A noção de função homogénea surge logo no primeiro ano dos cursos de licenciatura onde uma disciplina de Análise Matemática esteja presente.

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1 HÉLIO BERNARDO LOPES Resuo. O coceto de fução hoogéea está presete desde o íco dos cursos de lcecatura que cotepla os seus plaos de estudos dscplas de Aálse Mateátca. Trata-se de u coceto sples, faclete doável, ebora o eso ão seja sufceteete aprofudado, estado ausetes utas das suas lgações co outros doíos da Mateátca e da Físca, que surge o seo de outras dscplas. U dos doíos cuja apresetação e desevolveto requer o coheceto de quato evolve o coceto de fução hoogéea, é o da Aálse Desoal, estruturada a partr dos prórdos do Século XIX, e que serve de suporte à Teora da Seelhaça, à luz de cuja doutra se estabelece os crtéros de seelhaça e as correspodetes relações, que são teas absolutaete essecas o esao de estruturas dversas por recurso a odelos reduzdos. A oção de fução hoogéea surge logo o prero ao dos cursos de lcecatura ode ua dscpla de Aálse Mateátca esteja presete. Tal coo é apresetada, trata-se de ua oção sples, de fácl apreesão e doâca, ebora, de u odo quase geral, a referda oção ão seja sufceteete aprofudada, e se ostre alguas das suas portates lgações a outros doíos da Mateátca e da Físca Aplcadas, e que surge o seo de outras dscplas de certos cursos de lcecatura. U dos doíos cuja apresetação e desevolveto requer o coheceto de quato gra ao redor da oção de fução hoogéea, é o da Aálse Desoal, cuja estruturação teve o seu íco os prórdos do Século XIX, que é a estrutura que serve de suporte à Teora da Seelhaça, sob cuja doutra se estabelece os crtéros de seelhaça e as correspodetes relações, teas absolutaete opresetes e essecas o esao de estruturas dversas através de odelos reduzdos. Note-se, cotudo, que o doío da Aálse Desoal te tabé aplcação e áreas coo a Ecooa, e até a Socologa e a Pscologa. Seja, etão, a fução, f : R R, k R, ( =,..., ). Dz-se que f codcoalete hoogéea se e só se: = f k,..., k g k,..., k f,...,. À fução g : R R, dá-se o oe de factor de hoogeedade. é Adte-se, claro está, que (,..., ) e ( k k D f R, e que ( k,..., k ) D g R.,..., ) pertece ao doío de f, E cotrapartda, se () só for válda o doío defdo por certas codções os coefcetes k, ( =,..., ), f dz-se codcoalete hoogéea. Atgo Professor e Mebro do Coselho Cetífco da Escola Superor de Políca.

2 Pode deostrar-se faclete que toda a fução, f : R R, que seja u oóo do tpo: α α α = f,..., = = co α R, ( =,..., ), é ua fução codcoalete hoogéea, sedo o correspodete factor de hoogeedade: co k R, ( =,..., ). α α α = g k,..., k = k k = k Pode, poré, r-se as loge, tedo presete que qualquer fução cotíua e certo doío, que seja aí codcoalete hoogéea, é ecessaraete u oóo. Ass, por eeplo, a fução, f : R 3 R, defda por: 3 f (,, ) = 3 é ua fução codcoalete hoogéea, dado ser u oóo e cotíua o seu doío. O correspodete factor de hoogeedade é: 3 3 g k, k, k = k k k. 3 No caso de se estar perate ua fução codcoalete hoogéea, f : R R: f (,..., ) e que as codções os parâetros k R, ( =,..., ), são do tpo ooal, e os teros do sstea que se apreseta a segur: 3 () α α k+ = k k α p αp k+ p = k k co + p =, k R, ( =,..., ), a fução f pode escrever-se a fora: k k p + + f (,..., ) = g,..., α α. α p αp ( 3) Os epoetes,α j, ( =,..., ; j =,..., p ), assue os valores reas adequados a torar cada ua das epressões: + j α j α

3 u oóo hoogéeo, ( =,..., ; j =,..., p ). Coo é evdete, as epressões aterores, para a fução f coo para a fução g, supõe-se sepre que estas fuções estão defdas os potos cosderados. E, tal coo já se referu para o caso codcoalete hoogéeo, tabé a epressão (3) defe f coo ua fução hoogéea, qualquer que seja a fução g, desde que as codções os parâetros, k R, seja as dadas pelo sstea (). Ora, o que se dsse até aqu para ua fução, f : R R, pode esteder-se ao caso de ua equação co N cógtas: co ( f,..., = 0. ( 4) Ass, dz-se que (4) é ua equação codcoalete hoogéea se se tver: quasquer.,..., ) e ( k k f ( k,..., k ) = 0,..., ) pertecetes a D f R, e k R, ( =,..., ), Ao vés, se os parâetros k satsfzere a certas codções, (4) dz-se ua equação codcoalete hoogéea. No caso e que a equação (4) perte eplctar a cógta, por eeplo, coo ua fução das restates: f : R R, ( (,..., ) = f ( 5),..., ) D f R, e f for codcoalete hoogéea, co as codções os parâetros k R, ( =,..., ), dadas pelo sstea abao: α α k+ = k k α p αp k+ p = k k co + p =, (5) pode etão escrever-se a fora: k k = g p + +,...,.,( p ),( p ) α α α α Coo se saletou logo ao íco, o coceto de fução hoogéea é essecal o trataeto da Aálse Desoal, dado auseare-se este doío gradezas ode é essecal defr-se ua relação de gualdade, be coo a operação de adção dos seus valores, de olde que aquela relação e esta operação seja depedetes do sstea de udades que esteja a ser utlzado.

4 Nada pede, cotudo, que se cosdere os parâetros k R, ( =,..., ), coo sedo u úco - seja t R -, dzedo-se, etão, que a fução, f : R R, é hoogéea se e só se: ode se supõe que ( f ( t,..., t ) = t α f (,..., ) ( 6),..., ) e ( t,..., t ) pertece ao doío de f, D f R, e ode α R. À fução t α dá-se a desgação de factor de hoogeedade, desgado a costate real,α, por grau de hoogeedade da fução f. Esta fução dr-se-á postvaete hoogéea de grau de hoogeedadeα, se (6) for válda apeas para valores de t R 0 +. Coo é evdete, ua fução hoogéea é postvaete hoogéea, as a recíproca ão é verdadera. Note-se que, se e (6) se proceder à udaça de varável: vrá: t = f ( f,..., ),,..., = α ( 7) ou seja: f g α (,..., ) =,..., ( 8) co g : R R e co: 0,..., Dg. Coo é evdete, qualquer que seja o sstea de udades co que se esteja a trabalhar o âbto do estudo de certo feóeo, os quocetes: ( =,..., ) 0 são fuções hoogéeas, tal coo co as restates fuções que aparece e (8). No caso de estre as preras dervadas parcas de ua fução f ( ),...,, que seja hoogéea de grau α, cada ua dessas dervadas parcas é ada ua fução hoogéea, as de grau α. E se estre as dervadas parcas de orde k, ( k =,..., ), elas serão, por gual, hoogéeas de grau α k.

5 Por f, salete-se que, sedo, f : R R, ua fução postvaete hoogéea de grau de hoogeedade,α, se te a portate Idetdade de Euler, desde que esta as preras dervadas parcas da fução dada: ou, de odo as stétco: ' ' f + + f = α f ( 9) ' f = α f. = ( 9) A recíproca é, por gual, verdadera: se certa fução, f : R R, for dferecável e verfcar a Idetdade de Euler, (9), essa fução é postvaete hoogéea. Tora-se faclete evdete que se certa fução assur a fora de u polóo as varáves,, ( =,..., ), o eso será hoogéeo de grau α R se for α o grau de cada u dos seus oóos, ou seja, se sedo a fução da fora: se tver, para cada oóo: ( ) = k k f,...,... k + + k = α. A epressão (7) perte coclur que, se f é fução hoogéea de grau de hoogeedade 0, ela depede apeas dos quocetes: k ( =,..., ) 0 etre as suas varáves: f (,..., ) = f,,...,. Toda esta doutra sobre o coceto de fução hoogéea, tal coo se dsse ao íco, é requerda a estruturação da Aálse Desoal, pelo que se justfca alguas referêcas a este doío. Coo é evdete, quado se procede à edção de certa gradeza ecâca ecessta-se de ua udade coo tero de coparação. Ebora as udades utlzadas a edção das dversas gradezas ecâcas possa ser as as dversas, e escolhdas depedeteete uas das outras, tora-se coveete detar ão do que se desga por sstea coerete de udades. U tal sstea é costtuído por u cojuto de udades fadas de odo arbtráro, chaadas udades de base (ou fudaetas), e por udades dervadas, cuja defção se faz a partr das preras, usado certas fórulas, a que se dá o oe de equações de defção.

6 Ass, quado se está perate a equação de defção de certa gradeza ecâca, pode acotecer que aquela apeas fgure udades de base, ou tabé udades dervadas, porvetura, sturadas co as preras. Coo é óbvo, cotudo, esta últa stuação acaba sepre por degeerar a prera. Se a equação de defção de certa gradeza se substtuíre as udades de base por síbolos que as represete, obté-se a desgada equação de desões da gradeza e causa. Dado que as equações de defção são sepre epressões oóas, o eso acotece co as equações de desões. Coo se sabe, o sstea de udades ecâcas teracoalete adoptado é o Sstea Iteracoal de Udades, SI, que fo adoptado pela ª Coferêca Geral de Pesos e Meddas, que teve lugar e Pars, o ao de 960. Neste sstea, e o doío ecâco, as udades de base são o etro, para o copreto, o qulograa, para a assa, e o segudo, para o tepo. As equações de desões das dversas gradezas ecâcas vê, pos, epressas do odo segute: [ ] X = L α M β T γ ode L, M e T represeta, respectvaete, o copreto, a assa e o tepo, e ode α, β e γ são as desões da gradeza X face às gradezas fudaetas o sstea coerete de udades adoptado, ode as udades de base são o etro, o qulograa e o segudo. Neste poto, há dos teoreas que se põe apresetar: o Teorea da Hoogeedade e o Teorea dos Parâetros Adesoas. Veja-se, pos, o TEOREMA DA HOMOGENEIDADE 3. E toda a epressão, equação ou fórula físca, teórca ou eprcaete deduzda, as desões de todos os seus teros deve ser dêtcas. Ou seja, aquela deve ser desoalete hoogéea. Sgfca sto que, se se gualare duas epressões da Mecâca, as desões das duas epressões tê de ser dêtcas. E quado e dada epressão da Mecâca certa gradeza aparece dversas vezes, ela te de vr epressa, e últa aálse, as esas udades de base do sstea de udades adoptado, ou o eso deara de ser coerete. O segudo teorea atrás referdo é o TEOREMA DOS PARÂMETROS ADIMENSIONAIS 4. Dado u feóeo físco qualquer e cohecda ua relação: (,,..., ) f A A A = 0 ( 0) etre todas as varáves, e úero de, que ele tervê, se se escolher u sstea de gradezas fudaetas, a epressão ateror pode trasforar-se ua relação de parâetros adesoas: Tabé cohecdo por Teorea dos ππ, ou Teorea de Vashy-Buckga. 3 O eucado que se apreseta é o que se coté e HIDRÁULICA GERAL, Volue I, Alberto Abecass Mazaares, Técca, AEIST, O eucado que se apreseta é o que se coté e HIDRÁULICA GERAL, Volue I, Alberto Abecass Mazaares, Técca, AEIST, 979.

7 (,,..., π ) ϕ π π 0 = e que cada parâetro coté + varáves, soete ua das quas uda de parâetro para parâetro, sedo as outras as toadas para fudaetas. Se se adtr u sstea coo o teracoalete adoptado, este, coo se sabe, três gradezas fudaetas. Desge-se essas gradezas por A l, A e A t, e supoha-se que estas gradezas são três das que fgura e (0). Nestas crcustâcas, () terá 3 parâetros adesoas, cada u dos quas é u oóo hoogéeo de grau de hoogeedade 0. Cada u desses oóos hoogéeos e adesoas será do tpo: A π = α β γ Al A At ode α, β e γ são as desões da gradeza A toadas e relação às três udades de base, A l, A e A t, respectvaete. Estes parâetros,π, e úero de 3, toa a desgação de úeros ídces 5 do feóeo e estudo. Ass, se depos de be aalsado se decdr que certo feóeo físco depede de cco gradezas ecâcas, o seu estudo tera de fazer-se através do do efeto de cada ua dessas gradezas, co as restates toadas costates. Ua tal tarefa sera, aturalete, casatva. Cotudo, se se toare três dessas gradezas para fudaetas, ser-se-á coduzdo de ua stuação cal do tpo: f A, A, A, A, A = 0 para ua outra da fora: (, ) ϕ π π = 0 ode se te: A A π = α β γ π = α β γ A A A A A A Passa, pos, através de (), a dspor-se de ua equação co apeas dos úeros ídces,π eπ. Realzado esaos dversos do feóeo e estudo, obté-se u cojuto de pares ordeados do tpo, ( π, π ) cartesaos ortogoas., que pode represetar-se u sstea de dos eos Só ua stuação de verdadera rardade se ecotrará ua relação causal do tpo: π = g ( π ) 5 Tabé desgados parâetros característcos do feóeo.

8 pelo que o que haverá a fazer será adaptar ua relação fucoal,φ, que ze os desvos e relação aos pares ordeados, ( π, π ) o feóeo e estudo. ou seja: Essa relação, será, pos:, que será, pos, a cosderada coo represetado A π = φ( π ) α β γ = φ α β γ A A A A A A A A = A A A α β γ A φ α β γ. A A A Fca ass eposto o coceto de fução hoogéea, através de u cojuto vasto de defções e propredades, as tabé a referêca à sua preseça o estudo da Aálse Desoal, que se projecta, coo se dsse ao íco, a Teora da Seelhaça e as suas aplcações à costrução de odelos reduzdos, ode te de detar-se ão de crtéros de seelhaça. Ora, ua codção essecal para que haja seelhaça, à luz de certo crtéro, etre protótpo e odelo, é que os úeros ídces correspodetes, para cada gradeza, seja guas o protótpo e o odelo. Pôde, pos, ostrar-se que o coceto de fução hoogéea é, afal, be as rco e útl do que a ua prera vsta poderá depreeder-se da doutra oralete apresetada as dscplas de Mateátca ode é tratado. BIBLIOGRAFIA AGUDO, F. R. Das (989): Aálse Real, Volue I, Escolar Edtora, Lsboa. ALMEIDA, Gulhere de (988): Sstea Iteracoal de Udades (SI). Gradezas e Udades Físcas. Terologa, Síbolos e Recoedações, Plátao Edtora, SA. BAU, João (974): Teora da Aálse Desoal e da Seelhaça Físca - Aplcação aos Modelos Hdráulcos e aos Modelos Aerodâcos, Tese apresetada a cocurso para especalsta do LNEC, Mstéro das Obras Públcas, Lsboa. MANZANARES, Alberto Abecass ( 979): Hdráulca Geral. I - Fudaetos Teórcos, Técca, AEIST, Lsboa. MENDONÇA, P. de Varees e ( ): Apotaetos de Mecâca Racoal e Teora Geral de Máquas, 9ª Edção cclostlada, Isttuto Superor de Agrooa, Lsboa. QUINTELA, Atóo de Carvalho (98): Hdráulca, Fudação Calouste Gulbeka, Lsboa.