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Transcrição

1 27$%5(9(62%5(2&2&(,72'(0e',$ +OLR%HUQDUGR/RSHV O coceto de éd surge de odo budte dscl de Métodos Esttístcos, resete e utos cursos de lcectur de sttuções de eso sueror. Surge, de gul odo, e doíos ode oção de cso está usete, s ode o coceto de éd cotu ser essecl o trteto de ddos lgdos deterds grdezs. A tedêc r utlzção de odelos qutttvos, e úero cd vez or, e doíos do sber, deterou ecessdde de colher qutddes, sere s vsts, de forção uérc, cohds do corresodete trteto. Nos feóeos estuddos que ssue crácter letóro, rocede-se o corresodete estudo trvés de ostrge dequd, que oss servr de bse ferêcs útes. É este âbto que surge, de odo erete, o recurso o coceto de éd, orete o estudo ds dstrbuções de frequêcs. Neste doío, cotudo, o coceto de s vst lcção é o de éd rtétc, sej o cso de ostrs de ddos ão clssfcdos, sej o de clssfcdos. Acotece, oré, que este utos outros cocetos de éd, todos eglobdos u eressão gerl ds éds. E eso est é d u rtculrzção du coceto s gerl de éd, que se referrá dte, e que é éd-φ. O CONCEITO DE MÉDIA SEGUNDO CAUCHY Adt-se que se retede estudr deterd oulção, e toro de certo trbuto qutttvo. O rocesso segudo, or rzões dverss, evolve obteção de u ostr reresettv d oulção, que se escreve qu coo: (, 2,..., ) R, (,...,), N. Sej: Jorlst.

2 { :,..., } { :,..., } M resectvete, o ío e o áo do cojuto dos eleetos d ostr. Te-se, etão, segute DEFINIÇÃO. Dd ostr, (,..., ), R, (,...,), N, dá-se o oe de éd d ostr segudo Cuchy qulquer vlor, c R, que se coreed etre o ío e o áo do cojuto dos vlores d ostr, ou sej: c M. Coo se tor evdete, se os vlores d ostr fore todos gus u costte rel R, K R, éd d ostr segudo Cuchy vle tbé K: c K. Vej-se, sobre este coceto, o segute EXEMPLO. Cosdere-se ostr de desão, 35, orud de cert oulção, que se ostr trz que se segue Neste cso, o ío e o áo d ostr vle, resectvete: 9. Ass, ode fzer-se: c 5 coo sedo o vlor d éd d ostr segudo Cuchy, u vez que se te, os teros d defção: 5 9. Ms tbé ode tor-se r éd d ostr segudo Cuchy, or eelo: c 7 u vez que se te: M M 7 9. Cové rerr o crácter etreete sles dest defção, s que ão corresode à eucção de u de bl o teo de Cuchy. Ad hoje, se questodo, u luo que descoheç u qulquer defção de éd ds s M

3 corretes, é quse certo que lhe ão ocorrerá resost sles e evdete que se coté defção gor resetd. E ote-se, d, que est defção sles e evdete, fl, de à rgúc de que utlzr u lo co r su terlzção. MÉDIA ARITMÉTICA A éd rtétc de u ostr é edd de loclzção s utlzd, e tto o cso do estudo ds dstrbuções de frequêcs, coo os csos de ddos ão clssfcdos. Atete-se, os, su DEFINIÇÃO. Dd u ostr letór, (,..., ), R, (,...,), N, éd rtétc d ostr é defd or: No cso de ddos ão clssfcdos, or: ( ) ode N, (,..., ), é frequêc bsolut d clsse, co N o úero de clsses e or o cso de ddos clssfcdos. À eressão () ode dr-se for: f ode: f é frequêc reltv d clsse, (,..., ). Vej-se, s u vez, o cso d ostr do eelo teror, s gor trtdo à luz do coceto de éd rtétc, co os ddos clssfcdos, ou se o estre.

4 EXEMPLO. Cosderdo ostr tl coo fo terorete resetd, ou sej, se os seus eleetos estre clssfcdos, éd rtétc d ostr vle: , ode 35 é resectv desão. Procededo gor à clssfcção dos eleetos d ostr, o ressuosto de que oulção corresodete é costtuíd or eleetos do cojuto: {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} é-se coduzdo o qudro que se ostr de segud: elo qul se obté o vlor d éd rtétc d ostr: , coo se vu trás. Fclete se deostr que éd rtétc de u ostr, (,..., ), é u cso rtculr do coceto de éd segudo Cuchy, ddo ser: {,..., } {,..., }. No cso de os eleetos d ostr sere todos gus u costte, K R, vrá, coo é evdete: K. No doío d Mecâc, ode delete se cosder cojutos de otos: { },... bcsss reltvete certo eo oretdo, co sss de vlor utáro, éd d ostr, (,..., ), corresode o cetro de grvdde do cojuto desses otos. Note-se, e fce do que se ostrou o eelo teror, que éd de u ostr, orud de cert oulção, ode ão ser u vlor d es. Trt-se, tão-só, de u edd de loclzção d ostr. PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA A éd rtétc de u ostr reset u cojuto vsto de roreddes, tods els, se dúvd, de grde utldde o cálculo do seu vlor. Sej, etão, ostr, (,..., ), R, (,...,), N, K R, e sej: (,..., )

5 éd rtétc d ostr. Te-se, etão, segute roredde: ( ) ( ) + K,..., + K,..., + K. Est roredde erte, e certs crcustâcs, fcltr o cálculo d éd d ostr, uto e esecl, se os vlores d es fore grdes e uto róos. É o que ss co ostr que se segue: cuj éd ve dd or: ( ) ( ) + 00, ,..., , 7,..., , , 54. co K R. U segud roredde é que se trduz or: (,..., ) (,..., ) K K K U tercer roredde, d, é defd or: ( +,..., + ) (,..., ) + (,..., ) y y y y que é etesível o cso de ostrs d es desão: ( ) j,..., j j,..., j. j j j U ov roredde, qurt, relco éd de u ostr de desão, N, co s ds subostrs, de desões,,..., k, k N, + + k, tedo-se:,..., ( ) + + k k ode,(,..., k), é éd d subostr. k

6 Ass, se se decouser ostr do eelo cl s três sub-ostrs: resectvete, co s desões, 4, 4 e 7, e co éds, 3,93, 5,2 e 4,43, éd d ostr cl vle: 4 3, , , 43 4, U ov roredde, qut, é que se trduz elo fcto de ser ul éd dos desvos dos eleetos d ostr reltvete à éd dest, ou sej: co {,...,}. ( ) 0 Flete, set roredde d éd rtétc, que se trduz o fcto do seu vlor oder ser obtdo trvés d dção de u costte rbtrár, K R, à éd dos desvos dos vlores d ostr reltvete à referd costte: K + ( K) Retodo o eelo cl, e todo, este cso, costte, K 4, ode escrever-se ov trz costtuíd elos desvos dos eleetos d ostr reltvete àquel costte cosderd, coo se ostr de segud.

7 A éd rtétc dos vlores dest ostr, cotd trz, vle: , elo que éd d ostr do eelo cl vle: 4 + 0, 54 4, 54 coo já se hv ostrdo. MÉDIA GEOMÉTRICA A éd geoétrc é u outro coceto de éd, s uto ouco utlzdo o useo de dstrbuções de frequêcs, o cotráro do que se dá co éd rtétc. Areset, e todo o cso, lgu teresse, or eelo, estção de úeros ídces, be coo e lgus outros doíos d Esttístc, sedo que se defe es r ostrs costtuíds or eleetos res ostvos. Vej-se, etão, su DEFINIÇÃO. Dd u ostr letór, (,..., ), R +, (,...,), N, éd geoétrc d ostr é defd or: No cso de ddos ão clssfcdos, or: g g ( 2) ode N, (,..., ), é frequêc bsolut d clsse, co N o úero de clsses e or:

8 o cso de ddos clssfcdos. Voltdo, s u vez, o cso do eelo resetdo clete, éd geoétrc d ostr resetd, co os seus eleetos ão clssfcdos, vle: 35 g , 84. Do eso odo, se os eleetos d ostr se resetre clssfcdos coo terorete se ostrou, éd geoétrc rocurd clcul-se or: g , 84 cujo vlor cocde co o chdo rtr d ostr co os eleetos ão clssfcdos. Note-se que, or lcção d fução logrítc à eressão (2), or eelo, se obté: log g log log ou sej, o logrto d éd geoétrc de u ostr é, fl, éd rtétc dos logrtos dos eleetos d es, que se dá, or vezes, desgção de éd logrítc. O coceto de éd geoétrc, r lá ds lcções referds trás, é usdo o estudo de feóeos cujs vrções são roorcos deterdo vlor cl. MÉDIA HARMÓNICA U tercero to de éd, tbé se grde teresse o estudo ds dstrbuções de frequêcs, s que é de grde utldde e stuções e que ão te lógc dcor vlores d ostr, é o de éd hróc, que se troduz co segute DEFINIÇÃO. Dd u ostr letór, (,..., ), R\{0}, (,...,), N, éd hróc d ostr é defd or: h ( 3)

9 o cso de ddos ão clssfcdos, or: h ode N, (,..., ), é frequêc bsolut d clsse, co N o úero de clsses e: o cso de ddos clssfcdos. Ddo que (3), or eelo, se ode escrever for: h tl ostr que éd hróc de u ostr é o verso d éd rtétc dos versos dos eleetos d es. O resete coceto de éd ode lcr-se, fclete, à ostr clete dd, suodo que es trduz turez de certo roble tíco d lcção do coceto de éd hróc, obtedo-se o vlor: h 2, 3. A lcção dos cocetos de éd rtétc, geoétrc e hróc à ostr cosderd logo o íco do resete teto, costtuíd or úeros res ostvos, coduzu vlores que stsfze codção: > g > h. Or, est codção é uversl r u ostr qulquer, (,..., ), R +, (,...,), N, desde que os eleetos d ostr ão sej todos gus etre s. FÓRMULA GERAL DAS MÉDIAS As três éds que se referr tes - rtétc, geoétrc e hróc - são csos rtculres do coceto de éd de orde, que se troduz co segute

10 DEFINIÇÃO. Dd u ostr letór, (,..., ), R +, (,...,), N, dá-se o oe de éd de orde, R, o vlor d eressão: Fclete se ercebe que: ( ) ( 4) ( ) ( ). h No cso, 0, (4) coduz u deterção. A es ode ser levtd or recurso à Regr de Hostl, obtedo-se, etão: l ( ) g ou sej: 0 ( ) ( 0) ( ). g h De gul odo, ode ostrr-se que se te: { } l ( ),..., { } l ( ),..., e tbé que (4) é crescete co. De fcto: R, d( ) d coo ode corovr-se fclete, desde que ostr sej costtuíd or eleetos res ostvos. No cso, 2, obté-se desgd éd qudrátc d ostr: ( 2) > uto utlzd e estudos de covergêc de dstrbuções. Pr o cso d ostr cosderd clete ve: ( 2) 4, o que ostr que ( ) cresce co R, coo se referu.. 2

11 MÉDIA-φ Pode d geerlzr-se o coceto de éd de orde, tes resetdo, troduzdo o ovo coceto de éd-φ, que se eõe segute DEFINIÇÃO. Sej φ : R R, u fução vertível o seu doío, e (,..., ) u ostr letór, N e R +, (,...,). Dá-se o oe de éd-φ d ostr o vlor φ, tl que: φ ( φ ) No cso de ddos ão clssfcdos, or: φ ( φ ) φ φ ( ) ( ) ode N é o úero de clsses, N frequêc bsolut d clsse, e sedo: No cso de ddos clssfcdos. Se fução φ : R R for fução φ( ) costtu éd de orde, já tes estudd: ( φ ) EXEMPLO. Sej φ : R R, ( ) φ e φ φ, R e R +, éd-φ e, R. Te-se, etão: e e φ l. Alcdo o resete coceto de éd-φ à ostr do eelo cl, vrá r vlor d éd-φ: φ 6, 87..

12 EXEMPLO. Sej, gor, fução φ : R 0 + elo que vrá: Te-se qu: ( ) φ + 2 φ R, dd or: φ φ Achdo, este cso, o vlor d éd-φ r ostr do eelo cl, obté-se: φ 2, 87. MÉDIA APARADA Coo se referu o troduzr oção de éd rtétc, est te esecl ortâc o estudo ds dstrbuções de frequêcs. Acotece, coo fclete ode corovr-se, que se trt de u coceto ouco fleível, e forteete fluecdo elos vlores etreos que oss surgr ostr. Co fldde de evtr os efetos descoselháves de ossíves vlores etrvgtes, recorre-se o coceto de éd rd, que se troduz co segute DEFINIÇÃO. Sej α [0,]. Dá-se o oe de éd rd 00 α% d ostr (,..., ), R, (,...,), N, à éd rtétc dos eleetos d ostr, deos d es ser etrd dos 00 α% dos seus eores vlores, e de 00 α% dos ores. No cso e que α0,25, éd rd to o oe de e-éd. Corresode, os, à éd rtétc d etde cetrl d ostr estudd, bdodo s 25% observções s bs e s 25% s elevds. Vej-se, este roósto, o segute EXEMPLO. Retodo ostr do eelo cl, fclete se oderá estr que vlor d su e-éd será, sesvelete, 4,24. Co o resete teto rocurou ostrr-se udde que está subjcete o coceto de éd, oerdo, o fl, u lger cursão u doío s odero

13 do trteto de ostrs, ode rocur retrr-se ds ess forção que oss cusr dstorção os vlores estr. BIBLIOGRAFIA MELLO, F. Glvão de (993): Probblddes e Esttístc. Cocetos e Métodos Fudets - Volue I, Escolr Edtor, Lsbo. MURTEIRA, Beto José Ferrer e BLACK, George Hubert Joseh (983): Esttístc Descrtv, McGrw-Hll de Portugl Ld. MURTEIRA, Beto J. F., (993): Aálse Elortór de Ddos - Esttístc Descrtv, McGrw-Hll de Portugl Ld.