NOTA BREVE SOBRE O CONCEITO DE MÉDIA 1

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1 NOTA BREVE SOBRE O CONCEITO DE MÉDIA O coceto de méda surge de modo abudate a dscla de Métodos Estatístcos, resete em mutos cursos de lcecatura de sttuções de eso sueror. Surge, de gual modo, em domíos ode a oção de acaso está ausete, mas ode o coceto de méda cotua a ser essecal o tratameto de dados lgados a determadas gradezas. A tedêca ara a utlzação de modelos quattatvos em úmero cada vez maor de domíos do saber, determou a ecessdade de colher quatdades semre mas vastas de formação umérca, acomahadas do corresodete tratameto. Nos feómeos estudados que assumem carácter aleatóro, rocede-se ao corresodete estudo através de amostragem adequada, que ossa servr de base a ferêcas útes. É este âmbto que surge, de modo ermaete, o recurso ao coceto de méda, mormete o estudo das dstrbuções de frequêcas. Neste domío, cotudo, o coceto de mas vasta alcação é o de méda artmétca, seja o caso de amostras de dados ão classfcados, seja o de classfcados. Acotece, orém, que estem mutos outros cocetos de méda, todos eglobados uma eressão geral das médas. E mesmo esta é ada uma artcularzação dum coceto mas geral de méda, que se referrá adate, e que é a méda-φ. O CONCEITO DE MÉDIA SEGUNDO CAUCHY Admta-se que se retede estudar determada oulação, em toro de certo atrbuto quattatvo. O rocesso segudo, or razões dversas, costtu-se a obteção de uma amostra reresetatva da oulação, que se escreve aqu como: Artgo ublcado em MILLENIUM, 34, Abrl, 2008, Isttuto Sueror Poltécco de Vseu.

2 (,,..., ) 2 R, (=,...,), N. Sejam: { :,..., } { :,..., } = m = = ma = m M resectvamete, o mímo e o mámo do cojuto dos elemetos da amostra. Tem-se, etão, a segute DEFINIÇÃO. Dada a amostra, (,..., ), R, (=,...,), N, dá-se o ome de méda da amostra segudo Cauchy a qualquer valor, m c R, que se comreeda etre o mímo e o mámo do cojuto dos valores da amostra, ou seja: m mc M. Como se tora evdete, se os valores da amostra forem todos guas a uma costate real, K R, a méda da amostra segudo Cauchy vale também K: Veja-se, sobre este coceto, o segute m c = K. EXEMPLO. Cosdere-se a amostra de dmesão, = 35, oruda de certa oulação, que se mostra a matrz que se segue Neste caso, o mímo e o mámo da amostra valem, resectvamete:

3 m = = 9. M Assm, ode fazer-se: m c = 5 como sedo o valor da méda da amostra segudo Cauchy, uma vez que se tem, os termos da defção: m = 5 9 =. M Mas também oderá tomar-se ara méda da amostra segudo Cauchy, or eemlo: uma vez que se tem: m c = 7 m = 7 9 =. M Covém rearar o carácter etremamete smles desta defção, mas que ão corresode à eucação de uma dea baal ao temo de Cauchy. Ada hoje, se questoado um aluo que descoheça uma qualquer defção de méda das mas corretes, é quase certo que lhe ão ocorrerá a resosta smles e evdete que se cotém a defção agora aresetada. E ote-se, ada, que esta defção smles e evdete, afal, dea à argúca de quem a utlzar um amlo camo ara a sua materalzação. MÉDIA ARITMÉTICA A méda artmétca de uma amostra é a medda de localzação mas utlzada, e tato o caso do estudo das dstrbuções de frequêcas, como os casos de dados ão classfcados. Atete-se, os, a sua DEFINIÇÃO. Dada uma amostra aleatóra, (,..., ), R, (=,...,), N, a méda artmétca da amostra é defda or:

4 m a = = = o caso de dados ão classfcados, e or: ma = = = ( ) ode N, ( =,..., ), é a frequêca absoluta da classe, com N o úmero de classes e: o caso de dados classfcados. ode: À eressão () ode dar-se a forma: = = m = = f a = f = é a frequêca relatva da classe, ( =,..., ). Veja-se, mas uma vez, o caso da amostra do eemlo ateror, mas agora tratado à luz do coceto de méda artmétca, com os dados classfcados, ou sem o estarem.

5 EXEMPLO. Cosderado a amostra tal como fo aterormete aresetada, ou seja, sem os seus elemetos estarem classfcados, a méda artmétca da amostra vale: ode = 35 é a resectva dmesão. m = a = Procededo agora à classfcação dos elemetos da amostra, o ressuosto de que a oulação corresodete é costtuída or elemetos do cojuto: {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} é-se coduzdo ao quadro que se mostra de seguda: 4, elo qual se obtém o valor da méda artmétca da amostra: m = a = , 54 como se vu atrás. Faclmete se demostra que a méda artmétca de uma amostra, (,..., ), é um caso artcular do coceto de méda segudo Cauchy, dado ser: {,..., } {,..., } m m ma. a No caso de serem os elemetos da amostra todos guas a uma costate, K R, vrá, como é evdete: m = a = K.

6 No domío da Mecâca, ode dealmete se cosderam cojutos de otos: { },... abcssas relatvamete a certo eo oretado, com massas de valor utáro, a méda da amostra, (,..., ), corresode ao cetro de gravdade do cojuto desses otos. Note-se, em face do que se mostrou o eemlo ateror, que a méda de uma amostra, oruda de certa oulação, ode ão ser um valor da mesma. Trata-se, tão-só, de uma medda de localzação da amostra. PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA A méda artmétca de uma amostra areseta um cojuto vasto de roredades, todas elas, sem dúvda, de grade utldade o cálculo do seu valor. Seja, etão, a amostra, (,..., ), R, (=,...,), N, K R, e seja: = m (,..., ) a méda artmétca da amostra. Tem-se, etão, a segute roredade mortate: a ( ) ( ) m + K,..., + K = m,..., + K. a a Esta roredade ermte, em certas crcustâcas, facltar o cálculo da méda da amostra, muto em esecal, se os valores da mesma forem grades e muto rómos. É o que assa com a amostra que se segue: cuja méda vem dada or:

7 ( ) ( ) = m + 00, ,..., = m, 7,..., , = 04, 54. a Uma seguda roredade é a que se traduz or: a (,..., ) = (,..., ) m K K Km a a com K R. Uma outra roredade, ada, é a defda or: ( +,..., + ) = (,..., ) + (,..., ) m y y m m y y a a a que é etesível ao caso de amostras da mesma dmesão: ( ) m a j,..., j = ma j,..., j. j= j= j= Uma ova roredade, a quarta, relacoa a méda de uma amostra de dmesão, N, com as das subamostras, de dmesões,,..., k, k N, = + + k, tedose: ( ) m,..., = a + + k = = k k ode,( =,..., k), é a méda da subamostra. Assm, se se decomuser a amostra do eemlo cal as três subamostras:

8 resectvamete, com as dmesões, 4, 4 e 7, e com médas, 3,93, 5,2 e 4,43, a méda da amostra cal vale: m = a = 4 3, , , 43 4, Uma ova roredade é a que se traduz elo facto de ser ula a méda dos desvos dos elemetos da amostra relatvamete à méda desta, ou seja: com {,...,}. ( ma ) = Falmete, a seta roredade da méda artmétca, que se traduz o facto do seu valor oder ser obtdo através da adção de uma costate arbtrára, K R, à méda dos desvos dos valores da amostra relatvamete à referda costate: = 0 m a = K + ( K) = Retomado o eemlo cal, e tomado, este caso, a costate, K = 4, ode escrever-se a ova matrz costtuída elos desvos dos elemetos da amostra relatvamete àquela costate cosderada, como se mostra de seguda.

9 A méda artmétca dos valores desta amostra, cotda a matrz, vale: elo que a méda da amostra do eemlo cal vale: como já se hava mostrado. MÉDIA GEOMÉTRICA m a 4 + 0, 54 = 4, 54 A méda geométrca é um outro coceto de méda, mas muto ouco utlzado o mauseo de dstrbuções de frequêcas, ao cotráro do que se dá com a méda artmétca. Areseta, em todo o caso, algum teresse, or eemlo, a estmação de úmeros ídces, bem como em algus outros domíos da Estatístca, sedo que se defe aeas ara amostras costtuídas or elemetos reas ostvos. Veja-se, etão, a sua DEFINIÇÃO. Dada uma amostra aleatóra, (,..., ), R +, (=,...,), N, a méda geométrca da amostra é defda or: o caso de dados ão classfcados, e or: mg = = ( 2) 0, 54

10 m g = = ode N, ( =,..., ), é a frequêca absoluta da classe, com N o úmero de classes e: o caso de dados classfcados. = = Voltado, mas uma vez, ao caso do eemlo aresetado calmete, a méda geométrca da amostra aresetada, com os seus elemetos ão classfcados, vale: 35 m g = , 84. Do mesmo modo, se os elemetos da amostra se aresetarem classfcados como aterormete se mostrou, a méda geométrca rocurada calcula-se or: m g = , 84 cujo valor cocde com o achado a artr da amostra com os elemetos ão classfcados. Note-se que, or alcação da fução logarítmca à eressão (2), or eemlo, se obtém: log m g = log = = = log ou seja, o logartmo da méda geométrca de uma amostra é, afal, a méda artmétca dos logartmos dos elemetos da mesma, a que se dá, or vezes, a desgação de méda logarítmca.

11 O coceto de méda geométrca, ara lá das alcações referdas atrás, é usado o estudo de feómeos cujas varações são roorcoas a determado valor cal. MÉDIA HARMÓNICA Um tercero to de méda, também sem grade teresse o estudo das dstrbuções de frequêcas, mas que é de grade utldade em stuações em que ão tem lógca adcoar valores da amostra, é o de méda harmóca, que se troduz com a segute DEFINIÇÃO. Dada uma amostra aleatóra, (,..., ), R\{0}, (=,...,), N, a méda harmóca da amostra é defda or: o caso de dados ão classfcados, e or: mh = = ( 3) m h = = ode N, ( =,..., ), é a frequêca absoluta da classe, com N o úmero de classes e: o caso de dados classfcados. = = Dado que (3), or eemlo, se ode escrever a forma:

12 m h = = = = tal mostra que a méda harmóca de uma amostra é o verso da méda artmétca dos versos dos elemetos da mesma. O resete coceto de méda ode alcar-se, de modo fácl, à amostra calmete dada, suodo que a mesma traduz a atureza de certo roblema tíco da alcação do coceto de méda harmóca, obtedo-se o valor: m h 2, 3. A alcação dos cocetos de méda artmétca, geométrca e harmóca à amostra cosderada logo ao íco do resete teto, costtuída or úmeros reas ostvos, coduzu a valores que satsfazem a codção: m a > m g > m h. Ora, esta codção é uversal ara uma amostra qualquer, (,..., ), R +, (=,...,), N, desde que os elemetos da amostra ão sejam todos guas etre s. FÓRMULA GERAL DAS MÉDIAS As três médas que se referram ates - artmétca, geométrca e harmóca - são casos artculares do coceto de méda de ordem, que se troduz com a segute DEFINIÇÃO. Dada uma amostra aleatóra, (,..., ), R +, (=,...,), N, dáse o ome de méda de ordem, R, ao valor da eressão: m( ) = m =. = ( 4)

13 Faclmete se ercebe que: m( ) = m m( ) = m =. h No caso, = 0, (4) coduz a uma determação. A mesma ode ser levatada or recurso à Regra de Hostal, obtedo-se, etão: ou seja: lm m( ) = m g 0 m( ) = m m( 0) = m m( ) = m. a g h De gual modo, ode mostrar-se que se tem: { } lm m( ) = m,..., { } lm m( ) = ma,..., e também que (4) é crescete com. De facto: a R, dm( ) d > 0 como ode comrovar-se faclmete, desde que a amostra seja costtuída or elemetos reas ostvos. No caso, = 2, obtém-se a desgada méda quadrátca da amostra:

14 m( 2) = 2 2 = = muto utlzada em estudos de covergêca de dstrbuções. Para o caso da amostra cosderada calmete vem: m( 2) = 4, o que mostra que m( ) cresce com R, como se referu. MÉDIA-φ Pode ada geeralzar-se o coceto de méda de ordem, ates aresetado, troduzdo o ovo coceto de méda-φ, que se eõe a segute DEFINIÇÃO. Seja φ : R R, uma fução vertível o seu domío, e (,..., ) uma amostra aleatóra, N e R +, (=,...,). Dá-se o ome de méda-φ da amostra ao valor m φ, tal que: φ ( m φ ) o caso de dados ão classfcados, e or: φ ( m φ ) = φ = = φ = = ( ) ( ) 2

15 ode N é o úmero de classes, N a frequêca absoluta da classe, e sedo: o caso de dados classfcados. = = EXEMPLO. Se a fução φ : R R for a fução φ( ) =, R e R +, a médaφ costtu a méda de ordem, já ates estudada: ( mφ ) = mφ = = =. EXEMPLO. Seja φ : R R, φ( ) e mφ = e, R. Tem-se, etão: e e = = = mφ = l. Alcado o resete coceto de méda-φ à amostra do eemlo cal, vrá ara valor da méda-φ: m φ 6, 87. EXEMPLO. Seja, agora, a fução φ : R 0 + R, dada or: ( ) φ = + 2 Tem-se aqu:

16 + m 2 φ = = + 2 elo que vrá: 2 + mφ = mφ = = = 2 Achado, este caso, o valor da méda-φ ara a amostra do eemlo cal, obtémse: m φ 2, 87. MÉDIA APARADA Como se referu ao troduzr a oção de méda artmétca, esta tem esecal mortâca o estudo das dstrbuções de frequêcas. Acotece, como faclmete ode comrovar-se, que se trata de um coceto ouco fleível, e fortemete fluecado elos valores etremos que ossam surgr a amostra. Com a faldade de evtar os efetos desacoselháves de ossíves valores etravagates, recorre-se ao coceto de méda aarada, que se troduz com a segute DEFINIÇÃO. Seja α [0,]. Dá-se o ome de méda aarada a 00 α% da amostra (,..., ), R, (=,...,), N, à méda artmétca dos elemetos da amostra, deos da mesma ser etrada de 00 α% dos seus meores valores, e de 00 α% dos maores. No caso em que α=0,25, a méda aarada toma o ome de mea-méda. Corresode, os, à méda artmétca da metade cetral da amostra estudada,

17 abadoado as 25% observações mas baas e as 25% mas elevadas. Veja-se, a este roósto, o segute EXEMPLO. Retomado a amostra do eemlo cal, faclmete se oderá estmar que valor da sua mea-méda será, sesvelmete, 4,24. Com o resete teto rocurou mostrar-se a udade que está subjacete ao coceto de méda, oerado, o fal, uma lgera cursão um domío mas modero do tratameto de amostras, ode rocura retrar-se das mesmas formação que ossa causar dstorção os valores a estmar. BIBLIOGRAFIA MELLO, F. Galvão de (993): Probabldades e Estatístca. Cocetos e Métodos Fudametas - Volume I, Escolar Edtora, Lsboa. MURTEIRA, Beto José Ferrera e BLACK, George Hubert Joseh (983): Estatístca Descrtva, McGraw-Hll de Portugal Lda.. MURTEIRA, Beto J. F., (993): Aálse Eloratóra de Dados - Estatístca Descrtva, McGraw-Hll de Portugal Lda..

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