau de P. Q + R é. 9.. d m + m Resoluções Maemáica 7E 9.. c m em m oum em Porano, m. 9.. d P() + b + c P() + b + c b + c P() + b + c b + c b+ c b e c b + c 9.. b P() (m + n p) + (m + n p) + (p ) m + n p m + n m + n p m + n m, n 8 e p p p Porano: m + n + p b n m P() n P() n + n + m mn n P() n (mn + ) + n + m n P() Q() n (mn + ) + n + m n + + n m n m m Porano: m n 9.. c A soma dos coeficienes é igual a P(). P() ( + ) 9.. b + + A B + C + ( + ) A ( + ) + (B+ C) ( + ) ( + ) + + A + A + B + C + + (A + B) + C + A A C A+ B + B B Eensivo Terceirão Maemáica 7E

30 9.7. d + 9 a( + ) + b( + ) + c + 9 a + a + a+ b + b+ c + 9 a + (a+ b)+ a+ b+ c a a+ b + b b a+ b+ c 9 + ( ) + c 9 c Porano: a b + c ( ) e I. CORRETA. P() P() 7 II. INCORRETA. P( ) P( ) ( ) + ( ) (9 ) P( )... parcelas P( ) III. INCORRETA. P() IV. CORRETA Aula.. c O grau do quociene é... d Se um polinômio é divisível por ouro, o reso da divisão é igual a zero... a A ( ) B ( ) R ( ) Q ( ) A ( ) B ( ) Q ( ) + R ( ).. b O reso da divisão é igual a... d O quociene da divisão é +... b O quociene da divisão é p ( + ) ( ) p p + A afirmação é verdadeira. 9.. P() P( ) P() + P( ) + A + B+ C + [ ( ) + A ( ) + B ( ) + C] + A + B + C + + A B + C A + C A A C C P() + B P( ) ( ) + B ( ) B 8 A + B + C a Seja P() o dividendo da divisão. P ( ) P() ( + ) ( 8 8+ ) + 7 P() P() c p ( ) p) ( + + 7)( + ) + 8 p() p) O coeficiene do ermo de grau é e O quociene da divisão é q +. O quociene da divisão é e o reso é. Eensivo Terceirão Maemáica 7E

31 .. d O quociene da divisão é +... d Observe que o polinômio f é divisível por. 9.. a Porano: Q ( ) Q( ) Q( ) 8.. e P ( ) + + P ( ) ( + ) ( ) + + P() ( + ) ( ) + + P() ( ) + + P().. e + m + n (m + ) + n (m ) + n (m ) + n m m n n.. a + b+ + ( a + + ) ( a+ ) + ( b+ ) + a+ (a+ ) + a a b a a b a a+ b + + a eb 7 a a b ( 7).. c + m n (m ) n + (m ) n+ (m ) n+ m m n+ n m+ n +.7. e A() O reso da divisão é igual a e + 8+ S( ) S( ) ( ) + + S ( ) ( ) + + S ( ) Porano, S ( ) a + a a + a a a.. a) p ( ) [ q ( )] a d a + b + c ( d+ e) a + b + c d + de + e b de c e b) p( ) a + b + c p ( ) [ a + c] a + a c + c b a c b ac Eensivo Terceirão Maemáica 7E

32 Aula.. c P ( ) R R P( ).. a P() R P( 7).. c O polinômio P() é divisível por ( ) ( + ) 9... d O grau será um polinômio de grau menor que, ou seja,, ou. Assim, n <... c Se P( ), enão P() é divisível por. Se P( ), enão P() é divisível por. Porano, P() é divisível por ( ) ( )... a A soma dos coeficienes de um polinômio P() é o valor numérico de P() para, ou seja, P(). P( ) Porano, o polinômio P() é divisível por..7. e k P( ) k k + + k k k i m m m m ou m k k k k k R.8. c P() + a + a + a + a a a.9. d O reso da divisão é +... d + p() p( ) + m + ( ) ( ) + m ( ) + + m+ + m+ m m.. d P Q R O grau do reso é menor que o grau do divisor. r< m.. a + p( ) n m ( ) + ( ) + n m ( ) + ( ) Para que a igualdade anerior seja verdadeira, m e n devem ser números pares... a + ( ) ( ) Assim, + p + q é divisível por e por. + p + q + p + q p+ q p+ q.. d Da primeira equação, emos que p+ q. ( + ) ( ) Assim, + m + n é divisível por + e por. ( ) + m ( ) + n ( ) + m + n m n m en 7 m+ n m+ n + ( 7).. e f ( ) f() f ( ) f( ) O reso da divisão de f por ( ) ( ) é da forma a + b. Eensivo Terceirão Maemáica 7E

33 f ( ) ( ) ( ) a + b q( ) f() ( ) ( ) q ( ) + a + b f() ( )( ) q( ) + a + b f( ) ( ) ( ) q( ) + a + b a+ b a eb a+ b Porano, o reso é... a P( ) P( ) + m + m + m + m m m R( ) ( ) ( ) Porano: ( m+ ) ( + ) ( 8).7. 7 (,, 8, ) ) CORRETO. Seja p() um polinômio que divide a() e b(). a ( ) p ( ) q( ) b ( ) p ( ) q ( ) a ( ) b ( ) r ( ) q ( ) a() b() q ( ) + r( ) p() q( ) p ( ) q( ) q( ) + r ( ) r ( ) p ( ) [ q ( ) q ( ) q ( )] Porano, p() divide r(). ) CORRETO. a( ) b ( ) q( ) a ( ) b ( ) q ( ) a( ) + a( ) b ( ) q( ) + b ( ) q( ) a ( ) + a ( ) b ( ) [ q ( ) q ( )] Porano, b() divide a ( ) + a ( ). ) INCORRETO. Eemplo: O polinômio b( ) ( ) divide o produo dos polinômios a( ) ( ) ( + ) e a( ) ( ) ( ), mas não divide a( ) e não divide a ( ). 8) CORRETO O reso + divide o quociene ) CORRETO. a ( ) b ( ) q ( ) Seja α uma raiz de b(). b( α) a ( ) b ( ) q ( ) a( α) b( α) q( α) a( α) q( α) a( α) Porano, α é uma raiz de a()..8. a V ( ) A ( ) H ( ) A( ) ( + ) A ( ) + Porano: A ( ) A ( ) + ( ). A ( ) ( + ) ( ).9. a e b 7 p() + + a + b a+ b p( ) + + a + b a+ b 7 a+b a eb 7 a+ b 7.. a, b e c p ( ) ou p ( ) 7+ ou p( ) a + b + c p( ) a ( ) + b ( ) ( ) + c p( ) a + b + c 8a+ b+ c 8a+ b+ c a, b ec a+ b+ c Eensivo Terceirão Maemáica 7E