4. Geometria e Álgebra

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1 /5 Geometria e Álgebra 4. Geometria e Álgebra Este caítlo rocra faer ma reisão da Álgebra Liear relacioado os coceitos algébricos com as costrões geométricas ecotradas a Comtaão Gráfica. O leitor dee ecotrar ele ocos asstos qe já ão sejam de se cohecimeto. Aida assim, sgerimos ma leitra ráida ara fiar os coceitos e a otaão. Na Comtaão Gráfica, os objetos ossem, além dos atribtos de cor e tetra, ma forma geométrica, ma osião e, ossielmete, m moimeto. Cosidere, or eemlo, ma cea simles como a mostrada a Fig. 4.. Além da descrião das les e da câmera, qe são tratadas os caítlos sobre algoritmos de sítese de images, recisamos descreer geometricamete o ble e a bola. (a) Imagem resltate (b) Modelo da cea ista de cima (c) Modelo da cea ista de frete (d) Modelo da cea ista de lado Fig. 4. Sítese de ma cea simles. Na descrião desta cea ara Sistemas Gráficos como o OeGL, é atral termos a forma dos objetos, como o ble, defiida or ma malha de triâglos o qadriláteros qe Marcelo Gattass 30/4/07

2 Geometria e Álgebra /5 comõe sa froteira. Esta forma de reresetar matematicamete m objeto ela sa serfície etera é dita reresetaão de froteira (bodar reresetatio) e é mito comm a Comtaão Gráfica orqe ormalmete as images qe eergamos são refleões de les estas serfícies. As lacas gráficas atais são baseadas o algoritmo de ZBffer, qe rojeta cada m dos triâglos das malhas qe aroimam estas serfícies e altera os alores dos iels itercetados. Otro roblema comm da Comtaão Gráfica está ilstrado a Fig. 4.. Um dos assos básicos do algoritmo de Traado de Raios é o calclo da iterseão do raio com os objetos da cea. Aós determiar o oto de iterseão com o objeto mais róimo, o algoritmo rossege com o cálclo da cor daqele oto, qe eole a medião de âglos etre as fotes de l e a ormal a serfície. Estas e otras oeraões geométricas são baseadas a Álgebra Liear e o Cálclo Vetorial, qe comõem o foco deste caítlo. L Piel (RGB) e Câmara Ilmiaão e e Objetos o o o Fig. 4. O algoritmo de Traado de Raios. Potos e Vetores o Plao e o Esao Para recordar as defiiões de etores e fiar ma otaão, cosidere a osião do értice de ma estrela de 5 otas, mostrada a Fig. 4.3a, o de m értice de m tetraedro, mostrado a Fig. 4.3b. As osiões de cada m destes otos com relaão a m Sistema de Eios Cartesiaos o, resectiamete, odem ser defiidas or das coordeadas, e, o três,, e, resectiamete. Estes alores reresetam tato a osião de qato a distâcia, a orietaão e o setido qe seriam ecessários alicar ara lear m oto qe origialmete estiesse a origem ara a osião do oto. O seja, o etor ode tato ser etedido como ma osião qato or m etor. Neste teto, oto é ma etidade geométrica e etor ma etidade algébrica qe ode estar reresetado m oto o otra etidade matemática. Para facilitar a leitra tiliamos aqi a segite otaão: letras miúsclas são úmeros reais, também deomiados escalares; letras miúsclas em egrito reresetam etores; e letras maiúsclas em egrito são matries. A reresetaão de m etor or sas coordeadas cartesiaas é feita aqi da forma ilstrada a Fig. 4.3, o seja, as coordeadas

3 Geometria e Álgebra 3/5 são escritas em ma cola limitada com arêteses. Esta otaão detalhada é imortate ara distigir as coordeadas cartesiaas, qe estamos aresetado agora, das coordeadas homogêeas o rojetias qe serão itrodidas deois. o (a) 0 Fig. 4.3 Posião de m értice o lao (R ) e o esao (R 3 ). O cojto de todos os otos do lao e de todos os otos do esao são deomiados R e R 3, resectiamete. O lao e o esao odem ser defiidos formalmete como sedo o cojto de todos os ares ordeados (, ) T o teros ordeados (,, ) T tais qe, e sejam úmeros reais. Simbolicamete isto ode ser escrito como: (b) ì ü R í tal qe, Î Rý o î þ ì ü ï 3 ï R í tal qe,, Î Rý ï ï î þ (4.) Se alicarmos o Teorema de Pitágoras aos triâglos retâglos da Fig. 4.3, odemos facilmete dedir qe o tamaho o a magitde de m etor ode ser calclado or: o (4.) Este tamaho também é deomiado orma do etor. Soma, rodto or escalar, sbtraão e distâcia No estdo do esio médio aredemos qe as das oeraões básicas com etores são a soma e a mltilicaão or escalar. A Fig. 4.4 ilstra a soma de dois etores o lao, tato do oto de ista geométrico qato do algébrico. Geometricamete, a soma de dois etores é m terceiro etor obtido a artir da origem do rimeiro até a etremidade do

4 Geometria e Álgebra 4/5 segdo, qado este é colocado com a sa origem a etremidade do rimeiro. O mesmo etor resltate é obtido qado colocamos o rimeiro a etremidade do segdo, como ilstra o aralelogramo da Fig. 4.4 ara o R. Algebricamete, esta soma é simlesmete a soma das coordeadas de cada m: o (4.3) Diersos eemlos motiam esta oeraão. Se estiermos tratado da geometria do moimeto de m oto, or eemlo, e cada etor reresetar dois moimetos cosectios, a soma reresetaria o moimeto combiado. Tato algebricamete qato geometricamete, dee ficar claro qe a soma é comtatia, isto é, a ordem dos etores ão altera o resltado, o seja. o Fig. 4.4 Soma de dois etores o R. Dois etores imortates a serem relembrados qato à oeraão de soma são o ero (o lo) e o egatio (o ierso com relaão à soma). O ero é m etor de coordeadas las qe ão altera ehm otro qado somado a ele. Para cada etor eiste otro de igal magitde, mesma direão e setido cotrário qe, somado ao rimeiro, reslta o etor ero. Este etor é também chamado de egatio de, o. O rodto de m escalar or m etor reslta em otro etor cjas comoetes são igais às do etor origial mltilicadas elo alor escalar, o seja: a a a a o a a a a a (4.4) A Fig. 4.5 areseta ma iterretaão geométrica do rodto de m etor or m escalar o R. Note qe, qado o escalar é maior do qe.0, o etor é ametado. Qado o escalar é maior qe 0.0 e meor qe.0, o etor é redido. Qado o escalar é egatio o etor mda de setido. O elemeto etro da mltilicaão é o escalar.0 e a mltilicaão or 0 tora qalqer etor lo. A mltilicaão de m etor or.0 rod m etor egatio de. O seja,.

5 Geometria e Álgebra 5/5 o a < 0 0 < a < a > a a Fig. 4.5 Prodto de m etor or m escalar. Um caso articlar imortate é a mltilicaão or m escalar resltado em m etor de tamaho itário. Vetores itários são mito úteis ara medirmos distâcias e âglos. Para calclar o itário, simboliado aqi or ^, a direão e o setido de qalqer etor diferete de ero, basta mltilicálo or m escalar qe seja o ierso de se tamaho, o seja: ˆ (4.5) A artir da soma de dois etores e do rodto de m etor or m escalar odemos defiir a diferea etre dois etores como sedo a soma do rimeiro mais o egatio do segdo: o (4.6) Esta ordem iersa de e em da iterretaão geométrica ilstrada a Fig O etor diferea é o etor qe ai da etremidade do segdo etor até a etremidade do rimeiro. Uma coseqüêcia imortate da iterretaão geométrica da diferea etre dois etores é a defiião da distâcia etre os dois otos reresetados or estes etores. No setido comm, a distâcia etre dois otos o lao o o esao é o comrimeto do segmeto de reta qe os e. Com esta iterretaão geométrica, a distâcia assa a ser a magitde do etor diferea. O seja: ) ( ) ( ), ( dist (4.7) Note qe o radicado desta fórmla é a soma dos qadrados dos catetos do triâglo cia da Fig. 4.6 o seja, coicide com a oão de distâcia da Geometria Eclidiaa.

6 Geometria e Álgebra 6/5 ( ) 0 ( ) Fig. 4.6 Diferea etre dois etores. Uma alicaão iteressate do coceito de distâcia é a defiião de ma esfera. No R 3 a serfície de ma esfera ode ser caracteriada como sedo o lgar geométrico dos otos (,, ) T qe distam r do cetro ( 0, 0, 0 ) T. O seja: c ( 0) ( 0) ( 0) r (4.8) Esaos Vetoriais Qado obseramos os etores geométricos aresetados ateriormete, otamos qe as oeraões de soma e mltilicaão or escalar satisfaem as segites roriedades:. Comtatiidade: q q (4.9a). Associatiidade: ( q) r (q r) (4.9b) 3. Vetor lo: 0 0 (4.9c) 4. Ierso aditio: ( ) 0 (4.9d) 5. Distribtiidade: (ab) a b e a( q) a a q (4.9e) 6. Mltilicaão or :. (4.9f) ara qaisqer etores, q e r e qaisqer escalares a e b. Eistem mitos otros objetos matemáticos qe formam cojtos sobre os qais odemos defiir das oeraões de soma e rodto or escalar qe satisfaem estas mesmas roriedades. Estes cojtos são geericamete desigados de Esaos Vetoriais. Esao Vetorial das Fões As fões do iteralo [a,b] os reais, ilstradas a Fig. 4.7, odem ser somadas e mltilicadas or escalar resltado em oas fões defiidas como:

7 Geometria e Álgebra 7/5 e (FG)()F()G() (af)()af() (4.0a) (4.0b) Estas oeraões de soma e rodto or escalar das fões satisfaem as roriedades (4.9) e or isto, a Matemática, as fões odem ser tratadas como etores. F, G G() F() a b Fig. 4.7 Fões de m iteralo [a,b] a reta R. O ero do esao das fões do iteralo [a,b] a reta é a fão 0(), qe associa a qalqer alor o iteralo o alor 0 (ero). Como é de se eserar, esta fão, qado somada a qalqer otra, ão altera o resltado e é ista como a origem do esao das fões. A fão egatia também é obtida atraés da mltilicaão da fão origial or. Esao Vetorial Cartesiao R Otro Esao Vetorial imortate é o R : R T {,,..., ) tal qe Î R, i Î[, ]} (4.) ( i A soma e o rodto or escalar dos etores deste esao são semelhates às formas algébricas da soma o R e R 3, qe são, aliás, casos articlares do R (com e 3). A iterretaão geométrica o R toma emrestados os coceitos do lao e do esao. Assim, or eemlo, odemos falar em distâcia etre dois otos o R como ma geeraliaão do R o R 3, embora este coceito ão seja orido de ossa eeriêcia do osso mdo físico. Esao das Matries O cojto das matries m

8 Geometria e Álgebra 8/5 éc c # c m ù ê ú [ ] ê c c cm C c ú (4.) ij ê "! ú ê ú ëc c cm û com as oeraões de soma e mltilicaão or escalar coecioais também costiti m Esao Vetorial, deomiado R m. Combiaão Liear e Bases Coforme mecioado ateriormete, os esaos etoriais são cojtos de objetos matemáticos sobre os qais odem ser defiidas das oeraões: a soma e a mltilicaão or escalar. Estas das oeraões odem ser combiadas em ma só oeraão deomiada combiaão liear. A combiaão liear de m etores i é m etor dado ela fórmla: a a åaii i a! (4.3) ode a i são úmeros reais. No R 3, or eemlo, qado adotamos ma Sistema Cartesiao é comm escreermos qalqer etor como sedo ma combiaão liear de três etores eseciais, qe são ormalmete deomiados i, j, k. Estes etores são os itários das direões, e, resectiamete. A Fig. 4.8 ilstra esta combiaão. Esta relaão etre as comoetes do etor e os coeficietes da combiaão liear ão é ma coicidêcia. Os etores ijk formam o qe é chamado de base caôica do R 3. k i j k k i i j j Fig. 4.8 Vetor do R 3 escrito como ma combiaão liear de ijk. Uma base de m esao etorial é o cojto míimo de etores caa de escreer qalqer otro etor do esao atraés de ma combiaão liear úica. Esta icidade é garatida or ma otra roriedade do cojto de etores: a ideedêcia liear. Um

9 Geometria e Álgebra 9/5 cojto de etores é dito liearmete ideedete se ehm deles ode ser escrito como ma combiaão liear dos demais. Algebricamete, esta roriedade se escree como: a a! a Þ a a! a 0 (4.4) 0 Isto orqe, se algm dos a i for diferete de ero, etão oderíamos diidir o somatório or este alor e assar todo o resto da combiaão liear ara o otro lado da eqaão. O seja, estaríamos escreedo o iésimo etor como ma combiaão liear dos otros. Não é difícil erceber qe as bases do R 3 têm eatamete 3 (três) etores, as do R têm dois etores, o esao das matries R m tem m matries, e, fialmete, o esao das fões temos ifiitas fões. No R e o R 3 odemos raciociar geometricamete. Precisamos de dois etores ara escreer todos os otos de m lao e mais de dois etores gerariam reddâcia, o mais recisamete deedêcia liear. O mesmo raciocíio se alica a três etores o R 3. As bases do R e do R m odem ser dedidas or idão a artir do R e do R 3 o odemos raciociar algebricamete em termos de gras de liberdade qe temos ara escreer m elemeto do cojto. No R temos ariáeis ideedetes e o R m temos m. No esao das fões temos ifiitos otos detro do segmeto [a,b] resltado m úmero ifiito de gras de liberdade ara escreer ma fão. Este úmero de etores da base de m esao etorial é chamado de dimesão do esao etorial. Diemos qe a dimesão do R 3 é 3, do R é, do R é e do R m é m. Este coceito de dimesão está itimamete ligado ao coceito físico do esao em qe iemos. Os etores das bases também odem ser escritos como sedo ma combiaão liear deles mesmos. Assim: i i 0 j 0 k 0, j e k 0 (4.5) 0 O seja, o iésimo etor de ma base tem como coordeadas ero em todas as osiões eceto a osião i, ode a coordeada é.0. O coceito algébrico de combiaão liear eressa geometricamete o coceito de m cojto de otos, como ilstra a Fig. 4.9 ara retas e laos. Nestas eqaões a reta é descrita em fão do arâmetro t e o lao em fão dos arâmetros e. Por isto as eqaões mostradas a figra são chamadas de descriões aramétricas da reta e do lao. 0 d 0 td 0 d d d d 0 (a) reta (b) lao Fig. 4.9 Retas e laos como combiaão liear.

10 Geometria e Álgebra 0/5 O estdo da série de Forier mostra qe o esao das fões de a ma fão qalqer ode ser escrita como ma combiaão liear a forma: 0 å å m f ( ) a a cos b si m (4.6) m As fões seo e coseo sedo istas como etores formam ma base ara este esao etorial. Como a base ão tem m úmero fiito de etores, o esao é dito de dimesão ifiita. Combiaão liear coea Uma combiaão liear dada ela eqaão (4.3) é dita coea se todos os escalares a i forem maiores o igais a ero e se somados resltarem em, o seja: a a! a Þ a ³ 0, a ³ 0,!, a 0 (4.7) ³ A Fig. 4.0 ilstra três casos imortates de combiaões lieares coeas: o segmeto de reta, o triâglo e o tetraedro. Estes três objetos são mito tiliados as aroimaões de cras, serfícies e olmes, resectiamete. Na Comtaão Gráfica, or eemlo, o algoritmo de deseho de ma cra geérica se baseia o deseho de ma oligoal comosta de segmetos de retas e os algoritmos do OeGL se baseiam em serfícies aroimadas or malhas de triâglos. (a) 3 (a,b) ( a) a ( a) (a) segmeto de reta ( a, b) a b ( a b) (b) triâglo 3 4 ( a, b, c) a 3 b c3 ( a b c) 4 (c) tetraedro Fig. 4.0 Eemlos de combiaões lieares coeas. Os otos de m segmeto de reta, de m triâglo o de m tetraedro odem ser iocamete associados às coordeadas da combiaão coea dos ses értices. Assim, or eemlo, dado m triâglo cjos értices sejam, e 3, o se baricetro

11 Geometria e Álgebra /5 fica o oto de coordeadas coeas (/3,/3,/3). Aesar de termos coeficietes ara m segmeto de reta, 3 coeficietes ara m triâglo e 4 ara m tetraedro, a restrião de qe a soma dos coeficietes reslte em cria a ideedêcia ecessária ara esta relaão ser m ara m. Por isto, estes coeficietes também são chamados de coordeadas baricêtricas. Geeraliaão da distâcia e orma de etores A distâcia de m oto à origem dada ela eqaão (4.) e a distâcia etre dois otos dada or (4.7) se baseiam a orma de m etor. A orma tiliada estas das eqaões é a orma Eclidiaa, qe corresode à ossa oão geométrica de distâcia o osso cotidiao e ara a qal samos istrmetos como réga e trea ara faer medidas. Para geeraliar este coceito ara otros esaos qe ão o R 3, é ecessário qe formaliemos o qe é ma orma. Para isto rocramos as roriedades qe cosideramos úteis e qe deem ser reseradas. Em geral, a orma de m etor, deotada or, ode ser qalqer fão do Esao Vetorial, V, o cojto dos úmeros reais maiores o igais a ero qe satisfaa as segites roriedades: ³ 0 ara todo ÎV (4.8a) 0 se e somete se 0 (4.8b) q q ara todo, q ÎV (4.8c) a a ara todo a Î R, ÎV (4.8d) Esta geeraliaão de orma é mito imortate orqe ela também egloba o coceito de roimidade de m oto a otro. A distâcia etre dois etores qaisqer e ode ser dada or: dist ( ', ) ' (4.9) Com o coceito de distâcia etre dois etores odemos falar em o qato m etor aroima otro. Assim odemos medir o erro absolto se tiliarmos o etor o lgar do etor como sedo: e dist( ', ) ' (4.0) a e o erro relatio como sedo: ' e rel (4.)

12 Geometria e Álgebra /5 Estes erros deedem da orma cosiderada. No caso do esao das fões é comm tiliamos a orma dada or: F b a b ò a F( ) d (4.) Aesar desta orma ão ser tão ititia e simles qato a orma do R 3, ela resera o coceito geométrico de distâcia à origem (etor ero). A orma de ma fão, or eemlo, forece o alor da ordeada média da fão o iteralo. Esta média, o caso da eqaão (4.), é a media geométrica do qadrado das ordeadas. Para os etores do R a etesão é atral:! (4.3) Para as matries a orma oderia ser a rai qadrada da soma dos qadrados de todos os elemetos dela, como se a matri fosse m etor o R m e ão do R m, o seja: åå A (4.4) a F ij i j Esta orma é mecioada a literatra como orma de Frobeis. Otra orma, mais sigificatia ara o tratameto de matries como trasformaões, qe será aresetado a segir, é dada or: A A ma, ¹ 0 (4.5) Esta orma de ma matri rereseta o qato a orma de m etor ode ser ametada qado o etor é trasformado or ela. Em algs algoritmos o csto de calclar ma rai qadrada tora o cálclo de ormas comtacioalmete mito caro e, or isto, mesmo o R otras ormas são tiliadas. Podemos, or eemlo, defiir a orma L como sedo a soma dos módlos das comoetes, o seja: å i i (4.6) e a orma L como sedo o módlo da maior comoete: ma (4.7) i 0 i A otaão L se dá em fão das ormas, qe são defiidas or: / å i (4.8) i 0

13 Geometria e Álgebra 3/5 É ossíel mostrar qe esta defiião ecli a orma L e a orma L. Até a orma L ode ser ista como a orma L qado. Pelo se sigificado geométrico, a orma L é commete chamada de orma Eclidiaa. No esao das fões a orma eqialete à ifiita é dada or: b F ma F( ) (4.9) a o seja, elo módlo do alor máimo da fão o iteralo [a, b]. A Fig. 4. ilstra m eemlo ode a distâcia de F() a G() medida ela orma ifiita dá m alor bem diferete do qe a distâcia medida ela orma Eclidiaa. Dier qal das ormas é a melhor deede da alicaão. Para algs algoritmos a orma Eclidiaa dá melhores resltados, ara otros a orma ifiita é a melhor. F, G G() F() e e G() F() a b Fig. 4. Norma Eclidiaa e orma ifiita. Aesar de das ormas oderem rodir resltados bem diferetes, odemos afirmar qe or satisfaerem as codiões (4.8) ambas odem ser tiliadas em algoritmos iteratios ara medir o erro de ma dada aroimaão. Isto orqe, se a orma da diferea de dois etores tede a ero, etão m etor tede ao otro, ideedetemete da orma tiliada. A Fig. 4. ilstra m modelo de m coelho com a serfície aroimada or ma malha de úmero ariáel de triâglos. A idéia básica é desehar o coelho com mais detalhes qado ele estier erto da câmera. Qado ele estier loge, ma malha de ocos triâglos rod resltados satisfatórios sem sobrecarregar o rocessameto gráfico. Como medir erro de cada ma das malhas simlificadas com relaão à de maior úmero de triâglos? Fig. 4. Norma Eclidiaa e orma ifiita. A distâcia de m értice até a serfície S ode ser dada ela eressão:

14 Geometria e Álgebra 4/5 d ( S) mi q q Î S (4.30), ode. rereseta a orma Eclidiaa. Isirados as ormas L odemos defiir a distâcia de ma serfície S a otra S como sedo a distâcia acima medida o oto qe roda o máimo alor. O seja: d s ( S) ma d ( S), Î S (4.3) Não é difícil obserar qe a distâcia de ma serfície S a otra S ão é a mesma qe a distâcia de S a S. Para comroar isto cosidere esta defiião alicada às cras da Fig. 4., mostrada acima. Os otos do ico da cra de cima geram distâcias mito maiores do qe qalqer oto da cra de baio (a distâcia ão é ecessariamete a ertical). Por isto a distâcia de Hosdorff etre das serfícies é defiida como sedo a máima das distâcias dos otos de cada ma com relaão à otra. O seja: ( d ( S ), d ( )) dh ( S, S) ma s s S (4.3) Um último oto a obserar sobre orma em geral é qe, da mesma forma qe o erro deede da orma, o itário de m etor qalqer, dado ela eqaão (4.5), também é fão da escolha da orma. Portato, m etor ode ser itário em ma orma e ão ser em otra. Prodto Escalar O rodto escalar de dois etores é ma oeraão etre dois etores qe reslta m escalar. A defiião geométrica do rodto escalar de dois etores e é dada elo rodto das ormas mltilicado elo coseo do âglo etre eles, o seja: cosq (4.33) A eressão algébrica ode ser dedida escreedo cada m dos dois etores a base caôica, resltado em: ( i j k) ( i j k) (4.34) Admitido qe o rodto seja distribtio, temos: i i i j! k i i k k j k k (4.35) Como os etores i, j, k são erediclares etre si e cada m deles tem orma m, os rodtos iteros desta eressão resltam em ero o m. Com isto a eressão algébrica do rodto de dois etores é dada or: (4.36)

15 Geometria e Álgebra 5/5 O rodto itero é fdametal ara o cálclo de oeraões coms a Comtaão Gráfica, como o cálclo de âglos, a rojeão de m etor a direão e setido de otro, a rojeão de m etor ma direão erediclar à de otro, a refleão de m etor em toro de otro e a distâcia de m oto a m lao. Em todos estes cálclos, odemos simlificar o roblema cosiderado qe o etor de referêcia é itário. É isto qe faremos a segir. Qado, or eemlo, o etor em qe estamos rojetado ão for itário, deemos ormaliálo ates de faer os cálclos o adatar as fórmlas dedidas a segir. O cálclo do âglo etre dois etores itários û e û ode ser dedido diretamete da eqaão (4.33): ˆ ˆ cos q arc cos( ˆ ˆ ) ˆ ˆ arc (4.37) Esta fórmla forece aida ma iterretaão geométrica sobre o alihameto de dois etores itários. Se o rodto escalar for igal a.0, o coseo é igal a.0 e, coseqüetemete, o âglo etre os etores é igal a ero. O seja, estão a mesma direão e o mesmo setido. Caso o rodto itero seja ero, os etores são ditos ortogoais. A rojeão de m etor a direão de otro itário é m etor com a mesma direão qe o segdo com orma igal à orma do rimeiro ees o coseo do âglo etre eles, como mostra a Fig Esta eressão ode ser escrita atraés de: ( ˆ) ˆ (4.38) q ˆ cosq Fig. 4.3 Projeão sobre m etor itário. A rojeão de m etor ma direão ormal à direão de m etor itário também ode ser calclada como ilstra a Fig O etor ode ser escrito como sedo ma soma da comoete rocrada mais ma comoete a direão do etor itário: Como cohecemos o alor da comoete a comoete rocrada é dada or: ( ˆ) ˆ (4.39)

16 Geometria e Álgebra 6/5 ˆ Fig. 4.4 Projeão ma direão erediclar a m etor. O cálclo de m etor refletido em toro de otro ode ser feito com base a forma ilstrada a Fig A artir do etor rojetado calclamos o etor h tal qe: h, o seja h O etor refletido, r, ode etão ser calclado or: r h, o seja: Sbstitido o alor de e h chegamos à eqaão do raio refletido como sedo: r ( ˆ) ˆ (4.40) h ^^ h r Fig. 4.5 Refleão de m etor em toro de otro. Cosidere m lao defiido ela ormal itária ˆ e ela coordeada d qe mede a distâcia do lao à origem a direão de ˆ, como ilstra a Fig a ˆ b c d 0 Fig. 4.6 Potos de m lao.

17 Geometria e Álgebra 7/5 Todo oto ertecete ao lao ode ser escrito como ma soma de m mesmo, qe ai da origem ao lao a direão de ˆ, mais ma comoete aralela ao lao,. Como esta segda comoete é erediclar a ˆ, o rodto itero ˆ reslta em d. O seja: ˆ ˆ ( ˆ ) 0 Colocado o rodto itero em termos de coordeadas chegamos a: d a b c d 0 (4.4) qe é a eqaão imlícita de m lao o R 3. Esta eqaão é mito útil a erificaão de ertiêcia de m oto a m lao. Dado m oto de coordeadas, e odemos erificar se ele ertece a m lao simlesmete aaliado a eqaão: F(,, ) a b c d (4.4) Se o alor da fão for ero o oto ertece ao lao. O mais iteressate desta formlaão é qe ela também osicioa os demais otos com relaão ao lao. Para iterretarmos geometricamete o resltado desta fão, cosidere a Fig. 4.7, qe mostra m oto ma osião qalqer em relaão ao lao. a ˆ b c d 0 Fig. 4.7 Posião de m oto em relaão a m lao. A rojeão de a direão de ˆ idica se o oto está o lado do lao aotado ela ormal, o lao em si, o o lado cotrário à ormal, atraés da eqaão: Como ì > d ï ˆ í d ï î< d lado da ormal o lao F(,, ) ˆ d lado cotrário à ormal o sial da fão F idica a osião relatia do oto em relaão ao lao. Se obseramos mais atetamete emos qe, sedo ˆ m etor itário, o alor absolto de F rereseta

18 Geometria e Álgebra 8/5 a distâcia do oto ao lao. Todo este estdo de oto e lao se alica ara oto e reta o R, como ilstrado a Fig F (, ) > a ˆ b d 0 F (, ) < 0 F(, ) 0 F(, ) ˆ d a b d Fig. 4.8 Posião de m oto em relaão a ma reta o R. Geeraliaão do Prodto Itero A eemlo das roriedades (4.9) qe defiem os Esaos Vetoriais gerais, qalqer oeraão etre dois etores e q, otada aqi como <,q>, qe roda m escalar e qe satisfaa: Biliearidade: ', q, q ', q (4.43a) a, q a, q (4.43b), q q', q, q' (4.43c), a q a, q (4.43d) Comtatiidade (simetria):, q q, (4.43e) Positiidade:, ³ 0, e só é igal a ero se 0 (4.43f) é deomiada m rodto escalar. Note qe: b F, G ò F( ) G( ) d (4.44) ( b a) a é m rodto escalar o esao das fões. Uma coseqüêcia atral da eqaão (4.33) é qe a orma de m etor ode ser calclada como sedo a rai qadrada do rodto itero de m etor or ele mesmo. O seja: F F, F (4.45)

19 Geometria e Álgebra 9/5 Esta codião estabelece a relaão estreita etre o rodto itero e a orma. Se mdarmos a defiião do rodto itero mdamos a defiião da orma e iceersa. As iterretaões geométricas citadas acima corresodem aos coceitos coms qe temos de distâcia e âglo tato o lao qato o esao. Nos demais esaos etoriais estes coceitos são geeraliaões úteis ara formlar algoritmos qe calclem, or eemlo, ma fão qe aroime otra. O fato de termos como medir a distâcia iabilia, or eemlo, ma aaliaão objetia de o qato a aroimaão é boa. O fato de odermos medir âglos em qaisqer esaos etoriais ermite dier qe, como: ò ò ò si( m)si( ) d 0, cos( m)cos( ) d 0, si( m)cos( ) d 0 se m ¹ se m ¹ etão as fões trigoométricas qe aarecem as séries de Forier são etores erediclares etre si. A tilidade desta geeraliaão em das costrões gerais qe se alicam a todos os objetos da classe como, or eemlo, o estdo de bases ortogoais mostrado a segir. Qado temos m cojto de etores qaisqer {,,..., k } qe satisfa: ì0 se i ¹ j i, j d ij í (4.46) î se i j ele é chamado de cojto ortoormal, ma e qe cada etor é erediclar (ortogoal) a todos os demais e todos são etores itários (orma igal a.0). Não é difícil mostrar qe m cojto ortoormal de etores é ecessariamete liearmete ideedete. Dada ma combiaão liear da forma: a a! a 0 odemos faer em ambos os lados desta eqaão o rodto itero com m etor i resltado em: a < i, > a < i, > ai < i, i >! a < i, > 0 A ortogoalidade de i com todos os otros etores reslta em a i 0. Como i é qalqer, temos qe : a! a a 0 O qe roa qe etores ortogoais são liearmete ideedetes. Assim, m cojto ortoormal de etores m esao de dimesão é m cadidato atral ara ser ma base ara este esao.

20 Geometria e Álgebra 0/5 Otra roriedade imortate de bases ortogoais ode ser dedida da eressão qe escree m etor como ma combiaão liear dos etores da base: a a! a Se fiermos o rodto itero em ambos os lados desta eqaão chegamos a: a i < i, > <, > i i ara qalqer iî[,] o aida, se a base for ortoormal a i < ˆ i, > Com isto, os coeficietes da série de Forier odem ser calclados or: a 0 ò f ( ) d, a i ò f ( )cos( i) d e b i ò f ( )si( i) d Por rodirem fórmlas simles como estas, as bases ortogoais e as bases ortoormais são mito olares. Prodto Vetorial O rodto etorial é m rodto somete defiido o R 3 e sere ricialmete ara calclarmos ormais, áreas e orietaões o esao. Ele ode ser sado o R se imagiarmos este esao como m sbesao do R 3 qe satisfaa a eqaão 0. A defiião geométrica do rodto etorial está ilstrada a Fig O rodto etorial é ma oeraão etre dois etores e qe reslta em m terceiro etor. O etor resltate é erediclar a ambos os etores iiciais e tem como orma o rodto das ormas mltilicado elo seo do âglo etre eles. q seq Fig. 4.9 Defiião geométrica do rodto etorial. Um oto imortate a cosiderar é a orietaão qe fica imlícita este rodto. O rodto de com rod m etor,, qe está a direão do olegar qado os demais

21 Geometria e Álgebra /5 dedos da mão direita se moimetam o setido mostrado a figra. Note qe o rodto etorial de com reslta em (tracejado a figra). Aliás, este também seria o resltado do rodto etorial de com se tiliássemos a mão esqerda ao iés da direita. Esta orietaão, imlícita a rória defiião do rodto, é fdametal ara sas alicaões. Algebricamete odemos escreer: ( i j k) ( i j k) (4.47) Admitido qe, como o rodto itero, o rodto etorial teha as roriedades de biliearidade, odemos escreer: i i! k i i j i k k j k k (4.48) Podemos etão defiir o rodto etorial de dois etores qaisqer defiido aeas os rodtos i i, i j, i k,..., k k. Pela defiião geométrica dada acima ão é difícil erceber qe: i i j j k k 0 i j j i k, j k k j i, k i i k j Alicado estes resltados a eqaão (4.48) chegamos a: (4.49) ) i ( ) j ( ) k (4.50) ( Uma forma memôica de lembrar deste rodto é dada or: i j k i j ode a otaão A rereseta o determiate da matri A. Coforme mecioado ateriormete, o rodto etorial tem diersas alicaões geométricas imortates. A Fig. 4.0 mostra como ele ode ser sado ara calclar a ormal e a área de m triâglo. Ambos odem ser calclados atraés do rodto etorial de dois etores qe artem de m dos értices. O etor ormal é o rório etor resltate do rodto e a área é a metade da orma dele. k ormal 3 3 q h área h 3 3 seq

22 Geometria e Álgebra /5 Fig. 4.0 Cálclo da área de m triâglo elo rodto etorial. A Fig. 4. ilstra como o rodto etorial ode ser tiliado ara determiar se m oto é o ão iterior a m triâglo. Note qe a ormal esta figra é calclada tiliado dois etores cosectios ara reforar a oão de orietaão do triâglo. Não é difícil erificar geometricamete qe o resltado é o mesmo da figra aterior. Para m oto ser iterior é ecessário qe o rodto etorial de cada m dos etoresarestas elo etor qe ai do értice iicial corresodete até ele esteja a mesma direão do etor ormal. No caso da figra isto qer dier qe o oto está à esqerda de m obserador qe ercorre as arestas orietadas ( ( ) ) 0 i > i ( ( ) ) 0 e < e Fig. 4. Determiaão de ertiêcia de m oto em m triâglo. A Fig. 4. ilstra o so do rodto etorial ara erificar se ma malha triaglar é cosistete o setido de ter ma úica orietaão e ão ossir triâglos degeerados. O triâglo, or eemlo, 4, está com a orietaão iertida em relaão aos ateriores. Como odemos comtacioalmete er isto? Basta calclar sa ormal e comarar com as ormais ateriores. Mesmo ermitido ariaões saes a serfície reresetada ela malha, é raoáel termos a ormal de triâglos adjacetes aotado mais o meos a mesma direão. Algebricamete, isto ode ser comtado se eamiarmos o rodto escalar das resectias ormais. Se for maior qe ero a orietaão está correta. O triâglo ossi área la e isto ode ser calclado elo rodto etorial de sas arestas. triâglos ü 4 û û 4 5 ü ( 3 37 ) > 0 ( 4 ) < 0 ( ) 0 ( ) > Fig. 4. Cosistêcia de malhas de triâglos.

23 Geometria e Álgebra 3/5 Fialmete, também odemos calclar o âglo etre dois etores atraés do rodto etorial: q arc se (4.46) Eercícios resolidos. Mostre qe o rodto misto de três etores,, e rod o olme do araleleíedo formado or eles. Mostre também qe o olme da irâmide é /6 do rodto misto. Resosta: O rodto misto de três etores é or defiião ( ) araleleíedo formado or estes três etores. e a Fig. 4.3 ilstra o h Fig. 4.3 Prodto misto e olme de m araleleíedo. A área da base deste araleleíedo ode ser calclada or: área da base A altra é a rojeão de a direão erediclar ao lao da base, o seja: ( ) altra O olme é simlesmete o rodto da base ela altra, resltado em: V ( ) base altra araleleí edo (4.47) A base da irâmide formada elos três etores é o triâglo cja área ode ser calclada or: área da base do triâglo A fórmla do olme é:

24 Geometria e Álgebra 4/5 ( ) 6 3 altra base V irâmide (4.48). Mostre qe: ( ) ( ). Resosta: ( ) T T ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é det det det ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é det det det (4.49) Aalogamete temos: 3. Calcle a refleão do etor (5,0,) T em toro do etor (4,3,0) T. Resosta: ˆ roj h roj

25 Geometria e Álgebra 5/5 r roj h Eercícios ) Dados os etores (0, 3, 4) T, (,,) T, 3 (3,0,5) T e 4 (,,5) T, determie: (a) a distâcia etre e. (b) a área do triâglo 3. (c) a ormal itária do triâglo 3. (d) os etores itários corresodetes às arestas do triâglo 3. (e) o olme da tetraedro 3 4. ) Cosiderado os otos do eercício aterior, calcle as coordeadas cartesiaas dos otos cjas coordeadas baricêtricas em relaão aos otos: (a) são (/3,/3). (b) 3 são (/4, /4,/4). (c) 3 4 são (/4,/4,/4,/4). 3) Desehe o lgar geométrico dos otos de m triâglo a b c qalqer qe ossem a coordeada baricêtrica corresodete ao oto b igal a ) Determie a eqaão do lao qe assa elos otos e 3 defiidos o eercício. Qal a distâcia deste lao à origem? De qe lado dele o oto 4 se sita? 5) Cosiderado os otos do eercício, calcle a rojeão do etor m lao erediclar ao etor de. 6) Cosiderado os otos do eercício, calcle a refleão do etor em toro do etor. 7) Determie a ormal e a distâcia da origem de ma reta qe assa elos otos (,) T e (5,) T.