DICAS PARA RESOLUÇÃO - LISTA 5 ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) t

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1 DICAS PARA RESOLUÇÃO - LISTA 5 ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) 0. a, a, a, A a, a, a,,,, a a a a) A + B B b)a s, s, s, S s, s, s, s, s, s,,,,,,,, :, 6 s a + b + + s a + b + + s R s a) A B b) A A Considere a mariz C A B. Assim, X A B C C x, c, R : x c,, C x R x 06. c,, : c,, 6 8 a ) b ) ( ) ( ) a, a, a, A a, a, a,,,, a a a O deerminane de uma mariz que apresena duas linhas (ou colunas) iguais vale A 09. A B D A B R 4 + IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO MATRIZES E DETERMINANTES LISTA 5 DICAS PARA RESOLUÇÃO

2 0. a) ZERO, porque a mariz apresena duas linhas iguais (segunda e quara). b) ZERO, porque a mariz apresena duas colunas proporcionais (primeira e quara). c) ZERO, porque a mariz apresena a erceira colunas com odos os valores iguais a zero.. Quando muliplica-se ou divide-se uma linha ou uma coluna de uma mariz por um número real qualquer, seu deerminane fica muliplicado ou dividido por esse número. Assim: R x x. Quando muliplica-se ou divide-se uma linha ou uma coluna de uma mariz por um número real qualquer, seu deerminane fica muliplicado ou dividido por esse número. Assim: R Segundo o eorema de Bine o deerminane do produo enre duas marizes é igual ao produo dos deerminanes das de A B de A de B. marizes, ou seja, Como o deerminane de da mariz A é nulo (segunda linha em elemenos proporcionais aos elemenos da primeira linha) seu valor é igual a 0. Assim o produo dos deerminanes, independene do valor do deerminane da mariz B é igual a Duas observações: - o deerminane da mariz ransposa é igual ao deerminane da mariz original. - muliplicar a mariz por significa muliplicar odos os seus elemenos por. Assim: R 8 5. Propriedade: Ao se rocar a posição relaiva enre duas linhas (ou colunas) de uma mariz seu deerminane roca de sinal. Segundo o exo do exercício a mariz B foi criada, a parir da mariz A, rocando0 a posição enre a primeira e a erceira colunas. Por isso o deerminane de B apresena sinal conrário ao de A. R A B x x x Assim: : de de 6. y y y,,,,,, Y y y y y y y,,, Menor complemenar do elemeno y y, y, y, 6 6 y, y, y, y, y, y, y, y, y, y,,,,,,,,,,,,, y a + b y a + b y a + b y a + b ( menor complemenar de y ) de : Quando muliplica-se ou divide-se uma linha ou uma coluna de uma mariz por um número real qualquer, seu deerminane fica muliplicado ou dividido por esse número. Assim: R ( ) e ( ( ) ) 8. s, s, s, S s, s, s, s, s, s,,,,,,,,,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s a + b s a + b s a + b R : ZERO, porque a erceira linha da mariz é uma combinação linear das duas primeiras (o elemeno da erceira linha é igual ao dobro do elemeno da primeira linha somado ao elemeno da segunda linha). 0. x, x, x, X x, x, x, x, x, x,,,,,,, 9 4 x a + b x a + b + + R : como odos os elemenos siuados abaixo da diagonal principal (i > j), são iguais a 0, o valor do deerminane é igual ao produo dos elemenos da diagonal principal. IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO MATRIZES E DETERMINANTES LISTA 5 DICAS PARA RESOLUÇÃO

3 . A 4 4 A A A n n n n A A 0 0 n n 0 A A a) é possível pois as marizes apresenam mesma ordem (x) b) uma mariz quadrada B de ordem n é simérica quando ela for igual à sua ransposa. B e B 0 c) a mariz idenidade de ordem é I d) B a mariz B não admie inversa pois não exise o resulado da divisão de um número real diferene de zero por zero. 4. Conceios que não nos ineressa. Desconsiderar o exercício. 5..cos D A gy y + a. seny + gy.cos y gy.cos y seny a. gy.cos y seny seny D( A) a. seny +.cos y seny a..cos y cos y cos y D( A) a. seny + seny seny a. seny A R : P Q ( P Q) 8. A B + C x y x x + y z w + z + w w + x x + 4 x y 6 + x + y y y 6 + y 4 w w + w z + z + w z z + z AB R : a) n e m4 b) m não é necessariamene igual a d) sempre e) se A e B apresenarem ordem x, por exemplo, o produo não esará sequer definido.. ( 0 ) erceiralinha de A segunda coluna de B 4 elemeno c não exise a. a 6 linha de A MN NM MN NM A R : IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO MATRIZES E DETERMINANTES LISTA 5 DICAS PARA RESOLUÇÃO

4 5. A A A e B C A + B C a + a + 0 b 0 b + b a 4 b + b 0 + a 4 a b + b 0 b 0 b 0 R : a b B 0 0 a b b + 0 A B a b b a b b 4 como b 4 emos a b a 4 a x + x x + x AB x + x BA + x x + x + x x Se AB BA, enão : x + x x 0 x 0 x 40. ( x) ( ) ( 4 ) A A B + + x + x Se 4 + x 0 x 4 4. primeira mariz : segunda mariz : ordens erceira mariz : quara mariz : comoemos quemuliplicar delase subrair deumaerceira, aúnica possibilidadeé : A quara mariz B segunda mariz C erceira mariz x AB C 0 x + 0 x + x x x x 0 0 Como AB C, emos : 0 x 0 x 0 x Paraquea mariz AX possa ser somadacoma mariz B essa deveer ordemigual a. Sendoaordemda mariz Aigual a, enãoa mariz X deveráer ordemigual a. a Supondo X X b X AX + B a a + b 4 a a + b b a + b 4 b a + b + 4 a a + b + 4 b 4 b a + b a + 4 a Assim X R : 4 4 IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO MATRIZES E DETERMINANTES LISTA 5 DICAS PARA RESOLUÇÃO 4

5 4. AX X x + y x 4x y y x + y x x y 4x y y 4x 6y ( ) x y comoo sisema apresenainf inias soluções y já queas equações sãoidênicas e x, a alernaiva a ser marcada deverá ser descobera por meio deena ivas. Faça essasenaivas!!!! A A + B C A A + + R : a) ( x ) + ( x ) b) ( x ) ( x ) c) ( x ) x ( x ) d) ( x ) x ( x ) e) ( x ) x ( x ) não verifica condição 47. Se A e B são marizes x enão a mariz X deverá apresenar a mesma ordem. Assim, supondo a b X c d eremos: a c b d a + c b + d a c a e c 0 a + c b d b e d b + d 48. x y AB x + y x y x 0 e y xy 0 x + y 49. x + y z + w 0 5x + y 5z + w x + y x e y 5 5x + y 0 z + w 0 z e w 5z + w Assim, yz ( 5) ( ) p + q 0 MT 6 q 0 p + q 0 p e q 6 6 q 0 R : p q ( ) x y z 4 x y z 4 4 x x 6 y y z z 0 R : xyz Se M N P IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO MATRIZES E DETERMINANTES LISTA 5 DICAS PARA RESOLUÇÃO 5

6 x + y ( x + 4) y + 9x + 4y 4 9y + 4x x + 4y 4 x e y 6 4x + 9y 6 R : y x ( R) ( S ) ( T ) emordem( 4) r s, 4 Assim, r + s basa efeuar a operação soliciada AB a) A B c) A + B d) B A e) B B B AB BA AB BA ( ) mariz oposa de A A A 4 5 mariz oposa de A ( ) A a + 0 a b 0 b c c 4 + d 0 d 6. condição para muliplicação : n r 6. Supondoa mariz B doipo m n ( ) ( m n) ( 5) m e n 5 6. Efeuandoodas as muliplicaçõeseremos : x + y a) x + y x + y b) x y 4 + x c) 6 y 4 + x d) y x + y e) x y A A 6 IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO MATRIZES E DETERMINANTES LISTA 5 DICAS PARA RESOLUÇÃO 6

7 65. 0 A A B a b 4 a + 5b 67. a e b 7. a) valor dos veículos ciados: 485, ,0 084,78 diferença: 70,6 084,78 85,58 ese valor corresponde ao IPVA de dois veículos da marca A. b) muliplicando a mariz M (valores do IPVA) pela mariz 0, ermos como resulado o valor oal do IPVA, iso é, ,8 + 7,8 + 98, 40 a lera c deveria ser nm 68. ea marizy ( ). ( + + ) ( ) ( ) ( XY ) Como a mariz X é deordem, o produoesá definidoe será deordem XY de 69. Quando muliplica-se ou divide-se uma linha ou uma coluna de uma mariz por um número real qualquer, seu deerminane fica muliplicado ou dividido por esse número. Assim: R Quando muliplica-se ou divide-se uma linha ou uma coluna de uma mariz por um número real qualquer, seu deerminane fica muliplicado ou dividido por esse número. Assim: R 7. de ( B ) de ( A) ( c c c) 8 c 8 c 7 c 7. suponha de ( A) x x x 48 9 IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO MATRIZES E DETERMINANTES LISTA 5 DICAS PARA RESOLUÇÃO 7