Uma Generalização da Integral de Riemann

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1 Uversdde Federl de St Ctr Curso de Pós Grdução em Mtemátc e Comutção Cetífc Um Geerlção d Itegrl de Rem Dssertção resetd o curso de Pós- Grdução em Mtemátc e Comutção Cetífc, do Cetro de Cêcs Ets d Uversdde Federl de St Ctr, r oteção do gru de Mestre em Mtemátc, com Áre de Cocetrção em Aálse Rel Mr Elt Perer Floróols St Ctr 999

2 Um Geerlção de Itegrl de Rem Mr Elt Perer Est dssertção fo julgd dequd r oteção do Título de Mestre, Áre de Cocetrção em Aálse Rel, e rovd em su form fl elo curso de Pós- Grdução em Mtemátc e Comutção Cetífc Celso Melchídes Dór Coordedor Comssão Emdor: Prof Pul Jmes Otterso, PhD ( Oret UFSC Prof João Brt, PhD (USP Prof Aldrovdo Luís A Arújo, PhD (UFSC Prof Ruy Eel, PhD (UFSC 3 de Mrço de 999

3 Ao meu mrdo Jeferso e às mhs flhs Ntsh e Wles

4 AGRADECIMENTOS: Ao meu oretdor Pul Jmes Otterso or ser um grde motvdor Aos meus s (flecdos que me crrm r ser um mulher reldor Ao meu mrdo Jeferso elo seu mor e el su cooerção dgtção dest dssertção Às mhs flhs Ntsh e Wles or terem comreeddo mh ecessdde de ser ms que mãe Aos meus rmãos Rogéro, Luís Crlos, Mr Ele e Mr Ester, que credtrm em mm À mh mg Ilc, or ter sdo um fote de cofç e ecorjmeto À CAPES, or ter tordo ossível este mestrdo trvés d estrutur fcer v

5 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS v RESUMO v ABSTRACTv INTRODUÇÃO DERIVADAS E FUNÇÃO DE CANTOR3 Dervd Ordár 4 Dervd Prmétrc 6 3 A Fução de Ctor INTEGRAL DE RIEMANN GENERALIZADA Itegrl de Rem 3 Meddor 4 3 Itegrl de Rem Geerld 5 4 Teorem Fudmetl do Cálculo 34 5 Mudç de Vrável 38 6 Itegrs Imrórs 39 7 Teorems de Covergêc 47 3 INTEGRAL DE LEBESGUE E INTEGRAL DENJOY5 3 Álger de Cojutos5 3 Medd de Leesgue 5 33 Itegrl de Leesgue Relção etre Dervd e Itegrl de Leesgue Fuções AC, ACG, AC*, ACG* Itegrl de Dejoy 6 4 CONCLUSÃO6 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 65 v

6 LISTA DE NOTAÇÕES R Cojuto dos Números Res ( lm f Lmte d fução f qudo rom-se de f Fução Ivers C Cojuto de Ctor Somtóro R* ([ ], Cojuto ds fuções que são tegráves o setdo Rem Geerld f ( d Itegrl d fução f o tervlo (, su E Suremo do cojuto E f E Ífmo do cojuto E fl(p A som ( f ( ode P, [, ] ~A Comlemetr do Cojuto A m* (E Medd eteror do cojuto E { } ; m (E Medd de Leesgue do cojuto E v

7 RESUMO Neste trlho, estudmos um modfcção d Itegrl de Rem, Itegrl Hestoc-Kurwel, ou Itegrl de Rem Geerld, ou d, Itegrl Guge (deotmos Itegrl R* Mostrmos o Teorem de He e o Lem de Ss- Hestoc, e estes servem como ferrmets lcção d Itegrl R* Est tegrl cotrst com outrs tegrs, em rtculr com reseto formulção do Teorem Fudmetl do Cálculo, e su resectv clsse de fuções tegráves Nós rovmos que Itegrl R* ermte um elegte Teorem Fudmetl e cocluímos que tegr um clsse mor de fuções que tegrl de Leesgue, qul geerl v

8 ABSTRACT I ths wor, we study modfcto of the Rem tegrl, the Kurwel-Hestoc or Guge or R* Itegrl We rove He s Theorem d the Ss- Hestoc Lemm; whch re mortt tools lctos of the R*-tegrl Ths tegrl s comred t wth other tegrls, rtculr wth resect to formulto of The Fudmetl Theorem of Clculus, d regrdg ther resectve clsses of tegrle fuctos We show tht the R*-tegrl ermts smle Fudmetl Theorem d tegrtes lrger clss of fuctos th the Leesgue tegrl, whch t geerles v

9 INTRODUÇÃO Bos lvros de Aálse (Lm, Royde, Rud, Brtle colocm Itegrl de Leesgue como essecl Segudo Burll Há muto temo é evdete que todo usuáro do Cálculo Itegrl, sej d mtemátc ur ou lcd, deve terretr tegrção o setdo de Leesgue Algus rcíos smles etão drgem mulção de eressões cotedo tegrs Recetemete surgu um smles modfcção d tegrl de Rem, chmd etão de Itegrl Hestoc-Kurwel, de Rem Geerld, ou d guge (deotremos tegrl R*, que f com que tegrl resultte sej ms gerl que tegrl de Leesgue O ojetvo dest dssertção é o de desevolver roreddes dest tegrl, R*, ecotrdo rcíos smles que drjm, e comrá-l com outrs tegrs (Rem, de Leesgue, Dejoy, No rmero cítulo, geerlmos dervd ordár trvés de um rmetrção dequd d vrável, tordo comost dervável O ojetvo de defr Dervd Prmétrc é eucr o Cítulo II um Teorem Fudmetl do Cálculo ms rgete Tmém femos um estudo detlhdo d Fução de Ctor, que é um eemlo de um fução ão dervável que ermte dervd rmétrc

10 No segudo cítulo, usdo soms de Rem, defmos Itegrl R* trvés de um lger modfcção d Itegrl de Rem A relção etre tegrl ssm otd com Dervd Prmétrc fc estelecd trvés de um formulção do Teorem Fudmetl do Cálculo Veremos que os teorems de covergêc váldos r tegrl de Leesgue são váldos tmém r tegrl R*, e o teorem de He, que d que se tegrl mrór este, etão tegrl este o setdo R* O tercero cítulo cost de um rádo estudo ds defções e teorems roveetes d Teor de Itegrção o setdo Leesgue e Dejoy o coteto d álse rel Esse cítulo é smlesmete um emsmeto teórco r que osterormete sej dscutd equvlêc etre Itegrl de Dejoy e tegrl R* São vstos tmém rcíos smles d Itegrl de Leesgue: os Três Prcíos de Lttlewood Flmete, cocluímos etão este trlho com comrções etre tegrl R* e s tegrs de Leesgue, Dejoy e Rem Pr sto, os vlemos de eemlos que elucdm ests dfereçs e oscometo de lgus utores

11 Cítulo I DERIVADAS E FUNÇÃO DE CANTOR Roert GBrtle [], relco Itegrl de Rem Geerld com Dervd Ordár trvés do Teorem Fudmetl do Cálculo, equto que Jc Lmoreu e Gerld Armstrog [8], defem Dervd Prmétrc (tmém chmd Dervd Geerld, e relcom com Itegrl de Rem Geerld Este teorem será eucdo e demostrdo o Cítulo II Como tod fução que ossuí dervd ordár, ossuí tmém dervd rmétrc, otmos elos trlhos de Armstrog o que d reseto o Teorem Fudmetl do Cálculo Temos ssm um resultdo ms forte e or sso ms elord su demostrção Neste cítulo, clmete retorremos Teor d Dervd Ordár vst os Cursos de Cálculo e Aálse Aodos s defções e rcs resultdos dest teor ssremos etão r o osso ojeto de estudo deste cítulo que é Dervd Prmétrc Veremos que lgums fuções que ão ossuem dervds, rmetrdo vrável, sus comosts odem ser derváves Flmete, fechremos este cítulo com um estudo detlhdo do Cojuto de Ctor e d Fução de Ctor, tedo em vst que fução de Ctor, 3

12 segudo Armstrog [8], é um eemlo de um fução que ão ossuí dervd, ms que trvés de um rmetrção dequd d vrável, comost é dervável, ou sej, fução de Ctor ossuí dervd rmétrc Dervd Ordár Veremos segur, de cordo com Elo Lges Lm, lgums defções e teorems reseto de dervd ordár, sedo que s demostrções dos teorems odem ser ecotrds em [9] Demos que um oto R é um oto de cumulção do cojuto X R qudo tod vhç V do oto, cotém o meos um oto de X dferete de, ou sej, r todo ε>, o cojuto ( ε ε I ( X { } Deotremos or Χ o cojuto dos otos de cumulção de X, ão é vo Um outr defção mortte r dervd é de fução cotíu Um fução rel f defd o cojuto X R é cotíu o oto R qudo, r todo ε>, este um δ > tl que se Χ e < < δ etão f ( f ( < ε Demos d que f é cotíu, se f é cotíu em todo oto do cojuto X 4

13 Defção: Sejm f : X R e um oto de X que é oto de cumulção de X, sto é, ΧI Χ A dervd ordár, ou smlesmete dervd, d fução f o oto, qudo este, é o lmte f ( f ( lm e deotmos este lmte or f ( Demos etão que f é dervável o oto Qudo f é dervável em todo oto de X, demos que f é dervável Defe-se, equvletemete, f ( como lm h f ( h h f ( Proosção: Se f : X R é tl que f ( r todo Χ, etão f é um fução costte, ou sej, f ( r todo Χ, ode é um costte rel Teorem: Sejm f, g : X R derváves o oto ΧI Χ As fuções f g, f g, f g e f g (cso g ( são derváves o oto e s dervds dests fuções são dds or: ( f g ( f ( g ( ; ( f g ( f ( g ( ; ( f g ( f ( g( f ( g ( e f f ( g( f ( g ( g ( [ g( ] Eucremos segur Regr d Cde, sedo est de grde mortâc r Dervd Prmétrc 5

14 Teorem: Sejm f: Χ R, g: Y R, ΧI Χ, f ( Υ I Υ e f (Χ Υ Se f é dervável o oto e g é dervável o oto, etão g o f : X R é g o dervável o oto, e ( f ( g ( f ( f ( Coroláro: Sej f : X Y um fução jetor, com vers g f : Υ Χ Se f é dervável o oto ΧI Χ e g é cotíu o oto f ( etão g é dervável o oto se, e somete se, f ( Cso frmtvo g ( f ( Dervd Prmétrc Defção: Sej fução F: [, ] R Demos que F tem um dervd rmétrc f se, e somete se, este um fução dervável, sorejetor e estrtmete crescete [ α, β] [, ] φ : ode α, β são úmeros res e tl que F o φ tem um dervd o ordár em [ α, β] defd or ( F φ ( t f ( φ( t φ ( t Segue d defção que tod fução que tem dervd ordár, dmte dervd rmétrc Bst tomr : [, ] [, ] φ dd or φ ( t t Em outrs lvrs, dervd rmétrc geerl dervd ordár A dervd rmétrc ão ecesst ser úc os se F : [, ] R é tl que dmte dervd rmétrc f, etão este um fução dervável, sorejetor, 6

15 estrtmete crescete : [ α, β] [,] este t [, ] φ tl que F o φ tem dervd ordár Se tl que ( o φ sto mlc φ t, como F φ (t f ( φ(t (t ( que ( F o φ ( t, deedete do vlor que f ssume em φ t é tl que φ ( t [ α, β] [,] Por outro ldo, roosção segute os ot um resultdo qudo t Qudo um fução F : [, ] R ossuí dervd rmétrc e φ : é um fução dervável e estrtmete crescete tl que F o φ ossuí dervd ordár demos que f é um reresetção rmétrc de F ( Proosção: Sej F : [, ] R um fução que ossuí dervd rmétrc e sej [ α, β] [,] φ : um reresetção rmétrc de F Se φ ( t etão dervd rmétrc f o oto φ t é dervd ordár de F ( Prov: Sej f : [, ] R um dervd rmétrc d fução F : [, ] R e o φ : [ α, β] [,] um reresetção rmétrc de F Assm, ( F φ ( t f ( φ( t φ ( t Sej t tl que φ ( t Fedo φ(t, F ( lm F ( lm F ( φ( t F ( φ( t φ( t φ( φ( t φ( t t F( φ( t F( φ( t φ ( t lm t t φ( t φ( t φ ( t lm t t F( φ( t F( φ( t φ φ ( t ( t lm [ φ( t φ( t ] φ ( t t t t t F ( φ( t F( φ( t lm φ ( t t t t t 7

16 ( F o φ( t ( F o φ( t lm φ ( t t t t t ( F o φ ( t f ( φ( t φ ( t φ ( t φ ( t f φ ( t f ( ( Portto F ( f (, ou sej, f ( é dervd ordár de F o oto Veremos segur lgums roreddes d dervd ordár que vlem r dervd rmétrc Pr demostrr ts roreddes lcremos defções e resultdos vstos em Proosção: Se dervd rmétrc de F é ero em cd oto de [, ], etão F é costte Prov: Sej f : [, ] R dervd rmétrc de F tl que f ( r todo [, ] e sej : [ α, β] [,] φ su reresetção rmétrc Etão, ( F o φ ( t, os ( F o φ ( t f ( φ( t φ ( t Logo F o φ ode é um costte, sto é, F φ ( t ( r todo [ α, β] t Fedo φ(t, temos que F ( r todo [, ] Usremos dqu r frete otção F r dervd rmétrc d fução F, sem rolems de otção os como vmos tod dervd ordár é rmétrc 8

17 Proosção: Se s fuções F e G dmtem dervds rmétrcs e é um úmero rel, etão: ( ( (c ( F F ( F G F G ( F G F G FG Prov: ( Sej f : [, ] R dervd rmétrc d fução F : [, ] R E sej fução : [ α, β] [,] φ su reresetção rmétrc Assm F f e ( F o φ ( t f ( φ( t φ ( t Logo, [ ( F o φ ] ( t [ ( F o φ ]( t [ ( F o φ ( t ] [ f ( φ( t φ ( t ] ( f ( φ( t φ ( t Ms [ ( F o φ ] ( F o φ Etão ( Fo φ ( t f ( φ( t φ ( t e f F é um dervd rmétrc de F Armstrog[] demostr o segute teorem que será usdo r demostrr os tes ( e (c d roosção Teorem: Se F e G tem reresetções rmétrcs dferecáves φ e ϕ, resectvmete, etão este um fução θ que é um reresetção rmétrc dferecável r F e G smultemete Sejm f, g s dervds rmétrcs de F, G resectvmete Pelo teorem teror, este um reresetção rmétrc dferecável θ r F e G smultemete Logo, ( F o θ ( t f ( θ( t θ ( t e ( G o θ ( t g( θ( t θ ( t 9

18 ( [( F G o θ] ( t [( F o θ ( G o θ ] ( t ( F o θ ( G o θ (t o ( F θ ( t ( Go θ ( t f ( θ ( t θ ( t g( θ ( t θ ( t [ ( ( t g( θ( t ] ( t f θ θ [( g( θ( t ] ( t Portto, ( G f g F G f θ F (c [( FG o θ ] ( t [( F o θ ( G o θ ] ( t ( F o θ ( G o θ ( F o θ( G o θ (t f ( ( t ( t ( G( θ( t F ( θ( t θ θ g( θ( t θ ( t [ ( θ( t G( θ( t F( θ( t g( θ( t ] ( t f θ ( Fg ( θ( t ( t fg θ FG Portto, ( fg Fg F G FG 3 A Fução de Ctor O Cojuto de Ctor C é um sucojuto do tervlo [, ] que é otdo d segute form: removemos do tervlo [, ], o terço médo,, deos 3 3

19 removemos dos tervlos resttes, 3 e, 3 os resectvos terços médos, 9 9 e 7 8, 9 9, e ssm sucessvmete O Cojuto de Ctor C é o cojuto que rest deos d remoção de todos os terços médos Proosção: O cojuto de Ctor C é fechdo Prov: O comlemetr de C cosste de todos os tervlos que são retrdos costrução do cojuto de Ctor C, etão é um uão (eumerável de tervlos ertos, que é erto Portto o cojuto de Ctor C é um cojuto fechdo O cojuto de Ctor C clu todos os etremos dos tervlos removdos, e tmém, elo fto de C ser fechdo, os lmtes de seqüêc de ts otos Um eemlo de um seqüêc é segute: Começmos de 3 e egmos o etremo ms rómo o segudo sso 3 9, e etão egmos o etremo ms 9 rómo o tercero sso e ssm sucessvmete O lmte deste cojuto de otos é 3 L, que ão é etremo, os todos os etremos são d form 3 O oto 4 ertece o cojuto C, os C é fechdo E ssm tmém todo oto de [, ] que é lmte de um seqüêc de etremos Proosção: O cojuto de Ctor C ão cotém tervlos

20 4 Prov: O tmho totl dos tervlos removdos é L Portto, o cojuto C é um cojuto de medd ul, vsto que medd do tervlo [, ] é Nehum cojuto de medd ul cotém tervlo ão degeerdo, os cso cotráro medd deste cojuto ser mor que ero Portto, o cojuto C ão cotém tervlos Defção: Um cojuto E é erfeto se é fechdo e ão ossuí ehum oto que ão sej oto de cumulção Proosção: O cojuto C é um cojuto erfeto Prov: Sej um elemeto do cojuto C Se é um lmte de um seqüêc ão costte de etremos, etão é um oto de cumulção de C Se é um etremo, temos que ode ser escrto como Assm 3 à esquerd este o tervlo 3, 3 do qul será retrdo o tervlo 3 3,, restdo à esquerd de o tervlo 3 3, 3 do qul será retrdo o tervlo 9 9,, restdo etão á esquerd de o tervlo 9 3, 3 e ssm sucessvmete restrão os tervlos cujos etremos esquerdos são d form 3 3,,,, L Ms 3 lm lm 3 3 lm Portto 3 é um oto de cumulção de C

21 Como C é fechdo e todo oto de C é oto de cumulção de C, temos que C é erfeto Defção: Um cojuto E é rro se o seu fecho ão cotém otos terores Proosção: O cojuto de Ctor C é rro Prov: Como o cojuto de Ctor C ão ossuí tervlos, ão este oto em C tl que estej um tervlo erto cotdo em C, ou sej, C ão cotém otos terores Tmém C é o seu róro fecho, os C é fechdo Logo o cojuto de Ctor C é rro Proosção: Sej um tero mor que, e um úmero rel, < < Etão este um seqüêc { } de teros com < tl que e est seqüêc é úc eceto qudo é d form q (com q tero e q rredutível, este cso estem etmete dus seqüêcs Tmém se { } é um seqüêc de teros com <, sére coverge r um úmero rel com Se, seqüêc é chmd esão decml de Pr é chmd de esão ár; e r 3, esão terár Prov: Sej um úmero rel, < <, e sej um úmero tero mor que Sej escrto o sstem de se, ou sej,, L, < r todo 3 3

22 4 Assm, L Se é d form q ode q é um úmero tero e um úmero turl, odemos escrever r r r q L com q q r, ode q q e q é o quocete d dvsão q com,,,, L Assm ode ser escrto de dus forms: ode r r e r >, e ode r r <, r e r >, os, L L r r r r r r r r ( L ( r r r r L q q q

23 Ucdde: Sej um elemeto de [, ] se Vmos suor que ests dus esões são dferetes Sej Ν { : } e, sus esões m Vmos suor que > Etão Ν Ν Ν Ν, os cso cotráro > e cosequetemete Ν Ν Ν Ν Ν Ν ( ( Ms, o que mlc que Ν Ν Ν Como Assm, Ν Ν > Etão, > Ν Ν Ν ( Ν, o que é um cotrdção Ν Ν Ν, ou sej,, logo Ν Ν Ν Como,,, temos que e Ν Ν Ν De e, otemos: Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Etão, Ν ( Ν O que mlc que Ν e Ν e ssm sucessvmete, e q r Ν Portto, é d form Ν 5

24 Por outro ldo, sej { } um seqüêc de teros com < Assm, o mor vlor que ode ssumr é qudo r todo Neste cso, Portto, sére coverge r um úmero rel tl que Teorem : O cojuto de Ctor C cosste de todos queles úmeros res em [, ] que tem esão terár { } Prov: Sej [, ] tl que r todo A esão terár de,, L tem o rmero dígto se, e somete se,, 3 3 3, cujo teror é retrdo o rmero sso d formção do cojuto de Ctor C Tmém, e se, e somete se,, 9 9 ; e se, e somete se, 7 8, 9 9, cujos terores são retrdos o segudo sso d formção de C E ssm, sucessvmete, temos que {,},, L, e se, e somete se, ertece lgum tervlo fechdo cujo teror é retrdo o -ésmo sso formção do cojuto de Ctor C Restm ortto somete os etremos dos tervlos, ms estes são d form q, que como já vmos, tmém ossuem um esão terár somete com os dígtos e Os: O cojuto de Ctor tmém é chmdo de Cojuto teráro de Ctor 6

25 Proosção: O cojuto de Ctor C é ão-eumerável Prov: Pr todo C, sej, c c L c su esão terár, ode {,} 3 c r todo,,3, L, e sej fução : φ C [, ] Vmos verfcr que φ é sorejetor Sej [, ] c c c3 dd or φ (, L y, e sej, L su esão 3 ár Etão,( ( ( L é um oto de C tl que φ ( y 3 Portto, o cojuto de Ctor C é ão-eumerável Oservção: Este um corresodêc uívoc etre o cojuto de Ctor C e o tervlo [, ] Prov: A fução φ ão é jetor, os r os res de elemetos e cujs esões terárs são d form, L L e, L com {,} r,, L, temos que, φ(, L L, L φ( Sej X o cojuto dos elemetos de C que tem s esões terárs coforme e X é eumerável os os elemetos de X são os etremos dos tervlos, ou sej, os elemetos d form q 3 Porém, o cojuto Yφ(X cosste dos elemetos de q [, ] que são d form Assm o cojuto Y tmém é um cojuto eumerável Sejm { α L} e { L} α,, Defmos fução :,,L β s resectvs eumerções dos cojutos X e Y β,, ϕ C [, ] or ϕ ( φ( r Χ e ϕ ( α β r 7

26 A fução ϕ ssm defd é jetor Teorem: Sej um úmero rel em [, ] com esão terár { } ode {,,} 3, ou sej, Sej Ν se ehum dos é gul l, e sej { : } Ν m Sej r < Ν e Ν Etão Ν é deedete d esão terár de (se tem dus esões e fução f defd or f ( Ν é um fução cotíu, moóto o tervlo [, ] Além dsto, f é costte em cd tervlo cotdo o comlemeto do cojuto Ctor C, e : C [, ] Ctor f é sorejetor (Est fução é chmd fução terár de Prov: Mostremos que f está em defd, ou sej, Ν ão deede d escolh d esão terár dos elemetos de [, ] Sej [, ] Se tem dus esões terárs, é d form q, que como vmos 3 terormete, ode ser rescrto como q 3 r r r L, com r {,,} r,, L, Sejm 3 e c 3 s esões terárs de Assm, 3 c 3 r r r L e ( r r r r L L ( 8

27 Se Ν em (, r todo, Ν r r r 3 r r L L 3 r r r 3 r L, etão, Ν em (, c r < e Ν c r r 3 r L Se Ν, r lgum,, L, em (, r < e Ν r r r L 3 etão, Ν em ( e c r < e Ν c r r r 3 L Se Ν em (, r < e Ν r r 3 L r etão, Ν em (, c c Ν r r r L 3 r r 3 r L Mostremos que f é costte em cd tervlo cotdo o comlemeto do cojuto de Ctor C 9

28 Sej, 3 3 um tervlo retrdo de [, ] o -ésmo sso formção do cojuto de Ctor Sejm, y, 3 3 Semos que 3 ode ser escrto como Etão, r 3 r r L, com r {,,} r,, L, 3 3 r r r L 3 e r c Assm, e y ode, c r r,,, 3 3 L, c e, c {,,} r >, Ν r r r Portto, f ( L f ( y 3 Mostremos que f é moóto em [, ] Pr sto st mostrr que é crescete em C Sejm, y C, com < y Semos que, y tem esões terárs e 3 c y com, {,} 3 c Sej tl que c > Etão, c e Assm, Ν, Νc e, f L L 3 ( < c L L 3 c c c c L L f ( y 3 Portto, f é crescete em C

29 Mostremos que f ( C [, ] Sej [, ] y Etão este um esão ár de y, ou sej, y {, } r todo Pr C, f ( y 3 Mostremos que f é cotíu, ode Nós recsmos rovr cotudde somete o cojuto de Ctor C, os f é costte em cd tervlo de [, ]\ C Sej C e sej > Este N tl que < ε Tomemos δ Etão r todo y C tl que < y < δ ós temos 3 y < 3 Logo, se 3 etão, c 3 3 y, ode, {,,} c ; e ( c c f ( f ( y < ε Portto, f é cotíu

30 Cítulo II INTEGRAL DE RIEMANN GENERALIZADA Neste cítulo será defd Itegrl de Rem Geerld, tmém chmd de Itegrl Guge ou Itegrl de Hestoc (deotremos R*-Itegrl Pr sto, defremos Itegrl de Rem vst os cursos de Cálculo, os tod fução Rem tegrável é Rem tegrável Geerld Dqu r frete será usdo o termo guge tegrável ou R*-tegrável e tegrl Rem Geerld d fução f o tervlo [,] será deotd or f ( d, sem rolems de otção elo motvo vsto cm Tmém serão rovdos o Teorem d Ucdde e o Crtéro de Cuchy Num segudo mometo, será eucdo e demostrdo o Teorem Fudmetl do Cálculo, estelecedo ssm um relção muto estret etre Itegrl de Rem Geerld e Dervd Prmétrc Nos últmos sutítulos serão vstos teorems de Mudç de Vrável e os Teorems de Covergêc Moóto e Covergêc Domd, estes últmos muto morttes detro d Itegrção de Leesgue Fremos d um estudo de

31 Itegrs Imrórs e veremos que equto estem fuções que ão são Rem Itegráves, ms ossuem tegrs mrórs; o mesmo ão ocorre referdo-se Itegrl de Rem Geerld Itegrl de Rem Sej [, ] um tervlo fechdo em R Um rtção de [, ] é um coleção ft de tervlos fechdos [, ],,, ; ts que < < < Escolhemos um úmero, em cd tervlo [, ], que chmremos etquet Resultdo ssm um rtção etquetd {, [, ];, } do tervlo [, ],, tervlo [ ] Assm, f ( é um som de Rem d fução f o (, O úmero A R é Itegrl de Rem de f : [, ] R se r todo ε >, este um úmero > rtção etquetd do tervlo [, ] com < f ( ( A < ε δ tl que, se {, [, ];, },, é um <δ r,,, etão, 3

32 Meddor Pr defrmos Itegrl de Rem Geerld, recsmos de um meddor coforme defção o; sedo que este meddor tto ode ser um coleção de tervlos ertos, como um fução estrtmete ostv Vmos defr um meddor g do tervlo [, ] d segute form: r cd [, ] escolhemos um tervlo erto γ( que cotém o cetro Demos que um rtção etquetd {, [, ];, } de [, ] é γ-f se,, r cd,,, o tervlo [, ] é um sucojuto do tervlo γ( Podemos tmém defr um meddor d em um tervlo [, ] como um fução estrtmete ostv, cujo domío é o tervlo [, ] Fedo γ ( ( δ(, δ( r cd em [ ] dus defções,, verfcmos equvlêc etre esss Vmos que este um relção muto estret etre meddores em tervlos e rtções etquetds de tervlos Neste setdo formlremos o segute resultdo: Proosção: Ddo um meddor qulquer g em [, ], este um rtção etquetd em [, ] que é γ-f 4

33 Prov: Sej γ um meddor em [ ] rtção etquetd de [, ] que é γ- } <, etquetmos [ ], e sej o cojuto E { (, ] : esteum f E ão é vo os egdo γ( com, com O resultdo é um dvsão etquetd γ-f de [ ], Sej y su E Este E tl que γ(y e < y Pel defção do cojuto E, este um dvsão etquetd γ-f de [, y] Etão y E Vmos rovr que y Suohmos que y < Assm o cojuto γ ( y I ( y, Ø Sej w γ( y I ( y, Adjcete lgum dvsão etquetd de [, y] que é γ-f tem-se o tervlo [ w] y, etquetdo com y Etão w E, ms w > y cotrrdo suosção de que y su E Como y, y 3 Itegrl de Rem Geerld Sej f um fução rel defd o tervlo [, ] O úmero I é tegrl R* de f em [, ] se, ddo ε>, este um meddor γ tl que, se {, [, ]; } é um rtção etquetd γ-f de [ ],, etão Ι f ( ( < ε 5

34 Deotremos or R* ([ ] tegráves o tervlo [, ] e I, o cojuto ds fuções que são R*- f ( d, ão hvedo rolem com est otção os tod fução que é Rem tegrável em [, ] é R*-tegrável em [, ] De fto, sej f : [ ] este >, R e A su tegrl de Rem Assm, ddo ε>, δ tl que se {, [, ];, },, é um rtção etquetd de [, ] com < <δ r,,, etão, f ( ( A < ε Logo este um meddor δ, δ ( δ costte Portto, f é R*-tegrável A segur trlhremos com um fução que é R*-tegrável, orém ão é Rem tegrável Com frmção rovd terormete, e o referdo eemlo, ercee-se que mlmos osso cmo de trlho, ou sej, o cojuto de fuções tegráves, ssdo de Rem r Rem Geerld, sem que fosse ecessár um grde teor rév Eemlo: Sej fução f: [, ] r rrcol Vmos mostrr que f R * ([, ] R dd or f ( r rcol e f ( Sej ε > e sej { } [, ] Defmos o meddor g d segute mer: ε ε r r, r r,, e γ ( (, γ( r rrcol r um eumerção dos rcos do tervlo 6

35 Sej {, [, ]; } um rtção etquetd γ-f de [, ] Se for rcol, r r lgum turl e etão [, ] γ( ε ε r r, r γ ( Logo, f ( ( ( ε ε ε Se for rrcol, f ( ( ( Portto, reordedo { } termos d seqüêc, temos r de form que os s cocdetes sejm os rmeros ε f ( < < ( ε Portto, f ( ( < ε e f ( d Est fução ão é Rem tegrável orque é semre descotíu, ms é Leesgue tegrável, tedo em vst que f somete um cojuto de medd ul Veremos ms trde, o cítulo III, Itegrl de Leesgue e medd de cojutos Teorem d Ucdde: Se f [, ] úc : R é R*-tegrável etão su tegrl f é Prov: Sejm A f e B f Ddo ε >, estem meddores α e β ts que se {, [, ]; } é um rtção etquetd α-f de [ ],, etão 7

36 f ( ( A ε < e se { [, ]; }, é um rtção β- f de [ ],, etão f ( ( B Pr cd [, ] ε <, sej ( α( β( γ I γ é um meddor em [ ] tervlo erto, vsto que é tersecção de dos tervlos ertos, os γ ( é um Semos tmém que este um rtção etquetd de [, ], {, [, ]; } que é γ-f Logo est rtção tmém é α-f e β-f, os [, ] γ( α( e [, ] γ( β( Assm, A B A f ( ( f ( ( B A f ( ( B f ( ( ε ε < ε Como ε é rtráro, A B Vmos cm um mortte resultdo váldo r fuções Rem tegráves, que é váldo tmém r fuções R*-tegráves O rómo resultdo ser demostrdo é o fmoso Crtéro de Cuchy, vsto os cursos de Itegrl de Rem Este crtéro os dá codções de decdr se um fução é R*-tegrável, sem cohecer o vlor de su tegrl 8

37 Crtéro de Cuchy: A fução f [, ] : R é R*-tegrável se, e somete se, r todo ε> este um meddor γ tl que r qusquer rtções etquetds {,[, ]; } e {, [, ] m} γ-fs de [ ] ;, tem-se f ( ( f ( ( < ε m Prov: Sej f : [, ] R um fução tegrável em [ ], e I f ( d Ddo ε >, este um meddor γ em [, ] tl que se { [, ]; }, é um rtção etquetd γ-f de [ ], etão Ι f ( ( Sejm {,[, ]; } e {, [, ] m} γ-fs de [, ] Assm, ; < ε rtções etquetds f ( ( ( ( f m m Ι f ( ( ( ( f Ι Ι f ( ( ( ( f Ι m ε ε < ε Por outro ldo, ddo ε>, este um meddor γ tl que r qusquer rtções etquetds {,[, ]; } e {, [, ] m} γ-fs de [ ] ;, temos f ( ( ( ( f m < ε 9

38 3 Assm, r cd este um meddor δ tl que se [ ] { } ;,, e [ ] { } q ;,, são rtções etquetds δ -fs de [ ], etão, ( ( ( ( f f m < Tomemos um seqüêc de meddores d segute form: M I M I ( ( ( ( ( ( ( ( δ γ γ δ γ γ δ γ e ssm sucessvmete r todo turl e r todo [ ], Pr cd turl, sej [ ] { } ;,, um rtção etquetd γ -f de [ ], É clro que est rtção tmém é δ -f os ( ( δ γ r todo [ ], A seqüêc de soms ( ( f é de Cuchy os ddo ε >, tomemos > Ν tl que < Ν ε Sejm, j úmeros turs com Ν j, Vmos suor que j < Temos que ( ( j γ γ Assm rtção [ ] { } j j j j ;,, que é j γ -f tmém é γ -f Portto, ( ( ( ( j j j f f j < Ν < ε

39 Logo, est seqüêc de soms é covergete os é um seqüêc de úmeros res Sej A lm f ( ( Ddo ε>, tomemos Ν tl que ε < Ν e se ε Ν etão A f ( ( < Sej { [, ]; } Etão,, um rtção etquetd N γ -f de [ ], A f ( ( Ν Ν ( Ν Ν Ν Ν Ν Ν A f ( f ( ( f ( ( Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν A f ( f ( f ( ( ( Ν ( < ε Ν < ε ε ε Portto f é R*-tegrável e f ( d A Teorem: Sejm f e g fuções R*-tegráves em [, ] Etão, ( f é R*-tegrável em [ ], e f f r todo R ; ( f g é R*-tegrável em [, ] e ( f g f g ; (c se f g quse semre em [, ], etão f g Prov: Gordo [7] 3

40 Teorem: Sej f :[, ] R Se tegrável em [ ], e f Prov: Sej { [, ] : f ( } f quse semre em [ ],, etão f é R*- E e r cd tero ostvo, sej E { E : f ( } Estes cojutos são dsjutos e todos tem medd ul Pr cd escolhemos um cojuto erto O tl que E O e µ ( O < ε Defmos um fução ostv δ em [, ] or: [, ], E δ( ρ(, ~ O, E ode ρ, ~ O f { y : y } ( O De cordo com Royde[], defremos segur cojutos de medd ul Estes cojutos serão ctdos com freqüêc o cítulo III (Itegrl de Leesgue e roosção o Defção: Um cojuto A R é um cojuto de medd ul se ode ser coerto or um coleção eumerável de tervlos ertos, cujo tmho totl é rtrrmete equeo, sto é, ddo > ε, este um seqüêc de tervlos ertos { } Ι tl que Α U Ι e l ( Ι < ε I Um roredde é dt cotecer quse semre (revtur qs se o cojuto de otos ode est roredde flh cotecer é um cojuto de medd ul 3

41 M> tl que ( < Μ Demos que um fução f : [, ] R é lmtd se este um úmero f r todo [, ] Proosção: Sejm f, g fuções defds o tervlo [, ] ts que f-g é lmtd Se f é R*-tegrável e f g quse semre, etão g é R*-tegrável e f g Prov: Sejm s fuções f, g:[, ] R e M tl que f ( g( < Μ [ ], Como f é R*-tegrável, sej Ι f ( d Ddo > ε, este um meddor γ tl que se { [, ]; } etquetd γ-f de [, ], etão Ι O cojuto D { [, ] : f ( g( } ε f ( ( <, r todo, é um rtção é de medd ul Logo, este um coleção eumerável de tervlos ertos { Ι } tl que U Ι Vmos defr um meddor β d segute mer : β ( γ(, se D e β ( Ι γ(, com tl que Ι, se D D e ( Ι ε l < Μ Sej {,[, ] m} um rtção etquetd β-f de [ ] β( γ( r todo, est rtção tmém é γ-f Portto,, Como 33

42 34 ( ( Ι m g ( ( ( ( Ι D D g g ( ( ( ( Ι D D f f ( ( ( ( D D g f ( ( ( ( ( Ι D m g f f O rmero termo é meor que ε os rtção [ ] { } m,, é γ-f De Μ < ( ( g f r todo [ ],, o segudo termo ( ( ( ( ( Μ Μ g f D Z D Z ms [ ] Ι β (, e ( Μ ε < Ι l Portto, ( ( ε Μ ε Μ ε < Ι m g e d f d g ( ( 4 Teorem Fudmetl do Cálculo

43 Estem város eucdos do Teorem Fudmetl do Cálculo com reseto tegrl de Rem Seguem o lgus destes eucdos De cordo com Sv [4], temos: O Prmero Teorem Fudmetl de Cálculo: Sej f tegrável em [, ], e def F em [ ], or ( f dferecável em c, e F ( c f ( c F Se f é cotíu em c [, ], etão F é O Segudo Teorem Fudmetl de Cálculo: Se f é tegrável em [ ] r lgum fução g, etão f g( g(, e f g De cordo com Mrsde e JHoffm [], temos: Teorem Fudmetl de Cálculo: Sej f : [, ] R cotíu Etão f tem um tdervd F e f ( d F( F( De cordo com Elo Lges Lm [9]: Teorem Fudmetl do Cálculo: Sej segutes frmções reseto de um fução f : Ι R cotíu o tervlo I As F : Ι R são equvletes: ( F é um tegrl defd de f, sto é, este Ι tl que F ( F ( f ( t dt, r todo Ι ( F é um rmtv de f, sto é, F ( f ( r todo Ι 35

44 Eucremos segur o Teorem Prcl de cordo com Jc Lmoreu e Gerld Armstrog [8] que estelece um coeão etre dervd rmétrc e Itegrl de Rem Geerld Sedo que este teorem tmém é váldo r dervd ordár, vsto que dervds ordárs são tmém dervds rmétrcs Roert GBrtle [] euc este mesmo teorem, orém somete r dervd ordár, sedo que o chm de Teorem Fudmetl do Cálculo Pr demostrr tl teorem usremos o segute resultdo: Lem: Sej F defd o tervlo [, ] Se F tem dervd rmétrc f com reresetção rmétrc φ em [ c, d ] etão, ddo [ c, d ] e ε >, este δ > tl que se δ < s < t < δ, etão F ( φ( t F ( φ( s f ( φ( ( φ( t φ( s < ε( t s Prov: Sej F : [, ] R e f : [, ] R su dervd rmétrc com reresetção rmétrc : [ c, d ] [, ] Ddo [ c, d ] φ, el defção de dervd rmétrc temos que ( F o φ ( f ( φ( φ ( ldos dest guldde otemos, Alcdo defção de dervd ordár os dos lm t ( F o φ ( t ( F o φ t ( φ( t φ( f ( φ( lm t t o que mlc que, F( φ( t F( φ( φ( t φ( lm f ( φ( t t t Ddo ε >, el defção de lmte, este δ δ( ε, > tl que se < t < δ, etão, 36

45 F ( φ( t F( φ( φ( t φ( f ( φ( t t < ε ou sej, [ φ( t φ( ] < ε( t F( φ ( t F( φ( f ( φ( Sejm t, s ts que δ < s < t < δ Assm, F ( φ ( t F ( φ( s f ( φ( s ( φ( t φ( ( φ( t φ( F( φ( s F ( φ( f ( φ( ( φ( s φ( F ( φ( t F ( φ( f ( φ( F( φ( t F ( φ( f ( φ( ( φ( t φ( F ( φ( F ( φ( s f ( φ( ( φ( φ( s < ε( t ε( t s ε( t s ε( t s Oservção: O Teorem Fudmetl de Cálculo r Itegrl de Rem Geerld, ode ser eucdo e demostrdo trvés de um equvlêc etre dus frmções mtemátcs, os Dervd Prmétrc e Itegrl R* ermtem elmr hótese de cotudde do Teorem segudo Elo Lges Lm Teorem Fudmetl do Cálculo: Sej f um dervd rmétrc de F o tervlo [, ] Etão f é R*-tegrável em [ ], e f ( d F( F( Prov: Sej F um fução defd o tervlo [, ] e f su dervd rmétrc Sej φ um reresetção rmétrc em [ c, d ], ou sej, : [ c, d ] [, ] φ é um fução dervável, estrtmete crescete e F o φ é dervável φ é um homeomorfsmo, logo φ este e é cotíu 37

46 Ddo > ε e [, ] Sej φ ( [ c, d ] ( ε δ δ, d c tl que, se δ < s < t < δ etão, Coforme o lem cm, este ε F ( φ ( t F ( φ( s f ( φ( ( θ( t φ( s < ( t s d c Como φ é cotíu, este δ ( > δ tl que se < δ etão, φ ( < δ Pr cd, otemos um ( γ ( δ (, δ ( ( δ Defmos um meddor γ em [ ] > Sej {,[, ]: } um rtção etquetd γ-f de [ ] [, ] γ(,, ( δ(, δ(, ddo or, Como, ou sej, < δ( e ( < δ Defdo c e t or c φ ( e t φ (, r, temos que φ ( φ ( < δ( c e φ ( φ ( < δ( c, ou sej, t c < δ( c e t c < δ( c Ms <, logo t < t os φ é estrtmete crescete, e ortto c δ c < t < t < c δ( c Assm, elo lem ( ε F ( φ( t F ( φ( t f ( φ( c ( θ( t φ( t < ( t t d c Portto, f ( ( ( F ( F ( f ( ( ( F ( F( { F ( F( f ( ( } { F ( φ( t F ( φ( t f ( φ( c ( φ( t φ( t } 38

47 F ( φ( t F( φ( t f ( φ( c ( φ( t φ( t ε < ( t t d c ε ( d c ε d c 5 Mudç de Vrável De cordo com Brtle [], eucremos dos teorems que torm váld Fórmul d Susttução O rmero dos teorems demostr-se lcdo o Teorem Fudmetl do Cálculo, equto que o segudo ecesst de um demostrção ms elord Teorem: Sej ϕ [, ] : R um fução dferecável em : [, ] dferecável em ϕ ( Ι Se f ( F ( r todo ϕ( Ι ϕ ϕ ( ( ( f f o ϕ ϕ Prov: Como ϕ [, ], etão : R é dferecável e F é dferecável em ϕ ([, ] de cde, ( F o ϕ ( F ( ϕ( ϕ ( r todo [, ] Sej f ( F ( r todo ϕ( [, ] Assm, lcdo o Teorem Fudmetl do Cálculo ( f o ϕ( ϕ ( d ( F ( ϕ( ϕ ( d Ι e sej F, el regr 39

48 o F ( F o ϕ ( d ( F o ϕ( ( F ϕ( ( ϕ( F ( ϕ( ( F ( d f ( ϕ ϕ ( ( ϕ ϕ ( d Teorem: Sej ϕ um fução dferecável e estrtmete crescete defd o tervlo [, ] Etão f é R*-tegrável em ϕ ([ ] [ ϕ(, ϕ( ] f é R*-tegrável em [ ϕ (, ϕ( ] ( o ϕϕ ( ϕ Neste cso, ( f ϕ ( f o ϕ ϕ, se, e somete se, 6 Itegrs Imrórs Estem eemlos morttes de fuções que ão são Rem tegráves um determdo tervlo [, ], ms ossuem tegrl mrór É o cso d fução f : [ ], R dd or f ( e f ( r < Est fução ão é Rem tegrável, ms lm lm lm d s s s s s s Além dsso, est fução é R*-tegrável em [, ] Provemos etão este fto: 4

49 Ddo ε, > sej o meddor γ de [, ] ddo or ε γ( 6 ε, 6 e ε ε γ(, r < 4 4 A defção do meddor γ é roveete d segute álse: A áre d f lmtd etre u e v é v u Vmos etão lsr o erro qudo rommos v u or f ( ( v u com u v Como f( e f ( r <, defe-se γ( (, qudo < Assm o rmero tervlo d rtção [, ] tem etquet Logo o erro etre e é de Femos com que este erro fque muto equeo escolhedo γ( dequdo, os [, ] γ( Tmém o úmero de fs ão é revsível, or sso o erro em cd f deve ser estmdo de mer que som dos erros oss ser cotrold Assm, v u ( v u ( v u ( v u ( v u v u ( v u v u ( ( v u u v Temos que v e v v etão, ( v v Tmém, v e u u etão, ( u u 4

50 Assm, v u ( v u v u ( v u ( v u v u v u Voltdo à demostrção: Como ε é equeo, odemos suor ε < Assm, γ ( qudo > os ε > > Sej {, [, ]; } um rtção etquetd γ-f de [, ] Temos [, ] γ Logo Portto o erro r rmer f é meor ( que ε os ε ε f ( ( v u < 6 Ns fs segutes, etre e, temos: f ( ( ( ( ε < ε (, ou sej, som dos erros é meor que ε os, 4

51 ε ( ε ( ε < Portto, f ( ( < ε O teorem segute os d que semre que tegrl mrór de um fução f este, su tegrl tmém este o setdo R* Este resultdo, oserv Brtle em seu rtgo, ão é váldo r tegrl de Rem (como vmos o eemlo teror, em r Itegrl de Leesgue Teorem: Sej f :[, ] R R*-tegrável em [ s, ] r todo s (, Etão f este se, e somete se, lm f este Neste cso, s f s s s lm f Prov: Sej f: [, ] R um fução R*-tegrável em [ s, ] r todo s [, Ddo ε>, como f este, sej g um meddor em [, ] tl que f ( ( ε < 3 f semre que { [, ]; } etquetd γ-f de [, ], é um rtção Tomemos λ tl que λ γ( e ε λ < 3 ( f ( Sej s (, tl que s < λ Etão, este um meddor δ s tl que m ε f f ( ( < semre que {, [, ]; m} é um rtção 3 s etquetd δ -f de [ ] s s, 43

52 Defmos γ or ( δ ( γ( s γ I r todo [ s, ] s s Sej { [, ]; }, um rtção etquetd s γ -f de [ ] s, Etão {, [, s],,[, ] } é um rtção de [, ] que é γ-f os γ ( γ( ; r [ s, ] e [ s] [, λ] γ( Logo,, s f f f f ( ( s f ( ( s f ( s ( f f ( ( s ε ε ε ε < f ( λ < ( f ( λ ε ε ε < ε Portto, lm f s f s Pr mostrr outr rte do teorem, rmero vmos eucr e rovr o segute resultdo: Lem de Ss-Hestoc: Sej f : [, ] R e ε> Se γ é um meddor em [,] tl que f f ( ( < ε r tod rtção etquet {,[, ]; } γ-f de [, ] e se c f e [ c d ] [, ] m d f estem r todo tervlo d, Etão f f ( ( < ε r tod rtção etquetd c {,[, ]; m} γ-f de [ d ] c, 44

53 Oservção: Se P { [, ]; } tervlo [ ], é um rtção etquetd de um certo, deotremos or fl (P som f ( ( Prov do Lem: Ddo ε>, sejm γ e γ meddores em [, c] e [ ] d, ts que c f fl( P < ε e d f fl( P < ε r qusquer rtções etquetds P e P de [, c] e [ ] r [, c] d,, γ-f e γ -f, resectvmete Podemos suor γ( γ( e ( γ( γ r [ d, ] um rtção γ-f de [ d ] f de [, ] Logo, Femos ts rtções e sej D c, Assm P P P U D é um rtção etquetd γ- U d c f fl( D f fl( P f fl( P f fl( P c d ε ε < ε ε Voltdo demostrção do teorem: Sej f : [, ] R tl que f é R*-tegrável em [ s, ] r todo s (, s s lm f este Ddo ε c e lm c Sej e tl que >, sej seqüêc decrescete de úmeros { c } γ um meddor em [ c ] tl que fl ( D < ε,c rtcção etquetd de [ c,c ] Pr, sej D é um rtcção c c, com f qudo D é um γ -f γ um meddor em [ c ] tl que c fl ( D < ε γ -f de [ ], c c, c c f qudo 45

54 Defmos γ em (, ] d segute form: ( γ ( I ( se ( c, ] γ, γ c ( γ ( I ( c c se ( c c ], e >, Como lm, o meddor γ está defdo em (, ] c Sej s (, e sej E um rtção etquetd γ-f de [ ] s, Pr cd, sej E o sucojuto de E cujs etquets estão em ( c ], c Somete um úmero fto de cojutos E são ão vos, os E tem um úmero fto de etquets e os E s são dsjutos dos dos, os os ( ] c são dsjutos dos dos, c Sej Ι uão dos tervlos ertecetes E Etão Ι é um tervlo, os os tervlos de E são djcetes e fechdos A rtção E é γ-f em [ s, ], logo r cd, E é γ-f em (, c ] defção de γ, E é Assm, elo lem cocluímos que γ -f Tmém, Ι ( c ], e Ι ( c,c, c Ms el c qudo > Ι f ε fl ε ( E < Como fl ( E fl( E, temos que s f fl ( E < ε Pr comletr defção de γ em [, ], sto é, defr γ ( tegrl em [ s, ], usremos o lmte d Sej s s Α lm f 46

55 Escolhemos γ( tl que ( ( s < ε s f e Α < ε f qudo s γ( Portto, Α fl ( D < 3ε r tod rtcção etquetd D de [ ] vsto que,, que é γ-f Α fl ( D Α f f fl( D f ( ( s < ε ε ε ε 3 s s Logo, s s f lm f A roosção segute os mostr que oderímos surr do teorem e do lem cm hótese de estêc d tegrl de um fução um sutervlo de um tervlo ode est fução é tegrável Proosção: Sej f : [, ] R um fução R*-tegrável em [ ] tegrável em qulquer tervlo [ c d ] [, ],, Etão f é R*- Prov: Sej f R* ([, ] Ddo ε >, elo Crtéro de Cuchy, este um meddor γ em [, ] tl que, se P e P são rtções γ-fs de [ ] fl ( P fl( < ε P Sej o tervlo [ c d ] [, ] Femos ts rtções, e sejm D e D rtções γ-fs de [ d ],, etão c, Defmos s segutes rtções: S que cosste dos tervlos P à esquerd de c e do tervlo [, c] com etquet c, ode é o mor dos etremos dos tervlos de P tl que c S que cosste dos tervlos de P à dret de d e do tervlo [ y] d, com etquet d, ode y é o meor dos etremos dos tervlos de P tl que y d Assm, D U S U S e D S U S U são rtções etquetds γ-fs de [ ], 47

56 Portto, fl ( D fl( D fl( D fl( S U S fl( S U S fl( D fl ( D U S U S fl( D U S U S < ε De cordo com Brtle, temos o segute teorem: Teorem de He: Um fução f R* ([, ] se, e somete se, f R* ([ c], r c c e lm f este em R Neste cso, f lm f todo c (, c Prov: A demostrção deste teorem é um lcção dret do teorem e d roosção vstos terormete c 7 Teorems de Covergêc Os teorems de covergêc que são váldos r tegrl de Leesgue, tmém são váldos r Itegrl de Rem Geerld Um resultdo fácl de mostrr é roosção o, s demostrções dos teorems segutes odem ser ecotrds em Roert MMcLeod [] 48

57 Proosção: Se { f } é um seqüêc de fuções R*-tegráves em [ ], que coverge uformemete r fução f: [, ] R, etão f é R*-tegrável em [,] e f lm f Prov: Sej f: [, ] R e { f } um seqüêc de fuções de R* ([ ] coverge uformemete r f, que Pr cd úmero turl, este um meddor γ em [ ], tl que, se P é um rtção etquetd γ -f de [ ], etão, fl( P f < Ddo ε >, este tl que ε < 3 Tmém, este tl que r todo, f ( f ( < 3( ε, r todo [ ], Tomemos má{ }, Sej P um rtção etquetd Etão, γ -f de [ ], fl ( P lm f fl ( P f L( P f L( P f f lm f fl ( P f L( P f L( P f f lm f fl ( P f L( P f L( P f lm f f ( f f L( P f L( P f lm ( f f ε ε < ( lm ( 3( 3 49

58 ε ε ε < ( ε 3 3 3( Logo, f lm f Teorem d Covergêc Moóto: Sej { } R* ([ ], que é moóto crescete, sto é, f um seqüêc de fuções em e sej f ( f ( L f ( f ( L f ( lm f ( r todo [, ] R r todo [, ], Etão f R* ([ ], se, e somete se, su f < Neste cso, f lm f Teorem d Covergêc Domd: Sej { } R* ([, ], sejm g, h R* ([ ], tl que g( f ( h( f um seqüêc de fuções em r todo [, ], e sej f ( lm f ( R r todo [, ] Etão, f R* ([ ], e f lm f 5

59 Cítulo III INTEGRAL DE LEBESGUE E INTEGRAL DE DENJOY Este cítulo está em su totldde sedo os lvros: Royde [] e Stslw Ss[3] Os teorems e roosções eucdos este cítulo estão demostrdos estes lvros Prmero, fremos um reve estudo ds defções e rcs resultdos que evolvem Itegrl de Leesgue o coteto de Aálse Rel: Álger de Cojutos, Teor d Medd e Medd de Leesgue Ctremos tmém os três rcíos de Lttlewood Num segudo mometo, veremos s relções etre Dervd e Itegrl de Leesgue Deos, s defções de fução AC, AC*, ACG e ACG*; como tmém defção de Itegrl Dejoy Este cítulo tem como ojetvo dr sustetção r coclusão do trlho o Cítulo IV, tedo em vst que um ds roosts dest dssertção é mostrr que tod fução que é Leesgue Itegrável, tmém é R*-tegrável 5

60 3 Álger de Cojutos Defção: Sej X um cojuto de úmeros res Um coleção A de sucojutos de X é um Álger de Cojutos se r qusquer A,B A temos: ΑU Β A, ~ Α A e ΑI Β A Sedo que um Álger de Cojutos A será chmd de σ -álger se r qulquer seqüêc de cojutos de A, { A }, tem-se que U A está em A fechdos e é um Demos que um cojuto é F σ se é um uão eumerável de cojutos G δ se é um tersecção eumerável de cojutos ertos Defção: No cojuto de úmeros res, coleção B de cojutos Borel é meor σ - álger que cotém todos os cojutos ertos 3 Medd de Leesgue eumeráves { Ι } Sej A um cojuto de úmeros res Cosderemos s coleções de tervlos ertos ts que Α Ι Chmmos de medd eteror de A, m*a, o ífmo ds soms dos tmhos dos tervlos coleção U 5

61 m Ι Assm, *A f l( A UΙ Defção: Um cojuto E de úmeros res é chmdo mesurável se r todo ~ cojuto Α ós temos m * m* ( ΑI E m * ( Α I E Α Teorem: A coleção M de cojutos mesuráves é um σ - álger Prov: Royde [] Defção: Se E é um cojuto mesurável, medd de Leesgue, m Ε, é medd eteror de E Proosção: Sej { Ε } um seqüêc de cojutos mesuráves Etão, m U Ε mε Se os cojutos Ε são dos dos dsjutos, etão m U Ε mε Prov: Royde [] Proosção: Sej { Ε } um seqüêc decrescete de cojutos mesuráves, sto é, um seqüêc com Ε Ε r todo Se m Ε é ft, etão Prov: Royde [] 53

62 Defção: Um fução rel estedd f é dt ser mesurável Leesgue se o seu domío é um cojuto mesurável e se r cd úmero rel α o cojuto { f ( > α} : é mesurável Defção: A fução dcdor χ A do cojuto A é fução dd or χ A ( se se Α Α É clro que χ Α é mesurável se, e somete se, A é mesurável Defção: Um fução rel j é chmd smles se é mesurável e ssume um úmero fto de vlores Se j é smles e tem vlores α,, α, L α etão, ϕ αχ Α ode Α { : ϕ( α } Defção: Um cojuto de úmeros res é dto deso se todo tervlo cotem um oto de D As três róms roosções são formlções dos Três Prcíos de Lttlewood que odem ser eressdos d segute form: Todo cojuto mesurável é quse um uão ft de tervlos; tod fução mesurável é quse um fução cotíu; tod seqüêc covergete de fuções mesuráves é quse uformemete covergete Segudo Royde [], Lttlewood frm que os outros resultdos d Aálse Rel que cotém Medd e Itegrção são lcções tutvs destes rcíos 54

63 Defção: Demos que g : [, ] R é um fução escd se este um rtção etquetd { [ ξ, ξ ];,, } e um cojuto { c,,, } L, ; L R tl que g ( c r < < ξ ξ com,, L, Proosção: Ddo um cojuto E, s segutes cco seteçs são equvletes: E é mesurável; ddo ε >, este um cojuto erto O E com m*( O ~ E < ε ; ddo ε >, este um cojuto fechdo F E com m*( E ~ F < ε ; veste um G em veste um F em G δ com F σ com E G, m*(g ~E ; F E, m*(e ~F ; Prov: Royde [] Proosção: Sej f um fução mesurável em [, ] tl que f é ft somete um cojuto de medd ul Etão, ddo ε >, este um fução escd g e um fução cotíu h tl que m { : f ( g ( ε} < ε e f ( h( Prov: Royde [] { ε} < ε m : Proosção: Sej E um cojuto mesurável de medd ft, e { f um seqüêc de fuções mesuráves defds em E Sej f um fução rel tl que r cd em E ós temos f ( f ( Etão ddo ε > e δ >, este um cojuto } mesurável A E com ma<δ e um tero N tl que r todo Α e todo Ν, f ( f ( < ε 55

64 Prov: Royde [] 33 A Itegrl de Leesgue Sej fução escd ψ : [, ] R dd or ψ ( c r ξ < < ξ com,, L, ode os c ' s são costtes e { [ ξ, ξ ];,, } é um rtção de [ ] L, ( ξ ξ ψ( d c, A tegrl de Rem de ψ é Proosção: Sej f um fução defd e lmtd em um cojuto E de medd ft f é mesurável se, e somete se, f ψ( d su ϕ( d r tods s fuções smles ϕ e ψ f ψ E Prov: Royde [] f ϕ E Defção: Sej f um fução lmtd mesurável defd em um cojuto E com me ft, defmos tegrl de Leesgue de f sore E or E f ( d f ψ( d E r tod fução smles ψ f 56

65 Se f é um fução ão egtv mesurável defd em um cojuto mesurável E, ós defmos tegrl de f sore E or E f su h f E h ode h é um fução mesurável lmtd tl que { : h( } m é ft Defção: Um fução f mesurável ão egtv é chmd tegrável ( Leesgue sore o cojuto mesurável E se E f < A rte ostv {,} f de um fução f é dd or f ( má f ( Smlrmete, f ( má{ f (,} Assm, f f f e f f f Defção: Um fução f mesurável é dt ser tegrável sore E se f e f são ms tegráves sore E Além dsto, f f f E E E Teorem de Covergêc de Leesgue: Sej g tegrável sore E e sej { f } um seqüêc de fuções mesuráves tl que f g r todo em E Se f ( f ( lm r quse todo em E, etão E E Prov: Royde [] f lm f 57

66 Teorem: Sej { } g um seqüêc de fuções tegráves que coverge qs r um fução tegrável g Sej { f } um seqüêc de fuções mesuráves, ts que f g e { } Se f coverge r f quse semre g lm g, etão Prov: Royde [] f lm f 34 Relção etre Dervd e Itegrl de Leesgue Demos que um coleção de tervlos I core um cojuto E o setdo de Vtll, se r cd ε > e qulquer em E este um tervlo Ι I tl que Ι e ( Ι < ε l Lem ( Vtll : Sej E um cojuto de medd eteror ft e I um coleção de tervlos que corem E o setdo de Vtll Etão ddo ε >, este um coleção dsjut ft { Ι,, } Prov: Royde [] m Ν Ι Ν de tervlos em I tl que * Ε ~ UΙ < ε Teorem: Sej f um fução rel crescete o tervlo [, ] Etão f é dferecável quse semre A dervd f é mesurável, e 58

67 ( d f ( f ( f Prov: Royde [] Defção: Um fução f é de vrção lmtd em um tervlo Ι se este um úmero fto M tl que ( f ( < Μ ão soreostos {[ ]} f r qulquer seqüêc de tervlos, cotd em Ι Teorem: Um fução f é de vrção lmtd em [, ] se, e somete se, é dfereç de dus fuções res moótos em [, ] Prov: Royde [] Coroláro: Se f é de vrção lmtd em [ ] todo em [, ] Prov: Royde [],, etão f ( este r quse Lem: Se f é Leesgue Itegrável em [, ], etão fução F defd or F( f ( t dt é um fução cotíu de vrção lmtd em [, ] Prov: Royde [] Teorem: Sej f um fução tegrável em [, ], e suoh F( f ( t dt F ( Etão F ( f ( r quse todo em [ ], 59

68 Prov: Royde [] Defção: Um fução rel f defd em [, ] é dt ser solutmete cotíu se, ddo ε >, este δ > tl que r tod coleção ft de tervlos dsjutos {(,,,, L} com < δ, tem-se f ( f ( < ε Teorem: Um fução F é um Itegrl Idefd se e somete se é solutmete cotíu Prov: Royde [] Coroláro: Tod fução solutmete cotíu é tegrl defd de su dervd Prov: Royde [] 35 Fuções AC, AC*, ACG, ACG* Defção: Um fução ft F será dt fução solutmete cotíu o setdo mlo em um cojuto E ou solutmete cotíu em E ( AC, se ddo ε >, este um η > tl que r tod seqüêc de tervlos ão soreostos {[, ]} cujos otos fs ertecem E, equção ( < η ( F ( < ε F mlc 6

69 Defção: Um fução ft F será chmd fução solutmete cotíu geerld o setdo mlo um cojuto E, ou smlesmete fução solutmete cotíu geerld em E ( ACG, se F é cotíu em E e se E é uão de um seqüêc ft ou eumerável de cojutos E em cd dos qus F é AC Defção: Um fução ft F é dt ser solutmete cotíu o setdo restrto em um cojuto lmtdo E, ou AC* em E, se F é lmtdo em um tervlo cotedo E e se r cd ε > corresode um η > tl que, r tod seqüêc ft de tervlos ão soreostos { Ι r } cujos otos fs ertecem E, equção Ι < η mlc Ο ( Ι < ε tervlo Ι F :, ode O( F : Ι é osclção d fução F o Defção: Um fução será dt solutmete cotíu geerld em um cojuto E, ou ACG* em E, se fução é cotíu em E, e se E ode ser eresso como um uão de um seqüêc de cojutos lmtdos E em cd um dos qus fução é AC* Oservção: Qudo E é um tervlo, AC* em E cocde com AC e ACG* com ACG 6

70 36 Itegrl de Dejoy Um fução de um vrável f será chmd D-tegrável ( Dejoy tegrável em um tervlo [,] Ι se este um fução F que é ACG ( cotíu solutmete geerld em Ι que tem f or su dervd romd quse semre A fução F é etão chmd D-tegrl defd de f em I Seu cremeto F( F ( F ( sore I e é deotdo or Ι sore o tervlo I é chmdo D-tegrl defd de f ( D f ( d ou ( D f ( d tervlo Ι [,] I Smlrmete, um fução f será deomd D*-tegrável em um, se este um fução F que é ACG* ( cotíu solutmete geerld o setdo restrto em E e F tem f or su dervd ordár quse semre A fução F é etão chmd D*-tegrl defd de f em Ι A dfereç F( F ( F ( or (D* I Ι é dt D*-tegrl defd de f sore I e é deotd f ( d ou or (D* f ( d Pr uformdde de otção, tegrl Leesgue será freqüetemete chmd L-tegrl Às tegrs D e D* são freqüetemete ddos os omes de tegrs Dejoy o setdo mlo, e o setdo restrto, resectvmete 6

71 As relções fudmets etre os rocessos Dejoy e Leesgue são ddos segur: Teorems º - Um fução f que é D-tegrável em um tervlo I é ecessrmete tmém D*-tegrável em I e ós temos f d (D f ( d (D* ( I I º - Um fução f que é L-tegrável em um tervlo I é ecessrmete D*- tegrável em I e ós temos (D* f ( d (L f ( d I I 3º - Um fução que é D-tegrável e quse semre ão egtv em um tervlo I é ecessrmete L tegrável em I 63

72 Cítulo IV CONCLUSÕES Estudtes de grdução gerlmete estudm Dervd Ordár e Itegrl de Rem Semos orém que ests ão são dequds r mtemátc vçd os estem muts fuções que ão se equdrm em ts defções Neste trlho, vmos que trvés de smles modfcções, odemos oter geerlções destes cocetos A fução de Ctor f estudd o cítulo I é um fução cotíu, ão decrescete em [, ] que é costte em cd tervlo do comlemeto do cojuto de Ctor C Temos que f: C f [, ] é sorejetor, ms ão e jetor Cso fosse jetor, como os cojutos C e [, ] são comctos (C é um sucojuto fechdo de um cojuto comcto, f ser um homeomorfsmo Ms C é totlmete descoeo e [, ] é coeo A fução de Ctor f é dervável quse semre De cordo com Armstrog [8], est fução ode ser dervável trvés de um rmetrção Assm f 64

73 ossuí dervd rmétrc Brucer [4] f um dscussão sore crr dferecldde que ele resume trvés de lgus teorems, etre eles o segute: Teorem: Sej F um fução defd em [, ] Um codção ecessár e sufcete r estr um homeomorfsmo sorejetor de [, ] ele mesmo tl que F o h é dervável é que F sej cotíu e de vrção lmtd resultdo: Alcdo este teorem fução de Ctor, otemos o segute Coroláro: A fução de Ctor f ode ser trsformd em um fução com um dervd lmtd O reverso do Teorem Fudmetl do Cálculo r Itegrl R*, eucdo o Cítulo II, tmém é verddero segudo Lmoreu e Armstrog [8] Pr ferem tl frmção eles se utlm do rtgo Prmetrc dfferetto d the Dejoy tegrl de GPTolstov Neste rtgo Tolstov rov que um fução F em [, ] tem um dervd rmétrc f se, e somete se, é tegrável em [ ], o setdo Dejoy Se vlem tmém do fto que Itegrl de Dejoy é equvlete tegrl de Rem Geerld de cordo com R A Gordo [7] Fcdo etão roosto o segute teorem: Teorem Fudmetl do Cálculo: Sej fução F: [, ] R A fução f é um dervd rmétrc de F em [, ] se, e somete se, f é R*-tegrável Neste cso, f ( d F( F( 65

74 F( A fução F:[, ] R dd or F( se r e é dervável em todo o tervlo [, ] Assm f F é R*-tegrável em [, ] e lcdo o Teorem Fudmetl do Cálculo f ( d F ( F ( se Ms F ão é solutmete cotíu em [, ], logo f F ão é Leesgue tegrável em [, ]( Pr frmr que f ão é Leesgue tegrável, oderímos tmém olhr r f ( d Portto f é um eemlo de um fução tegrável o setdo Rem Geerld, orém ão Leesgue tegrável Temos ssm mldo o osso cojuto de fuções tegráves Por outro ldo, tod fução R*-tegrável cujo vlor soluto tem R*-tegrl ft é Leesgue tegrável Assm tegrl R* crescet L lgums fuções cujos módulo tem tegrl ft Pode-se mostrr que tod fução que é Leesgue tegrável, é R*- tegrável Utldo um defção descrtv d tegrl de Leesgue dd or Scs[3] mostr-se que tod fução Leesgue tegrável é Dejoy tegrável; e de cordo com Gordo [7] mostr-se que tegrl de Rem Geerld é equvlete Itegrl de Dejoy 66

75 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [] ARMSTRONG, GM, A clsscl Aroch to the Dejoy tegrl y Prmetrc Dervtves Lodo: Mth Soc (97 }, [] BARTLE, Roert G, Retur to the Rem Itegrl Mchg: Ester Mchg Uversty, ( 996, [3] BOAS, Rlh P, A Prmer of Rel Fuctos New Jersey: The Mthemtcl Assocto of Amerc [4] BRUCKNER, A M, Cretg dfferetlty d Destroyg Dervtves, Amer Mth Mothly 85 (98, [5] BURKILL, JC, The Leesgue Itegrl Lodo: The Sydcs of the Cmrdge Uversty Press, 95 [6] GERBAUM, Berrd R, OLMSTED, Joh M H, Couteremles Alyss S Frcsco: Holde-dy,c, 966 [7] GORDON, R A, The Itegrls of Leesgue, Dejoy, Perro, d Hestoc, Amer Mth Soc Provdece, RI, 994 [8] LAMOREAUX, Jc, ARMSTRONG, Gerld, The Fudmetl Theorem of Clculus for Guge Itegrls Mthemtcs Mge (998, 8- [9] LIMA, Elo Lges, Aálse Rel Ro de Jero: Isttuto de Mtemátc Pur e Alcd, CNPq, 989 [] MARSDEN, Jerrold E,HOFFMAN, Mchel J, Elemetry Clsscl Alyss New Yor:WHFreem d Comy,