SEQÜÊNCIAS E SÉRIES 1. CÁLCULO SOMATÓRIO. variando de 0 a 50. Esta soma pode ser representada abreviadamente por:

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1 SEQÜÊNCIAS E SÉRIES. CÁCUO SOMATÓRIO Cosderemos segute som dcd : Podemos oservr que cd rcel é um úmero r e ortto ode ser reresetd el form, este cso, com vrdo de. Est som ode ser reresetd revdmete or:., que se lê: somtóro de com vrdo de. A letr greg que é o esse músculo grego (sgm é deomd sl de somtóro e é usd r dcr um som de várs rcels. é, Se {,,,..., } um couto de úmeros res, o símolo rereset su som, sto.... Em letr é deomd ídce do somtóro (em seu lugr, ode fgurr qulquer outr letr e s vlores e, este cso, são deomdos, resectvmete, lmtes feror e sueror. EDesevolv os segutes somtóros: ( (. EEscrev so form de somtóro s segutes eressões: EClcule o vlor de: (.!.. NÚMERO DE PARCEAS DO SOMATÓRIO Se, etão E Destque rcel cetrl e décm rcel de.. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO. Somtóro de um costte Sem k, com,...,. k tem ( rcels. (..! k k k ( k k (.k

2 . Somtóro do roduto de um costte or um vrável Sem k, com,...,. k k( k k k k k k. Somtóro de um som lgérc Sem ±, com,...,. ( ( ( ( ( ( ± ± ± ± ± ± ± ± (. Serção do últmo termo. Serção do rmero termo 6. Avço dos lmtes ( ( ( ( ( ( E Comlete tel o: y y y y 6 E6 Com os vlores d tel cm e o uso ds roreddes do somtóro, clcule:

3 6 6 ( y ( y ( y 6 ( y 6 ( y 7 ( 8 y.. SOMATÓRIO DUPO são: Se mtrz A M m m m M M M m. As soms dos elemetos de cd um ds lhs de A,,, m. Por outro ldo, som de todos os elemetos d mtrz A é: m m ( m. Oservções: m. tem ( (m q rcels. q m q E7 Desevolv os segutes somtóros: y y m q ( y ( y y ( y E8 Clcule o vlor de: y ( y ( z ( y y E9 Escrever so form de somtóro s eressões: E Ecotre um fórmul (em fução de r cd um dos somtóros o:.. RESPOSTAS y ( ( E E 9! (.( ( E 7 E e -7

4 E E (y (y (y (y (y (y (y (y (y E z E9 E ( ( ( ( ( 6.. DEFINIÇÃO. SEQÜÊNCIAS INFINITAS Um seqüêc ft é um lst de úmeros um cert ordem,,,,...,,..., ode é o o termo, é o o termo,..., é o -ésmo termo ou termo gerl. Notção: {,,,...,,...} ou { }. Devemos oservr, tmém, que um seqüêc é um fução defd sore o couto dos úmeros turs: f : ℵ R. Eemlos de seqüêcs: é o termo gerl d seqüêc,,,,... A seqüêc dos úmeros rmos: {,,,7,,,7,9,,9,,...}. c é o termo gerl d seqüêc,,, 8, 6,, 6,... Podemos oservr que est seqüêc, como muts outrs, ode ser defd trvés de um fórmul de recorrêc:., se > d A seqüêc de Focc é defd or, e -, r. Os termos d seqüêc de Focc são,,,,, 8,... E Ecotre seqüêc que é solução ds segutes relções de recorrêc:., se >., se >.. IMITE DE UMA SEQÜÊNCIA lm Dzemos que seqüêc { } coverge r um úmero rel, ou que tem or lmte, qudo. Em outrs lvrs, estrá rómo de r sufcetemete grde. Se lm ão este, dzemos que seqüêc { } ão coverge (dverge. Estem dversos teorems que udm determção d covergêc ou dvergêc de seqüêcs, sedo que fc como sugestão o luo teressdo rocurr or eles logrf dcd. Por outro ldo, mutos lmtes de seqüêcs odem ser estuddos como lmtes o fto de fuções. Eemlos: Os termos d seqüêc são:,,,,...

5 Reresetção gráfc d seqüêc : Oserv-se que: se cresce sem lmtes, cresce romdo-se de, sto é,,9 lm lm, Neste cso, dzemos que seqüêc coverge r., são:,,,,,,... Reresetção gráfc d seqüêc : Os termos d seqüêc { } Oserv-se que: se cresce sem lmtes, tmém cresce sem lmtes, sto é, lm lm Neste cso, dzemos que seqüêc dverge c lm lm, ode dvdmos umerdor e deomdor or. ( se se cos d lm se lm lm lm cos(, ode utlzmos o Teste de Hotl. E Determe, se estr, o lmte ds seqüêcs o: e 7 ( (. cos( f c d l( ( g h (. { }.. RESPOSTAS E.!. E.. c dverge. d e. e /. f. g. h.

6 .. O TEOREMA. PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA (PIF E Verfque se frmção o é verdder ou fls, ustfcdo tu resost. Pr N, ( semre dá um úmero rmo. É reltvmete smles demostrr que frmção cm é fls. Pr tto, st resetr um eemlo de úmero turl (dto cotr-eemlo ode est frmção flh. Por outro ldo, mostrr que el é verdder, ser um tref muto trlhos, se ão mossível, os terímos que verfc-l r todos (ftos úmeros turs. Porém, grçs o Prcío d Idução Ft (tmém cohecdo como Idução Mtemátc, eucdo segur, odemos demostrr, de um form rzovelmete smles, que um frmção P( é verdder r qulquer úmero turl. Eemlo: Um roosção P( é verdder r todo turl se, e somete se: P( é verdder r ; Se P(k é verdder r um certo k turl etão P(k tmém é verdder. ( Use o PIF r mostrr que. ( Solução: Vmos mostrr que. Pr, os dos ldos d guldde ssumem o vlor, logo P( é verdder; Vmos suor que P(k é verdder, sto é, que k P(k tmém é verdder, sto é, que D roredde, seção., k k k k(k é verdder. Agor devemos mostrr que (k [(k ] tmém é verdder. k (k. ( k(k D hótese,. ( Susttudo eressão ( em (, otemos: k k(k k(k (k (k (k (k [(k ] (k. ogo, or dução mtemátc, mostrmos que eressão E Use o PIF r mostrr que: r r r r r, r r r 9 ( ( 6 ( é verdder r. 6

7 8 7 ( ( ( E Ecotre um fórmul (em fução de r cd um dos somtóros o: ( ( ( E Use o PIF r demostrr s fórmuls otds os eercícos E (d seção., E (d seção. e E cm... RESPOSTAS E ( 68 ão é rmo, os é dvsível or. ( ( ( ( E 6 ( (. SÉRIES NUMÉRICAS.. DEFINIÇÃO Se { } é um seqüêc ft, etão um eressão é chmd sére umérc ft de termo gerl. Se somrmos es os N rmeros termos dest sére, teremos o que N chmmos de som rcl S N. Eemlos de séres:,, 6, 8,,,, 6 é um seqüêc ft e ft de termo gerl. 8 é um sére,, 6,,,... é um seqüêc ft e 6...! é um sére ft de termo gerl!. c A sére hrmôc cuo termo gerl é... SOMA DE UMA SÉRIE Dzemos que o úmero rel S é som d sére, ou que sére coverge r S, se e somete se, lm S S (o lmte d seqüêc ds soms rcs S, S, S,...,S é S. Neste cso, escrevemos S. Qudo lm S ão este, dzemos que sére dverge. A dvergêc ode ocorrer orque S tor-se ft ou S oscl qudo. 7

8 Eemlos: ( Som rcs: S, S, S 6, S, S,..., S Reresetção gráfc d seqüêc {S } ( lm S lm S Portto, seqüêc ds soms rcs dverge. Dzemos, este cso, que sére (... (... dverge., se é mr Som rcs: S -, S, S -, S, S -, S, se é r Reresetção gráfc d seqüêc {S } lm S ão este. Portto, seqüêc ds soms rcs dverge. Dzemos, este cso, que sére c ( dverge. 7 Som rcs: S, S, S, S,..., S 8 6 Reresetção gráfc d seqüêc {S } lm S lm lm S S S oscl Portto, seqüêc ds soms rcs coverge r., Dzemos, este cso, que sére coverge r. 6.. SÉRIES GEOMÉTRICAS Um sére geométrc é um sére d form r r r...r -... r com. D seção., eercíco E -, -ésm som rcl d sére geométrc é 8

9 S r r r... r - ( r, r. r Se r <, lm r ( r, e ssm lm. r r ( r Se r >, lm r ão este, e ssm lm ão este. r Se r, etão S e ortto, lm S ão este. Se r -, etão S oscl e ortto, lm S ão este. A sére geométrc coverg e se r < e su som é S A sére geométrc dverge se r. r. E Determe se sére é covergete ou dvergete, se covergete ecotre som ( 8 8 E Determe sére ft que tem segute seqüêc de soms rcs: {S } {S } E Eresse dzm eródc,... como um frção comum... PROPRIEDADES DAS SÉRIES {S } {S } { } Se coverge e c é um úmero rel, etão c tmém coverge e c c. Eemlo: é covergete. Justfque. Se e covergem, etão ( ± tmém coverge e ( ± ±. Eemlo: ( é covergete. Justfque. c Se coverge e dverge, etão ( ± dverge. Eemlo: ( é dvergete. Justfque. Oservção: Se dverge e dverge, etão ( ± ode covergr ou dvergr. d Se coverge, etão lm. Justfctv: Se coverge, lm S S e lm S S. Como S... -, S S - ogo, lm lm S lm - S S S E Verfque se sére coverge, em cso frmtvo, determe su som: 9

10 ( (sére telescóc Pr muts séres é dfícl ou rtcmete mossível ecotrr um fórmul smles r S. Em ts csos, são usdos lgus testes que ão os forecem som S d sére; dzem-os es se som este. Isto é sufcete mor ds lcções orq ue, sedo que som este, odemos romr o seu vlor com um gru rtráro de recsão, stdo somr um úmero sufcete de termos d sére... TESTE DA DIVERGÊNCIA Se lm, etão sére ft dverge. Oservção: O lm ão grte covergêc d sére. E Prove que s séres segutes são dvergetes:.( TESTE DA INTEGRA Sem um sére de termos ostvos e f um fução cotu, tl que f(, r todo. Etão coverge f (d coverge. E6 Determe se sére dd é covergete ou dvergete..7. SÉRIE-P e l 6 e Um sére do to é deomd sére-. Est sére coverge se > e dverge se. Justfctv: Pr, sére - tor-se, chmd sére hrmôc. Dverge (eercíco E6 -. d Se, lm d lm lm (. Pr >, lm ( lm (. ogo sére coverge. Pr < <, Pr <, lm lm ( lm. ogo sére dverge. lm. ogo, sére dverge.

11 Pr, sére- tor-se que é um sére dvergete. Portto, sére- é covergete somete qudo >..8. TESTE DA COMPARAÇÃO POR IMITE Sem e séres de termos ostvos. Se lm c, ode c é um úmero ostvo, etão ms s séres covergem ou ms s séres dvergem. E7 Determe se sére dd é covergete ou dvergete SÉRIES ATERNADAS - TESTE DE EIBNIZ Um sére lterd é um sére d form ( ou ( com >. Em um sére lterd, se e lm, etão sére coverge. E8 Determe se s séres lterds covergem ou dvergem. ( ( ( ( ( ( O coceto segur ermte que utlzemos testes r séres de termos ostvos r determr covergêc de outros tos de séres... CONVERGÊNCIA ABSOUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONA Se coverge, dzemos que sére é solutmete covergete. Se coverge e dverge, dzemos que coverge codcolmete. E9 Determe se sére dd é solutmete covergete. ( ( ( ( 6 ( (

12 Oservções: Se é um sére de termos ostvos, etão, ortto covergêc solut cocde com covergêc. Se um sére ft é solutmete covergete, etão é covergete... TESTE DA RAZÃO Se Se c Se Se um sére ft com, r todo. lm lm lm <, etão coverge solutmete. > ou lm, etão dverge., etão ehum coclusão quto à covergêc ode ser trd do teste. E Determe se sére dd é solutmete covergete, codcolmete covergete ou dvergete:! ( 6 ( 7!! ( 8! ( Oservção: O teste d rzão é ms dequdo qudo cotém otêcs e rodutos e ão fuco sére-... RESPOSTAS E Cov. S Dv. Dv. 9 E 6 6 E E Cov. S Dv. Cov. S E6 Dv. Cov. Dv. Cov. Dv. 6 Cov. E7 Cov. Cov. Dv. Cov. Cov. 6 Cov. E8 Dv. Cov. Dv. Cov. Cov. E9 Cov. As. Cov. Cod. Cov. As. Dv. Cov. Cod. 6 Cov. Cod. E Cov. Cov. Dv. Dv. Cov. Cod. 6 Cov. As. 7 Dv. 8 Dv... DEFINIÇÃO. SÉRIES DE POTÊNCIAS Sére de otêcs de cetrd em c é um sére ft d form (-c (-c... (-c... ( c (-c

13 Qudo em um sére de otêcs vrável for susttuíd or um úmero, sére resultte é umérc e ode c overgr ou ão... INTERVAO DE CONVERGÊNCIA Pr cd sére de otêcs ( c, etmete um ds segutes frmções é verdder: A sére coverge somete qudo c. A sére coverge solutmete r todo rel. c Este um úmero rel ostvo R, tl que sére é solutmete covergete se c < R e é dvergete se c > R. Neste cso, R é chmdo ro de covergêc d sére e (c R, c R é dto o tervlo de covergêc d sére. Procedmeto r ecotrr o tervlo de covergêc de um sére de otêcs.. Alcr o teste d rzão.. Resolver equção resultte.. Alsr os etremos dvdulmete. E Determe os tervlos de covergêc ds séres: (-! 6!( FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS (! Um sére de otêcs de ode ser ecrd como um fução de vrável, f( ( c, ode o domío de f é o couto dos vlores de que torm sére covergete. Cálculos umércos utlzdo sére de otêcs são se r costrução de clculdors. Cálculos lgércos, dferecção e tegrção odem ser relzdos com o uso de séres. O mesmo cotece com s fuções trgoométrcs, trgoométrcs verss, logrítmcs e herólcs. E Ache um fução f reresetd el sére de otêcs E Cosdere o eercíco E e clcule o vlor romdo de f(/ usdo os dos rmeros termos d sére. usdo os três rmeros termos d sére. c usdo os qutro rmeros termos d sére. d usdo os cco rmeros termos d sére. E Clcule o vlor de f(/ usdo le. E Comrdo os vlores ecotrdos em E e E, o que se ode coclur? E6 Cosdere o eercíco E e clcule o vlor romdo de f( usdo os dos rmeros termos d sére. usdo os três rmeros termos d sére. c usdo os qutro rmeros termos d sére. E7 Clcule o vlor de f( usdo le. E8 Comrdo os vlores ecotrdos em E6 e E7, o que se ode coclur? E9 Cosdere o eercíco E e oteh um reresetção em sére de otêcs r g ( g ( g (.. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS

14 Se f( f é dervável e f ( ( c f é tegrável e f (tdt está defd o tervlo (c R, c R r lgum R >, etão: ( c ( c ( ( c, r todo (c R, c R., r todo (c R, c R. E Se f(, determe: f ( e sére que rereset f (. f ( d e sére que rereset f ( d. / / f ( d e sére que rereset f ( d... SÉRIES DE TAYOR Se f é um fução que dmte um reresetção em séres de otêcs f( ( c, quem serão os coefcetes? f( (-c (-c (-c (-c... (-c... f(c f ( (-c (-c (-c... (-c - f ' (c... f (c! e! f (. (-c. (-c... (- (-c - f ' ' (c... f (c! e! f (... (-c... (-(- (-c - f '' ' (c... f (c.! e! f (IV (..... (-(-(- (-c -... f (IV f (c..! e ( (IV (c! f (c f (c ogo f(c e r e ortto f( f(c ( c que é deomd Sére!! de Tylor r f de cetro em c, r todo ertecete o tervlo de covergêc. Se c, sére de Tylor ssume form f '' ( f( f( f (! que é deomd Sére de Mcur r f. E Ecotre sére de Tylor de cetro em c r: f( l f( e f( ( ( f ' ' '( f (......!! E No eercíco teror, r que vlores de sére ecotrd rereset fução f? E Ecotre sére de Tylor de cetro em c r: f( l( f( e f( e f( e - f( se 6 f( se 7 f( cos 8 f(

15 Se trucmos Sére de Tylor r um ddo N turl, ou se, cosdermos o somtóro P N ( N ( f (c f (c ( c, otemos o chmdo Polômo de Tylor de gru N de f o oto c. É rovdo! que PN( é um romção r f(, cuo erro dmu quto meor for dstâc etre e c e e quto mor for o vlor N. E Se f( l(, determe o Polômo de Tylor r N e c. Utlze este olômo r romr o vlor de f(., resetdo o erro cometdo. E Arome cos(6 o trvés do olômo de Tylor de cos( com N e c π/..6. RESPOSTAS E [-, (-, R R (-, 6 {-} 7 (-, 8 [ -, E f(, (-, E,, c, d, E,... E6 7 c E7 E9 (, <, <, < E f ( ( E E ( (, ( ( (! l (, e.(! 6! ( ( (! ( ( 7 -l, 8 6 E (,] R (,! (. (! 8 (. ( ( E l( ( ; l(..9; Erro.. E cos(6 o.88.! 6. BIBIOGRAFIA ANTON, Howrd. Cálculo: um ovo horzote. 6.ed. Porto Alegre: Bookm,. EDWARDS, C, PENNEY, Dvd. Cálculo com geometr lítc..ed. Ro de Jero: Pretce- Hll do Brsl, 997. EITHOD, ous. O cálculo com geometr lítc..ed. São Pulo: Hrer & Row do Brsl, 98. MOREIRA, Frcsco el, Cálculo II Sstems de Iformção, Mterl Ddátco, FAMAT/PUCRS,. SHENK, Al. Cálculo e geometr lítc..ed. Ro de Jero: Cmus, 98. SIVA, Jme Crvlho e. Prcíos de álse mtemátc lcd. Alfrgde: McGrw -Hll de Portugl, 99. SIMMONS, George F. Cálculo com geometr lítc. São Pulo: McGrw-Hll, 987. SWOKOWSKI, Erl Wllm. Cálculo com geometr lítc..ed. São Pulo: Mkro Books, 99.