INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO

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1 INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO CURSO DE MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E GESTÃO ANÁLISE MATEMÁTICA II ELEMENTOS DE ANÁLISE REAL Volue Por : Gregóro Luís I

2 PREFÁCIO O resete teto dest-se or dscl de Aálse Mteátc II do curso de Mteátc Alcd à Ecoo e Gestão do Isttuto Sueror de Ecoo e Gestão. Pr lé d ordge teórc dos tes e estudo o teto clu d o fl de cd cítulo eercícos e resectvs soluções. Os eercícos rcdos co * são de resolução s dfícl odedo ser gordos elos luos édos. Acosel-se cotudo su resolução os luos s teressdos. A or rte dos eercícos cluídos tê sdo utlzdos os últos 30 os s uls rátcs ds dscls de Mteátc dos reros os dos cursos strdos o Isttuto Sueror de Ecoo e Gestão tordo-se ossível referecr su roveêc ; r lé destes á d eercícos orgs e outros que for retrdos ou dtdos d logrf dcd o fl. Cd cítulo te u uerção deedete r os otos teores e roreddes. Ns referêcs fets o teto suetede-se que os otos teores e roreddes ertece o róro cítulo slvo qudo eressete se dcdo o cotráro. Este refáco ão oder terr se u referêc os rofessores que o logo dos últos 60 os cotrur decsvete r trdção que o eso d teátc te est escol de ecoo e gestão. Corredo o rsco de ustete esquecer lgus ct-se qu os Profs. Mr Ferdes Beto Crç Lete Pto Vcete Goçlves José Rero de Aluquerque e Beto Murter. Lso de Mo de 00 Atóo Gregóro Luís II

3 ÍNDICE CAPÍTULO I Prtvs. Geerlddes. Prtvção edt e quse edt.. Prtvção or rtes Prtvção or susttução Eercícos 7 CAPÍTULO II Itegrl de Re e R. Defção e rers roreddes.... Nov defção de tegrl. Equvlêc co teror Codção de tegrldde 3 3. Itrodução Coutos co edd ul segudo Leesgue Codção de tegrldde Iterretção geoétrc do coceto de tegrl Novs roreddes do tegrl de Re Fórul fudetl do cálculo tegrl Itegrl defdo Itegrção or rtes Itegrção or susttução Segudo teore d éd. 44. Itegrs róros de rer eséce 46. Itegrs róros de segud eséce Outros tos de tegrs róros Fuções Bet e G Eercícos 70 CAPÍTULO III Sucessões e séres de fuções. Covergêc oto oto e covergêc ufore Cotudde d fução lte Alcção o cso ds séres de fuções res de vrável rel Alcção às séres de otêcs Dervção e rtvção tero tero Dervção e rtvção tero tero ds séres de otêcs Alcção o cálculo de so de séres Itegrção de séres tero tero Eercícos 09 CAPÍTULO IV Desevolvetos e sére. Sére de Tlor e de Mc-Lur 6 III

4 . Téccs de desevolveto e sére Itrodução.. 9. Oteção rátc de desevolvetos Eercícos 3 CAPÍTULO V Noções toológcs e sucessões e R. Dstâc e vzçs Cocetos toológcos áscos 3 3. Coutos ltdos Potos róros e R Sucessões e R Geerlddes Coceto de lte. Teores fudets Sultes. Teores fudets Eercícos 5 CAPÍTULO VI Ltes e cotudde de fuções e R. Geerlddes Fuções res de vrável vectorl desol Fuções vectors desos de vrável rel Fuções vectors desos de vrável vectorl desol 58. Defção de lte de u fução u oto Codção ecessár e sufcete r estêc de lte ertecete R Sultes Regrs de cálculo de ltes 6 5. Cso ds fuções de A R e R 6 5. Cso ds fuções de A R e R Cotudde otul Descotuddes Cotudde u couto. Proreddes esecs ds fuções cotíus Defção de fução cotíu u couto Geerlzção do teore de Cuc Coeão or rcos Teore de Cuc Fuções cotíus u couto ltdo e fecdo Cotudde d fução vers Cotudde ufore. Teore de Hee Ctor 80. Noção de cotrcção. Teore do oto fo 83. Eercícos 85 CAPÍTULO VII Dervção e dferecção e R. Dervds rcs de fuções res de vráves res 9. Dervds segudo vectores r fuções res de vráves res Dferecldde de fuções res de vráves res 95 IV

5 4. Codção sufcete de dferecldde Dervção rcl e dferecção de fuções de A R e R Dferecldde de u fução coost Fuções oogées Teore dos créscos ftos Iguldde ds dervds sts Eercícos 5 CAPÍTULO VIII Dferecs de orde sueror. Fórul de Tlor e lcções. Dferecs de orde sueror Fórul de Tlor Alcção à deterção de etretes terores Estudo d covedde e cocvdde Eercícos 57 CAPÍTULO IX Fuções defds lctete. Ivertldde. Itrodução Dervds de fuções defds lctete Teores de estêc Cso de u só equção Cso de u sste de equções Ivertldde locl Eercícos 307 CAPÍTULO X Etretes codcodos e R. Itrodução Prer codção ecessár de etrete Potos de estcordde sgulres e ão sgulres Segud codção ecessár de etrete Codções sufcetes de etrete Codções sufcetes. Técc do deterte orldo Geerlddes sore fors qudrátcs res Clssfcção ds fors qudrátcs o couto ds soluções de u sste oogéeo deterdo Deterção de etretes codcodos: eelos Eercícos 36 CAPÍTULO XI Deedêc e deedêc fucos. Cocetos áscos 364. Teores fudets sore deedêc e deedêc fucos Dervção de u deterte fucol Estudo esecl d deedêc ler r s fuções res de vrável rel Eercícos 38 BIBLIOGRAFIA. 384 V

6 VI

7 CAPITULO I PRIMITIVAS. Geerlddes. Prtvção edt e quse edt Sedo f () u fução rel de vrável rel defd o tervlo ão degeerdo I c-se rtv de f () e I qulquer fução F () tl que F () f () r todos os I ; s etreddes do tervlo If I e Su I cso le erteç defção ege que F d () f () e que F e () f () resectvete. Veos lgus eelos: ) F () é u rtv de f () o tervlo ] - + [ ; ) F () log é u rtv de f () / o tervlo ] 0 + [ ; 3) F () log é u rtv de f () / o tervlo ] - 0 [ ; 4) F () e e G() e + são dus rtvs de f () e e ] - + [. Note-se que sedo F 0 () u rtculr rtv de f () e I etão qulquer fução F () F 0 () + k co k costte é gulete rtv de f () o tervlo I : se dervd de F 0 () é f () e I etão té dervd de F () F 0 () + k é f () e I orque dervd de u costte é zero. Iversete é fácl rovr utlzdo u coroláro do teore de Lgrge que sedo F 0 () e F () dus rtvs de u es fução f () e I etão F () - F 0 () k (costte) ou se F () F 0 () + k. E rtculr qulquer rtv d fução ul u tervlo é costte o tervlo e cus orque F 0 () 0 é u rtv d fução ul. As cosderções recedetes ostr que dd u fução f () defd u tervlo I desde que se coeç u su rtculr rtv esse tervlo fc erfetete coecd fíl de tods s rtvs d fução : desgdo or F 0 () u rtculr rtv de f () e I eressão gerl ds rtvs de f () e I é dd or F () F 0 () + k. U rtculr rtv de f () que é usd e dverss lcções é rtv que se ul e certo oto do tervlo I : sedo F 0 () u rtculr rtv de f () e I d eressão gerl ds rtvs de f () e I F () F 0 () + k result co k - F 0 () rtv

8 F () F 0 () - F 0 () que se ul qudo. Veos lgus eelos: ) Sedo f () cos u su rtculr rtv o tervlo ] - + [ é fução F 0 () se. A fíl gerl ds rtvs é F () se + k. Fdo or eelo π / rtv que se ul e π / é fução F () se -. ) Sedo f () e u su rtculr rtv e ] - + [ é fução F 0 () e. A fíl gerl ds rtvs é F () e + k. Fdo or eelo 0 rtv que se ul e 0 é fução F () e -. No que se segue deverão ser tds e cot s segutes coveções: ) Us-se gerlete o síolo P f () r desgr fíl ds rtvs de f (). Por eelo P e e + k. ) Norlete sure-se referêc à costte k escrevedo-se or eelo P e e devedo etão sueteder-se que fução dcd o segudo ero é u ds rtvs de f (). c) Qudo ão se fz referêc elíct o tervlo e que se está rtvr f () deve sueteder-se que se trt do tervlo ou dos tervlos ode f () está defd. Por eelo qudo se ede r clculr P / se se elctr qul o tervlo de rtvção ressuõe-se que se retede o cálculo e ] - 0 [ e té e ] 0 + [ : P / log. O teore segute fudet regrs de rtvção do roduto de u costte or u fução e de u so de fuções: Teore : ) Sedo F () u rtv de f () e I etão k. F () é u rtv de k. f () o eso tervlo ; ) Sedo F ()... F () rtvs de resectvete f ()... f () o tervlo I etão F () F () é u rtv de f () f () o eso tervlo. Solcete: ) P k. f () k. P f () ; ) P [ f () + f () f ()] P f () + P f () P f () Deostrção : A frção d líe ) result de [ k. F ()] k. F () k. f () sedo segud guldde ustfcd or ser F () é u rtv de f (). Quto à frção d líe ) el result de ser [ F () + F () F ()] F () + F () F ()

9 f () + f () f () orque or ótese F () é u rtv de f () (... ). Co o coeceto ds regrs de dervção e ds regrs do teore recedete ode oter-se rtvs de u grde úero de fuções corretes s lcções. Veos lgus eelos ( resetção dos resultdos otreos sere costte k sto é dcreos sere u rtv rtculr e vez d eressão gerl ds rtvs) : ) P c c ( c costte) ; ) P P (/). (/). P / ; 3) P ( ) P + P 3 + P 4 3 4) P ( + ) α ( + ) α + P ( + ) - P + α + se α - log + ; 3 5) P e + P (/). e + (/). P e + (/). e + ; ; 6) P (se + cos ) - cos + se ; 7) P 8) P 9) P rc tg ; log ( + ) ; rc tg ( ) ; 0) P ) P 4.( + ) rc se ( ) ; P - P + log - log +. 3

10 . Prtvção or rtes Se H() e K() fuções derváves o tervlo I e reresete-se or H () e K () s resectvs dervds. N codção de H(). K () ser rtvável o tervlo I ode oter-se u rtv de H (). K() usdo fórul: P H (). K() H(). K() - P H(). K () odedo tor-se o segudo ero qulquer ds rtvs d fução H(). K (). Co efeto dervdo o segudo ero d guldde oté--se : [ H(). K() - P H(). K () ] H (). K() + H(). K () - H(). K () H (). K() o que or defção de rtv ustfc fórul e cus. É est fórul que se se o cdo étodo de rtvção or rtes que ssos eelfcr : ) P. log log P log P log. 4 ) P. e e. - P e. e. - e. NOTA: Neste eelo toou-se H () e e K(). Cso se tvesse otdo or tor H () e K() e fórul ertr oter P. e e - P e e rtv que rece o segudo ero ão é edt. Isto é eor teorcete qulquer dos fctores oss ser todo coo sedo H () rátc u ds dus osslddes ode ser referível à outr. 3) P cos P (cos. cos ) se. cos - P (- se. se ) se. cos + P se se. cos + P ( - cos ) se. cos + - P cos e cosderdo ter sdo todo o segudo ero es rtv de cos que o rero ero result 4

11 . P cos se. cos + P cos se. cos +. 4) P log. log - P.. log. (/). log - P log. log - [. log - P. (/)]. log -. log + P. log -. log Prtvção or susttução Co se regr de dervção de u fução coost ode oter-se o étodo de rtvção or susttução. Adt-se que f () é rtvável o tervlo I e se g(t) u ecção do tervlo J o tervlo I. Costru-se fução (t) f [g(t)]. g (t) o que ressuõe estêc de g (t) e J. Nests codções veos e rero lugr que (t) é rtvável o tervlo J : sedo F() u rtv de f () o tervlo I (que este or ótese) fç-se coosção F [g(t)] e clcule-se resectv dervd {F [g(t)]} f [g(t)]. g (t) (t) t J resultdo que ostr ser F [g(t)] u rtv de (t) e J. Veos e segudo lugr que sedo H(t) u qulquer rtv de (t) e J - á vos que (t) é rtvável - fução que se oté fzedo coosção H [g - ()] é u rtv de f () : st otr que de {F [g(t)]} (t) H (t) result F [g(t)] - H(t) k (costte) e J ; e fzedo coosção de F [g(t)] - H(t) co t g - () result F() H [g - ()] k (costte) e I e dest guldde result que H [g - ()] é u rtv de f () e I or ser F() suostete u rtv de f () o eso tervlo. Eelos de lcção : ) Pr cr P o tervlo ] 0 + [ cosdere-se log t co t o e tervlo ] + [. Te-se 5

12 (t) t t t H(t) P (t) log (t - ) - log t log t t t dode fzedo t e result P H(e ) log e e e ] 0 + [. e Pr cr rtv d es fução s gor o tervlo ] - 0 [ ode usr-se es susttução s gor co t o tervlo ] 0 [. Te-se (t) t t H(t) P (t) log t log t log t t dode fzedo t e result P e H(e e ) log e e ] - 0 [. t t Os dos resultdos otdos ode resur-se u só váldo r os dos tervlos : P e log e e ) Pr cr P e [ - ] ( > 0) ode fzer-se se t co t o tervlo [ -π / π /] : (t). se t. cos t cos t H(t) P cos t. se t. cos t + t (rtvdo or rtes) P H [ rc se (/)].. rc se ( / ) + otedo-se este últo resultdo ós lgus cálculos trgooétrcos eleetres. 6

13 4. Eercícos - Detere u rtv r cd u ds segutes fuções: ) + + ; ) e + 3 ; c) - ; d) 5 ; e) + ; f) + + ; g) e e ; ) ( + ) α ; ) ( ) 5 4 ; ) cos. se ; k) e. ; + α l) ; ) + ( 0) ; ) ; o) 4 + ; ) sec ; q) log ; r) se + se ( ) cos ( / ) ; s). log( + ) + ; t) tg ; u) cotg ; v). log ; ) ( + ) ( 0) ; ). 4 ; z) ; ) cos cos. - Clcule: ) A rtv que se ul r d fução f () + / ; + ) A rtv que to o vlor r 0 d fução f () c) A fução g () que dte dus rtvs G() e H() ts que ; G() - H() e G() + H() se ( ). cos ( ) se cos ; d) As fuções f () e g() ts que u ds rtvs d su so e u ds rtvs d su dfereç se resectvete e. se e. se ; e) A fução g() co doío e R - {} tl que g () /(-) g(0) 0 e g() 3. 7

14 3 - Prtve or decoosção u so de fuções s segutes fuções: ) cos ; ) tg 3 ; c) se. 3 cos ; d) ( ) ; e) ( ) ; f) ; g) ( ) ; ) 3 + ( + )( ) ; ) se ( ) + se + cos cos ; ) + + ; k) tg 3 + tg Prtve or rtes s segutes fuções: ) log ; ) se ; c) rc cos ; d) rc tg ; e) cos. log ( + cos ) ; f). log ; g). se ; ) se 3. cos 4 ; ). log ; ). e ; k). e. log + e ; l). rc tg ( - ) ; ) e. (tg + tg ). 5 - Sedo F() P f () ostre que P f (). [ log F () + ] F(). log F (). 6 - Deduz fóruls de recorrêc r o cálculo de : ) P ( + ) α ( 0 e α ) ; ) P se α ; c) P log ; d) P tg ; e) P. log. 7 - Coo lcção ds fóruls do eercíco teror rtve s segutes fuções: ) ( + ) ; ) se 4 ; c) log ; d) log - log - ; e) tg ; f) tg -3 ; g). log. 8

15 8* - Reresete-se or F () u rtv de. e - ( N) o tervlo [ 0 + [. Prove or dução ft que [ ( ) ( )] l F F + 0!. 9 - Fzedo s susttuções dcds clcule rtvs r s segutes fuções: ) ( se t) ; ) + ( se t) ; c) e [ log ( + t )] ; d) 3 + [ 4 + ( ) ] [ + t e usdo deos fórul de recorrêc do eercíco 6 )] ; e) + ( t ) ; f) / ( + t 4 ) ; / g) e + e / e e (e t ) ; ). + ( + t ) ; ) se cos + + ( rc tg t) ; ) + log (t + log ) ; k) e rc se ( t rc se ) ; l) 3 ) e + e e (t e ). ( se t ) ; RESPOSTAS : - ) ; ) e + 3 ; c) 3 log 5 45 ; d) ( ) / ; e) log + ; 8 f) log ( + ) + rc tg ; g) -. e ; ) Se α.( α) ( + ) Se α log + ; ) Se α α ( + ) α ; Se α log ( + ) ; ) se ; k) e 5 5 α ; ; 9

16 l). log ; ) (/). rc tg (/) ; ) rc se ( / ) ; o) Se 0 (/). rc tg ( / ) ; Se 0 -/ ; ) log tg + sec ; q) (/). log 4 ; r) cos ( 3 / ) ; s) (/). log ( + ) ; t) - log cos ; 3 u) log se ; v) log log ; ) ( ) ; ) ; ( + ) 5. log z) rc se ( - ) ; ) rc tg (se ). - ) (/). log + d) f () ; ) + (/6). rc tg (3 /) ; c) g() - cos ( ) ; ( e + ). se + ( e + ). cos ( e ). se + ( e ). cos g () log ( ) < e) g(). 3 + log( ) > ; se cos 3 - ) +. ; ) (/). tg + log cos ; c) (/). tg 3 - log cotg ; d) ( ) ( ) 4( ) e) log [ 4 + ( - ) ] + (0/4). rc tg [ ( - )/] ; 3 4 ; f) (3/8).( + ) 8 / 3 + (3/). ( + ) / 3 ; log [( ) + 3] g) + rc tg 3 3 ) 4 5 log log + log ; ) se - cos - log cos ; 3 6 ) ( ) ; 5 k) (/3). tg 3 + (/). tg - tg + + log cos. 4 - ). (log - ) ; ) cos. se ; ; c). rc cos - ; d). rc tg - (/). log ( + ) ; e) se. log ( + cos ) + - se ; 3 f).( log / 3) ; g) se -. cos ; ) (/7). cos 7 - (/5). cos 5 ; 3 ) ( /). ( log - /) ; ) e. ( - + ) ; k) e. log ; l). rc tg ( - ) - - log ( - + ) ; ) e. (tg - ). 6 - ) P ( + ) α α 3 + P α.( α ).( + ).( α ) ( + ) α ; 0

17 ) P se α α α α Pse se α α. cos ( α 0) ; c) P log. log -. P log - ; d) P tg tg P tg ( ) ; e) P. log + log P. log ( -) ).( + ) + ( / ). rc tg ; ) (3/8).( - se. cos ) - (/4). se 3. cos ; c). log -.(log - ) ; d). log - ; e) tg - ; f) (-/). tg - - log se ; g) (/7). 3 + (/3). 3. log - (/9). 3. log. rc se 9 - ) +.. ; ) (3/). rc se - ; c). e. rc se e ; d) (/). log [( - ) + 4] + (5/8). rc tg 5-4. ( ) + 4 e) log + ; [ ] 4 4 f) 4. [ ( / ). + / + + / + + / ] g) - 4. log e / - ; log ; ; ) (4/7). ( + ) 7/ - (8/5). ( + ) 5/ + (4/3). ( + ) 3/ ; ). tg (/) + - se ; ) (/3). ( + log ). + log ; k) +. e r c s e ; l) rc se. ; ) - e - 3 e - 3. log - e.

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19 CAPÍTULO II INTEGRAL DE RIEMANN EM R. Defção e rers roreddes Cosdere-se fução f () ltd o tervlo I [ ] ( < ) ltdo e fecdo. Fdo otos e úero fto ts que 0 < < < < - < o couto D { } c-se decoosção do tervlo I [ ]. Est desgção truíd o couto D result do fcto de os otos deterre decoosção de [ ] os segutes sutervlos: [ ] [ ]... [ - ] cu uão dá o tervlo [ ]. Note-se que á u fdde de odos ossíves de fr os otos s codções referds e ss surge turlete fts decoosções ossíves r o tervlo [ ]. O dâetro de u decoosção D { } do tervlo [ ] é or ds dfereçs + - ou se or ds ltudes dos sutervlos e que o tervlo fc decoosto elos otos D. Reresetreos or d(d) o dâetro d decoosção D. Todo e cd sutervlo [ + ] u oto def-se + 0 σ (D) ( ). f ( ) eressão que se desg or so sg ou so de Re d fução f () r decoosção D { } cosderd. Coclu-se co fcldde que σ (D) é u fução fívoc qudo cosderd quer coo fução de D quer coo fução do dâetro d decoosção d Má { + - : }. De fcto cd decoosção D corresode u fdde de sos sg vráves co escol dos otos ; e á té fts decoosções D co o eso dâetro d.

20 Dz-se que λ l d 0 σ (D) se e só se δ > 0 ε ε (δ ) : d(d) < ε σ (D) V δ (λ) ; qudo λ se fto codção recedete ode escrever-se do segute odo: e esse cso: δ > 0 ε ε (δ ) : d(d) < ε σ (D) - λ < δ ) A fução f () dz-se tegrável à Re o tervlo [ ] ; ) Ao lte fto λ c-se tegrl de f () o tervlo [ ] e rereset-se elo síolo f ( ) d síolo este que evdec : ) As etreddes e do tervlo de tegrção; ) A fução tegrd f () ; 3) A vrável de tegrção. Qudo o tervlo de tegrção se degeerdo ( ) fução cosder-se sere coo tegrável or defção e coveco-se que é ulo o vlor do tegrl. Cové oservr que o vlor do tegrl cso fução se tegrável deede do tervlo de tegrção e d fução tegrd s ão d vrável de tegrção sto é f ( ) d f ( u) du f () t dt. Vos estudr segudete lgus roreddes eleetres do tegrl de Re. P : Se f () e g() defds o tervlo [ ] dfere es elo vlor ssudo e certo c [ ] etão s s fuções são coutete tegráves ou ão tegráves o tervlo e e cso de tegrldde f ( ) d g ( ) d Deostrção : Se D { } u qulquer decoosção do tervlo [ ]. As sos + 0 σ g (D) ( ) + 0. g ( ) e σ f (D) ( ). f ( ) 3

21 só dfere o cso esecl de u dos α escoldos ser recsete o vlor c ode s fuções ssue vlor dstto; esse cso esecl σ f (D) - σ g (D) ( α+ - α ). [ f (c) - g(c)]. Portto e gerl se coo for que se escol os α te-se σ f (D) - σ g (D) d. f (c) - g(c) e que d é o dâetro d decoosção D. Adt-se gor que λ l d 0 σ f (D) é fto ou se que f () é tegrável e [ ]. Fdo u vlor δ > 0 este etão u ε ε (δ ) tl que Etão r d < ε te-se d < ε σ f (D) - λ < δ / e d < δ. f ( c) g( c). σ g (D) - λ σ g (D) - σ f (D) + σ f (D) - λ < < d. f (c) - g(c) + δ / < δ / + δ / δ ou se λ l σ g (D) ss se cocludo que g() é té tegrável e [ ] d 0 e que o seu tegrl esse tervlo cocde co o de f (). Trocdo deostrção os es de f () e g() coclu-se que se g() é tegrável o tervlo [ ] té o é f () e te o eso tegrl. A roredde que c de ser deostrd dte o segute Coroláro : Se f () e g() defds o tervlo [ ] dfere es elos vlores ssudos e certos otos c [ ] (... ) e úero fto etão s s fuções são coutete tegráves ou ão tegráves o tervlo e e cso de tegrldde f ( ) d g ( ) d Deostrção : Bst lcr reetdete (u úero fto de vezes) roredde teror. A roredde recedete e o seu coroláro erte lrgr oção de tegrl de u fução f () u tervlo [ ] o cso e que el ão este defd u úero fto de otos do tervlo. Pr tl cosder-se fução g() cocdete co f () os otos do tervlo ode est este defd e co vlores rtráros os otos c [ ] ode f () ão este defd. A tegrldde e o vlor do tegrl 4

22 de g() o tervlo ão deede dos vlores rtráros utlzdos r defr g() os otos c (e úero fto) e etão dz-se que f () é tegrável e [ ] se e só se g() o for e e cso de tegrldde defe-se f ( ) d g ( ) d. P : Sedo f () k (costte) e [ ] f () é tegrável esse tervlo e te-se kd k. ( - ) Deostrção : Pr qulquer decoosção do tervlo [ ] te-se + 0 σ (D) ( ) + 0. F ( ) ( ). k k. ( - ) e ortto kd l d 0 σ (D) k. ( - ) que é o que se reted rovr. P3 : Sedo f () 0 e [ ] e sedo f () tegrável esse tervlo te-se f ( ) d 0 Deostrção : Result edtete do fcto de ser r qulquer decoosção D + 0 σ (D) ( ). f ( ) 0. P4 : Sedo f () e g() tegráves e [ ] etão f () + g() é gulete tegrável esse tervlo e te-se [ ( ) + ( )] f g d f ( ) d + g ( ) d Deostrção : Se λ f e λ g resectvete os tegrs de f () e de g() o tervlo e cus. Ddo u qulquer δ > 0 este etão u ε ε (δ ) tl que d d(d) < ε σ f (D) - λ f < δ / σ g (D) - λ g < δ /. Pr u decoosção D de dâetro feror ε ε (δ ) te-se etão + 0 σ f+g (D) ( ). [ f ( ) + g( )] σ f (D) + σ g (D) dode result σ f+g (D) - (λ f +λ g ) σ f (D) - λ f + σ g (D) - λ g < δ / + δ / δ 5

23 o que ostr ser l d 0 σ f+g (D) λ f +λ g que é o que se reted rovr. O segute coroláro é edto or lcção reetd d roredde teror: Coroláro : Sedo f ()... e úero fto fuções tegráves o tervlo [ ] etão f ( ) é gulete tegrável o tervlo e te-se f ( ) d f ( ) d P5 : Sedo f () tegrável e [ ] e k costte etão k. f () é té tegrável esse tervlo e k. f ( ) d k. f ( ) d Deostrção : Pr u qulquer decoosção D do tervlo te-se + 0 σ k.f (D) ( ). [ k. f( )] k. σ f (D). Sedo f () tegrável o tervlo e cus e λ f o resectvo tegrl te-se δ > 0 ε ε (δ ) : d(d) < ε σ f (D) - λ f < δ / k dtdo que k 0 (co k 0 guldde do teore é evdete). Cosderdo etão u qulquer decoosção de dâetro feror ε te-se o que ostr ser l d 0 σ k.f (D) - k. λ f k. σ f (D) - k. λ f k. σ f (D) - λ f < δ σ k.f (D) k.λ f que é o que se reted rovr. P6 : Sedo f () e g() tegráves e [ ] e f () g() esse tervlo etão f ( ) d g ( ) d Deostrção: Fzedo () g() f () g() + [ -f ()] te-se () 0 e () tegrável o tervlo e cus or ser so de dus fuções tegráves. Pel roredde P3 te-se ( ) d 0 ; s roreddes P4 e P5 erte etão escrever ( ) d g ( ) d- f ( ) d 0 dode se tr edtete desguldde do eucdo. 6

24 . Nov defção de tegrl. Equvlêc co teror Se f () ltd o tervlo ltdo e fecdo [ ] e cosdere-se u qulquer decoosção D { } desse tervlo. Costru-se s sos + 0 S(D) ( ). L co L Su { f () : + } + 0 s(d) ( ). l co l If { f () : + } s qus se desg resectvete or so sueror de Drou e so feror de Drou de f () reltvs à decoosção D cosderd. Ddo que L Su { f () : } L Su { f () : + } l If { f () : } l f { f () : + } + 0 e sedo or outro ldo l L e ( ) que - tr-se se dfculdde l. ( - ) s(d) S(D) L. ( - ). Portto s sos ferores são ords or L. ( - ) e s sos suerores são ords or l. ( - ) estdo etão ftos o sureo do couto ds sos ferores e o ífo do couto ds sos suerores solcete Su {s(d)} e If {S(D)} desgdo-se ts vlores resectvete or tegrl feror de Drou e tegrl sueror de Drou de f () o tervlo [ ] : f ( ) d Su {s(d)} e f d ( ) If {S(D)}. (Itegrl feror de Drou) (Itegrl sueror de Drou) No teore segute estelece-se u relção de desguldde etre os dos tegrs de Drou: Teore : Te-se segute desguldde f ( ) d f ( ) d Deostrção : A deostrção d desguldde se-se o coceto de decoosção s f. Dz-se que u decoosção D de u tervlo [ ] é s f que outr decoosção D do eso tervlo se e só se rer é ford or todos os 7

25 otos d segud e elo eos s u dcol ou se se e só se D D coo sucede o esque que segur se reset: D Potos cous de D e D * Potos dcos de D D * * Dds dus decoosções D e D do tervlo [ ] é sere ossível costrur u decoosção D 3 s f que s rers usdo todos os otos de s ou se D 3 D D coo se eelfc o esque segute : () () () () () () D () Potos de D () () () () ()() D () Potos de D D (3) Potos de D 3 (3) (3) (3)(3)(3) (3)(3) (3) (3)(3) É fácl coclur que sedo D 3 costruíd coo se dcou rtr de D e D são verfcds s segutes desgulddes: s(d ) s(d 3 ) S(D 3 ) S(D ) e s(d ) s(d 3 ) S(D 3 ) S(D ) dode result s(d ) S(D ) qusquer que se s decoosções D e D do tervlo. Não ode ter-se ortto δ > 0 tl que f ( ) d > f ( ) d orque se ss fosse ddo f ( ) d - δ > f ( ) d + δ estr (or defção de sureo e ífo) decoosções D e D ts que s(d ) > f ( ) d - δ > f ( ) d + δ > S(D ) o que ser cotr desguldde s(d ) S(D ) tes estelecd. Só ode ser ortto f ( ) d f ( ) d coo se quer rovr. 8

26 Qudo os tegrs sueror e feror de f () o tervlo [ ] se gus fução dz-se tegrável o setdo de Drou sedo etão o vlor cou o tegrl d fução segudo Drou o tervlo e cus. Vos segudete estelecer equvlêc ds dus defções de tegrl segudo Re e segudo Drou coeçdo or rovr o Teore : Reresetdo or d o dâetro d decoosção D te-se f ( ) d l d 0 s(d) e f ( ) d l d 0 S(D) Deostrção : ) Cosdere-se rero o cso do tegrl sueror e dt-se que f () 0 o tervlo de tegrção. Se λ o vlor do tegrl sueror e cosdere-se u qulquer δ > 0. Coo λ é o ífo ds sos suerores de Drou este u decoosção D 0 do tervlo de tegrção r qul S(D 0 ) < λ + δ /. Se q o úero de otos de D 0 terores do tervlo de tegrção e fç-se L Su { f () : } e ε δ /ql. Estos dtr que L > 0 os co L 0 e f () 0 te-se fução detcete ul o tervlo de tegrção e etão tese do teore é trvl orque tods s sos de Drou são uls. Se gor D u qulquer decoosção do tervlo de tegrção co dâetro d feror ε δ /ql e eressão que defe S(D) sere-se s rcels e dos gruos: ) o gruo ds rcels corresodetes os sutervlos d decoosção do tervlo de tegrção or D que este cotdos e sutervlos d decoosção do eso tervlo or D 0 desgdo-se or S so desss rcels (será S 0 se eu ds rcels estver s codções egds) ; ) o gruo ds rcels corresodetes os sutervlos d decoosção do tervlo de tegrção or D que te o seu teror u ou s otos de D 0 desgdo-se or S so desss rcels (será S 0 se eu ds rcels estver s codções egds). Clro que S(D) S + S. Por ser f () 0 result S S(D 0 ) e or outro ldo S L q d orque cd rcel de S é ord or L d e á o áo q desss rcels. Etão λ S(D) S + S S(D 0 ) + L q d S(D 0 ) + L q (δ /L q) < λ + δ /+ δ / λ + δ ou se S(D) - λ < δ desde que o dâetro d d(d) se feror o úero ε ε (δ ) δ /ql. Tl sgfc que f ( ) d λ l S(D) d 0 9

27 coo se quer rovr. ) Cotudo cosderr o cso do tegrl sueror ele-se gor ótese de ser f () 0 o tervlo de tegrção. Coo fução f () é ltd o tervlo este u costte k tl que g() f() + k 0. Etão elo deostrdo e ) g ( ) d l d 0 S g (D). Dd relção estete etre f () e g() oté-se se dfculdde g + 0 S g (D) ( ). L dode result logo f + 0 ( ).( L + k) S f (D) + k. ( - ) g ( ) d f ( ) d + k. ( - ) l d 0 S g (D). Ddo δ > 0 este etão u ε ε (δ ) tl que d d(d) < ε S g (D) - f ( ) d - k. ( - ) < δ S f (D) + k. ( - ) - f ( ) d - k. ( - ) < δ S f (D) - f ( ) d < δ ss se cocludo este cso gerl quto f () que f ( ) d l d 0 S f (D). c) Podeos gor rovr co fcldde o teore r o cso do tegrl feror. Notdo que If { f () : + } - Su {-f () : + } tr-se s f (D) - S -f (D) r qulquer decoosção D ; est guldde erte oter f ( ) d Su { s f (D)} - f { S -f (D)} - [ f ( ) ] d. 0

28 Or coo se deostrou e ) e ) [ ] f ( ) d l d 0 S -f (D) dode result edtete f ( ) d - [ f ( ) ] d - l coo se quer deostrr. d 0 S -f (D) l d 0 s f (D) Pode gor rovr-se o teore que dá equvlêc ds defções de tegrl segudo Re e segudo Drou. Teore 3 : A codção ecessár e sufcete r que f () se tegrável à Re o tervlo [ ] é que se tegrável segudo Drou o eso tervlo. E cso de tegrldde os dos tegrs (segudo Re e segudo Drou) são gus Deostrção: ) A codção é ecessár. Adt-se que f () é tegrável segudo Re o tervlo [ ] e desge-se or λ o tegrl. Dds s defções de s(d) σ (D) e S(D) te-se s(d) σ (D) S(D). Pr cd decoosção D s(d) é o ífo ds sos sg σ (D) que ode clculr-se r ess decoosção edte s fts escols dos otos terédos [ + ] ; de fcto s(d) é clrete u orte do couto desss sos σ (D) e coo f ( ) ode fzer-se - or escol coveete de - rtrrete róo de l If { f () : + } té σ (D) ode fzer-se rtrrete róo de s(d). Do eso odo r cd decoosção D S(D) é o sureo ds sos sg σ (D) que ode clculr-se r ess decoosção edte s fts escols dos otos terédos [ + ]. Ddo δ > 0 este ε ε (δ ) tl que d d(d) < ε λ - δ / < σ (D) < λ + δ / e que coo se dsse λ desg o vlor do tegrl (segudo Re) d fução f () o tervlo [ ] ; etão r u qulquer decoosção D co dâetro feror ε s fts sos sg ossíves são ords or λ+δ / e ords or λ -δ / e coo s(d) e S(D) são coo vos resectvete o ífo e o sureo desss sos sg te-se λ - δ / s(d) σ (D) S(D) λ + δ / ou se s(d) - λ < δ e S(D) - λ < δ dode

29 λ l d 0 s(d) f ( ) d e λ l d 0 S(D) f ( ) d ou d f ( ) d f ( ) d λ coo se quer rovr. ) A codção é sufcete. Sedo f ( ) d f ( ) d λ te-se l d 0 s(d) l d 0 S(D) λ ou se δ > 0 ε ε (δ ) : d d(d) < ε λ - δ < s(d) S(D) < λ + δ e coo s(d) σ (D) S(D) result δ > 0 ε ε (δ ) : d d(d) < ε λ - δ < σ (D) < λ + δ o que trduz ser lσ (D) λ. Logo f () é tegrável à Re o tervlo e d 0 cus e o vlor do tegrl cocde co o do tegrl segudo Drou. Veos coo lcção deste teore o estudo d tegrldde d fução f () 0 rcol rrcol o tervlo [0 ]. Dd u qulquer decoosção D do tervlo co os otos 0 0 < < < < - < te-se dode result s(d) ( ). l l 0 L e S(D) ( ). L o que erte coclur que f ( ) d 0 e f ( ) d 0 ou se fução dd 0 ão é tegrável segudo Drou logo té ão o é segudo Re o tervlo [0 ]. 3. Codções de tegrldde

30 3. - Itrodução O estudo d tegrldde e o cálculo do tegrl de u fução recorredo drectete à defção é tref e regr rtcável slvo e lgus csos trvs. É os coveete dsor de codções que ert or sles oservção d fução coclur el su tegrldde ou ão tegrldde e or outro ldo dsor de regrs rátcs de cálculo dos tegrs elo eos r s fuções que s correteete surge s lcções. No resete oto trtreos es ds codções de tegrldde dedo r estudo osteror s regrs rátcs r o cálculo dos tegrs. A título de trodução ode desde á dtr-se que questão de u fução ltd u tervlo [ ] ser ou ão ser í tegrável está lgd o úero de descotuddes que fução reset o referdo tervlo. Nu setdo que dte será esclrecdo fução será tegrável se e es se ão reset u úero ecessvo de descotuddes o tervlo Coutos co edd ul segudo Leesgue Dz-se que u couto B R te edd ul segudo Leesgue se e só se qulquer que se ε > 0 este tervlos I ltdos (de qulquer to) e úero fto ou fdde uerável de ltudes ( I ) ts que : ) B Υ I ; ) ( I ) < ε. Veos lgus eelos de coutos co edd ul segudo Leesgue : ) Desde logo o couto B : ) Qulquer couto fto B { r r r k }. Co efeto fdo qulquer ε > 0 r os tervlos I ] r - ε /3k r + ε /3k [ te-se que B Υ I e or outro ldo k ( I ) k ε 3k ε < ε. 3 3

31 3) Qulquer couto uerável B { r r r }. Co efeto fdo qulquer ε > 0 r os tervlos I ] r - ε /3.( ) r + ε /3.( ) [ te-se que B U I e or outro ldo ( I ). ε (/ ) 3 ε / 3 / ε < ε. 3 Não se ulgue que só os coutos ftos ou ueráves tê edd ul. Este sucoutos de R uto s coleos que tê otêc do cotíuo (são equotetes R) e o etto tê edd ul. É o cso do couto teráro de Ctor: C [0 ] U Codções de tegrldde E co 3 / E ](3r ).3 (3r ).3 [ U 3 r. O coceto de couto co edd segudo Leesgue ul erte eucr o segute teore cu deostrção ão se reset or ultrssr o âto do resete teto. Teore 4 : A codção ecessár e sufcete r que f () (ltd) se tegrável à Re e [ ] é que o couto dos otos de descotudde de f () esse tervlo te edd ul segudo Leesgue O teore recedete erte desde logo frr que são tegráves e [ ] s fuções cotíus esse tervlo ou que sedo ltds esse tervlo í te o áo u fdde uerável de otos de descotudde. Estão esss codções etre outrs s fuções ltds que : ) Se oótos o tervlo orque coo seos ão ode ter o tervlo de ooto s que u fdde uerável de descotuddes ; ) Se ltds e oótos or troços o tervlo ; u fução dz-se oóto or troços o tervlo [ ] se e só se este res 0 < < < < k ts que f () é oóto e cd u dos tervlos ] + [. 4. Iterretção geoétrc do coceto de tegrl Cosdere-se fução f () 0 e [ ] e se D { } 4

32 u decoosção do tervlo. As sos feror e sueror de Drou de f () reltvs à decoosção D + 0 s(d) ( ). l co l If { f () : + } + 0 S(D) ( ). L co L Su { f () : + } dte u terretção geoétrc teresste: ) Cd rcel ( + - ). l é áre de u rectâgulo de se + - e de ltur l e or outro ldo cd rcel ( + - ). L é áre de u rectâgulo de se + - e de ltur L coo se lustr fgur segute: f () L l + ) As sos s(d) e S(D) são ortto resectvete roções or defeto e or ecesso d áre d fgur l que rereset o couto {( ) : 0 f ()} ; c) Qudo f() se tegrável e [ ] te-se : f ( ) d f ( ) d Su {s(d)} If {S(D)} f ( ) d ou se o sureo ds roções or defeto d áre d fgur l que rereset o couto cocde co o ífo ds roções or ecesso d es áre sedo etão o vlor cou - ou se o tegrl d fução - áre d fgur referd. Isto é Teore 5 : Sedo f () 0 e [ ] o tegrl d fgur l que rereset o couto f ( ) d cso est dá áre {( ) : 0 f ()} ou se áre d fgur l deltd suerorete el curv que rereset f () ferorete elo eo O e lterlete els rects de equções e 5

33 Verfc-se fclete que co f () 0 e [ ] áre d fgur l que rereset o couto {( ) : f () 0} é dd or - f ( ) d cso o tegrl est. No cso de ser or eelo f () 0 e [ c] e f () 0 e [ c ] áre d fgur l que rereset o couto {( ) : c 0 f ()} {( ) : c f () 0} é dd or c f ( ) d - f ( ) d. c Por coosções coveetes é ossível clculr áres de fgurs ls s coles. 5. Novs roreddes do tegrl de Re Estud-se segudete roreddes dcos do tegrl de Re: P7 : Sedo f () tegrável e [ ] e todo c [ ] te-se f () tegrável e cd u dos tervlos [ c] e [c ] e c f ( ) d f ( ) d + f ( ) d Deostrção: E rero lugr ote-se que tedo e cot codção ecessár e sufcete de tegrldde eress o teore 4 tegrldde de f () e [ ] grte su tegrldde e qulquer sutervlo deste fcdo ss rovdo que f () é tegrável e cd u dos tervlos [ c] e [c ]. Veos gor guldde do eucdo. Fdo s decoosções D { c } de [ c] D { 0 c... - } de [c ] co os otos e oté-se u decoosção D { c } do tervlo [ ] e clro que r s sos sg corresodetes te-se segute relção: σ f (D ) + σ f (D ) σ f (D ). Reresetdo or d e d os dâetros de D e D e or λ e λ os tegrs de f () e [ c] e e [c ] te-se que r cd δ > 0 este ε ε (δ ) tl que c 6

34 ou se or ser d Má {d d } d < ε σ f (D ) - λ < δ / d < ε σ f (D ) - λ < δ / d < ε σ f (D ) - (λ + λ ) σ f (D ) + σ f (D ) - (λ + λ ) σ f (D ) - λ + σ f (D ) - λ < δ. Reresetdo gor or λ o tegrl de f () e [ ] e sedo D u qulquer decoosção deste tervlo ão ecessrete otd coo se dcou rtr de D e D etão ddo δ > 0 este ε ε (δ ) tl que d d(d) < ε σ f (D ) - λ < δ. Todo e rtculr D D co s decoosções D e D escolds de odo que d < ε Mí {ε ε } e d < ε Mí {ε ε } te-se dode d < ε d < ε σ f (D ) - (λ + λ ) < δ d < ε d < ε σ f (D ) - λ < δ λ + λ - λ λ + λ - σ f (D ) + σ f (D ) - λ σ f (D ) - (λ + λ ) + σ f (D ) - λ < δ + δ δ ; devdo à rtrredde de δ te-se ecessrete λ λ + λ ou se f ( ) d f d ( ) + f d ( ) c coo se quer rovr. A roredde que c de ser deostrd dte o segute c Coroláro : Sedo f () fução tegrável e [ ] e cosderdo os otos c c... c - c etão fução é tegrável os tervlos [ c ] [ c c ]... [ c - c ] [ c ] e te-se c f ( ) d f ( ) d + f ( ) d f ( ) d+ f ( ) d c c c c Deostrção : Bst lcr reetdete roredde P7. c 7

35 A roredde P7 ode dtr-se de for rger stuções s gers e que o oto c oss estr à esquerd de ou à dret de. De fcto sedo c < e suodo f () tegrável e [c ] te-se ou se f ( ) d f ( ) d + f ( ) d c c f ( ) d - f ( ) d + f ( ) d ; or outro ldo sedo c > e suodo f () tegrável e [ c] te-se ou se c c f ( ) d f ( ) d + f ( ) d c f ( ) d f ( ) d - f ( ) d. Os segudos eros ds gulddes que dão o vlor do tegrl f ( ) d os csos e que c < ou c > ode ser forlete resetdos coo guldde d roredde P7 qul fo estelecd r o cso e que c. Bst r sso fzer segute CONVENÇÃO SIMBÓLICA : Sedo f () tegrável e [ ] ( ) o síolo f ( ) d rereset o sétrco do tegrl f ( ) d sto é f ( ) d - f ( ) d. Co est coveção o eucdo d roredde P7 ode resetr-se e teros s gers coo segudete se dc: P8 : Sedo f () tegrável e [ ] co Mí { c} e Má { c} ( ) etão c f ( ) d f ( ) d + f ( ) d Deostrção: Co c estos o cso d roredde P7 á deostrd. Sedo c < teos coo se vu s cosderções que edtete segue deostrção do coroláro d roredde P7 f ( ) d - f ( ) d + f ( ) d c c c c c c 8

36 e co coveção referd result f ( ) d f ( ) d + f ( ) d. Flete sedo < c teos f ( ) d f ( ) d - f ( ) d e de ovo co coveção referd result té guldde do eucdo. c c c c A roredde segute é orlete coecd or teore d éd: P9 : Sedo f () tegrável e [ ] este u vlor k etre o ífo l e o sureo L de f() o tervlo tl que: f ( ) d k.( - ) Deostrção: Ddo que l f () L e [ ] roredde P6 erte escrever ld f ( ) d Ld e el roredde P l. ( - ) f ( ) d L. ( - ). Adtdo que < (o cso de ser guldde do eucdo é trvl) te-se l k f ( ) d L dode result f ( ) d k.( - ) co l k L coo se quer rovr. Dest roredde tr-se o segute coroláro Coroláro : Sedo f () cotíu e [ ] este u [ ] tl que f ( ).( - ) f ( ) d Deostrção: Result edtete d roredde P9 otdo que u fução f () cotu e [ ] ssue qulquer vlor k etre o seu ífo e o seu sureo esse tervlo e certo [ ]. O teore d éd (roredde P9) e o seu coroláro dte u terretção geoétrc teresste o cso e que f () 0 o tervlo [ ]. Coo se se o tegrl f ( ) d é áre d fgur l que rereset o couto {( ) : 0 f ()} ; or outro ldo o roduto ( - ). k co 9

37 0 l k L é áre de u rectâgulo de se - e ltur k. O teore d éd sgfc ortto que este u vlor k [l L] r o qul são gus s áres referds coo se lustr fgur segute: L D f () k A B l C Áre d fgur CD Áre d fgur AB Oserve-se d que o teore d éd ode lcr-se f ( ) d co < : f ( ) d - f ( ) d - k.( - ) k.( - ) co k etre o ífo e o sureo de f() e [ ]. Ou se P0 : Sedo e qusquer e f () tegrável e [ ] co Mí { } e Má { } etão f () e [ ] f ( ) d k.( - ) co k etre o ífo e o sureo de Te-se té e corresodêc co o coroláro d roredde P9 o segute Coroláro : Sedo e qusquer e f () cotíu e [ ] co Mí { } e Má { } etão f ( ) d f ( ).( - ) r certo [ ] Pr terr o resete oto estud-se roredde segute ortte desguldde de Scwrz : P : Sedo f () e g() tegráves e [ ] te-se que s fuções f () g () e f (). g() são gulete tegráves o eso tervlo e [ f ( ). g( ) d] [ f ( ) d]. [ g ( ) d] (Scwrz) Deostrção: Fce o teore 4 (codção ecessár e sufcete de tegrldde) d tegrldde ds fuções f() e g() o tervlo [ ] decorre 30

38 edtete tegrldde ds fuções f () g () e f (). g() o eso tervlo orque ests fuções tê o áo s descotuddes dquels. Sedo α R fução [ f () + α g()] é gulete tegrável e te-se or se trtr de u fução ão egtv 0 [ ( ) + α ( )] f g d [ g ( ) d]. α +.[ f ( ). g( ) d]. α + + [ f ( ) d]. O tróo do º gru e α que se cegou só oderá ser ão egtvo r todo o vlor α R se for 4.[ f ( ). g( ) d] - 4.[ f ( ) d]. [ g ( ) d] 0 dode result edtete desguldde do eucdo. 6. Fórul fudetl do cálculo tegrl Se f () o eso teo tegrável e rtvável o tervlo [ ]. Nests codções o cálculo do tegrl ode fzer-se utlzdo u ds rtvs d fução os teros do teore segute Teore 6 : Sedo f () tegrável e rtvável e [ ] e F() u rtv de f () o tervlo etão f ( ) d F() - F() Deostrção : Sedo D { } u decoosção do tervlo de tegrção te-se F() - F() F( ) - F( 0 ) + F( ) - F( ) F( ) - F( - ) e lcdo o teore de Lgrge cd u ds dfereçs F( ) - F( - ) oté-se F() - F() ( - 0 ). f ( 0 ) + ( - ). f ( ) ( - - ). f ( - ) + 0 ( ). f ( ) co certos ertecetes os tervlos [ + ] ( ). Ou se r qulquer decoosção D do tervlo de tegrção é sere ossível escoler otos terédos os sutervlos [ + ] de odo que F() - F() σ (D). Ms or ser f () tegrável e [ ] te-se 3

39 lσ (D) d 0 f ( ) d dode ecessrete f ( ) d F() - F(). É usul reresetr dfereç F() - F() elo síolo [ F( ) ] de odo que guldde do teore escreve-se tulete do segute odo: f ( ) d [ F ] ( ) F() - F(). A fórul de cálculo do teore e coecd elo oe de fórul fudetl do cálculo tegrl ou fórul de Brrow. Veos lgus eelos de lcção: ) d ; ) 0 + rc tg d [ ] 0 π /4 ; 3) + d [ log ( + ) ] log 4 - log 3 log (4/3). A fórul fudetl do teore 6 cougd co o coroláro d roredde P7 erte d oter o tegrl qudo eor fução tegrd ão te rtv o tervlo de tegrção este se oss decoor e dos ou s sutervlos (e úero fto) e cd u dos qus fução tegrd se rtvável. É o cso de f ( ) d qudo se or eelo f () < 0 0 <. 3

40 Te-se f ( ) d 0 d + ( ) d + d 0 0 [ / ] [ / ] [ ] (0 - /) + (/ - 0) + (4 - ) Itegrl defdo Cosdere-se f () defd e I (tervlo qulquer) e dt-se que é tegrável e qulquer tervlo fecdo cotdo e I o que tes de s ressuõe que f () se ltd e qulquer [ ] I. Fe-se c I e def-se fução ϕ (z) z f ( ) d ( z I ) c devedo otr-se que o síolo do segudo ero rereset o tegrl de f () e [c z] qudo se z c ; e rereset o sétrco do tegrl de f () e [z c] qudo se c > z. Isto é ϕ (z) z f ( ) d z I z c c c < f ( ) d z I z c z. A fução ϕ (z) to o oe de tegrl defdo de f () o tervlo I co orge o oto c I. N rátc us-se letr r desgr vrável deedete d fução ϕ o que org lterr letr que rereset vrável deedete d fução tegrd: ϕ () f () t dt ϕ () f ( u) du etc. c c Veos lgus roreddes do tegrl defdo. P : Dos tegrs defdos d es fução o eso tervlo dfere or u costte Deostrção : Sedo ϕ () el roredde P8 ϕ () - ψ () f () t dt e ψ () f () t dt te-se r I c f () t dt - f () t dt f () t dt c d d d c 33

41 o que ostr que dfereç ϕ () - ψ () ão deede do vlor de cosderdo e I ou se os dos tegrs defdos de f () dfere or u costte. P3 : O tegrl defdo ϕ () é fução cotíu o tervlo I ode está defd Deostrção : Utlzdo roredde P8 e o teore d éd ( versão gerl cotd roredde P0) co 0 I te-se ϕ () - ϕ ( 0 ) 0 f () t dt - f () t dt f () t dt ( - 0 ). k( 0 ) c c 0 co k( 0 ) coreeddo etre o ífo e o sureo de f () o tervlo de etreddes 0 e. Qudo se fz 0 k( 0 ) té-se ltdo dode result que l 0 [ϕ () - ϕ ( 0 )] l ( - 0 ). k( 0 ) 0 0 ou se l 0 ϕ () ϕ ( 0 ) o que trduz cotudde de ϕ () e qulquer 0 I (ote-se que qudo 0 se u ds etreddes de I cotudde otd é cotudde lterl). P4 : O tegrl defdo te or dervd fução tegrd os otos e que est se cotíu Deostrção : Coo deostrção d roredde P3 te-se ϕ () - ϕ ( 0 ) f () t dt 0 dode result r I e 0 ϕ ( ) ϕ ( 0 ) 0 0. f () t dt. 0 Sedo f (t) cotíu e 0 te-se f (t) f ( 0 ) + α ( t ) co l α ( t ) 0. Por se t 0 oter de f (t) sutrdo costte f ( 0 ) α ( t ) é tegrável o tervlo de etreddes 0 e e ss ϕ ( ) ϕ ( 0 ) 0 0. [ ( 0 ) + ( )] f α t dt 0 0. ( ). f ( ) + ( t) dt 0 0 α 0 34

42 f ( 0 ) +. α () t dt 0 0. Veos gor que l. α () t dt o que rovrá ser ϕ ( ) ϕ ( 0 ) l f ( 0 ) 0 0 que é o que se retede ostrr. Coo l α ( t ) 0 ddo δ > 0 este ε ε (δ ) tl que t 0 t - 0 < ε t I α ( t ) < δ -δ < α ( t ) < δ ; qudo se te - 0 < ε e I qulquer t do tervlo de etreddes 0 e verfcrá s codções t - 0 < ε e t I elo que será ou d -δ.( - 0 ) < α () t dt < δ.( - 0 ) se δ.( 0 - ) < α () t dt < δ.( 0 - ) se < 0 ; -δ < 0. α () t dt 0 < δ se 0 -δ < 0. 0 α () t dt 0. α () t dt 0 < δ se < 0 odedo ortto escrever-se quer r 0 quer r < 0 -δ < 0. α () t dt 0 < δ desde que - 0 < ε e I. Tl sgfc que l 0 0. α () t dt 0 0 coo se quer rovr. 35

43 OBSERVAÇÃO: Ns etreddes do tervlo I ode ϕ () está defd cso erteç o tervlo e els se cotíu f () os vlores d fução f () são s dervds lters do tegrl defdo. A roredde que c de ser deostrd dte dos coroláros orttes: Coroláro : A dervd do tegrl defdo ϕ () cocde co f () eceto qudo uto os otos de u couto X I co edd à Leesgue ul Deostrção: Pr que o tegrl defdo ϕ () est e I é ecessáro e sufcete que f () se tegrável e qulquer sutervlo ltdo e fecdo de I. Etão de cordo co o teore 4 o couto dos otos de descotudde de f () e qulquer desses sutervlos logo e I te de ter edd à Leesgue ul. Coo os otos de cotudde de f () se te ϕ () f () coclu-se etão que est guldde só ão se verfc qudo uto r os otos de u couto X I co edd à Leesgue ul. Coroláro : Qulquer fução f () cotíu u tervlo I é rtvável esse tervlo Deostrção : Fdo u qulquer c I fução é cotíu e qulquer tervlo fecdo de etreddes c e. Logo é ltd e tegrável e qulquer desses tervlos estdo ortto o tegrl defdo ϕ () f () t dt. c Pel roredde P4 ϕ () f () os otos de cotudde de f () ; coo or ótese este fução é cotíu e todos os otos I e todos eles se verfc ϕ () f () dode result que ϕ () é u rtv de f () o tervlo I. 8. Itegrção or rtes Se f () e g() fuções tegráves o tervlo [ ]. Cosderdo u decoosção D do tervlo de tegrção so σ (D) de f (). g() r decoosção e cus é + 0 σ (D) ( ). f ( ). g( ). A fução f (). g() é té tegrável o tervlo e cus e or defção Cosdere-se gor s sos f ( ). g( ) d l d 0 σ (D). 36

44 + 0 τ (D) ( ). f ( ). k e que os k desg vlores coreeddos etre o ífo e o sureo de g() e [ + ]. Coo f () é tegrável é ltd o tervlo [ ] ou se f() M r [ ] co cert costte M. Etão 0 σ (D) - τ (D) ( + ). f ( ).[ g( ) k] + 0 ( ). f ( ). g( ) k + 0 ( ). M. Λ λ e que Λ e λ desg resectvete o sureo e o ífo de g() o tervlo [ + ]. Notdo gor que 0 S(D) - s(d) ( + ).[ ] Λ λ e que S(D) e s(d) desg s sos sueror e feror de Drou de g() reltvs à decoosção D e tededo à tegrldde de g() o tervlo [ ] os teores e 3 erte coclur que l d 0 ( + ). 0 [ ] Λ λ l d 0 [ S(D) - s(d)] 0 dode se tr que l d 0 τ (D) l d 0 σ (D) f ( ). g( ) d. Ests cosderções e o resultdo que se cegou vão ertr deostrr o teore segute o qul trduz o cdo étodo de tegrção or rtes : Teore 7 : Sedo u() e v() tegráves e [ ] e desgdo or U() e V() os seus tegrs defdos (qusquer) quele tervlo te-se: u ( ). V( ) d [ U( ). V( ) ] U( ). v( ) d Deostrção : Note-se e rero lugr que s óteses do teore grte estêc dos tegrs que fgur guldde. Co efeto u() é tegrável e V() cotíu o tervlo e cus ; or outro ldo v() é tegrável e U() cotíu o eso tervlo. Toe-se u qulquer decoosção D do tervlo [ ] e fç-se Φ () U().V(). Te-se 37

45 Φ () - Φ () [ Φ( + ) Φ( ) ] 0 [ U( + ). V( + ) U( ). V( ) ] 0 U( + ).[ V( + ) V( ) ] 0 + V( ).[ U( + ) U( ) ] U( ). v( ) d + + V( ). u( ) d 0 U( ).( ). k V( ).( ). k 0 + * co k etre o ífo e o sureo de v() e [ + ] e k * etre o ífo e o sure-o de u() e [ + ]. Etão Φ () - Φ () U( ).( ). k V( w ).( ). k 0 + * co + e w. Os dos sotóros otdos são sos τ (D) referetes à decoosção D resectvete r os rodutos U().v() e V(). u() elo que os teros ds cosderções que recede o teore Φ () - Φ () l d 0 0 U( ).( ). k + + l d 0 0 V( w ).( ). k + * U( ). v( ) d + u ( ). V( ) d dode result tededo à defção de Φ () u ( ). V( ) d Φ () - Φ () - U( ). v( ) d [ U( ). V( ) ] U( ). v( ) d que é fórul de tegrção deostrr. OBSERVAÇÃO : Fórul seelte evolvedo rtvs e vez de tegrs defdos ode ser otd utlzdo o étodo de rtvção or rtes e fórul fudetl do cálculo tegrl do teore 6. No etto esse rocedeto org dtr que s fuções u() e v() lé de tegráves se té rtváves o tervlo [ ] ; e te d de ssur-se que U().v() se rtvável o eso tervlo. Nesss codções 38

46 ) A fórul de rtvção or rtes erte oter P u().v() U().V() - P U().v() ; ) A fórul de cálculo do teore 6 dá or seu ldo u( ). V ( ) d [ U( ). V( ) P U( ). v( ) ] [ U( ). V( ) ] U( ). v( ) d fórul seelte à do teore 7 s e que U() e V() rereset rtvs (e ão ecessrete tegrs defdos) de u() e v(). 9. Itegrção or susttução Tl coo o étodo de rtvção or susttução co o qul te grdes seelçs té o étodo de tegrção or susttução erte e utos csos slfcr o cálculo de tegrs. O teore e que se fudet o étodo é o segute. Teore 8 : Se f () u fução tegrável e [ ] ϕ (t) u fução estrtete crescete e dervável co doío e [α β ] e dt-se que ϕ (α ) e ϕ (β ). Nesss codções sedo ϕ (t) tegrável e [α β ] te-se: β f ( ) d f [ ϕ () t ]. ϕ () t dt Deostrção : ) Por ser ϕ (t) estrtete crescete cd decoosção α D { t 0 α t t... t - t β } do tervlo [α β ] corresode fzedo ϕ (t ) u decoosção D* { } do tervlo [ ]. O teore de Lgrge e o fcto de ϕ (t) ser ltd (or ser tegrável) e [α β ] erte coclur que + - ϕ (t + ) - ϕ (t ) (t + - t ). ϕ (t *) (t + - t ). M ( ) 39

47 co certo t * ] t t + [ e que M é o sureo (fto) de ϕ (t) e [α β ]. Est desguldde erte coclur que: sedo d o dâetro de D e d* o dâetro de D* etão de fcto δ > 0 ε δ /M : d d(d) < ε d* d(d*) < δ ; d d(d) < ε δ /M t + - t < ε δ /M ( ) (t + - t ). M < δ ( ) + - < δ ( ) d* d(d*) < δ. ) Cotudo cosderr s decoosções D e D* d líe teror se: 0 ( t t ). f ϕ ( u ). ϕ ( u ) σ g (D) + [ ] co u [t t + ] u so sg de g(t) f [ϕ (t)]. ϕ (t) reltv à decoosção D ; e or outro ldo + 0 σ f (D*) ( ). f ( ) co ϕ (u ) [ + ] u so sg de f () reltv à decoosção D*. O teore de Lgrge erte escrever + 0 σ f (D*) ( ). f ( ) 0 [ ϕ ( t+ ) ϕ ( t) ]. f [ ϕ ( u) ] 0 * ( t+ t). ( t ). f [ ( u) ] co t * ] t t + [ ; e etão ϕ ϕ * σ f (D*) - σ g (D) ( t+ t). f [ ( u) ].[ ( t ) ( u) ] 0 ϕ ϕ ϕ 0 0 ( t+ t). f [ ϕ ( u) ].[ L l] ( t+ t). K.[ L l] 40

48 e que L e l são resectvete o sureo e o ífo de ϕ (t) o tervlo [ t t + ] e K u orte ostvo de f () e [ ]. Reresetdo or S ϕ (D) e s ϕ (D) resectvete s sos sueror e feror de Drou de ϕ (t) reltvs à decoosção D te-se d σ f (D*) - σ g (D) K.[ S ϕ (D) - s ϕ (D)]. Coo or ótese ϕ (t) é tegrável e [α β ] ddo u qulquer η > 0 este u ε ε (η ) tl que d d(d) < ε S ϕ (D) - s ϕ (D) < η /K. Do eso odo coo f () é tegrável e [ ] r o referdo η > 0 este u δ δ (η ) tl que d* d(d*) < δ σ f (D*) - λ < η / e que λ f ( ) d ; rtr deste δ > 0 ode os teros d roredde referd rte fl d líe ) d resete deostrção deterr-se ε δ /M tl que d d(d) < ε d* d(d*) < δ. Etão todo ε Mí {ε ε } te-se: d d(d) < ε σ f (D*) - λ < η / S ϕ (D) - s ϕ (D) < η /K ou se r d d(d) < ε te-se σ g (D) - λ σ g (D) - σ f (D*) + σ f (D*) - λ ss se cocludo que ou se K.[ S ϕ (D) - s ϕ (D)] + σ f (D*) - λ < η / + η / η coo queríos rovr. lσ g (D) λ d 0 f ( ) d gt () dt f ( ) d β β [ ϕ ] α α f () t. ϕ () t dt Nos csos e que ϕ (t) se estrtete decrescete te-se o segute: 4

49 Coroláro : Se f () u fução tegrável e [ ] ϕ (t) u fução estrtete decrescete e dervável defd e [α β ] e dt-se que ϕ (β ) e ϕ (α ). Nesss codções sedo ϕ (t) tegrável e [α β ] te-se: β f ( ) d - f [ ϕ () t ]. ϕ () t dt Deostrção : ) Note-se e rero lugr que α f ( ) d f( ) d. Co efeto à decoosção D { } do tervlo [ ] corresode segute decoosção do tervlo [- -] : D* { u 0 - u u... u - u - } e que u - - r os vlores As s decoosções tê o eso dâetro. + 0 A cd so σ f (D) ( ). f ( ) de f () reltv à decoosção D do tervlo [ ] corresode u so + 0 σ g (D*) ( u u ). g( w ) co u + - u e w - -- de g () f (-) reltv à decoosção D* do tervlo [ - -]. E coo + 0 σ g (D*) ( u u ). g( w ) ( + ). f ( ) 0 0 ( ). f ( ) + 0 ( ). f ( ) σ f (D) e d d(d) d* d(d*) coclu-se fclete que lσ f (D) l σ g (D*) d 0 d * 0 ou se f ( ) d f ( ) d. ) A deostrção do coroláro é gor edt. Ns codções do eucdo ψ (t) - ϕ (t) é estrtete crescete e o resultdo d líe ) cougdo co o teore 8 erte escrever : 4

50 f ( ) d f ( ) d β [ ϕ ()].[ ϕ ()] α β - [ ϕ ] f () t. ϕ () t dt. α f t t dt OBSERVAÇÕES : ) Os resultdos do teore 8 e seu coroláro ode reur-se u só fórul lcável quer qudo ϕ (t) se crescete quer qudo se decrescete. Bst otr que ϕ (t) crescete ϕ (t) 0 ϕ (t) ϕ (t) ϕ (t) decrescete ϕ (t) 0 ϕ (t) -ϕ (t) β r se coclur que fórul f ( ) d f [ ϕ t ] ϕ t dt (). () coreede s α fóruls do teore e do coroláro. De otr d que qudo ϕ (t) se crescete α ϕ - () e β ϕ - () ; qudo ϕ (t) se decrescete α ϕ - () e β ϕ - (). ) U ltertv o uso do ódulo de ϕ (t) r reur u só fórul os dos csos cosste e fzer β* f ( ) d f [ ϕ () t ]. ϕ () t dt α* co α* ϕ - () e β* ϕ - (). De fcto o cso de ϕ (t) ser crescete α* ϕ - () α e β* ϕ - () β e ortto β* f ( ) d f [ ϕ () t ]. ϕ () t dt β [ ϕ ] α* f () t. ϕ () t dt ; o cso de ϕ (t) ser decrescete α* ϕ - () β e β* ϕ - () α e ortto β* f ( ) d f [ ϕ () t ]. ϕ () t dt α [ ϕ ] α* β - [ ϕ ] f () t. ϕ () t dt. α 0. Segudo teore d éd O teore segute é coecdo or segudo teore d éd: α f () t. ϕ () t dt Teore 9 : Se ϕ () 0 e decrescete e [ ]. Sedo ϕ () e ψ () tegráves e [ ] etão co certo c [ ] ϕ ( ). ψ ( ) d ϕ( ). ψ ( ) d β c 43

51 Deostrção : Sedo ϕ () 0 o fcto de ser ϕ () 0 e decrescete e [ ] lc ϕ () 0 e todo o tervlo e esss codções guldde do eucdo é evdete. Assureos ortto que ϕ () > 0. Pr u qulquer decoosção D fços + ϕ ( ) e ψ ( ) d ( ). Pelo teore d éd (roredde P9) os ode ser reresetdos do segute odo: ( + - ). k co k coreeddo etre o ífo e o sureo de ψ () o tervlo [ + ]. Por ser π () ψ () t dt fução cotíu e [ ] - or se trtr de tegrl defdo - etão fução π () te esse tervlo ío π (α ) e áo π (β ) e clro que π (α ) 0 ψ ( ) d π (β ) π (α ) 0 + ψ ( ) d π (β )... π (α ) ψ ( ) d π (β ). A detdde de Ael ( 0 - ) ( - ). ( 0 + ) + + ( - 3 ). ( ) ( - 0 ). ( ) e o fcto de ser + (ϕ é decrescete) erte etão oter π (α ). [ ] 0 [ ]. π (β ) ou se ós slfcção óv π (α ). 0 defção dos e dos result etão 0 π (β ). 0. Atededo à 44